2020新高考数学基本不等式汇编

专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。

考点27基本不等式一、填空题1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)（多选题）已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.+≤2【命题意图】本题考查基本不等式的应用,考查利用基本不等式求最值,体现了数学抽象和逻辑推理等核心素养.【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥12,故A项正确;由题意可得0<b<1,所以-1<a-b=1-2b<1,所以2a-b>12,故B项正确;因为a+b≥2B(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤14,所以log2a+log2b≤log214=-2,故C项错误;由2(a+b)≥+2(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤2,故D项正确.2..(2020·天津高考·T14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12+12+8r的最小值为.【命题意图】本题考查应用基本不等式求最值,“1”的合理变换是解题的关键,属于基础题.【解题指南】根据已知条件,将所求的式子化为r2+8r,利用基本不等式即可求解.【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1,所以12+12+8r=B2+B2+8r=r2+8r≥2a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3,或a=2+3,b=2-3时,等号成立.答案:4【易错提醒】使用基本不等式求最值时一定要验证等号能否成立.3.(2020·江苏高考·T12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.【命题意图】本题主要考查不等式,利用消元法结合基本不等式求最值.【解析】因为5x2y2+y4=1(x,y∈R),所以y≠0,所以x2=1-452,则x2+y2=152+45y2=45,152=45y2时,即y2=12,x2=310时,x2+y2的最小值是45.答案:45【光速解题】4=(5x2+y2)·4y2=254(2+2)2,故x2+y2≥45,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时,取等号.所以(2+2)min=45.答案:45。

基本不等式【高考真题】1．（2021·全国乙卷文数）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意； 对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x x x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．2．（2022·新高考全国II 卷）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos ,sin 22y x y θθ-==，所以12cos sin ,sin 33x y θθθ=+=，因此222252111cos sin sin cos 1sin 2cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++++ 42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误． 故选：BC ．3．（2020·新高考全国I/II 卷）(多选)已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 2a b【答案】ABD【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为()21212a bab a b +=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.【基础知识】1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2 (a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值 用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值应注意：一正二定三相等. (1)a ，b 是正数；(2)①如果ab 等于定值P ，那么当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2P ； ②如果a ＋b 等于定值S ，那么当a ＝b 时，积ab 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．【题型方法】一、基本不等式比较大小1．已知a ，b >1且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）A abB ．2a b +C ．22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222a b +【答案】D【详解】因为a ，b >1，a ≠b ，由基本不等式得：12a bab +，由不等式性质得：2()22a b a b ++>， 又222222222()()022244a b a b a b a ab b a b +++++--=-=>， 222()222a b a b a b ab +++<<<. 故选：D2．(多选)当a ，R b ∈时，下列不等关系不成立的是（ ）A ．2a bab +≥ B ．2a b ab -≥ C ．222a b ab +≥ D ．222a b ab -≥【答案】ABD 【详解】 A ：当,0a b <时，2a bab +≥ B ：当2,1a b ==时，a b ab -≥C ：由重要不等式知：222a b ab +≥当且仅当a b =时等号成立；D ：当1,2a b ==时，222a b ab -≥不成立. 故选：ABD3．（多选）a 、b 是正实数，以下不等式 2abab a b>+；①a >|a －b |－b ；①a 2＋b 2>4ab －3b 2；①22ab ab+>恒成立的 序号为（ ） A ．① B ．① C ．① D ．①【答案】BD 【详解】①22ab a ab a b b ≤+2abab a b≥+当且仅当a b =时等号成立，①不正确； ①①a 、b 是正实数，则a b a b -<+，①a b b a b b a --<+-<，①正确；①()()22224320a b ab b a b +--=-≥，即22243a b ab b +≥-，当且仅当2a b =时等号成立，①不正确；①222222ab ab ab ab+≥⨯>，当且仅当2ab ab =时等号成立，即22ab ab +>，①正确； 故选：BD ．二、基本不等式求和的最小值1．已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值为 .【详解】∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号.∴f (x )的最大值为－1.2．已知0a >，0b >，1ab =，则226a b a b +++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．2【答案】B【详解】因为0a >，0b >，1ab =．所以()()2222264644a b ab a b a b a b a b a b a b a b+-+++++===++≥++++，当且仅当1a b ==时，等号成立． 故选：B.3．已知01a <<，则141a a+-的最小值是______． 【答案】9【详解】因为01a <<，则14144(1)()[(1)]5111a a a a a a a a a a -+=+-+=++--- 4(1)55491a a a a -≥+⨯=+=-， 当且仅当4(1)1a a a a -=-时，即23a =时，等号成立， 所以141a a+-的最小值是9. 故答案为：9.三、基本不等式求积的最大值1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．14【答案】A【详解】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0， lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2， 即x ＝y ＝100时取等号.2．设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；【详解】∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.3．已知0x >，0y >，且满足134x y+=，求xy 的最大值【详解】因为0,0x y >>，且123412x y xy+=≥3xy ≤，当且仅当34x y =时，即3,22x y ==时取得最大值3．四、二次与二次（或一次）的商式的最值1．函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-1【答案】D【详解】2233(1)(1)111x x x x y x x ++++++==++ 1[(1)]1(1)x x =--+++-+1[(1)]()111x x ≤--+-=-+， 当且仅当1111x x +==-+,即2x =-等号成立. 故选：D.2．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________.【答案】9【详解】∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.3．已知x >y >0，xy ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________.【答案】22【详解】∵xy ＝1，x >y >0，∴x －y >0， ∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22，y ＝6－22时取等号，∴x 2＋y 2x －y的最小值为2 2.五、基本不等式“1”的妙用求最值1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．10 【答案】A【详解】x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy ，即x ＝4y ＝12时，等号成立． 2．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14【答案】B【详解】由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2 b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立.3．已知非负实数x ，y 满足111322x y y +=++，则x y +的最小值为______________. 【答案】23【详解】非负实数x ，y 满足111322x y y +=++，有30,220x y y +>+>， 则121112[(3)(22)]()[(3)(22)]3333223x y y x y y y y x x y +++-=++++=-+++ 1223212232(2)23322333223y x y y x y x y y x y y ++++=++-≥⋅⋅=++++，当且仅当223322y x y x y y ++=++，即322x y y +=+时取“=”， 由322x y y +=+，111322x y y +=++得2,03x y ==， 所以当2,03x y ==时，x y +的最小值为23.故答案为：23六、条件等式求最值1．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 【答案】B【详解】∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立.2．设220,0,4x y x y x y >>+-=，则11x y+的最小值等于（ ）A ．2B ．4C ．12D ．14【答案】B【详解】因为224x y x y +-=，可得224x y x y +=+且0,0x y >>，所以221144424x y x y xy xy x y xy xy xy xy+++===+≥⋅，当且仅当4xy xy=时，即2xy =等号成立， 所以11x y+的最小值为4.故选：B.3．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C ．94 D ．3【答案】B【详解】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2， 所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.【高考必刷】一、单选题1．下列不等关系中正确的是（ ）A ．5ln 2ln 32ln 2+>B ．11ln 3ln 232<+<C ．ln 2ln31⋅>D ．ln 33ln 22> 【答案】D【分析】对A ，2524ln 2ln 3ln ln 0425+-=<； 对B ，ln3ln 2ln61+=>；对C ，由均值不等式得()22ln 2ln 3ln 2ln 3ln 612+⎛⎫⋅<=< ⎪⎝⎭；对D ，ln 33ln 9ln8ln 22>⇔> 【详解】对A ，252524ln 2ln 3lnln 6ln ln ln104425+-=-=<=，故5ln 2ln 32ln 2+<，A 错； 对B ， ln3ln 2ln61+=>，B 错；对C ，0ln 2ln3<<，故()()222ln 2ln 3ln 2ln 3ln 6ln e 12+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，C 错；对D ，0ln 2ln3<<，ln 332ln 33ln 2ln 9ln8ln 22>⇔>⇔>，D 对； 故选：D2．当0x <时，函数4y x x=+（ ） A ．有最大值4- B ．有最小值4- C ．有最大值4 D ．有最小值4【答案】A【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值. 【详解】0x <，0x ∴->，444()2()4y x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+=--+-≤--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2x =-时等号成立， 故选：A3．已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（ ） A ．9lg 2 B ．212C ．252D ．12【答案】C【分析】变换得到()4114log log ln 4ln 2ln e ln e a b a b a b ⎛⎫+=⨯++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >， ()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 14ln 4ln 25171722ln ln 2ln ln 2b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++≥⨯+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立．所以4log lo e e g a b +的最小值为252． 故选：C4．已知2x >-，0y >，23x y +=，则2x y++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】将已知条件等式化为()227x y ++=，整体代入结合基本不等式即可得解. 【详解】因为2x >-，0y >，23x y +=， 所以()227x y ++=，20x +>， 所以()()22722222222222x y x y yx y x x y x y x y+++++=+++=++++++()2222226y x yx ⋅+≥+=+， 当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立，即2272x y x y++++的最小值为6， 故选：B.5．已知正实数,a b 满足1a b +=，则41b a b+的是小值为（ ） A ．5 B ．163C ．4D ．3【答案】A【分析】利用1a b +=，将41b a b +化为41b a a b++，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知正实数,a b 满足1a b +=，则41441b b a b b a b baa b a ++=+=++， 而4424b b ab a a a b +≥⨯=，当且仅当4b a a b =即223a b ==时取等号， 故41b a b+的是小值为5， 故选：A.6．若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【分析】依题意2max21x a x x ⎛⎫≥ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式求出221xx x ++的最大值，即可得解； 【详解】解：因为0x >，所以222221131121x x x x x x x=≤=++++⋅+，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；故选：C7．已知,αβ为锐角，且2tan tan 2tan tan 0αβαβ-+=，则tan α的最大值为（ ） A 2B 2C 2D 2【答案】A【分析】由题意得2tan tan 12tan βαβ=+，进而结合均值不等式即可求出结果.【详解】因为β为锐角，所以tan 0β>，由题意可得2tan 1tan 112tan 2tan tan βαβββ==≤++12422=，当且仅当2tan 2β=时取等号，故tan α的最大值为24，故选：A ．8．已知3515a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．22(1)(1)2a b -+-<D ．226a b +>【答案】C【分析】根据题意表示出35log 15,log 15==a b ，利用对数的换底公式即可判断选项A ，再利用基本不等式以及不等式的性质判断选项B ，C ，构造二次函数，利用二次函数的性质求解最小值，即可判断选项D.【详解】因为3515ab==，35log 15,log 15==a b ，对A ，1515351111log 3log 51log 15log 15+=+=+=a b ，所以1a b ab+=，即a b ab +=，故A 正确；对B ，由基本不等式可得2(0,0)a b ab a b +≥>>，因为a b ，a b ab +=，所以2ab ab >，即224>a b ab ，得4ab >，所以4a b +>，故B 正确；对C ，22222222()(1222()2)(1)2=+-++=+-+=-+--+>a b a b a b ab a a b b ，故C 错误；对D ，2222()2()2()=+-=+++-a b ab a b a a b b ，令(4)+=>a b t t ，2()2=-f t t t ，则函数2()2=-f t t t 在(4,)+∞上单调递增，所以min ()(4)8>=f t f ，即222()2()8=++-+>a b a b a b ，所以226a b +>成立，故D 正确； 故选：C.【点睛】一般涉及对数的乘法运算时需要利用对数的换底公式代入求解，关于基本不等式的应用，需要注意“一正二定三相等”的原则.9．已知3515a b == ）A ．2a b ab +=B ．1ab >C ．22log log 0a b +>D ．22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】结合对数运算以及基本不等式对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】由3515a b ==，得3 log 15a =，5log 15b =，所以151511log3log52a b+=+=，整理得2a b ab +=，故A 正确； 由111122a b a b=+≥⋅，得1≥ab ，又a b ，所以1ab >，故B 正确.因为()222log log log a b ab +=，1ab >，所以()222log log log 0a b ab +=>，故C 正确； 因为112a b +=，所以112221b a =+-，22221111122221162a b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当且仅当1a =时，等号成立，又3log 151a =>， 所以22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：D10．若1a b >>，lg lg P a b ⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a b R +=，则（ ） A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q <<【答案】B【分析】利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11lg lg (lg lg )lg()lg lg 222a bP a b a b ab ab R +=⋅<+==<=因此，P Q R << 故选：B【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小二、多选题11．已知实数,a b 满足0a b >>且2a b +=，则下列结论正确的有（ ） A ．222a b +> B ．829a b+≥C ．ln ln 0a b +>D ．11a b a b+>+ 【答案】AB【分析】A ，C 选项利用基本不等式进行比较，B 选项利用基本不等式中1的妙用处理，D 选项利用作差法结合基本不等式处理.【详解】①0a b >>且2a b +=，由基本不等式222222a b a b ab +>=，①()()2222222221112()2222a b a b a b a b ab a b ⎡⎤+=+++>++=+=⎣⎦，故A 正确；82182182182()101029222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当82b aa b =即43a =，23b =时等号成立，故B 正确；2ln ln ln()ln ln102a b a b ab +⎛⎫+=<== ⎪⎝⎭，故C 错误；①212a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，①01ab <<，①11()b a a b a b a b ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()(1)()10a b ab a b ab ab --⎛⎫=--=< ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：AB12．若1a b >>，且35a b +=，则（ ） A ．141a b b +--的最小值为24 B ．141a b b +--的最小值为25 C ．2ab b a b --+的最大值为14D ．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【分析】利用已知条件构造()()411a b b -+-=，然后与141a b b +--相乘构造基本不等式，利用基本不等式即可判断选项A 和B ；由()()21ab b a b a b b --+=-⋅-，结合()()411a b b -+-=利用基本不等式即可判断C 和D .【详解】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+---- ()()414171b a b a b b --=++-- ()()4141721b a b a b b --≥+⋅--25=当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25． 又()()()()()()14124141a b b a b b a b b =-+--⋅-=-⋅-≥．当且仅当()1412a b b -=-=时，等号成立， 所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤， 故2ab b a b --+的最大值为116． 故选：BD .13．已知x ，y 是正数，且21x y +=，则下列结论正确的是（ ）A ．xy 的最大值为18B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +的最大值为14D ．1y x xy-+的最小值为9 【答案】ABD【分析】根据基本不等式，结合配方法以及“1”的妙用，可得答案.【详解】对于A 项，因为2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时取等号，此时xy 的最大值为18，故A 项正确；对于B 项，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，因为18xy ≤，所以22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时取等号，即224x y +的最小值为12，故B 项正确； 对于C 项，()2124x x y x x y ++⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x x y =+，即12x =，0y =时取等号，又x ，y 都是正数，所以等号不成立，故C 项错误； 对于D 项，122121y x x y xy xy x y x y ⎛⎫-++==+=+ ⎪⎝⎭()222225529y x y x x y xy x y ⎛⎫+=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时取等号，此时1y x xy -+的最小值为9，故D 项正确．故选：ABD ．14．已知,x y 是正数，且2x y +=，下列叙述正确的是（ ） A ．xy 最大值为1 B ．22x y +的最小值为2C x y 2D ．14x y +的最小值为92【答案】ABD【分析】根据基本不等式得出212x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，可判断A 项；因为()222242y x x y x x y y =+-+=-，又1xy ≤，可判断B 项； 因为()222x yxy +=+，又22xy ≤，所以()24x y+≤，开方可判断C 项；根据“1”的代换，代入展开用基本不等式求出结果，可判断D 项.【详解】对于A ，根据基本不等式可知，2x y xy +≥，当且仅当x y =，即1x y ==时等号成立.所以有212x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭成立，故A 项正确；对于B ，()222242y x x y x x y y =+-+=-，因为1xy ≤，所以1xy -≥-，所以2242422x y xy =≥-+-=，当且仅当x y =，即1x y ==时等号成立.故B 项正确； 对于C ，()2222x yx y xy xy +=++=+，因为22xy x y ≤+=，当且仅当x y =，即1x y ==时等号成立.所以有()2224x yxy +=+≤，所以2x y +≤，即x y +的最大值为2，故C 项错误；对于D ，由已知得，12x y+=，则14142x y x y x y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭2522y x x y =++25222y x x y ≥⋅+59222=+=，当且仅当22y x x y =，且2x y +=，,0x y >， 即23x =，43y =时等号成立.故D 正确.故选：ABD.15．已知0a >，0b >，1a b +=，则（ ） A ．114a b+≤B ．2222a b +≥C ．22log log 2a b +≤-D ．1sin sin 2sin 2a b +≤【答案】BCD【分析】结合基本不等式即可判断A 、B 、C 选项，D 选项先利用和差化积公式可得到sin sin 2sin cos 22a b a ba b +-+=⋅，再结合三角函数性质即可判断. 【详解】0a >，0b >，1a b +=，112224a b a b b a b aa b a b a b a b++∴+=+=++≥⋅+=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，故A 不正确；又222222222a b a b a b ++≥⋅==，当且仅当22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确； ()2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故C 正确； 又sin sin 2sin cos 22a b a ba b +-+=⋅， 1cos12a b--≤≤,1sin sin 2sin 2a b ∴+≤，故D 正确；故选：BCD.16．若实数,0m n >，满足21m n +=，以下选项中正确的有（ ）A ．mn 的最大值为18.B ．11m n+的最小值为2C ．224m n +的最小值为12D ．2912m n +++的最小值为5 【答案】AC【分析】直接利用均值不等式判断A ；根据“1”的代换的方法判断B ；整理21m n +=为 ()()2125m n +++=，对21m n +=作平方处理，结合均值不等式判断C ，利用“1”的代换的方法判断D ；【详解】实数m ，0n >，2122m n mn ∴+=≥， 整理得18mn ≤，当且仅当1214n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“=”，故选项A 正确；()112m n m n +=+(112)3322n mm n m n+=++≥+， 当且仅当22221m n ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩时取“=”，故选项B 错误； 21m n +=，()()222222222124442424m n m n mn m n m n m n ∴=+=++=++⋅≤+， 22142m n ∴+≥，当且仅当1214n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“=”，故选项C 正确，21m n +=，()()2125m n ∴+++=，()()2912921212512m n m n m n ⎛⎫⎡⎤∴+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()()2218111131323655125n m m n ⎡⎤++=++≥+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当01m n =⎧⎨=⎩时取“=”， 但已知0m >,故不等式中的等号取不到， 29512m n ∴+>++，故选项D 错误； 故选：AC17．已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则（ ） A ．2222a b +≥B ．221a b +≥C ．23log 12a b ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭D ．()ln 1a a +≥的充要条件是1b =【答案】AD【分析】由均值不等式可判断A ，B ；由题意可得出1a b -≥-，代入2231log log 122a b ⎛⎫-+≥=- ⎪⎝⎭，可判断C ；由ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时取等，可判断D.【详解】对于A ，222222a b a b ++≥=，当且仅当22a b =时取等，所以A 正确； 对于B ，22221()21212,22a b a b a b ab ab +⎛⎫+=+-=-≥-⨯≥ ⎪⎝⎭所以B 错误；对于C ，因为1a b +=，()=1211a b a a a ---=-≥-， 所以2231log log 122a b ⎛⎫-+≥=- ⎪⎝⎭，当0,1a b ==时取等，所以C 错误； 对于D ，因为令()()()ln 11g x x x x =+->-， ()1111111x x g x x x x ---'=-==+++， 所以()g x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减， 所以()()max 00g x g ==，所以()0g x ≤， 所以ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时取等，所以若ln(1)a a +≥，则0a =，此时1b =，反之也成立，D 正确 故选：AD18．在下列函数中，最小值是4的是（ ）A ．4y x x=+B ．0)1y x x =>+ C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．144x x y -=+【答案】BD【分析】根据基本不等式2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，即可作出判断. 【详解】对于A ，当0x >时，4424y x x x x=+≥⋅=， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号； 当0x <时，444[()]24y x x x x x x=+=--+-≤-⋅=-， 当且仅当4x x -=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞，A 错误；对于B ，51441111x x y x x x x +++===+++++， 因为0x >，所以11x +>，44121411x x x x ++≥+⋅=++， 当且仅当411x x +=+，即3x =时取等号， 所以5(0)1x y x x +=>+的最小值为4，B 正确； 对于C ，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D ，40x >，14424444444x x x x xxy -=++⨯=≥=， 当且仅当444xx =，即12x =时取等号，所以144x x y -=+的最小值为4，D 正确. 故选：BD19．若62a =，63b =，则下列不等关系正确的有（ ） A 112a b ++< B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】指对互化后求得1a b +=，对A 、C 选项可利用不等式222()2a b a b ++≥及变形判断结论是否正确；对B 选项可用“1”的代换判断结论是否正确；对D 选项：由换底公式得11ln6ln3ln63ln2ln63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别计算ln6ln2与ln3ln6ln63ln3+的范围可判断结论是否正确. 【详解】由62a=，63b=，得6log 2a =，6log 3b =，所以，对于A ，由不等式222x y xy +≥得222()2x y x y ++≥，()222x y x y ∴+≤+，又ab ，()()112116a b a b ⎡⎤∴+++<+++=⎣⎦，所以A 不正确；对于B ，因为6log 20a =>，6log 30b =>，1a b +=，所以()111124b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，因为ab ，所以等号不成立，所以114a b +>，所以B 正确；对于C ，因为222a b ab +≥，所以222()122b a a b +≥=+，因为ab ，所以等号不成立，所以2212a b +>，所以C 正确；对于D ，因为ln2ln6a =，ln3ln6b =，所以11ln6ln3ln63ln2ln63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ln6ln42ln2ln2>=，且ln3ln6ln3ln6122ln63ln3ln63ln33+≥⋅=，因为ln3ln6ln63ln3≠，所以等号不成立，所以ln3ln612ln63ln33+>， 所以11ln6ln3ln612223ln2ln63ln33b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+>⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：BCD.20．已知,0a b >，2a b ab +=，则下列表达式正确的是（ ） A ．2a >，1b > B ．a b +的最小值为3C ．ab 的最小值为8D ．22(2)(1)a b -+-的最小值为4【答案】ACD【分析】对A ，通过用a 表示b 以及用b 表示a ，即可求出,a b 范围，对B ，对等式变形得211a b+=，利用乘“1”法即可得到最值，对C 直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出ab 最小值，对D 通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【详解】对A 选项，,0,2a b a b ab >+=，即()2b a a -=，则2ab a =-， 则02aa >-，且0,a >解得2a >， 2ab ab +=，则()12,a b b -=则201ba b =>-，且0b >，解得1b >，故A 正确； 对B 选项，,0,2a b a b ab >+=，两边同除ab 得211a b+=，则()1223323222a b a b a b a b b a a a b b ⎛⎫+=+=++≥+⋅=+ ⎝⎭+⎪，当且仅当2a bb a =，且211a b+=，即22,21a b =+=+时等号成立，故B 错误； 对C 选项，222a b ab ab +=≥，,0a b >，解得22ab ≥，故8ab ≥， 当且仅当2a b =，且8ab =，即4,2a b ==时等号成立，故C 正确； 对D 选项，由A 选项2a b a =-代入得2222(2)(1)(2)12a a b a a ⎛⎫-+--+- ⎝=⎪-⎭()()222222244(2)(2)2(2)4222a a a a a a =⎛⎫-+=-+≥-⋅= ⎪-⎝⎭--， 当且仅当224(2)(2)a a -=-，2a >，即22a =+时，此时21b =+时，等号成立，故D 正确. 故选：ACD.21．当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（ ） A ．2xyxy x y≤+B ．114x y x y +≥+C ．11x y xy +D ．22334x y x y x y++≥【答案】ABD【分析】利用基本不等式变形，判断ABC 选项，选项D 首先利用立方和公式化简，再利用基本不等式判断. 【详解】对于A ，222xy xyxy x y xy=+≤当且仅当x y =时取等号，正确. 对于B ，()1124y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号，正确.对于C ，2112xy x y x y xy xy xy++=≥=，当且仅当x y =时取等号，错误.对于D ，()()()()23322224x y x y x y x y xy x y ++=++-≥，当且仅当x y =时取等号，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式判断不等式，本题的关键选项是D ，需利用立方和公式，先化简再判断.22．已知a 、()0,1b ∈，且1a b +=，则（ ） A ．2212a b +≥B ．ln ln 2ln 2a b +≤-C ．2ln ln ln 2≥a bD ．ln 0+<a b【答案】ABD【分析】利用基本不等式可判断A 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；构造函数()1ln f x x x =-+，利用函数()f x 在()0,1上的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为()()22222122a b a b ab a b =+=++≤+，所以，2212a b +≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，A 对；对于B 选项，由基本不等式可得2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立， 所以，1ln ln ln ln 2ln 24a b ab +=≤=-，B 对； 对于C 选项，取14a =，34b =，则222133ln ln ln 2ln ln ln 22ln 2ln ln 2444a b -=-=--16ln 2ln ln 209⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，此时2ln ln ln 2a b <，C 错；对于D 选项，令()1ln f x x x =-+，其中01x <<， 则()1110xf x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()0,1上为增函数， 因为01b <<，则()()1ln ln 10f b b b a b f =-+=+<=，D 对. 故选：ABD.23．若a ＞b ＞0＞c ，则( ) A ．c c a b> B ．b c ba c a->- C ．c c a b > D ．2a c bc ->-【答案】ABD【分析】利用作差法可判断AB ，根据幂函数单调性可判断C ，根据基本不等式可判断D. 【详解】A ：()c c b a ca b ab--=，①0a b c >>>，0,0,0ab b a c ∴>-<<， ()0b a cab-∴>，c c a b ∴>，故A 正确；B ：()()()()()a b c b a c b a cb c b a c a a c a a c a------==---， ①0a b c >>>，①0,0,0,0a c a b a c ->>-<<， ()0,()b a c b c ba c a a c a--∴>∴>--，故B 正确；C ：,0c y x c =<时，y 在()0,∞+单调递减，①,c c a b a b >∴<，故C 错误；D ：①a ＞b ＞0＞c ，①－c ＞0，①()2a c b c b c bc ->-=+-≥-，①a ≠b ，故等号取不到，故2a c bc ->-，故D 正确.故选：ABD.24．若ln ln a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b a b-<- B ．24a bb a +<C ．()2021lg lg b a a b -<-D ．lg lg 2021b a b a --<【答案】CD【分析】由条件可知0a b >>，利用作差判断选项A ，利用基本不等式判断选项B,利用两边函数值和特殊值比较，判断选项CD.【详解】本题考查利用不等式的性质与函数的性质比较大小．由ln ln a b >，知0b a <<，则()()()11110b a a b a b a b a b ab ab -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=--=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b ->-，故A 不正确； 因为222224a ba bb ab a ⨯+≥==，只有a b =时等号成立，但ab ，故222224a b a b b ab a⨯+>==故B 不正确；因为()20210b a -<，lg lg lglg10aa b b-=>=， 所以()2021lg lg b a a b -<-，故C 正确；因为020211b a -<<，lg lg lglg10bb a a-=<=， 所以lg lg 2021b a b a --<，故D 正确． 故选：CD ．【点睛】思路点睛：本题考查不等式与函数的性质，一般比较大小，1.可以用作差法比较大小，2.构造函数，利用单调性比较大小，3.与特殊值比较大小，或是利用不等式的传递性比较大小。

基本不等式--历年高考题汇编一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135°，设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点，则1x +4y的最小值是()A. 92B. 2 C. 94D. 42.已知正数x，y满足x+4y=2，则x+40y+43xy的最小值为()A. 852B. 24C. 20D. 183.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x()A. 都大于4B. 至少有一个大于4C. 至少有一个不小于4D. 至少有一个不大于4二、填空题（本大题共13小题，共65.0分）4.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．5.若2a+b=2(a>0,b>0)，则1a +1b的最小值是______．6.函数y=x2+6x2+1的最小值是______．7.已知x>0，y>0，x+2y=1，则2x +1y的最小值为______．8.已知a>3，则4a−3+a−316的最小值为______．9.已知m+n=2，其中mn>0，则1m +1n的最小值为______．10.若正数a，b满足ab−2a−b=0，则ab的最小值为______．11.已知a+b=4，则2a+2b的最小值为______．12.设a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b的最小值为______．13.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．14.已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x +4y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4x y+4y x+8≥18乙：z=(x+2y)(2x +4y)≥2√2xy⋅2√8xy=16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．15.已知a，b∈R，且a−2b+8=0，则2a+14b的最小值为______．16.若a，b均为正实数，则ab+ba2+b2+1的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：1a +1b≥4．18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ=m⋅2t+21−t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=m−|2−x|，且f(x+2)>0的解集为(−1,1)．(1)求m的值；(2)若正实数a、b，满足a+2b=m.求1a +12b的最小值．20.已知函数f(x)=|x−1|−|x+a|(a∈N∗)，f(x)≤2恒成立．(1)求a的值；(2)若正数x，y满足1x +2y=a.证明：1xy+x+12y≥√2答案和解析1.【答案】C【解析】解：过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：y −3=−(x −1)，化为：x +y =4． 设点(x,y)是直线l 在第一象限内的部分上的一点，∴x +y =4，且x ，y >0．则1x +4y =14(x +y)(1x +4y )=14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ⋅4x y )=94，当且仅当y =2x =83时取等号． 故选：C ．过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：x +y =4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵正数x ，y 满足x +4y =2，12x +2y =1，∴x+40y+43xy=x+40y+2x+8y 3xy =3x+48y 3xy =x+16y xy =1y +16x ， ∴1y +16x =(1y +16x )(12x +2y)=10+x 2y +32y x ≥10+2√x 2y ⋅32y x =10+8=18， 当且仅当x 2y =32y x 时，x =43，y =16 故x+40y+43xy 的最小值为18，故选：D ．由题意可得x+40y+43xy =1y +16x ，再利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：假设三个数1x +4y <4且1y +4z <4且1z +4x <4，相加得：1x+4x +1y +4y +1z +4z <12，由基本不等式得： 1x+4x ≥4；1y +4y ≥4；1z +4z ≥4； 相加得：1x +4x +1y +4y +1z +4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y 、1y +4z 、1z +4x 至少有一个不小于4．故选：C ．由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．4.【答案】92【解析】解：∵x ，y ∈R +且1x +4y =2，∴x +y =12(x +y)(1x +4y) =52+2x y +y 2x ≥52+2√2x y ⋅y 2x =92 当且仅当2x y =y 2x 即x =32且y =3时取等号，∴x +y 的最小值为92故答案为：92由题意可得x +y =12(x +y)(1x +4y )=52+2x y +y 2x ，下面由基本不等式可得． 本题考查基本不等式，变形为基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】32+√2【解析】解：2a +b =2(a >0,b >0)，则1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ≥32+2√b 2a ⋅a b =32+√2， 当且仅当b 2a =a b 时，即a =2−√2，b =2√2−2时取等号，故1a +1b 的最小值是32+√2，故答案为：32+√2利用乘“1”法，可得1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ，再根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与划归思想，属于基础题 6.【答案】2√6−1【解析】解：y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1≥2√(x 2+1)⋅6x 2+1−1=2√6−1，当且仅当x 2=√6+1时取等号， 故答案为：2√6−1．由y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7.【答案】8【解析】解：∵2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8(当且仅当x=12，y=14时取等)故答案为：8先变形：2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】1【解析】解：∵a>3，∴a−3>0，∴4a−3+a−316≥2√4a−3⋅a−316=1，当且仅当4a−3=a−316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：∵m+n=2，其中mn>0，则1m +1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2)=2当且仅当m=n=1时取得最小值2．故答案为：2．由已知可得，1m +1n=12(m+n)(1m+1n)，利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键10.【答案】8【解析】解：∵正数a，b满足ab−2a−b=0，∴ab=2a+b≥2√2ab，∴a2b2≥8ab，∴ab≥8．∴ab的最小值为8．故答案为：8．推导出ab=2a+b≥2√2ab，从而a2b2≥8ab，由此能求出ab的最小值．本题考查两数积的最小值的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】8【解析】解：∵a+b=4，∴2a+2b≥2√2a+b=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，∴2a+2b的最小值为8．故答案为：8．利用基本不等式直接求解．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．12.【答案】78【解析】解：a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b≥a8|a|+2√b8|a|⋅2|a|b=a8|a|+1≥−18+1=78．当且仅当b8|a|=2|a|b，a<0且a+b=2即a=−23，b=83时取等号．故答案为：78．由已知可得，14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．13.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3−x⋅(2y)≥3−(x+2y2)2(当且仅当x=2y时取等号)，整理得：(x+2y)2+4(x+2y)−12≥0，即：(x+2y−2)(x+2y+6)≥0，又：x+2y>0，所以：x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号)，则：x+2y的最小值是2．故答案为：2．首先分析题目由已知x >0，y >0，x +2y +2xy =3，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a +b ≥2√ab 代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a +b ≥2√ab 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x ，y ∈R +，求z =(a +b)(1a +1b )的最小值．甲：z =(a +b)(1a +1b )=1+b a +a b +1≥4，乙：z =(a +b)(1a +1b )≥2√ab ⋅2√1a ⋅1b=4． 故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 15.【答案】18【解析】解：∵a −2b +8=0，则2a +14b ≥2√2a ⋅14b =2√2a−2b =2√2−8=18 当且仅当a =−2b 即b =2，a =−4时取等号，故答案为：18．由基本不等式可得，2a +14b ≥2√2a ⋅14b ，结合已知即可求解． 本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】√22【解析】解：∵a 2+12b 2≥2√a 2⋅b 22=√2ab ，当且仅当a =√22b 时取等号， 12b 2+1≥2√12b 2=√2b ，当且当且仅当b =√2时取等号， ∴ab+b a 2+b 2+1=ab+b a 2+b 22+b 22+12≤√2ab+√2b =√2=√22，当且仅当a =1，b =√2时取等号， 故ab+b a 2+b 2+1的最大值为√22， 故答案为：√22由：a2+12b2≥2√a2⋅b22=√2ab，当且仅当a=√22b时取等号，12b2+1≥2√12b2=√2b，当且当且仅当b=√2时取等号，即可求出答案．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，∴1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√ba⋅ab=4，当且仅当ba =ab即a=b=12时取等号．【解析】由题意可得1a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab，由基本不等式可得．本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．18.【答案】解：(1)依题意可得5=2⋅2t+21−t，即2⋅(2t)2−5⋅2t+2=0．亦即(2⋅2t−1)(2t−2)=0，又∵t≥0，得2t=2，∴t=1．故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立．∵m⋅2t+21−t=m⋅2t+2⋅2−t≥2√2m，①∴只需2√2m≥2，即m≥12．当且仅当12⋅2t=2⋅2−t，即t=1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)将m=2，θ=5代入θ=m⋅2t+21−t(t≥0)解指数方程即可求出t的值；(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立，求出m⋅2t+21−t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x+2)=m−|x|∴由f(x+2)>0得|x|<m．由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)又不等式f(x+2)>0解集为(−1,1)，故m=1；(2)由(1)知a+2b=1，又a，b是正实数，由基本不等式得1a +12b=(1a+12b)(a+2b)=1+1+2ba+a2b≥4当且仅当a=12,b=14时取等号，故1a +12b的最小值为4．【解析】(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)，根据解集为(−1,1)可得m；(2)由(1)知a+2b=1，则1a +12b=(1a+12b)(a+2b)然后利用基本不等式求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，又f(x)≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴−3≤a≤1，∵a∈N∗，∴a=1；(2)由(1)知1x +2y=1，∴2x+y=xy，∴1xy +x+12y=1xy+12xy≥2√1xy⋅12xy=√2．【解析】(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，结合已知可求a，(2)由(1)知1x +2y=1，从而有2x+y=xy，然后利用基本不等式可证．本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础试题。

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。

二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。

2025版新高考版高考总复习数学2.2基本不等式五年高考考点基本不等式1.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分,中)若x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC2.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分,中)已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥12 B.2a−b>12C.log2a+log2b≥-2D.√a+√b≤√2答案ABD3.(2020江苏,12,5分,中)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.答案454.(2019天津理,13,5分,中)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.答案4√35.(2019江苏,10,5分,中)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案 46.(2017天津,12,5分,中)若a,b∈R,ab>0,则a 4+4b4+1ab的最小值为.答案 4三年模拟综合基础练1.(2024届湖北宜荆荆随联考,6)已知a,b均为正数,且a+2b=1,则2a +4a+bb的最小值为()A.11B.13C.10D.12答案A2.(2024届黑龙江联考(二),6)已知a、b均为正数,则不等式4a+2b≥8成立是不等式ab≥2成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B3.(2024届吉林吉大附中实验学校第一次摸底,6)设实数x,y满足x+y=1,y>0,x≠0,则1|x|+2|x|y的最小值为()A.2√2−1B.2√2+1C.√2−1D.√2+1答案A4.(2023山西太原一模,14)已知x>0,y>0,1x +y=2,则xy的最小值为.答案 1综合拔高练1.(2024届河北邢台第一中学月考,7)已知正实数a,b满足ab=3-a-b,若3a+2b≥m恒成立,则m的最大值为() A.4√6−5 B.5 C.√95−5 D.3√7答案A2.(多选)(2024届河南顶级名校月考,12)已知a>0,b>0,a+b-12a −2b=32,则以下正确的是()A.若a<b,则a<1B.若a<1,则b>2C.a+b的最小值为3D.ab的最大值为2答案BC3.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检(一),10)已知正实数x,y满足x+y=1,则()A.x2+y的最小值为34B.1x +4y的最小值为8C.√x+√y的最大值为√2D.log2x+log4y没有最大值答案AC4.(2024届吉林吉大附中实验学校第一次摸底,14)若a,b,c>0,且a2+ab+ac+bc=4,则2a+b+c 的最小值为.答案4。