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§7.4基本不等式及不等式的应用考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.基本不等式会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.掌握21(2),7分21(2),7分16(文),4分14,约2分15,6分2.不等式的综合应用1.能够灵活运用不等式的性质求函数定义域、值域.2.能够应用基本不等式解决简单的最值问题,熟练掌握运用不等式解决应用题.掌握7,5分16(文),4分10,5分22(2),7分18,15分20,15分20(文),8分20(文),15分17,4分分析解读 1.基本不等式是不等式这章的重要内容之一,主要考查用基本不等式求最值.2.不等式的综合应用问题常结合函数、导数、数列、解析几何等知识,难度较大,不等式的综合应用是高考命题的热点.3.预计2019年高考中,仍会对利用基本不等式求最值进行考查.不等式综合应用问题仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列、解析几何相综合的题目上,复习时应引起高度重视.五年高考考点一基本不等式1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.D.3答案 B2.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案3.(2017山东文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案84.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案 45.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.答案-2考点二不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2πx|,a i=,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)|+…+|f k(a99)-f k(a98)|,k=1,2,3,则( )A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1答案 B2.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )A. B.C.[-2,2]D.答案 A3.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D4.(2013浙江文,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab= .答案-15.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案306.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案7.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)< f(x)≤.证明(1)因为1-x+x2-x3==,由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤, 所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又因为f=>,所以f(x)>.综上,<f(x)≤.8.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+> +;(2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+> +.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+> +.(ii)若+> +,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.9.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.教师用书专用(10)10.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解析设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一基本不等式1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,9)已知实数m满足|m|≥1,且b=ma+m2+2,则a2+b2的最小值为( )A.2B.4C.D.答案 D2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,7)已知b>2a>0,则M=的最小值是( )A.2B.2C.4D.8答案 C3.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围为.答案[-2,-1)4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为. 答案55考点二不等式的综合应用5.(2018浙江杭州二中期中,17)已知正实数x,y满足x+3y++=10,则xy的取值范围为.答案6.(2017浙江宁波期末,16)若正实数a,b 满足(2a+b)2=1+6ab,则的最大值为.答案7.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,且+≤m恒成立,则m的最小值是. 答案28. (2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得=,则实数x的最大值为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江9+1高中联盟期中,6)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )A.3B.2C.3D.2答案 B2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是( )A. B.3 C.1 D.2答案 A二、填空题3.(2018浙江镇海中学期中,14)设实数x,y满足4x2-2xy+y2=8,则2x+y的最大值为,4x2+y2的最小值为.答案4;4.(2018浙江杭州二中期中,14)已知实数x,y满足则z=y+2x的最小值为;当实数u,v 满足u2+v2=1时,ω=ux+vy的最大值为.答案;25.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x>0,y>0,且x+y=k,则使不等式≥恒成立的k的最大值为.答案26.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.答案9-327.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数a,b满足3a+b=14,则+的最小值为. 答案 3C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值的解题策略1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,15)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m 的取值范围是.答案[-4,2]方法2 不等式综合应用的解题策略2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知正实数x,y满足x++2y+=6,则xy的取值范围为.答案。
考点规X 练33 基本不等式与绝对值不等式基础巩固组1.下列不等式一定成立的是()A.lg (x 2+14)>lg x (x>0) B.sin x+1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2+1≥2|x|(x ∈R ) D .1x 2+1<1(x ∈R )x>0时,x 2+14≥2·x ·12=x ,所以lg (x 2+14)≥lg x (x>0),故选项A 不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确;由基本不等式可知,选项C 正确;当x=0时,有1x 2+1=1,故选项D 不正确. 2.若a ,b 都是正数,则(1+x x )·(1+4xx)的最小值为()A.7B.8C.9D.10a ,b 都是正数,∴(1+x x )(1+4xx)=5+x x +4xx≥5+2√xx·4xx=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C .3.(2018某某平湖模拟)已知a 为实数,则|a|≥1是关于x 的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a 有解的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件|a|≥1,得a ≤-1或a ≥1,因为关于x 的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a 有解,而|x|+|x-1|=|x|+|1-x|≥|x+1-x|=1,所以a ≥1.所以|a|≥1是关于x 的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a 有解的必要不充分条件.故选B .4.若a>b>1,P=√lg x ·lg x ,Q=12(lg a+lg b ),R=lg (x +x 2),则()A.R<P<QB.Q<P<RC.P<Q<RD.P<R<Qa>b>1,∴lg a>lg b>0,12(lg a+lg b)>√lg x·lg x,即Q>P.∵x+x2>√xx,∴lg x+x2>lg√xx=12(lg a+lg b)=Q,即R>Q.∴P<Q<R.5.已知实数x,y满足xy-3=x+y,且x>1,则y(x+8)的最小值是()A.33B.26C.25D.21xy-3=x+y,得y=x+3x-1,∴y(x+8)=(x+3)(x+8)x-1=(x-1)2+13(x-1)+36x-1=x-1+36x-1+13,由x-1>0可知,x-1+36x-1+13≥2×6+13=25,当且仅当x=7时等号成立.故y(x+8)的最小值为25.6.(2018某某余姚中学模拟)若实数a,b满足1x +2x=√xx,则ab的最小值为.√21 x +2x=√xx,∴a>0,b>0,√xx=1x+2x≥2√1x×2x=2√2xx.∴ab≥2√2(当且仅当b=2a时取等号),即ab的最小值为2√2.7.不等式|x-3|+|x+1|>6的解集为.-∞,-2)∪(4,+∞):当x<-1时,不等式化为-(x-3)-(x+1)>6,解得x<-2;当-1≤x≤3时,-(x-3)+(x+1)>6,不成立;当x>3时,(x-3)+(x+1)>6,得x>4.综上可知x∈(-∞,-2)∪(4,+∞).方法二:|x-3|+|x+1|>6表示数轴上到-1和3的距离之和大于6的点的集合,因为-1和3之间的距离为4,所以由不等式的几何意义可知x<-2或x>4.8.(2018某某某某一中模拟)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是.x+2y+2xy=8,∴x·2y=8-(x+2y)≤(x+2x2)2,解不等式得x+2y≥92.故填92.能力提升组9.已知f(x)=a|x-2|,若f(x)<x恒成立,则a的取值X围为()A.a≤-1B.-2<a<0C.0<a<2D.a≥1,得f (x )={x (x -2),x ≥2,x (2-x ),x <2,易知当a ≥0时,f (x )<x 不恒成立,故a<0.在同一直角坐标系中作出y=f (x )与y=x 的图象如图所示,观察可知f (x )<x ⇔-a ≥1,即a ≤-1.故选A . 10.已知xy=1,且0<y<√22,则x 2+4x 2x -2x的最小值为() A.4 B .92C.2√2D.4√2xy=1且0<y<√22,所以x>√2,所以x-2y>0.x 2+4x 2x -2x=(x -2x )2+4xxx -2x=x-2y+4x -2x ≥4,当且仅当x=√3+1,y=√3-12时等号成立.故选A .11.设函数f (x )=|2x-1|,若不等式f (x )≥|x +1|-|2x -1||x |对任意实数a ≠0恒成立,则x 的取值X 围是()A.(-∞,-1]∪[3,+∞)B.(-∞,-1]∪[2,+∞)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-2]∪[1,+∞),令g (a )=|x +1|-|2x -1||x |(a ≠0),不等式f (x )≥g (a )对任意实数a ≠0恒成立,等价于函数f (x )大于或等于g (a )的最大值,由函数g (a )的解析式,可对a 的取值X 围进行分段讨论,当a ≤-1时,g (a )=x -2-x =-1+2x;当-1<a<0时,g (a )=-3,当0<a<12时,g (a )=3;当a ≥12时g (a )=-x +2x=-1+2x ,从而可得g (a )的最大值为g (a )max =g (12)=-1+212=3,所以有|2x-1|≥3,即2x-1≤-3或2x-1≥3,解得x ≤-1或x ≥2.故选B .12.若实数x ,y 满足xy>0,则x x +x +2xx +2x 的最大值为() A.2-√2 B.2+√2 C.4+2√2 D.4-2√2+2xx +2x=x (x +2x )+2x (x +x )(x +x )(x +2x )=x 2+4xx +2x 2x 2+3xx +2x 2=1+xx x 2+3xx +2x 2=1+1x x+3+2x x≤1+3+2√2=4-2√2,当且仅当xx =2xx,即x 2=2y 2时取等号.故选D .13.若正数x ,y ,a 满足ax+y+6=xy ,且xy 的最小值为18,则a 的值为() A.1 B.2 C.3 D.4x ,y ,a 满足ax+y+6=xy ,且ax+y ≥2√xxx ,即有xy ≥6+2√xxx ,令t=√xx ,即为t 2-2√x t-6≥0,由xy 的最小值为18,可得3√2为方程t 2-2√x t-6=0的解,即有18-6√2x -6=0,解得a=2. 14.已知a>0,b>0,且22+x+1x +2x=1,则a+b 的最小值是,此时a=.√2+12 √2a+b=12(2+a+a+2b )-1=12(2+a+a+2b )·(22+x +1x +2x )-1=12[3+2(x +2x )2+x+2+x x +2x ]-1≥12(3+2√2(x +2x )2+x·2+x x +2x )-1=12+√2,当且仅当a=√2,b=12时取等号.15.设a+b=2,b>0,则当a=时,12|x |+|x |x取得最小值为.234a+b=2,所以12|x |+|x |x=x +x 4|x |+|x |x=x 4|x |+x 4|x |+|x |x,由于b>0,|a|>0,所以x4|x |+|x |x ≥2√x 4|x |·|x |x=1,因此当a>0时,12|x |+|x |x的最小值是14+1=54.当a<0时,12|x |+|x |x的最小值是-14+1=34.故12|x |+|x |x的最小值为34,此时{x4|x |=|x |x,x <0,即a=-2.16.(2018某某余姚中学模拟)已知不等式|x+2|+|x|≤a 的解集不是空集,则实数a 的取值X 围是;若不等式|x 2+x-1|+|x 2+x+1|≥|x +1|-|3x -1||x |对任意实数a 恒成立,则实数x 的取值X 围是.≥2 x ∈(-∞,-2]∪[1,+∞)|x+2|+|x|的最小值为2,∴要使不等式|x+2|+|x|≤a 的解集不是空集,则有a ≥2.化简不等式|x 2+x-1|+|x 2+x+1|≥|x +1|-|3x -1||x |有|x +1|-|3x -1||x |={ -2+2x ,x ≤-1,-4,-1<x <0,4,0<x <13,2x -2,x ≥13,即|x 2+x-1|+|x 2+x+1|≥4.而|x 2+x-1|+|x 2+x+1|={2x 2+2x ,x ≤-1-√52或x ≥-1+√52,2,-1-√52<x <-1+√52,由当2x 2+2x ≥4时满足题意,解得x ≤-2或x ≥1. 故x 的取值X 围是(-∞,-2]∪[1,+∞).17.(2018某某临安模拟)已知函数f (x )=|2x+b|+|2x-b|. (1)若b=1,解不等式f (x )>4.(2)若不等式f (a )>|b+1|对任意的实数a 恒成立,求b 的取值X 围.∵函数f (x )=|2x+b|+|2x-b|,∴b=1时,不等式f (x )>4即|2x+1|+|2x-1|>4, 它等价于{x ≥12,4x >4或{x ≤-12,-4x >4或{-12<x <12,2>4,解得x>1或x<-1或x ∈⌀;故不等式f (x )>4的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)∵f (a )=|2a+b|+|2a-b|=|2a+b|+|b-2a|≥|(2a+b )+(b-2a )|=|2b|, 当且仅当(2a+b )(b-2a )≥0时f (a )取得最小值|2b|;∴令|2b|>|b+1|,得(2b )2>(b+1)2,解得b<-13或b>1.∴b 的取值X 围是(-∞,-13)∪(1,+∞).18.(2018某某某某学军中学高三模拟)已知函数f (x )=ax 2+bx+c (a ,b ,c ∈R ),当x ∈[-1,1]时,|f (x )|≤1. (1)求证:|b|≤1;(2)若f (0)=-1,f (1)=1,某某数a 的值.f (1)=a+b+c ,f (-1)=a-b+c ,所以b=12[f (1)-f (-1)].因为当x ∈[-1,1]时,|f (x )|≤1, 所以|f (1)|≤1,|f (-1)|≤1,所以|b|=12|f (1)-f (-1)|≤12[|f (1)|+|f (-1)|]≤1.f (0)=-1,f (1)=1可得c=-1,b=2-a ,所以f (x )=ax 2+(2-a )x-1.当a=0时,不满足题意,当a ≠0时,函数f (x )图象的对称轴为x=x -22x ,即x=12−1x . 因为x ∈[-1,1]时,|f (x )|≤1,即|f (-1)|≤1,所以|2a-3|≤1,解得1≤a ≤2.所以-12≤12−1x ≤0.所以|x (12-1x )|=|x (12-1x )2+(2-a )(12-1x )-1|≤1, 整理得|(x -2)24x+1|≤1.所以-1≤(x -2)24x +1≤1.所以-2≤(x -2)24x≤0.又a>0,所以(x -2)24x≥0.24x =0,所以a=2.所以(x-2)。
