数列极限中的典型例题

证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。

对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。

接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。

对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。

因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。

题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。

高数数列极限经典例题高数数列是数学中重要的概念，它定义了一个数列中每一项的表达式，以及每一项和前面项之间的关系。

极限是描述数列无限接近某个值的重要概念，也是高数中最重要的内容之一，比较经典的例题是必须要掌握的。

首先，让我们来看一个经典的极限例题：求函数y=x3-3x2+3的极限，当x趋近于1的时候。

这道题的步骤是，先求x接近1时，函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近1时，函数值的上限是x3-3x2+3+Δx，下限是x3-3x2+3-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

接下来，我们可以利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于1时，函数值的极限就是x3-3x2+3。

通过这个例题，我们不仅学会了求函数极限的方法，还学会了求解其他类似例题的步骤。

再来看一道比较典型的极限例题：求函数y=2x2-2x+1的极限，当x趋近于0的时候。

这道题的步骤也是先求函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近0时，函数值的上限是2x2-2x+1+Δx，下限是2x2-2x+1-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

再利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于0时，函数值的极限就是2x2-2x+1。

可以看出，这两道极限例题，在步骤上有些类似，只是数值上的差别。

解决时只要注意函数的表达式，分析x趋于某个值时，函数值的上下限，从而利用极限定义求解极限。

当然，极限例题远不止上面两道，在解决这类例题的时候要更加熟悉解决的技巧，多练习解出一些类似的经典例题，以便应对考试中可能出现的问题。

以上就是关于高数数列极限经典例题的几个介绍，以帮助大家更好地理解极限和掌握求解极限的技巧。

当然，要想真正掌握极限知识，不能只依靠死记硬背，而要形成自己独立思考和解决问题的能力。

例题1．在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n，S n，成等比数列。

（1）求a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想a n的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求a n。

1..解析：∵a n，S n，成等比数列，∴（n≥2）（*）（1）把a1=1，S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得：把a1=1，，代入（*）得：。

同理可得：由此可以推出：（2）（i）当n=1，2，3，4时，由（*）知猜想成立。

（ii）假设n=k（k≥2）时，成立。

故∴或（舍去）由得即n=k+1时，命题也成立。

由（i）（ii）可知，对一切n∈N成立。

（3）由（2）得数列前n项的和，所有项和（4）对于{a n}的通项还可以这样来求：∵，∴，故是以为首项，为公差的等差数列故，注：对于含有a n，S n的关系式中，常将a n用S n－S n－1（n≥2）代（或S n+1－S n用a n+1代），化成S n，S n+1（或a n，a n+1）的递归关系式。

例1.数列{a n}满足下列条件，求其通项公式a n。

(1)a1=1，(2)a1=2，(3)a1=2，{a n}的前n项和S n满足解：(1)……将以上各式叠加，得∴又n=1时，(2)……将以上各式叠乘，得∴a n=n(n+1)(n≥2)当n=1时，1×(1+1)=2 = a1∴a n=n(n+1)(n∈N*)(3)∴2S n-1S n=S n-1-S n(n≥2)在上式两边同除以S n S n-1，得∴数列为首项，公差为2的等差数列。

例2、在等差数列{a n}中(1)若a p=q，a q=p(p、q∈N*且q≠p)，求a p+q；(2){a n}共有n项，其前四项之和为124，其最后四项之和为156，其所有项之和为210，求项数n；(3)若{a n}前n项和记为S n，且有，求S m+n的范围解：(1)∵a q=a p+(q-p)d∴a p+q=a p+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0(2)∵a1+a2+a3+a4=124a n+a n-1+a n-2+a n-3=156∴(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+(a4+a n-3)=280∴4(a1+a n)=280∴a1+a n=70∴n=6(3)设前n项和将以上两式相减得：两边同除以m-n，得例3、在数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=1，S n+1=4a n+2(n∈N*) (1)设b n=a n+1-2a n，求证数列{b n}为等比数列并求其通项公式；(2)设，求证数列{C n}是等差数列并求其通项解：(1)∵S n+1=4a n+2∴S n+2=4a n+1+2将以上两式相减，得a n+2=4a n+1-4a n∴a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n)又s2=4a1+2=a1 +a2∴a2 =5∴数列{b n}是以b1=a2-2a1=5-2=3为首项，q=2为公比的等比数列。

数列极限概念与性质例题和知识点总结一、数列极限的概念数列是按照一定顺序排列的一列数，例如1，2，3，4，…，n，… 。

数列极限则是描述当数列中的项数无限增大时，数列的取值趋近于某个确定的常数。

用数学语言来表示，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。

通俗地说，就是当数列的项数变得非常大时，数列的项与某个常数A 的距离可以任意小。

二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列｛an} 有极限，那么极限值是唯一的。

2、有界性：如果数列｛an} 有极限，那么数列｛an} 一定是有界的。

3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A ，且 A ＞ 0 （或 A ＜ 0 ），那么存在正整数 N ，当 n ＞ N 时，an ＞ 0 （或 an ＜ 0 ）。

三、数列极限的例题例 1：求数列｛1 ／ n} 的极限。

解：对于任意给定的正数ε ，要使｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε ，即 1 ／ n＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。

取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 （其中 x 表示不超过 x 的最大整数），当 n ＞ N 时，｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。

所以lim(n→∞） 1 ／ n ＝ 0 。

例 2：证明数列｛（－1)＾n ／ n} 的极限为 0 。

解：对于任意给定的正数ε ，因为｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＝ 1 ／ n ，要使 1 ／ n ＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。

取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 ，当 n ＞ N 时，｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。

所以lim(n→∞）（－1)＾n ／ n ＝ 0 。

例 3：判断数列｛n ／（n ＋ 1)｝的极限。

解：lim(n→∞） n ／（n ＋ 1) ＝lim(n→∞） 1 ／（1 ＋ 1 ／ n)当n → ∞ 时，1 ／n → 0 ，所以 1 ／（1 ＋ 1 ／n) → 1 。

1Chapi数列的极限1.设X n 0 n 1,2,L 及lim X nn a ,用N语言, 证明：证Q X n 0 , a 0.(1)当a 0时, 那么lim x nn 0,下证lim T X nn P0.0, 则存在N 0,当n N 时，0 Xn X n 0Hm 7X70.⑵当a 0时，0,存在N坂V a X n a X n0|，此即j xn0,XiX n a 需.综上两方面，2.已知limnX n a,用N语言, 证明: Hm(1 ) 0时，那么lim X nn0, 0, 存在0,X nX n a,此即lim y xnn '0时，因为需. V Xn^aX n a Q lim x nn|Xna,则对lim ^X7 需. n0.0,存在N 0,5.3. （算术平均收敛公式）设lim X n a .令n由施笃兹公式X 1 X 2 L X n 证法X 1 X 2nL X---- n,求证：limnn a .4. li mn证法li mnli mnli mnX 1 X 2 L X n X n X 1 n 1X 2 L X n 1 由limnXn0,存在N j 0,使当nN i 时,X 1 X 2 LX nn令cX 1 a 1 L X 1 X 2 LX nn存在 N 2 0, 使当 再令 NmaX N 1 X 1 X 2 LX n2aX N IannX n a,N 2 lim n limnnnX iX N 1a X N IX n那么N 2时，有一n，故当n N 时，由①,②有LX n（几何平均收敛公式）设X n 0lim y X 1X 2L X n a .nlim y X 1X 2 L 证明：lim V anX nn 1,2, L .且 lim X n n证 Q lim X na , limln x nnn再由算术平均收敛公式可知1In^ l nX 2 L Inx nalim e ne a .n其中a 1.a .证明：Ina .则 0,依伯努利不等式，有n11 n 1 n a n1 ,6 .7 .8 .要na 1证明：若limn证由题设a na*limn,只要a,an从而当n N时总有所以则limna,a na n当且仅当a 0时,逆命题也成立.设a R,证当nna n要使只需即若取所以limn且a 1,用0.数列a 1 a 1.所以，有n ——.取N ——,则当a.当且仅当a为何值时逆命题也成立.0,a na nN语言,证明：N 0,当n N时，皆有a nlimn0.2（由二项展开式得）n 1 a 1利用单调有界性证明：设x 1，则当n N时, 就有1,a R是无穷小序列.,y 1 b 0,且Xi 1 4^nX ny nX n Y n .n 1,2, L .则 lim X nnlim Y n .n0，Y nY n 1X n 1Y n 1X n 单调增加, Y n 单调减少X n所以X n ， y n 有界.即lim X nn对Y n9.证明：数列 记X nX n Y nX n Y n2(X n Y nX n1，X nX Y n2Y n Y 1,A , lim nXn Yn两边取极限，得单调增加， 数列a n，Y na1 a2X n 单调增加，Y n所以X n , Y n 单调有界Y n X n X 1，Y nB 存在.B .1单调减少，两者收敛于同一极n 1，由平均值不等式a nX n1 ，n 1nz n 1单调减少，且1 X 1 X n Y n，必定收敛.由Y n Y n 1y 1X n11，知它们有相同的极限.即 nn1e .10.证明：若aI n证由上例知即有不等式a n即a n 单调减少有下界 11.设数列x n 满足：x 0 求 Iimx n .n证 X 01, X 1 72用数学归纳法可证2n12 丁X nn Inn .则数列01收敛. an 1 an1 12 2 In — +In 1,所以1,Xn122, X 20,1,2LI nan ,两边取对数得，I n I n1Inn nL In — n收敛.1 InIn nIn nJ 2X n ，n 1,2,3L .证明：数列x n 收敛，并72x 12n12n由①式知x n1X n0,1L L即X n 单调递增. 再由①式知1 x nX n收敛.设Iim x na ,则a 1.n两边取极限有：a 72a .a 2 2a ,又 Qa 0.a 2,即lim X n 2 .n12.设a 0, 0 X1 a, X n 1 X n 2 生,n 1,2,3L a .证明：数列Xn 收敛，并求其极限.证先用数学归纳法证明0 X n a, n N1时,结论成立,归纳假设结论对n成立,再证n 1时,因为X n 1 X nX n2 —a1一X naX n 即①式成立X n 1X nX n 单调递增, 且有上界. lim X n存在. 设为lim 焉n nX n 1 X n 2X n两边取极限得由①式及X n单调递增, 显然b 0,由②式解得b a.lim X n a .n。

单调有界数列必有极限例题
例题：考虑数列 an = (-1)^n / n，证明该数列是单调有界的，
并求其极限。

证明该数列是单调有界的：
首先，我们观察到该数列的前几项：a1 = -1, a2 = 1/2, a3 = -1/3, a4 = 1/4, … 可以发现，奇数项是递减的，偶数项是递增的。

因此，该数列是交替的递减递增的，即单调的。

其次，我们来证明该数列有上下界。

数列的所有项的绝对值都小于等于1，因此数列有上界。

此外，当 n 趋向无穷时，数列的绝对值趋向于0，表明数列有下界。

因此，根据单调有界数列的定理，该数列必有极限。

求极限：
我们来计算该数列的极限。

当 n 是偶数时，an = 1/n，当 n 是奇数时，an = -1/n。

不失一般性，我们只考虑 n 是偶数的情况，因为奇数的情况可以类似地进行讨论。

当 n 是偶数时，
an = 1/n = 1/(2k)，其中 n = 2k。

当 k 趋向无穷时，lim (k→∞) 1/(2k) = 0。

因此，该数列的极限是0。

这里就有几个这样做法的例题，均为采用加1 的做法。

就只想弄懂一定：到底有没有必要“+1”？• 26 •例1证明数列的极限是1.亠n为了使上-“I 小于任总给定的正数£（设£<1）,只要 丄<e或”〉丄.n e所以，W E >0 .取N= [ + ] •则当>/>N 时•就有即1屛4（一门"—.不等式|匸・tl|<E 必定成立•所以•取N= --1，则当 矶已知•"倍•证砲列G 的扱限是。

・（-!）•5"厂° Vc>0 (ift Y1)■只枣或”洱・1证lx (n + i)}<VTT->N 时就有(-D" n /(7ny° 5|叫(［爲=().. • 26 •*…仆十I)-*3-根据数列极限的定义证明:(2)(3) Hrn /2±Z =1ITY >n ⑷亞0. 999^=1.证 ⑴ 因为要使|+一0|=+<@,只要几>卡,所以办>0,取N=［打 则当n>N 时，就有怜一0 <e» ffllim^=0.⑵因为IlSbi •卜总师<羔要使|鶉-引0只要 即"〉右所以Ve>0,取N=［打则当 QN 时.就有|1|<€, 注 本题中所采用的证明方法是:先将比一川等价变形，然后适当放大•使N 容 易由放大后的世小于€的不等式中求出•这竝定义证明极限的问题中是经常采用的.要使 血吾| <c ■只要磊即”〉場.所以Ve>0,取N=［熾］则 当”〉N 时，就有 血王疋_1 <€,即lim 坐土艺=1. n LOO n即lim JT 3并+1 2刀+1 3 2* （3）因为I n 2n 2（4）因为|0. 999^9-l|=y~，要使|0・ 999^?-l|<e,只要^<e.即n>lg-,所以Ve>0（不妨设€<1）,取N=）g丄］，则当n>N时，就有C L. €」。

数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。

而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。

在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。

本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。

练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。

解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。

通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。

2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。

解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。

洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。

求数列极限的典型例题1. 数列极限的基本概念好吧，咱们先聊聊“数列极限”是什么东西。

听到这个词，有些小伙伴可能会觉得有点晦涩，但其实它就像是在你追求目标时，永远朝着一个方向走。

比如说，你在吃泡面，面条一根接一根地煮，最后不就是想要那碗美味的泡面吗？数列极限就像是那些面条，随着时间的推移，越来越接近那个最终的目标。

简单说，就是数列中的数字越来越接近某个固定的数值。

1.1 数列的构成首先，咱们得明白，数列其实就是一串数字的集合。

就像你收集邮票，或者存钱，都是一点一点积累起来的。

这些数字可以是任意的，但一旦它们有了某种规律，那就更有意思了！你可以想象一下，一个数列就像是一条蜿蜒的小路，有高有低，有起有伏，但总是朝着某个地方前进。

1.2 极限的意义接下来，咱们聊聊极限。

极限就是指，当你无限接近某个值时的状态。

就好比你追一个人，越追越近，最后你们总会碰到一起。

极限让我们可以理解数列在无穷远处的行为，仿佛是在做一个长途旅行，虽然现在离目的地还远，但心中早已打定主意，不达目的誓不罢休。

2. 常见的数列极限例题现在，咱们来点实际的，举几个例子，让大家更加明白数列极限是怎么回事。

比如，咱们来看一个很经典的数列：( a_n = frac{1{n )。

当 ( n ) 变得越来越大时，这个数列的值会趋向于0。

听起来简单吧？但实际上，它在告诉我们一种深刻的哲理：无论你多么强大，总会有一种力量能让你慢下来。

2.1 例子解析咱们再来看看另一个数列：( b_n = frac{n{n+1 )。

当 ( n ) 越来越大时，这个数列的极限也会趋近于1。

这个过程就像是你在考试前努力复习，结果最后都快要考满分了。

其实，每个数列的极限都藏着一个故事，你只需细心观察。

2.2 直观理解更直观地说，如果你想知道一个数列的极限，可以试试图形化的方式。

比如，画一条图线，随着 ( n ) 的增加，你会发现它越来越接近某个水平线。

这种图形就像是生活中的风景，虽然一路上风景各异，但终究你会看到那条直线，心中默念：“终于到了！”3. 求极限的技巧与方法当然，求极限的方法也有很多，咱们简单聊几个。

证明数列极限的题目及答案关键信息项：1、数列的表达式：＿___________________2、所给定的极限值：＿___________________3、证明所使用的方法：＿___________________4、证明过程中的关键步骤和推理：＿___________________5、最终得出结论的依据：＿___________________11 题目设数列｛an} 满足 an ＝（n ＋ 1) ／ n ，证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

111 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 1| ＜ε 成立。

＼＼begin{align}｜an 1| ＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1}｛n} 1\right|＼＼＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1 n}｛n}＼right|＼＼＆＝＼frac{1}｛n}＼end{align}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。

所以取＼（N ＝＼left\frac{1}｛ε}＼right ＋ 1\）（其中＼（＼cdot\）表示取整函数），当＼（n ＞ N\）时，有＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼），即＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），所以＼（｜an 1| ＜ε\）。

综上，根据数列极限的定义，当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

12 题目设数列｛bn} 满足＼（bn ＝＼frac{1}｛n}＼），证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛bn} 的极限为 0 。

121 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，＼（｜bn 0| ＜ε\）成立。

＼｜bn 0| ＝＼left|＼frac{1}｛n} 0\right| ＝＼frac{1}｛n}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。