2-3-1 平面向量基本定理

平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。

2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。

同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。

故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。

3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。

它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。

4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。

（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。

能 力 提 升一、选择题1．在四边形ABCD 中 ,AB →＝a ＋2b ,BC →＝－4a －b ,CD →＝－5a －3b ,其中a 、b 不共线 ,那么四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形[答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC → ,即AD →＝2BC →,∴AD ∥BC 且AD ≠BC ,应选C.2．OA →＝a ,OB →＝b ,C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点 ,D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点 ,那么用a 、b 表示OD →为( )A.19(4a ＋5b ) B.116(9a ＋7b ) C.13(2a ＋b ) D.14(3a ＋b )[答案] A[解析] 利用向量加法和减法的几何意义和平面向量根本定理求解．∵OD →＝OA →＋AD → ,AD →＝AC →＋CD → ＝13AB →＋13CB →＝13AB →＋29AB →＝59AB →. 而AB →＝b －a ,∴AD →＝59b －59a ,∴OD →＝OA →＋AD →＝a ＋(59b －59a )＝49a ＋59b .3．如下列图 ,在平行四边形ABCD 中 ,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点 ,AE 的延长线与CD 交于点F .假设AC →＝a ,BD →＝b ,那么AF →＝( )A.14a ＋12bB.13a ＋23bC.12a ＋14bD.23a ＋13b[答案] D[解析] ∵AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .4．△ABC 中 ,点D 在BC 边上 ,且CD →＝2DB → ,CD →＝rAB →＋sAC →,那么r ＋s 的值是( )A.23B.43 C ．－3 D ．0[答案] D[解析] ∵CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →) ∴r ＝23 s ＝－23 ∴r ＋s ＝0.5．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c | ,a ＋b ＝c ,那么a 与b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°[答案] B[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |≠0 ,且a ＋b ＝c∴如下列图就是符合题设条件的向量 ,易知OACB 是菱形 ,△OBC 和△OAC 都是等边三角形．∴a 与b 的夹角为120°.6．(2021～2021·合肥市)如图 ,△ABC 中 ,AD ＝DB ,AE ＝EC ,CD 与BE 交于F ,设AB →＝a ,AC →＝b ,AF →＝x a ＋y b ,那么(x ,y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 12B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23 23C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13 13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23 12 [答案] C[解析] 设CF →＝λCD → ,∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点 ,∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ,BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b , ∵BE →与BF →共线 ,∴12λ－1－1＝1－λ12 ,∴λ＝23 ,∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎪⎫12a －b＝13a ＋13b ,故x ＝13 ,y ＝13. 二、填空题7．向量a 与b 的夹角为25° ,那么2a 与－32b 的夹角θ＝________. [答案] 155°[解析] 作OA →＝a ,OB →＝b ,那么∠AOB ＝25° ,如下列图．延长OA 到C ,使OA ＝AC ,那么OC →＝2a . 延长BO 到D ,使OD ＝32BO ,那么OD →＝－32b .那么θ＝∠DOA ,又∠DOA ＋∠AOB ＝180° ,那么∠DOA ＝180°－25°＝155° ,那么θ＝155°.8．e 1、e 2是两个不共线的向量 ,而a ＝k 2e 1＋(1－52k )e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量 ,那么实数k ＝________.[答案] －2或13[解析] 由题设知k 22＝1－52k 3 ,∴3k 2＋5k －2＝0. 解得k ＝－2或13.9．向量a 和向量b 不共线 ,且m ＋n ＝a ,m －n ＝b ,那么m ＝________ ,n ＝________.(用a 、b 表示)[答案] a ＋b 2 a －b2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝am －n ＝b得m ＝a ＋b 2 ,n ＝a －b2 三、解答题10．如图 ,梯形ABCD 中 ,AB ∥CD ,且AB ＝2CD ,M 、N 分别是DC 和AB 的中点 ,假设AB →＝a ,AD →＝b ,试用a 、b 表示DC →、BC → ,MN →.[解析] 如下列图 ,连接CN ,那么四边形ANCD 是平行四边形．那么DC →＝AN →＝12AB →＝12a ,BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a , MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD → ＝－AD →－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12AB →＝14a －b .11．|a |＝|b |＝2 ,且a 与b 的夹角为120° ,求a ＋b 与a 的夹角 ,a －b 与a 的夹角．[解析] 如图 ,作OA →＝a ,OB →＝b ,且∠AOB ＝120° ,以OA ,OB 为邻边作▱OACB ,那么OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ,BA →＝OA →－OB →＝a －b , BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2 ,所以△OAB 为等腰三角形 ,所以∠OAB ＝30° 即a －b 与a 的夹角为30°.因为|a |＝|b | ,所以平行四边形OACB 为菱形 , 所以OC ⊥AB ,所以∠COA ＝60° , 即a ＋b 与a 的夹角为60°.12．设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点 ,它们使BM →＝13BC → ,CN →＝13CA → ,AP →＝13AB →,假设AB →＝a ,AC →＝b ,试用a 、b 将MN →、NP →、PM →表示出来．[解析] 如图 ,MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a .同理可得NP →＝13a －23b ,PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .。

第二章 平面向量2.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．如图所示，矩形ABCD 中，若BC =61e ，DC =42e ，则OC 等于A ．31e +22eB ．31e –22eC ．21e +32eD ．21e –32e【答案】A【解析】由图得，1122OC AC ==（AB +BC ）=12（DC +BC ）=31e +22e ．故选A ． 2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP =m OA +n OB ，其中m +n =1，则A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB 与AP 的方向一定相同 【答案】A3．已知在ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，设AB =a ，AD =b ，AO =λ1a +λ2b ，则λ1+λ2等于A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】由图得，12AO =（AB +AD ）=12a +12b ，∴λ1=λ2=12，λ1+λ2=1．故选C ． 4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC =a ，BD =b ，则AEA ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b 【答案】C【解析】如图所示：∵AC =a ，BD =b ，∴AD AO =+12OD =a +12b ，∴1–2AE AD ED ==a +11–24b b =12a +14b ，故选C ．5．已知点D 是△ABC 所在平面内的一点，且2BD DC =-，设AD AB AC λμ=+，则λ–μ=A ．–6B ．6C ．–3D ．3【答案】C【解析】∵2BD DC =-，∴C 是BD 的中点，∴()AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= –AB +2AC ．∴λ=–1，μ=2，∴λ–μ=–3．故选C ．6．在△ABC 中，D 是AB 边上一点，若AD =3DB ，CD CA CB λμ=+，则λμ的值为 A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】A【解析】∵AD =3DB ，∴34AD AB =，CD CA =+AD CA =+34AB CA =+()34CB CA -=1344CA CB +，又CD CA CB λμ=+，∴131443λλμμ===，，，故选A ．7．在△ABC 中，G 为重心，记AB AC ==，a b ，则CG =A ．1233-a b B ．1233+a b C ．2133-a b D ．2133+a b 【答案】A【解析】设AB 的中点为D ，由12CD =（CA +CB ），G 为重心，得2133CG CD ==（CA +CB ）= 13（–AC +–AB AC ）=13（AB –2AC ）12–33a b ，故选A ．8．下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是A ．a =（0，0），b =（1，–2）B ．a =（–1，2），b =（2，–4）C ．a =（3，5），b =（6，10）D ．a =（2，–3），b =（6，9）【答案】D9．如图，已知CA =a ，CB =b ，AD =2DB ，用a 、b 表示DC 为A ．5233DC =-+a bB ．1123DC =--a bC ．2133DC =--a bD ．1233DC =--a b【答案】D【解析】DC =––CA AD =–2–3CA AB =–2–3CA （–CB CA ）=–21–33CB CA =–12–33a b ，故选D ．10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =x CA +y CB ，则y 等于A ．23B ．13C ．–13D ．–23【答案】A【解析】∵AD =2DB ，∴222–333AD AB CB CA ==，∴13CD CA AD CA =+=+23CB ．∵CD = x CA +y CB ，∴x =13，y =23．故选A ．11．下列四个选项中，哪一个能判断四边形ABCD 是矩形A ．AD BC =B ．AB DC =，|AC |=|BD | C ．AB =2DCD ．12AB CD =，|AC |=|BD | 【答案】B二、填空题12．点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且CE =2DE ，若BE AB AD λμ=+，则λ+μ=__________．【答案】13【解析】如图，∵CE =2DE ，∴23CE CD =，∴BE BC CE AD =+=+23CD AD =+()23AB -∴λ=–23，μ=1，∴13λμ+=，故答案为：13．13．在△ABC 中，AD =4DC ，E 是AB 的中点，记AB =a ，BC =b ，若DE =λ1a +λ2b ，则λ1+λ2=__________． 【答案】310-【解析】如图所示，∵1122AE AB ==a ，4455AD AC ==b ．∴DE DA AE =+=1425-a b ，与 DE =λ1a +λ2b 比较，可得λ1=12，λ2=45-．∴λ1+λ2=1425-=–310．故答案为：310-．14．已知向量a 和b 不共线，实数x ，y 满足()()2452x y x y -+=+-a b a b ，则x +y =__________．【答案】1【解析】∵()()2452x y x y -+=+-a b a b ，∴2524x y x y -=⎧⎨-=⎩，∴两式相减可得x +y =1，故答案为：1．15．已知M 是△ABC 的边BC 上的中点，若AB =a ，AC =b ，则MA =__________．【答案】–12（+a b ） 【解析】如图，以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABDC ，由向量加法的平行四边形法则，得AD AB =+AC =+a b ．由M 是△ABC 的边BC 上的中点知，M 为AD 的中点．所以AD =2AM ，故MA =–AM =–12（+a b ）．故答案为：–12（+a b ）．16．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且12AN NC =，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为__________． 【答案】13【解析】如图，∵12AN NC =，∴13AN AC =，则2293AP mAB AC mAB AN =+=+，又∵B ，P ，N 三点共线，∴213m +=，故得m =13．故答案为：13．17．在△OAB 中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，若AP mOA nOB =+（m ，n ∈R ），则n –m =__________．【答案】1【解析】设OA =a ，OB =b ，由AP AO OP =+=23AO ON +=()13a -++a b =2133-+a b ∵AP mOA nOB AP m n =+==+a b ，∴m =–23，n =13．∴n –m =13+23=1，故答案为1．三、解答题18．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD =a ，AB =b ，试用a ，b 为基底表示DC 、BC 、EF ．【解析】∵AB ∥DC 且AB =2CD ，∴1122DC AB ==b ． 由向量加法的三角形法则，有BC BA =+AD +DC =–b +a +11–22=b a b ． 同理，EF EC =+CB +111–––224BF DC BC AB ==b a ． 19．如图，已知OA 和OB 是不共线向量，AP =t AB （t ∈R ），试用OA 、OB 表示OP ．【解析】OP OA =+AP OA =+t AB =OA +t （–OB OA ）=（1–t ）OA +t OB ． 20．已知△ABC 中，D 是BC 的中点，2AE EB =，AD 和CE 相交于点P ，设AB =a ，AC =b ．（1）用a ，b 表示向量AD ，CE ；（2）若AP AD λ=，求实数λ的值．21．已知1=a e +22e ，b =31e –22e ，求a +b ，–a b 与3a –2b ．【解析】∵1=a e +22e ，b =31e –22e ，∴a +b =（1e +22e ）+（31e –22e ）=41e ，a –b =（1e +22e ）–（31e –22e ）=–21e +42e ，3a –2b =3（1e +22e ）–2（31e –22e ）=（31e +62e ）–（61e –42e ）=–31e +102e ．。

考点31平面向量基本定理及坐标表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【知识点】1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，a －b ＝，λa ＝，|a |＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ ，|AB →|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔ .常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)..【核心题型】题型一　平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形ABC 中，点M 在平面ABC 内，且满足(,)BM BA BC l m l m =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，条件:3P AM MC =uuuu r uuu u r，条件:221Q m l -=，则P 是Q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【变式1】（2024·河北·模拟预测）在边长为1的正三角形ABC 中，13A A DB =uuu u u ru r ，13BE BC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点F ，则CD BF ×=uuu r uuu r（ ）A ．1B ．0C ．12-D ．【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在ABC V 中，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，且13BE BA BC l =+uuu r uuu r uuu r ，AE xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则x y l -=.【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，2AB =，BC =，M 点为BC 的中点，N 点在线段AC 上且13AN AC =，2BN =.(1)求AC ；(2)若点P 为AM 与BN 的交点，求MPN Ð的余弦值.题型二　平面向量的坐标运算(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．【例题2】（2023·广东佛山·二模）已知ABCD Y 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，则顶点D 的坐标为（ ）A ．()1,4B ．()1,5C ．()2,4D ．()2,5【变式1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 内，已知点()()1,1,1,2A AB -=-uuu r ，则OB =uuu r（ ）A ．()2,3-B ．()0,1-C ．()2,3-D ．()0,1【变式2】(多选)（2022·海南·模拟预测）用下列1e u r ，2e u ur 能表示向量()3,2a =r 的是（ ）A ．()16,4e =u r ，()29,6e =u u rB ．()11,2e =-u r，()25,2e =-u u r C ．()13,5e =u r，()26,10e =u u r D ．()12,3e =-u r，()22,3e =-u u r 【变式3】（2023·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点()0,0A ，()4,4B -，()2,6D ．若AC 与BD 的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为,题型三　向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．命题点1　利用向量共线求参数【例题3】（2024·陕西渭南·三模）已知向量()2,m l =r ，()2,4n l =--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数l 的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或4【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =r ，若a b r r ∥，则m =（ ）A ．4或2B ．2-C ．2D ．2或2-【变式2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量()3,4a =r ，()2,b k =r，且()//a b a +r r r ，则实数k = .【变式3】（2023·四川成都·一模）已知向量()sin ,1a x =r，),2b x =-r ，函数()()f x a b a =+×r r r .(1)若//a b r r ，求cos2x 的值；(2)a ，b ，c 为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，2a =，且()12f A =，求ABC V 面积的最大值.命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标【例题4】（2024·全国·模拟预测）已知()4,2M -，()6,4N --，且12MP MN =-uuu r uuuur ，则点P 的坐标为（ ）A ．()1,1B ．()9,1-C ．()2,2-D ．()2,1-【变式1】（2024·江苏南京·二模）已知向量()1,2a =r ，(),3b x x =+r ．若a b rr P ，则x =（ ）A ．6-B ．2-C ．3D ．6【变式2】（2023·山东青岛·一模）已知()0,0O ，()1,2A ，()3,1B -，若向量m OA uuu r r ∥，且mr 与OB uuu r 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m r的坐标为 ．【变式3】（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E ：24y x =的焦点为F ，直线AB ，CD 过F 分别交抛物线E 于点A ，B ，C ，D ，且直线AD ，BC 交x 轴于N ，M ，其中()2,0N ，则M 点坐标为．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE FB ×=uuu r uuu r（ ）A ．B ．12-C ．34D ．122．（2024·河北承德·二模）在ABC V 中，D 为BC 中点，连接AD ，设E 为AD 中点，且,BA x BE y ==uuu r uuu r r r ，则BC =uuu r（ ）A ．42x y+r r B ．4x y-+r r C ．42x y--r r D ．42y x-r r 3．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量(),23a m m =+r ，()1,41b m =+r ，则“34m =-”是“a r 与br 共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（2024·四川·模拟预测）已知向量()2,1a =r ，(),2b x =r ，若//a b r r ，则x =（ ）A ．4B ．2C ．1D ．1-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知向量()(),1,4,2a x b ==r r ，则（ ）A ．若a b r r∥，则2x =B ．若a b ^rr ，则12x =C ．若3x =，则向量a r 与向量b rD ．若=1x -，则向量b r 在向量a r上的投影向量为6．（23-24高三上·山东枣庄·期末）设()1,3m =-r，()1,2n =r ，则（ ）A ．210m n -=r rB ．()2m n m-^r r rC ．若()2m n -r r P ()km n +r r ，则12k =-D ．n r 在m r上的投影向量为12mr 三、填空题7．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA =uuu r ，()3,4OB =-uuu r，点P 在线段AB 上，且1AP =uuu r，则点P 的坐标为 ．8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量()()3,4,3a b m ==r r ，.若向量2a b -r r与a b +r r 共线，则实数m 的值为.9．（2023·河南开封·模拟预测）已知两点(1,2)A -，(2,4)B ，若向量(2,)a m =r与AB uuu r垂直，则m =．四、解答题10．（2024·湖北·二模）如图，O 为坐标原点，F 为抛物线22y x =的焦点，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE EF =；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：2||AD AO AG =×．11．（2022·北京·三模）如图四棱锥P ABCD -中，PAD V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，AB AD ^，222AD AB BC ===，PC =E 为PD 的中点.(1)求证：直线CE ∥平面PAB(2)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.(3)设F 是BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并证明结论.【综合提升练】一、单选题1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量(2,)a t =r，(1,2)b =r ，若当1=t t 时，a b a b ×=×r r r r ，当2=t t 时，a b ^rr ，则（ ）A ．14t =-，21t =-B ．14t =-，21t =C ．14t =，21t =-D ．14t =，21t =2．（2024·山西·模拟预测）已知向量()2,a x =r ，()1,3b =-r ，若a b ∥r r，则a b +=r r （ ）A B ．C ．3D 3．（2024·重庆·三模）已知向量(2,3),(1,21)a b m m ==-+r r ，若//a b rr ，则m =（ ）A ．3B ．18C ．18-D ．5-4．（2024·浙江温州·三模）平面向量()(),2,2,4a m b ==-r r，若()a ab -r r r ∥，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（ ）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rB ．1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r D ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r6．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 满足20BD AD +=uuu r uu r ru ．若3CA =uuu r π4ACD Ð=，则CB =uuu r （ ）A ．4B ．C ．D ．7．（2023·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =uuu r（ ）A ．2133CA CB-+uuur uuu r B ．1526CA CB-uuur uuu r C ．5162CA CB -+uuu r uuu r D ．1233CA CB-+uuur uuu r 8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量()2,3a =-r ，()3,b m =r ，且a b r r∥，则m =（ ）A ．2B ．-2C ．92D ．92-二、多选题9．（2024·江西景德镇·三模）等边ABC V 边长为2，2AD DC =uuu r uuu r ，AE EB =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点F ，则（ ）A ．2133BD BA BC=+uuu r uuu r uuu r B ．12CF CE=uuu r uuu r C ．1BD CE ×=-uuu r uuu rD ．BD uuu r 在BC uuu r 方向上的投影向量为56BCuuur10．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则（ ）A ．1122BO BA BC =+uuu r uuu r uuu r B ．1CB BO ×=uuu r uuu rC ．BP BC ×uuu r uuu r最大值为1D ．B ，O ，P 三点共线时2x y +=11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量()()cos ,sin ,3,4a b q q ==-r r，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若//a b rr ，则4tan 3q =-B ．若a b ^rr ，则3sin 5q =C ．a b -rr 的最大值为6D ．若()0a a b ×-=r r r ，则a b -=rr 三、填空题12．（2022·黑龙江·一模）已知向量()3,4a =-r ，2AB a =uuu r r，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为 ．13．（2020高三上·全国·专题练习）已知向量(),2a x =v ，()2,1b =v ，且//a b v v ，则a =v14．（2023·上海徐汇·三模）函数()ln y x =-沿着向量a r 平移后得到函数()ln 12y x =-+，则向量a r的坐标是.四、解答题15．（2023·吉林·一模）已知向量),cos a x x =r，()cos ,cos b x x =r．(1)若//a b r r且()0,πx Î，求x ；(2)若函数()12=×-r r f x a b ，求()f x 的单调递增区间．16．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量(),,p a c b =-u r()si n si n ,si n si n q C B A B =++r，且p q u r r ∥.(1)求角C ；(2)若c ABC =V ABC V 的周长.17．（2020·山东济宁·模拟预测）已知向量()1,1a =r，()2,b m =r ，R m Î．(1)若//a b r r，求m 的值；(2)若a b ^r r，求m 的值；(3)若a r 与b r夹角为锐角，求m 的取值范围．18．（2023·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos2c a A B b A A B =-£．(1)求A ；(2)若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()sin cos sin A A C C a=+，2c =.(1)求B ；(2)D 为AC 的中点，234BD BC =,求ABC V 的面积.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）已知向量()2,1AB =-uuu r ，()3,2AC =uuu r ，点()1,2C -，则点B 的坐标为（ ）A ．()2,1--B ．()0,5C ．()2,5-D ．()2,1-2．（2024·山东济南·一模）已知(),1a m =r ，()31,2b m =-r ，若//a b r r ，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．23D ．23-3．（2024·陕西榆林·二模）若向量()()0,1,,2,AB CD m AB ==-uuu r uuu r uuu r P CD uuu r ，则m =（ ）A ．1-B ．2C ．1D ．04．（2024·全国·模拟预测）已知O 为平面直角坐标系的原点，向量(1,3),(2,1),(1,2)OA AB AP ==--=-uuu r uuu r uuu r ，设M 是直线OP 上的动点，当MA MB ×uuu r uuu r 取得最小值时，OM =uuuu r （ ）A ．11,2æöç÷èøB ．11,2æö--ç÷èøC ．(2,1)D ．(2,1)--二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知向量(1,2),(2,1)a b ==-r r .若()//()xa b a xb --r r r r ，则x =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量a r ，b r ，c r 为非零向量，下列说法正确的有（ ）A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．已知向量()1,2a =r ，()23,2a b +=r r ，则()1,2b =r C ．若a b a c ×=×r r r r ，则b r 和c r 在a r 上的投影向量相等D ．已知2AB a b =+uu r u r r ，56BC a b =-+uuu r r r ，72CD a b =-uuu r r r ，则点A ，B ，D 一定共线三、填空题7．（2024·山东潍坊·三模）已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c l ==-=r r r ，若()20c a b ×+=r r r ，则实数l =8．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知向量()1,1a =-r ，()2,1b =r ，则()a ab ×-=r r r 9．（2023·上海普陀·二模）设x 、R y Î，若向量a r ，b r ，c r 满足(,1)a x =r ，(2,)b y =r ，(1,1)c =r ，且向量a b -r r 与cr 互相平行，则||2||a b +r r 的最小值为 ．四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数2()cos 2sin 2f x x x x p æö=-+ç÷èø，在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3f A =．(1)求角A ；(2)若b =3，c =2，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点，求AD 的长度．11．（2023·江苏·三模）已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.。

2-3-1平面向量基本定理一、选择题1．如上图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ [答案] B[解析] AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )A ．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对C ．若有实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2不一定存在[答案] C[解析] 选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1，e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1，λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确．3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形[答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，即AD →＝2BC →，∴AD ∥BC 且AD ≠BC ，故选C.4．e 1，e 2为基底向量，已知向量AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →＝3e 1－3e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值是( )A ．2B ．－3C ．－2D ．3 [答案] A[解析] DB →＝CB →－CD →＝－e 1＋2e 2，又A 、B 、D 三点共线，则DB →和AB →是共线向量，∴e 1－k e 2＝λ(－e 1＋2e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝1－k ＝2λ，解得k ＝2.5．已知OA →＝a ，OB →＝b ，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则用a ，b 表示OD →为( )A.19(4a ＋5b ) B.116(9a ＋7b ) C.13(2a ＋b ) D.14(3a ＋b ) [答案] A[解析] 利用向量加法和减法的几何意义和平面向量基本定理求解．∵OD →＝OA →＋AD →，AD →＝AC →＋CD → ＝13AB →＋13CB →＝13AB →＋29AB →＝59AB →. 而AB →＝b －a ，∴AD →＝59b －59a ，∴OD →＝OA →＋AD →＝a ＋(59b －59a )＝49a ＋59b .6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.13a ＋23bC.12a ＋14bD.23a ＋13b [答案] D[解析] ∵AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .7．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23B.43 C ．－3 D ．0 [答案] D[解析] ∵CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →.∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →. 又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.8．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30° [答案] B[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形．∴a 与b 的夹角为120°.9．如右图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0[答案] B[解析] 如图所示，利用平行四边形法则将OP →分解到OP 1→和OP 2→上，有OP →＝OA →＋OB →，则OA →＝mOP 1→，OB →＝nOP 2→，很明显OA →与OP 1→方向相同，则m >0； OB →与OP 2→方向相反，则n <0.10．(2011～2012·合肥市)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 [答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 二、填空题11．向量a 与b 的夹角为25°，则2a 与－32b 的夹角θ＝________.[答案] 155°[解析] 作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝25°，如图所示．延长OA 到C ，使OA ＝AC ，则OC →＝2a . 延长BO 到D ，使OD ＝32BO ，则OD →＝－32b .则θ＝∠DOA ，又∠DOA ＋∠AOB ＝180°，则∠DOA ＝180°－25°＝155°，则θ＝155°.12．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋(1－52k )e 2与b＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________.[答案] －2或13[解析] 由题设知k 22＝1－52k 3，∴3k 2＋5k －2＝0.解得k ＝－2或13.13．已知向量a 和向量b 不共线，且m ＋n ＝a ，m －n ＝b ，则m ＝________，n ＝________.(用a ，b 表示)[答案] a ＋b 2 a －b2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝a ，m －n ＝b ，得m ＝a ＋b 2，n ＝a －b214．(能力拔高题)如右图所示，OA →，OB →不共线，AP →＝tAB →(t ∈R )，用OA →，OB →表示OP →＝________.[答案] (1－t )OA →＋tOB →[解析] ∵AP →＝tAB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tAB →＝OA →＋t (OB →－OA →)＝OA →＋tOB →－tOA→＝(1－t )OA →＋tOB →.三、解答题15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示DC →，BC →，MN →.[分析] 由于DC ∥AB ，则DC →∥a ，DC →＝λa ；构造三角形和平行四边形，使a 和b 作为其边，利用向量加法、减法的运算法则来解决．[解析] 如右图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形． 则DC →＝AN →＝12AB →＝12a ，BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD →＝－AD →－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12AB →＝14a －b .[点评] 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决．16．在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点.AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .求证：B ，E ，F 三点共线．[分析] 利用基底表示出BE →，BF →，然后求证BE →＝λBF →，得出三点共线．[证明] 因为D 是BC 的中点，所以有AD →＝12(a ＋b )． AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b . BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )． BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )． 所以BE →＝23BF →，又BE →、BF →有公共点B ， 所以B 、E 、F 三点共线．[点评] 巧证三点共线．17．已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．[解析] 如右图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝120°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为等腰三角形，所以∠OAB ＝30°即a －b 与a 的夹角为30°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝60°，即a ＋b 与a 的夹角为60°.18．设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．[解析] 如右图，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ， PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b . [点拨] 本题事实上是平面向量基本定理的应用，由于AB →，AC →不共线，所以平面内的所有向量都可以用它们作基底来表示，用若干向量表示其他向量时，常用到相等向量和向量加法的三角形法则等．。