考点10 基本不等式(教师版) 备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

2021年高考数学一轮复习第二章不等式第10课基本不等式文（含解析）1．基本不等式：①基本不等式成立的条件：．②等号成立的条件：当且仅当时取等号．2．常用的不等式①．②．③．3．最值定理:若，则由可得如下结论：①若积（定值），则和有最小值．②若和（定值），则积有最大值．应用例析1．直接用公式求最值例1. （1）(xx烟台质检)若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，当且仅当，即时，取等号．变式：若，则的最小值为【答案】8【解析】∵，∴，当且仅当，即时，取等号．的最小值为8（2）已知，求的最大值【解析】，当且仅当时取得等号所以的最大值为1（3）若，求的最大值，，，所以当且仅当即时取得等号，所以的最大值为2.凑出积为常数例2. 已知，求的最小值【解析】∵ ，∴，∴，当且仅当，即时，取得最小值．变式：1.已知，则的最小值为【解析】∵ ，∴，∴，当且仅当，即时，取得最小值．2.已知，则的最 值为【解析】∵ ，∴，∴，当且仅当，即时，取等号所以，故的最大值为3.条件最值例3. 已知，且，求的最小值【解析】∵，且，∴，当且仅当，即时，取等号，∴的最小值为．变式：已知，且，求的最小值并求取最小值时与的值【解析】∵，且，∴∴1272773(3)()()333333y x x y x y x y x y ++=++=++≥+=， 当且仅当，即 时，取等号，∴的最小值为4.基本不等式与指数、对数等相结合例4.（1） 若,则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵,∴，∴，∴．（2）已知，且，那么的取值范围是．【答案】【解析】111222221122log log log1log log()()22x y xyx y+=⋅≤==，∵，∴，∴，∴，∴，∴．例5．(xx越秀质检)已知，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴4a b+≥=，当且仅当，即时，等号成立．5．基本不等式的实际应用问题例6．(xx中山质检）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格．问：（1）每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【解析】（1）每套丛书售价定为100元时，销售量为万套，此时每套供货价格为元，书商所获得的总利润为万元．答：书商能获得的总利润是万元．（2）每套丛书售价定为元时，由，解得，依题意，单套丛书利润，∴，∵，∴，由100(150)21020150xx-+≥=⨯=-，当且仅当，即时，等号成立，此时，．答：每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大．第10课 基本不等式作业题1．(xx·临沂一模)已知a >0，b >0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A2．(xx·常州质检)已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4【答案】C3．(xx·长沙质检)若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23【答案】D4．(xx·福州质检)已知函数f (x )＝2x 满足f (m )·f (n )＝2，则mn 的最大值为( ) A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B5．(xx·佛山一模)设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为( )A ．3 B.92C ．5D ．7 【答案】A6．已知函数f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.【答案】367．若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 【答案】8．(xx·商丘模拟)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为__________．【答案】69. 围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m，新墙的造价为460元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．10．(xx·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？#28534 6F76 潶R31213 79ED 秭33808 8410 萐40505 9E39 鸹22730 58CA 壊35509 8AB5 誵tgGY23623 5C47 屇v33446 82A6 芦。

第四节基本不等式[知识能否忆起]一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件：a >0，b >0. 2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 三、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[小题能否全取]1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选C ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号．2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析：选A ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． 答案：55．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．利用基本不等式求最值典题导入[例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6[自主解答] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.(2)∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15·(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23xy·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.[答案] (1)－2 (2)C本例(2)条件不变，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ， ∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy 的最小值为1225.由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．以题试法1．(1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)(2011·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1， 即ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a＋9b有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10基本不等式的实际应用典题导入[例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[自主解答] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标．由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2 150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x＝－1时取等号．2．(2013·太原模拟)设a 、b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －13x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 4．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：选A 设甲、乙两地的距离为s ，则从甲地到乙地所需时间为s a ，从乙地到甲地所需时间为s b，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2ss a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b＝a ，即a <v <ab . 5．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32 B.53 C.256D ．不存在解析：选A 设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，即2m ＋n －22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝n m 时等号成立． 6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选C 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－a ＋b2ab ，而a ＋b2ab＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.7．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案：38．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.答案：949．(2012·朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 810．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x－x 的最小值． 解：(1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a2. 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2. 11．正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x x －12×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f x ×10 0001 000x ＝10f xx＝10x 2＋71x ＋100x ＝10x ＋1 000x＋710≥210x ·1 000x＋710＝910.当且仅当10x ＝1 000x，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．1．(2012·浙江联考)已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即x＋22xyx＋y≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即x＋22xyx＋y的最大值是2；又λ≥x＋22xyx＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.2．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值是________．解析：由已知条件可得y＝x＋3z2，所以y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz＝14⎝⎛⎭⎪⎫xz＋9zx＋6≥14⎝⎛⎭⎪⎫2xz×9zx＋6＝3，当且仅当x＝y＝3z时，y2xz取得最小值3.答案：33．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝[9x x ＋1＋900]x＋1 800×6＝900x＋9x ＋10 809≥2900x·9x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元， 则y 2＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)．令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2＞x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝x 2－x 1100－x 1x 2x 1x 2.∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0,100－x 1x 2＜0， 故f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)， 即f (x )＝x ＋100x，当x ≥35时为增函数．则当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2＜10 989. 因此该厂应接受此优惠条件．1．函数y ＝a1－x(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因y ＝a x恒过点(0,1)，则A (1,1)，又A 在直线上，所以m ＋n ＝1(mn ＞0)． 故1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝12时取等号．答案：42．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值是________．解析：∵A (2,0)，B (0,1)，∴0≤b ≤1， 由a ＋2b ＝2，得a ＝2－2b ，ab ＝(2－2b )b ＝2(1－b )·b ≤2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－b ＋b 22＝12.当且仅当1－b ＝b ，即b ＝12时等号成立，此时a ＝1，因此当b ＝12，a ＝1时，(ab )max ＝12.答案：123．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ， 则2＋x ≠0，y ＝30－x2＋x ＞0,0＜x ＜30.(1)xy ＝－x 2＋30xx ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号，因此xy 的取值范围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2，y ＝42－1时等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．。

考点06 基本不等式
基本不等式作为代数式求解最值问题的重要途径和方法，经常作为高考的命题点，常结合函数的基本性质和导数等知识综合考查，多以选择题和填空题形式出现，难度中等。

考试要求
1.
掌握基本不等式ab ≤a ＋b 2
(a ，b≥0)； 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
一、利用基本不等式求最值；
二、基本不等式的综合应用；
三、基本不等式的实际应用。

【易错警示】
1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x (m >0)的单调性.
3．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积不一定有最大值．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．
4．函数y ＝x ＋1x 的最小值一定不是2，因为函数y ＝x ＋1x
的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x
无最小值．
利用基本不等式求最值
1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．。

考点03不等关系【命题解读】不等式是每年高考都要考察的内容，数学就是研究各种变量间的关系的，因此可以说就是研究相等与不等的，不等式的考察主要有不等式的性质、解法和证明应用等，常常与函数、数列、导数等相结合。

在解答题中是必考的，在集合和函数的定义域、单调性、极值、最值等方面都有，因此应用比较广泛。

【命题预测】预计2021年的高考不等式的考察还是必须的，对于题目的难易度来说，易、中、难都有，主要是以数学运算和逻辑推理为主。

【复习建议】 集合复习策略：1.理解不等关系以及不等式的性质，高考对不等式的考察还是比较稳定的；2.掌握不等式的应用，高考主要是考察不等式的各种应用；3.掌握与不等式考察有关的知识点。

考向一 比较大小1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法{a -b >0⇔a >b ，a -b =0⇔a =b ，a -b <0⇔a <b .(2)作商法{ab >1(a ∈R ，b >0)⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab =1⇔a =b (a ，b ≠0)，a b<1(a ∈R ，b >0)⇔a <b (a ∈R ，b >0).1. 已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为A ．t s >B ．t s ≥C ．t s <D ．t s ≤【答案】D【解析】s ﹣t =a +b 2+1﹣a ﹣2b =b 2﹣2b +1=（b ﹣1）2≥0，故有 s ≥t ， 故选D ．2. 【2020陕西省期末】若P =Q =()0a ≥，则,P Q 的大小关系是（ ） A ．P Q < B ．P Q =C ．P Q >D ．,P Q 的大小由a 的取值确定 【答案】A【解析】因为220P Q -==<，,P Q >0，所以P Q <，故选A.考向二 不等式性质1.对称性:a>b ⇔b<a (双向性)2.传递性:a>b ，b>c ⇒a>c (单向性)3.可加性:a>b ⇔a+c>b+c (双向性)； a>b ，c>d ⇒a+c>b+d (单向性)4.可乘性:a>b ，c>0⇒ac >bc ； a>b ，c<0⇒ac <bc ；a>b>0，c>d>0⇒ac >bd (单向性)5.乘方法则:a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)(单向性)6.开方法则:a>b>0⇒√a n>√b n(n ∈N ，n ≥2)(单向性)1. 如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>-【答案】D【解析】由0a b <<，得0a b a b b b >⇒->-=，A 正确； 由0a b <<，得11a b>，B 正确； 由()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又0a b <<， 则0a b -<， 所以330a b -<，C 正确.由0a b <<， 得0b ->， 所以0a b a >->， 则11a b a<-，D 错误. 故选D.2. 【2020江苏省期末】若实数m ，n 满足m n >，则下列选项正确的是（ ） A ．()lg 0m n -> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．330m n ->D ．m n >【答案】C【解析】根据实数m ，n 满足m n >，取0m =，1n =-，则可排除ABD ． 因为函数3y x =在定义域上单调递增，因为m n >，所以33m n >，即330m n ->故选C ．3. 【2020浙江省杭州第二中学高三其他】若0a b +>，则（ ） A ．ln ln 0a b +> B ．330a b +>C ． tan tan 0a b +>D ．a b >【答案】B【解析】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>.对于A ，取1a b ==，不成立；对于C 取a b π==，不成立；对于D 取1a b ==，不成立. 故选B.题组一（真题在线）1. 【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D2. 【2019年高考全国Ⅰ】已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a << 3. 【2019全国 III 卷】若a b >，则（ ）A.ln()0a b ->B.33ab <C.330ab -> D.||||a b >4. 【2019天津高考理科】已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<5.【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题组二1. 【2020浙江省课时练习】已知a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<2. 【2020浙江省高一课时练习】已知,a b ∈R ，“a b >”是“||||a a b b >”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.【2020浙江省高一单元测试】若12a <<，13b -<<，则a b -的值可能是（ ）． A ．4-B ．2-C ．2D ．44.【2020安徽省六安中学期末（理）】函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是( )A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞5. 【2020黑龙江省哈尔滨三中期末（理）】若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >6. 【2020浙江省高一期末】已知数列{}n a 满足12a >，21n n n a a a +=-，*n N ∈，则下列结论中不一定正确的是（ ） A ．134n n a a +>-，*n N ∈B ．()()321211a a a >--C ．1234311111314a a a a a +++<+- D ．()()()222234551114a a a a -+-+-<+7. 【2020福建省高一期末】下列命题为真命题的是（） A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab <题组一1.ABD 【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，≤12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选ABD.2. B 【解析】由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.3.C 【解析】由函数3y x =在R 上是增函数，且a b >，可得33a b >，即330a b ->.4.A 【解析】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<.故选A5.A 【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．题组二1.C 【解析】因为a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，则0a >，0c <，所以ab ac >一定成立；又因为0b a -<，所以()0c b a ->，即()0c b a -<一定不成立； 因为2b 是否为0不确定，因此22cb ab <也不一定成立；因为0a c ->，所以()0ac a c -<一定成立. 故选C2.A 【解析】由题意，若||a b >，则||0a b >，则a b >，所以2a a a =，则||||a a b b >成立.当1,2a b ==-时，满足a a b b >，但||a b >不一定成立，所以||a b >是a a b >的充分不必要条件. 故选A. 3.C 【解析】13b -<<，31b ∴-<-<，23a b ∴-<-<．故选C.4.A 【解析】依题意()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21204x x -=≥，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以A 选项正确.故选A.5.D 【解析】A ：根据不等式的性质可知当0a b >>，0c d >>时，能得到ac bd >.例如当0,1a b ==-，0,1c d ==-，显然a b >，c d >成立，但是ac bd >不成立，故本选项说法不正确； B ：当0c 时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：111111,0,0,00b a b a a b ab b a a b ab a b ab a b---=<<∴>->∴-=>⇒>，故本选项说法不正确；D ：33222213()()()[()],24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++223333130,()0024a b a b a b b a b a b >∴->++>⇒->⇒>，故本选项说法是正确的.故选D6.C 【解析】因为()212=2n n n n n n a a a a a a +-=--，12a >，所以有112n n a a a +>>>.又因为()21=1n nn n n a a a a a +=--，所以()2111111==11n n n n n n na a a a a a a +=---- 对于A 选项，()2221343444020n n n n n n n n a a a a a a a a +>-⇔->-⇔-+>⇔->，故成立； 对于B 选项，()()32321311321211222a aa a a a a a a a a >--⇔>⋅=⇔>，故成立； 对于C 选项，123433111111111111a a a a a a a +++=+<+---，故不成立； 对于D 选项，()()()()22222223423423411123a a a a a a a a a =++-+-+-++-+()()()()334453224=23a a a a a a a a a +++++++-+52554153a a a a +=<<+-+，故成立.故选C.7. BCD 【解析】 选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<⎧⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题； 选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b>>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题； 选项D:2111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.考点04 基本不等式【命题解读】基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。

数学高考不等式知识点归纳数学是高考中不可或缺的一门科目，而数学的不等式是其中一个重要的知识点。

在高考中，会涉及到各种类型的不等式问题，考生需要对不等式的性质和解法有深刻的理解。

下面我将对数学高考中常见的不等式知识点进行归纳整理。

一、基本不等式基本不等式是解决不等式问题的基础，它是数学推理的起点。

基本不等式有两个方面的含义：其一是一个数平方一定大于等于零，即对任意实数x，x²≥0，即x²≥0；其二是有理数的平方的大小关系，即对任意实数x和y，如果x>y，则x²>y²。

二、一元一次不等式一元一次不等式是高考中最简单、最常见的不等式类型。

对于一元一次不等式，考生需要掌握解法的基本思路，如通过移项、乘除法等基本运算，确定不等式的解集。

三、一元二次不等式一元二次不等式是高考中较为复杂的不等式类型。

对于一元二次不等式，考生需要将其转化为二次函数的解析表达式，然后通过解二次方程来求解。

在解决一元二次不等式问题时，应注意借助二次函数的图像进行推理，从而获得正确的解集。

四、有理不等式有理不等式是由有理数构成的不等式。

对于有理不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将不等式分母消去、确定分界点、绘制数轴图、判断各个区间的正负性等。

五、绝对值不等式绝对值不等式是高考中常见的不等式类型，而且解法相对简单。

对于绝对值不等式，考生需要掌握将其转化为两个简单的不等式，并分别求解的方法。

六、复合不等式复合不等式由多个不等式组合而成，对于复合不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将多个不等式合并、确定解集的交集或并集等。

在解复合不等式问题时，需要特别注意各个不等式的对应关系。

七、几何不等式几何不等式是利用几何图形的性质来解决不等式问题。

对于几何不等式，考生需要通过合理的假设、推理以及几何图形的性质来求解。

在解决几何不等式问题时，应灵活运用几何知识和不等式知识，结合具体题目进行分析和推导。

考点10 基本不等式1、掌握基本不等式2ba ab +≤。

2、能用基本不等式证明简单不等式。

3、能用基本不等式求最值问题。

基本不等式是江苏数学考纲要求的c 级要求，是江苏高考试卷重点考查的模块之一，在全国各地也经常考查到。

基本不等式是求函数最值得一种重要的方式，纵观近五年江苏高考不难发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。

在高考中属于中档题或者难题·因此在复习中要引起学生的重视。

在学习中，要掌握运用基本不等式求函数的最值，要注意以下几点： ①掌握基本不等式满足的条件：一正、二定、三相等。

②掌握基本不等式的一些常见变形，最终都要化成 d bxcax ++的形式。

③掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧，如三元变二元，二元变一元。

以及双换元等。

在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。

1、【2020年山东卷】.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2212a b +≥B. 122a b ->C. 22log log 2a b +≥-D.≤【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b -->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD2、【2020年江苏卷】已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 故答案为：45. 3、【2020年天津卷】.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+，或23,23a b =+=-时，等号成立. 故答案为：44、【2019年高考天津卷理数】设0,0,25x y x y >>+=，则xy的最小值为__________．【答案】43【解析】方法一：(1)(21)2212662x y xy y x xy xy xy xy xy xy++++++===+. 因为0,0,25x y x y >>+=， 所以2522x y x y +=≥⋅， 即5252,028xy xy ≤<≤，当且仅当522x y ==时取等号成立. 又因为6622243xy xy xy xy +≥⋅=，当且仅当62xy xy =，即=3xy 时取等号，结合258xy ≤可知，xy 可以取到3，故(1)(21)x y xy ++的最小值为43.方法二：0,0,25,x y x y >>+=0,xy ∴>2212=43xy xy xy xy xy===+≥. 当且仅当3xy =时等号成立，故xy的最小值为43.5、【2018年高考天津卷理数】已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 【答案】 【解析】由可知，且，因为对于任意x ，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.6、【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.7、【2017年高考天津卷理数】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．【答案】4【解析】4422414111444a b a b ab ab ab ab ab ab+++≥=+≥⋅=，（前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时成立，当且仅当222224a b ==时取等号）． 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．8、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________． 【答案】30【解析】总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．题型一 运用基本不等式求函数最值1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若()3log 21a b +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C【解析】∵()3log 21a b +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =， ∴23a b ab +=，且0a >，0b >， ∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233≥+⋅3=， 当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立； 故选：C ．2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1 B ．92C ．9D ．18【答案】A【解析】奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()11111141452451999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 故选：A3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +x AB y AC =+，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．92【答案】D【解析】如图可知x ，y 均为正，设=m ,AD AB nAC AE AB AC λμ+=+，:,,,B D E C 共线， 1,1m n λμ∴+=+=，()()AD AE xAB y AC m AB n AC λμ+=+=+++，则2x y m n λμ+=+++=，1411414149()5(52)2222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则14x y +的最小值为92，故选D. 4、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）设 a R ∈，则“0a >”是“222a a+≥的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由0a >得，2a a +≥=，所以是充分条件；由2a a+≥0a >，所以是必要条件，故“0a >”是“2a a+≥的充要条件．答案选C ．5、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）设实数a 、b 满足0b >，且2a b +=.则18a a b+的最小值是（ ） A ．98B ．916C ．716D ．14【答案】C【解析】由题意可知，0a ≠.当0a >时，111981616161616a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+=， 当且仅当16b a a b=且2a b +=，即25a =，85b =时取等号，当0a <时，111781616161616a ab a b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=--=-+-+-≥-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当16b aa b=且2a b +=时取等号， 综上可得，18a a b +的最小值716. 故选：C.6、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）若正实数x ，y 满足ln(2)ln ln x y x y +=+，则2x y +取最小值时，x =（ ） A ．5 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】∵ln(2)ln ln ln x y x y xy +=+=；∴2x y xy +=，且0x >，0y >；∴211x y+=；∴2122(2)()4x x y x y x y y +=++=++215549y x +≥+=+=， 当且仅当22x yy x=，即3x y ==时取等号. 故选：B .7、（2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七)数学试题） 已知0a >，0b >，且1a b -=，则12a b+的最小值为_____.【答案】2【解析】0a >，0b >，由1a b -=得1a b =+，1122222a b b b ∴+=++≥+=+当且仅当2b =时，等号成立，因此，12a b +的最小值为2.故答案为：2.8、（2020届北京市陈经纶学校高三上学期数0月份月考试卷）已知0,0x y >>，且2520x y +=.则xy 的最大值是_________. 【答案】10【解析】252020x y +=≥⇔≤当且仅当25x y =，即5,2x y ==时，等号成立 则10xy≤，即xy 的最大值是10故答案为：109、（2020x =______. 【答案】4112915=+--=1=4x =时，等号成立. 故答案为：410、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.【答案】【解析】由于1x >，故10x ->，故()()3211f x x x =-+≥=-()3211x x -=-，即1x =+故填：11、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 【答案】9【解析】由题意可知直线过圆心，即21a b +=()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22a bb a=时，又()0,0a b >> 即a b =时等号成立， 故21a b+的最小值为9. 故答案为：912、（2020届江苏省七市第二次调研考试）若1x >，则91211x x x +++-的最小值是______. 【答案】8 【解析】1x >，91211x x x ∴++=+-911162811x x x x +++-+≥+=+-，当且仅当911x x +=+且111x x -=-，即2x =时，等号成立.2x ∴=时，91211x x x +++-取得最小值8. 故答案为：813、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知,x y 为正实数，则292y xx x y++的最小值为______.【答案】4. 【解析】解：令0yt x=>，则()2999222444222y x t t x x y t t +=+=++-≥=+++，当且仅当()9222t t +=+，即22y t x ==-时，等号成立，故答案为：4.14、(2019常州期末） 已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋xy 的最小值为________．【答案】4解法1(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y ＝x －x 2，故1x ＋x y ＝1x ＋x x －x 2＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝4，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.解法2(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y x ＝1－x ，故1x ＋x y ＝1x ＋11－x ，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得1x ＋x y ＝1x ＋11－x ＝1－x ＋x x ＋1－x ＋x 1－x ＝2＋1－x x ＋x1－x ≥4，当且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.解法4(“1”的代换) 因为x ＋y x ＝1，所以1x ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＝2＋y x 2＋x 2y ≥4，当且仅当y x 2＝x2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝14时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.15、(2019镇江期末）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1x ＋4y ，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】3思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解．解法1 因为x>0，y>0，所以x ＋y ＝12x ＋22y ≥（1＋2）2x ＋y ，得x ＋y ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝2时取等号．解法2 x ＋y ＝（x ＋y ）2＝（x ＋y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋24＝3，当且仅当y x ＝4xy ，即x＝1，y ＝2时取等号．16、(2019苏北三市期末） 已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1a ，则b 的最大值为________． 【答案】. 13【解析】由a ＋3b ＝1b －1a ，得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0，所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号)，即1b －3b ≥2，又b>0，解得0<b ≤13，所以b 的最大值为13.题型二 运用基本不等式处理多元问题1、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为_______． 【答案】8 【解析】()4abc a b =+，()4a b c ab+∴=()444448a b a b c a b a b abb a +++=++=+++≥=+= 2、（2020·浙江温州中学高三3月月考）已知正实数,,0x y z >，则12max ,max ,A x y y x ⎧⎫⎧⎫=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的最小值为______；123max ,max ,max ,B x y z y z x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭的最小值为______.【答案】 【解析】（1）若12,x y y x ≥≥时，即12xy ≤≤时，2A x x=+≥1x y ==时可取等号，若12,x y y x>>时，即2xy >时，A x y =+≥>， 若12,x y y x >>时，即01xy <<时，由01xy <<知22xy>，所以12A y x =+≥>综上可知A 的最小值为()2当3z x≥时，25B x z z zz≥++≥+≥，当z x y ===时可取等号；当3z x ≤时，32325333x x B x x x z x x ≥++≥++=+≥z x y ===时可取等号；综上所述，B ≥z x y ===时可取等号；故答案为：3、(2019南京、盐城一模）若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________．【答案】 87思路分析1 注意到求c 的最大值，所以将参数c 进行分离，为此，可以利用abc ＝a ＋2b ＋c 进行分离得c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，从而将问题转化为求a ＋2b 的最小值；思路分析2 结合abc ＝a ＋2b ＋c 与ab ＝a ＋2b 化简得abc ＝ab ＋c 来进行分离得c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1，进而求ab 的最小值．思路分析3 由于所求解的c 与a ，b 有关，而a ，b 不对称，因此，将2b 看作一个整体，则它与a 就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案．解法1 由abc ＝a ＋2b ＋c 得，c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，由ab ＝a ＋2b 得，1b ＋2a ＝1，所以a ＋2b ＝(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝4＋a b ＋4b a ≥4＋2a b ·4b a ＝4＋4＝8，故c ≤87.解法2 因为abc ＝a ＋2b ＋c ，ab ＝a ＋2b ，所以abc ＝ab ＋c ，故c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1，由ab ＝a ＋2b 利用基本不等式得ab ≥22ab ，故ab ≥8，当且仅当a ＝4，b ＝2时等号成立，故c ＝1＋1ab －1≤1＋18－1＝87.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“12·a ·2b ＝a ＋2b ，12·a ·2b ·c ＝a ＋2b ＋c ”，故a 与2b 对等，不妨设a ＝2b ，解得a ＝2b ＝4，c ＝87，故c 的最大值为87.4、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b 的最小值为________．【答案】. 4 5【解析】思路分析 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a ，b ，c 的关系，再将所求c 2＋5a ＋b 运用消元法，统一成单变量a 的函数问题，运用基本不等式求最值．依题意得a<0，且3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝7，c a ＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7a ，c ＝12a ，所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝144a 2＋5－6a ＝(－24a)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－6a ≥2（－24a ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫5－6a ＝45，当且仅当144a2＝5，即a ＝－512时取等号，所以所求最小值为4 5.题型三 运用基本不等式求函数含参的问题1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10 B ．12C ．16D ．9【答案】D 【解析】由已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭恒成立， 转化成求41()y a b a b ⎛⎫=++⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，所以9m ≤．故选：D ．2、(2019扬州期末） 已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为_________．【答案】. (－∞，9] m ≤x ＋y 恒成立，m ≤(x ＋y)min .解法1(消元法) 由x ＋4y －xy ＝0，得y ＝x x －4，因为x ，y 是正实数，所以y>0，x>4，则x ＋y ＝x ＋xx －4＝x ＋x －4＋4x －4＝x ＋4x －4＋1＝(x －4)＋4x －4＋5≥2（x －4）·4x －4＋5＝9，当且仅当x ＝6时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m ≤9.解法2(“1”的代换) 因为x ，y 是正实数，由x ＋4y －xy ＝0，得4x ＋1y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4yx ＋xy ＋5≥24y x ·xy ＋5＝9，当且仅当x ＝6，y ＝3时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m ≤9.解法3(函数法) 令t ＝x ＋y ，则y ＝t －x ，代入x ＋4y －xy ＝0，得x 2－(3＋t)x ＋4t ＝0.Δ＝(t ＋3)2－16t ＝t 2－10t ＋q ≥0，得t ≤1或t ≥9.又y ＝xx －4>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t ≥9.所以m ≤9.3、(2018南京、盐城一模）若不等式k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sinC 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________．【答案】100思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究．二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理．解法1(函数的最值) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.因为△ABC 为任意三角形，所以a>|b －c|，即19bc －ac b 2<19bc －|b －c|cb 2＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ，0<cb ≤1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ，c b >1.当0<c b ≤1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤19；当c b >1时，－⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤100，即19bc －|b －c|cb 2的最大值为100，所以k ≥100，即实数k 的最小值为100. 解法2(基本不等式) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.又19bc －ac b 2＝c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b .因为c<a ＋b ，所以c b <1＋a b ，即c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b <⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b 24＝100(要求最大值，19－a b 至少大于0)．当且仅当1＋a b ＝19－a b ，即ab ＝9时取等号．。

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高中数学基本不等式的巧用1．基本不等式：错误!≤错误!（1）基本不等式成立的条件：a ＞0,b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1）a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R );（2）错误!＋错误!≥2(a ，b 同号）；(3）ab ≤错误!2(a ,b ∈R ）; （4)a 2＋b 22≥错误!2（a ,b ∈R ）．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0,y ＞0，则(1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2错误!。

基本不等式方法: 1． 凑系数当40<<x 时，求的最大值)28(x x y -=。

[练一练]若,20<<x 求)36(x x y -=的最大值。

2． 凑项。

当,45<x 求54124)(-+-=x x x f 的最大值 [练一练]求)3(,31>+-=x x x y 的最小值。

3． 拆项。

求)1(,11072-≠+++=x x x x y 的值域。

[练一练]求函数)1(,182>-+=x x x y 的最小值。

4． 整体代换（遇到1了）a>0, b>0, ba tb a 11,12+==+求的最小值。

[练一练]y x y x y x +=+>>求且,911,0,0最小值。

5． 换元法求函数522++=x x y 的最大值 [练一练]求函数)1(,182>-+=x x x y 的最小值。

6． 试着取平方看看：求函数)2521(,2512<<-+-=x x x y 的最大值。

【练习】1．若a 、b ∈+R ，1)(=+-b a ab ，则b a +的最小值是（ ）A.222+B.25+C.222-D.22 2．函数2249cos sin y x x=+的最小值是（ ）A.24B.13C.25D.26 3. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） A ．4y x x =+ B ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< C ．e 4e x x y -=+ D ．3log 4log 3x y x =+4．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R )6．设OA →＝(1，－2)， OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．107．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜ab B ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b29．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 10．已知a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是________．11．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________． 12．当x 2－2x ＜8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是________．13.若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围是 .14.x,y,z ∈R +，x-2y+3z=0,xzy 2的最小值为 .15.若直线2ax +by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是 . 16.函数y=log 2x+log x (2x)的值域是 .17.若实数a,b 满足ab-4a-b+1=0 (a ＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为 . 18.已知x 、y ∈+R ，则使y x t y x +≤+恒成立的实数t 的取值范围是____________.19.已知关于x 的方程043)4(9=+⋅++xxa 有实数根，则实数a 的取值范围是____________.20.已知0,0>>b a 且2213b a +=，求________. 21．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为__________．22. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.23．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．基本不等式训练题答案：1. A2. C3. C 4．C 5．C 6．C7．B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x 8，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80. 8．A 设甲乙两地相距为s ，则v ＝2s s a ＋s b＝21a ＋1b . 由于a ＜b ，∴1a ＋1b ＜2a ，∴v ＞a ，又1a ＋1b ＞21ab，∴v ＜ab .故a ＜v ＜ab ，故选A. 9．3. 10． 4.11．解析： 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.12．解析： 由x 2－2x ＜8得x 2－2x －8＜0，即(x －4)(x ＋2)＜0，得－2＜x ＜4，∴x ＋2＞0， 而y ＝x 2－x －5x ＋2＝x ＋22－5x ＋2＋1x ＋2＝(x ＋2)＋1x ＋2－5≥2－5＝－3.等号当且仅当x ＝－1时取得．13. a ≥-5 14. 3 15. 3+22 16. （-∞，-1］∪［3，+∞） 17. 27 18.2t ≥19.（-∞，-8］ 2321．解析： ∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a ＞0且Δ＝4－4ac ＝0，∴c ＝1a ，∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a ＋1a ＋1a＝⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫a ＋1a ≥4(当且仅当a ＝1时取等号)，∴a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为4. 22. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦ (2)17423．解析： (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．.。

高考数学知识点:基本不等式(附习题)最近很多同学给老师留言说，分享关于高中数学知识点的习题，今天老师给同学们提供了高中数学知识点基础不等式的习题。

先看第一个知识点：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围． 接下来是关于高考的试题：(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4(2)(2017·甘肃定西通渭榜罗中学期末)已知a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋4b的最小值是________．(3)(2015·高考重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．规律方法：利用基本不等式求最值需满足的三个条件(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．角度一知和求积的最值设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )A．80 B．77C．81 D．82角度二 知积求和的最值设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12角度三 求参数的值或范围(2017·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12 B.32 C ．1 D ．2利用不等式解决实际问题，这个是同学关心的问题，下面继续给大家分享某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图中阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？这道题两个方面进行解答，在解答过程中有什么不懂，都可以留言老师。

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。

二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。