含参数不等式的解法(含答案)

八年级数学下册学霸提分秘籍专题10 第二章元一次不等式（组）小专题-含参一元一次不等式组的解法典例精讲（2020•河北模拟）已知关于x 的不等式组{−x −1≥−2x +112(x −2a)+12x ＜0，其中实数a 是不等于2的常数，请依据a 的取值情况求出不等式组的解集．【点睛】分别求出各不等式的解集，再根据实数a 是不等于2的常数进行分类解答即可．【解析】解：{−x −1≥−2x +1①12(x −2a)+12x ＜0②， 由①得，x ≥2， 由②得，x ＜a ，故当a ＞2时，不等式组得解集为2≤x ＜a ；当a ＜2时，该不等式组无解．巩固提高1．（2019•鼓楼区校级期末）解关于x 的不等式组{x −a ≥0x −2＜0x +1＞0．【点睛】根据不等式组的解法即可求出答案，注意对参数a 的讨论．【解析】解：{x −a ≥0①x −2＜0②x +1＞0③由①可得：x ≥a 由②可得：x ＜2 由③可得：x ＞﹣1当a ≤﹣1时，此时不等式组的解集为：﹣1＜x ＜2 当﹣1＜a ＜2时，此时不等式组的解集为：a ≤x ＜2 当a ≥2时， 此时不等式组无解2．（2020•顺义区校级期中）解关于x 的不等式组：{0＜5x +3a ≤10＜5x −3a ≤1，其中a 为参数．【点睛】求出不等式组中每个不等式的解集，分别求出当−35a =35a 时、当1−3a 5=1+3a 5时、当−35a =1+3a 5时、当35a =1−3a5时a 的值，结合不等式的解集，即可求出在各段的不等式组的解集． 【解析】解：{0＜5x +3a ≤1①0＜5x −3a ≤1②，解不等式①得：﹣3a ＜5x ≤1﹣3a ，−35a ＜x ≤1−3a5， 解不等式②得：3a ＜5x ≤1+3a ，35a ＜x ≤1+3a 5， ∵当−35a =35a 时，a ＝0，当1−3a 5=1+3a 5时，a ＝0，当−35a =1+3a 5时，a =−16， 当35a =1−3a 5时，a =16，∴当a ≥16或a ≤−16时，原不等式组无解；当0≤a ＜16时，原不等式组的解集为：35a ＜x ≤1−3a 5；当−16＜a ＜0时，原不等式组的解集为：−35a ＜x ≤1+3a5． 3．（2020•浙江自主招生）解关于x 的不等式组：{a(x −2)＞x −39(a +x)＞9a +8．【点睛】利用不等式组的求解方法，求得各不等式组的解集，然后分别讨论a 的取值，即可求得答案． 【解析】解：∵{a(x −2)＞x −3①9(a +x)＞9a +8②，由①得：（a ﹣1）x ＞2a ﹣3③，由②得：x ＞89，当a ﹣1＞0时，解③得：x ＞2a−3a−1， 若2a−3a−1≥89，即a ≥1910时， 不等式组的解集为：x ＞2a−3a−1； 当1≤a ＜1910时，不等式组的解集为：x ≥89； 当a ﹣1＜0时，解③得：x ＜2a−3a−1，若2a−3a−1≥89，即a ≤1910时，89＜x ＜2a−3a−1； 当a ＜1时，不等式组的解集为：89＜x ＜2a−3a−1．∴原不等式组的解集为：当a ≥1910时，x ＞2a−3a−1；当a ＜1910时，89＜x ＜2a−3a−1．。

含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。

一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。

对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。

绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。

含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。

1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。

2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。

3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。

例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22练习1 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a xR x x 且； 当4>a 或4-<a 即>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习2 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122三、按方程2=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。

含参数一元二次不等式的解法我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或（其中均为常数，）.解含参一元二次不等式的相关问题对于基础薄弱的同学来说是一个难点.为了帮助这些同学解决此类问题，本文将相关解题方法进行简化、总结，帮助同学们理解和学习.下面我们通过例举进行具体的分析说明.类型一解二次项前不带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键在于通过比较两根的大小，确定参数讨论的界限，进而解出的取值范围.例1 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可解出的取值范围.解：原不等式等价于，所对应方程的两根是当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .2、对应方程（其中均为常数，）不能进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程不能进行因式分解，则分类讨论的关键在于判别式，此时根据判别式确定参数讨论的界限，解出的取值范围.例2 解关于的不等式 .分析：对应方程不能进行因式分解，此时根据判别式确定参数讨论的界限，求出的取值范围.解：原不等式对应方程的判别式为（1）当，时，的两根为或，不等式的解集为 .（2）当，时，的根为，不等式的解集为 .1.当，时, 不等式的解集为 .综上所述：当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .类型二解二次项前带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键仍然在于通过比较两根的大小确定参数讨论的界限. 另外，需要注意的问题是二次项前带参数与二次项前不带参数不同，参数的范围决定对应二次函数的开口方向，影响对应一元二次不等式的解集.例3 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可确定参数讨论的界限，根据参数的不同取值范围，求出不等式相应解集。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，()00652≠>+-a a ax ax解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆，所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

一元一次含参不等式的解法一元一次含参不等式是指不等式中含有一个未知数和一个或多个常数参数的不等式。

其解法主要分为如下几种：1. 移项法移项法是一种常见的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，最终得到未知数的取值范围。

例如，对于不等式 $ax+b>c$，我们可以将常数项 $c$ 移到左侧，得到$ax+b-c>0$，然后将$ax$ 移到右侧，得到$x>\frac{c-b}{a}$。

因此，该不等式的解为 $x>\frac{c-b}{a}$。

2. 分段讨论法分段讨论法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是根据参数的取值范围，将不等式分成若干个子区间，然后在每个子区间内求解不等式。

例如，对于不等式$ax^2+bx+c>0$，我们可以分别讨论$a>0$ 和$a<0$ 两种情况。

当$a>0$ 时，该不等式的解为$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当 $a<0$ 时，该不等式的解为 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

因此，该不等式的解为$a>0$ 时$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$a<0$ 时$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

3. 辅助函数法辅助函数法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是构造一个辅助函数，使得该函数的取值范围与未知数的取值范围相同，然后根据函数的性质求解不等式。

不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。

二元一次不等式含参解法
二元一次不等式含参问题的解法主要依赖于参数对不等式的影响。

以下是一些关键步骤：
参数的存在会影响不等式的解集：求含参不等式的解集时，根据参数的情况可能需要分类讨论。

例如，对于不等式 ax<b：
当 a>0 时，不等式的解集是 x<ab；
当 a<0 时，不等式的解集是 x>ab；
当 a=0，b>0 时，不等式的解集是全体实数；
当 a=0，b≤0 时，不等式无解。

已知含参不等式组的解集：可以利用数轴确定参数的取值范围。

解含参不等式组：将参数当作已知数进行求解，用参数表示出两个未知数，然后再根据题意列出等量关系式，求出参数的值。

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类办法有三种：一.按2x 项的系数a 的符号分类,即0,0,0<=>a a a ;例1解不等式：()0122>+++x a ax 剖析：本题二次项系数含有参数,()044222>+=-+=∆a a a ,故只需对二次项 系数进行分类评论辩论.解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x当0<a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax剖析 因为0≠a ,0>∆,所以我们只要评论辩论二次项系数的正负.解()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时,解集为{}32|><x x x 或;当0<a 时,解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式 1.0)2)(2(>--ax x ;2.(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x a x x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2)<0.}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当3.ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)二.按判别式∆的符号分类,即0,0,0<∆=∆>∆;例3解不等式042>++ax x剖析本题中因为2x 的系数大于0,故只需斟酌∆与根的情形. 解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时,解集为R ; 当4±=a 即Δ＝0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且;当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分离为21621-+-=a a x ,21622---=a a x ,显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ,即0=∆时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ;当33<<-m ,即0>∆时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或;当33>-<m m 或,即0<∆时,解集为R.变式：解关于x 的不等式：012<++x axΦ≥-+-<<---<<-<=--->-+-<<时，当时，当时，当或时，当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(a aax a a x a x x a aax a a x x a三.按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类,即212121,,x x x x x x <=<;(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，又2a >0，∴不等式的解集为{x |0<x <2a }． 综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a <0时，不等式解集为{x |2a<x <0}； 当a >0时，不等式解集为{x |0<x <2a}．例5解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x剖析：此不等式可以分化为：()0)1(<--ax a x ,故对应的方程必有两解.本题 只需评论辩论两根的大小即可.解：原不等式可化为：()0)1(<--ax a x ,令a a 1=,可得：1±=a∴当1-<a 或10<<a 时,a a 1<,故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|;当1=a 或1-=a 时,a a 1=,可得其解集为φ;当01<<-a 或1>a 时,a a 1>,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|. 例6 解不等式06522>+-a ax x ,0≠a剖析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ,又不等式可分化为()0)3(2>--a x a x ,故只需比较两根a 2与a 3的大小.解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ,对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为a x a x 3,221==,当0a时,即23a a ,解集为{}a x a x x 23|<>或;当0<a 时,即23aa ,解集为{}|23x x a x a ><或变式：1.223()0x aa x a 2.0222<--a ax x解：∵x 2－（a+a 2）x+a 3＝（x －a ）（x －a 2） ∴当a>1,或a<0时,不等式的解为a<x<a 2 当0<a<1时,不等式的解为a 2<x<a 当a ＝0,或a ＝1时,不等式解为φ 课后演习：1.)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x ax ，且（分3;32;2><<--<a a a 评论辩论）098.0222222≥=+=∆=--a a a a ax x 的判别式方程.,221a x a x -==得方程的两根为.2,0)3(a x a a -<<<则若ax a a 2,0)1(<<->则若}.2|{,0)3(,0)2(}2|{,0)1(a x a x a a a x a x a -<<<Φ=<<->时当；时当；时当解集为：综上所述，原不等式的Φ<=此时解为则原不等式为若,0,0)2(2x a}3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(a x x x a x a x x a x a x x a <<-<><<-<<<-<<-<-<或时，当或时，当或时，当2.不等式11<-x ax 的解集为}21|{><x x x ，或,求a 的值. （21=a ） 3.已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ,①若AB ,求实数a 的取值规模.;（2>a ）②若A B ⊆,求实数a 的取值规模.;（21≤≤a ）③若B A 为仅含有一个元素的聚集,求a 的值.（1≤a ） 解：A=｛x ｜1≤x ≤2｝,B=｛x ｜(x-1)(x-a)≤0｝ (1)若AB(图甲),应有a ＞2. (2)若BA(图乙),必有1≤a ≤2.(3)若A ∩B 为仅含一个元素的聚集(图丙),必有a ≤1.4.已知}031|{≤--=x x x A ,B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2,求实数a 的取值规模.（31<≤a ）5.设全集R U =,聚集}3|12||{},01|{<+=≥+-=x x B x ax x A ,若R B A = ,求实数a 的取值规模. （12≤≤-a ）6.已知全集R U =,}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ,若C B A ⊆)( ,求实数a 的取值规模.（ 21≤≤a ）7.若关于x 的不等式(2x －1)2＜ax 2的解分散的整数恰有3个,求实数a 的取值规模.（]1649925<<a 【解析】 不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1＜0①,因为原不等式的解分散的整数恰有3个,所以⎩⎨⎧>--=∆>-0)4(41604a a ,解得0＜a ＜4,故由①得a x a-<<+2121,又212141<+<a ,所以解分散的3个整数必为1,2,3,所以3＜a -21≤4,解得925＜a ≤1649。

含参数的一元二次不等式的解法基础知识：1.一元二次不等式的形式：02>++c bx ax 与02<++c bx ax （a≠0）2. 只考虑0>a 的情形。

当a ＜0时，将不等式两边乘－1就化成 了“a＞0”。

3.一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的联系：从函数的观点来考虑。

设二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L ，则不等式ax 2+bx+c ＞0，ax 2+bx+c ＜0的解集分别是抛物线L 在x 轴上方，在x 轴下方的点的横坐标x 的集合；二次方程ax 2+bx+c=0的根就是抛物线L 与x 轴的公共点的横坐标。

ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>的图象02=++c bx ax 的根ab x 22,1∆±-=122b x x a==- ∅02>++c bx ax 的解集{}12x x x x x <>或 R 2b x x x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭但R 20ax bx c ++≥的解集{}12x x x x x ≤≥或RR 20ax bx c ++≤的解集{}12x x x x ≤≤ =2b x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∅02<++c bx ax 的解集{}12x xx x <<∅∅4.二次不等式、二次方程与二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。

它是函数与方程思想的应用范例。

应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。

5.一元二次不等式的解法步骤。

1）化为一般式ax 2+bx+c ＞0 (a ＞0)或ax 2+bx+c ＜0 (a ＞0)。

这步可简记为“使a ＞0”。

2）.计算△=b 2－4ac ，判别与求根：解对应的二次方程ax 2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。

含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。

下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。

一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。

首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。

在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。

然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。

根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。

所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。

二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。

根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。

含参不等式的解题方法与技巧
1、含参不等式的解题方法与技巧
一、等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；
4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。

二、不等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；
4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。

三、解题方法
1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；
2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，
分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；
3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。

四、解题技巧
1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；
2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；
3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。

1.（江苏省2011届理）已知常数2,20aRxaxxa解关于的不等式。 答案 (1)0,0.ax时解为 222

22

(2)0,441.0,01,2011{|}.0,1,;.0,1,.aaaiaaxxaaaaxxaaiiaxiiiax时1当即时方程两根为

11不等式的解集为

当即时当时即时

2．（江苏泰兴2011届高三文）已知集合A＝{|(2)[(31)]0}xxxa，B＝22{|0}(1)xaxxa． ⑴当a＝2时，求AB； ⑵求使BA的实数a的取值范围．

答案 解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）． （2）∵ B＝（2a，a2＋1），当a＜13时，A＝（3a＋1，2） 要使BA，必须223112aaa，此时a＝－1； 当a＝13时，A＝，使BA的a不存在； 当a＞13时，A＝（2，3a＋1） 要使BA，必须222131aaa，此时1≤a≤3． 222

22

(3)0,11.0,10,{|}.0,1,(1)01..0,1,.1,;1101,{|}0,{|0};10,{|aaaiaxxxaaiiaxxRxiiiaxRaaaaxxaaaxxaxx当时1+1即时不等式的解集为或

即时不等式化为解为且即时综上所述，当时原不等式的解集为

11当时解集为

当时解集为1当时解集为2211}1,{|R1};1,.aaxaaaxxxaR+1或

当时解集为且当时解集为

3.不等式0232xx的解集是 A．21xxx或 B．12xxx或 C．12xx D．21xx 4．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|21||23|.fxxx （I）求不等式6)(xf的解集；（II）若关于x的不等式axf)(恒成立，求实数a的取值范围。 【分析】（1）只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；（2）