浙江专用2020年新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式高效演练分层突破

第七章 不 等 式1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.§7.1 不等关系与不等式1.比较原理 两实数a ，b 之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________.其中a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔______________；a ＝b ⇔__________.2.不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔__________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________；(3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c ； (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________； 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________.(5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________； (6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒__________； (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________；(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒ac ______b d； (9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ______1b；(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________； (11)不等式的开方：a >b >0⇒______________. 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除.自查自纠：1.a ＞b a ＜b a ＝b a －b ＜0 a －b ＝02.(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a ＋c >b ＋d (6)a －c >b －d (7)ac >bd(8)＞ (9)＜ (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.ab <b 2C.－ab <－a 2D.－1a <－1b解：1a －1b ＝b －a ab >0，故1a >1b，∴－1a<－1b.故选D.设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是( )A.f (x )＞g (x )B.f (x )≥g (x )C.f (x )＝g (x )D.f (x )＜g (x )解：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a ＞0，b ＞0，则a a b b 与a b b a的大小关系为( )A.a a b b ≥a b b aB.a a b b ＜a b b aC.a a b b ≤a b b aD.与a ，b 的大小有关解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0，故a a b ba b ba小关系是点燃导火线后要在燃放前转移到已知导火线的燃烧速度为4m/s，导火线的长度解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，得每次钉N*)，已知一个铁钉受击且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的③bc>ad.则可组成几个正确命题？则一定有(A.ac＞bdC.ad＞bc的取值范围是解：由 α－β的取值范围是解：∵－＜β＜π＞0)的大小解法一：a ＋m b ＋m若a <0，－1<b <0，则下列不等式成立的是________.①log 0.5(－a )<log 0.5(－ab 2)；②(－a )2<(－ab 2)2；③(－a )－1>(－ab 2)－1；④0.5－a >0.5－ab 2.解法一：对于①，∵a ＜0，－1＜b ＜0，可知－a ＞0，0＜b 2＜1，∴－a ＞－ab 2＞0，结合对数函数的性质容易得到log 0.5(－a )＜log 0.5(－ab 2)，①成立；对于②，由①知－a ＞－ab 2＞0，故(－a )2＞(－ab 2)2，②不成立；对于③，由－a ＞0知，－1a ＞－1ab2⇔1＞1b2⇔b 2＞1，与－1＜b ＜0矛盾，③不成立；对于④，由①知④不成立.解法二：用作差或作商法解本题也是可行的，如对于①，有log 0.5(－a )－log 0.5(－ab 2)＝log 0.51b2＜0，从而①正确，其余类似可解.故填①.1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础.2.一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加，方向不改变；都是正数的同向不等式相乘，方向不改变；异向不等式相减，方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除，方向与被除不等式方向相同；两个正数的n 次(n ∈N ＋，n ＞1)方(开n 次方)，当这两个正数相等时，它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数，它们的幂(方根)不等，较大的正数幂(方根)较大.3.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础.4.比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.5.对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制.1.设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若a ＞1，则1a ＜1成立；反之，若1a＜1，则a ＞1或a ＜0.即a ＞1⇒1a ＜1，而1a＜1a ＞1，故选A.2.已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a nb＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A.恒为正B.恒为负C.与n 的奇偶性有关D.与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n(a －b )＝－(a －b )(a n －b n)，不妨设a >b ，则a n >b n ，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n＋1<0恒成立.故选B.3.若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1bB.a 2＞b 2C.a c 2＋1＞bc 2＋1D.a ||c ＞b ||c 解：用排除法.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D.显然1c 2＋1＞0，对不等式a ＞b 的两边同时乘以1c 2＋1，得a c 2＋1＞b c 2＋1成立.故选C. 4.(2014·湖南)已知命题p ：若x ＞y ，则－x＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解：当x ＞y 时，两边乘以－1可得－x ＜－y ，∴命题p 为真命题；当x ＝1，y ＝－2时，显然x 2＜y 2，∴命题q 为假命题，∴②③为真命题.故选C.5.(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3＜c ≤6C.6＜c ≤9D.c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.6.如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A.cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB.cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mc c§7.2 一元二次不等式及其解法1.解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是 ；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的 ；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示.2.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.当a ＞0时，解集为 ；当a ＜0时，解集为 .若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是.3.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集.(4)一元二次不等式的解：函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a无实根ax 2＋bx ＋c＞0 (a ＞0)的解① ② R 集ax 2＋bx ＋c＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x＜x 2}∅ ③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.自查自纠：1.(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03.(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( )A.{x |x ∈R }B.{x |x ≠1，x ∈R }C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x30的解集为)x＋b－解：由(解：(1)①当m＝－②当m＝(2)当m(1)x2－(3)x2－解：(1).而y＝－x＋1，x－1，x1)≤1的解集是A.{x|－1≤解集是{x|－5≤解：∵不等式≤1}，∴x1＝－＜x＜3}解：∵不等式，∴a＜0，且根，由根与系数的关系得.解：(1)＞0，不等式的解集为(2)当a∈R).解：不等式整理为当a＝0当a≠0解：x －2x x ＋2x ＋1≥0|x －2x ≤0A.{x |－1≤C.{x |0≤解：易知⎦⎥⎤0，12成立，则A.0 B.图1 图2 图3综上 ①②③，≥－52.故选(2)已知对于任意的a ∈[－11]，函数f (x )＋(a －4)x ＋2a 的值总大于，则x 的取值范围是( )A.1＜x ＜3B.x ＜1或 3C.1＜x ＜2D.x ＜1或 2解：记g (a )x －2)a ＋x 2－＋4，a ∈[－1，依题意，只须（1）＞0，（－1）＞0⇒－3x ＋2＞0，－5x ＋6＞0＜1或x ＞3，故选B.点拨：(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a (x ))型恒成立问题，再利用＞f (x )max (a ＜∈[－2，解法一：当－a2＜－且仅有一解，则A.a <－C.－1<解法一：，即－1×(2点的关系.本书2.4节有较详细的讨论，可参看.如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A.－2<m< 2B.－2<m<0C.－2<m<1D.0<m<1解：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，结合二次函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧f（－1）＜0，f（1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m2－m＜0，m2＋m－2＜0，解之，得实数m的取值范围是0＜m＜1.故选D.类型八一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解：(1)根据题意，200⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x≥3 000⇒5x－14－3x≥0⇒5x2－14x－3≥0⇒(5x＋1)(x－3)≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y元，则y＝900x·100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x＝9×104⎝⎛⎭⎪⎫－3x2＋1x＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎪⎫1x－162＋6112.故x＝6时，y max＝457 500元.点拨：和一元二次不等式有关的实际应用题是教材中的重点，这也是将实际生活和数学相结合的切入点，是考查能力的好载体，应予以重视.某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，则该厂日产量为时，日获利不少于1300元.解：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1300，化简得x2－65x＋900≤0，解之得20≤x≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.故填20件至45件.1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形.2.解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组.(注：形如f（x）g（x）≥0或f（x）g（x）≤0的不等式称为非严格分式不等式).3.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.4.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程.因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.5.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想.6.对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1.不等式x－2x＋1≤0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(－1，2]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1，2]解：x－2x＋1≤0⇔()x＋1()x－2≤0，且x≠－1，即x∈(－1，2]，故选D.2.关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1m＜x＜2，则m的取值范围是单位：m)的取值范围是B.[12，25]D.[20，30]解：设矩形的另一边为y m，依题意得§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为.由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数.自查自纠：1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是( )A.点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B.点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C.点(1，0)在区域y≥2x内D.点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立.故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x －2y＋6＝0的( )A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方解：画出直线及区域范围知C正确.故选C.(2014·湖北)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则z＝2x＋y的最大值是( )A.2B.4C.7D.8解：画出不等式组的可行域如图阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A(3，1)时，z取最大值，且为7.故选C.点()－2，t在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是.解：()－2，t在2x－3y＋6＝0的上方，则2×()－2－3t＋6＜0，解得t＞23.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|t＞23.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＞0，y＞0，4x＋3y＜12表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.解：画出平面区域的图象，可以看出整点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个，故填3.≥0，＋3y ≥4，＋y ≤4与D 有公共点，则x ＋1)恒过定点C (－BC ＝12，k AC ＝4，∴要使直线D 有公共点，则12＋y －2≥0，＋2y －4≤0，＋3y －2≥0________.|BD |＝2，C 点坐标(8，－2)，＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×(2＋2)＝y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，和n ，则＝－2x ＋z 经过点B 时，z 1)，则n ＝z min ＝2×(－1)故选C.)A.有最小值B.有最小值C.有最大值解：画出不等式表示的平面区域，如图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A (2，0)时，z 取得最小值为z min ＝2＋0＝2，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，y ＝－x ＋z 向右上方移动时，z ＝x ＋y 也趋于无穷大，所以z ＝x ＋y 无最大值，故选B.类型三 含参数的线性规划问题(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图阴影部分所示，这里直线y ＝kx ＋43只需经过线段AB 的中点D即可，此时D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，代入可得k ＝73.故选A.(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A.－5B.1C.2D.3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B 的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D.点拨：此类问题综合性较强，注意到y ＝kx ＋43，ax －y ＋1＝0都是含参数且恒过定点的直线，因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握的两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化.(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A.(－1，2)B.(－4，2)C.(－4，0]D.(－2，4)解法一：z ＝ax ＋2y 的斜率为－a2，目标函数在点(1，0)处取得最小值，由图象知斜率－a 2满足：－1＜－a2＜2⇒－4＜a＜2，所以参数a 的取值范围是(－4，2).解法二：由条件知，可行域是一个三角形，顶点为A (1，0)，B (3，4)，C (0，1)，由于目标函数的最小值仅在A 点处取得，z A ＝a ，z B ＝3a ＋8，z C ＝2，依题意，z A ＝a ＜z B ＝3a ＋8，z A ＝a ＜z C ＝2，所以参数a 的取值范围是(－4，2)，故选B.(2)(2014·湖南)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ， 且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 利用线性规划求非线性目标函数的最优解已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.当x ，y 取何值时，x 2＋y 2取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解：如图，作出可行域(图中的阴影部分)，可行域是封闭的△ABC (包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得顶点A (2，3)，同理可得B (0，2)，C (1，0)，因为x 2＋y 2是可行域内一点P (x ，y )到原点的距离的平方，所以，当P (x ，y )和A (2，3)重合时，(x 2＋y 2)max ＝22＋32＝13，显然，原点到直线BC ：2x ＋y －2＝0的距离d 最小，这里d ＝|2×0＋0－2|22＋12＝25，(x 2＋y 2)min ＝d 2＝45， 此时点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝45，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 综上可知，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值，最大值是13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值，最小值是45.点拨：本题不是求线性目标函数的最优解，而是求a 2＋b 2取得最大值、最小值问题，理解待求式的几何意义并准确画图是解这类题目的关键，同时注意取得最值的点不一定在顶点处取得，本题的最小值就是利用距离公式求得的.实系数方程f (x )＝x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1)b －2a －1的值域； (2)(a －1)2＋(b －2)2的值域.解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为A (－3，1)，B (－2，0)，C (－1，0).如图所示.(1)设b －2a －1＝k ⇒b ＝k (a －1)＋2，则k 表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)连线的斜率，因为A (－3，1)，C (－1，0)，则k AQ ＝14，k CQ ＝1，k AQ ＜k ＜k CQ ，14＜k ＜1.∴b －2a －1的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (2)(a －1)2＋(b －2)2表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)的距离的平方，显然，当动点P (a ，b )和点C (－1，0)重合时距离最小，最小值为22，而P (a ，b )和点A (－3，1)重合时距离最大，最大值为17，所以(a －1)2＋(b －2)2的值域为(8，17).所表示的平面区域为和纵坐标均为整数的点的通项公式为＋2y －5＞＋y －7＞≥0，y ≥0小值为( z ，y ＝－34x ＋z4，过x ，(3，0)，(4，0)，(5＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(2，4)，(4，1)逐个试验积不超过50植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量黄瓜≤50，.9y ≤54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图所示.两类产品，甲种设备每天能生产类产品10件，类产品20设备乙每天的租赁费为类产品300y 对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4，5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2300元.故填2300.1.解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置.2.如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是.第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组.第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数ZP i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值.1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －y ≥0所表示的平面区域是( )解：画出直线x ＝2，在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身)；再画出直线x －y ＝0，取直线的右侧部分(包含直线本身)，两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y ＝－12x ＋12z ，由图可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点(1，1)时，z 取得最小值3.故选B.3.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x()a ＞0，a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A.[1，3]B.[2，10]C.[2，9]D.[10，9]解：如图，阴影部分为平面区域M ，显然a ＞1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9，故选C.4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≥43 B.0＜a ≤1C.1≤a ≤43D.0＜a ≤1或a ≥43解：如图，由条件可知，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝43右上方时，可行域可以组成一个三角形，即a ≥43时，可行域可以组成一个△OAB ；当0＜a ≤1，可以组成一个三角形，所以0＜a ≤1或a ≥43，故选D.解：作出可行域如图阴影部分所示，－ax得y＝ax＋z.当AB重合时，z取最大值直线y＝ax＋z与直线，此时a＝－1.故选D.z＝x＋y，则y＝－知可行域只可能是△ABC，且x＋y的最大值只在点x－y－3＝0，－my＝－1解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得，1)，C(5，2).－3y⇔y＝43x－z13，易知平移如图，作出可行域，作直线l ：6x 向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域且与原点距离最大，此时z ＝解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200得M (20，C 三点的坐标分别为0).，则直线b ＝2a －取得最小值，经过点C 时，z 取得最大值，即，又A ，B ，C 三点不在可行域内，1)的光线经x 轴反射后的光线所，－1)，由图可知，区域3，1)，所以所求直线＋2y －4≤0，§7.4 基本不等式及其应用1.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的算术平均数.2.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ (当且仅当a＝b时取等号).4.基本不等式：a＞0，b＞0，则，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.6.求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即，亦即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.7.拓展：若a＞0，b＞0时，21a＋1b≤≤a＋b2≤，当且仅当a＝b时等号成立.自查自纠：1.a＋b22.ab3.2ab4.a＋b2≥ab5.最小值2ab2ab6.ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22ab≤14(a＋b)2ab≤a2＋b227.aba2＋b22设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )A.6B.42C.2 2D.2 6解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )A.12B.1C.2D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b＞a2－a2a＋b＝0，∴v＞a.故选A.(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋2x2≥22，当且仅当x＝±42时等号成立.故填22.点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，所以mn≤⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22＝14，当且仅当m＝n＝12时取等号，∴log2m＋log2n＝log2mn≤log214＝－2，故填－2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x＞－1)的值域.解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）m＝m＋4m＋5≥2m·4m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故4t＋1t的最小值为解：∵t，解集是M，则对任意实常数A.2∈MC.2∈M解法一：求出不等式的解集：k然对数的底数(0，＋∞)上恒成立，求实数解：由条件知∞)上恒成立要求矩形场地的一面利用旧墙其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为维修费用为用的旧墙的长度为x 的函数； 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.如图，设矩形的另一边长为180(x －2)＋180·2，得a ＝360x，3602－360(x ≥2)要制造一个底宽孔流入，经沉淀后从 m ，高度为分数与a ，b ，b 各为多少为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝k ab，其中k 最小，只需ab 最大＋2ab ＋2a ≤60(a ab (a ＞0，b ＞0)ab ，ab ≤30，得0＜时取“＝”号，＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值.4.求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决.1.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A.2 B.a C.3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当a ＝2时等号成立.故选C.2.设a ，b ∈R ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是( )A.ab ＜1＜a 2＋b 22B.ab ＜1≤a 2＋b 22C.1＜ab ＜a 2＋b 22D.ab ≤a 2＋b 22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝5－4x ＋x22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x ·（2－x ）＝2，当且仅当12－x＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ，4xm ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋80x≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b＝2 B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 D.若x ≤0，则2x ＋2－x≥22x·2－x＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C错；对于D ，若x ≤0，则2x＋2－x≥22x ·2－x＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2 3B.7＋2 3C.6＋4 3D.7＋4 3 解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号.故选D.7.若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a的取值范围是.解：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故填a ≥15. 8.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解：易知定点A (0，0)，B (1，3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有36 m长网的材料，宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋设每间虎笼长为x m，宽为36，即2x＋3y＝设每间虎笼的面积为S，则S＝( 21解：问题转化为求△ABC中∠BCAAB的延长线于点米，看A，B的视角最大，＝α，∠ACD＝β一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{x |0≤x ＜3}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则集合M ∩N ＝( ) A.{x |0≤x ＜3} B.{x |0≤x ≤3} C.{x |0≤x ≤1} D.{x |0≤x ＜1}解：x 2－3x －4＜0⇔(x －4)(x ＋1)＜0⇔－1＜x ＜4，∴N ＝{x |－1＜x ＜4}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜3}.故选A.2.不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3.(2014·北京)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：令a ＝2，b ＝－3，则“a >b ”推不出“a 2>b 2”；反之，令a ＝－1，b ＝0，则“a 2>b 2”推不出“a >b ”.综上知，故选D.4.若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A.a 2B.12a 2C.aD.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形.故选B.5.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A.－4 B.－3 C.3 D.4解：函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2（x －1）×1x －1＋6＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取得等号.故选C.6.(2014·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S 的最大值为2.故选C.7.(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B.ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C.sin x ＞sin y D.x 3＞y 3解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立.故选D.8.(2014·湖南模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A.(3，4)B.(－2，－1)∪(3，4)C.(3，4]D.[－2，－1)∪(3，4]解：由题意得，原不等式为(x －1)(x －a )＜0.当a ＞1时，解得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，则3＜a ≤4；当a ＜1时，解得a ＜x ＜1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a ＜－1.故a ∈[－2，－1)∪(3，4].故选D.9.若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.32＋2 2 解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝( )A.2B.3C.4D.5。

第1讲 不等关系与不等式1．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b >0⇔□01a >b ；a －b ＝0⇔□02a ＝b ；a －b <0⇔□03a <b ．另外，若b >0，则有a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b<1⇔a <b . 2．不等式的性质(1)对称性：□04a >b ⇔b <a ； (2)传递性：□05a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c □06>b ＋c ；a >b ，c >d ⇒□07a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒□08ac >bc ；a >b ，c <0⇒□09ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒□10ac >bd ； (5)可乘方性：a >b >0⇒□11a n >b n(n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a >b >0⇒□12n a >nb (n ∈N ，n ≥2).1．a >b ，ab >0⇒1a <1b.2．a <0<b ⇒1a <1b.3．a >b >0，0<c <d ⇒a c >b d. 4．0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.5．若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0).1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .故选A.2．(2024·天津河北区模拟)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0. 3．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A.－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <n D ．m <－n <n <－m答案 D解析 (取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确．4．(2024·东北育才学校高三模拟)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c |D ．a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >1b，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B错误；对于C ，若c ＝0，则a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．故选D. 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<bc2，则a <b ；③若a >b ，则a ·2c>b ·2c.其中正确的是 (请把正确命题的序号都填上). 答案 ②③解析 ①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －bc 2<0，于是a <b ，所以命题正确．③由2c>0知命题正确．故正确命题的序号为②③.考向一 不等式的性质例1 (1)已知条件甲：a >0，条件乙：a >b 且1a >1b，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由a >0不能推出a >b 且1a >1b ，故甲不是乙的充分条件．若a >b 且1a >1b ，即a >b 且b －aab>0，则ab <0，所以a >0，b <0.所以由a >b 且1a >1b能推出a >0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件.(2)若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2中，正确的是 ．答案 ①③解析 解法一：由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，依据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．解法二：因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.明显|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln (－1)2＝0，ln b 2＝ln (－2)2＝ln 4＞0，所以④错误；因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，所以①正确；因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，所以a －1a ＞b －1b，所以③正确．解决不等式是否成立问题常用的方法(1)干脆利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质推断不等式是否成立时要特殊留意前提条件．(2)利用特殊值法解除错误答案．(3)利用函数的单调性，当干脆利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行推断．1.(2024·长治模拟)下列选项中，a >b 的一个充分不必要条件是( )A ．1a >1bB ．lg a >lg bC ．a 2>b 2D ．e a>e b答案 B解析 由函数y ＝lg x 的单调性知lg a >lg b ⇔a >b >0⇒a >b ，但a >b⇒/lg a >lg b ，如a ＝1，b ＝0.故选B.2．(2024·兰州模拟)若a <b <0，给出下列不等式：①a 2＋1>b 2；②|1－a |>|b －1|；③1a ＋b >1a >1b. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 因为a <b <0，所以|a |>|b |>0，所以a 2>b 2，所以a 2＋1>b 2，故①正确．又因为－a >－b >0，所以1－a >1－b >0，所以|1－a |>|b －1|，故②正确．因为a ＋b <a <b <0，所以1a ＋b >1a >1b，故③正确．所以三个不等式都正确．故选D.精准设计考向，多角度探究突破 考向二 比较两个数(式)的大小 角度作差法例2 (1)已知x <1，则x 3－1与2x 2－2x 的大小关系是 ． 答案 x 3－1<2x 2－2x解析 x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∵x <1，∴x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x .(2)已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为 ． 答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5.当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1（1－q 3）a 1q 2（1－q ）－a 1（1－q 5）a 1q 4（1－q ）＝q 2（1－q 3）－（1－q 5）q 4（1－q ）＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知，S 3a 3<S 5a 5.角度作商法例3 (1)(2024·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 ∵a ，b ，c ∈(0，1)，a b ＝log 53log 85＝lg 3lg 5×lg 8lg 5＜1（lg 5）2×⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 82lg 52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 24lg 252＜1，∴a ＜b .由b ＝log 85，得8b ＝5，由55＜84，得85b ＜84，∴5b ＜4，可得b ＜45.由c ＝log 138，得13c ＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c ＞4，可得c ＞45.综上所述，a ＜b ＜c .故选A.(2)若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 明显77a a>0，7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a<1，7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，当0<a <7时，7a>1，7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1.综上，知77a a >7a a 7.角度特殊值法例4 (1)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B ．b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a答案 B解析 依据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252∈(1，2)，因此b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b.(2)已知a >b ，则不等式：①a 2－b 2≥0；②ac >bc ；③|a |>|b |；④2a >2b中，不成立的是 ．答案 ①②③解析 ①中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，②不成立；当0>a >b 时，③不成立．④中，由指数函数的单调性知2a ＞2b成立．角度中间量法例5 (1)(2024·成都模拟)已知实数a ＝ln (ln π)，b ＝ln π，c ＝2ln π，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b 答案 A解析 因为e<π<e 2，所以ln π∈(1，2)，即b ∈(1，2).由ln π∈(1，2)，得a ＝ln (ln π)∈(ln 1，ln 2)，而ln 2<ln e ＝1，所以a ∈(0，1).由2ln e<2ln π<2ln e2，得c ∈(2，4).所以a <b <c .故选A.(2)若0<a <b <1，则a b，log b a ，log 1ab 的大小关系是 ．答案 log 1ab <a b<log b a解析 ∵0<a <1，∴1a>1.又0<b <1，∴log 1ab <log 1a1＝0.∵0<a b <a 0＝1，log b a >log b b ＝1，∴log 1ab <a b<log b a .角度单调性法例6 (1)(2024·安阳模拟)已知实数a ，b ∈(0，1)，且满意cos a π<cos b π，则下列关系式成立的是( )A ．ln a <ln bB ．sin a <sin bC ．1a <1bD ．a 3<b 3答案 C解析 因为a ，b ∈(0，1)，所以a π，b π∈(0，π)，而函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，cos a π<cos b π，所以a π>b π，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝x 3在(0，1)上均为增函数，知只有C 正确.(2)(2024·广西柳州模拟)若b >a >3，f (x )＝ln xx，则下列各结论中正确的是( )A ．f (a )<f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2B ．f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (b )C ．f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (a )D ．f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (ab )答案 D解析 因为b >a >3，所以3<a <ab <a ＋b2<b .又f ′(x )＝1－ln xx2，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，又3>e ，则有f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (ab )<f (a )，故选D.(1)作差法的步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法的步骤：①推断两式同号；②作商；③变形；④推断商与1的大小关系；⑤结论．(3)特殊值法比较大小的思路利用特殊值法比较不等式的大小时须要留意以下问题：选择项两数(式)大小是确定的，假如出现两数(式)大小由某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊值进行检验；赋值应当满意前提条件；当一次赋值不能确定精确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项．(4)中间量法比较大小的思路利用中间量法比较不等式大小时要依据已知数、式敏捷选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是依据对数函数f (x )＝log a x 的单调性推断其与f (1)，f (a )的大小．(5)①利用函数的性质比较数、式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式；②通过对称性、周期性，可以将比较大小的数、式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较；③导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式，同时增大了解题难度，值得我们关注和重视．3.(2024·西安模拟)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a 答案 A解析 ∵a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，∴a >b ，又log 23>0，log 32>0，b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，∴b >c ，故a >b >c .故选A. 4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos (1－α)，则T 1与T 2的大小关系为 ． 答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sinα<0，所以T 1<T 2.5．已知a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b与(ab )a ＋b2的大小.解 ∵a >0，b >0，a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，若a >b >0，则ab>1，a －b >0.由指数函数的性质，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b2>1；若b >a >0，则0<a b<1，a －b <0.由指数函数的性质，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1. ∴a ab b（ab ）a ＋b 2>1，∴a a b b>(ab ) a ＋b2． 考向三 不等式性质的应用例7 (1)若角α，β满意－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2解析 因为－π2<α<β<π2，所以－π2<α<π2，－π2<β<π2，－π2<－β<π2，而α<β，所以－π<α－β<0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.(2)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是 (答案用区间表示).答案 (3，8)解析 解法一：设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ， 对应系数相等，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，μ＝52． ∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∈(3，8).解法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a －b 2．∴2x －3y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3，8). 利用不等式的性质求代数式的取值范围由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )(或其他形式)，通过恒等变形求得m ，n 的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F (x ，y )的取值范围．6.若实数x ，y 满意3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是 ．答案 27解析 解法一：由3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y2≤81，得2≤x 3y 4≤27，故x 3y4的最大值是27.解法二：设x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y m(xy 2)n，则x 3y －4＝x2m ＋n y 2n －m，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又16 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13，∴2≤x 3y 4≤27，故x 3y4的最大值为27.7．已知12<a <60，15<b <36，求a －b 与ab的取值范围． 解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. ∵15<b <36，∴136<1b <115，∴1236<a b <6015，∴13<a b<4. ∴a －b 和a b 的取值范围分别是(－24，45)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.1．若a >b >0，c <d <0，则肯定有( ) A ．a c >b d B ．a c <b d C ．a d >b cD ．a d <b c答案 D解析 由c <d <0⇒1d <1c <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所以ad<b c，故选D.2．(2024·安徽蚌埠开学考试)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .故选B.3．假如a ，b ，c 满意c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式不肯定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (c －a )>0答案 C解析 由题意知c <0，a >0，则A ，B ，D 肯定正确，若b ＝0，则cb 2＝ab 2.故选C. 4．设a >b >0，下列各数小于1的是( )A ．2a －bB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －bD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b答案 D解析 解法一：(特殊值法)取a ＝2，b ＝1，代入验证，可得D 选项中⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b<1.故选D.解法二：∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1，0<b a<1.由指数函数的性质知，2a －b >20＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b<⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 0＝1.故选D.5．(2024·四川南充模拟)已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a 答案 D解析 由于每个式子中都有a ，故先比较1，b ，b 2的大小．因为－1<b <0，所以b <b 2<1.又因为a <0，所以ab >ab 2>a .故选D.6．设x ，y ∈R ，则“x >y >0”是“x y>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为x >y >0，所以1y >0，所以x ·1y >y ·1y ，即x y >1，所以“x >y >0”是“xy>1”的充分条件；当x ＝－2，y ＝－1时，x y >1，但x <y <0，所以“x >y >0”不是“x y>1” 的必要条件．故选A.7．(2024·武汉一中月考)若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b 答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又因为d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .8．(2024·江苏南京建邺区中华中学模拟)若非零实数a ，b 满意a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a b<1 B ．b a ＋a b>2 C ．1ab 2<1a 2bD ．a 2＋a <b 2＋b答案 C解析 当a ＝－4，b ＝－2时，满意a <b ，A 明显不成立；当a ＝－4，b ＝2时，满意a <b ，B 明显不成立；因为1ab2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b，C 成立；a 2＋a －b 2－b ＝(a －b )(a ＋b )＋(a －b )＝(a －b )(a ＋b ＋1)符号不确定，D 不成立．故选C.9．有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －db>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；∵ab >0，c a －d b >0，即bc －adab>0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，c a －db>0，即bc －adab>0，∴ab >0，∴③正确．故选D. 10．(2024·长春模拟)已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <y <zB ．z <y <xC ．y <z <xD ．y <x <z答案 D解析 明显0<x ＝log 23<log 22＝1，y ＝log 0.5π<log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1>0.90＝1，所以y <x <z ，故选D.11．下面四个条件中，使a >b 成立的充要条件是( ) A ．|a |>|b | B ．1a >1bC ．a 2>b 2D ．2a>2b答案 D解析 a >b ⇒/ |a |>|b |，如a ＝2，b ＝－5，故A 错误；a >b ⇒/ 1a >1b，如a ＝2，b ＝1，故B 错误；a >b ⇒/ a 2>b 2，如a ＝1，b ＝－3，故C 错误；∵y ＝2x 是单调增函数，∴a >b ⇔2a >2b.故选D.12．(2024·合肥模拟)已知a ＝x 2＋x ＋2，b ＝lg 3，c ＝e －12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 答案 D解析 a ＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋2－14>1，b ＝lg 3<lg 10＝12，c ＝e －12＝1e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.所以b <c <a .故选D.13．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的是 ．答案 ①④ 解析 因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.14．(2024·河南三市三模)已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则x ，y ，z 的大小关系为 ．答案 y ＞x ＞z解析 由题意得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7，而0＜a ＜1，∴函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴y ＞x ＞z .15．若α，β满意⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为 ．答案 [1，7]解析 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.所以α＋3β的取值范围是[1，7].16．已知1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，则lg x 2y的取值范围为 ．答案 [－1，5]解析 令lg x 2y ＝m lg (xy )＋n lg xy＝lg (x m y m)＋lg x n y n ＝lg x m ＋nyn －m .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得m ＝12，n ＝32.∴lg x 2y ＝12lg (xy )＋32lg xy.∵1≤lg (xy )≤4，∴12≤12lg (xy )≤2.又－1≤lg x y ≤2，∴－32≤32lg xy≤3，∴－1≤12lg (xy )＋32lg x y ≤5，∴－1≤lg x2y≤5.故lg x 2y的取值范围是[－1，5].。