10含参数不等式、不等式与方程.学生版

含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。

解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。

例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。

解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。

当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。

若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。

当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

不等式与一元二次函数复习题目录I本章知识思维导图 2 II典型题型 3题型一：不等式的性质及应用 3题型二：利用不等式求值或范围 3题型三：利用基本不等式求最值 4题型四：证明不等式 5题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法 7题型六：由一元二次不等式的解确定参数 8题型七：不等式在实际问题中的应用 9题型八：恒成立与有解问题 10 III数学思想方法 12①分类讨论思想 12②转化与化归思想 12③数形结合思想 13I本章知识思维导图II典型题型题型一：不等式的性质及应用【例1】(2024·高一·福建福州·阶段练习)已知-b<a<0，则下列不等式中正确的是()A.1a>1b B.a2>b2 C.1a-b>1a D.|a|>b【例2】(2024·高一·上海·课堂例题)如果a<b<0，那么下列不等式中成立的是()A.ab<1； B.a2>ab； C.1b2<1a2； D.1a<1b.【例3】(2024·高一·福建泉州·期中)若a,b,c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是()A.ac2>bc2B.1a<1b C.c2a-b>0 D.a-bc2≥0【例4】(2024·高一·全国·单元测试)下列说法错误的是()A.若ac2>bc2，则a>b B.若a2>b2,ab>0，则1a<1bC.若a>b,c<d，则a-c>b-dD.若-1<a<5,2<b<3，则-3<ab<15【例5】(2024·高一·上海杨浦·期中)设a,b,c为实数，则下列命题为真命题的是( ).A.若a>b，则a+c>b+cB.若a>b，则ac>bcC.若1a<1b，则a>b D.若a2>b2，则a>b题型二：利用不等式求值或范围【例6】(2024·高一·山东·专题练习)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则下列结论错误的是()A.a+b的取值范围为4,7B.b-a的取值范围为2,3C.ab的取值范围为3,10D.ab取值范围为15,23【例7】(2024·高一·全国·课后作业)已知2<a<3,-2<b<-1，则2a-b的取值范围是()A.2a-b|6≤2a-b≤7B.2a-b|2<2a-b<5C.2a-b|4≤2a-b≤7D.2a-b|5<2a-b<8【例8】(2024·高一·全国·单元测试)已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2，则4a-2b的取值范围是()A.-4,10B.-3,6C.-2,14D.-2,10【例9】(2024·高一·全国·假期作业)已知1<a<3,3<b<6，则b2a的取值范围为()A.32<b2a<1 B.2<b2a<6 C.1<b2a<6 D.12<b2a<3【例10】(2024·高一·山东菏泽·阶段练习)已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-2y的取值范围是()A.2≤3x-2y≤8B.3≤3x-2y≤8C.2≤3x-2y≤7D.5≤3x-2y≤10题型三：利用基本不等式求最值【例11】(2024·高一·广西·开学考试)已知a>0,b>0，且2a+1b=1，则2a+b的最小值是.【例12】(2024·高一·广东河源·阶段练习)若正数x，y满足1x+8y=1，则x+2y的最小值为．【例13】(2024·高一·天津·期末)若实数a>1，b>2，且满足2a+b-5=0，则1a-1+1b-2的最小值为.【例14】(2024·高一·天津滨海新·阶段练习)已知函数y=x-4+9x+1(x>-1)，当x=a时，y取得最小值b，则a=；b=．【例15】(2024·高一·辽宁·阶段练习)已知实数a、b满足：9a2+b2+4ab=10.(1)求ab和3a+b的最大值；(2)求9a2+b2的最小值和最大值.【例16】(2024·高一·江苏·开学考试)(1)求函数y=x2+x+1x(x<0)的最大值；(2)求函数y=x+5x+2x+1(x>-1)的最小值；(3)若x,y∈0,+∞，且x+4y=1，求1x+1y的最小值.【例17】(2024·高一·天津滨海新·阶段练习)(1)若0<x<4，求y=x12-3x的最大值；(2)求y=x2+6x+12x+3在x>-3时的最小值．(3)已知x>0,y>0，且x+y+3=xy，求x+y的最小值．(4)已知正数a,b,c满足a+b+c=2．求ab+bc的最大值．【例18】(2024·高三·全国·专题练习)(1)当x>3时，求函数y=x+8x-3的最小值；(2)当x<32时，求函数y=x+82x-3的最大值；(3)当x>-1时，求函数y=x2+2x+3x+1的最小值；(4)当x>-1时，求函数y=x2+2x+3x2+1的最大值；(5)设x>-1，求函数y=x+5x+2x+1的值域．(6)①当x>32时，求函数y=44x2-34x2+1的最大值；②求函数y=x2+13x2+4的最大值；题型四：证明不等式【例19】已知实数0<a<b，求证：a<2aba+b<ab<a+b2<a2+b22<b．【例20】(2024·高一·上海·单元测试)(1)已知a、b是任意实数，求证：a4+b4≥a3b+ab3，并指出等号成立的条件；(2)已知a>0，b>0，求证：a2b12+b2a 12≥a12+b12．【例21】(2024·高一·河南新乡·阶段练习)选用恰当的证明方法，证明下列不等式.(1)已知x ,y 均为正数，且x +y =1，求证：4x +9y≥25；(2)已知a >b >0，求证：a 3+b 3>ab 2+a 2b .【例22】(2024·高一·上海浦东新·期中)若实数x 、y 、m 满足x -m >y -m ，则称x 比y 远离m ．(1)若x 2-1比1远离0，求x 的取值范围；(2)对任意正数a ，b ，证明：a +b a 2+b 2 a 3+b 3 ≥8a 3b 3；(3)对任意两个不相等的正数a ，b ，证明：a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab ab ．【例23】(2024·高一·云南昆明·期中)基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题．(1)已知x ，y ∈R ，证明x 2+y 2≥2xy ；(2)已知x ，y ，a ，b ∈R ，证明(x 2+y 2)(a 2+b 2)≥(ax +by )2，并指出等号成立的条件；(3)已知x ，y ，a ，b >0，证明：x 2a +y 2b ≥(x +y )2a +b，并指出等号成立的条件.(4)应用(2)(3)两个结论解决以下两个问题：①已知a 2+4b 2=2，证明：-2≤a +2b ≤2；②已知a ，b >0，且a +b =1，求12a +ab +1的最小值.【例24】(2024·高一·江西·阶段练习)(1)设M =x +7 x +8 ，N =x +6 x +9 ，比较M ，N 的大小；(2)若a <b <0<c <d ，根据性质“如果p >q >0，r >s >0，那么pr >qs ”，证明：ad +c <bc +d .题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法【例25】(2024·高一·江苏淮安·开学考试)解不等式(1)x2+4x-5<0；(2)x2-x+14>0(3)x-22x+3≤0；(4)3-2x≤5【例26】(2024·高一·河南驻马店·开学考试)解下列不等式(1)x2-3x-10>0(2)x+12-x≥-2(3)x-1+x-3>4【例27】(2024·高一·河南驻马店·开学考试)已知函数y=x2-(a+2)x+2a，a∈R．(1)解关于x的不等式y<0；(2)若方程x2-(a+2)x+2a=x+1有两个正实数根x1，x2，求|x1-x2|的最小值．【例28】(2024·高一·北京石景山·期中)求下列关于x的不等式的解集：(1)4x-1+1≤0；(2)ax2-2≥2x-ax a∈R【例29】(2024·高一·上海·单元测试)解关于x的不等式(组)．(1)2x-1≤51x-1≤1 ;(2)mx2+m-2x-2>0．【例30】(2024·高一·上海·随堂练习)解关于x的不等式x-a-1x-2a>-1a∈R．【例31】(2024·高一·上海·随堂练习)解下列关于x的不等式：(1)x2-2ax≤-a2+1；(2)ax-1x-2≥0(a>0)．【例32】(2024·高一·广东深圳·期末)(1)若ax 2+2ax -1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求关于x 的不等式x 2+ax -a ≥0的解集.题型六：由一元二次不等式的解确定参数【例33】(2024·高一·河北石家庄·开学考试)已知不等式x 2+bx +c <0的解集为{x |-2<x <1}，则b =，c =【例34】(2024·高二·陕西宝鸡·期末)若关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为(1,2)，则关于x 的不等式ax +b x -1-a +c >0的解集为.【例35】(2024·高二·福建龙岩·阶段练习)若不等式x 2-ax -b <0的解集为x |-3<x <2 ，则a +b =．【例36】(2024·高一·上海·随堂练习)已知不等式ax 2+bx +1>0的解集为x -12<x <13，则a +b =，此时不等式ax +3x -b≤0的解集为．【例37】(2024·高一·安徽安庆·期末)已知关于x 的不等式ax 2+bx >c x -2 的解集为x 1<x <3 ，则关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为．【例38】(2024·高一·江西萍乡·期末)已知关于x 的一元二次不等式mx 2-2x +1<0的解集为a ,b ，则3a +b 的最小值为．【例39】(2024·高一·广东潮州·期中)若关于x 的不等式x 2+(2m -1)x +m 2-m >0的解集为{x |x <3或x>4}，则m 的值为.题型七：不等式在实际问题中的应用【例40】(2024·高一·全国·课后作业)经观测，某公路在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y=900vv2+5v+1000v>0．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？【例41】(2024·高一·上海·随堂练习)甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且x≠y；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？【例42】(2024·高一·上海·随堂练习)有一批材料，可以建成长为240m的围墙，如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可以取得最大面积？【例43】(2024·高一·江苏徐州·期中)如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为450dm2，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为1dm，两个宣传栏之间的空隙的宽度为2dm，设海报纸的长和宽分别为xdm,ydm(1)求y关于x的函数表达式(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少?【例44】(2024·高一·湖北黄冈·期中)小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片ABCD(其中AB>AD)的周长为202cm.他把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.他在思索一个问题：如果改变AB的长度(周长保持不变)，△ADP的面积是否存在最大值?请帮他确定△ADP的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由?【例45】(2024·高一·广东阳江·阶段练习)10辆货车从A站匀速驶往相距10000千米的B站，其时速都是v千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于k2v2千米(k为常数，k>0，货车长度忽略不计).(1)将第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间t表示成v的函数；(2)当v取何值时，t有最小值.【例46】(2024·高一·江苏·期中)某学校准备购买手套和帽子用于奖励在秋季运动会中获奖的运动员，其中手套的单价为x元，帽子的单价为y元，且0<x<y.现有两种购买方案(0<a<b).方案一：手套的购买数量为a件，帽子的购买数量为b个；方案二：手套的购买数量为b件，帽子的购买数量为a个；(1)采用方案一需花费S1，采用方案二需花费S2，试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由；(2)若a，b，x，y满足y=2x-2x-4，b=3a+72a+3，求这两种方案花费的差值S的最小值.(注：差值S=S1-S2)题型八：恒成立与有解问题【例47】(2024·高一·辽宁·阶段练习)根据要求完成下列问题：(1)解关于x的不等式(m+1)x2-2mx+m-1≥0(m∈R)；(2)若不等式(m+1)x2-(m-1)x+m-1≥0(m∈R)对任意x∈-12,1 2恒成立，求实数m的取值范围.11数学是打开科学大门的钥匙//邦达数学高一讲义宝剑锋从磨砺出【例48】(2024·高一·上海·随堂练习)已知等式2x 2+3x +5=a 2x +1 x +1 +c 恒成立，求常数a 、c 的值．【例49】(2024·高一·上海·随堂练习)关于x 的不等式3x 2-14x +m ≤0在区间1,3 上恒成立，求实数m 的取值范围．【例50】(2024·高一·全国·阶段练习)已知x >0，y >0，且x +y =2.(1)求1x +9y的最小值；(2)若4x +1-mxy ≥0恒成立，求m 的最大值.【例51】(2024·高一·山东济南·期中)(1)对任意-1≤x ≤1，函数y =x 2+a -4 x +4-2a 的值恒大于0，求实数a 的取值范围；(2)不等式x 2+8y 2≥λy x +y 对于任意的x ,y ∈R 恒成立，求实数λ的取值范围．【例52】(2024·高一·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习)若对任意x >0，a ≥3xx 2-3x +3恒成立，求a 的取值范围．【例53】(2024·高三·全国·专题练习)已知关于x 的不等式ax 2-3x +2>0的解集为x |x <1 或x >b .(1)求a ，b 的值；(2)当x >0，y >0且满足a x +by=1时，有2x +y ≥k 2+k +2恒成立，求k 的取值范围.【例54】(2024·高一·河南省直辖县级单位·阶段练习)设函数y =ax 2+b -2 x +3(1)若不等式ax 2+b -2 x +3>0的解集为x -1<x <1 ，实数a ，b 的值；(2)若该函数过点1,2 ，且y >1对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.12越努力越幸运//邦达数学高一讲义梅花香自苦寒来III 数学思想方法①分类讨论思想【例55】(2024·江苏南通·高一海门市第一中学校联考期中)关于x 的不等式x 2-ax -12a 2<0任意两个解得差不超过14，则a 的最大值与最小值的差是()A.3B.4C.5D.6【例56】(2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习)“0<a +b ≤4”是“ab ≤4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【例57】(2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习)对于任意实数x ，不等式a -2 x 2-2a -2 x -4<0恒成立，则实数a 取值范围是()A.-2<a ≤2B.-2<a <2C.0<a <2D.-2<a <0【例58】(2024·高一课时练习)若关于x 的不等式x 2-a +1 x +a <0的解中，恰有3个整数，则实数a 应满足()A.4<a <5B.-3<a <-2或4<a <5C.4<a ≤5D.-3≤a <-2或4<a ≤5②转化与化归思想【例59】(2024·浙江·高二校联考开学考试)已知b >a >0，2a +b =ab ，则42a -1+1b -2的最小值为()A.94 B.74C.73D.53【例60】(2024·全国·高一专题练习)如果0<a <b ，那么下列不等式正确的是()A.ab <a +b2<a <b B.a <ab <a +b2<b C.ab <a <a +b2<bD.a <a +b2<ab <b13数学是打开科学大门的钥匙//邦达数学高一讲义宝剑锋从磨砺出【例61】(2024·陕西西安·高二校考期中)已知a >0，b >0则1+a 2b 2ab的最小值是( )．A.2B.3C.4D.5【例62】(2024·全国·高三专题练习)已知p ，q ∈R ，p 3+q 3=2，则下列中正确的是()A.p +q <2B.p +q ≥2C.p +q ≤2D.p +q >2③数形结合思想【例63】(2024·山东临沂·高一校考开学考试)(1)解不等式x +2 x -3 <0(2)解分式不等式x +2x -3>0【例64】(2024·广西桂林·高二校考期中)求下列不等式的解集：(1)-x 2+3x +2<6x -2；(2)2x +1 x -3 >3x 2+2【例65】(2024·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习)已知实数x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-m +1 x +2m -1=0的两个根，满足1x 1+1x 2<4，求实数m 的取值集合.【例66】(2024·安徽淮南·高一校联考阶段练习)初一(2)班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形ABCD 的周长为8cm ，其中较长边AD 为xcm ，将△BCD 沿BD 向△ABD 折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．(1)用x 表示图1中△BAE 的面积；(2)郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角(如图2阴影部分)利用镀金工艺双面上色(厚度忽略不计)．已知镀金工艺是2元/cm 2，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用．。

含参数一元二次不等式的解法我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或（其中均为常数，）.解含参一元二次不等式的相关问题对于基础薄弱的同学来说是一个难点.为了帮助这些同学解决此类问题，本文将相关解题方法进行简化、总结，帮助同学们理解和学习.下面我们通过例举进行具体的分析说明.类型一解二次项前不带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键在于通过比较两根的大小，确定参数讨论的界限，进而解出的取值范围.例1 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可解出的取值范围.解：原不等式等价于，所对应方程的两根是当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .2、对应方程（其中均为常数，）不能进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程不能进行因式分解，则分类讨论的关键在于判别式，此时根据判别式确定参数讨论的界限，解出的取值范围.例2 解关于的不等式 .分析：对应方程不能进行因式分解，此时根据判别式确定参数讨论的界限，求出的取值范围.解：原不等式对应方程的判别式为（1）当，时，的两根为或，不等式的解集为 .（2）当，时，的根为，不等式的解集为 .1.当，时, 不等式的解集为 .综上所述：当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .类型二解二次项前带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键仍然在于通过比较两根的大小确定参数讨论的界限. 另外，需要注意的问题是二次项前带参数与二次项前不带参数不同，参数的范围决定对应二次函数的开口方向，影响对应一元二次不等式的解集.例3 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可确定参数讨论的界限，根据参数的不同取值范围，求出不等式相应解集。

含参方程与不等式求解在数学中，含参方程与不等式是常见的数学问题类型，需要通过一定的方法来解决。

本文将介绍含参方程与不等式的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识点。

一、含参方程的求解方法含参方程是指方程中含有未知参数的方程，通过改变参数的值可以得到不同的解。

常见的含参方程有一元一次方程、一元二次方程等。

1. 一元一次方程的求解方法一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x 为未知数。

将方程进行变形，可得到x = -b/a。

根据这个公式，可以通过给定的参数值计算出方程的解。

举例说明：对于方程3x + 5 = 0，将参数3代入公式中，可得到x = -5/3。

同理，对于参数为2的情况，解为x = -5/2。

2. 一元二次方程的求解方法一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。

通过求解方程的根可以得到方程的解。

常用的求解一元二次方程的方法有公式法和配方法。

公式法：根据一元二次方程的求解公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以通过给定的参数值计算出方程的解。

配方法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过将其转化为完全平方的形式来求解。

具体的配方法需要根据具体的方程形式进行操作。

举例说明：对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，根据公式法，可以得到x = -1和x = -2为其解。

二、含参不等式的求解方法含参不等式是指不等式中含有未知参数的不等式，通过改变参数的值可以得到不同的解。

常见的含参不等式有一元一次不等式、一元二次不等式等。

1. 一元一次不等式的求解方法一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0（或<、≥、≤），其中a和b为已知常数，x为未知数。

通过确定不等式的区间可以得到不等式的解。

举例说明：对于不等式3x + 5 > 0，当参数3代入时，解为x > -5/3；当参数2代入时，解为x > -5/2。

含参数的方程、不等式的问题解题策略含参数的方程、不等式的问题是历年高考常考的题型，由于含有参数对很多同学来说感到困难重重，一重困难是选择什么样的解题方法（如2012年山东卷第12题)，二重困难是含参数问题涉及到的分类讨论(如2017年全国卷1第21题)，根据我多年的研究发现，（1）这类题目解题方法有规可循，基本方法有：分离参数构建函数，不分离参数构建函数，半分离参数构建函数，总之，如何构建函数是解题的关键。

（2）很多求参数取值范围的问题，其实有时可以避开分类讨论这个陷阱。

本文就结合实例谈谈这类问题的求解策略。

一、分离参数构建函数：若方程或不等式中的参数容易分离出来，即参数分离 在方程或不等式的一边，另一边是关于自变量的函数，分离后的函数不复杂，容易求出导函数，容易研究函数的性质，就选择分离参数法构建函数。

例1（2017年全国高考卷1第21题）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+-- 若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.分析：2f(x)=ae (-2)e x x a x +-有两个零点，转化为方程2(2)0x x ae a e x +--=有两个根先分离参数22a x x x e x e e +=+，令222(1)(21)()g ()(1)x x x x x x x e x e x e g x x e e e e +-+-+'==++，设1x h x -+（x)=-e ，则()h x 递减，(0)0h =当(,0)x ∈-∞时()0h x > ()0g x '∴>()g x ∴递增，当(0,)x ∈+∞时，()0,()0,()h x g x g x '<∴<∴递减，所以当x →+∞时()0g x →,当x →-∞时，g(x)-→∞如图01a ∴<<评析：查阅高考评分标准，看出对参数a>0共分了三种情况讨论：（1）a=1（2）a>1（3）0<a<1，其中0<a<1时，要用函数零点的判定定理，找区间端点时非常困难，绝大多数同学完成不了。

方程与不等式姓名【定义及一般形式应用】1. 判定方程的类型2. 判定字母系数的取值范围方法：第一步：化为一般形式；第二步：从下面4个方面去进行判定：1．等式、不等式；2．整式、分式；3．元；4．次。

重点关注“次”的判定。

1. 若b 2x+(a-1)x 2+c=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．b≠0B ．a≠0C ．c≠0D ． a≠12. 已知（m 2-3m+2）x m2-5m+6+3x+5=0是关于x 的一元二次方程，则m=_______．3．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .【解和解法】解法步骤：第一步：判定方程还是不等式；第二步：判定是否含参数；第三步：①若不含参数，判定方程的类型或不等式的类型，根据每种类型进行解题；②若含参数，根据参数的位置，分类讨论；核心思想：转化转化方法：“多元消元，高次降次”具体操作： 消元：代入消元、加减消元降次：利用题干中的等式，利用韦达定理1、已知3是关于x 的方程2x －a=1的解,则a 的值是( )A.－5B.5C.7D.22、（2011枣庄）已知2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组7,1ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．33、解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.03,04222xy x y x4、（2011福建泉州）已知x 、y 满足方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩则x －y 的值为 .5、选用合适的方法解下列方程：22)21()3(x x -=+；6、2011湖北）关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解为正数，则m 的取值范围是 . 7、不等式组21511x x +<⎧⎨+≥-⎩的整数解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、（2011湖北）若关于x ，y 的二元一次方程组3133x y a x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足2x y +＜，则a 的取值范围为______．9、若方程组⎩⎨⎧-=--=+323a y x y x 的解是负数，那么a 的取值范围是 ． 10、已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．【一元二次方程根的判别式及根与系数的关系】一、根的判别式用法：△＞0时，两个不等实根；△=0时，两个相等实根；△＜0时，无实数根应用1．不解方程，判定根的情况；2．证明根的情况；3．根据根的情况，求字母的取值范围或证明字母之间的关系二、韦达定理：如果的两个根是x1、x2，那么应用：1．求方程的两根之和与两根之积2．已知一个根，求另一个根及字母系数3．计算与两根有关的代数式的值4．根据已知两根，写出一元二次方程5．不解方程，由已知方程，写出新方程6．验根7．已知两数和与积，求这两个数1、已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根为2,则m=_____,另一根是_______.2、若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .3、（2011湖北）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是4、（2011苏州）已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a ＋b －2）＋ab 的值等于________.5、已知α≠β，并且α2+3α-7=0 ， β2+3β-7=0 ，试求βααβ+的值．6、（2011南充市）关于的一元二次方程x 2+2x +k +1=0的实数解是x 1和x 2。

第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。

含参数一元一次不等式【精】1、不等式 $ax>b$ 的解集是 $x>b/a$，则 $a$ 的取值范围是 $a>0$。

2、不等式 $(a-1)x>1-a$ 的解为 $x>-1$，则 $a$ 的取值范围是 $a<1$。

3、已知关于 $x$ 的不等式 $(1-a)x>2$ 的解集为 $x<2/(1-a)$，则 $a$ 的取值范围是 $a<1$。

4、不等式 $mx-2(m-6)/3$。

5、如果关于 $x$ 的不等式 $(a-1)x>a+5$ 和 $2x<4$ 的解集相同，则 $a$ 的值为 $-3$。

6、已知关于 $x$ 的不等式 $(4a-3b)x>2b-a$ 的解集是 $x<-2/(4a-3b)$。

9、已知 $-4$ 是不等式 $ax>-5$ 的解集中的一个值，求$a$ 的取值范围。

答案为 $a<5/4$。

10、若不等式组 $\begin{cases} x>m \\ x<2 \end{cases}$ 有解，那么 $m$ 的取值范围是 $m<2$。

11、如果不等式组 $\begin{cases} x>m \\ x<8\end{cases}$ 无解，那么 $m$ 的取值范围是 $m\geq 8$。

12、如果不等式组 $\begin{cases} -x+2<x-6 \\ x-6<2x-1\end{cases}$ 有解，则 $m$ 的取值范围是 $m<2$。

14、不等式组 $\begin{cases} x\leq a \\ x>a+1\end{cases}$ 无解，则 $a$ 的取值范围是 $a\leq -1$。

15、若不等式组 $\begin{cases} 3x+23$，则 $m$ 的取值范围是 $m\leq 2$。

17、不等式组 $a+2x>x/3$ 无解，则 $a$ 的取值范围是$a\geq 1$。

不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。