高中数学 必修一 教案 充分条件与必要条件1

数学教案－充分条件与必要条件一、教学目标1.理解充分条件与必要条件的概念，能够判断两个条件之间的逻辑关系。

2.掌握充分条件与必要条件的判断方法，能够运用这些方法解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

二、教学内容1.充分条件与必要条件的概念2.充分条件与必要条件的判断方法3.充分条件与必要条件在实际问题中的应用三、教学过程1.导入向学生简要介绍充分条件与必要条件的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲解概念通过实例解释充分条件与必要条件的含义，让学生理解两者之间的区别与联系。

例如：假设A表示“今天下雨”，B表示“地面湿”。

充分条件：如果A成立，那么B一定成立，即A是B的充分条件。

必要条件：如果B成立，那么A不一定成立，但A是B的必要条件。

3.判断方法介绍判断充分条件与必要条件的方法，让学生掌握判断技巧。

方法一：通过定义判断。

根据充分条件与必要条件的定义，判断两个条件之间的关系。

方法二：通过集合关系判断。

利用集合的包含关系，判断两个条件之间的充分性与必要性。

4.实例讲解选取一些典型实例，引导学生运用所学知识进行判断。

实例1：如果小明成绩优秀，那么他一定会考上重点大学。

判断“小明成绩优秀”与“考上重点大学”之间的充分条件与必要条件。

实例2：如果地球是圆的，那么地球上的物体总是往地上掉。

判断“地球是圆的”与“物体总是往地上掉”之间的充分条件与必要条件。

5.练习给学生发放练习题，要求学生在规定时间内完成，巩固所学知识。

练习题包括填空题、选择题、判断题和应用题。

7.作业布置布置课后作业，要求学生独立完成，培养学生的自主学习能力。

四、教学反思1.教学效果评估本节课的教学效果，了解学生对充分条件与必要条件的掌握程度。

2.教学改进根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

3.学生反馈收集学生对本节课的意见和建议，了解学生的学习需求，为下一节课的教学做好准备。

通过本节课的教学，希望学生能够掌握充分条件与必要条件的概念和判断方法，提高逻辑思维能力，为解决实际问题奠定基础。

1.4 充分条件与必要条件-人教A版高中数学必修第一
册（2019版）教案
一、教学目标
1.了解充分条件和必要条件的基本概念；
2.能够简单判断给定条件的充分条件和必要条件；
3.能够应用所学知识进行简单的证明。

二、教学重难点
1.充分条件和必要条件的区别及应用；
2.证明题型的解题方法。

三、教学过程与方法
1. 导入（5分钟）
引入“上一节课学习了什么”和“本节课要学习什么”。

2. 讲解（40分钟）
1.充分条件和必要条件的概念
1.如果某个条件能够推出另一个条件，那么这个条件就是“充分条件”；
2.如果某个条件是达成另一个条件的必要条件，那么这个条件就是“必要条件”。

2.举例说明
1.p 充分推出 q，写作p → q，即 q 是 p 的必要条件，p 是 q 的充分条件；
2.p 是 q 的必要条件，写作p ← q，即 q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件；
3.p 充分必要推出 q，写作p ↔ q，即 q 是 p 的充分必要条件，p 也是 q 的充分必要条件。

3.应用
1.判断充分条件和必要条件；
2.给出一个条件，求其充分条件和必要条件；
3.进行简单的证明。

3. 拓展（15分钟）
出示以下题目，学生进行讨论，并进行解答。

题目：设实数x满足x2−2x+1=0，则x=？
4. 课堂练习（30分钟）
1.评测练习；
2.提供练习题，让学生独立练习，并进行讲解。

四、教学总结（5分钟）
1.学习充分条件和必要条件的基本概念，能够简单判断给定条件的充分条件和必要条件；
2.掌握证明题型的解题方法，提升解题能力。

2.请同学们完成课后练习题第1、2、3题，并尝试用不同的方法进行解答，比较各种方法的优劣。
3.小组合作：各小组选择一个实际问题，分析其中的充分必要条件，并撰写一份分析报告，报告内容应包括问题背景、分析过程、结论及解题方法。
4.拓展阅读：阅读与充分条件和必要条件相关的数学故事或数学家传记，了解充分必要条件在数学发展史上的重要作用，下节课与同学们分享你的阅读心得。
（二）教学设想
1.采用情境教学法，引入生活中的实例，让学生在具体情境中感受充分条件和必要条件的概念。例如，通过分析“下雨”和“地面湿润”之间的关系，引导学生理解充分必要条件的内涵。
2.利用问题驱动法，设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望。在教学过程中，教师可以设置一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握充分必要条件的判断和应用。
（二）过程与方法
1.掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法，提高逻辑思维能力。
2.学会运用逻辑推理，分析问题中的因果关系，培养解决问题的能力。
3.学会与同伴合作，倾听他人意见，提高沟通与协作能力。
4.能够运用数学语言准确表达自己的思考，提高数学表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情。
6.培养学生的自主学习能力，鼓励学生在课后进行拓展学习。教师可以推荐相关资料和习题，让学生在课后进行自我巩固和提升。
7.关注学生的个体差异，实施差异化教学。针对不同学生的学习需求，教师可以设置不同难度的题目，使每个学生都能在课堂上得到有效的提升。
8.融入数学文化，提高学生的数学素养。在教学过程中，教师可以适时介绍充分必要条件在数学发展史上的地位和作用，激发学生对数学的兴趣。
4.学生在合作学习方面，可能存在沟通不畅、分工不明确的问题。教师需引导学生学会倾听、表达和协作，使学生在合作中共同进步。

1．4 充分条件与必要条件1．4.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．知识点充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？答案不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等．预习小测自我检验1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．答案必要2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．答案充分3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．答案必要解析∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．答案充分一、充分条件的判断例1 (1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．答案③解析①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件．②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．(2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．答案充分解析由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4，∴是充分条件．反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件．答案充分解析 x >2⇒x 2>4，故x >2是x 2>4的充分条件． 二、必要条件的判断例2 在以下各题中，分析p 与q 的关系： (1)p ：x >2且y >3，q ：x ＋y >5；(2)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形． 解 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件．反思感悟 (1)判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p 成立；若p ⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 为真，则p 是q 的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件． 跟踪训练2 分析下列各项中p 与q 的关系． (1)p ：α为锐角，q ：α＝45°. (2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.解 (1)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． (2)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0.延伸探究1．将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.2．将例题中的条件“q ：实数x 满足－2≤x ≤3”改为“q ：实数x 满足－3≤x ≤0”其他条件不变，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，其中a <0，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}．因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a <0⇒－1≤a <0.所以a 的取值范围是－1≤a <0.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．1．若p 是q 的充分条件，则q 是p 的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件答案 B解析因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．2．下列命题中，p是q的充分条件的是( )A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b答案 A解析根据充分条件的概念逐一判断．3．“同位角相等”是“两直线平行”的( )A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分又不必要条件答案 C4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．答案a≤1解析因为x>1⇒x>a，所以a≤1.5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．答案必要充分解析由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．1．知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念．(2)充分性、必要性的判断．(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． (4)充分条件与必要条件的应用． 2．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．1．使x >3成立的一个充分条件是( ) A ．x >4 B ．x >0 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 2．使x >1成立的一个必要条件是( ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >1⇒x >0，其他选项均不可由x >1推出，故选A. 3．下列p 是q 的必要条件的是( ) A ．p ：a ＝1，q ：|a |＝1 B ．p ：－1<a <1，q ：a <1 C ．p ：a <b ，q ：a <b ＋1 D ．p ：a >b ，q ：a >b ＋1 答案 D解析 要满足p 是q 的必要条件，即q ⇒p ，只有q ：a >b ＋1⇒q ：a －b >1⇒p ：a >b ，故选D. 4．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2答案 A解析 B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件．5．下列命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．p ：a 是无理数，q ：a 2是无理数B ．p ：四边形为等腰梯形，q ：四边形对角线相等C ．p ：x >0，q ：x ≥1D ．p ：a >b ，q ：ac 2>bc 2答案 B6．下列说法不正确的是________．(只填序号) ①“x >5”是“x >4”的充分条件；②“xy ＝0”是“x ＝0且y ＝0”的充分条件； ③“－2<x <2”是“x <2”的充分条件． 答案 ②解析 ②中由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则②不正确；①③正确．7．条件p ：5－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是__________． 答案 {a |a ≤5}解析 p ：x >5，若p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的子集，所以a ≤5.8．下列式子：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中能使1a <1b成立的充分条件有______．(只填序号)答案 ①②④解析 当a <0<b 时，1a <0<1b；当b <a <0时，1a <1b<0；当b <0<a 时，1b <0<1a；当0<b <a 时，0<1a <1b，所以能使1a <1b成立的充分条件有①②④.9．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件： (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a <b ，q ：a b<1.解 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件；在(2)中，若a ＝3，则(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分条件但不是必要条件；在(3)中，当a ＝－2，b ＝－1时，a b ＝2>1；当a ＝2，b ＝－1时，a b＝－2<1，所以p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．10．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件？ 解 (1)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 即只需－m2≤－1，所以m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－m2， 这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件．11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是( )A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案 B解析“a＝b”⇒“a－b＝0”⇒“(a－b)c＝0”⇒“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．12．已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )A．m≥2 B．m≤2C．m>2 D．－2<m<2答案 A解析因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.13．若A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_______________．答案{a|a≤－3，或a≥3}解析因为A是B的充分条件，所以A⊆B，又A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}．因此a＋2≤－1或a≥3，所以实数a的取值范围是{a|a≤－3，或a≥3}．14．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．答案{m|0<m<2}解析 由题意，设集合A ＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{x |<－m ＋1或x >m ＋1}， 因为条件p 是条件q 的充分不必要条件，即集合A 是集合B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1>－1，m ＋1≤3，解得m <2，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <2.15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙， 如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．16．若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，则p 是q 的什么条件？解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇏q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a<2,0<b<1，即－2<a<0,0<b<1，故q⇒p.所以p是q的必要条件，但不是充分条件．。

充分条件与必要条件教案一、教学目标1、知识与技能目标理解充分条件、必要条件的概念。

能够准确判断给定命题中条件与结论之间的充分性和必要性关系。

掌握充分条件和必要条件的判定方法，并能进行简单的应用。

2、过程与方法目标通过实例引入，培养学生观察、分析和归纳的能力。

引导学生进行逻辑推理，提高学生的思维能力和逻辑表达能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学逻辑的严谨性，培养学生严谨治学的态度。

激发学生对数学的兴趣，体会数学在实际生活中的应用价值。

二、教学重难点1、教学重点充分条件和必要条件的概念。

充分条件和必要条件的判定方法。

2、教学难点理解充分条件和必要条件的本质含义。

准确判断条件与结论之间的充分性和必要性关系。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过生活中的例子引入，比如：“如果今天下雨，那么地面会湿”，提问学生：“今天下雨”和“地面会湿”之间有着怎样的关系？从而引出本节课的主题——充分条件与必要条件。

（二）讲解新课1、充分条件的概念给出命题“若 p，则q”，如果由 p 可以推出 q，那么就说 p 是 q 的充分条件。

例如：“若 x ＞ 5，则 x ＞3”，因为当 x ＞ 5 时，一定有 x ＞ 3，所以“x ＞5”是“x ＞3”的充分条件。

通过多个实例，让学生理解充分条件的概念。

2、必要条件的概念同样对于命题“若 p，则q”，如果由 q 可以推出 p，那么就说 p 是 q 的必要条件。

比如：“若 x 是整数，则 x 是有理数”，因为如果 x 是整数，那么 x 一定是有理数，所以“x 是有理数”是“x 是整数”的必要条件。

用丰富的例子帮助学生领会必要条件的含义。

3、充分不必要条件如果 p 是 q 的充分条件，但 p 不是 q 的必要条件，那么称 p 是 q 的充分不必要条件。

例如：“若 x ＝ 2，则 x²＝4”，由 x ＝ 2 可以推出 x²＝ 4，但由 x²＝ 4 不一定能推出 x ＝ 2，还可能 x ＝－2，所以“x ＝2”是“x² ＝4”的充分不必要条件。

教学资源准备
1.教材：确保每位学生都有《人教版高中数学必修1》教材，以便于学生跟随教学进度进行学习和复习。
2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如充分条件和必要条件的例子、实际应用场景的图片等，以帮助学生更好地理解和掌握概念。
3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。例如，如果安排了关于条件实验的课堂活动，需要准备实验器材，如逻辑推理游戏、条件判断卡片等，并确保学生能够在安全的环境下进行实验操作。
-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
作用与目的：
-帮助学生深入理解“充分条件与必要条件”知识点，掌握判断方法。
-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.课后拓展应用
教师活动：
-布置作业：根据“充分条件与必要条件”课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
学生活动：
-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。
-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验“充分条件与必要条件”的应用。
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解“充分条件与必要条件”知识点。
-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握判断充分条件和必要条件的方法。
- ①充分条件的定义：能够保证某个结论发生的条件。
- ②必要条件的定义：是某个结论发生的前提。
- ③判断方法：通过观察和实验，找到充分条件和必要条件。
- ④运用：在科学研究中，通过判断充分条件和必要条件，得出科学的结论。
2.板书布局：

高中数学必修一《充分条件与必要条件》优质教案学习目标1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；2.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.重难点1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；2.掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；知识梳理一、充分与必要条件的基本概念1．充分条件与必要条件的概念一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即 ,那么p叫做q的 条件, p叫做q 的 条件.2．一般地，如果既有，又有，就记作： , 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的 条件，简称 条件。

其中叫做等价符号。

教学过程探究一、充分条件与必要条件的含义1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

2、归纳新知（1）充分条件、必要条件的含义一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即 ,那么p叫做q的 条件, p叫做q 的 条件.P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提.（2）3.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

4、思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。

5、思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

人教A版高中数学必修第一册《充分条件与必要条件》教案及教学反思一、教学目标1.掌握充分条件与必要条件的概念。

2.能够较灵活地运用充分条件与必要条件进行证明和推理。

3.培养学生严谨的逻辑思维能力。

二、教学内容1. 充分条件与必要条件的概念1.充分条件：含义是某一条件成立，必然可以推出另一个语句成立，表示为“如果…，则…”。

2.必要条件：含义是某一语句成立是另一个语句成立的条件，表示为“只要…，就…”。

2. 充分条件与必要条件的判断方法1.充分条件的判断方法：举出一个例子，证明这个例子中所述的条件若成立，则结论必成立。

2.必要条件的判断方法：通过反证法，证明当必要条件不满足时，结论不成立。

3. 综合运用充分条件和必要条件的证明1.证明题：根据已有条件和已知结论，通过逻辑推理，得出结论的过程。

2.运用充分条件证明：先确定结论，再找出充分条件，再证明这些条件的成立足以推出结论的成立。

3.运用必要条件证明：确定结论后，通过反证法找出必要条件，证明这些条件不满足时，结论也不成立。

三、教学过程1. 导入环节在导入环节中，可以通过提出一个具有争议的问题，引入学生对充分条件与必要条件的认知，如：“当一个人头顶有光环时，一定是成功人士吗？当一个人是成功人士时，一定会有光环吗？”通过引导学生进行思考，让他们明确充分条件与必要条件的概念。

2. 讲授环节在讲授环节中，可采用“讲解+例证+引导”的方式进行讲解。

即先通过讲解介绍充分条件与必要条件的定义，再通过实例引导学生进行思考，最后总结出方法和技巧。

3. 练习环节在练习环节中，可以通过举一些例子，让学生进行实践操作，以此巩固所学知识。

在练习中，要注意引导学生运用前面所学的知识，培养学生的逻辑思维能力。

4. 总结与反思环节总结课程的重点和难点，让学生进行总结和输出，巩固所学，反思学习过程，体验学习的喜悦和意义。

四、教学反思充分条件与必要条件是一个比较抽象的概念，理论知识和实际运用需要结合起来，才能真正得到理解和掌握。

成立，则 p 必不成立，即 q对于 p 的成立是必
要的.
自然地，若 p ⇏ q，则 p 不是 q 的充分条件，
q 也不是 p 的必要条件.
新知运用
例1：下列“若 p，则 q”形式的命题中，
哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？ p ⇒ q ？
(1)若两个三角形相似，则两个三角形全等；
⇏ ，因此 不是 的充分条件.
p ⇒ q, q ⇏ p
（4） p：a > b，q： 2 > 2 .
p⇏q
答案为(2)
巩固提升
p：一个四边形是菱形
q：一个四边形是平行四边形
菱形
平行
四边形
⇒
巩固提升
思考：充分条件和必要条件与集合之间的联系.
p：x ∈ ，q：x ∈ ，且 ⇒ ，
则集合与 有怎样的关系？
任意x ∈ ，则x ∈ ，即： ⊆
(1) ：两个三角形相似，
：两个三角形全等；
(2) ：同位角相等，
：两直线平行；
(3) ：实数 ≠ 0,
： 2 > 0；
(4) ：四边形ABCD为菱形， ： AC⊥BD；
(5) ： = ,
： 2 = 2 .
q⇒p
q⇒p
q⇒p
q⇏p
q⇏p
追问2：以上命题中，哪些命题中的 q 是 p 的充分条件？ q ⇒ p
个事实，它们互相等价.
新知运用
练习：下列命题中，哪些 是 的充要条件？p ⇒ q， q ⇒ p
（1） p ：四边形的对角线相等， q ：四边形是平行四边形；
p⇏q
（2） p：b2 − 4ac ≥ 0，q： ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)有实

1.2 充分条件与必要条件（第一课时）一、【教材分析】《充分条件与必要条件》是本章的重点内容也是高中数学的重点内容和高考的热点。

现行教学大纲把教学目标定位在“掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义”。

充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论的逻辑关系，目的是为了今后的学习，特别是数学推理的学习打下基础。

这是一节概念课，是高中数学的重点课、难点课。

在现行教材中这节内容被安排在数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》中的“命题及其关系”之后。

编写者在数学概念的处理上，贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，对定义简洁精炼，而对教材的例题、练习题编排比较充分。

实践证明现行教材是比较切合实际的。

因为：①有了“命题及其关系”这节内容的铺垫，这将有助于学生对充分条件、必要条件及充要条件概念的学习理解；②教学时间的前置，让学生有足够的时间来进行滚动的巩固训练，以便达到预期效果。

③题量的增加，使知识在训练中得以巩固。

二、【学情分析】这是一堂新授课，学生在学习本小节时由于是第一次学习充分条件和必要条件，学生学习这一概念时的知识储备不够丰富、逻辑思维能力的训练还不够充分。

所以，学生理解充分条件与必要条件比较困难（特别是必要条件．．．．的理解），需要有足够的理解、消化、训练的时间才能达到熟练掌握的要求。

学习是一个渐进的过程，现行教材在小结与复习中把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，而不是一步到位达到高考要求——“掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义”。

而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

三、【教学目标】（一）知识目标：1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。

3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

（二）能力目标：1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。

充分条件与必要条件教案章节一：引言教学目标：1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念。

2. 培养学生运用逻辑推理的能力。

教学内容：1. 引入充分条件和必要条件的概念。

2. 举例说明充分条件和必要条件的区别。

教学步骤：1. 引入概念：引导学生回顾之前学过的相关概念，如因果关系、逻辑推理等。

2. 讲解充分条件和必要条件的定义。

3. 举例说明：通过具体的例子让学生理解充分条件和必要条件的区别。

作业：1. 让学生举出一些生活中的充分条件和必要条件的例子，并加以解释。

章节二：充分条件教学目标：1. 让学生理解充分条件的概念。

2. 培养学生判断充分条件的能力。

教学内容：1. 讲解充分条件的定义。

2. 举例说明充分条件的应用。

教学步骤：1. 回顾上节课的内容，引导学生理解充分条件的定义。

2. 通过具体的例子让学生判断充分条件。

作业：1. 让学生找出一篇文章或故事中的充分条件，并加以解释。

章节三：必要条件教学目标：1. 让学生理解必要条件的概念。

2. 培养学生判断必要条件的能力。

教学内容：1. 讲解必要条件的定义。

2. 举例说明必要条件的应用。

教学步骤：1. 回顾前两节课的内容，引导学生理解必要条件的定义。

2. 通过具体的例子让学生判断必要条件。

作业：1. 让学生找出一篇文章或故事中的必要条件，并加以解释。

章节四：充分条件和必要条件的区别教学目标：1. 让学生理解充分条件和必要条件的区别。

2. 培养学生运用逻辑推理的能力。

教学内容：1. 讲解充分条件和必要条件的区别。

2. 举例说明充分条件和必要条件的区别的应用。

教学步骤：1. 回顾前几节课的内容，引导学生理解充分条件和必要条件的区别。

2. 通过具体的例子让学生判断充分条件和必要条件的区别。

作业：1. 让学生找出一篇文章或故事中的充分条件和必要条件的区别，并加以解释。

章节五：综合练习教学目标：1. 让学生巩固充分条件和必要条件的概念。

2. 培养学生运用逻辑推理的能力。

芯衣州星海市涌泉学校充分条件与必要条件〔1〕教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑根底.教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序课时安排：1课时内容分析：这一大节通过假设干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进展简单推理的技能，开展学生的思维才能，在这方面，逻辑联结词“或者者〞、“且〞、“非〞与充要条件的有关内容是非常必要的．关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．教学过程：一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈〞.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子〞呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒〞的含义前面我们讨论了“假设p那么q〞形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“假设p那么q〞为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，假设p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者者者q⇐p；假设由p推不出q，命题为假，记作p q.简单地说，“假设p那么q〞为真，记作p⇒q〔或者者q⇐p〕；“假设p那么q〞为假，记作p q〔或者者q p〕.符号“⇒〞叫做推断符号.例如，“假设x>0，那么x2>0〞是一个真命题，可写成：x>0⇒x2>0；又如，“假设两三角形全等，那么两三角形的面积相等〞是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q〞表示“假设p那么q〞为真；也表示“p蕴含q〞.⑵“p⇒q〞也可写为“q⇐p〞，有时也用“p→q〞.练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶；⑷⒉什么是充分条件？什么是必要条件？假设p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0〞是“x2>0〞的充分条件，“x2>0〞是“x>0〞的必要条件；“两三角形全等〞是“两三角形面积相等〞的充分条件，“两三角形面积相等〞是“两三角形全等〞的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“假设p⇒q成立，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件〞.〔条件与结论是相对的〕三、范例例1指出以下各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴p：x=y；q：x2=y2.⑵p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“假设p那么q〞与“假设q那么p〞的真假进展判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，假设由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进展判断.2.利用逆否命题判断：即“假设┐q⇒┐p成立，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件〞.例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B.请答复：⑴命题：假设“A为绿色〞，那么“B为绿色〞中，“A为绿色〞是“B为绿色〞的什么条件；“B为绿色〞又是“A为绿色〞的什么条件.⑵命题：假设“红点在B内〞，那么“红点一定在A内〞中，“红点在B内〞是“红点在A内〞的什么条件；“红点在A内〞又是“红点在B内〞的什么条件.解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色〞是真的，∴由定义知，“A为绿色〞是“B为绿色〞的充分条件；“B为绿色〞是“A为绿色〞的必要条件.⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内〞是真的，∴由定义知，“红点在B内〞是“红点在A内〞的充分条件；“红点在A内〞是“红点在B内〞的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：假设“B不为绿色〞那么“A不为绿色〞.∵“B不为绿色⇒A不为绿色〞为真，∴“A为绿色〞是“B为绿色〞的充分条件；“B 为绿色〞是“A为绿色〞的必要条件.⑵它的逆否命题是：假设“红点不在A内〞，那么“红点一定不在B内〞.如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内〞为真，∴“红点在B内〞是“红点在A内〞的充分条件；“红点在A内〞是“红点在B内〞的必要条件.如何理解充分条件与必要条件中的“充分〞和“必要〞呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色〞是“B为绿色〞的一个充分条件，就是说“A为绿色〞，它足以保证“B为绿色〞.它符合上述的“假设p那么q〞为真〔即p⇒q〕的形式.再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，假设“B为绿色〞，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但假设“B不为绿色〞，那么“A不可能为绿色〞.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“假设非q那么非p〞为真〔即┐q⇒┐p〕的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分〞、“必要〞两词，与日常生活中的“充分〞、“必要〞意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为根据.例2的问题，假设用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.四、练习：〔补充题〕用“充分〞或者者“必要〞填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数〞是“a+b也是偶数〞的充分条件；⒉“四边相等〞是“四边形是正方形〞的必要条件；⒊“x≠3〞是“|x|≠3〞的充分条件；⒋“x-1=0〞是“x2-1=0〞的充分条件；⒌“两个角是对顶角〞是“这两个角相等〞的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等〞是“两个三角形全等〞的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0〔其中a,b,c都不为0〕来说，“b2-4ac≥0〞是“这个方程有两个正根〞的必要条件；⒏“a=2，b=3〞是“a+b=5〞的充分条件；⒐“a+b是偶数〞是“a和b都是偶数〞的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数〞是“这个自然数能被5整除〞的充分条件.五、小结：本节主要学习了推断符号“⇒〞的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.判断充分条件与必要条件的根据是：假设p⇒q〔或者者假设┐q⇒┐p〕，那么p是q的充分条件；假设q⇒p〔或者者假设┐p⇒┐q〕，那么p是q的必要条件.六、作业：1．课本P34-35内容，熟悉稳固有关内容.2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？解：由题意作出逻辑图〔右图〕，便知，D是A的必要条件；A是B的充分条件.3．预习：课本P35-36内容.七、板书设计〔略〕八、课后记：。

高一数学充分条件与必要条件课题：§1.8充分条件与必要条件 教材分析： 课 型：新授课课时计划：本课题共安排1课时教学目的：（1）初步学习充分条件与必要条件的判别；（2）掌握充要条件的意义；教学重点：关于充要条件的判断； 教学难点：关于充要条件的判断； 教具使用：常规教学 教学过程：一、温故知新，引入课题 1.判断复合命题的真假（1）不存在实数x ，使的4x <且24x 5x 2=+ （2）对实数x ，若07x 6x 2=--，则07x 6x 2≥--解：（1）假命题，因为当x=3时，4x <真，24x 5x 2=+真，该命题为假命题； （2）真命题，07x 6x 2=--真，则07x 6x 2>--假，07x 6x 2=--真， 所以p 或q ：07x 6x 2≥--为真；2.写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断他们的真假： （1）如果两圆外切，那么圆心距等于两圆半径之和；逆命题：如果圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切；真命题. 否命题：如果两圆不外切，那么圆心距不等于两圆半径之和；真命题. 逆否命题：如果圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切；真命题. （2）若2a >，则4a 2>逆命题：若4a 2>，则2a >；假命题. 否命题：若2a ≤，则4a 2≤；假命题.逆否命题：若4a 2≤，则2a ≤；真命题. 二、新课教学前面我们讨论了“若p 则q ”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假，“若p 则q ”为真，是指由p 经过推理可以得出q ，记做q p ⇒；1.如果已知q p ⇒，那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；2.如果已知q p ⇔，那么我们说，p 是q 的充要条件；3.例题分析：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？ （1）在三角形ABC 中，p ：A>B ；q ：BC>AC ； （2）p ：a=3；q ：(a+2)(a-3)=0； （3）p ：a>2；q ：a>5； （4）p ：b a <；q ：1ba<； 4.思考：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：2a >；q ：2a ≥；（2）p ：0y x >>；q ：y1x 1<； （3）p ：y1x 1>；q ：0y x <<； （4）p ：y 0x >>；q ：y1x 1>； 三、归纳小结，强化思想学习本节内容，四种命题的形式是基础，因为条件的充分性和必要性和命题的四种形式有着密切的联系。

充分条件与必要条件教案章节一：引言教学目标：1. 让学生了解充分条件和必要条件的概念。

2. 培养学生判断充分条件和必要条件的能力。

教学内容：1. 介绍充分条件和必要条件的定义。

2. 举例说明充分条件和必要条件的区别。

教学步骤：1. 引入新课，讲解充分条件和必要条件的概念。

2. 举例说明充分条件和必要条件的区别。

3. 让学生练习判断一些实例中的充分条件和必要条件。

教学评估：1. 观察学生在判断实例中的表现。

2. 收集学生的答案，进行点评。

章节二：充分条件教学目标：1. 让学生掌握充分条件的判断方法。

2. 培养学生运用充分条件解决实际问题的能力。

教学内容：1. 讲解充分条件的判断方法。

2. 举例说明如何运用充分条件解决实际问题。

1. 讲解充分条件的判断方法。

2. 举例说明如何运用充分条件解决实际问题。

3. 让学生练习运用充分条件解决一些实例问题。

教学评估：1. 观察学生在解决实例问题中的表现。

2. 收集学生的答案，进行点评。

章节三：必要条件教学目标：1. 让学生掌握必要条件的判断方法。

2. 培养学生运用必要条件解决实际问题的能力。

教学内容：1. 讲解必要条件的判断方法。

2. 举例说明如何运用必要条件解决实际问题。

教学步骤：1. 讲解必要条件的判断方法。

2. 举例说明如何运用必要条件解决实际问题。

3. 让学生练习运用必要条件解决一些实例问题。

教学评估：1. 观察学生在解决实例问题中的表现。

2. 收集学生的答案，进行点评。

章节四：充分条件与必要条件的区别与联系1. 让学生理解充分条件与必要条件的区别与联系。

2. 培养学生判断充分条件与必要条件的能力。

教学内容：1. 讲解充分条件与必要条件的区别与联系。

2. 举例说明如何判断充分条件与必要条件。

教学步骤：1. 讲解充分条件与必要条件的区别与联系。

2. 举例说明如何判断充分条件与必要条件。

3. 让学生练习判断一些实例中的充分条件与必要条件。

教学评估：1. 观察学生在判断实例中的表现。

第一章集合与常用逻辑用语1.4.1 充分条件与必要条件一、教学目标1. 理解充分条件、必要条件的意义；2. 会判断充分条件、必要条件.二、教学重难点1. 教学重点充分条件、必要条件的概念及判断方法.2. 教学难点必要条件的理解和判断.三、教学过程（一）新课导入在初中的时候我们学习过命题，会判断一个命题的条件和结论，并能判断其真假.下面我们来复习一下（老师引导学生回答）：两个面积相等的三角形全等，它的条件是三角形的面积相等；结论是三角形全等；这个命题是假的.下面我们来看一下课本P17中的思考，并依次说出它们的条件，结论及真假.要求：学生自由发言，教师引导学生进一步探究.（二）探索新知探究：充分条件、必要条件1. 前提（要牢记）：p是条件，q是结论.⇒；“若p，则q”为假命题，记作p⇒q.2. 命题“若p，则q”为真命题，记作p q⇒，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.3. 充分条件、必要条件：若p q4. 由刚才的讨论，我们已经知道命题（1）（4）是真命题，所以p是q的充分条件，q是p 的必要条件；（2）（3）是假命题，所以p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4） 若21x =,则1x =；（5） 若a b =，则ac bc =；（6） 若x ，y 为无理数，则xy 为无理数.解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（2）这是一条相似三角形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（3）这是一条菱形的性质定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（4）由于2=1（-1），但11-≠，p ⇒q ，所以p 不是q 的充分条件. （5）由等式的性质知，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（62=为有理数，p ⇒q ，所以p 不是q 的充分条件. 那同学们在想一下，q 是p 的什么条件？（1）必要条件； （2）必要条件； （3）必要条件；（4）不必要条件； （5）必要条件； （6）不必要条件.思考1例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？答：不唯一.初中的时候我们还学过其它的平行四边形的判定定理，也就是判断四边形是平行四边形的其它条件：①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件.因此，一般来说，对给定结论q ，使得q 成立的条件p 是不唯一的.一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若1x =，则21x =；（5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则,x y 为无理数.解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件.（2）这是三角形相似的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件.（3）如图1.4-1，四边形ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q ⇒，所以，q 不是p 的必要条件.（4）显然，p q ⇒，所以，q 是p 的必要条件.（5）由于(1)010-⨯=⨯，但11-≠，p q ⇒，所以，q 不是p 的必要条件.（6）由于122=2不全是无理数，p q ⇒，所以q 不是p 的必要条件.一般地，要判断“若p ，则q”形式的命题中q 是否为p 的必要条件，只需判断是否有“p q ⇒”，即“若p ，则q”是否为真命题.说明：（1）p q ⇒，q 是p 的必要条件（p 是q 的充分条件）；（2）p q ⇒，q 不是p 的必要条件（p 不是q 的充分条件）.思考2例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？答：不唯一.例如，下列命题都是真命题：①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件.因此，一般来说，给定条件p ，由p 可以推出的结论q 是不唯一的.一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.规律总结：1. 在命题“若p ，则q”中，要判断p 是否为q 的充分条件，关键是判断“若p ，则q”的真假，即p q ⇒或p q ⇒.2. 在命题“若p ，则q”中判断q 是否为p 的必要条件，实质上仍是判断“若p ，则q”的真假，即p q ⇒或p q ⇒.（三）课堂练习1. 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若平面内点P 在线段AB 的垂直平分线上，则PA=PB ；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.解：（1）线段垂直平分线的性质，p q ⇒，p 是q 的充分条件；（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，p q ⇒，p 不是q 的充分条件；（3）相似三角形的性质，p q ⇒，p 是q 的充分条件.2. 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若直线l 与⊙O 有且仅有一个交点，则l 为⊙O 的一条切线；（2）若x 是无理数，则x 2也是无理数.解：（1）这是圆的切线定义，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件；（2是无理数，但22=不是无理数，p q ⇒，所以q 不是p 的必要条件.3. 如图，直线a 与b 被直线l 所截，分别得了∠1，∠2，∠3和∠4.请根据这些信息，写出几个“a ∥b ”的充分条件和必要条件.解：“a∥b”的充分条件：∠1=∠2，∠1=∠4，∠1＋∠3=180°；“a∥b”的必要条件：∠1=∠2，∠1=∠4，∠1+∠3=180°.（四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.充分条件和必要条件是如何判断的？作业：四、板书设计1.4.1充分条件与必要条件1. “若p，则q”的形式2. 充分条件和必要条件的定义3. 充分条件和必要条件的判定方法。

（二）教学设想
1.创设情境，引入概念：
在教学中，通过生活中的实例或数学问题，引导学生发现充分条件和必要条件的概念。例如，探讨“下雨”和“地面湿润”之间的关系，让学生理解充分条件和必要条件的内涵。
2.深入剖析，理解概念：
采用讲解、举例、讨论等方式，帮助学生深入理解充分条件和必要条件的定义。通过对比、分析，让学生掌握充分必要条件的判定方法，以及与其他逻辑关系的区别。
（3）分享成果：各小组分享讨论成果，共同总结判断充分条件和必要条件的方法。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：
在课堂练习阶段，我将设计具有层次性的练习题，让学生在实际问题中运用充分条件和必要条件。
2.教学过程：
（1）布置练习题：包括基本概念题、应用题和拓展题，让学生逐步提高解题能力。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
鼓励学生开展小组讨论、合作学习，共同解决与充分条件和必要条件相关的问题。培养学生的合作精神和沟通能力，提高学习效果。
6.反馈评价，激励进步：
教学过程中，关注学生的学习反馈，及时评价学生的课堂表现。通过鼓励、表扬等方式，激发学生的学习兴趣，提高学生的自信心。
7.总结反思，提高认知：
在教学结束时，引导学生总结所学内容，反思学习过程中的困惑和收获。帮助学生建立知识体系，提高对充分条件和必要条件的认识。
高一数学上册《充分条件必要条件》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解充分条件的定义，掌握充分条件的表示方法，能够判断一个条件是否为另一个条件的充分条件。
2.理解必要条件的定义，掌握必要条件的表示方法，能够判断一个条件是否为另一个条件的必要条件。
3.掌握充分必要条件的概念，理解其与其他逻辑关系的联系与区别。

高中必修一数学教案《充分条件、必要条件》教材分析常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。

本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语，表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

学情分析从学生学习的角度看，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时，知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。

因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，比较切合教学实际。

教师在教学充要条件这一内容时，不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学目标1、理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。

2、在理解定义的基础上转化定义，转化成推理关系及集合的包含关系。

3、培养学生的观察问题、归纳规律、建构体系的能力，培养学生多方位审视问题的创造技巧。

教学重难点理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？（1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014年1月23日）；（2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014年8月4日）；（3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）；（4）“文字不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2015年7月28日）。

本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件，二、学习新知1、充分条件、必要条件（1）在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论。