高二数学 充分条件和必要条件(2)

高二数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则p是q的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用集合关系法。

因为，，所以，p是q的必要不充分条件，故选B。

【考点】本题主要考查充要条件的概念。

点评：简单题，充要条件的判断，涉及知识面较广，从方法来讲有三种思路：定义法，等价关系法，集合关系法。

2.已知条件p:x<1，条件q：<1，则p是q的条件．【答案】既不充分也不必要条件【解析】根据题意，由于条件p:x<1，条件q：<1，那么可知q：，因此根据集合之间的互不包含的关系，可知p是q的条件既不充分也不必要条件。

【考点】充分条件点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.“”是“”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】可得；可得，由成立，反之不成立，所以“”是“” 必要不充分条件【考点】条件关系点评：若成立，则是的充分条件，是的必要条件4.设a∈R，则a＞1是＜1的 ()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意，由于,可知条件表示的集合是结论集合的真子集，那么可知条件可以推出结论，反之不成立，因此可知为充分但不必要条件，选A.【考点】充分条件点评：解决的关键是对于结论和条件表示的集合的关系的确定，属于基础题。

微专题02 充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。

所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。

例如2:1;:10p x q x =-=，构造命题：“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q ⇒，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。

在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。

以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2:10q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。

《必要条件与充分条件（2）》教学设计1． 掌握充分条件的概念．2． 理解充分条件的意义．3． 会判断条件与结论之间的充分性．4． 提高数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养逻辑思维能力．重点：掌握充分条件的概念和意义；会判断条件与结论之间的充分性．难点：会判断条件与结论之间的充分性． 一、新课导入 回顾旧知：必要条件的理解与判定．答案：一般地，当命题“若p ，则q ”是真命题时，称q 是p 的必要条件．思考：如何从集合的角度理解必要条件？分析：设p ：x ∈P ，q ：x ∈Q ，那么“p ⇒q ”为真，从集合的角度理解相当于P ⊆Q ，故“x ∈Q ”是“x ∈P ”的必要条件．今天，我们将继续学习必要条件与充分条件（2）——充分条件及判定定理．设计意图：从复习入手，引入集合的角度来理解必要条件概念，建立新旧知识连接，拓展对必要条件判定的理解，引出充分条件，从而顺利引出本节课题．二、新知探究探究一：充分条件的理解．实例分析：定理4 若a >0，b >0，则ab >0．定理5 对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理6 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似．师分析定理4：如果满足了条件“a >0，,b >0”，一定有结论“ab >0”．但要注意，当ab >0时，a >0，b >0不一定成立，例如，由“a <0，b <0”，也可以判定“ab >0”．实际上，定理4告诉我们：只要有了“a >0，b >0”这个条件，就可以判定“ab >0”．学生尝试分析定理5、6．答案：定理5只要满足了条件 “四边形对角线互相平分”，那么就可以判定结论“四边形◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程◆一定是平行四边形”成立．定理6只要满足了条件“平行于三角形一边的直线去截其他两边，截得一个三角形”，那么就可以判定结论“截得的三角形与原三角形相似”成立．小结：上面三个定理（命题）都可以写成相同的形式“只要满足p成立，那么就可以判定q成立”（或“若p成立，则q成立”），即p成立能充分说明q成立．探究二：充分条件与判定定理．知识点：1．一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．即p ⇒q为真时，若p成立，则q成立，只要满足p成立，就能判定q成立，即p ⇒q为真时，p成立能充分说明q的成立．综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．2．判定定理：（1）定理4 若a>0，b>0，则ab>0．“a>0，b>0”是“ab>0”的充分条件．（2）定理5 对角线互相平分的四边形是平行四边形．“四边形对角线互相平分”是“四边形一定是平行四边形”的充分条件．（3）定理6 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似．“用平行于三角形一边的直线去截其他两边，截得一个三角形”是“截得的三角形与原三角形相似”的充分条件．探究三：充分条件的判定方法．知识点：（1）定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．（2）命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．小结：对充分条件的理解．（1）所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．（2）充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件．设计意图：通过对充分条件的理解、充分条件与判定定理的思考两个探究活动，循循渐进，深入理解充分条件．师生互动，启发教学，培养学生逻辑思维能力．三、应用举例例1：用充分条件的语言表述下面的命题：（1）若a=−b ，则|a|=|b|；（2）若点C是线段AB的中点，则AC= BC；（3）当ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．解：（1）“a=−b”是“|a|=|b|”的充分条件；（2）“点C是线段AB的中点”是“AC= BC”的充分条件；（3）“ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的充分条件．<1”的（）条件．例2：“a>1”是“1a分析：易知充分性成立，取特殊值检验知必要性不成立，即可求解．<1成立，即充分性成立，解：当a>1时，1a<1，但a>1不成立，即必要性不成立，则当a=1时，满足1a<1”的充分不必要条件．“a>1”是“1a例3：集合A={x|−1<x<1}，B={x|−a<x−b<a}．若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，求实数b的取值范围．分析：先化简集合B，解不等式−1<b−1<1或−1<b+1<1即得解．解：A={x|−1<x<1}，B={x|−a<x−b<a}={x|b−a<x<b+a}．因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，即当a=1，A∩B≠∅成立，所以−1<b−1<1或−1<b+1<1，即−2<b<2．四、课堂练习1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．（）（2）若p是q的充分条件，则p是唯一的．（）（3）“x=3”是“x2=9”的充分条件．（）（4）“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分条件．（）2．若aϵR，则“a=1”是“|a|=1”的（）条件．3．试分别指出p是q的什么条件．（1）p：x− 2=0；q： (x− 2)(x− 3)=0；（2）p： m<− 2;；q：方程x2−x− m=0无实数根；4．已知p: −4<x− a<4，q：2<x<3，若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：1．（1）√（2）×（3）√（4）√解析：由充分条件的理解得出．2．充分条件解析：根据命题法判断，“若p：aϵR，a=1，则|a|=1”为真命题，那么p是q的充分条件．3．（1）p是q的充分不必要条件（2）p是q的充分不必要条件解析：（1）因为x−2=0⇒(x− 2)(x−3)=0，(x− 2)(x−3)=0⇏x−2=0，所以p是q的充分不必要条件．（2）因为m<−2⇒方程x2-x- m=0无实数根，方程x2−x−m=0无实数根⇏m<−2，所以p是q的充分不必要条件．4．−1≤a≤6解析：由q:2<x<3是p: −4<x− a<4的充分条件，得a−4≤2，a+4≥3，解得−1≤a≤6．五、课堂小结1．对充分条件得理解：（1）所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．（2）充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件．2．充分条件的判定方法：（1）定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．（2）命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．六、布置作业教材第16页练习第1、2题．。