2020版高考数学(理)新探究大一轮分层演练：选修4-5 第3讲 含解析

本资源的初衷 ,是希望通过网络分享 ,能够为广阔读者提供更好的效劳 ,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创 ,立意新 ,图片精 ,是非常强的一手资料 .专题检测 (二十 ) 选修4 -5 不等式选讲1．(2021·沈阳质检)函数f (x )＝|x －a |－12x (a >0)． (1)假设a ＝3 ,解关于x 的不等式f (x )<0；(2)假设对于任意的实数x ,不等式f (x )－f (x ＋a )<a 2＋a 2恒成立 ,求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时 ,f (x )＝|x －3|－12x , 即|x －3|－12x <0 , 原不等式等价于－12x <x －3<12x , 解得2<x <6 ,故不等式的解集为{x |2<x <6}．(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2,原不等式等价于|x －a |－|x |<a 2 , 由三角绝||对值不等式的性质 ,得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a | ,原不等式等价于|a |<a 2.又a >0 ,∴a <a 2 ,解得a >1.故实数a 的取值范围为(1 ,＋∞)．2．(2021·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4 ,g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时 ,求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)假设不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1] ,求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时 ,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时 ,①式化为x 2－3x －4≤0 ,无解；当－1≤x ≤1时 ,①式化为x 2－x －2≤0 ,从而－1≤x ≤1；当x ＞1时 ,①式化为x 2＋x －4≤0 ,从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时 ,g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1] ,等价于当x ∈[－1 ,1]时 ,f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最||小值必为f (－1)与f (1)之一 ,所以f (－1)≥2且f (1)≥2 ,得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．3．(2021·石家庄质检)设函数f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|的最||大值为m .(1)作出函数f (x )的图象；(2)假设a 2＋2c 2＋3b 2＝m ,求ab ＋2bc 的最||大值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ＋2 x ≤－12 －3x－12<x <1 －x －2 x ≥1画出图象如下列图．(2)由(1)知m ＝32. ∵32＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝(a 2＋b 2)＋2(c 2＋b 2)≥2ab ＋4bc , ∴ab ＋2bc ≤34 ,∴ab ＋2bc 的最||大值为34, 当且仅当a ＝b ＝c ＝12时 ,等号成立． 4．(2021·宝鸡质检)函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3| ,g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式|g (x )|<5；(2)假设对任意x 1∈R ,都存在x 2∈R ,使得f (x 1)＝g (x 2)成立 ,求实数a 的取值范围． 解：(1)由||x －1|＋2|<5 ,得－5<|x －1|＋2<5 ,∴－7<|x －1|<3 ,得不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)因为对任意x 1∈R ,都有x 2∈R ,使得f (x 1)＝g (x 2)成立 ,所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )} ,又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3| ,g (x )＝|x －1|＋2≥2 ,所以|a ＋3|≥2 ,解得a ≥－1或a ≤－5 ,所以实数a 的取值范围为(－∞ ,－5]∪[－1 ,＋∞)．5．(2021·东北四市 (高|考 )模拟)a >0 ,b >0 ,函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最||小值为1.(1)证明：2a ＋b ＝2；(2)假设a ＋2b ≥tab 恒成立 ,求实数t 的最||大值．解：(1)证明：因为－a <b 2, 所以f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ －3x －a ＋b x ≤－a－x ＋a ＋b －a <x <b 2 3x ＋a －bx ≥b 2显然f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ b 2上单调递减 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b 2 ＋∞上单调递增 ,所以f (x )的最||小值为f ⎝⎛⎭⎫b 2＝a ＋b 2, 所以a ＋b 2＝1 ,即2a ＋b ＝2. (2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立 ,所以a ＋2b ab ≥t 恒成立．因为a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12⎝⎛⎭⎫1b ＋2a (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥12⎝⎛⎭⎫5＋22a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时 ,a ＋2b ab 取得最||小值92,所以t ≤92 ,即实数t 的最||大值为92. 6．(2021·贵州适应性考试)函数f (x )＝|x －1|＋|x －5| ,g (x )＝1＋x 2.(1)求f (x )的最||小值；(2)记f (x )的最||小值为m ,实数a ,b 满足a 2＋b 2＝6 ,求证：g (a )＋g (b )≤m . 解：(1)∵f (x )＝|x －1|＋|x －5|≥|x －1－x ＋5|＝4 ,∴f (x )min ＝4.(2)证明：由(1)知m[1×g (a )＋1×g (b )]2≤(12＋12)[g 2(a )＋g 2(b )] ,即[g (a )＋g (b )]2≤2(a 2＋b 2＋2) ,又g (x )＝x 2＋1>0 ,a 2＋b 2＝6 ,∴0<g (a )＋g (b )≤4(当且仅当a 2＝b 2＝3时取等号)．即g (a )＋g (b )≤m .7．(2021·太原模拟)函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)假设不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立 ,求实数m 的最||大值；(2)当a <12时 ,函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点 ,求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝|x －a |＋12a, ∴f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a, ∴f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|x －a －x －m ＋a |＝|m | ,∴|m |≤1 ,即－1≤m ≤1 ,∴实数m 的最||大值为1.(2)当a <12时 , g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ －3x ＋a ＋12a ＋1 x <a －x －a ＋12a＋1 a ≤x ≤12 3x －a ＋12a －1 x >12∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ 12上单调递减 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞上单调递增． 又函数g (x )有零点 ,∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a≤0 , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <12 －2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎨⎧a <0 －2a 2＋a ＋1≥0 解得－12≤a <0 , ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12 0. 8．(2021·成都二诊)函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)假设p ,q ,r 为正实数 ,且13p ＋12q ＋1r＝4 ,求3p ＋2q ＋r 的最||小值． 解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0 , 得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4. 当x <－32时 ,－x －32－x ＋32≤4 ,解得－2≤x <－32； 当－32≤x ≤32时 ,x ＋32－x ＋32≤4恒成立 , ∴－32≤x ≤32； 当x >32时 ,x ＋32＋x －32≤4 ,解得32<x ≤2.综上 ,f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ,a 2＝2q ,a 3＝r .由柯西不等式 ,得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32＝9 , 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9. ∵13p ＋12q ＋1r ＝4 ,∴3p ＋2q ＋r ≥94, 当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43 ,即p ＝14 ,q ＝38 ,r ＝34时 ,取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最||小值为94.。

1．(2019·安徽省两校阶段性测试)已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式：f (x )＋f (x ＋1)≤2；(2)若a <0，求证：f (ax )－af (x )≥f (2a )．解：(1)由题意，得f (x )＋f (x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|.因此只要解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1； 当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2；当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52. 综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤52. (2)证明：由题意得f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|＝f (2a )，所以f (ax )－af (x )≥f (2a )成立．2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2. 证明：因为1n 2<1n （n －1）＝1n －1－1n， 所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1.(1)求证：|b |≤1；(2)若f (0)＝－1，f (1)＝1，求实数a 的值．解：(1)证明：由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ，所以b ＝12[f (1)－f (－1)]． 因为当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1，所以|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，所以|b |＝12|f (1)－f (－1)|≤12[|f (1)|＋|f (－1)|]≤1. (2)由f (0)＝－1，f (1)＝1可得c ＝－1，b ＝2－a ，所以f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1.当a ＝0时，不满足题意，当a ≠0时，函数f (x )图象的对称轴为x ＝a －22a ，即x ＝12－1a . 因为x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1，即|f (－1)|≤1，所以|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2.所以－12≤12－1a≤0，故|f ⎝⎛⎭⎫12－1a |＝ |a ⎝⎛⎭⎫12－1a 2＋(2－a )⎝⎛⎭⎫12－1a －1|≤1. 整理得|（a －2）24a＋1|≤1， 所以－1≤（a －2）24a＋1≤1， 所以－2≤（a －2）24a≤0， 又a ＞0，所以（a －2）24a≥0， 所以（a －2）24a＝0，所以a ＝2. 4．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1.(1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2. 证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，即证1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≥0，而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝(a ＋b ＋c )2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12. (2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bc a， 所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)． 5．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a .解：(1)f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x <－3，4，－3≤x ≤12x ＋2，x >1.当x <－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x ≤1时，4≥8不成立；当x >1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3.所以不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8的解集为{x |x ≤－5或x ≥3}．(2)证明：f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ，即|ab －1|>|a －b |.因为|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0，所以|ab －1|>|a －b |.故所证不等式成立．1．(2019·武汉市武昌区调研考试)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M .(1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤23x －5，x >2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立． 故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， 所以g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.2．(2019·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c )． 证明：(1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得． 所以原不等式成立． (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc . 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2， b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac 2， 所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立)． 所以原不等式成立．3．已知a ，b ，c 均为正实数．求证：(1)(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ；(2)若a ＋b ＋c ＝3，则a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤3 2.证明：(1)要证(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ，可证a 2b ＋ac 2＋ab 2＋bc 2－4abc ≥0，需证b (a 2＋c 2－2ac )＋a (c 2＋b 2－2bc )≥0，即证b (a －c )2＋a (c －b )2≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc 成立．(2)因为a ，b ，c 均为正实数，由不等式的性质知a ＋1·2≤a ＋1＋22＝a ＋32，当且仅当a ＋1＝2时，取等号，b ＋1·2≤b ＋1＋22＝b ＋32，当且仅当b ＋1＝2时，取等号，c ＋1·2≤c ＋1＋22＝c ＋32，当且仅当c ＋1＝2时，取等号， 以上三式相加，得2(a ＋1＋b ＋1＋c ＋1)≤a ＋b ＋c ＋92＝6， 所以a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号．。

1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3. (2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1. 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a . (1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不合题意； 当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意． 综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1，0)． 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 4．(2019·云南省第一次统一检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R . (1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋5|＋|x －2|.①当x ≥2时，由f (x )>9，得2x ＋3>9，解得x >3； ②当－5≤x <2时，由f (x )>9，得7>9，此时不等式无解； ③当x <－5时，由f (x )>9，得－2x －3>9，解得x <－6.综上所述，当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9的解集为{x ∈R |x <－6或x >3}． (2)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .又B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x ∈R |－1≤x ≤2}，关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ， 所以当－1≤x ≤2时，f (x )≤|x －4|恒成立． 由f (x )≤|x －4|得|x ＋a |≤2.所以当－1≤x ≤2时，|x ＋a |≤2恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 恒成立． 所以实数a 的取值范围为[－1，0]．5．(2019·湖北省七市(州)联考)已知函数f (x )＝|x －2|＋2，g (x )＝m |x |(m ∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )>5；(2)若不等式f (x )≥g (x )对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)由f (x )>5，得|x －2|>3， 所以x －2<－3或x －2>3， 解得x <－1或x >5.故原不等式的解集为{x |x <－1或x >5}．(2)由f (x )≥g (x )，得|x －2|＋2≥m |x |对任意x ∈R 恒成立， 当x ＝0时，不等式4≥0恒成立， 当x ≠0时，问题等价于m ≤|x －2|＋2|x |对任意非零实数恒成立， 因为|x －2|＋2|x |≥|x －2＋2||x |＝1，所以m ≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]1．(2019·湖北黄冈三月调研)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|(a ∈R )． (1)当a ＝－1时，求f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含集合⎣⎡⎦⎤12，1，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，f (x )≤2⇒⎪⎪⎪⎪x ＋12＋⎪⎪⎪⎪x －12≤1，上述不等式的几何意义为数轴上点x 到两点－12，12距离之和小于或等于1，则－12≤x ≤12，即原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－12，12. (2)因为f (x )≤|2x ＋1|的解集包含⎣⎡⎦⎤12，1.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，|2x －a |＋2x －1≤2x ＋1上恒成立． 所以2x －2≤a ≤2x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，所以(2x －2)max ≤a ≤(2x ＋2)min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以0≤a ≤3. 2．(2019·山西太原模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝|x －a |＋12a ，所以f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a， 所以f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |，所以|m |≤1，即－1≤m ≤1，所以实数m 的最大值为1. (2)当a <12时，g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12，所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a 2＋a ＋1≥0， 所以－12≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0. 3．(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－54，12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn ≥4. 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .所以当x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，103.。

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选修4－5不等式选讲最新考纲：1。

理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1）|a＋b｜≤|a｜＋｜b｜（a,b∈R)．（2）|a－b|≤|a－c｜＋|c－b｜（a，b∈R）。

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax＋b|≤c，｜ax＋b｜≥c，｜x－c|＋｜x－b｜≥a。

3。

了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)｜f(x)｜〉a(a>0)⇔f（x)>a或f(x）<－a;(2)|f(x）｜<a(a〉0)⇔－a<f(x)〈a；（3）对形如｜x－a｜＋|x－b|≤c，|x－a|＋｜x－b｜≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a｜－｜b|≤｜a±b|≤｜a|＋｜b｜。

问题探究：不等式｜a|－|b|≤｜a±b｜≤|a｜＋|b｜中，“＝”成立的条件分别是什么?提示：不等式｜a|－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝"成立的条件是ab≤0且|a｜≥｜b｜；不等式｜a|－|b｜≤｜a －b｜≤｜a|＋｜b｜，右侧“＝"成立的条件是ab≤0,左侧“＝"成立的条件是ab≥0且|a|≥｜b|。

选修4 — 5 不等式选讲第一节绝对值不等式本节主要包括2个知识点： 1.绝对值不等式的解法；2,绝对值三角不等式突破点(一)绝对值不等式的解法抓牢双基自学区［基本知识］(2)|ax+ b|w c, |ax + b|> c(c>0)型不等式的解法①|ax+ b|w c? —c w ax+ b w c;②|ax+ b|> c? ax+ b》c 或ax+ b w—c.⑶|x —a|+ |x—b|> c, |x—a|+ |x—b|w c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解.②利用零点分段法求解.③构造函数，利用函数的图象求解.［基本能力］1. 判断题(1) 不等式|x|va的解集为｛x|—avxva｝.( )⑵|x —a|+ |x—b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a, b的距离之和.()(3)不等式|2x —3|w 5 的解集为｛x| —1w x w 4｝.( )答案：⑴X (2)V (3) V2. 填空题(1)若不等式|kx—4|w 2的解集为｛x|1w x w 3｝，则实数k= __________ .选修4 — 5 不等式选讲解析：由|kx —4|w 2? 2 w kx w 6.•••不等式的解集为{X|1W x w 3},.・.k = 2.答案：2⑵不等式|2x —1|>3的解集为________ .解析：由|2x —1|>3得，2x —1<—3 或2x—1>3，即x<—1 或x>2.答案：{x|x< —1 或x>2}5 1⑶若关于x的不等式|ax—2|<3的解集为‘X ― 3<x<3人贝卩a = ___________ .解析：依题意，知0.|ax—2|<3? —3<ax—2<3? —1<ax<5，当a>0时，不等式的解—1 5I a，a /5=1,a 3，从而有此方程组无解.—!_ —5—a_—3，当a<0时，不等式的解集为5，—1,5 5,5一5，从而有解得a=—3.I —1=1a 3，答案：—3⑷不等式|x+ 1|—|x—2|> 1的解集是________ .—3, x w —1, 解析：f(x)=|x+ 1| —|x —2|= 2x —1,—1<x<2,3, x>2.当—1<x<2 时，由2x—1 > 1,解得1w x<2.又当x> 2时，f(x) = 3>1恒成立.所以不等式的解集为{x|x> 1}.答案：{x|x > 1}集为研透高考・讲练区［典例］解下列不等式：(1) |2x+ 1|—2|x - 1|>0.x ,(2) |x + 3| —|2x—1|<2+ 1［解］(1)法一：原不等式可化为|2x+ 1|>2|x —1|,两边平方得4x2+ 4x+ 1>4(x2—2x + 1),1 1解得x>-,所以原不等式的解集为c x|x>1:4L 4,x<—2，法二：原不等式等价于2—2x+ 1 + 2 x—1 >0—2三x w 1, x>1,或或2x + 1 + 2 x —1 >0 2x+ 1 —2 x—1 >0.1 J 11解得X〉1，所以原不等式的解集为c x|x>4 r⑵①当x< —3时，原不等式化为一(x + 3) —(1 —2x)v：+ 1,解得XV1O,.・.x< —3.1 x2 2②当一3w xv；时，原不等式化为(x + 3) —(1 —2x)<x+ 1，解得xv —-,A—3w x< —-.2 2 5 5③当x>1时，原不等式化为(x + 3) + (1 —2x)<x+ 1,解得x>2 ,••• x>2.f r !综上可知，原不等式的解集为x|xv—2■或X>2：［方法技巧］绝对值不等式的常用解法(1) 基本性质法对 a € R +, |x|va? —a<x<a,|x|>a? xv —a 或x>a.(2) 平方法两边平方去掉绝对值符号.(3) 零点分区间法化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.［全练题点］1.求不等式|x — 1|— |x — 5|<2的解集.解：不等式|X —1| —|x — 5|V2等价于x>5,{x|x<4}.2•解不等式 x + |2x + 3|> 2.解：原不等式可化为 2 或x --—x — 3> 23x + 3 > 2. 1解得x w — 5或x > — 3.x<1 , 1 w x w 5, x>5,即或或故原不等式的解集—4<22x<84<2,{x|x<1} U {x|1 w x<4} U ?=或x<1,—x — 1 + x — 5 <211 w x w 5, 或 |x — 1 + x — 5<2x — 1 — x — 5 <2, x< — 3,所以原不等式的解集是 ix|x w — 5 或 x >—L3丿3.已知函数 f(x)= |x — 1|+ |x + a|, g(x)= |x — 2|+ 1.⑴当a = 2时，解不等式f(x)> 5;⑵若对任意x i € R ，都存在X 2 € R ，使得g(X 2)= f(x i )成立，求实数a 的取值范围. —2x — 1, x w — 2,f(x) = |x — 1| + |x + 2| =3, — 2<x<1,2x + 1, x > 1,解：(1)当a = 2时， x < — 2,$ 或 、一2x — 1 > 5—2<x<1,x > 1, 或 2x + 1> 5.解得x> 2或X W—3,.・.不等式f（x）》5的解集为（一8,—3]U [2 ,+^）.(2)•••对任意x i€ R，都存在X2^ R，使得g(X2)= f(x i)成立，二{y|y= f(x)}? {y|y= g(x)}.•••f(x)= |x—1|+ |x+ a|> |(x—1) —(x+ a)| = |a + 1|(当且仅当(x—1)(x+ a)< 0 时等号成立), g(x)= |x—2|+ 1 > 1,「.|a+ 1|> 1,:a + 1 > 1 或a + 1W —1,•'a > 0 或a < —2 ,•••实数a 的取值范围为(一^，― 2] U [0 ,+^).4. (2018湖北黄石调研)已知函数f(x)=|x—1|+ |x+ 3|.(1) 解不等式f(x) > 8;⑵若不等式f(x)<a2—3a的解集不是空集，求实数a的取值范围.r —2x—2, x<3,解：(1)f(x)=|x —1|+ |x+ 3|= 4, —3< x< 1,2x+ 2, x>1.当x< —3 时，由一2x —2>8,解得x< —5;当一3< x< 1时，4 > 8，不成立；当x>1时，由2x+ 2>8,解得x>3.•不等式f(x) > 8的解集为{x|x< —5或x> 3}.一 2 2 一(2) 由⑴得f(x)min= 4.又•••不等式f(x)<a —3a的解集不是空集，• a —3a>4，解得a>4或a<—1,即实数a的取值范围是(一a,—1) U (4 ,+8).突破点（二）绝对值三角不等式抓牢双基，自学区[基本知识]绝对值三角不等式定理［基本能力］1. 判断题(1) |a + b|+ |a — b|> |2a|.()(2) 不等式|a — b|w |a|+ |b|等号成立的条件是 ab < 0.( )答案：⑴“⑵V2. 填空题(1)函数y =|x — 4|+ |x + 4|的最小值为 _________ . 解析：'/|x — 4|+ |x + 4|> |(x — 4) — (x + 4)| = 8, 即函数y 的最小值为8. 答案：8⑵设a , b 为满足ab<0的实数，那么下列正确的是 ____________ . ① |a + b|>|a — b|② |a + b|<|a — b|③ |a — b|<||a| — |b|| ④ |a — b|v|a|+ |b| 解析：TabvO ,••|a — b|= |a|+ |b|>|a + b|. 答案：②⑶若存在实数x 使|x — a|+ |x — 1|w 3成立，则实数a 的取值范围是 __________ 解析：v|x — a|+ |x — 1|> |(x — a)— (x —1)| = |a — 1|, 要使 |x — a|+ |x — 1|w 3 有解，可使 |a — 1|< 3, —3w a — 1w 3,「・一2w a w 4. 答案：［—2,4］研透高考■讲练区1 1［例 1］ 已知 x , y € R ，且 |x + y|w 6，|x— y |w4，求证：|x + 5y|w 1.［证明］•••|x + 5y|= |3(x + y)— 2(x — y)|. •••由绝对值不等式的性质，得|x + 5y| = |3(x + y) — 2(x -y)| < |3(x + y)| + |2(x - y)| 1 1=3|x + y|+ 2|x — y|w 3X + 2X = 1.6 4 即 |x + 5y|w 1. ［方法技巧］证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明. ⑵利用三角不等式||a|— |b||w |a±)|w |a|+ |b|进行证明. (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明.［例2］ (2018湖南五市十校联考)设函数f(x) = |x — a|+ |x — 3|, a<3.19(1)若不等式f(x) > 4的解集为x| x w 2或x> 2 #，求a 的值；⑵若对？ x € R ，不等式f(x) + |x — 3|> 1恒成立，求实数 a 的取值范围.—2x + a + 3, x<a ,［解］(1)法一：由已知得 f(x)= 3 — a , a w x w 3,2x — a — 3, x>3, a — 1当 x<a 时，一2x + a + 3》4,得 x w ;7 + a 当 x>3 时，2x — a — 3》4，得 x 》~^. 19已知f(x)》4的解集为x| x w 2或x 》2 :则显然a = 2.法~:由已知易得f(x)=|x — a|+ |x — 3|的图象关于直线(2)法一:不等式f(x) + |x — 3|》1恒成立，即|x — a|+ 2|x — 3|》1恒成立. 一5当x w a 时，一3x + a + 5》0恒成立，得一3a + a + 5》0，解得a w 当a<x<3时，—x — a + 5》0恒成立，得—3— a + 5》0,解得a w 2;a + 3x =—厂对称，又f(x) > 4的解集为 x| x w 2或X 》2 :则 2 + 2= a + 3, 即 a = 2.当 x > 3 时，3x — a — 7> 0恒成立，得 9-a — 7> 0,解得 a < 2. 综上，实数a 的取值范围为(—g, 2］.法—:不等式f(x) + |x — 3|》1恒成立，即|x — a|+ |x — 3|》一|x — 3|+ 1恒成立, 由图象(图略)可知f(x)= |x — a|+ |x — 3|在x = 3处取得最小值 3— a , 而一|x — 3|+ 1在x = 3处取得最大值 1,故3— a > 1，得a w 2. 故实数a 的取值范围为(一g, 2］.［全练题点］11.［考点一］设函数 f(x)= x + - + |x — a|(a>0). a (1)证明：f(x)> 2;⑵若f(3)<5，求a 的取值范围. x + * + |x — a|> x + —(x — a ) = £ + a >2.当且仅当=1时等号成立.所以f(x) > 2.1(2)f(3) = 3 + 孑 + |3— a|.1 当 a>3 时，f(3) = a +一， a5 + V21 由 f(3)<5 得 3<a< 2—.1 当 0v a w 3 时，f(3) = 6— a +-, a 1 +V5 由 f(3)<5 得 厂<a w 3.2.［考点二］已知函数 f(x)= |x — m|— |x + 3m|(m>0). (1)当m = 1时，求不等式f(x)> 1的解集；⑵对于任意实数x , t ,不等式f(x)v|2 + t|+ |t — 1|恒成立，求 m 的取值范围.解：(1)f(x)= |x — m|— |x + 3m|-4m , x > m ,=—2x — 2m , — 3mvxvm ,4m , x < — 3 m.「— 2x — 2 > 1, 3当m = 1时，由 或x W — 3，得x W — 2,解：(1)证明：由a>0，有f(x)= 综上,a 的取值范围是—3<x<1 2- 3]• ••不等式f(x) > 1的解集为x| x W —2，：⑵不等式f(x)v|2 +1|+ |t—1|对任意的实数t, x恒成立，等价于对任意的实数x, f(x)<(|2 + t〔+ |t —1|)min 恒成立，即[f(x)]max V(|2 + t| + |t—1|)min,■-f(x)= |x—m|—|x+ 3m|w |(x —m)—(x + 3m)|= 4m,|2+ t|+ |t—1|> |(2+ t) —(t—1)|= 3,□ 3•'4mv3，又m>0 ,「.0vmv4，即m的取值范围是0, 3 .3.［考点二］已知函数f(x)= |x—2|, g(x)=—|x+ 3|+ m.(1) 解关于x的不等式f(x)+ a—1>0(a€ R);⑵若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围.解：⑴不等式f(x) + a—1>0,即|x —2|+ a—1>0.当a = 1时，原不等式化为|x—2|>0，解得x丰2,即解集为(一R, 2) U (2, +^);当a>1时，解集为全体实数R;当av1 时，|x—2|>1 —a(1 —a>0)，解集为(一^, a+ 1) U (3 —a,+ ).(2) f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即|x —2|>—|x+ 3|+ m对任意实数x恒成立，即|x —2|+ |x+ 3|>m 恒成立.又由绝对值三角不等式知，对任意实数x恒有|x—2| + |x+ 3|> |(x—2) —(x + 3)|= 5, 当且仅当(x—2)(x+ 3) W 0时等号成立.于是得mv5，故m的取值范围是(—8, 5).所以f(x)> 1的解集为{x|x > 1}.21. (2017 全国卷 I )已知函数 f(x)=— x + ax + 4, g(x)= |x + 1|+ |x — 1|.⑴当a = 1时，求不等式f(x) > g(x)的解集；⑵若不等式f(x)>g(x)的解集包含［—1,1］,求a 的取值范围. 解：⑴当a = 1时，不等式f(x)>g(x)等价于 x 2— x + |x + 1|+ |x — 1|— 4w 0. ①当x v — 1时，①式化为 x — 3x — 4w 0,无解；当一1w x w 1时，①式化为 x 2— x — 2w 0,从而一1 w x w 1 ；2当x > 1时，①式化为x + x — 4w 0,从而1 v x w—1+ 172所以f(x)> g(x)的解集为ix—1w x w—1 + 17所以f(x)> 1的解集为{x|x > 1}.(2)当 x € ［— 1,1］时，g(x) = 2.所以f(x)>g(x)的解集包含［—1,1］，等价于当x € ［— 1,1］时，f(x)>2.又f(x)在［—1,1］的最小值必为f(— 1)与f(1)之一, 所以 f(— 1) > 2 且 f(1) > 2,得一1 w a w 1. 所以a 的取值范围为［—1,1］.2. (2017 全国卷川)已知函数 f(x)= |x + 1| — |x — 2|. (1)求不等式f(x) > 1的解集；⑵若不等式f(x) >x 2— x + m 的解集非空，求 m 的取值范围.［- 3, xv — 1,解：(1)f(x)= 2x — 1，— 1 w x w 2,3, x >2.当x v — 1时，f(x) > 1无解；当一1w x w 2 时，由 f(x) > 1,得 2x — 1 > 1，解得 1 w x w 2； 当x >2时，由f(x)> 1，解得x >2.所以f(x)>1的解集为x| ：<x<2r.所以a 的取值范围是［2,+^).4. (2015 全国卷 I )已知函数 f(x)= |x + 1| — 2|x — a|, a>0. (1) 当a = 1时，求不等式f(x)>1的解集； (2) 若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于 6,求a 的取值范围.解: (1)当 a = 1 时，f(x)>1 化为 |x + 1| — 2|x — 1|— 1>0. 当x w — 1时，不等式化为 x — 4>0 ,无解； 当一1<x<1时，不等式化为 3x — 2>0 , ” e 2解得3<x<1 ；当x > 1时，不等式化为一x + 2>0，解得1 w x<2.2 2(2)由 f(x)>x — x + m ,得 m w |x + 1|— |x — 2| — x + x.22i ,z 3 ' 25 5w时3_ 2|x + 1|— |x — 2|- X 2 + x = 4.3. (2016全国卷川)已知函数f(x)= |2x — a|+ a. (1) 当a = 2时，求不等式f(x) w 6的解集；(2) 设函数g(x)=|2x — 1|.当x € R 时，f(x) + g(x) > 3,求a 的取值范围. 解：(1)当 a = 2 时，f(x) = |2x — 2| + 2. 解不等式 |2x — 2|+ 2< 6 得一1w x w 3. 因此f(x)w 6的解集为{x|— 1 w x w 3}.(2)当 x € R 时，f(x) + g(x)= |2x — a|+ a + |1— 2x|> 3, a1x ― 2+ 2— xa 11 a x —2 + 2— x 戶in =2—2所以3— a厂，解得a >2.故m 的取值范围为5.即 3 — a》2 .又x — 1 — 2a , xv — 1,(2)由题设可得 f(x) = i 3x +1 — 2a , — 1 w x w a ,—x +1 + 2a , x>a. 1-,0 , B(2a + 1,0),C(a , a + 1),2 2 △KBC 的面积为3(a + 1).2 2 由题设得3(a + 1) >6，故a>2.所以a 的取值范围为(2,+^).［课时达标检测］1. 已知函数 f(x)= |x + m|— |5 — x|(m € R ). (1) 当m = 3时，求不等式f(x)>6的解集；(2) 若不等式f(x) w 10对任意实数x 恒成立，求 m 的取值范围.解：(1)当m = 3时，f(x)>6，即|x + 3| —15 — x|>6,不等式的解集是以下三个不等式组解x > 5,集的并集.|x + 3— x — 5 >6 ,解得x > 5;—3<x<5,或 解得4<x<5;x + 3 + x — 5 >6,X w— 3,或解集是?.—x — 3 + x — 5 >6,故不等式f(x)>6的解集为{x|x>4}.(2)f(x) = |x + m|— |5— x|w |(x + m) + (5 — x)|= |m + 5|,由题意得 |m + 5|w 10,则—10w m+ 5 w 10,解得—15w m W 5，故m 的取值范围为［—15,5］. 2. (2018江西南昌模拟)已知函数f(x)= |2x — a|+ |x — 1|. (1)若不等式f(x) w 2— |x — 1|有解，求实数a 的取值范围；2a — 所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A•不等式 f(x)>4 的解集为(一3,- 2) U (0, +).⑵当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a 的值.a+ |x -1|> 2-1由不等式f(x)w 2- |x -1|有解,a2 -1 < 1，即0< a < 4. A 实数a 的取值范围是[0,4]. a a⑵由 2x -a = 0 得 x = 2，由 x - 1 = 0 得 x = 1,由 a<2 知彳<1,-3x + a + 1x<a , •••f(x)=x - a +1 2= x w 1 ,3x — a - 1 x>1 .函数的图象如图所示. , ,a •f(X)min = f 2 =- + 1 = 3 ,解得a =- 4.3. (2018广东潮州模拟)设函数f(x)= |2x + 3|+ |x - 1|. (1)解不等式f(x)>4 ;⑵若？ x € —3— 3，不等式a + 1<f(x)恒成立，求实数 解：(1)•••f(x)=|2x + 3|+ |x - 1|,3-3x - 2, x< - ,•••f(x)=x + 4, - 2w x < 1, 3x + 2, x>1,x< - 2,[-x w 1,x>1, f(x)>4，可化为或或[—3x — 2>4 jX + 4>43x+ 2>4，解得 x<— 2 或 0<x w 1 或 x>1.解:(1)由题意f(x)< 2 - |x -1|,即为a x -2 + |x - 1|w 1.而由绝对值的几何意义知 a x - 2a 的取值范围.⑵由⑴知，当XV — 3时，f(x)=— 3x — 2, 「 3」 5•••当 XV — 2时，f(x) = — 3x — 2>2，■'a + K 2，即 a w 34. (2018 长春模拟)已知函数 f(x)=|x — 2| — |x + 1|. (1)解不等式f(x)>1 ；当一1w x w 2时，原不等式可化为 2— x — x —1>1，即—1w x<0;当x<— 1时，原不等式可化为 2— x + x + 1>1，即x< — 1. 综上，原不等式的解集是 {x|x<0}. ⑵因为 g(x)= ax +1— 1>2 a — 1,当且仅当x =严时等号成立，a所以 g(x)min = 2 a — 1 ,1 — 2x , 0<x w 2,当 x>0 时，f(x) =I. — 3, x>2 ,所以 f(x)€ [— 3,1),所以 2 a — 1 > 1,即 a > 1, 故实数a 的取值范围是[1 ,+s ).5. (2018 湖北四校联考)已知函数 f(x)= e |x + a|—|x —b|, a , b € R. (1)当a = b = 1时，解不等式f(x) > e ; ⑵若f(x)w e 2恒成立，求a + b 的取值范围.解：(1)当 a = b = 1 时，f(x)= e |x +1|—|x —1|,由于 y = e x 在(—8,+^)上是增函数，所以 f(x)>e 等价于 |x +1| — |x —1|> 1,①当 x > 1 时，|x + 1|— |x — 1|= x + 1 — (x — 1)= 2，则①式恒成立;围.⑵当x>0时，函数g(x) =ax 2— x + 1x(a>0)的最小值大于函数 f(x),试求实数a 的取值范 解：(1)当x>2时，原不等式可化为x — 2 — x — 1>1，解集是•• ■实数a 的取值范围为 3.1当一1<x<1 时，|x+ 1|—|x—1|= 2x,①式化为2x> 1,此时㊁三x<1;当x w —1 时，|x + 1|—|x —1|=—2，①式无解.综上，不等式的解集是2，+ a /2(2)f(x) w e 等价于|x+ a|—|x—b|w 2,②因为|x+ a|—|x —b|w |x+ a—x + b|= |a + b|,所以要使②式恒成立，只需|a+ b|w 2,可得a+ b的取值范围是［—2,2］.26. (2018 湖北枣阳一中模拟)已知f(x)= |x—1|+ |x+ a|, g(a)= a —a —2.(1) 当a= 3时，解关于x的不等式f(x)>g(a)+ 2;(2) 当x€ ［—a,1)时恒有f(x)w g(a)，求实数a的取值范围.—2x—2, x w —3,解：(1)a = 3 时，f(x) = |x —1|+ |x+ 3|= 4,—3<x<1, g(3) = 4.2x + 2, x> 1,•••f(x)>g(a) + 2 化为|x—1|+ |x + 3|>6,—2x—2>6,4>6 ,2x+2>6,即或或x w —3,—3<x<1,X》1 ,解得x<—4或x>2.•所求不等式解集为(—a , —4) U (2 , + a ).⑵［—a,1).「.f(x) = 1 + a.2 _____________ 2•'•f(x)w g(a)即为1 + a w a —a—2，可化为a —2a —3》0,解得a》3 或a w —1.又—a<1 ,.°.a> —1.综上，实数a的取值范围为［3, + a).7. (2018 安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)= |2x —a|+ |2x+ 3|, g(x)= |x—1|+ 2.(1)解不等式|g(x)|<5 ；⑵若对任意X1 € R，都有x2 € R,使得f(x“= g(x2)成立，求实数a的取值范围.解：(1)由||x—1|+ 2|<5，得一5<|x—1|+ 2<5，•—7<|x—1|<3，解得-2<x<4，•原不等式的解集为{x|—2VXV4}.⑵•••对任意x i € R ，都有X 2€ R ，使得f(x i ) = g(X 2)成立,••{y|y = f(x)}? {y|y = g(x)}.又 f(x) = |2x — a| + |2x + 3|> |(2x - a) - (2x + 3)|= |a + 3|, g(x)= |x — 1|+ 2》2,「.|a + 3|》2,解得 a 》一1 或 a w — 5,•实数a 的取值范围是(一a,— 5] U [— 1 ,+s ).8.已知函数 f(x)= |3x + 2|. (1) 解不等式 f(x)<4 — |x — 1|;1 1⑵已知m + n = 1(m , n>0)，若|x — a| — f(x) w 二+ 7心>°)恒成立，求实数 解：(1)不等式 f(x)<4 — |x — 1|,即 |3x + 2|+ |x — 1|<4. 2当 x< — 3时，即一3x — 2— x + 1<4, 5 2解得—4<x<—32当―一w x w 1 时，即 3x + 2— x + 1<4,321 解得—3W x<2 ；当 x>1 时，即 3x + 2 + x — 1<4,无解. 综上所述，原不等式的解集为x| — 5<x<1 .(2) 丄 + 丄=+ 寸 jm +n)= 1 + 1 + - + 叫 4, m n m n m n1当且仅当m = n =寸时等号成立.令 g(x)= |x — a|— f(x) = |x — a|— |3x + 2| =r 22x + 2+ a , x< — 3, 彳 2—4x — 2 + a , — w x w a ,I3—2x — 2 — a , x>a.2 2•- x =— 2时，g(x)max = 3 + a ,要使不等式恒成立，3 3 2 10只需 g(x)max = 2 + a w 4, 即卩 0<a w 亍a 的取值范围.所以实数a的取值范围是0，詈.第二节不等式的证明本节重点突破1个知识点：不等式的证明.突破点不等式的证明学区［基本知识］（1）作差法的依据是： a —b> 0? a〉b.A⑵作商法：若B>0,欲证A> B，只需证B> 1.3. 综合法与分析法［基本能力］1. 判断题1⑴已知x为正实数，则1 + x+ - > 3.( )(2) 若a>2, b>2，则a+ b>ab.( )(3) 设x= a + 2b, S= a + b2+ 1 贝V S>x.( )答案：(1)2 (2)X (3) V2. 填空题1 1(1)已知a , b € R +, a + b = 2，则一 +二的最小值为 _________a b1 1=2，即-+ -的最小值为2(当且仅当a = b = 1时，“=”成立).a b答案：2(2) 已知正实数 a , b 满足2ab = a + b + 12,贝U ab 的最小值是 ________ . 解析：由2ab = a + b + 12,得2ab >2 ab + 12,当且仅当a = b 时等号成立.化简得(ab —3)( ab + 2)> 0,解得ab > 9,所以ab 的最小值是 9.答案：9111(3) 已知a , b , c 是正实数，且 a + b + c = 1,则：+ £+ ：的最小值为 _________ . 111 解析：把a + b + c = 1代入- + - + -,a b c'当且仅当a = b = c = 3时，等号成立. 答案：9⑷设x = a 2b 2 + 5 , y = 2ab — a 2 — 4a ,若x>y ,则实数a , b 应满足的条件为解析： 若 x>y ,贝U x — y = a 2b 2+ 5 — (2ab — a 2 — 4a)2 2 2=a b — 2ab + a + 4a + 52 2=(ab — 1) + (a + 2) >0 , ■'ab 丰 1 或 a ^ — 2. 答案：ab z 1或a ^— 2解析: •「a,b € R+,且 a +b = 2, •••(a + b) ：+ b = 2+ a + b 》2+ 24 a + ba +b +c a + b + c a + b + c研透高孝・讲练区［全比较法证明不等式析考法］平色一4 3 2[例 1] 求证：(1)当 x € R 时，1 + 2x >2x + x ;a ba + b(2)当 a , b € (0,+^ )时，a b >(ab)〒.432[证明](1)法一：(1 + 2x ) — (2x + x ) =2x 3(x — 1) — (x + 1)(x — 1) =(x — 1)(2x 3 — x — 1) =(x — 1)(2x 3— 2x + x — 1) =(x — 1)[2x(x 2— 1) + (x — 1)]2 2=(x — 1) (2x + 2x + 1) =(x 一 t)2 2x + 1 2+ 2 > 0, 所以 1 + 2x 4> 2x 3+ x 2. 法二：(1 + 2x 4)— (2x 3+ x 2) =x — 2x + x + x — 2x + 12 2 2 2=(x — 1) x + (x — 1)》0, 所以 1 + 2x 4> 2x 3 + x 2.a ab ba —b b — a =a ~~b ~~ a + b 2 2ab —•••当a = b 时，臨匸卢=1,aa — b当 a>b>0 时，b>1,〒>°,a + ba —b 亍0,••a a b b> (ab)［方法技2作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.111 ［例2］已知a, b, c>0且互不相等，abc= 1.试证明：叮a+ : b+ , c< a + C"［证明］因为a, b, c> 0,且互不相等，abc= 1,所以卄b+ 3 十+ ±+ab111111+ + +匚b c a c a b < ~r + ~r+~r1 1 1=_+ +_,a b c即V a^/b+/c< 中 + b+£综合法证明时常用的不等式［方法技巧］(1) a2> 0; |a|> 0.2 2(2) a + b > 2ab.a+ b — 1 a b a b(3) > ab,它的变形形式有：a+ -> 2(a>0); + >2(ab>0); + < —2(ab<0).b a2 ' a b a(1)求不等式f(x)< |2x+ 1|—1的解集M ;⑵设a, b€ M，证明：f(ab)>f(a) —f( —b).［解］(1)由题意，|x+ 1|<|2x+ 1|—1,①当x< —1时，不等式可化为—x — 1 <—2x —2,解得x<—1;1②当一1 < x<—1时，不等式可化为x+ 1 v—2x—2,解得x v—1，此时不等式无解；1③当x> —2时，不等式可化为x+ 1 v 2x,解得x> 1.综上，M = {x|x v—1 或x> 1}.(2)因为f(a) —f(—b)= |a+ 1|—|—b+ 1|< |a+ 1 —( —b+ 1)| = |a+ b|,所以，要证f(ab)> f(a) —f( —b),只需证|ab+ 1|>|a+ b|,2 2即证|ab+ 1| > |a+ b| ,o 9 2 2即证 a b + 2ab+ 1 > a + 2ab+ b ,即证a2b2—a2—b2+1 > 0,2 2即证(a —1)(b —1) > 0.因为a, b€ M ,所以a2> 1, b2> 1,所以(a2—1)(b2—1)>0成立，所以原不等式成立.［方法技巧］分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2+ b2> 2ab)、基本不等式< a y b, a>0 , b>0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途ab径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.［全练题点］1111.［考点三］设x> 1, y> 1，求证x+ y+ —W一+ ■+ xy.xy x y证明：由于x> 1, y> 1,丄 1 1要证x+ y+ w + + xy,xy x y只需证xy(x+ y)+ 1< y+ x+ (xy).因为[y+ x + (xy) ] —[xy(x + y) + 1]=[(xy)2- 1]—[xy(x + y)—(x+ y)]=(xy+ 1)( xy—1) —(x + y)(xy—1)=(xy —1)( xy —x —y+ 1)=(xy—1)(x—1)(y—1),因为x> 1, y> 1，所以(xy—1)(x —1)(y—1)>0,从而所要证明的不等式成立.2. [考点一]设不等式|2x —1|v 1的解集为M.(1) 求集合M.(2) 若a, b€ M，试比较ab+ 1与a + b的大小.解：(1)由|2x —1|v 1 得一1 v 2x—1v 1,解得O v x v 1.所以M = {x|0v x v 1}.(2)由(1)和a, b€ M 可知0v a v 1,0v b v 1,所以(ab+ 1) —(a+ b) = (a —1)(b—1)>0.故ab+ 1 > a + b.3. [考点二]已知a, b, c, d均为正数，且ad= bc.(1) 证明：若a+ d>b+ c,贝U |a—d|>|b —c|;(2) t • a2+ b2寸c2+ d2 a4+ c4+ p b4+ d4，求实数t 的取值范围.解：(1)证明：由a + d>b+ c,且a, b, c, d 均为正数，得(a + d)2>(b+ c)2，又ad=bc,所以(a —d)2>(b—c)2，即|a—d|>|b —c|.2.22 .2、 2 2 2 .2 . 2 2 . 2 .2 2 2 2 .2 2(2 )因为(a + b )(c + d ) = a c + a d + b c + b d = a c + 2abcd+ b d = (ac+ bd)，所以t: a2+ b 2 c2+ d2= t(ac+ bd).由于“ a4+ c4> . 2ac, b4+ d4> . 2bd,又已知t : a2+ b 2 c2+ d2 =1 a4+ c4+ ：b4+ d4,贝U t(ac+ bd)2(ac+ bd),故th.2，当且仅当a= c, b= d时取等号.［全国卷5年真题集中演练一一明规律］331. (2017 全国卷 n )已知 a>0, b>0, a + b = 2•证明: (1) ( a + b)(a 5+ b 5) > 4; (2) a + b <2.证明：(1)(a + b)(a 5 + b 5) = a 6+ ab 5+ a 5b + b =(a 3+ b 3)2 - 2a 3b 3 + ab(a 4+ b 4) =4+ ab(a 2 — b 2)2 > 4.⑵因为(a + b)3= a 3 + 3a 2b + 3ab 2+ b 3=2+ 呼，所以(a + b)3< 8,因此 a + b < 2.1 12. (2016全国卷n )已知函数f(x)= x — 2 + x + 2 , M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求 M ;⑵证明：当 a , b € M 时，|a + b|<|1 + ab|.1・—2x , x w — 2，一 1 1解: (1)f(x)= 1, — ^<x<2，I o 1 2x , x >2.1当 x w — 2时，由 f(x)<2 得一2x<2，解得 x> — 1, 1所以—1<x w 1；1 1当—2<x<2时，f(x)<2恒成立；1当 x > 2时，由 f(x)<2 得 2x<2，解得 x<1,1 所以?w x<1.所以 f(x)<2 的解集 M = {x|— 1<x<1}.2 2 2⑵证明：由(1)知，当 a , b € M 时，一1<a<1, — 1<b<1，从而(a + b) — (1 + ab) = a +=2+ 3ab(a + b) w 2 + 尺■ 23 a + b (a + b)i.22222b — a b — 1= (a — 1)(1 — b)vo.因此 |a + b|<|1 + ab|.［课时达标检测］11. (2018武汉调研)若正实数a , b 满足a + b = Q ,求证：.a +■ b < 1. 证明：要证^a + b < 1，只需证a + b +2 ab < 1, 即证2 ab < 2即证 ab w1 1而 a + b = 2》2 ,ab ,.「.ab <4成立, •••原不等式成立.2.已知函数f(x)=|x + 3|+ |x — 1|,其最小值为t.⑴求t 的值;1 4 9⑵若正实数a , b 满足a + b = t ,求证：：+ ”.解：(1)因为 |x + 3汁 |x — 1|=|x + 3| + |1 — x|> |x + 3+ 1 — x| = 4,所以 f(x)min = 4,即 即 t = 4.a b 14(2)证明：由(1)得 a + b = 4,故 4 + 4= 1, ； + b=Xb =5+ 1= 9，当且仅当b = 2a ,即a = 3 b = 3时取等号，故寸+b 寻3.设不等式一2<|x — 1|— |x + 2|<0 的解集为 M , a , b € M.(2)比较|1— 4ab|与 2|a — b|的大小，并说明理由. 解：(1)证明：记 f(x)=|x — 1|— |x + 2|\ — 2x — 1, — 2<x<1, —3, x > 1.由一2<— 2x — 1<0 解得一1 1 2vxv 2,1 2,(1)证明:1 1 13a + 6b <1；+弘1 + 1 +严+ b 三+4 4 4a b 4所以3a + 6b1111= 1x3 2 6 2 4i.■①整申>甘0 w (q——xz)(e+xz)汕^M」+_q +e -H L +-(q ——x z )——e +x z -A L + _q —— x z -+(M 运q +e ^(L )L + M ——X z + e +x £±H (x )4懸国・O A q・O A e星旦s >恤<删MM 適M8L0Z)・g•6V MN + A + x wco 公更O V 2Z+ZA+AX)Zi 」z+A+x)——z+A+XH6——*+、+ x 只0p<7L r J jz+A +X )(xz+ZA+AX)Z+ N + >+x(q x + 7Z)ij q z+7A)+(U A+7X)+',NI +q>l + q xZZ+ZA+ZX- S y s f l s v ^+^甘LHZHAHX汕N +-l >+¥L LLLLL■ t + 3(¥£)・ZAX*・2zAx・*»A、 ：O A —A L+L+L0AAXC2代Z +A +XX K(L)S•6V Z Z +Z A +Z X W CO s虫(0)NAX:-M w /w b即4十|;怪 L)CO H Z+A+X・(OO+ ・0)<u z >・x呈m (幸輕乏K 8L0Z)4■q——e-ZA_qen—— L-宦・z_q ——e_ncz_q£——L-m^O A P J q s L——A)丄q +qez——■孑——(q+qe8——L) J _q——e_0_q £二只KGG G G G G G Gr q・Y /e e (匸丑3又a>0, b>0，所以|a+ b|= a+ b,所以f(x)的最小值为a + b+ 1 = 2，所以a + b= 1.(2)由(1)知，a+ b= 1,所以1+ 4=(a+ b) 1+ b = 1+ 4+b+1!> 5 +2警=9，b 4a当且仅当石且a + b= 1,1 2即a = 3 b=彳时取等号.所以log3 a+ b》log39= 2 ,所以a+ b+ log3^ + 4P 1+ 2= 3，14、、即 a + log3 a + b》3-b.6. (2018长沙模拟)设a, 3, 丫均为实数.(1) 证明：|cos(a+ 31 w |cos a + |sin 3 , |sin(a+ 31 W |cos a|+ |COS 3；⑵若a+ 3+ = 0,证明：|cos a + |cos 3 + |cos Y> 1.证明：(1)|cos(a+ 3| = |cos acos 3— sin osin |cos acos 3+ |sin asin |cos a+ |sin 3；|sin( a+ 3|= |sin ocos 3+ cos osin |sin acos 3+ |cos osin 3 w |cos a|+ |cos 3.(2) 由(1)知,|cos[a+ ( 3+ Y]| w |cos(x|+ |sin( 3- Y|w |cos a + |cos 3 + |cos Y,而a+ 3+ Y= 0,故|cos a|+ |cos 3+ |cos Y》cos 0= 1.7. (2018安徽安师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数f(x)= |x —2|.(1)解不等式：f(x) + f(x+ 1) w 2;⑵若a<0 ,求证：f(ax)—af(x) >f(2a).解：(1)由题意,得f(x) + f(x+ 1) = |x —1|+ |x—2|.因此只要解不等式|x—1| + |x —2|w 2.1当x w 1时，原不等式等价于一2x+ 3w 2,即2 w x w 1;当1<x w 2时，原不等式等价于 1 w 2,即1<x w 2;当x>2时，原不等式等价于2x —3 w 2 ,即2<x w ；.1 5综上，原不等式的解集为x| 2w x w 5 .(2)证明：由题意得 f(ax)— af(x)= |ax — 2|— a|x — 2| = |ax — 2|+ |2a — ax|> |ax — 2 + 2a — ax|=|2a — 2| = f(2a),所以 f(ax)— af(x) > f(2a)成立.8. (2018 重庆模拟)设 a , b , c € R +且 a + b + c = 1.求证:c 2 1 (1)2ab + bc + ca +—三一； 2 22 a + c 2 b 2+ a 2 c 2+ b 2 + b + c > 2. b c a证明:(1)因为 1= (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca > 4ab + 2bc + 2ca + c ,当且仅当a = b 时等号成立，2所以 2ab + bc + ca +》=*(4ab + 2bc + 2ca + c 2)< 2.1当且仅当a = b = c = f 时等号成立.ac abab bc ac bc c b a cac +* +ab +石 + B +br =a b + c+ bc +a+(2)因为 2 2 b + a、2ab卩c cbc acb +b匚 》2a + 2b + 2c = 2,所以i当且仅当a = b = c = 3时等号成立.。

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.3．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)则ρ·ρ0＝12. 因为ρ0cos θ＝4，所以ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ， 即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝⎝⎛⎭⎫322. 知点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫32，0为圆心，半径为32的圆． 直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形易得|RP |的最小值为1.4．(2019·沈阳市教学质量检测(一))在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积． 解：(1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )．圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，因为圆C 的半径为1，所以△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.5．(2019·河南洛阳模拟)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2＋2sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2＋2sin φ(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0，2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4， 得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝4sin θ1，θ1＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎨⎧2ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝53，θ2＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝3.1．(2019·河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4a cos θ(a ＞0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝4，C 与l 有且只有一个公共点． (1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．解：(1)由题意，得曲线C 是以(2a ，0)为圆心，以2a 为半径的圆． l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0， 由直线l 与圆C 相切可得|2a －8|2＝2a ，解得a ＝43(舍负)．(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝163cos θ＋163cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝8cos θ－833sin θ＝1633cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 所以当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值1633.2．(2019·成都市第二次诊断性检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32ty ＝3＋12t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈(π2，π)．(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． 解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝32， 因为θ∈(π2，π)，所以θ＝2π3.(2)由题，易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝2π3（ρ≥0）ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3.所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，2π3，所以|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.3．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4.曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求曲线C 1、C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)因为C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，所以ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，即(ρcos θ)2＋4(ρsin θ)2＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以该曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1. 由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. 所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0.1ρ21＋1ρ22＝4sin2θ0＋cos2θ04＋4cos2θ0＋sin2θ04＝54.所以。

1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. 证明：因为(12＋12)[⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2] ≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎫因为ab ≤14. 所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. 2．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c 的最小值．解：因为(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎡⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18. 所以2a ＋2b ＋2c≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以2a ＋2b ＋2c的最小值为2.3．已知x ，y ，z 均为实数．若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．4．已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|. (1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.解：(1)当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3，6)； 当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)． 综上，f (x )的最小值m ＝3.(2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3， 因为b 2a ＋c 2b ＋a 2c ＋(a ＋b ＋c )＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫c 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫a2c ＋c ≥2⎝⎛⎭⎫b 2a·a ＋ c 2b·b ＋ a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c )． (当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取“＝”) 所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3.5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.解：(1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝3×38＝6， 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6.(2)证明：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)·(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.1．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n (n ≥2，n ∈N *)的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n .证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1， 则1c 1 >1c 2>…>1c n －1， 且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n . 故原不等式成立．2．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．解：(1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥ (a 2×2＋b3×3＋c ×1)2＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 3．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|. (1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0， 得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4. 当x <－32时，－x －32－x ＋32≤4，解得x ≥－2，所以－2≤x <－32；当－32≤x ≤32时，x ＋32－x ＋32≤4恒成立，所以－32≤x ≤32；当x >32时，x ＋32＋x －32≤4，解得x ≤2，所以32<x ≤2.综上，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2，2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r . 由柯西不定式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23)≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32＝9，即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9.因为13p ＋12q ＋1r ＝4，所以3p ＋2q ＋r ≥94，当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时，取等号．所以3p ＋2q ＋r 的最小值为94.。

1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小． 解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝34，所以cos α＝32或cos α＝－32， 故直线l 的倾斜角α为π6或5π6.2．以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α，(α为参数)．(1)判断两曲线C 和C ′的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25. 曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆； 曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，（x －3）2＋（y ＋4）2＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8；可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)． 4．(2019·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0. 曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1.圆心⎝⎛⎭⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离 d ＝|52|2＝5>1，所以直线l 与曲线C 的位置关系是相离． (2)设M ⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，(θ为MC 与x 轴正半轴所成的角)则x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.因为0≤θ<2π， 所以x ＋y ∈[－2，2]．5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )．(1)写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点M ，N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点，求△PMN 面积的最大值．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 直线l 的直角坐标方程为y ＝x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2－2x ＋y 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以点M ，N 的极坐标分别为(0，0)，⎝⎛⎭⎫2，π4.(2)由(1)易得|MN |＝ 2.因为P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点，设P 点坐标为(3cos θ1，sin θ1)． 则P 到直线y ＝x 的距离 d ＝|3cos θ1－sin θ1|2，所以S △PMN ＝12|MN |d ＝12×2×|3cos θ1－sin θ1|2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ1＋π62≤1，当θ1＝k π－π6，k ∈Z 时，S △PMN 取得最大值1.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ－sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2019·安徽省两校阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t (t为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t y ＝3＋2sin t，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎫2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为 d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos （t ＋π4）|2.所以d min ＝42＝22， 又|AB |＝2 2.所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.3．(2019·南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2ty ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2ty ＝1＋2t，所以其普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t y ＝1＋2t， 得2t 2－22t ＋1－4a ＝0.Δ＝(22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2t 1·t 2＝1－4a 2.根据参数方程的几何意义可知|P A |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|， 又|P A |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|， 即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2t 1·t 2＝2t 22＝1－4a 2， 解得a ＝136>0，符合题意．当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2， 解得a ＝94>0，符合题意．综上所述，实数a 的值为136或94.。

选修4-5不等式选讲题组1不等式的性质和绝对值不等式1.[2015 山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)2.[2015重庆,16,5分]若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在图1中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.图16.[2015 新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.题组2不等式的证明8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x-|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.9.[2015 新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(Ⅰ)若ab>cd,则+>+;(Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ac≤;(Ⅱ)++≥1.A组基础题1.[2018广东七校联考,23]已知函数f(x)=|x-a|-|2x-1|.(1)当a=2时,求f(x)+3≥0的解集;(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,求a的取值范围.2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m,n).(1)求m,n的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y≥16xy.3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若)-)<k存在实数解,求实数k的取值范围.4.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f(x)=|x-5|-|x-2|.(1)若∃x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的取值范围;(2)求不等式x2-8x+15+f(x)≤0的解集.B组提升题5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f(x)=|x-m|+|x+2|(m∈R),g(x)=|2x-1|+3.(1)当m=1时,求不等式f(x)≤5的解集;(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,23](1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值;(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证:++≥.8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f(x)=(x+1)2.(1)证明: f(x)+|f(x)-2|≥2;+[f(x)]2的最小值.(2)当x≠-1时,求y=)答案1.A当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A.2.-6或4当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f(x)=--,,--,-,-,-,f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f(x)=--,-,-,-,-,,f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,解得a=4.3.[-1,]|2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a2+a+2≤,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,即实数a的取值范围是[-1,].4.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0①.当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-.所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x≤-}.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f 1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].5.(Ⅰ)由题意可得f(x)=-,-, -,-, -,,y=f(x)的图象如图D 2所示.图D 2(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x<或x>5}.所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.6.(Ⅰ)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为{x|<x<2}.(Ⅱ)由题设可得f(x)=--,-,-,-,-,所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(-,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).7.(Ⅰ)由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2. (Ⅱ)f(3)=|3+|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是(,).8.(Ⅰ)由题意可得f(x)=-,-, ,-, ,当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1<x≤-;当-<x<时,f(x)<2恒成立;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(Ⅱ)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得+>+.②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 10.(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2 a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.A组基础题1.(1)当a=2时,由f(x)≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,∴,---或,---或,---,解得-4≤x<或≤x<2或x=2.综上,当a=2时,不等式f(x)+3≥0的解集为{x|-4≤x≤2}.(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2.故-2x-2≤x-a≤2x+2,即-3x-2≤-a≤x+2, ∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1,3]恒成立.∴a∈[-3,5].2.(1)由|x|+|x-3|<x+6,得,-或,或,--,解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)由(1)知9x+y=1.因为x>0,y>0,所以(+)(9x+y)=10++≥10+2=16, 当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+≥16,即x+y≥16xy..3.(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4,当a>0时,-≤x≤,所以--,,解得a=2;当a<0时,≤x≤-,所以-,-无解.所以a=2.(2)因为)-)=-≥--) =,所以要使)-)<k存在实数解,只需k>,所以实数k的取值范围是(,+∞).4.(1)f(x)=|x-5|-|x-2|=,, -,, -,当2<x<5时,-3<7-2x<3,所以-3≤f(x)≤3.所以m的取值范围是[-3,+∞).(2)原不等式等价于-f(x)≥x2-8x+15,由(1)可知,当x≤2时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为空集; 当2<x<5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5}; 当x≥5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x≤6}.B组提升题5.(1)当m=5时,f(x)=-), -), -),由f(x)>2得不等式的解集为{x|-<x<}.(2)因为二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,f(x)=-),--),-)在x=-1处取得最大值m-2,所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m≥4,所以实数m的取值范围为[4,+∞).6.(1)当m=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x≥-3,所以-3≤x≤-2;②当-2<x<1时,f(x)=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<x<1;③当x≥1时,f(x)=2x+1,由2x+1≤5,解得x≤2,所以1≤x≤2.综上所述,不等式f(x)≤5的解集为[-3,2].(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,设A={y|y=f(x)},B={y|y=g(x)},则A⊆B,因为f(x)=|x-m|+|x+2|≥|(x-m)-(x+2)|=|m+2|,g(x)=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m≥1或m≤-5,因此,实数m的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).7.(1)因为a>0,所以f(x)=|x+1|+|x-a|=--,-,,-, -,又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},解得a=2.(2)++=) )==≥(当且仅当a=b=c=时,取等号).8.(1)∵f (x )=(x+1)2≥0,∴f (x )+|f (x )-2|=|f (x )|+|2-f (x )|≥|f (x )+[2-f (x )]|=|2|=2. (2)当x ≠-1时,f (x )=(x+1)2>0,∴y=)+[f (x )]2=)+)+[f (x )]2≥3· )· )· )= ,当且仅当 )=)=[f (x )]2时取等号,即x=-1± 时取等号. ∴y= )+[f (x )]2的最小值为.。