高考数学专题专练(浙江版)(基本不等式汇编)

§2.4 基本不等式及其应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．[P100A 组T1]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．[P100A 组T2]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m,0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2. 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，等号成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.6．(2018·温州市适应性考试)已知2a＋4b＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为________． 答案 0解析 因为2＝2a＋4b≥22a ＋2b，当且仅当a ＝b ＝0时等号成立，所以a ＋2b ≤0，即a ＋2b的最大值为0.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)(2019·台州质检)当x >0时，x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________．答案 4解析 因为当x >0，a >0时，x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当x ＋1＝ax ＋1时，等号成立，又x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.命题点2 常数代换法例2(2018·浙江部分重点中学调研)已知a >0，b >0，且满足a ＋2b ＝2.若不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，则实数t 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94解析 因为对于任意的a >0，b >0，a ＋2b ＝2，不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，即1a ＋2b ＋1≥t 恒成立．因为1a ＋2b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b ＋12＝54＋b ＋12a ＋a 2(b ＋1)≥54＋1＝94，当且仅当b ＋12a ＝a 2(b ＋1)，即a ＝b ＋1＝43，b ＝13时，取到最小值，所以t ≤94. 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．跟踪训练1(1)(2018·杭州高级中学高考仿真测试)若正数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A.22B.2C.32D. 3 答案 D解析 由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝12x －x 2，所以2x ＋y ＝2x ＋12x －x 2＝32x ＋12x ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≥3x ·1x ＝3，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立，此时y ＝33，符合题意，所以2x ＋y 的最小值为3，故选D.(2)(2018·浙江绍兴一中模拟)已知x ，y >0，且x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，则3x －716y 的最小值是________． 答案 －14解析 因为x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，所以3x －716y ＝3x －716y ＋x ＋y ＋1x ＋12y －194＝x ＋4x ＋y ＋116y －194≥92－194＝－14，当且仅当x ＝4x ，y ＝116y ，即x ＝2，y ＝14时，取等号．题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3B ．4C.83D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23n AN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立． 命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·杭州七校联考)设x ，y 是正实数，若不等式x 4x ＋y ＋y x ＋4y ≤a ≤x x ＋4y ＋y4x ＋y 恒成立，则实数a 的值是________． 答案 25解析 令t ＝y x>0，则x 4x ＋y ＋y x ＋4y ＝14＋y x ＋yx1＋4y x＝14＋t ＋t 1＋4t ＝14＋t －14＋16t ＋14＝4＋16t －4－t (4＋t )(4＋16t )＋14＝15t 16＋68t ＋16t 2＋14＝1516t ＋16t＋68＋14≤15100＋14＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≥25.又x x ＋4y ＋y 4x ＋y ＝11＋4y x ＋yx4＋y x＝11＋4t ＋t 4＋t ＝11＋4t －44＋t＋1＝4＋t －4－16t (1＋4t )(4＋t )＋1＝1－15t4＋17t ＋4t2＝1－154t ＋4t＋17≥1－1525＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≤25.综上，a ＝25.跟踪训练2(2018·金华名校统练)已知正实数x ，y 满足x －y >0，x ＋y －2≤0，若m ≤2x ＋3y＋1x －y恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3＋224解析2x ＋3y ＋1x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ×44≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y 4＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·x ＋3y －y ＋x 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2(x －y )x ＋3y ＋x ＋3y x －y ≥14⎝⎛⎭⎪⎫3＋2 2(x －y )x ＋3y ·x ＋3y x －y ＝3＋224， 当且仅当x ＋y ＝2，2(x －y )x ＋3y ＝x ＋3yx －y 时取等号，此时x ＝22－1，y ＝3－22，符合题意， 所以2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为3＋224，即m ≤3＋224.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1， 每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1， 即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( )A.53B ．3C ．5D ．9 答案 D解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.5．(2018·杭州模拟)若实数x ，y ，z 满足2x＋2y＝2x ＋y,2x＋2y ＋2z ＝2x ＋y ＋z，则z 的最大值为( ) A ．2－log 23 B ．2＋log 23 C.43 D ．log 23答案 A 解析 因为2x ＋y＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以2x ＋y≥4.又2x＋2y＋2z＝2x ＋y ＋z，所以2x ＋y＋2z ＝2x ＋y·2z，所以2z＝2x ＋y2x ＋y －1＝1＋12x ＋y －1，由2x ＋y ≥4得2z的最大值为43，从而z 的最大值为2－log 23.6．(2018·嘉兴市教学测试)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．53B ．9C ．4＋26D ．10 答案 B解析 由题意可知(x ＋y )2＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋8＝5＋8(x ＋y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ，由基本不等式可知y x＋4x y≥2y x ·4x y＝4(当且仅当y ＝2x 时取等号)，令t ＝x ＋y (t >0)，则t 2≥5＋8t ＋4，即t 2－8t －9＝(t －9)·(t ＋1)≥0，得t ≥9，从而当x ＝3，y ＝6时，x ＋y 取得最小值，最小值为9，故选B.7.(2019·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32B ．2C.52D.92 答案 D解析 设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →，则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92，故选D. 8．(2018·湖州五校模拟)已知x 2－3xy ＋2y 2＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.10－6 B.10＋6 C ．210＋6 D ．210－6答案 D解析 方法一 ∵x 2－3xy ＋2y 2＝(x －y )(x －2y )＝1，∴可设x －y ＝t ，x －2y ＝1t(t ≠0)，∴x＝2t －1t ，y ＝t －1t，代入所求式子得x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝5t 2＋2t2－6≥210－6，当且仅当5t 2＝2t2时等号成立，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.方法二 设x 2＋y 2＝t 2，x ＝t cos θ，y ＝t sin θ，代入已知等式得，t 2cos 2θ－3t 2sin θcos θ＋2t 2sin 2θ＝1，∴1t 2＝cos 2θ－3sin θcos θ＋2sin 2θ＝1－32sin2θ＋1－cos2θ2＝32－12(3sin2θ＋cos2θ)＝32－12×10·sin(2θ＋φ)≤3＋102，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010. ∴t 2≥23＋10＝210－6，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.9．(2018·绍兴市适应性考试)已知正数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则当x ＝________时，1x－y 取得最小值为________． 答案2222－2 解析 因为x ，y 为正数，则2x ＋y ＝2⇒y ＝2－2x >0⇒0<x <1，所以1x －(2－2x )＝1x＋2x －2≥22－2，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时等号成立．10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ， 代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab＝8，当且仅当ab ＝1时取等号． 所以1a ＋1b≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2.11．(2019·嘉兴市基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________． 答案 18解析 ∵2m ＋n ≥22mn ，∴mn ＝2m ＋n ＋6≥22mn ＋6，即mn ≥22mn ＋6，令t ＝2mn >0，则12t 2≥2t ＋6，解得t ≤－2或t ≥6，又t >0，∴t ≥6，即2mn ≥6，∴mn ≥18，当且仅当2m ＝n ＝6时，等号成立，故mn 的最小值为18.12．(2018·绍兴市上虞区质检)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________． 答案 －19解析 因为1－9z 2＝(x ＋2y )2－2·x ·2y ≥(x ＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又x ＋2y ＝1－3z ，则1－9z 2≥12(1－3z )2，解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.13．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，21510B ．(－∞，25]C ．[25，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫21510，＋∞ 答案 A解析 因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，所以x ＋y －3>0，所以不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0可转化为(x ＋y －3)＋1x ＋y －3≥a .令t ＝x ＋y －3，t >0，则f (t )＝t ＋1t≥a ，且函数f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增．方法一 等式x ＋2y ＋3＝xy 可化为(x －2)(y －1)＝5，令m ＝x －2，n ＝y －1，则m >0，n >0，且mn ＝5，则t ＝m ＋n ≥2mn ＝25，当且仅当m ＝n ，即x ＝y ＋1，即x ＝2＋5，y ＝1＋5时等号成立，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.方法二 x ＋2y ＋3＝xy 可化为y ＝1＋5x －2(x >2)，故直线x ＋y －3－t ＝0与函数y ＝1＋5x －2(x >2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y ′＝－5(x －2)2＝－1，得x ＝2＋5，y ＝1＋5，此时，t ＝25，数形(图略)结合可知当t ≥25时，符合题意，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.14．对任意实数x >1，y >12，不等式x 2a 2(2y －1)＋4y2a 2(x －1)≥1恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4C.142D ．2 2 答案 D解析 依题意得a 2≤x 22y －1＋4y2x －1.令x －1＝m >0,2y －1＝n >0，则x 22y －1＋4y 2x －1＝(m ＋1)2n ＋(n ＋1)2m ≥(2m )2n ＋(2n )2m ＝4m n ＋4n m≥24m n ×4nm＝8，即x 22y －1＋4y 2x －1≥8， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号，因此x 22y －1＋4y 2x －1的最小值是8，从而a 2≤8，－22≤a ≤22，且a ≠0， 故实数a 的最大值是2 2.15．(2018·宁波模拟)已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4 B ．[1,4] C ．[2,4] D ．[2,9]答案 A解析 因为x ≥0，y ≥0，所以(x ＋y )22≤x 2＋y 2≤(x ＋y )2，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x ＋y )]2≤4(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≤5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≤4，当且仅当xy ＝0且x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1时，等号成立；另一方面4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x＋y )]2≥2(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≥3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≥23，当且仅当x ＝y 且x ＋y ＝13，即x ＝y ＝16时，等号成立．综上所述，4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4，故选A.16．(2018·杭州学军中学模拟)若x ，y ∈R 满足2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xyx －y ＋1，则xy 的最小值为________．答案 (π－2)216解析 2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1＝x 2＋2x ＋1＋y 2－2y ＋1－2xyx －y ＋1＝(x －y ＋1)2＋1x －y ＋1＝x －y ＋1＋1x －y ＋1，又因为2sin 2(x ＋y －1)∈[0,2]，x －y ＋1＋1x －y ＋1≥2或x －y ＋1＋1x －y ＋1≤－2，所以x －y ＋1＋1x －y ＋1＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝1，sin 2(x ＋y －1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，sin (2x －1)＝±1，则2x －1＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋12＋k π2，k ∈Z ，则xy ＝x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22，k ∈Z ，所以当k ＝－1时，xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22取得最小值(π－2)216.。

班级：姓名：时间：专练主题：多元变量最值问题总第练基础部分：1.已知正数,x y 满足21x y +=，则11xy+的最小值为；2.已知正数,x y 满足21x y +=，则1x x y +的最小值为；3.已知正数,x y 满足1x y +=，则49+1+2x y +的最小值为；4.已知正数,x y 满足0x y >>且2x y +=，则21+3y x x y+-的最小值为；5.已知正数,x y ，则2+y x+2x y x y+的最大值为；+2y 2x+x y x y+的最小值为；6.已知正数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为；7.已知正数,x y 满足2+6x y xy +=，则xy 的最小值为；解题笔记：9.已知正数,x y 满足221x y +=，则2241+2+1x y +的最小值为；10.已知3030x y x y >><<或，则()()2423x y y x y -+-的最小值为；11.在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若已知224sin()6b c bc A π+=+，则tan tan tan A B C ++的最小值是；12.若,,x y z 均为正实数，且满足1xyz =，则()()()111x y z +++的最小值为；13.若已知0,,>c b a ，则bcab c b a 2222+++的最小值为；14.设,,x y z 是正实数，则2221010x y z xy yz zx++++的最小值为；15.设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为；解题笔记：22.已知，且，则的最小值为；23.已知A，B，C是平面上任意三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝ca＋b＋bc的最小值是________；24.已知函数f(x)＝3x＋a与函数g(x)＝3x＋2a在区间(b，c)上都有零点，则a2＋2ab＋2ac＋4bcb2－2bc＋c2的最小值为________；25.设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则b2a2＋c2的最大值为____________．解题笔记：。

第4讲基本不等式[基础题组练] 1．当x ＞0时，函数f (x )＝22x有( )x ＋1A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值22 1≤ 2＝1. 分析：选B.f (x )＝x ＋x2x · 1x1当且仅当x ＝x ，x ＞0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.22ab2．设非零实数a ，b ，则“a ＋b ≥2ab ”是“b ＋a ≥2”成立的( )A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件22222ab分析：选B.因为a ，b ∈R 时，都有a ＋b －2ab ＝(a －b )≥0，即a ＋b ≥2ab ，而b ＋a22ab≥2?ab >0，所以“a ＋b ≥2ab ”是“b ＋a ≥2”的必需不充分条件．3．(2020·嘉兴期中)若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为()A ．3B ．4 9 11 C.2D.2分析：选B.因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，所以x＋2＋x ＋2y 2－8≥0，y2设x ＋2y ＝t ＞0，12所以t ＋4t －8≥0，所以t 2＋4t －32≥0， 即(t ＋8)(t －4)≥0， 所以t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4. 4．若log 4 (3 a ＋4)＝log 2ab ，则 a ＋ b 的最小值是( )bA ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋43D ．7＋4 3分析：选D.由题意得ab ＞0， a ＞0， 3＋4＞0，所以b ＞0.ab又log(3a ＋4b )＝log2ab ，4所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，4 3 即3a ＋4b ＝ab ，故a ＋b ＝1.所以＋＝(＋) 4 33a 4b＋b ＝7＋＋a bab aba3 a 4≥7＋2b ·a ＝7＋43.3a 4bD.当且仅当b ＝a 时取等号．应选2a b5．不等式x＋x <b ＋a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是()A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)2ab2分析：选C.依据题意，因为不等式x ＋x <b ＋a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则xa ba ba b2＋x <b ＋a min ，因为b ＋a ≥2 b ·a ＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x ＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．6．(2020·绍兴市高三教课质量议论1 221)若正数a ，b 满足： ＋ ＝1，则－1＋－2的最a bab小值为()3 2 A ．2B.2C. 5D ．1＋3224122a2 1分析：选A.由a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，得b ＝a －1>0，所以a －1>0，所以a －1＋b －22＋1＝ 2＋ a －12 · a －1 2 a －112 同＝a － 2 ≥2a － ＝2，当且仅当 ＝ 2 和＋＝1 a －12a11 2a －1 ab－1－2a时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以21a －1＋b －2的最小值为2，应选A.7．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则 ab 的最大值为________．分析：由基本不等式得 a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤a ＋b2＝2114，当且仅当a ＝b ＝2时取到等号．1 答案：2458．(2020·嘉兴期中)已知0＜x ＜4，则x (5－4x )的最大值是________．5 分析：因为0＜x ＜4， 所以0＜5－4x ＜5，114＋5－ 4 x 2 255所以x (5－4x )＝4·4x (5－4x )≤4·2＝16，当且仅当x ＝8时取等号，故最25大值为16.25答案：16xy9．(2020·温州市瑞安市高考模拟 )若x ＞0，y ＞0，则x ＋2y ＋x 的最小值为________．分析：设 y ＝t ＞0，则 x ＋ y 1 ＋t ＝1 1 1 1 1＋2t x x ＋2y x ＝ 2t 1＋2t ＋(2 t ＋1)－≥2 1＋2t ×1＋ 2 2 2 112－1y－2＝ 2－2，当且仅当t ＝2 ＝x 时取等号．答案：2－12a 2＋110．(2020·宁波十校联考)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c ＞1，则(2ab －1)·c2＋ c －1的最小值为________．分析：因为a ＋b ＝1，a 2＋1a 2＋（a ＋b ）2所以2ab －1＝2ab－1＝a ＋b≥2a ·b ＝2，b 2ab 2a当且仅当a＝ b 即 a ＝ 2－1，＝2－2时取等号，b 2aba 2＋122 1所以(2ab －1)·c ＋c －1≥ 2c ＋c －1＝2(c －1＋c －1＋1)≥3 2，当且仅当 c ＝2时取等号．答案：3 211．已知x >0， >0，且2＋8 y － xy ＝0，求y x(1) xy 的最小值；(2) x ＋y 的最小值．8 2解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＋y ＝1，82 828又x >0，y >0，则 1＝x ＋y ≥2 x ·y ＝xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.8 2(2) 由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＋y ＝1，8 2则x ＋y ＝x ＋y ·(x ＋y )2x8y 2x 8y ＝10＋y ＋ x ≥10＋2 y ·x ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.12. 行驶中的汽车，在刹车时因为惯性作用，要连续往前滑行一段 距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽 车的刹车距离s (m)与汽车的车速 v (km/h)满足以下关系：nvv 2＝＋s 100 4006＜s 1＜8， (n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据以以下图，此中14＜s 2＜17.(1) 求n 的值；(2) 要使刹车距离不超出12.6m ，则行驶的最大速度是多少？ 解：(1)由试验数据知，1＝ 2 ＋4， 2＝ 7 ＋ 49 ，s5ns10n426＜n ＋4＜8，5所以49714＜10n ＋4＜17，5＜n ＜10，解得5 95 .2＜n ＜14 又n ∈N ，所以n ＝6.(2)由(1) 知，s ＝ 3v ＋v 2，v ≥0.50 400 3vv 2依题意，s ＝＋≤12.6，50 400即v 2＋24v －5040≤0，解得－84≤v ≤60. 因为v ≥0，所以0≤v ≤60. 故行驶的最大速度为60km/h.[综合题组练]1. 以以下图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC两边分别交于 M ，N → → → →两点，且AM ＝xAB ，AN ＝yAC ，则x ＋2y 的最小值 为()1A ．2B.33＋2 23C.3D.4→21→→ 1→1→1→ 1→分析：选 C.由已知可得AG ＝3×2(AB ＋AC )＝3AB ＋3AC ＝3x AM ＋3y AN ，又M 、G 、N 三点1 1 11 11 112yx 3＋22 共线，故3＋3 y ＝1，所以＋＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·x ＋y ·3＝3 3＋x ＋y ≥ 3xxy (当且仅当x ＝ 2y 时取等号)．应选C.2．已知 x >0，>0，2＋＝1，若4 2＋ y 2＋ xy －<0恒成立，则的取值范围是( )yx yxmmA ．(－1，0)∪17B. 17，＋∞，＋∞16161717C. 16，2D. 1，16分析：选 B.4x 2＋y 2＋xy －m <0恒成立，即 m >4x 2＋y 2＋ xy 恒成立．因为x >0，y >0，212x ＋y ＝1，所以1＝2x ＋y ≥22xy ，所以0<xy ≤4 (当且仅当 2x ＝y ＝2时，等号成立)．因为4x 2＋y 2＋ xy ＝(2x ＋y )2－4xy ＋xy ＝1－4xy ＋xy ＝－4xy －1 2 ＋17，所以 4x 2＋y 28 1617 17＋ xy 的最大值为16，故m >16，选B.3．(2020·杭州学军中学考试 )已知a ＜b ，若二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x恒成立，则M ＝a＋2＋4 c 的最小值为________．bb －a分析：由条件知a ＞0， b－＞0.由题意得＝ 2－4ac ≤0，解得c≥b 2，所以＝ab4aMb 2a ＋2b ＋4c a ＋2b ＋4·4aa 2＋2ab ＋b 2 [2a ＋（b －a ）]2（b －a ）2＋4a （b －a ）＋4a 2 b －a≥b －a＝a （b －a ）＝a （b －a ）＝a （b －a ）b －a4ab －a4a＝ a ＋b －a ＋4≥2a ·b －a ＋4＝4＋4＝8，当且仅当b ＝3a 时等号成立，所以M 的最小值为8.答案：8a 2＋2b 24．(2020·浙江省名校联考)已知a ＞0，b ＞－1，且a ＋b ＝1，则a ＋b ＋1的最小值 为____________．分析： a 2＋2 b 2 2 （b ＋1）2－2（b ＋1）＋1 2 1＋ ＝a ＋＋ b ＋ 1 ＝a ＋＋b ＋1－2＋，又a ＋ a b ＋ 1 a ab ＋1 2 1 2 12 1 a ＋13 b ＋1 ＝1，＞0，＋1＞0，所以 a ＝ ＋ ＋＋＋1－2＋ ＝＋ ＋ a ＋ 2＝＋ b abab ＋1a b 1b ＋122 a b＋2（ a 3 b ＋1 a 3＋22 b ＋1 a ＋1）≥2＋2 a · 2（＋1）＝2 ，当且仅当＝ 2（ ＋1）即a ＝4－bbab2 2，b ＝22－3时取等号，所以a 2＋2b 23＋2 2＋的最小值为2.ab ＋1答案：3＋2 225．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；11(2) x ＋y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．2x ＋5y ＝20，x ＝5，所以有解得2x ＝5y ，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2) 因为x >0，y >0，11 11 2x ＋5y 1 5y 2x 所以x ＋y ＝x ＋y · 20 ＝207＋x ＋y ≥15y 2x 7＋210 207＋2x ·y＝ 20.5y 2x当且仅当x ＝y 时，等号成立．2x ＋5y ＝20，x ＝ 1010－203 ，由 5 y 2解得＝ x，20－410 x yy ＝3.1 17＋2 10所以x ＋y 的最小值为 20 .6. (2020·义乌模拟)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ 开拓为水果园种植桃树，已知角A 为 120°，AB ，AC 的长度均大于200米，此刻界限 AP ，AQ 处建围墙，在 PQ 处围篱笆笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为 200米，如何围可使得三角形地块 APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高 1.5米，造价均为每平方米 100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使篱笆笆用料最省？解：设 ＝ x 米， ＝ 米．APAQy1 33 x ＋y2(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝2xy ·sin120°＝ 4xy .所以S ≤42 ＝2500 3.x ＝y ，当且仅当x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”．(2) 由题意得100×(x ＋1.5y )＝20000，即x ＋1.5y ＝200.要使篱笆笆用料最省，只需222 2 2 2 2－其长度PQ 最短，所以PQ ＝x＋y －2xy cos120 °＝x ＋y ＋xy ＝(200－1.5y ) ＋y ＋(200＝ 2＋ ＝8002120000400 ，当 ＝ 800 时， 有1.5y )y 1.75y1.75y 400y 400007737PQ最小值 200 212007 ，此时x ＝.7。

A 基础巩固训练1．【2018山东寿光现代中学模拟】已知，且，则的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 2 【答案】C【解析】由2a ＋b ＝4，得2≤4，即ab≤2，又a>0，b>0，所以≥，当且仅当2a ＝b ，即b ＝2，a ＝1时，取得最小值.故选C.2．【2018湖北荆州中学模拟】已知1,2,5a b a b >>+=，则1912a b +--的最小值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 9 D. 6 【答案】B3．【2018广西钦州质量检测】已知（，为正实数），则的最小值为__________．【答案】【解析】∵a ，b ∈R +，a+4b=1 ∴=≥，当且仅当，即a=2b 时上述等号成立，故答案为：94．【2018浙江嘉兴第一中学模拟】若正实数满足，则的最小值是_________．【答案】185．【2018浙江温州模拟】已知（，），则的最大值为__________．【答案】0 【解析】，，当时等号成立，所以的最大值为，故答案为.B 能力提升训练1.【2018安徽巢湖一中、合肥八中、淮南二中联考】若两个正实数,x y 1=，26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()8,2-B. ()(),82,-∞⋃+∞C. ()2,8-D. ()(),28,-∞-⋃+∞ 【答案】C【解析】∵两个正实数,x y 1=8816⎛⎫=+=≥+=26m m >-恒成立，故2166m m >-，即()m 2,8∈-故选：C2．【2018湖北部分重点中学联考】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cosB 的最小值为 （ ）A.12 B. 2C. 34D. 【答案】A【解析】2222b a c =+， 2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥= ,当且仅当a c b ==时取等号，因此选A. 3．【2018湖北武汉蔡甸区汉阳一中模拟】如图， Rt ABC ∆中， P 是斜边BC 上一点，且满足： 12BP PC =,点,M N 在过点P 的直线上，若,AM AB AN AC λμ==,(,0)λμ>,则2λμ+的最小值为（ ） A. 2 B. 83 C. 3 D. 103【答案】B4．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .【答案】5【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||||10PA PB AB +==，2||||||52AB PA PB ⨯≤=.5．【2018江苏启东中学模拟】若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为______．【解析】令2x y k +=，则2y k x =-，()22210x x k x ∴+--=，即23210x kx -+-=，24120k ∴∆=-≥，且0k >，k ∴≥2x y +C 思维拓展训练1．【2018四川南充市模拟】已知，方程为的曲线关于直线对称，则的最小值为__________．【答案】2．【2018江苏淮安中学模拟】设P 是函数)1y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是__________． 【答案】ππ32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】3tan2y θ=='≥= [)0,,22ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭3．【2018河南南阳市第一中学模拟】设1x >-，则()()521x x y x ++=+的最小值为（ ）A. 4B. 9C. 7D. 13 【答案】B【解析】设t =x +1(t >0)，则()()()()()52411x x t t y f t x t++++===+整理得： ()45f t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，40t t t >∴+，…所以()4559f t t t ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭…，当且仅当42t t ==时，函数有最小值，此时x =1因此函数()()521x x y x ++=+当x =1时有最小值为9本题选择B 选项.4．【2018河南南阳市第一中学模拟】已知正数x ， y 满足1x y +=，则11z x y x y ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ）A. )21 B. 4 C.254D. 8 【答案】C 【解析】5．设函数 （Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】 （Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减， 所以，∴.（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，。

实数型不等式 和 自然数型不等式 解答一、实数型不等式1.（16杭州一测13）已知实数x,y 满足221x y xy ++=，则2x y +的最大值为 。

解：设2x y z +=，则2x z y =-，代入已知得223310y zy z -+-=，由0∆≥得24z ≤。

2.（16温州一测13）已知实数a,b 满足222a b ab +-=，则ab 的最小值为 。

解：2222a b ab ab +=+≥±，∴223ab ≥≥-3.（16台州期末15）若关于x 的方程2210a x ax b x x++++=有实根，22a b +的最小值为 。

解：211()()20x a x b x x++++-=有实根，220t at b ++-=（2t ≥或2t ≤-）有实根，4220a b ++-≤或4220a b -+-≤，22a b +为可行域到原点距离的平方，∴22245a b +≥=4.（16杭州二测14）已知实数x,y 满足6x y +=，则22(,)(4)(4)f x y x y =++的最小值为 。

解：2()94x y xy +≤=，222222(,)()4()16()4()816()8160f x y xy x y xy x y xy xy xy =+++=++-+=-+∴当4xy =时，有最小值1445.（16温州二测14）已知实数x,y 满足220x x y y +++=，则x y +的取值范围为 。

解法1：2222()0()()2()(2)02x y x x y y x y x y xy x y x y ++++=⇒+++=≤⇒+++≤；解法2：把已知整理成圆方程，用线性规划。

解法3：设x y z +=，则y z x =-，代入已知，整理得22220x zx z z -++=，由△≥0解出。

6.（16绍兴调测14）已知实数x,y 满足()(2)1x y x y +-=，则222x y +的最小值为 。

7.4 基本不等式及不等式的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点基本不等式1.理解基本不等式的含义.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2018某某,22利用基本不等式证明不等式导数、不等式的证明★★★2016某某,14利用基本不等式求最值函数最值、四面体的体积2014某某,21,文16利用基本不等式求最值点到直线的距离、直线与椭圆的位置关系不等式的综合应用1.能够灵活运用不等式求函数的定义域、值域等问题.2.能够应用基本不等式及不等式的性质解决简单的与不等式有关的问题.2018某某,22 不等式的证明导数、基本不等式★★★2017某某,15,17利用不等式求最值向量、绝对值不等式2016某某文,20利用单调性证明不等式、求X围函数的单调性、不等式的证明2015某某,18,20,文20不等式的证明、求最值绝对值不等式、二次函数2014某某,10,文22 求最值绝对值不等式、导数分析解读 1.基本不等式是不等式这章的重要内容之一,主要考查用基本不等式求最值.2.不等式的综合应用问题常结合函数、导数、数列、解析几何等知识,难度较大,不等式的综合应用是高考命题的热点.(例如2018某某,22)3.预计2020年高考中,仍会对利用基本不等式求最值进行考查.不等式综合应用问题仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列、解析几何相综合的题目上,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一基本不等式1.(2018某某9+1高中联盟期中,6)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )A.3B.2C.3D.2答案 B2.(2018某某高考模拟训练冲刺卷一,7)已知b>2a>0,则M=的最小值是( )A.2B.2C.4D.8答案 C考点二不等式的综合应用1.(2018某某某某第一次调考(4月),14)若实数x,y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32,则x+2y的最小值为,(x+2y)+2xy的最大值为.答案-4;162. (2018某某某某高三上学期期末,16)已知a,b都是正数,且a2b+ab2+ab+a+b=3,则2ab+a+b 的最小值等于.答案4-3炼技法【方法集训】方法利用基本不等式求最值问题的方法1.(2018某某新高考调研卷三(某某二中),16)已知x>3y>0或x<3y<0,则(x-2y)2+的最小值是.答案82.(2018某某新高考调研卷五(某某一中),15)已知a>0,b>0,ab+2a+b-3=0,则+的最小值为.答案过专题【五年高考】A组自主命题·某某卷题组考点一基本不等式(2014某某文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是. 答案考点二不等式的综合应用1.(2014某某,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin2πx|,a i=,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)|+…+|f k(a99)-f k(a98)|,k=1,2,3,则( )A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1答案 B2.(2016某某文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)< f(x)≤.证明(1)因为1-x+x2-x3==,由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤,所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又因为f=>,所以f(x)>.综上,<f(x)≤.疑难突破(1)将证明f(x)≥1-x+x2转化为证明1-x+x2-x3≤成立,而左边==≤=右边,从而问题得证.(2)运用放缩思想,由0≤x≤1⇒x3≤x,从而f(x)=x3+≤x+,而x+=x+-+=+≤,由(1)及f=>得f(x)>,从而问题得证.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一基本不等式1.(2018某某,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为.答案2.(2017某某,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案83.(2017某某,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案304.(2015某某,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为.答案3考点二不等式的综合应用1.(2017某某理,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值X围是( )A.B.C.[-2,2]D.答案 A2.(2014某某,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值X围是.答案3.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+> +;(2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+> +.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+> +.(ii)若+> +,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.4.(2015某某,16(Ⅲ),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.评析本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.C组教师专用题组考点一基本不等式1.(2015某某,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )A.B.2 C.2 D.4答案 C2.(2014某某,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元答案 C3.(2014某某,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4答案 D4.(2013某某,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.D.3答案 B5.(2018某某,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案96.(2017某某,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案 47.(2016某某,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是.答案88.(2015某某,14,5分)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为.答案9.(2014某某,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为.答案-110.(2013某某,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a=时,+取得最小值.答案-2考点二不等式的综合应用1.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值X围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D2.(2014某某,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.答案(1)1 900 (2)1003.(2013某某文,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab=.答案-1【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共20分)1.(2019届某某名校新高考研究联盟第一次联考,9)已知正实数a,b,c,d满足a+b=1,c+d=1,则+的最小值是( )A.10B.9C.4D.3答案 B2.(2018某某某某教学测试(4月),9)已知x+y=++8(x,y>0),则x+y的最小值为( )A.5B.9C.4+D.10答案 B3.(2018某某某某、某某、某某高三质检,10)已知a,b,c∈R,且a+b+c=0,a>b>c,则的取值X围是( )A. B.C.(-,)D.答案 A4.(2018某某某某模拟(5月),10)已知x,y均为非负实数,且x+y≤1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值X围为( )A. B.[1,4]C.[2,4]D.[2,9]答案 A5.(2018某某“七彩阳光”联盟期中,9)已知实数m满足|m|≥1,且b=ma+m2+2,则a2+b2的最小值为( )A.2B.4C.D.答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共30分)6.(2019届镇海中学期中考试,14)已知x,y∈R,且4x2+y2+xy=1,则4x2+y2的最小值为,此时x 的值为.答案;±7.(2019届某某“超级全能生”9月联考,16)已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x-y的最大值是.答案 28.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,13)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则+的最小值是,的最大值为.答案2;9.(2019届某某某某9月基础测试,17)已知实数x,y满足x2+xy+4y2=1,则x+2y的最大值是.答案10.(2018某某某某二中期中,17)已知正实数x,y满足x+3y++=10,则xy的取值X围为.答案11.(2018某某镇海中学期中,14)设实数x,y满足4x2-2xy+y2=8,则2x+y的最大值为,4x2+y2的最小值为.答案4;。

第3讲 基本不等式：ab ≤a ＋b2最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)假如积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)假如和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大). 诊 断 自 测1.推断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(3)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( ) (5)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x 值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为－5. (5)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80B.77C.81D.82解析 xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C. 答案 C3.(2021·福建卷)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A.2B.3C.4D.5解析 由于直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2ab ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.答案 C 4.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋ 2B.1＋ 3C.3D.4解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x－2(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.答案 C5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.答案1515 26.(2021·浙江五校联考)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，1x＋xy的最小值为________.解析∵正数x，y满足x＋y＝1，∴y＝1－x，0<x<1，∴－y＝－1＋x，∴x－y＝2x－1，又0<x<1，∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1，即x－y的取值范围为(－1，1).1 x ＋xy＝x＋yx＋xy＝1＋yx＋xy≥1＋2yx·xy＝1＋2＝3，当且仅当x＝y＝12时取“＝”；∴1x＋xy的最小值为3.答案(－1，1) 3考点一配凑法求最值【例1】(1)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)求函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值.解(1)由于x＜54，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2（5－4x）15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.(2)令t＝x－1≥0，则x＝t2＋1，所以y＝tt2＋1＋3＋t＝tt2＋t＋4.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t＞0，即x＞1时，y＝1t＋4t＋1，由于t＋4t≥24＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝1t＋4t＋1≤15，即y的最大值为15(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).规律方法(1)应用基本不等式解题肯定要留意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要依据式子的特征机敏变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】(1)(2021·丽水模拟)若对任意的x≥1，不等式x＋1x＋1－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析 (1)由于函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2 考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y 5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)由于x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y＝3(y ＋1)， 即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即依据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件机敏变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值，肯定要留意应用条件；(2)尽量避开多次使用基本不等式，若必需多次使用，肯定要保证等号成立的条件全都.【训练2】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________.(2)(2022·东阳检测)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A.8B.4C.2D.0解析 (1)(常数代换法) 由于x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 所以8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy ＝18，当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立， 所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18. (2)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0. ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8.答案 (1)18 (2)A考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]). (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)依据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，肯定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解. 【训练3】 (2021·湖州月考)某项争辩表明：在考虑行车平安的状况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)假如不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)假如限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取“＝”. ∴最大车流量F 为1 900辆/时.(2)当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v ＋18， ∴F ≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时. 答案 (1)1 900 (2)100[思想方法]1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，经常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要把握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要留意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的状况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. [易错防范]1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不行.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件全都.基础巩固题组 (建议用时：30分钟) 一、选择题1.下列不等式肯定成立的是( ) A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确. 答案 C2.若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 22x ＋y≤2x＋2y＝1，所以2x ＋y≤14，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2.答案 D3.(2021·浙江省名校协作体联考)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A.7B.8C.9D.10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C. 答案 C4.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 答案 D5.(2021·湖南卷)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A. 2B.2C.2 2D.4解析依题意知a＞0，b＞0，则1a＋2b≥22ab＝22ab，当且仅当1a＝2b，即b＝2a时，“＝”成立.由于1a ＋2b＝ab，所以ab≥22ab，即ab≥22，所以ab的最小值为22，故选C.答案 C6.(2021·日照模拟)若实数x，y满足xy>0，则xx＋y＋2yx＋2y的最大值为()A.2－ 2B.2＋ 2C.4＋2 2D.4－2 2解析xx＋y＋2yx＋2y＝x（x＋2y）＋2y（x＋y）（x＋y）（x＋2y）＝x2＋4xy＋2y2x2＋3xy＋2y2＝1＋xyx2＋3xy＋2y2＝1＋1xy＋3＋2yx≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当xy＝2yx，即x2＝2y2时取等号.故选D.答案 D7.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.43 B.53 C.2 D.54解析由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy ＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案 C8.(2021·瑞安市调研)已知a>0，b>0，a＋b＝1a＋1b，则1a＋2b的最小值为()A.4B.2 2C.8D.16解析由a>0，b>0，a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，得ab＝1，则1 a ＋2b≥21a·2b＝2 2.当且仅当1a＝2b，即a＝22，b＝2时等号成立.故选B.答案 B二、填空题9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.解析∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，解得ab≥3，即ab≥9.答案[9，＋∞)10.(2022·嘉兴一中检测)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则1m＋1n的最大值为________.解析∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，∴1m＋1n＝－(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋1n＝－⎝⎛⎭⎪⎫2＋nm＋mn≤－2－2nm·mn＝－4，当且仅当m＝n＝－12时，1m＋1n取得最大值－4.答案－411.若对于任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________.解析xx2＋3x＋1＝13＋x＋1x，由于x＞0，所以x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)，则13＋x＋1x≤13＋2＝15，即xx2＋3x＋1的最大值为15，故a≥15.答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞12.(2021·嵊州月考)某工厂需要建筑一个仓库，依据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.答案 2 20 力量提升题组 (建议用时：15分钟)13.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A.0B.1C.94D.3解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 B14.(2021·金华十校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋2by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a 2＋14b 2的最小值为________.解析 不等式组所表示的平面区域是以(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，(1，1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观看可知，当直线z ＝ax ＋2by 过点(1，1)时，z 有最大值，故a ＋2b ＝1，故1≥22ab ，故ab ≤18，故1a 2＋14b 2≥1ab ≥8，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立，故1a 2＋14b 2的最小值为8. 答案 815.点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________. 解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，所以ab 的最大值为1. 答案 116.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 由于a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案 [6，＋∞)17.(2021·浙江五校联考)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值为________. 解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54.当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎨⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.答案 －2 34。

第3节 基本不等式：ab ≤a ＋b2考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知≥0，y ≥0，则(1)如果积y 是定值p ，那么当且仅当＝y 时，＋y 有最小值是简记：积定和最小). (2)如果和＋y 是定值s ，那么当且仅当＝y 时，y 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[常用结论与易错提醒]1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.4.基本不等式的一般形式：1n(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )≥na 1a 2…a n (其中a 1，a 2，a 3，…，a n ∈(0，＋∞)，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n 时等号成立).基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(3)函数y ＝＋1x的最小值是2.( )(4)函数f ()＝sin ＋4sin x 的最小值为4.( )(5)＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件.( )解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f ()＝sin ＋4sin x无最小值.(5)>0且y >0是x y ＋y x≥2的充分不必要条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2.设>0，y >0，且＋y ＝18，则y 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81D.82解析 y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当＝y ＝9时取等号.答案 C3.若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C 4.若函数f ()＝＋1x －2(>2)在＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋ 2 B.1＋ 3 C.3D.4 解析 当>2时，－2>0，f ()＝(－2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当－2＝1x －2(>2)，即＝3时取等号，即当f ()取得最小值时，即a ＝3，选C. 答案 C5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大.解析设矩形的长为 m ，宽为y m.则＋2y ＝30，所以S ＝y ＝12·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当＝2y ，即＝15，y ＝152时取等号.答案 151526.已知正数，y 满足＋y ＝1，则－y 的取值范围为________，1x ＋xy的最小值为________.解析 ∵正数，y 满足＋y ＝1， ∴y ＝1－，0<<1， ∴－y ＝－1＋， ∴－y ＝2－1，又0<<1， ∴0<2<2，∴－1<2－1<1， 即－y 的取值范围为(－1，1).1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋xy的最小值为3. 答案 (－1，1) 3考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知＜54，则f ()＝4－2＋14x －5的最大值为__________；(2)已知正实数，y 满足y ＋2＋3y ＝42，则y ＋5＋4y 的最小值为________. 解析 (1)因为＜54，所以5－4＞0，则f ()＝4－2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4＝15－4x ，即＝1时，等号成立.故f ()＝4－2＋14x －5的最大值为1.(2)因为正实数，y 满足y ＋2＋3y ＝42，所以y ＝42－2x3＋x >0且>0，解得0<<21.则y ＋5＋4y＝3＋y ＋42＝3＋42－2x 3＋x ＋42＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3＋x ）＋163＋x ＋31≥3×2（3＋x ）·163＋x＋31＝55，当且仅当＝1，y ＝10时取等号.所以y ＋5＋4y 的最小值为55. 答案 (1)1 (2)55规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)函数y ＝x 2＋2x －1(>1)的最小值为________.(2)(2019·台州质量评估)当>0时，＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________.解析 (1)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(－1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当－1＝3x －1，即＝3＋1时，等号成立.(2)因为当>0，a >0时，＋a x ＋1＝＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当＋1＝ax ＋1时，等号成立，又＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.答案 (1)23＋2 (2)4考点二 常数代换或消元法求最值易错警示【例2】 (1)已知复数满足(2＋i)＝m ＋n i(m ，n ∈R )，且||＝1，则m ，n 满足的关系为________，1m 2＋1＋12n 2＋4的最小值为________. (2)(一题多解)已知＞0，y ＞0，＋3y ＋y ＝9，则＋3y 的最小值为________. 解析 (1)＝m ＋n i 2＋i＝2m ＋n 5＋2n －m5i ，则||＝15（2m ＋n ）2＋（2n －m ）2＝155m 2＋5n 2＝1， 解得m 2＋n 2＝5，1m 2＋1＋12n 2＋4＝1m 2＋1＋12·1n 2＋2 ＝18(m 2＋1＋n 2＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＋12·1n 2＋2 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋12·m 2＋1n 2＋2＋n 2＋2m 2＋1≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋212·m 2＋1n 2＋2·n 2＋2m 2＋1＝3＋2216，当且仅当m 2＝2n 2＋22－1时等号成立，所以1m 2＋1＋12n 2＋4的最小值为3＋2216.(2)由已知得＝9－3y 1＋y .法一 (消元法)因为＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，＝3时，(＋3y )min ＝6. 法二 ∵＞0，y ＞0，9－(＋3y )＝y ＝13·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当＝3y 时等号成立.设＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当＝3，y ＝1时，(＋3y )min ＝6. 答案 (1)m 2＋n 2＝53＋2216(2)6 规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)(一题多解)若正数，y 满足＋3y ＝5y ，则3＋4y 的最小值为________. (2)(2019·绍兴适应性考试)已知正数，y 满足2＋y ＝2，则当＝________时，1x－y 取得最小值为________.解析 (1)法一 由＋3y ＝5y 可得15y ＋35x＝1，∴3＋4y ＝(3＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3＋4y 的最小值是5.法二 由＋3y ＝5y ，得＝3y 5y －1，∵>0，y >0，∴y >15，∴3＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5， 当且仅当＝1，y ＝12时等号成立，∴(3＋4y )min ＝5.(2)∵，y 为正数，则2＋y ＝2⇒y ＝2－2>0⇒0<<1，所以1x －(2－2)＝1x＋2－2≥22－2，当且仅当1x ＝2，即＝22时等号成立.答案 (1)5 (2)2222－2 考点三 一般形式的基本不等式的应用(选用)【例3】 (一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f ()＝2sin ＋sin 2，则f ()的最小值是________. 解析 法一 因为f ()＝2sin ＋sin 2， 所以f ′()＝2cos ＋2cos 2＝4cos 2＋2cos －2 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos ＋1)，由f ′()≥0得12≤cos ≤1，即2π－π3≤≤2π＋π3，∈，由f ′()≤0得－1≤cos ≤12，即2π＋π3≤≤2π＋π或2π－π≤≤2π－π3，∈，所以当＝2π－π3(∈)时，f ()取得最小值，且f ()min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332.法二 因为f ()＝2sin ＋sin 2＝2sin (1＋cos )＝4sin x 2cos x 2·2cos 2x 2＝8sin x 2cos 3x2＝833sin 2x 2cos 6x2，所以[f ()]2＝643×3sin 2x 2cos 6x 2≤643·⎝⎛⎭⎪⎪⎫3sin 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x2＋cos 2x 244＝274， 当且仅当3sin 2x 2＝cos 2x 2，即sin 2x 2＝14时取等号，所以0≤[f ()]2≤274，所以－332≤f ()≤332，所以f ()的最小值为－332.法三 因为f ()＝2sin ＋sin 2＝2sin (1＋cos )， 所以[f ()]2＝4sin 2(1＋cos )2 ＝4(1－cos )(1＋cos )3，设cos ＝t ，则y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)， 所以y ′＝4[－(1＋t )3＋3(1－t )(1＋t )2] ＝4(1＋t )2(2－4t )，所以当－1<t <12时，y ′>0；当12<t <1时，y ′<0.所以函数y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减.所以当t ＝12时，y ma ＝274；当t ＝±1时，y min ＝0.所以0≤y ≤274，即0≤[f ()]2≤274，所以－332≤f ()≤332，所以f ()的最小值为－332.法四 因为f ()＝2sin ＋sin 2＝2sin (1＋cos )， 所以[f ()]2＝4sin 2(1＋cos )2 ＝4(1－cos )(1＋cos )3≤43·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（1－cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）44＝274， 当且仅当3(1－cos )＝1＋cos ， 即cos ＝12时取等号，所以0≤[f ()]2≤274，所以－332≤f ()≤332，所以f ()的最小值为－332.答案 －332规律方法 (1)三角函数式拆项时要注意满足平方关系. (2)拆项时要满足各项都相等这个条件成立.【训练3】 已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2θ cos θ的最大值.解 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ cos θ>0，而(sin 2θ cos θ)2＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ·cos 2θ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2θ＋12sin 2θ＋cos 2θ33＝427，当且仅当12sin 2θ＝cos 2θ，即cos θ＝33，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时等号成立.∴sin 2θ cos θ的最大值为239.基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg (>0)B.sin ＋1sin x ≥2(≠π，∈)C.2＋1≥2||(∈R )D.1x 2＋1＜1(∈R ) 解析 当＞0时，2＋14≥2··12＝，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg (＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当≠π，∈时，sin 的正负不定，故选项B 不正确；显然选项C 正确；当＝0时，有1x 2＋1＝1，选项D 不正确. 答案 C2.若2＋2y ＝1，则＋y 的取值范围是( ) A.[0，2] B.[－2，0] C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 22x ＋y ≤2＋2y ＝1，所以2＋y ≤14，所以＋y≤－2. 答案 D3.若正数，y 满足42＋9y 2＋3y ＝30，则y 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2D.54解析 由＞0，y ＞0，得42＋9y 2＋3y ≥2·(2)·(3y )＋3y (当且仅当2＝3y 时等号成立)，∴12y ＋3y ≤30，即y ≤2，当且仅当＝3，y ＝233时取等号，∴y 的最大值为2.答案 C4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A.4B.2 2C.8D.16解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b＝2 2.当且仅当1a ＝2b，即a ＝22，b ＝2时等号成立.故选B. 答案 B5.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 答案 D6.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为22，故选C. 答案 C7.已知a ，b ，c ，d ≥0，a ＋b ＝c ＋d ＝2，则(a 2＋c 2)(b 2＋d 2)的最大值是( ) A.4 B.8 C.16D.32解析 ∵（a 2＋c 2）（b 2＋d 2）≤a 2＋c 2＋b 2＋d 22≤（a ＋b ）2＋（c ＋d ）22＝4，∴(a 2＋c 2)(b 2＋d 2)≤16，当a ＝d ＝2，b ＝c ＝0或b ＝c ＝2，a ＝d ＝0时取到等号，故选C. 答案 C8.(2019·杭州高级中学测试)若正数，y 满足2＋2y －1＝0，则2＋y 的最小值是( ) A.22B. 2C.32D . 3 解析 由2＋2y －1＝0，得y ＝12x －x 2，所以2＋y ＝2＋12x －x 2＝32＋12x ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≥3x ·1x ＝3，当且仅当3＝1x ，即＝33时等号成立，此时y ＝33，符合题意，所以2＋y 的最小值为3，故选D. 答案 D9.(2019·丽水测试)已知＋y ＝1x ＋4y＋8(，y >0)，则＋y 的最小值为( )A.5 3B.9C.4＋26D.10解析 由＋y ＝1x ＋4y ＋8得＋y －8＝1x ＋4y，则(＋y －8)(＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (＋y )＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4xy，即y ＝2时，等号成立，令t ＝＋y ，所以(t －8)·t ≥9，解得t ≤－1或t ≥9，因为＋y >0，所以＋y ≥9，所以＋y 的最小值为9，故选B. 答案 B 二、填空题10.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________.解析 由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b ，即a ＝－3，b ＝1时等号成立. 答案 1411.已知两个正数，y 满足＋4y ＋5＝y ，则y 取最小值时，的值为__________，y 的值为__________.解析 ∵＞0，y ＞0，∴＋4y ＋5＝y ≥24xy ＋5， 即y －4xy －5≥0，可求得y ≥25， 当且仅当＝4y 时取等号，即＝10，y ＝52.答案 105212.(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9. 答案 913.(2019·镇海中学模拟)若实数，y 满足4＋4y ＝2＋1＋2y ＋1，则S ＝2＋2y 的取值范围是________.解析 因为4＋4y ＝(2＋2y )2－2·2·2y ，2＋1＋2y ＋1＝2(2＋2y )，设2＋2y ＝t (t >0)，则由题意得t 2－2·2·2y ＝2t ，即2·2·2y ＝t 2－2t .因为0<2·2·2y≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋2y22，即0<t 2－2t ≤t 22，当且仅当2＝2y ，即＝y ＝1时等号成立，解得2<t ≤4，即S ＝2＋2y 的取值范围是(2，4]. 答案 (2，4]14.(一题多解)若实数，y ，满足＋2y ＋3＝1，2＋4y 2＋92＝1，则的最小值是________.解析 法一 因为1－92＝(＋2y )2－2··2y ≥(＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又＋2y ＝1－3，则1－92≥12(1－3)2，解得－19≤≤13，即的最小值为－19. 法二 由2＋(2y )2＝1－92，设＝1－9z 2cos θ，2y ＝1－9z 2sin θ，则1－3＝1－9z 2(cos θ＋sin θ)＝2（1－9z 2）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由三角函数的有界性，得|1－3|≤2（1－9z 2），解得－19≤≤13，即的最小值为－19.答案 －19能力提升题组15.设正实数，y ，满足2－3y ＋4y 2－＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A.0B.1C.94D.3解析 由已知得＝2－3y ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当＝2y 时取等号，把＝2y 代入(*)式，得＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－12＋1≤1.答案 B16.(2019·宁波模拟)已知，y 均为非负实数，且＋y ≤1，则42＋4y 2＋(1－－y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4 B.[1，4] C.[2，4]D.[2，9]解析 因为≥0，y ≥0，所以（x ＋y ）22≤2＋y 2≤(＋y )2，则42＋4y 2＋(1－－y )2＝4(2＋y 2)＋[1－(＋y )]2≤4(＋y )2＋[1－(＋y )]2＝5(＋y )2－2(＋y )＋1，又因为0≤＋y ≤1，所以42＋4y 2＋(1－－y )2≤5(＋y )2－2(＋y )＋1≤4，当且仅当y ＝0且＋y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1时，等号成立；另一方面42＋4y 2＋(1－－y )2＝4(2＋y 2)＋[1－(＋y )]2≥2(＋y )2＋[1－(＋y )]2＝3(＋y )2－2(＋y )＋1，又因为0≤＋y ≤1，所以42＋4y 2＋(1－－y )2≥3(＋y )2－2(＋y )＋1≥23，当且仅当＝y 且＋y ＝13，即＝y ＝16时，等号成立.综上所述，42＋4y 2＋(1－－y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4，故选A.答案 A17.(一题多解)(2017·北京卷改编)已知≥0，y ≥0，且＋y ＝1，则2＋y 2的最小值为________，最大值为________.解析 法一 ∵≥0，y ≥0且＋y ＝1，∴2xy ≤＋y ＝1，当且仅当＝y ＝12时取等号，从而0≤y ≤14，因此2＋y 2＝(＋y )2－2y ＝1－2y ， 所以12≤2＋y 2≤1.法二 ∵＋y ＝1，≥0，y ≥0， ∴y ＝1－，∈[0，1]，∴2＋y 2＝2＋(1－)2＝22－2＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，对称轴为＝12，故＝12时，有最小值为12，＝0或＝1时有最大值为1.法三 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围.AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案121 18.(2019·绍兴一中模拟)已知，y >0，且＋y ＋1x ＋12y ＝194，则3x －716y的最小值是________.解析 因为＋y ＋1x ＋12y ＝194，所以3x －716y ＝3x －716y ＋＋y ＋1x ＋12y －194＝＋4x ＋y ＋116y －194≥92－194＝－14，当且仅当＝4x ，y ＝116y ，即＝2，y ＝14时，取等号. 答案 －1419.设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值为________.解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54.当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎨⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 答案 －23420.已知a ，b ，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝10，则ab ＋ac ＋bc 的最大值是________，ab ＋ac ＋2bc 的最大值是________.解析 因为ab ＋ac ＋bc ≤2a 2＋2b 2＋2c 22＝10，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又因为12a 2＋b 2≥2xab (0≤≤1)，12a 2＋yc 2≥2yac (0≤y ≤1)，(1－)b 2＋(1－y )c 2≥2（1－x ）（1－y ）bc ，令2x ＝2y ＝（1－x ）（1－y ），即＝y ＝2－3，故此时有a 2＋b 2＋c 2≥(3－1)(ab ＋ac ＋2bc )，即ab ＋ac ＋2bc ≤53＋5，当且仅当22a ＝(2－3)b ＝(2－3)c 时取等号.答案 10 53＋5。