含参数不等式解法练习题

高一数学知识点专题练习高一数学知识点专题练习含参数的二次不等式解法专练一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次不等式的恒成立问题的求解，解题的关键是熟练应用二次函数的性质．分“当时“，“当时“两种情况讨论，综合可求k的范围．【解答】解：当时，不等式可化为，显然恒成立；当时，若不等式恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点，则，解得：，综上k的取值范围是．故选C．2.函数的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，属于中档题．本题易忘记讨论的情况导致漏解．【解答】3.不等式的解集为，则m的取值范围A. B.C. D. 或【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，属于基础题．关于x的不等式的解集为，可转化成不等式恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．【解答】解：关于x的不等式的解集为，不等式恒成立，当，即时，不等式化为，解得，不是对任意恒成立，当时，即时，，使，即且，化简得：，解得或，应取，综上，实数m的取值范围是．故选B．4.不等式对恒成立，则a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查恒成立问题，考查导数知识的综合运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最大值，问题得以解决．学_科网【解答】解：对恒成立，，设，，令，解得，函数单调递增，，解得，函数单调递减，，，故选B．5.已知关于x的不等式对任意恒成立，则k的取值范围是A. B. C. 或 D. 或【答案】A对k进行分类讨论，当时恒成立，时不等式不能恒成立，当时，只需求得k的范围，最后综合得到答案．本题主要考查了二次函数的性质考查了学生分类讨论思想，数形结合思想以及不等式的相关知识．6.关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、分离参数法，考查了等价转化能力，是综合性题目．【解答】解：关于x的不等式在区间上有解，等价于，，设，，则函数在单调递减，且当时，函数取得最大值．所以实数a的取值范围是．故选A．7.如果关于x的不等式的解集是，那么等于A. B. 81 C. D. 64【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解集的计算以及指数的计算问题，属于基础题目根据跟与系数的关系可以得到a，b的值．学_科网【解答】解：不等式可化为，其解集是，那么，由根与系数的关系得，解得，；所以．故选B．8.若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式与对应方程根的应用问题，是基础题目．由已知得方程有实数根，，由此求出a的取值范围．9.设函数是定义在上的增函数，实数a使得对于任意都成立，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：法一：由条件得对于恒成立令，只需在上的最小值大于0即可．．当，即时，，，故；当，即时，，，故；当，即时，，满足，故．综上．法二：由得，，，当时，恒成立，此时；当时，恒成立．求当时，函数的最小值．令，则，而函数是上的减函数，所以当且仅当，即时，．故要使不等式在上恒成立，只需，由得．故选：A解法一：由条件得对于恒成立，令，只需在上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由，得，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键注意要利用分类讨论的数学思想．10.x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集得出，再化简不等式，求出它的解集即可．本题考查了一元一次不等式与一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．【解答】解：关于x的不等式的解集是，即不等式的解集是，；不等式可化为，解得，该不等式的解集是．故选：C．11.已知不等式的解集为A，不等式的解集是B，是不等式的解集，则A. B. C. 1 D. 5【答案】A【解析】解：不等式的解集为，不等式的解集是，所以，所以不等式的解集为，所以，；．故选：A．求出不等式的解集A、B，计算，再由根与系数的关系求出a、b的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的关系与应用问题，是基础题目．12.若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令，，，关于x的不等式在区间上恒成立，转化为关于x的不等式在区间上恒成立，，当时，，所以，故选：C．本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质，考查换元思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数与x轴交于，两点，则关于x的不等式的解集是______ ．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，考查解不等式问题，是一道基础题．根据二次函数的性质得到，解出即可．【解答】解：二次函数与x轴交于，两点，，，即，解得：，不等式的解集是，故答案为．14.已知函数的定义域为R，值域为，则实数a的取值集合为______ ．【答案】本题考查了函数的值域和函数图象的关系，函数定义域为即被开方数非负恒成立，利用抛物线图象即可求解．15.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：依题意，当时，恒成立．当时，；当时，即，解之得．故答案为．利用该函数的被开方数大于等于零得出该函数有意义需满足的不等式，结合恒成立问题得出字母m满足的不等式本题考查偶次根式的定义域的求解，考查不等式恒成立问题的解决办法，关键要进行等价转化．16.关于t的不等式有解，则实数m的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：关于t的不等式有解，，解得，实数m的取值范围是．故答案为：．根据一元二次不等式与二次函数的关系，利用判别式列出不等式求出m的取值范围．本题考查了一元二次不等式与二次函数的关系和应用问题，是基础题目．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知函数在区间上有最大值1和最小值．求a，b的值；若在区间上，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：，，函数的图象开口向上，对称轴为，在上递减；，且，．等价于，即，要使此不等式在上恒成立，只需使函数在上的最小值大于0即可．在上单调递减，，由得，．因此满足条件的实数m的取值范围是．【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．函数图象开口向上，对称轴，故在递减；进而根据在区间上有最大值1和最小值，可得a，b的值；若在区间上，不等式恒成立，函数在上的最小值大于0，进而可得实数m的取值范围．18.已知不等式的解集为A，不等式的解集为B．求；若不等式的解集为，求a、b的值．【答案】解：，，解得：，，，，解得：，，；由得：，2为方程的两根，，．【解析】通过解不等式求出集合A、B，从而求出即可；问题转化为，2为方程的两根，得到关于a，b的方程组，解出即可．本题考查了不等式的解法，考查集合的运算，是一道基础题．19.已知不等式的解集为或．Ⅰ求a，b的值；Ⅱ解不等式．【答案】解：Ⅰ由题知1和2是方程式的根，由根与系数关系得，解得，．Ⅱ方程两根为，，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为．【解析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的解的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．Ⅰ由一元二次不等式与对应方程的关系，结合根与系数关系，即可求出a、b的值；Ⅱ根据方程的两根，讨论m的值，即可求出对应不等式的解集．20.已知函数．若，求的值域；当时，解方程；若对于任意的实数x，都有恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：时，分母，故即函数的值域为；时，，则或1即的根为，1．由题意恒成立，恒成立，只要恒成立即可，即恒成立当时，恒成立，符合题意当时，．综上所述：．【解析】将的值带入，从而求出函数的值域即可；将带入，令，解方程即可；问题转化为恒成立，通过讨论a的符号，结合二次函数的性质求出a的范围即可．本题考查了求函数的值域，解方程问题，考查函数恒成立以及二次函数的性质，是一道中档题．21.已知函数，当时，，当时，．求的解析式；若不等式的解集为R，求c的取值范围；当时，求的最大值．，因为，，当且仅当，即时取等号，当时，．【解析】本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，基本不等式，函数的最值，其中根据函数的零点与对应方程根的关键，结合韦达定理，构造关于a，b的方程，进而求出a，b的值，是解答本题的关键．由已知中函数，当时，，当时，，可得的两根为，2，由韦达定理根与系数的关系我们易求出a，b的值，进而得到函数的解析式；由的结论，根据不等式的解集为R，可得，由此构造关于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范围；根据的结论，我们易求出的解析式，结合基本不等式，分析出函数的值域，即可得到其最大值．22.已知关于x的不等式．当时，解不等式；当时，解不等式．学_科网【答案】解：当时，此不等式为，可化为，化简得，解得即或；不等式化为，当时，；当时，不等式化为，若，即，解不等式得；若，即，解不等式得；若，即，解不等式得；当时，不等式，解得或；综上所述：当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【解析】本题考查了含参数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，解题时应对参数进行讨论，是综合性题目．时，不等式化为，求解即可；不等式化为，讨论、和时，对应不等式的解集是什么，从而求出对应的解集．。

含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。

解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。

例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。

解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。

当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。

若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。

当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

一、含有参数的不等式的解法例题当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。

下面举例说明，以供同学们学习。

一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0≠及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 24410x x -+=轴的上方，不等式的解集为。

∅解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为；⎭⎫⎩⎨⎧=21|x x 当m>3时, 原不等式的解集为。

含参数一元二次不等式练习题一、选择题：1．(2021·福建高考)假设关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，那么a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]3．假设(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，那么实数m 的取值范围是( )A ． ⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2021·长沙模拟)二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，那么不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)5．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，152B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7]6．(2021·温州高三适应性测试)假设圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，那么实数m 的取值范围是( )A ．m ＞－6B ．m ＞3或－6＜m ＜－2C ．m ＞2或－6＜m ＜－1D ．m ＞3或m ＜－1二、填空题7．假设不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，那么实数k ＝________. 8．(2021·天津高考)集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，那么m ＝__________，n ＝________.9．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，那么实数a 的取值范围是________．10．(2021·九江模拟)假设关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，那么实数a 的取值范围是________；假设关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是________．11．(2021·陕西师大附中模拟)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，那么m 的取值范围为________． 12．假设关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，那么实数λ的取值范围是________． 13．(2021·江苏高考)函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，假设关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，那么实数c 的值为________．三，解答题14.解以下不等式：(1)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)． (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．15.f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．〔此题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)〞，求a 的取值范围〕16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)假设m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)假设a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比拟f (x )与m 的大小．含参数一元二次不等式练习题一、选择题：1．(2021·福建高考)假设关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2.2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，那么a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，那么4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，那么－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]3．假设(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，那么实数m 的取值范围是( )A ． ⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：选A ①m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不合题意．②m ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311. 4．(2021·长沙模拟)二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，那么不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：选C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，那么f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56. 又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.5．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，152B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7]解析：选C 由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8. 6．(2021·温州高三适应性测试)假设圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，那么实数m 的取值范围是( )A ．m ＞－6B ．m ＞3或－6＜m ＜－2C ．m ＞2或－6＜m ＜－1D ．m ＞3或m ＜－1解析：选B 依题意，令x ＝0得关于y 的方程y 2＋2my ＋m ＋6＝0有两个不相等且同号(均不等于零)的实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m )2－4(m ＋6)＞0，m ＋6＞0， 由此解得m ＞3或－6＜m ＜－2. 二、填空题7．假设不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，那么实数k ＝________. 解析：k －3x －3＞1，得1－k －3x －3＜0，即x －k x －3＜0，(x －k )(x －3)＜0，由题意得k ＝1. 答案：18．(2021·天津高考)集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，那么m ＝__________，n ＝________.解析：因为|x ＋2|<3，即－5<x <1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m <1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 19．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，那么实数a 的取值范围是________．解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅，∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.答案：(－1,3)10．(2021·九江模拟)假设关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，那么实数a 的取值范围是________；假设关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是________．解析：由Δ1<0，即a 2－4(－a )<0，得－4<a <0；由Δ2≥0，即a 2－4(3－a )≥0，得a ≤－6或a ≥2.答案：(－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞)11．(2021·陕西师大附中模拟)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，那么m 的取值范围为________． 解析：由得f (3)＝6－m ，①当m ≤3时，6－m ≥3，那么f (f (3))＝2(6－m )－m ＝12－3m ＞6，解得m ＜2；②当m ＞3时，6－m ＜3，那么f (f (3))＝6－m ＋5＞6，解得3＜m ＜5.综上知，m ＜2或3＜m ＜5.答案：(－∞，2)∪(3,5)12．假设关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，那么实数λ的取值范围是________． 解析：由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max ＝12，解得x ≥12或x ≤－1. 又x ∈(－∞，λ]，所以λ的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]13．(2021·江苏高考)函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，假设关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，那么实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9三，解答题14.解以下不等式：(1)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)．(2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．(1)原不等式转化为(x ＋a )(x －3a )＜0，∵a ＜0，∴3a ＜－a ，得3a ＜x ＜－a .故原不等式的解集为{x |3a ＜x ＜－a }．(2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a ，或x ＜－a .(3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a. 综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；15.f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．〔此题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)〞，求a 的取值范围〕[自主解答] 法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1) 时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1 ≤a ≤1.综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3 ≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．此题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)〞，求a 的取值范围．解：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1,1)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，a ＞1，g (1)≥0.解得－3≤a ≤1，所求a 的取值范围是[－3,1] .16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)假设m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)假设a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比拟f (x )与m 的大小． 解：由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a， ∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .。

《含参数的不等式解集问题》专题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2018春•宿豫区期末）已知不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．＞12．（2020春•江都区期末）已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（）A．x＞11 B．x＜11 C．x＞7 D．x＜7 3．（2020春•吴江区期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（）A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．14．（2020春•龙华区校级期末）关于x的不等式：a＜x＜2有两个整数解，则a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．0≤a＜1 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1≤a＜0 5．（2020•寿光市二模）若不等式组有三个整数解，则a的取值范围是（）A．2≤a＜3 B．2＜a≤3 C．2＜a＜3 D．a＜3 6．（2020春•济源期末）已知关于x的不等式3（x+1）﹣2mx＞2m的解集是x＜﹣1，则m 的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（2020春•蓬溪县期末）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤5 B．a≥5 C．a＜5 D．a＞58．（2020春•东西湖区期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（）A．x B．x C．x D．x9．（2020春•南岗区校级月考）如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m 必须满足的条件是（）A．m＜﹣2 B．m≤﹣2 C．m＞﹣2 D．m≥﹣2 10．（2020秋•武汉月考）对于三个数字a，b，c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小数，例如min{﹣2，﹣1，0}＝﹣2，min{﹣2，﹣1，x}．如果min{﹣3，8﹣2x，3x﹣5}＝﹣3，则x的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019春•沭阳县期末）已知不等式组只有一个整数解，则a的取值范围为．12．（2020春•丛台区校级期末）对任意有理数a，b，c，d，规定ad﹣bc，若10，则x的取值范围为．13．（2020春•仁寿县期末）若关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是．14．（2020春•番禺区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a取值范围是．15．（2020春•渝中区校级期末）若关于x，y的方程组的解都是正数，则m的取值范围是．16．（2020春•金水区校级月考）若不等式组有两个整数解，则a的取值范围是．17．（2020秋•高新区校级月考）已知关于x的不等式x m＜0有5个自然数解，则m的取值范围是．18．（2020春•高邮市期末）若不等式1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是．三．解答题（共7小题）19．（2016•大庆）关于x的两个不等式①1与②1﹣3x＞0（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．20．（2015春•乐平市期末）已知一元一次不等式mx﹣3＞2x+m．（1）若它的解集是x，求m的取值范围；（2）若它的解集是x，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．21．（2016春•衡阳县校级期末）已知x＝1满足不等式组，求a的取值范围．22．（2020春•麦积区期末）（1）解不等式x+12，并把解集在数轴上表示出来；（2）关于x的不等式组恰有两个整数解，试确定a的取值范围．23．（2014春•福清市校级期末）已知不等式组（1）当k＝﹣2时，不等式组的解集是：；当k＝3时，不等式组的解集是：（2）由（1）可知，不等式组的解集随k的值变化而变化，若不等式组有解，求k的取值范围并求出解集．24．（2017•江阴市自主招生）已知关于x的不等式的解集是x，求m 的值．25．（2017•呼和浩特）已知关于x的不等式x﹣1．（1）当m＝1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2018春•宿豫区期末）已知不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．＞1【分析】根据不等式的解集的定义即可求出答案．【解析】由不等式组无解可知，两不等式在数轴上没有公共部分，即a≤1故选：A．【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是熟练运用不等式的解集的定义，本题属于基础题型．2．（2020春•江都区期末）已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（）A．x＞11 B．x＜11 C．x＞7 D．x＜7【分析】将x＝4代入方程，求出b＝﹣4k＞0，求出k＜0，把b＝﹣4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．【解析】∵x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，∴4k+b＝0，即b＝﹣4k＞0，∴k＜0，∵k（x﹣3）+2b＞0，∴kx﹣3k﹣8k＞0，∴kx＞11k，∴x＜11，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出b＝﹣4k和k＜0是解此题的关键．3．（2020春•吴江区期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（）A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1【分析】由不等式的基本性质3可得a﹣1＜0，即a＜1，再利用绝对值的性质化简可得．【解析】∵（a﹣1）x＞1可化为x，∴a﹣1＜0，解得a＜1，则原式＝1﹣a﹣（2﹣a）＝1﹣a﹣2+a＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4．（2020春•龙华区校级期末）关于x的不等式：a＜x＜2有两个整数解，则a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．0≤a＜1 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1≤a＜0【分析】根据题意可知：两个整数解是0，1，可以确定a取值范围．【解析】∵a＜x＜2有两个整数解，∴这两个整数解为0，1，∴a的取值范围是﹣1≤a＜0，故选：D．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解．解题时特别要注意取值范围中等号的确定．5．（2020•寿光市二模）若不等式组有三个整数解，则a的取值范围是（）A．2≤a＜3 B．2＜a≤3 C．2＜a＜3 D．a＜3【分析】首先解不等式，根据解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍．【解析】，解不等式x+a≥0得：x≥﹣a，解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1，∴﹣a≤x＜1．∵此不等式组有3个整数解，∴这3个整数解为﹣2，﹣1，0，∴﹣3＜﹣a≤﹣2，∴2≤a＜3．故选：A．【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定．6．（2020春•济源期末）已知关于x的不等式3（x+1）﹣2mx＞2m的解集是x＜﹣1，则m 的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【分析】根据已知不等式的解集确定出m的范围即可．【解析】不等式3（x+1）﹣2mx＞2m变形为：（3﹣2m）x＞﹣（3﹣2m），∵关于x的不等式3（x+1）﹣2mx＞2m的解集是x＜﹣1，∴3﹣2m＜0，解得：m，在数轴上表示：故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法，以及在数轴上表示不等式的解集的方法是解本题的关键．7．（2020春•蓬溪县期末）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤5 B．a≥5 C．a＜5 D．a＞5【分析】关于x的不等式组无解，根据：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，求出a的取值范围是多少即可．【解析】关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥5．故选：B．【点评】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．（2020春•东西湖区期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（）A．x B．x C．x D．x【分析】先根据第一个不等式的解集求出m＜0、n＜0，m＝3n，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可．【解析】∵mx﹣n＞0，∴mx＞n，∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，∴m＜0，，∴m＝3n，n＜0，∴n﹣m＝﹣2n，m+n＝4n，∴关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是x，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式，能求出m、n的值是解此题的关键．9．（2020春•南岗区校级月考）如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m 必须满足的条件是（）A．m＜﹣2 B．m≤﹣2 C．m＞﹣2 D．m≥﹣2【分析】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m+2＜0，求出即可．【解析】∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，∴m+2＜0，∴m＜﹣2，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的解集的应用，关键是能根据题意得出m+2＜0．10．（2020秋•武汉月考）对于三个数字a，b，c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小数，例如min{﹣2，﹣1，0}＝﹣2，min{﹣2，﹣1，x}．如果min{﹣3，8﹣2x，3x﹣5}＝﹣3，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据题中的新定义列出不等式组，求出x的范围即可．【解析】根据题意得：，解得：x，故选：A．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，弄清题意是解本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019春•沭阳县期末）已知不等式组只有一个整数解，则a的取值范围为2＜a≤3．【分析】先根据不等式组有解，确定不等式组的解集为1＜x＜a，再根据不等式组只有一个整数解，可知整数解为2，从而可求得a的取值范围．【解析】不等式组有解，则不等式的解集一定是1＜x＜a，若这个不等式组只有一个整数解即2，则a的取值范围是2＜a≤3．故答案为：2＜a≤3【点评】此题考查不等式的解集问题，正确解出不等式组的解集，正确确定a的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．．12．（2020春•丛台区校级期末）对任意有理数a，b，c，d，规定ad﹣bc，若10，则x的取值范围为x＞﹣3．【分析】根据新定义可知﹣4x﹣2＜10，求不等式的解即可．【解析】根据规定运算，不等式10化为﹣4x﹣2＜10，解得x＞﹣3．故答案为x＞﹣3．【点评】本题考查了利用一种新型定义转化为解一元一次不等式的问题，理解题意是解题的关键．13．（2020春•仁寿县期末）若关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是﹣3≤m＜﹣2．【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出1≤4+m＜2，解之可得．【解析】解不等式2x+5＞0，得：x，解不等式x≤2，得：x≤4+m，∵不等式组有4个整数解，∴1≤4+m＜2，解得：﹣3≤m＜﹣2，故答案为：﹣3≤m＜﹣2．【点评】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键．14．（2020春•番禺区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a取值范围是a≥2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得a的范围．【解析】解不等式2（x﹣1）＞2，得：x＞2，解不等式a﹣x＜0，得：x＞a，∵不等式组的解集为x＞a，∴a≥2，故答案为：a≥2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（2020春•渝中区校级期末）若关于x，y的方程组的解都是正数，则m 的取值范围是6＜m＜15．【分析】解方程组得出，根据题意列出不等式组，解之可得．【解析】解方程组得，根据题意，得：，解不等式①，得：m＜15，解不等式②，得：m＞6，∴6＜m＜15，故答案为：6＜m＜15．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．（2020春•金水区校级月考）若不等式组有两个整数解，则a的取值范围是0＜a≤1．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于a的不等式组即可．【解析】，解不等式①得：x≥a，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为a≤x＜3，∵不等式组有两个整数解，∴0＜a≤1，故答案为：0＜a≤1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于a的不等式组．17．（2020秋•高新区校级月考）已知关于x的不等式x m＜0有5个自然数解，则m的取值范围是8＜m≤10．【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式有5个自然数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的值．【解析】解不等式x m＜0得：x m，不等式有5个自然数解，一定是0，1，2，3，4，根据题意得：4m≤5，解得：8＜m≤10．故答案是：8＜m≤10．【点评】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．18．（2020春•高邮市期末）若不等式1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是m．【分析】求出不等式1≤2﹣x的解，再求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．【解析】解不等式1≤2﹣x得：x，解关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x），得x，∵不等式1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，∴，解得：m，故答案为m．【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．三．解答题（共7小题）19．（2016•大庆）关于x的两个不等式①1与②1﹣3x＞0（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根据不等式①的解都是②的解，求出a的范围即可．【解析】（1）由①得：x，由②得：x，由两个不等式的解集相同，得到，解得：a＝1；（2）由不等式①的解都是②的解，得到，解得：a≥1．【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．20．（2015春•乐平市期末）已知一元一次不等式mx﹣3＞2x+m．（1）若它的解集是x，求m的取值范围；（2）若它的解集是x，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据不等式的解集，利用不等式的性质确定出m的范围即可；（2）由解集确定出m的范围，求出m的值即可作出判断．【解析】（1）不等式mx﹣3＞2x+m，移项合并得：（m﹣2）x＞m+3，由解集为x，得到m﹣2＜0，即m＜2；（2）由解集为x，得到m﹣2＞0，即m＞2，且，解得：m＝﹣18＜0，不合题意，则这样的m值不存在．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2016春•衡阳县校级期末）已知x＝1满足不等式组，求a的取值范围．【分析】首先对不等式组进行化简，根据不等式的解集的确定方法，就可以得出a的范围．【解析】将x＝1代入3x﹣5≤2x﹣4a，得4a≤4，解得a≤1；将x＝1代入3（x﹣a）＜4（x+2）﹣5，得a．不等式组解集是a≤1，a的取值范围是a≤1．【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．22．（2020春•麦积区期末）（1）解不等式x+12，并把解集在数轴上表示出来；（2）关于x的不等式组恰有两个整数解，试确定a的取值范围．【分析】（1）依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得答案；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】（1）∵x+12，∴2x+2≥x+4，2x﹣x≥4﹣2，x≥2，将不等式的解集表示在数轴上如下：（2）解不等式0，得x，解不等式x（x+1）+a，得x＜2a．因为该不等式组恰有两个整数解，所以1＜2a≤2，所以a≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23．（2014春•福清市校级期末）已知不等式组（1）当k＝﹣2时，不等式组的解集是：﹣1＜x＜1；当k＝3时，不等式组的解集是：无解（2）由（1）可知，不等式组的解集随k的值变化而变化，若不等式组有解，求k的取值范围并求出解集．【分析】（1）把k＝﹣2和k＝3分别代入已知不等式组，分别求得三个不等式的解集，取其交集即为该不等式组的解集；（2）当k为任意有理数时，要分1﹣k＜﹣1，1﹣k＞1，﹣1＜1﹣k＜1三种情况分别求出不等式组的解集．【解析】（1）把k＝﹣2代入，得，解得﹣1＜x＜1；把k＝3代入，得，无解．故答案是：﹣1＜x＜1；无解；（2）若k为任意实数，不等式组的解集分以下三种情况：当1﹣k≤﹣1即k≥2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为无解；当1﹣k≥1即k≤0时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1；当﹣1＜1﹣k＜1即0＜k＜2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1﹣k．【点评】本题考查的是不等式的解集，特别注意在解（2）时要分三种情况求不等式组的解集．24．（2017•江阴市自主招生）已知关于x的不等式的解集是x，求m 的值．【分析】不等式组整理后表示出解集，根据已知解集确定出m的值即可．【解析】原不等式可化为：4m+2x≤12mx﹣3，即（12m﹣2）x≥4m+3，又因原不等式的解集为x，则12m﹣2＞0，m，比较得：，即24m+18＝12m﹣2，解得：m（舍去）．故m无值．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2017•呼和浩特）已知关于x的不等式x﹣1．（1）当m＝1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．【分析】（1）把m＝1代入不等式，求出解集即可；（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．【解析】（1）当m＝1时，不等式为1，去分母得：2﹣x＞x﹣2，解得：x＜2；（2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2，移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），当m≠﹣1时，不等式有解，当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；当m＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．。

专题8.5不等式中含参问题【十大题型】【华东师大版】【题型1根据一元一次不等式的解(集)求参数】 (1)【题型2根据一元一次不等式组的解集求参数】 (3)【题型3根据一元一次不等式有最值解求参数】 (5)【题型4根据一元一次不等式(组)的整数解的个数求参数】 (8)【题型5根据一元一次不等式组有解或无解求参数】 (10)【题型6根据一元一次不等式组的整数解的和求参数】 (12)【题型7根据一元一次不等式组无整数解求参数】 (14)【题型8一元一次方程与不等式(组)综合求参数】 (16)【题型9二元一次方程组与不等式(组)综合求参数】 (19)【题型10新定义问题与不等式综合求参数】 (22)【题型1根据一元一次不等式的解(集)求参数】【例1】（2023春·江苏·七年级统考期末）已知关于的不等式B+>0的解集为<12，则不等式−3+ <0的解集是．【答案】<5.【分析】不等式B+>0的解集是<12，判断出a＜0且−=12则可以得到>0，得到=−2再解出不等式−3+<0的解集即可．【详解】解：∵不等式B+>0的解集是<12根据不等式的性质可知，当>0时，不等式的解集为>−不符合题意∴可以判断出<0，即不等式的解集为<−∴−=12，即>0且=−2−3+<0即−3<−，则<3−=3+2=5∴不等式的解集为<5故答案为：<5.【点睛】本题考查了不等式的解集，熟悉不等式的性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·四川南充·七年级统考期末）已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集为<13，则不等式bx＋a＜0的解集是．【答案】<3【分析】根据已知不等式的解集确定出a与b的关系，用b表示出a，代入所求不等式求出解集即可．【详解】解：∵关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x＜13，∴−＝13且a＜0，整理得：a＝−3b，b＞0，代入所求不等式得：bx−3b＜0，解得：x＜3．故答案为：x＜3．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．【变式1-2】（2023春·江苏镇江·七年级统考期末）若实数3是不等式3+2<−3的一个解，则可取的最大整数是（）A．−1B．2C．−3D．3【答案】C【分析】解不等式可得<−6−9，结合题意“实数3是不等式3+2<−3的一个解”，可得−6−9>3，解该不等式即可获得答案．【详解】解：由不等式3+2<−3，得<−6−9，∵实数3是不等式3+2<−3的一个解，∴−6−9>3，解得<−2，∴可取的最大整数为−3．故本题选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等式−6−9>3是解题关键．【变式1-3】（2023春·全国·七年级期末）已知关于x的一元一次不等式K22+2<2r33与2﹣x＜0的解集相同，则m＝．【答案】23【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据题意可得-6m+6=2，再解即可．【详解】解：∵2﹣x＜0∴x＞2−22+2<2+333−2+12<22+33x-6m+12＜4x+6，解得：x＞-6m+6，∵关于x的一元一次不等式K22+2<2r33与2﹣x＜0的解集相同∴-6m+6=2，解得：=23故答案为：23【点睛】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确确定两个不等式的解集．【题型2根据一元一次不等式组的解集求参数】【例2】（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知不等式组+2>+−1<−1的解集为−1<<2，则+ 2023=．【答案】1【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于、的方程，然后求出、的值，最后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：+2>+s−1<−1②，解不等式①得，>+−2，解不等式②得，<，所以不等式组的解集是+−2<<，∵不等式组的解集为−1<<2，∴+−2=−1=2，解得=2=−1，∴+2023=(2−1)2023=1．故答案为：1.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法、解二元一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于、的方程是解题的关键．【变式2-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知是使不等式组<+1>2−1无解的最小整数，请你解关于，的方程组8−3=−−7−3=3+7．【答案】=−1=−2【分析】先根据不等式组无解得出2−1≥+1，解之得≥2，再结合是使不等式组无解的最小整数知=2，从而还原方程组，利用加减消元法求解即可．【详解】解：由题意得2−1≥+1，解得≥2，所以最小整数=2，代入原方程组，得8−3=−2 ①−7−3=13 ②由①−②，得15=−15，解得=−1．把=−1代入①，得=−2．所以原方程组的解为=−1=−2．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据不等式组无解得出的值，并熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组的能力．【变式2-2】（2023春·浙江宁波·七年级浙江省余姚市实验学校校考期末）试求出所有的实数对a、b，使得关于x的不等式组B+3>2+43B−4<−5+1的解集为2<<5．【答案】 =52=−43【分析】先解不等式组，再由不等式组B+3>2+43B−4<−5+1的解集为2<<5，转化成关于a，b的方程组来解即可．【详解】解：不等式组B+3>2+4①3B−4<−5+1②由①得−2>1，由②得，3+5<5，∵不等式组B+3>2+43B−4<−5+1的解集为2<<5∴−2≠0，3+5≠0∴当>2，>−53时，有>1K2，<53r5，当<2，<−5时，有<1K2，>53r5，2 3r5=55 3r5=2，∴解得 =52=−43或 =115=−56（<2，<−53，不符合舍去）∴实数对a、b为 =52=−43．【点睛】此题考查不等式组和二元一次方程组的解法，解题关键在于要灵活运用运算法则．【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知不等式组2+1≥−1−+2≥2(−1)，要使它的解集中的任意x的值都能使不等式3≥+3成立，则m的取值范围是．【答案】≤−9【分析】解不等式组得到解集，结合3≥+3成立列式求解即可得到答案；【详解】解：分别解不等式得，≥−2，≤43，∴−2≤≤43，∴−6≤3≤4，∵3≥+3，∴+3≤−6，解得：≤−9，故答案为：≤−9；【点睛】本题考查解不等式组及根据解集求参数，解题的关键是正确的求出不等式组的解集．【题型3根据一元一次不等式有最值解求参数】【例3】（2023春·江苏·七年级阶段练习）若不等式2<1−3的解集中所含的最大整数为4，则a的范围为．【答案】-3≤a＜-73．【分析】先求出不等式的解集，根据解集中所含的最大整数为4，求出a的取值范围即可．【详解】2x<1-3a，x＜1−32，∵解集中所含的最大整数为4，∴4＜1−32≤5，解得：-3≤a＜-73，故答案为-3≤a＜-73．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的关键是能求出关于a的不等式组，难度适中．【变式3-1】（2023春·安徽六安·七年级校联考期中）关于x的不等式3−+2>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．5≤<8B．5<<8C．5≤≤8D．5<≤8【答案】A【分析】解出不等式，然后根据不等式的最小整数解为2，即可列出关于m的不等式，从而求出m的取值范围．【详解】解：解不等式3−+2>0，得>K23，∵不等式的最小整数解为2，∴1≤K23<2，解得5≤<8，故A正确．故选：A．【点睛】此题主要考查的是含参数的一元一次不等式，掌握根据不等式的最小整数解求参数的取值范围是解决此题的关键．【变式3-2】（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x的不等式2x﹣3a+2≥0的最小整数解为5，则实数a 的值为【答案】103＜a≤4【分析】先将a看作常数解不等式，根据最小整数解为5，得4＜3K22≤5，解出即可．【详解】解不等式2x-3a+2≥0得x≥3K22，∵不等式的最小整数解为5，∴4＜3K22≤5，∴103＜a≤4，故答案为103＜a≤4．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．【变式3-3】（2023春·湖北武汉·七年级校考期末）已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝．【答案】−103【分析】求出不等式的解集，根据已知得出3+6<≤3+7，求出−3.5≤<−3，设=3+6，则= 13−2，得出不等式组−3.5≤13−2<−3，求出即可．【详解】解：解不等式−<0得：<，∵关于的不等式−<0的最大整数解为3+6，∴3+6<≤3+7，解得：−3.5≤<−3，∵3+6为整数，设=3+6，则=13−2，即−3.5≤13−2<−3，解得：−4.5≤<−3，∵为整数，∴=−4，即=13×(−4)−2=−103，故答案为：−103．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解此题的关键是得出关于的不等式组．【题型4根据一元一次不等式(组)的整数解的个数求参数】【例4】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）已知关于的不等式组K2≥2−4≤3−2的最小整数解是2，则实数的取值范围是（）A．−3≤<−2B．−3<≤−2C．−3<<−2D．−3≤≤−2【答案】B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大及不等式组的最小整数解求解即可．【详解】解：解不等式K2≥2，得：x≥4＋m，解不等式x−4≤3（x−2），得：x≥1，∵不等式组的最小整数解是2，∴1＜4＋m≤2，解得−3＜m≤−2，故选：B．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式4-1】（2023春·江西赣州·七年级统考期末）若关于x的不等式x﹣a＞0恰好有两个负整数解，则a 的范围为．【答案】﹣3≤a＜﹣2．【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定a的值．【详解】解：∵x−a>0，∴x>a，∵不等式x−a>0恰有两个负整数解，则其负整数解为-1、-2且-3不是负整数解∴a的取值范围为：−3≤a<−2故答案为：−3≤a<−2.【点睛】本题主要考查含参的一元一次不等式的解法，含参的不等式指的是不等式未知数的系数或常数项用字母表示的不等式，利用分类讨论及数形结合思想，可结合数轴，解决含参不等式．【变式4-2】（2023春·云南曲靖·七年级统考期末）若关于的不等式2−≥0的负整数解为−1,−2,−3，则的取值范围是．【答案】−8<≤−6【分析】首先解不等式求得解集，然后根据不等式只有负整数解为-1，-2，-3，得到关于m的不等式，求得m的范围．【详解】解：∵2x-m≥0，∴2x≥m，∴x≥2．则-4＜2≤-3，解得：-8＜m≤-6．故答案为：-8＜m≤-6．【点睛】此题考查了根据不等式解集的情况求参数的取值范围，根据x的取值范围正确确定2的范围是解题的关键．【变式4-3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）若关于x的一元一次不等式组+1≥03−<0，有3个非负整数解，则m的取值范围是()A．6<≤9B．6≤<9C．2<≤3D．2≤<3【答案】A【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中有3个非负整数解，确定出m的范围即可．【详解】解：不等式组整理，得：≥−1<3，解得：−1≤<3，∵不等式组有3个非负整数解，即非负整数解为0，1，2，∴2<3≤3，解得：6<≤9．故选：A．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【题型5根据一元一次不等式组有解或无解求参数】【例5】（2023春·吉林松原·七年级校联考期中）若不等式组1<≤2>无解，则的取值范围是（）A．≥2B．<1C．≤2D．1≤<2【答案】A【分析】由已知不等式组无解，确定出k的范围即可．【详解】解：∵不等式组1<≤2>无解，∴k的范围为k≥2，故选：A．【点睛】此题考查了不等式组的解集，熟练掌握确定每个不等式的解集是解本题的关键．【变式5-1】（2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）不等式组2(+1)<3−6<4无解，则的取值范围是．【答案】≤2【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．【详解】不等式组整理得：>8<4，由不等式组无解，得到4≤8，解得：≤2，则的取值范围是≤2．故答案为：≤2．【点睛】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．【变式5-2】（2023春·广西梧州·七年级统考期末）关于的不等式组−>32+8>4有解且每一个的值均不在−2≤≤6的范围中，则的取值范围是（）A．<1B．≤1C．1≤≤5D．≥5【答案】A【分析】求出不等式组−>32+8>4的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：−>3①2+8>4t，解不等式①得：<−3，解不等式②得：>2−4，∴原不等式组的解集为：2−4<<−3，∵不等式组有解且每一个的值均不在−2≤≤6的范围中，∴2−4≥6或−3≤−2，解得：≥5或≤1，∵不等式组有解集，∴−3>2−4，解得：<1，综上，的取值范围是<1．故选：A．【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点．【变式5-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）若关于>0>−1无解，且方程2−+1=−32−的解是非负数，则满足条件的整数的值有()个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，继而根据不等式组无解确定出a的范围，再解一元一次方程求出用含a的式子表示的x的值，进而根据方程解为非负数得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，进而即可确定出符合所有条件的整数a的值．>0①>−1②，由①得：x>a，由②得：x<1，由于不等式组无解，所以a≥1；解方程2−+1=−32−得x=7−22，由方程2−+1=−32−的解是非负数，则有7−22≥0，解得：a≤72，所以a的取值范围为1≤a≤72，所以满足条件的整数a为1、2、3，共3个，故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解、不等式组无解问题，熟练掌握相关解法是解题的关键．【题型6根据一元一次不等式组的整数解的和求参数】【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x的不等式组{3x+＜0＞−5的所有整数解的和为-9，则m 的取值范围（）A．3≤m＜6B．4≤m＜8C．3≤m＜6或-6≤m＜-3D．3≤m＜6或-8≤m＜-4【答案】C【分析】先求解不等式组，再根据条件判断出含参代数式的范围，从而求得参数的范围即可．【详解】解原不等式得：{<−3>−5，即−5≤<−3，由所有整数解的和为-9，可知原不等式包含的整数为-4，-3，-2或-4，-3，-2，-1，0，1，当整数为-4，-3，-2时，则−2<−3≤−1，解得：3≤<6，当整数为-4，-3，-2，-1，0，1时，则1<−3≤2，解得：−6≤<−3，故选：C．【点睛】本题考查含参不等式组求解问题，熟练掌握对含参代数式范围的确定是解题关键．【变式6-1】（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）若关于的不等式组3−2<5+4≤−1的所有整数解的和为0，则的值不可能是（）A．3B．3.2C．3.7D．4【答案】D【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后根据整数解的和为0，确定整数解，即可求得的取值范围．【详解】解：3−2<5+4①≤−1②，解①得>−3，解②得≤−1，∵所有整数解的和为0，∴整数解是−2，−1，0，1，2，∴2≤−1<3，解得：3≤<4，∴的值不可能是4，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【变式6-2】（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）已知不等式组r1310 +5r43>+1+的正整数解为=1和2，求的取值范围．【答案】1<≤32【分析】先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式即可求解．【详解】解：r13+12>0①+5r43>43+1+t解①得：>−52解②得：<2∵不等式组的正整数解为=1和2∴2<2≤3∴1<≤32【点睛】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况确定参数的取值范围．注意计算的准确性．【变式6-3】（2023春·四川绵阳·七年级统考期末）若关于x≤−1−15s2>−12的最大整数解与最小整数解的和为−2，则满足条件的整数m的和为．【答案】27【分析】依据题意，解出不等式组的解集，然后再由最大整数解与最小整数解的和为−2，进而计算可以得解．≤−1−15s2>−12t，∴由①得，≤52；由②得，>2−12．∴原不等式组的解集为2−12<≤52．∴这个不等式组的最大整数解为2．又最大整数解与最小整数解的和为−2，∴这个不等式组的最小整数解为−4．∴−5≤2−12<−4．∴12<≤14．∴满足题意的整数有13，14．∴满足题意的整数的和为27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并理解是关键．【题型7根据一元一次不等式组无整数解求参数】【例7】（2023春·安徽安庆·七年级校考期中）已知关于的不等式组5−2>1>无整数解，则的取值范围是（）A．≥1B．>1C．1<≤2D．>2【答案】A【分析】先求出不等式①的解集，根据不等式组无整数解即可得到答案.【详解】5−2>1①>t，解不等式①得x<2，∵不等式②知x>a，不等式组5−2>1>无整数解，∴≥1．故选：.【点睛】此题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况求未知数的取值范围.【变式7-1】（2023春·上海·六年级校考阶段练习）关于的不等式组2−5<0−>0无整数解，则的取值范围为．【答案】≥2【分析】先分别求出两个不等式的解集为<52和>，再分两种情况：①≥52和②<52进行讨论即可得．【详解】解：由2−5<0−>0得：<52>，①当≥52时，原不等式组无解，符合题意；②如图，当<52时，要使原不等式组无整数解，则≥2，所以此时2≤<52；综上，≥2，故答案为：≥2．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，熟练掌握不等式组的解法，正确分两种情况讨论是解题关键．【变式7-2】（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）若不等式组2>3−33−<−6无正整数解，则a的取值范围为（）A．a≤15B．a＜9C．a＜15D．a≤9【答案】D【分析】解一元一次不等式组【详解】2x＞3x-3,3x-a＞﹣6即x<3,x>（a−6）3因为不等式组无正整数解，所以不等式解集为x<1则（a−6）3≤1a-6≤3a≤9【点睛】掌握解一元一次不等式组的步骤：（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．【变式7-3】（2023春·七年级单元测试）关于x的不等式组2+1＞＜−3有解但是无整数解，则m的取值范围为．【答案】-7≤m＜－5【详解】解：2+1>s<−3②．∵解不等式①得：x＞K12．又∵关于x的不等式组2+1><−3有解但是无整数解，∴﹣4≤K12＜﹣3，解得：﹣7≤m＜﹣5．故答案为﹣7≤m＜﹣5．点睛：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出关于m的不等式组﹣4≤K12＜﹣3是解答此题的关键．【题型8一元一次方程与不等式(组)综合求参数】【例8】（2023春·全国·七年级期末）若关于的方程−2=3−2的解为非负数，且关于的不等式组−2−1≤32r3≥有解，则符合条件的整数值的和为（）A．2B．3C．5D．6【答案】C【分析】根据关于的方程−2=3−2的解为非负整数，且关于的不等式组−2−1≤32r3≥有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．【详解】解：由方程−2=3−2，得=3−，∵关于的方程−2=3−2的解为非负整数，∴3−≥0，得≤3，−2−1≤3①2r3≥②，由①，得≥−1，由②，得≤，∵关于的不等式组−2−1≤32r3≥有解，∴−1≤，得≥−1，由上可得，−1≤≤3，∴符合条件的整数的值为：−1，0，1，2，3，∴符合条件的整数的值的和为：−1+0−1+1+2+3=5．故选：C．【点睛】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法．【变式8-1】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）关于x的方程2−3=2+8的解是负数，求m的取值范围．【答案】<−112【分析】先解方程，用含m的代数式表示出x，根据解是负数得到关于m的不等式，解不等式即可．【详解】解：解方程2−3=2+8，得=+112，∵关于x的方程2−3=2+8的解是负数，∴=+112<0，∴<−112．【点睛】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，解题的关键是用含m的代数式表示出x．【变式8-2】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）若关于x的一元一次不等式组−2r34<22+7<4(+1)的解集为K32，且关于y的方程3−2=2K(5−3p2的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）．A．2B．7C．11D．10【答案】D【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可．【详解】解：−2r34<2s2+7<4(+1)②，由①得：K310，由②得K32，由解集为K32，得到310≤32，即≤5，方程去分母得：6−4=2−5+3，即=2K13，由为非负整数，结合≤5且为整数，∴=5或=2，∴符合条件的所有整数m的积为2×5=10，故选D．【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-3】（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）已知关于x的方程：K22−1=43+．(1)若方程的解是=3．那么=？(2)若该方程的解是负数，并且m是负整数，请你试求该方程的解．【答案】(1)=−412(2)=−65【分析】（1）把=3代入方程得到一个关于m的方程，求得常数即可；（2）求出关于x的方程，进一步探讨得出答案即可．【详解】（1）把=3代入K22−1=43+，得：12−1=4+，解得：=−412．（2）K22−1=43+去分母得，3−6−6=8+6，解得：=−12−65，∵<0，∴−12−65<0，∴>−2．∵m是负整数，∴=−1，∴=−65．【点睛】此题考查了方程解的定义和解方程的步骤与方法，注意审清题意，正确理解方程的解．【题型9二元一次方程组与不等式(组)综合求参数】【例9】（2023春·重庆·七年级统考期末）若关于x的不等式组K24<K134−≤4−恰有2个整数解，且关于x，y的方程组B+=43−=0也有整数解，则所有符合条件的整数m的和为（）A．−2B．−3C．−6D．−7【答案】D【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中恰有2个整数解，确定出m的范围，再由方程组有整数解，确定出满足题意的整数m的值，求出之和即可．【详解】解：不等式组整理得：>−2≤r45，解得：-2＜x≤r45，∵不等式组恰有2个整数解，即-1，0，∴0≤r45＜1，解得：-4≤m＜1，即整数m=-4，-3，-2，-1，0，解方程组B+=43−=0得：=4r3=12r3，∵x，y为整数，∴m+3=±1或±2或±4，解得：m=-4或-2或-1，则m值的和为-4-2-1=-7．故选：D．【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．【变式9-1】（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）若关于、的二元一次方程组+2=42+=3−(1)用含的代数式表示+．(2)若方程组的解满足−>−4，求的取值范围．(3)在（2）的条件下，若为正整数，求关于的方程B−1−2=5的解．【答案】(1)+=7−3(2)<3(3)=113或=115．【分析】（1）把两个方程相加，再利用等式基本性质，两边同时除以3即可；（2）解含有字母参数m的方程组，求出a，b，代入不等式进行解答即可；（3）根据已知条件，求出m，把m值代入方程，进行解答．【详解】（1）解：+2=4①2+=3−t，由①+②得：3+3=7−，∴+=7−3；（2）解：+2=4①2+=3−t，由②−①得：−=−1−，∵又−>−4，∴−1−>−4，解得：<3，∴的取值范围是<3；（3）解：由（2）得的取值范围是<3，为正整数，则为1或2，当=1时，关于的方程化为−1−2=5，解得：=113；当=2时，关于的方程化为2−1−2=5，解得：=115．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组、一元一次不等式组及一元一次方程．【变式9-2】（2023春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）已知关于x，y的方程组−3=4−+=3，其中−3≤≤1，若=−，则M的最小值为（）A．−2B．−1C．2D．3【答案】B【分析】由①+②得x-y=2+t，将=−代入得t=M-2，再根据−3≤≤1可得−1≤≤3即可得出答案．【详解】解：−3=4−s+=3t①+②得2x-2y=4+2t即x-y=2+t，∵=−，∴M=2+t，∴t=M-2∵−3≤≤1,∴−3≤−2≤1即−1≤≤3∴M的最小值为-1故选：B．【点睛】本题考查含参二元一次方程组参数满足的条件求字母的最小值问题，用整体思想直接找到两个参数之间的关系是解题的关键．【变式9-3】（2023春·四川南充·七年级统考期末）关于，的方程组−=1+=6−7的解，都是非负数，如果2+=1，=+，那么的取值范围是．【答案】≤−13【分析】根据二元一次方程组的解法求出−=1+=6−7的解，再根据解的情况得到≥43，从而由2+= 1，=+得到=+=+1−2=1−，即可得到的取值范围．【详解】解：−=1①+=6−7②，①+②得：2=6−6，解得：=3−3，②−①得：2=6−8，解得：=3−4，∵关于，的方程组−=1+=6−7的解，都是非负数，∴3−3≥03−4≥0，解得：≥43，∴−≤−43，∵2+=1，即=1−2，∴=+=+1−2=1−，则的范围是≤1+−=−13，故答案为：≤−13．【点睛】本题考查解二元一次方程组、根据二元一次方程组解的情况求参数范围，熟练掌握二元一次方程组的解法、二元一次不等式组的解法、不等式的性质是解决问题的关键．【题型10新定义问题与不等式综合求参数】【例10】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）定义一种新运算max，规定：当>时，max s=；当=时，max s==；当<时，max s=．(1)max3,−1=______，max6,9=______；(2)若关于的方程，满足max3+2=r12，求的取值范围；(3)若关于的方程组max1,2+1=2+1,max s+3=2+s无解，求的取值范围．【答案】(1)3；9(2)≥9(3)<2【分析】（1）根据新定义求值即可；（2）根据新定义列不等式计算即可；（3）先根据新定义求出含参数的x的取值范围，再由无解求的取值范围．（1）∵3＞-1，∴max3,−1=3∵9＞6，∴max6,9=9（2）∵max3+2=r12∴r12≥3+2解得≥9（3）由max−1,2+1=2+1可得：2+1≥−1解得≥−2由max s+3=2+可得：2+≥+3解得：≤2−6∵关于的方程组B1,2+1=2+1,B+s+3=2+s无解，即≥−2≤2−6无解∴2−6<−2解得：<2【点睛】本题考查一元一次不等式应用，理解新定义，能将所求知识根据新定义转化为一元一次不等式求解是解题的关键．【变式10-1】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）我们定义；如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”(1)不等式≥2≤2的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．(2)若关于的不等式+2≥0不是2−3<+1“云不等式”，求的取值范围．(3)若≠−1，关于的不等式+3>与不等式B−1≤−互为“云不等式”，求的取值范围．【答案】(1)是(2)<−32(3)<−1或−1<<4【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；（2）解不等式+2≥0可得≥−2，解不等式2−3<+1得<4，再根据云不等式的定义可得−2>3，解不等式即可求解；（3）分两种情况讨论，根据云不等式的定义得到含的不等式，解得即可．【详解】（1）解：∵不等式≥2和不等式≤2有公共整数解2，∴不等式≥2是≤2的“云不等式”，故答案为：是；（2）解：解不等式+2≥0可得≥−2，解不等式2−3<+1得<4，∵关于的不等式+2≥0不是2−3<+1的“云不等式”，∴−2>3，解得<−32．故的取值范围是<−32；（3）解：∵B−1≤−，∴B+≤+1，∴+1≤+1，①当+1>0时，即>−1时，+1≤+1的解集是≤1，∵+3>，∴>−3，由题可得−3<1，即<4，故−1<<4；②当+1<0时，即<−1时，+1≤+1的解集是≥1，此时始终符合题意，故<−1，综上所述：的取值范围为<−1或−1<<4．【点睛】本题主要考查了新定义运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组解集的确定方法是解题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．【变式10-2】（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）定义运算：s=B+B，已知2,3=7，3,4=10．(1)直接写出：=______，=______；(2)若关于的不等式组+1,2−≥02s−<0无解，求的取值范围；(3)若B+3s2−B≥3+4的解集为≤13，求不等式B−s3−B≥+的解集．【答案】(1)2；1(2)≤−20(3)≤139【分析】（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值；（2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围；（3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为≤13可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可．【详解】（1）解：由题意得：2+3=73+4=10，解得：=2=1，故答案为：2；1；（2）把=2，=1代入s=B+B得s=2+，∴不等式组+1,2−≥02s−<0可转化为2+1+2−≥02×2+−<0，解得：≥−4<5，∵关于的不等式组+1,2−≥02s−<0无解，∴5≤−4，解得：≤−20，∴的取值范围是≤−20；（3）不等式B+3s2−B≥3+4转化为2B+3+2−B≥3+4，整理，得：2−≥−2，∵B+3s2−B≥3+4的解集为≤13，∴2−<0，解得：≤K22K，∴K22K=13，∴=5，∴2×5−<0，解得：<0，不等式B−s3−B≥+转化为2B−+3−B≥+，整理，得：2−≥3−2，。

在高考备考的过程中，很多学生对含参数的不等式感到力不从心，对分类讨论的标准把握不准确，从而在解题的过程中出现很多错误，这个专题旨在通过练习，明确分类的标准，是从二次项系数的正负，还是从根的大小关系，还是方程有无根的角度进行分类，提高处理参数的能力.1.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )A． 1 B．－1 C．－3 D． 3【答案】C【解析】由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.2.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是( )A． {a|0<a<4} B． {a|0≤a<4} C． {a|0<a≤4} D． {a|0≤a ≤4}【答案】D【解析】a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0<a≤4}，综上得{a|0≤a≤4}，故选D.3.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )A． 1<x<3 B．x<1或x>3 C． 1<x<2 D．x<1或x>2【答案】B【解析】设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，对任意a∈[－1,1]，g(a)＞0恒成立⇔⇔⇔x<1或x>3.4.若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是( )A． [1,19] B． (1,19) C． [1,19) D． (1,19]【答案】C【解析】函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a2＋4a－5≠0时，应有解得1<a<19.综上可知，a的取值范围是1≤a<19.5.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )A． 1<x<3 B．x<1或x>3 C． 1<x<2 D．x<1或x>2【答案】B【解析】设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.6.当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范围是________．【答案】(－∞，－5]【解析】构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有⇔⇔⇔m≤－5.7.不等式x2＋x＋k>0恒成立时，则k的取值范围为________．【答案】【解析】由题意知Δ<0，即1－4k<0，得k>，即k∈.8.不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是∅，则实数a的取值范围是__________．【答案】－1<a≤0【解析】当a＝0时，－2≥0解集为∅；当a≠0时，a满足条件：解得－1<a<0.综上可知，－1<a≤0.9.当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?【答案】①当a2－1＝0时，a＝1或－1.若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不合题意，舍去．②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是解得－<a<1.综上，a的取值范围是.【解析】10.设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．【答案】M⊆[1,4]有两种情况：其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，(1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]；(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；当a＝－1时，M＝{－1}[1,4]；当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．(3)当Δ>0时，a<－1或a>2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1<x2，那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1≤x2≤4⇔即解得2<a<，∴M⊆[1,4]时，a的取值范围是.【解析】11.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．【答案】(－2,2]【解析】当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，所以a＝2时解集为R.当a－2≠0时，由题意得即解得－2<a<2.综上所述，a的取值范围为(－2,2]．12.解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.【答案】方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以(1)当a<－1时，原不等式解集为{x|a<x<－1}；(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a>－1时，原不等式解集为{x|－1<x<a}．【解析】13.解关于x的不等式x2-（a+a2）x+a3＞0（a∈R）.【答案】当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a=0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.【解析】原不等式可变形为（x-a）（x-a2）＞0，方程（x-a）（x-a2）=0的两个根为x1=a，x2=a2.当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2，此时原不等式的解集为{x|x＜a 或x＞a2}；当0＜a＜1时，有a＞a2，∴x＜a2或x＞a，此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＞1时，有a2＞a，∴x＜a或x＞a2，此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；当a=0时，有x≠0，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a=1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}.综上可知：当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a=0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.14.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.【答案】(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)·(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2.①当0<a<1时，>2，所以原不等式的解集为；②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为.(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，所以原不等式的解集为.综上，a<0时，原不等式的解集为；a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；0<a≤1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为.【解析】15.解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1<0.【答案】原不等式的解集为：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；当a=0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<}；当a=1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|<x<1}.【解析】（1）当a=0时，原不等式可化为-x+1<0，即x>1；（2）当a≠0时，原不等式可化为,①若a<0，则原不等式可化为，由于<0，则有<1，故解得x<或x>1；②若a>0，则原不等式可化为，则有ⅰ.当a>1时，则有<1，故解得<x<1；ⅱ.当a=1时，则有=1，故此时不等式无解；ⅲ.当0<a<1时，则有>1，故解得1<x<.综上分析，得原不等式的解集为：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；当a=0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<}；当a=1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|<x<1}.。

高二数学（含参数不等式解法）一、选择题1、如果不等式x2– log m x < 0在 x ∈( 0，12)上恒成立，则实数m的取值范围是A、116≤m < 1 B、0 < m ≤116C、0 < m <14D、m ≥1162、已知a > 0，b > 0，不等式– a < 1x< b的解集是A、( - 1a，0)∪(0，1b) B、( -1b，1a)C、( - 1b，0)∪(0，1a) D、( - ∞，1a)∪(1b，+ ∞)3、设集合M = {x | > a且a2– 12a + 20 < 0}，N = {x | x < 10}，则M∩N是A、{x | a < x < 10}B、{x | x > a}C、{x | 2 < x < 10}D、N4、若函数M，的定义域为N，则使M∩N = ∅的实数a的取值范围是A、( - 1,3)B、(- 3，1)C、［- 1，3］D、［- 3，1］5、若关于x的方程x2 + ( a – 3)x + a = 0的两根均为正数，则实数a的取值范围是A、0 < a ≤3B、a ≥9C、a ≥9或a ≤ 1D、0 < a ≤ 16、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图象如右图，则A、b∈( - ∞，0)B、b∈( 0，1)C、b∈( 1，2)D、b∈(2，+ ∞)7、不等式ax2 + bx + 2 > 0的解集是( - 11,23) ，则a – b 等于A、- 4B、14C、- 10D、108、命题甲：ax 2 + 2ax + 1 > 0的解集是R，命题乙：0 < a < 1，则命题甲是乙成立的A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件9、若|x – a| < h，| y – a| < h，则下列不等式一定成立的是A、| x – y| < hB、| x – y | < 2hC、| x – y| > hD、| x –y | > 2h10、命题p ： 若a 、b ∈R ，则| a | + | b | >1是 | a + b| > 1的充分而不必要条件。

含参数不等式的解法典题探究例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。

例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2,0(4,cos sin ππ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

演练方阵A 档（巩固专练）1．设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________.3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________.4． 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x 5. 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a6．已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式；(2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.7．解不等式log a (1－x1)＞18．设函数f (x )=a x 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.9.设124()lg,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

含参数的一元一次不等式组的解集1、⑴不等式组⎩⎨⎧-≥>12x x 的解集是 . ⑵不等式组⎩⎨⎧-<-<12x x 的解集是 .⑶不等式组⎩⎨⎧≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组⎩⎨⎧-≤>45x x 的解集是 . 2、关于x 的不等式组12x m x m >->+⎧⎨⎩的解集是1x >-，则m = ． 3、如图是表示某个不等式组的解集，则该不等式组的整数解的个数是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 74、不等式组⎩⎨⎧--≤-.32,281x ＞x x 的最小整数解是（ ） A ．－1 B ．0 C ．2 D ．35、满足21≤<-x 的所有整数为___________ __.6、满足21≤≤-x 的所有整数为________________ __.7、请写出一个只含有三个整数1、2和3的解集为 。

（1）若不等式组⎩⎨⎧≥>ax x 2的解集是2>x ，则a 的取值范围为(2)若不等式组⎩⎨⎧≥≤a x x 2的解集时2≤≤x a ，则a 的取值范围为 （3）若不等式组⎩⎨⎧≥≤ax x 2无解，则a 的取值范围为变式1：若不等式组⎩⎨⎧≤>ax x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ；变式2：若不等式组⎩⎨⎧<>a x x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ； 变式3：关于x 的不等式组010x a x ->⎧⎨->⎩，只有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. －3≤a ≤－2B. －3≤a ＜－2C. －3＜a ≤－2D. －3＜a ＜－2例3、拓展应用（1）若不等式组12x x m<≤⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围是（ ）．A ．m<2B ．m≥2C ．m<1D ．1≤m<2（2）不等式组⎩⎨⎧<->-10a x a x 的解集中的任一个x 值均不在2≤x ≤5范围内，则a 的范围为 。

含参数的不等式1. 解关于x 的不等式：a 1 >+x解：1°若 a>0 则： x +1<-a 或 x +1>a ∴ x <-a-1 或 x >a-1 解集为：{}1a 1a |->--<x x x 或 2°若 a<0 则：解集为：R3°若 a=0 则：不等式为：0 1 >+x 解集为： {}1|-≠x x2. 解关于x 的不等式：1a 13 +>+x解：1°当a+1>0即a> -1时得：3x+1<-a-1 或 3x +1>a+1∴ 323a--<x 或 3a>x∴解集为： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--<3a 323a |x x x 或2°当a+1<0即a< -1时得： 解集为：R3°当a+1=0即a= -1时得：013>+x ∴解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈31,R |x x x3. 解关于x 的不等式：1a 2 +≤-x解：1°当a+1>0即a> -1时得：1a 21a +≤-≤--x ∴3a 1a +≤≤+-x解集为：{}3a 1a |+≤≤+-x x2°当a+1<0即a< -1时得： 解集为：φ 3°当a+1=0即a= -1时得：02≤-x ∴解集为：{}2|=x x4. 解关于x 的不等式： 0k )1k (2>++-x x解：令 0k )1k (2=++-x x 得：0)k )(1(=--x x ∴ x 1=1 x 2 = k1°当 k>1 时 解集为：{}k 1|><x x x 或2°当k<1 时 解集为：{} 1 k |><x xx 或 3°当k=1 时不等式为：1)1(2>-x 解集为：{} 1 , R |≠∈x x x5. 解关于x 的不等式：x 2-3 (a+1)x + 2(a+1)2 ≤0解：令 x 2-3 (a+1)x +2(a+1)2=0 得：[])1a (2+-x [])1a (+-x =0 ∴ x 1=2a+2 ，x 2=a+1 1°当2a+2>a+1即a> -1时，得解集为： {}1a 1a 2|+≤≤+x x 2°当2a+2<a+1即a< -1时，得解集为：{}1a 21a |+≤≤+x x 3°当2a+2=a+1即a= -1时，不等式为：x 2≤0，解集为：{}0|=x x6. 解关于x 的不等式：x 2-a (a+2)x +2a 3>0解：令 x 2-a (a+2)x +2a 3=0 得：(x -a 2)(x -2a)=0， ∴ x 1=a 2 x 2=2a1°当a 2>2a 即a<0或 a>2时，得解集为：{}2a a 2|><x x x 或 2°当a 2<2a 即0<a<2时， 得解集为：{}a 2 a |2><x x x 或 3°当a 2=2a 时，a=0 或 a=2a=0 时，解集为：{} 0 R |≠∈x x x 且a=2 时，解集为：{} 4 R |≠∈x x x 且7. 解关于x 的不等式：a x 2+(a+1)x +1<0解：1°a=0 时，解集为：{}1|-<x x2°a ≠0 时，令 a x 2+(a+1)x +1=0 得：(a x +1)(x +1)=0 ∴x 1=a 1-, x 1= 1-若 a ≥1 解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-a 11|x x若 0<a<1 解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-1a 1|x x若 a<0解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<a 1 1|x xx 或8. 设 A={}02|2<--x x x ，B={}03a 2a )2a 2(|22<-+++-x x x ，若 A B A = ，求： a 的取值范围 。

解含有参数的一元二次不等式问题例1．解关于x 的不等式x 2-ax -30a 2<0．解：解方程x 2-ax -30a 2=0，得x 1=-5a ，x 2=6a ．当a >0时，-5a <6a ，解集为：{x |-5a <x <6a }；当a >0时，6a <-5a ，解集为：{x |6a <x <-5a }．当a =0时，原不等式为x 2<0，解集为：Φ．注：对含有字母的不等式，其一元二次方程的两根大小不能确定时，要注意讨论．例2．已知不等式11<-x ax 的解集为{x |x <1，或x >2}，则a 的值为 ( ) (A )a <21 (B )a >21 (C )a =21 (D )a =-21 解：原不等式整理为 011)1(<-+-x x a ． 它等价于[(a -1)x +1](x -1)<0，由于原不等式的解集为{x |x <1，或x >2}，∴a -1<0．∴a <1且-211=-a ，得a =21． 故选 (C )． 注：含有字母的不等式在进行变换时，要特别注意首项系数的正负，因为它能左右不等式解集的正确与否．例3．解关于x 的不等式1-x x <1-a (a ∈R )． 解：∵x -1的值的符号无法确定，所以不能直接去分母，可将原不等式变形为1-x x -(1-a )<0，即11--+x a ax <0． (1)当a >0时，不等式两侧同除以a ，得011<--+x a a x ， 它等价于01)1(<⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a x x ． ∵a >0，a a a 111-=--<0，∴11<-aa ． 这时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-11x a a x ． (2)当a =0时，原不等式为011<-x ，则解集为{x |x <1}． (3)当a <0时不等式的两边同除以a ，则011>---x a a x ， 当a <0时，0111>-=--a a a ，∴11>-aa ． 这时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->1,1x a a x x 或． 综上所述，可得当a >0时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-11x a a x ； 当a =0时，原不等式的解集为{x |x <1}；当a <0时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->1,1x a a x x 或． 注：不等式的两边不能盲目乘以或除以一个字母或含有未知数的因式，除非已知它们的正负．例4．已知集合A ={x |x 2-3x -10}，B ={x |2m -1<x <3m +2}且A B =∅，求实数m 的取值范围．分析：将A 化为{x |x ≤-2或x ≥5}，由于A B =∅，所以可分为B ≠∅或B =∅两种情况求解． 解：A ={x |x ≤-2或x ≥5}，当B ≠∅时，∵A B =∅，∴⎩⎨⎧≤+-≥-523212m m ．由此得 -21≤m ≤1． 当B =∅时，此时A ∅=∅，∴2m -1≥3m +2．由此得到m ≤-3．综上所述，可得实数m 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--≤121,3m m m 或． 例5．已知集合A ={x |x 2-5x +4≤0}与B ={x |x 2-2ax +a +2≤0，a ∈R }满足B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：由已知，得A ={x |x 2-5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}，记f (x )=x 2-2ax +a +2，它的图象是一条开口向上的抛物线．(1)若B =∅，显然有B ⊆A ，此时抛物线与x 轴无交点，故∆=4a 2-4(a +2)<0，∴-1<a <2． (2)若B ≠∅，再设抛物线与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2且x 1<x 2．欲使B ⊆A ，应有[x 1，x 2]⊆[1，4]，观察图形可知，需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≥++⋅-=≥++⋅-=≥+-=∆422102424)4(02121)1(0)2(44222a a a f a a f a a ，解得2≤a ≤718． 综合(1)、(2)得a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-7181a a ． 1 x 1 x 2 4 y x O。

含参数一元一次不等式组的解集专题训练含参数一元一次不等式组的解集专题训练一、填空题（共22小题）1.不等式组。

的整数解是。

2.不等式组。

的整数解是。

3.不等式组。

的最大整数解为。

4.不等式组。

的最小整数解是。

5.不等式组的整数解的和为。

6.不等式组的最大整数解为。

7.不等式组的整数解的个数为。

8.不等式组的整数解是。

9.不等式组的负整数解是。

10.不等式组的非负整数解的个数是。

11.不等式组的整数解为。

12.不等式组的非负整数解有。

个。

13.关于x的不等式组。

14.不等式组。

恰有3个整数解，则实数m的取值范围为。

15.已知关于x的不等式组。

16.若不等式组。

17.不等式组。

18.若不等式组。

19.已知不等式组。

20.已知，关于x的不等式组。

21.已知关于x的不等式组。

22.关于x的不等式组。

二、解一元一次不等式组1.解不等式组。

的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是。

2.解不等式组。

3.解不等式组。

4.解不等式组。

5.解不等式组。

6.解不等式组。

7.解不等式组。

8.解不等式组。

9.解关于x的不等式组。

10.解关于x的不等式组。

11.(1) 已知不等式组的解集为1≤x＜2，求a、b的值。

(2) 已知关于x的不等式组。

12.已知方程无解，试化简|a+1|﹣|3﹣a|。

的解满足条件x ＞，y＜，求m的取值范围。

13.试求出所有的实数对a、b，使得关于x的不等式组。

14.解关于x的不等式组。

三、实际问题与不等式组1.某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元。

(1) 购买一个足球、一个篮球各需多少元？(2) 根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元。

问最多可以购买多少个篮球？2.某电脑经销商计划同时购进10台电脑机箱和8台液晶显示器，共需要资金7000元；若购进2台电脑机箱和5台液晶显示器，共需要资金4120元。

含参数的一元二次不等式精选训练试题解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？ 对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221aa a x +---=a a a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

含参数一元二次不等式练习题一、选择题：1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ． ⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)5．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫32，152B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7]6．(2012·温州高三适应性测试)若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞－6B ．m ＞3或－6＜m ＜－2C ．m ＞2或－6＜m ＜－1D ．m ＞3或m ＜－1二、填空题7．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________. 8．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.9．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________．12．若关于x的不等式x2＋12x－⎝⎛⎭⎫12n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________．13．(2012·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．三，解答题14.解下列不等式：(1)x2－2ax－3a2＜0(a＜0)．(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．15.已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．（本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1,1)”，求a的取值范围）16．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；含参数一元二次不等式练习题一、选择题：1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2.2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ． ⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：选A ①m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不合题意．②m ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311. 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：选C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56. 又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.5．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫32，152B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7]解析：选C 由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8. 6．(2012·温州高三适应性测试)若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞－6B ．m ＞3或－6＜m ＜－2C ．m ＞2或－6＜m ＜－1D ．m ＞3或m ＜－1解析：选B 依题意，令x ＝0得关于y 的方程y 2＋2my ＋m ＋6＝0有两个不相等且同号(均不等于零)的实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m )2－4(m ＋6)＞0，m ＋6＞0， 由此解得m ＞3或－6＜m ＜－2. 二、填空题7．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________. 解析：k －3x －3＞1，得1－k －3x －3＜0，即x －k x －3＜0，(x －k )(x －3)＜0，由题意得k ＝1. 答案：18．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.解析：因为|x ＋2|<3，即－5<x <1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m <1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 19．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅，∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.答案：(－1,3)10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：由Δ1<0，即a 2－4(－a )<0，得－4<a <0；由Δ2≥0，即a 2－4(3－a )≥0，得a ≤－6或a ≥2.答案：(－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞)11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________．解析：由已知得f (3)＝6－m ，①当m ≤3时，6－m ≥3，则f (f (3))＝2(6－m )－m ＝12－3m ＞6，解得m ＜2；②当m ＞3时，6－m ＜3，则f (f (3))＝6－m ＋5＞6，解得3＜m ＜5.综上知，m ＜2或3＜m ＜5.答案：(－∞，2)∪(3,5)12．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max ＝12， 解得x ≥12或x ≤－1. 又x ∈(－∞，λ]，所以λ的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]13．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9三，解答题14.解下列不等式：(1)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)．(2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．(1)原不等式转化为(x ＋a )(x －3a )＜0，∵a ＜0，∴3a ＜－a ，得3a ＜x ＜－a .故原不等式的解集为{x |3a ＜x ＜－a }．(2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a ，或x ＜－a .(3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a. 综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；15.已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． （本题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)”，求a 的取值范围）[自主解答] 法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1) 时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1 ≤a ≤1.综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3 ≤a ≤1.本题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)”，求a 的取值范围．解：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1,1)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，a ＞1，g (1)≥0.解得－3≤a ≤1，所求a 的取值范围是[－3,1] .16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小． 解：由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a， ∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .。

1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.(1)2x2+3x+1； (2)2y2+y－6；(3)6x2－13x+6； (4)3a2－7a－6；(5)6x2－11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2；(7)10x2－21xy+2y2； (8)8m2－22mn+15n2.(1)2x2－5x－12； (2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5； (4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3； (6)4x2+24x+27.(1)6x2－13xy+6y2； (2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.(1)2x2+3x+1； (2)2y2+y－6；(3)6x2－13x+6； (4)3a2－7a－6；(5)6x2－11xy+3y2；(6)4m2+8mn+3n2；(7)10x2－21xy+2y2； (8)8m2－22mn+15n2.(1)4n2+4n－15； (2)6a2+a－35；(3)5x2－8x－13； (4)4x2+15x+9(5)15x2+x－2；(6)6y2+19y+10；(7)20－9y－20y2； (8)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)(1) 12x^2+10xy-12x+5y-9(2) 2y^2-ay-3by-a^2+b^2(3) x^3+(2a+1)^2+(a^2+2a-1)(4)a^2+b^2-2ab-2a+2b-81．（1）x+9x+8 (2) x-10x+24 (3) x+3x-10 (4) x-3x-28 (5) a+4a-21 (6)m+4m-12 (7)p-8p+7 (8)b+11b+282． (1)x+7x-18 (2)x+8x+15 (3)m x-8mx+12 (4)x y-7xy+103． (1)x-7xy+12y (2)a+2ab-15b (3)m+4mn-12n（4）p+9pq+18q4． (1)-x y+6xy-8y (2)(m+n)-(m+n)-30 (3)ab+4abc+3ac (4)(x-y)-3(x-y)-405． (1) x-15x-16x (2)1-26a+25a(3) (x+2x)-7(x+2x)-8 (4)a+7a-8 (5)(x+y)+(x+y)-20 (6)5x-15x y-20xy（1）4n+4n-15 (2) 6k+k-35(3) 10x-21xy+2y (4) 8m-22mn+15n1.x^2+2x-8（x-2）(x+4)过程：-2*4=-8;-2+4=22.x^2+3x-10（x+5）(x-2)过程：5*(-2)=-10;-2+5=33.x^2-x-20（x-5）(x+4)过程：-5*4=-20;-5+4=-14.x^2+x-6（x-2）(x+3)过程：-2*3=-6;-2+3=15.2x^2+5x-3（2x-1）(x+3)过程：-1*3=-3;2*3+(-1)*1=56.6x^2+4x-2（6x-2）(x+1)过程：-2*1=-2;6*1-2*1=27.x^2-2x-3（x-3）(x+1)过程: -3*1=-3;-3+1=-28.x^2+6x+8（x+2）(x+4)过程：2*4=8;2+4=69.x^2-x-12（x-4）(x+3)过程：-3*4=-12;-3+4=110.x^2-7x+10（x-2）(x-5)过程：-5*(-2)=-10;-2-5=-711.6x^2+x+2 －－题目抄错!应该为6x^2+x-2吧（2x-1）(3x+2)过程：-1*2=-2;2*2-1*3=112.4x^2+4x-3（2x-1）(2x+3)过程：-1*3=-3;2*3+2*(-1)=4回答人的补充 2009-08-30 02:551）18m^2n+12mn^2-6mn2)x^4-2x^2y^2+y^43)12ab^2(x-y)^2+24a^2b^2(y-x)^2+18ab(y-x)^34)t^2-7t+125)x^2-5xy-6y^26)(m+n)^2-(m+n)-67)(a^2+4a-1)(a^2+4a+9)+25答案1.6mn(3m+2n-1)2.原式=(x^2)^2-2x^2y^2+(y^2)^2=(X^2-Y^2)^2=(x+y)^2(x-y)^23.6ab(y-x)^2〔2b+4ab+3(y-x)〕4.(t-7/2)^2-1/45.(x-2y)(x-3y)6.(m+n-3)(m+n+2)7.(a^2+4a)^2+8(a^2+4a)+16=(a^2+4a+4)^28.原式=(1000-0.2)^2=1000^2+0.2^2-2*1000*0.2=999600.049.原式=(25+1/5)(25-1/5)=25^2-(1/5)^2=15624/2510.原式=(1+1/2)(1+1/3)……(1+1/100)(1-1/2)(1-1/3)……(1-1/100) =3/2*4/3*5/4……101/100*(1/2*2/3……99/100)=101/2*1/100=101/200• 解不等式(3a-2)x+2<3的解集为x<2,求a的值 2007-3-25• 已知a∈R，解关于x的不等式：x^2-(a+3)x+3a>0 1 2009-10-8• 解不等式:A^2(X－1)〈3A+X=2，计算（1-√2+√3）（1-√2+√3）的值 1 2008-2-11 • 解关于x得不等式:ax^2+2a^2x-3a^3>0 3 2009-6-12• 若不等式(3A-2)X+2<3的解集是X<2,那么必须满足____ 3 2008-7-19解：(3a-2)x+2<3(3a-2)x<3-2(3a-2)x<1由于解集为x<2，不等号没有变方向，说明x的系数3a-2>0，所以该不等式的解是：x<1/(3a-2)，与x<2对照，得：1/(3a-2)=23a-2=1/23a=5/2a=5/6x^2-(a+3)x+3a>0(x-3)(x-a)>0a≥3时，x>a,或，x<3a<3时，x>3,或，x<aA^2(X－1)〈3A+X+2(A^2-1)x<A^2+3A+2(A-1)(A+1)X<(A+1)(A+2)1>.A^2-1>0=>A>1或A<-1X<(A+2)/(A-1)2>.A^2-1=0=>A=1或-1A=1时，X取任意实数A=-1时，X无解3>.A^2-1<0=>-1<A<1X>(A+2)/(A-1)(2).（1-√2+√3）（1-√2+√3）=1+2+3-2√2+2√3-2√6=6-2√2+2√3-2√6ax^2+2a^2x-3a^3>0等价于：（ax+3a^2）（x-a）>0令ax^2+2a^2x-3a^3=0则：x=-3a或x=a1、当a>0通过画图可知：大于0的函数部分在2跟之外。