2017-2018学年辽宁省沈阳市第二中学、本溪市高级中学等五校联考高二数学上期中考试试题(含答案)

辽宁省本溪市2017—2018学年高二数学上学期期末考试试题 文考试时间：120分钟 满分:150分说明：1.考试前，考生务必按要求在答题卡和答题纸上正确填涂考生信息；2.第I 卷为选择题，请用2B 铅笔将答案涂在答题卡上，写在试卷上的答案无效；3.第II 卷为主观题，请用黑色字迹钢笔或签字笔书写在答题纸指定区域，写在试卷上的答案无效;4。

考试结束后,请交回答题卡和答题纸.第I 卷（选择题60分）一、选择题（共12小题,每小题5分，共 60 分。

）1。

已知复数z 满足2zi i ⋅=-，则z =（ ）A 。

12i --B. 12i - C 。

12i -+ D. 12i +2.命题“∃ EMBED Equation.DSMT4 x Z ∈，使220x x m ++≤”的否定是( )A ．∃ EMBED Equation.DSMT4 x Z ∈，使220x x m ++>B ．Z x ∉∃，使220x x m ++> C ．Z x ∈∀，都有220x x m ++≤ D ．Z x ∈∀，都有220x x m ++>3.已知平面向量a ，b 满足()5aab ⋅+=，且2a =,1b =，则向量a 与b 夹角的正切值为（ ）A. B.C.D.-4．已知s i n 2c o s αα=,则sin(2)2πα+=（ ）A ．35-B ． 45-C ．D ．5．已知{}na 为等差数列，9,105642531=++=++a a a a a a .以nS 表示{}n a 的前n 项和，则使得nS 达到最大值的n 是（ )A ．18B ．19C ．20D ．216.若抛物线x y 42=上一点P 到x 轴的距离为32，则点P到抛物线的焦点F 的距离为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.已知向量),(y x a = ,若实数x ,y 满足503x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则a的最大值是（ ） A.43B.32C.522D.738．设P在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上，F 1，F 2 是该双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2=90°,且F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.己知60π-=x 是函数()s i n (2)f x x ϕ=+的一个极小值点，则()f x 的一个单调递减区间是（ )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3465ππ，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛653ππ，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2D ．⎪⎭⎫⎝⎛ππ，3210.设0,0a b >>,若3是33a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为（ ）A. B 。

2017—2018学年度上学期沈阳市效联体期末考试高二试题数学（理科）第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的准线方程为；故选D.2. 下列说法正确的是：（）A. 若命题，则；B. 命题已知，若，则或是真命题；C. 设，则是的充分不必要条件；D. ，如果，则的否命题是，如果，则【答案】B【解析】“命题”的否定是“”，即选项A错误；命题“已知，若且，则”是真命题，所以其逆否命题“已知，若，则或“是真命题，即选项B正确；故选B.3. 直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条【答案】C【解析】因为，即点在抛物线上，所以过点且与抛物线相切时或过点与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线只有一个公共点，即这样的直线只有两条；故选C.点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系，解决本题的关键在于先要验证点是否在抛物线上，验证完再利用抛物线的图象和几何性质进行处理，而与抛物线的对称轴平行的直线是学生容易忽视的知识点.4. 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，即，即，即该双曲线的离心率为；故选C.点睛：本题考查双曲线的标准方程和几何性质；在由双曲线方程写其渐近线方程时，往往先判定该双曲线的焦点所在坐标轴，是哪种标准方程，比较麻烦；可记住一些结论，如：双曲线的渐近线方程为，以直线为渐近线的双曲线方程可设为.5. 已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】记“其中一枚为五角硬币”为事件，“两枚都是五角硬币”为事件，则，，所以“已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币”的概率为；故选D.6. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入袋中的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以；故选D.7. 展开式中的系数为（）A. 92B. 576C. 192D. 384【答案】B【解析】展开式中含的项为，即的系数为576；故选B.........................点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路：（1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将化成，再利用两次二项式定理进行求解.8. 设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，因为轴，且，所以，又动点在圆上，所以，化简，得，即点的轨迹方程为；故选B.9. 我们可以用计算机产生随机数的方法估计的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（中用函数来产生的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计的近似值为（）A. 3.144B. 3.154C. 3.141D. 3.142【答案】A【解析】根据函数的定义，得每次循环产生的是大小属于区间的三个随机数（可以看成在棱长为1的正方体内），而判断语句表示的在以原点为球心、半径为1的球内，由程序框图，得循环体共循环了1000次，输出，即随机数在八分之一球的内部的次数为524，由几何概型的概率公式，得，解得；故选A.10. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程为，且与抛物线交于点，联立，得，则，则或；故选C.点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系；再处理直线与抛物线的位置关系时，往往设直线方程为的形式，这样可以避免讨论直线无斜率的情况，且联立方程组、整理方程时的运算量较小.11. 已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则（）A. -4B.C. 4D. 6【答案】A【解析】设，则，，，两式相减，得，即，即，同理，得，所以；故选A.点睛：本题考查双曲线的弦的中点问题、直线的斜率公式；在处理圆锥曲线的弦的中点问题时，往往利用点差法（将点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减）进行求解，运算量比联立方程小，但要注意验证直线和圆锥曲线是否相交.12. 2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①②③④其中正确的式子的序号是（）A. ②③B. ①④C. ①③D. ②④【答案】B【解析】因为，所以，即①正确，由图可得，所以，即②错误；由，得，即，即，即，即③错误，且，即④正确；故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 为了了解2000年学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为__________．【答案】91【解析】采用系统抽样的方法从全体2000个学生中抽取容量为100的样本，则先分成100组，每组20人，即号码间隔为20，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为.14. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为__________．【答案】【解析】因为该双曲线与椭圆有相同的焦点，所以以直线为一条渐近线的双曲线可设为，则，解得，即该双曲线的方程为.点睛：本题考查双曲线和椭圆的几何性质；已知双曲线的渐近线求双曲线方程时，往往要讨论双曲线的焦点在哪一条坐标轴上，比较麻烦，记住以下结论可避免讨论，以直线为渐近线的双曲线方程可设为，再利用所给条件进行求解.15. 如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】易知直线的方程为，直线的方程为，联立得，又，所以，，因为为钝角，所以，即，化简得，即，所以，解得或，又，所以.点睛：求圆锥曲线的离心率的值或范围是常见题型，其主要方法有：（1）直接利用离心率公式；（2）利用变形公式：在椭圆中，在双曲线中，（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同除以即可求解16. 过轴上定点的动直线与抛物线交于两点，若为定值，则__________．【答案】-8【解析】设直线，联立，得，设，则，则，同理，得，则若是与无关的定值，则，解得.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，命题，命题已知方程表示双曲线．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】试题分析：（1）利用双曲线标准方程的特点进行求解；（2）先利用真值表判定两个简单命题的真假，再利用数集间的运算进行求解.试题解析：（1）若为真命题时：，∴，∴；（2）若为真命题时：，∴，为真命题，为假命题，则一真一假，即或，解得或，∴的范围为．18. 高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于（单位：）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于（单位：）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据茎叶图中的数据写出各自中位数即可；（2）利用组合数公式和对立事件的概率公式进行求解；（3）写出随机变量的所有可能取值，求出每个变量的概率，列表得到其分布列，进而利用期望公式进行求解.试题解析：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件，，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；（3）的可能取值为0，1，2，3，，，，∴的分布列为．19. 已知点与点的距离比它的直线的距离小2．（1）求点的轨迹方程；（2）是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义进行求解；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积为0进行求解.试题解析：（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，即动点到的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，则点的轨迹方程为；（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，设直线的方程为，联立方程，消去，可得，即，，，由题意知，即，则，∴，∵，∴，∴直线的方程为，∴直线过定点，且定点坐标为；法二：假设存在定点，设定点，∵，∴，∴，又∵在抛物线上，即代入上式，可得，∴，又∵三点共线，∴，∴，∴假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．20. 某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失则取，且的概率等于经济损失落入的频率）。

2018年辽宁省五校高二下学期期末联考数学（文）试题必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1P x x =>，{}2|0Q x x x =->，则下列结论正确的是（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．P Q =D ．P Q R =U2.由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理3.四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程和相关系数r ，分别得到以下四个结论：① 2.35 6.42,0.93y x r =-=- ② 3.47 5.65,0.95y x r =-+=- ③ 5.438.49,0.98y x r =+= ④ 4.32 4.58,0.89y x r =--= 其中，一定不正确的结论序号是（ ）A ．②③B ．①④C ．①②③D ．②③④4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设没有一个钝角C. 假设至少有两个钝角 D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角5.已知复数1266,2z i z i =+=，若12,z z 在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则||=z （ ）A ．5 C. 10 D ．25 6.下列选项中，说法正确的是（ ）A ．命题“2,0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈->” B ．命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件 C.命题“若22am bm ≤，则a b ≤”是假命题D ．命题“在ABC ∆中，若1sin 2A <,则6A π<”的逆否命题为真命题 7.已知函数()2,2()1()1,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩满足对任意的实数12x x ≠都有()1212()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞B ．13(,]8-∞ C. (,2]-∞ D ．13[,2)88.下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象与直线x a =可能有两个交点；B ．函数22log y x =与函数22log y x =是同一函数；C.对于[],a b 上的函数()y f x =，若有()()0f a f b <g ，那么函数()y f x =在(),a b 内有零点； D ．对于指数函数()1x y a a =>与幂函数()0n y x n =>，总存在一个0x ，当0x x >时，就会有xna x >．9.已知()y f x =是偶函数，当0x >时，()()21f x x =-；若当1[2,]2x ∈--时，()n f x m ≤≤恒成立，则m n -的最小值为（ ）A ．1B ．12 C. 13 D ．3410.已知函数9()41f x x x =-++，()0,4x ∈，当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系中函数()||1()x b g x a+=的图像为（ ）A ．B ． C. D ．11.已知函数()f x 是在定义域R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞单调递增，若实数a 满足()2102(log )(log 21a f f f +≤，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．1(0,]2 C. 1[,2]2D ．(0,2]12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()()2f x f x -=+，()21f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A ．()2,-+∞B ．()2,+∞ C. ()1,+∞ D ．()0,+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是 ．14.已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图像都过1(,2)2P ，如果123()()()4f x g x h x ===，那么123x x x ++= ．15.甲、乙、丙、丁四人分别去买体育彩票各一张，恰有一人中奖．他们的对话如下，甲说：“我没中奖”；乙说：“我也没中奖，丙中奖了”；丙说：“我和丁都没中奖”；丁说：“乙说的是事实”．已知四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，由此可判断中奖的是 ．16.若()()()f x h x ax b g x ≥=+≥，则定义()h x 为曲线()(),f x g x 的ψ线．已知()tan f x x =，[0,)2x π∈，()sin g x x =，[0,)2x π∈，则()(),f x g x 的ψ线为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图（如图所示）：若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此22⨯列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关：附：参考数据：（参考公式：2211221212211212()n n n n n n n n n n χ++++--=）18.已知命题:p “[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题:q “2,220x R x ax a ∃∈++-=”．若命题“p q ∧”是真命题，求实数a 的取值范围．19.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切,0x y >，满足()()()xf f x f y y=- （Ⅰ）求()1f 的值；（Ⅱ）若()61f =，解不等式()13()23f x f +-<．20.已知函数()32113f x x x ax =+++，且曲线()y f x =在点()0,1处的切线斜率为-3. （Ⅰ）求()f x 单调区间； （Ⅱ）求()f x 的极值．21.设函数()()1ln 0f x ax x a x=+>． （Ⅰ）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()g x f x ax =-，若()0g x ≥恒成立，求a 的取值范围选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线2C 的方程为y =，以O为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11||||OA OB +． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|||1|f x x b x =+--+，()222|||2|g x x a c x b =+++-，其中,,a b c 均为正实数，且1ab bc ac ++=．（Ⅰ）当1b =时，求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x R ∈时，求证()()f x g x ≤．2018年辽宁省五校高二下学期期末联考数学（文）试题答案一、选择题1-5: AABCB 6-10: CBDAB 11、12：CD二、填空题13.1 14.3215.乙 16. y x = 三、解答题17.解：()224051010158 3.841202015253χ⨯-⨯==<⨯⨯⨯所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关． 18.解：“对任意[]21,2,0x x a ∈-≥“，则2a x ≤，∵214x ≤≤，∴1a ≤，即命题p 为真时：1a ≤．若“存在2,220x R x ax a ∈++-=”，则()24420a a ∆=--≥，即220a a +-≥，解得1a ≥或2a ≤-， 即命题q 为真时：1a ≥或2a ≤-．若“p q ∧”是真命题，则,p q 同时为真命题，即112a a a ≤⎧⎨≥≤-⎩或解得1a =或2a ≤-．实数a 取值范围是1a =或2a ≤-． 19.解：（1）在()()()x f f x f y y=-中，令1x y ==，则有()()()111f f f =-，∴()10f =；（2）∵()61f =，∴()()21166f f =+=+，∴不等式()13()23f x f +-< 等价为不等式()()()13()663f x f f f +-<+． ∴()()()3966f x f f +-<，即()3()62x f f +<， ∵()f x 是()0,+∞上的增函数，∴30362x x +>⎧⎪⎨+<⎪⎩，解得39x -<<，即不等式的解集为()3,9-．20.解：（1）()22f x x x a '=++，由()03f '=-，解得：3a =-， 故()321313f x x x x =+-+，()()()31f x x x '=+-， 令()0f x '>，解得：1x >或3x <-， 令()0f x '<，解得：31x -<<，故()f x 在(),3-∞-递增，在()3,1-递减，在()1,+∞递增； （2）由（1）知()()310f x f =-=极大值，()()213f x f ==-极小值．21. 解：（Ⅰ）由已知，当1a =时，()1ln f x x x x=+， ∴()()21ln 1,0f x x a x'=+->， ∵()f x '在()0,+∞上单调递增，且()10f '=， ∴01x <<时，()0,1f x x '<>时，()0f x '>， ∴()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增． （Ⅱ）（方法一）由题可得，()()1ln ,0g x ax x ax x x=+->， 则()21ln g x a x x '=-，∵0a >，∴()g x '在()0,+∞上单调递增，()110g '=-<，121()10aag e e'=->，∴10(1,)ax e ∃∈使得()00g x '=，则2001ln a x x =， 由0a >知01x >，且00x x <<时，()00,g x x x '<>时，()0g x '>， ∴()00min 002ln 1()0ln x g x g x x x -==≥，∴01ln 2x ≥，∴0x ≥2a e ≤，∴a 的取值范围是2(0,]e．（方法二）由题可得()21ln 0f x a a x a x x-=+-≥恒成立， 令()21ln h x a x a x=+-，则()h x '=，∴0x <<时，()0,h x x '<>()0h x '>， ∴()min 20h x a a==≥，∴2ln 1a ≥，解得：2a e ≤，∴a 的取值范围是2(0,]e．22.解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为()()22221x y -+-=， 则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=， 由于直线2C 过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标为()3R πθρ=∈．（Ⅱ）法一：由24cos 4sin 703ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得：22)70ρρ-+=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||2||||||||7OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===g ．法二：直线2C的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将上述参数方程代入圆()()221:221C x y -+-=中并化简，得(2270t t -++=设,A B 两点处的参数分别为12,t t，则121227t t t t ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩121211||||2||||||||7t t OA OB OA OB OA OB t t +++===g 23.解：（Ⅰ）由题意，()2,11,2,112.1x b f x x x x -≤⎧⎪==-<≤⎨⎪>⎩当1x ≤-时，不等式()1f x ≥无解； 当11x -<≤时，不等式()1f x ≥，解得112x ≤≤； 当1x >时，不等式()1f x ≥恒成立． ∴不等式的解集为1[,)2+∞．（Ⅱ）当x R ∈时，()22|(1)|1f x x b x b ≤++-+=+，()222222|(2)|2g x x a c x b a c b ≥++--=++22222222(1)1a c b b a b c ++-+=++-2222221()12a b b c c a =+++++-10ab bc ca ≥++-=．∴()()222212f x b a c b g x ≤+≤++≤，即()()f x g x ≤．。

2017—2018学年度上学期期中考试高二试题数学（文理通用） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“,x y R ∀∈，如果0xy =，则0x =”的否命题为（ ）A ．,x y R ∀∈，如果0x =，则0xy =B ．,x y R ∀∈，如果0xy ≠，则0x ≠C ．,x y R ∀∈，如果0x ≠，则0xy ≠D ．,x y R ∀∈，如果0xy =，则0x ≠ 2. 下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ） A ．22a b > B ．33a b > C ．1a b >+ D ．1a b >- 3. 不等式512x >+ 的解集为（ ） A ．{|23}x x -<< B ．{|2}x x <- C ．{|2x x <-且3}x < D ．{|3}x x >4. 不等式组24010x y x y ++≤⎧⎨-+≤⎩所表示的平面区域大致为以下四幅所示的哪一个（ ）5. 已知数列{}n a 满足111,(2,)n n a a a n n n N +-==+≥∈，则5a = （ ）A ．6B ．10C ．15D ．216. 无字证明是指禁用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，无字证明同学（ ）A ．22a b a b +≥+B ．224ab a b ≥+C ．2a b ab +≥D ．222a b ab +≥7. 已知,a b R +∈，且322a b +=，则11a b+的最小值（ ） A ．5 B ．6 C 526+ D ．无最小值 8. 不等式2440mx m +-< 对于x R ∀∈恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．10m -<≤ B ．10m -<< C ．10m -≤< D ．10m -≤≤9. 命题:p “对于()2(sin 22)(0,),2sin 2f πθθθθ+∀∈=的最小值为9”；命题:q “若关于x 的方程2(1)0mx m x m --+=有两个正实根，则103m <<”，下列选项正确的是（ ） A ．p q ∧为真 B ．p q ∨为假 C ．p q ∧⌝为真 D ．p q ⌝∨为假10. 已知25,01a b a b <+<<-<，某同学求出了如下结论：①13a <<；②12b <<；③1522b <<；④422a b -<-<；⑤321a b -<-<；⑥124a b <-<；，则下列判断中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．①②⑤D ．①③⑥ 11. 关于等差数列和等比数列，有如下四个说法：①若数列{}n a 的前n 项和2(,,n S an bn c a b c =++为常数）则数列{}n a 为等差数列； ②若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-为常数）则数列{}n a 为等差数列；③数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等差数列； ④数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列；其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412. 已知2a b >≥，现有下列四个结论：①ab a b >+；②23a b a >-；③41112()ab a b+>+；④若331a b -=，则1a b -<，起哄正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.写出命题“{x ∀∈正方形},{x ∈菱形} ”的非： ．14.等比数列{}n a 中，已知317,328q S ==，则4a = ． 15.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总储存费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值为 ． 16.已知函数()224xf x =+，设(3),n n a f n S =-为数列的前n 项和，则4S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解不等式22(1)0mx m x m +--≥.18. 已知m Z ∈，关于x 的一元二次方程222440,44450x x m x mx m m -+=-+--=，求上述两个方程的根都是整数的充要条件.19.在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为(1)q q ≠，且222212,S b S q b +==. （1）求n a 与n b ； （2）求数列1{}nS 的前n 项和n T . 20. 下表给出,,X Y Z 三种食物的维生素含量及其成本：现欲将三种食物混合成本100千克的混合食品，要求至少含35000单位维生素A ，40000单位维生素B ，采用何种配比成本最小？21.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1121,(1,2,3,)n n n a a S n n++===. （1）试写出223,,a S a ； （2）设nn S b n=，求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求出数列{}n a 的前n 项和为n S 及数列{}n a 的通项公式.22.在数列{}n a 中，0n a >，其前n 项和为n S ，满足122n n n S a +=-，其中n N +∈.（1）设2nn na b =，证明：数列{}n b 是等差数列； （2）设2,nn n n c b T =⋅为数列{}n c 的前n 项和，求n T ；（3）设数列{}n d 的通项公式为14(1)2(n n n n d λλ-=+-⋅为非零整数n N +∈），试确定λ的值，使得对任意n N +∈，都有数列{}n d 为递增数列.试卷答案一、选择题1-5: BCACC 6-10: DCADD 11、B 12：C 二、填空题13. {x ∃∈正方形},{x ∈菱形} 14. 1415. 20 16.3 三、解答题17.解：当0m =时，原不等式为0x -≥，解集为(,0]-∞；当0m >时，原不等式化为1()()0x x m m -+≥，又1m m>-， 所以原不等式的解集为1(,][,)m m -∞-+∞；当0m <时，原不等式化为1()()0x x m m -+≤，又1m m ->，所以原不等式的解集为1[,]m m-；综上所述，当0m =时，原不等式为(,0]-∞；当0m >时，原不等式的解集为1(,][,)m m-∞-+∞； 当0m <时，原不等式的解集为1[,]m m-. 18.解：方程2440x x m -+=有实数，则16160m ∆=-≥，即1m ≤， 方程2244450x mx m m -+--=有实根16200m ⇔∆=+≥，即54m ≥-， 所以上述两个方程都有实数根514m ⇔-≤≤， 因为m Z ∈，所以1,0,1m =-；当1m =-时，方程2440x x m -+=可化为2440x x --=，无实数根； 当0m =时，方程2244450x mx m m -+--=可化为250x -=，无实数根； 当1m =时，上述两个方程都有整数解，综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是1m =.19.解：（1）设{}n a 的公差为d ，因为222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以61236q d q dq q ++=⎧⎪⇒=+⎨=⎪⎩或4q =-（舍），3d =， 故133(1)3,3n n n a n n b -=+-+=.（2）由（1）问可得(33)2n n n S +=，所以12211()(33)31n S n n n n ==-++， 所以1211121111111[(1)()()()]3223341n n T S S S n n =+++=-+-+-++-+ 212(1)3133n n n =-=++ 20.解：设三种食物,,X Y Z 分别用x 千克，y 千克，z 千克，则,,x y z 满足1004005003003500070010030040000000x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪++≥⎪⎪++≥⎨≥⎪⎪≥⎪≥⎩ ，再设成本为U 元，则643U x y z =++，约束条件可转化为1002250025000x y y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩目标函数可转化为3300U x y =++，作出上面不等式组表示的平面区域，求得最优解为30,10x y ==， 从而min 60,400z U ==元，答：三种食物,,X Y Z 分别却30千克，10千克，60千克时成本最小.21.解：（1）2233,4,8a S a ===；（2）由12(1,2,3,)n n n a S n n ++==可得12n n n n S S S n++-=， 整理1122221n n n n n n S S n n S S S S n n n n++++=+=⇒=+，所以12n n b b +=，又有1111011S ab ===≠，所以数列{}n b 是等比数列，首项是1，公比为2.（3）由（2）可知12n n b -=，且n n S b n =，进而12n n S n-=， 所以数列{}n a 的前n 项和12()n n S n n N -+=∈，当12222122(1)222(1)2(1)2n n n n n n n n n a S S n n n n n ------≥=-=--=⋅--⋅=+， 当1n =时，11a =也满足上式1(1)2n n a n -=+⋅.22.解：（1）当1n =时，1124S a =-，所以14a =，当2n ≥时，1112222n nn n n n n a S S a a +--=-=--+， 所以122nn n a a --=，即11122n n nn a a ---=，所以11n n b b --=（常数） 又1122a b ==，所以{}n b 是首项为2，公差为1的对称数列，所以1n b n =+. （2）12(1)2nn n n c b n =⋅=+⋅，所以2323412222n n n T +=++++，23411234122222n n n T ++=++++， 相减得2123411111(1)113211131122111222222222212n n n n n n n n n n T ++++-+++=+++++-=+-=---，所以21333222n n n nn n T ++=--=-. （3）若数列{}n d 为递增数列，可得1n n d d +>，得1114(1)24(1)2n n n n n nλλ++-+-⋅>+-⋅，化简得2134(1)2(1)20n n n n λλ++⋅+-⋅⋅+-⋅⋅>，即134(1)230nnn λ+⋅+-⋅⋅⨯>，进而12(1)0n n λ++->对任意n N +∈恒成立，当n 为奇数时，12n λ-<，所以1λ<； 当n 为偶数时，12n λ+>-，所以2λ>-1λ<，所以21λ-<<，又λ为非零整数，所以1λ=-.。

2017 级高二上数学 (理科)试题第 I 卷（选择题60 分）一、选择题（共12 小题，每题 5 分，共 60分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项切合题目要求）1.sin600=（）A.3B.1C.1D.1 2222.命题“x Z ，使x22x m0 ”的否认是（）A．x Z，使x22x m 0B． x Z ，使 x22x m 0C．xZ ，都有 x22x m0D．x Z ，都有 x22x m03. 已知平面向量 a , b 知足a a b 5 ，且 a 2 ,b 1 ,则向量a与b夹角的正切值为（）A.3B.3C.3D.3 33x y504．已知向量a( x, y) ，若实数x，y知足 x y0，则 a 的最大值是（）x352A.43B.32C.2D.735．已知a n为等差数列，a1a3a5105, a2 a4a699 .以 S n表示 a n的前 n 项和，则使得 S n达到最大值的n 是（）A． 18B． 19C． 20D． 21yP 6.如图，质点 P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始地点为P0 2 ， 2 ，角速度为1，那么点P到 x 轴距离d对于时间t的函数图像O xP0大概为dd222OtO3tA ．4B ．dd 2 22OtOt44C ．D ．7. 已知直线 l 1 : 4 x 3 y 6 0 和直线 l 2 : x2 ，抛物线 y 24x 上一动点 P 到直线 l 1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是（ ）A ． 3B． 2C11 D.37 ．1658. 已知 M 是 ABC 内的一点，且 AB AC 2 3 , BAC 30 ,则MBC , MCA, MAB 的面积分别为1, x, y ；则 14 的最小值为（ ）2xyA.20B.19C. 18D. 169. 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人摄影， 要求排成一排， 2 位老人相邻但不排在两端，不一样的排法共有（）A ． 1440 种B ． 960 种C ．720 种D ．480 种10. 将函数 ysin(2 xπ 图象上的点 P( π s( s 0) 个单) 错误！未找到引用源。

辽宁省本溪市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文考试时间：120分钟 满分：150分说明：1.考试前，考生务必按要求在答题卡和答题纸上正确填涂考生信息；2.第I 卷为选择题，请用2B 铅笔将答案涂在答题卡上，写在试卷上的答案无效；3.第II 卷为主观题，请用黑色字迹钢笔或签字笔书写在答题纸指定区域，写在试卷上的答案无效；4.考试结束后，请交回答题卡和答题纸。

第I 卷（选择题60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共 60 分。

） 1.已知复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =（ ）A. 12i --B. 12i -C. 12i -+D. 12i +2.命题“∃x Z ∈，使220x x m ++≤”的否定是（ ）A ．∃x Z ∈，使220x x m ++>B ．Z x ∉∃，使220x x m ++>C ．Z x ∈∀，都有220x x m ++≤D ．Z x ∈∀，都有220x x m ++>3.已知平面向量a ,b 满足()5a a b ⋅+=，且2a =,1b =,则向量a 与b 夹角的正切值为（ ）A.B.C.D. 4．已知sin 2cos αα=，则sin(2)2πα+=（ ）A ． 35- B ． 45-C ．35D ．455．已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a .以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A ．18B ．19C ．20D ．216.若抛物线x y 42=上一点P 到x 轴的距离为32，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.已知向量),(y x a = ，若实数x ，y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则a 的最大值是（ ）28．设P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，F 1，F 2 是该双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2=90°，且F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．59.己知60π-=x 是函数()sin(2)f x x ϕ=+的一个极小值点，则()f x 的一个单调递减区间是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛3465ππ， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛653ππ， C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2 D ．⎪⎭⎫⎝⎛ππ，32 10.设0,0a b >>是33a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A.14B.1C. 4D. 8 11. 知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅=，则P 到x 轴的距离为（ ）C. 212.设定义在R 上的偶函数()y f x =满足：对任意x R ∈，都有()(2)f x f x =-，(]0,1x ∈时()x x f x e =，若20152016,35a f b f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20177c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a b c 、、三者的大小关系是 （ ）A.c b a >>B. c a b >>C. a b c >>D. b c a >>第II 卷 （非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知i是虚数单位，复数z满足z•i＝1+i，则z＝()A.1+iB.1﹣iC.﹣1+iD.﹣1﹣i2.(5分)抛物线x2＝ay的准线方程为y＝1，则a的值为()A. B.﹣2 C. D.﹣43.(5分)已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0.命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧￢qC.￢p∧qD.￢p∧￢q4.(5分)过点(3，0)的直线与双曲线有唯一公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条5.(5分)《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺.以后每天减半.”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出n＝()A.2B.4C.6D.86.(5分)以下四个命题，其中正确的是()A.由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀B.两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于0C.在线性回归方程＝0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，变量平均增加0.2个单位D.线性回归方程对应的直线＝x+至少经过其样本数据点中的一个点.7.(5分)甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有()A.＞，s＜B.＝，s＞C.＝，s＝D.＝，s＜8.(5分)过点(2，﹣2)且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是()A. B.C.D.9.(5分)椭圆＝1中，以点M(﹣1，2)为中点的弦所在的直线斜率为()A. B. C. D.﹣10.(5分)已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点F2关于渐近线的对称点P恰好落在以F1为圆心、|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为()A.3B.C.2D.11.(5分)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.2B.3C.6D.812.(5分)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.(5分)双曲线的焦距为.14.(5分)有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片.结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为、、、.15.(5分)已知点P为抛物线C：y2＝4x上一点，记P到此抛物线准线l的距离为d1，点P到圆(x+2)2+(y+4)4＝4上点的距离为d2，则d1+d2的最小值为.16.(5分)下列说法中①命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；②命题“若p，则q”的否命题为“若q，则p”；③若a＞b，则；④命题“”的否定为“∀x∈R，x2≠1”.正确说法的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知命题A：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣3t﹣4＜0成立.(1)若命题A中的椭圆的离心率为，求实数t的值；(2)命题A是命题B的什么条件.18.(12分)某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.(1)求a，b，c，d的值.(2)该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？(3)在(2)的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.19.(12分)已知关于x的一次函数y＝mx+n.(1)设集合P＝{﹣2，﹣1，1，2，3}和Q＝{﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx+n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件求函数y＝mx+n的图象经过一、二、三象限的概率.20.(12分)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点.(1)若，求直线l的方程；(2)若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围.21.(12分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，M，N分别是椭圆的上、下顶点，.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线y＝kx+m与椭圆E交于相异两点A，B，且满足直线MA，MB的斜率之积为，证明：直线AB恒过定点，并采定点的坐标.22.(12分)在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为(1)求圆C的直角坐标方程：(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知i是虚数单位，复数z满足z•i＝1+i，则z＝()A.1+iB.1﹣iC.﹣1+iD.﹣1﹣i【解答】解：由z•i＝1+i，得z＝，故选：B.2.(5分)抛物线x2＝ay的准线方程为y＝1，则a的值为()A. B.﹣2 C. D.﹣4【解答】解：根据题意，抛物线x2＝ay的准线方程为y＝1，则有﹣＝1，解可得a＝﹣4；故选：D.3.(5分)已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0.命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧￢qC.￢p∧qD.￢p∧￢q【解答】解：命题p：∃x＝0∈R，使x2﹣x+1≥0成立.故命题p为真命题；当a＝1，b＝﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，故选：B.4.(5分)过点(3，0)的直线与双曲线有唯一公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解答】解：根据题意，直线过点(3，0)，设直线的方程为y＝k(x﹣3)，双曲线的方程为，即x2﹣4y2﹣4＝0，则有x2﹣4k2(x﹣3)2﹣4＝0，变形可得：(1﹣4k2)x2﹣24k2x﹣36k2＝0，分析可得：当1﹣4k2＝0，即k＝±时，方程有1解，即直线与双曲线只有一个交点，当1﹣4k2≠0，即k≠±时，有△＝(24k2)2﹣4(1﹣4k2)(﹣36k2)＝144k2≥0，当k＝0时，直线为x＝0，与双曲线有2个交点，不符合题意；当k≠0时，方程有2个根，直线与双曲线有2个交点，不符合题意；则过点(3，0)与双曲线唯一公共点的直线有2条，故选：B5.(5分)《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺.以后每天减半.”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出n＝()A.2B.4C.6D.8【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，a＝1，n＝1S＝2不满足条件S≥16，执行循环体，a＝，n＝2，S＝4+不满足条件S≥16，执行循环体，a＝，n＝4，S＝8+不满足条件S≥16，执行循环体，a＝，n＝8，S＝16+满足条件S≥16，退出循环，输出n的值为8.故选：D.6.(5分)以下四个命题，其中正确的是()A.由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀B.两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于0C.在线性回归方程＝0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，变量平均增加0.2个单位D.线性回归方程对应的直线＝x+至少经过其样本数据点中的一个点.【解答】解：对于A，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，不是“数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀”，∴A错误；对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，∴B正确；对于C，根据线性回归方程＝0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，C正确；对于D，线性回归方程对应的直线＝x+可能不经过其样本数据点中的任何一个点，D错误.故选：C.7.(5分)甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有()A.＞，s＜B.＝，s＞C.＝，s＝D.＝，s＜【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员成绩的平均数是＝(9+14+15+15+16+21)＝15，方差是＝[(9﹣15)2+(14﹣15)2+2×(15﹣15)2+(16﹣15)2+(21﹣15)2]＝；乙运动员成绩的平均数是＝(8+13+15+15+17+22)＝15，方差是＝[(8﹣15)2+(13﹣15)2+2×(15﹣15)2+(17﹣15)2+(22﹣15)2]＝；∴＝，＜.故选：D，8.(5分)过点(2，﹣2)且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是()A. B.C.D.【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线有共同渐近线，设其方程为：﹣y2＝t，(t≠0)又由点(2，﹣2)在双曲线上，则有﹣(﹣2)2＝t，解可得t＝﹣2，则双曲线的方程为；故选：A.9.(5分)椭圆＝1中，以点M(﹣1，2)为中点的弦所在的直线斜率为()A. B. C. D.﹣【解答】解：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆得，两式相减得，即，即，即，即，∴弦所在的直线的斜率为，故选：B10.(5分)已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点F2关于渐近线的对称点P恰好落在以F1为圆心、|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为()A.3B.C.2D.【解答】解：由题意，设双曲线的方程为，F1(﹣c，0)，F2(c，0)，设一条渐近线方程为y＝x，则F2到渐近线的距离为＝b.设F2关于渐近线的对称点为P，F2P与渐近线交于A，可得|PF2|＝2b，A为F2P的中点，又O是F1F2的中点，∴OA∥F1P，则∠F1PF2为直角，由△MF1F2为直角三角形，由勾股定理得4c2＝c2+4b2即有3c2＝4(c2﹣a2)，即为c2＝4a2，即c＝2a，则e＝＝2.故选：C.11.(5分)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.2B.3C.6D.8【解答】解：由题意，F(﹣1，0)，设点P(x0，y0)，则有，解得，因为，，所以＝，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0＝2时，取得最大值，故选C.12.(5分)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，∵|AE|＝3，|AC|＝3+3a，∴2|AE|＝|AC|∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，∴＝求得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x.故选C.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.(5分)双曲线的焦距为2.【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a＝2，b＝3，则c＝＝，则双曲线的焦距2c＝2；故答案为：2.14.(5分)有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片.结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4、2、1、3.【解答】解：乙丙丁所说为假⇒甲拿4，甲乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇌乙拿2；故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3，故答案为：4，2，1，315.(5分)已知点P为抛物线C：y2＝4x上一点，记P到此抛物线准线l的距离为d1，点P到圆(x+2)2+(y+4)4＝4上点的距离为d2，则d1+d2的最小值为3.【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，准线l：x＝﹣1，设PK⊥准线l，垂足为K，由抛物线的定义可得|PF|＝|PK|，圆(x+2)2+(y+4)4＝4的圆心为M(﹣2，﹣4)，半径为r＝2，连接FM，当F，P，M三点共线，取得最小值.可得d1+d2的最小值为|FM|﹣r＝﹣2＝3.故答案为：3.16.(5分)下列说法中①命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；②命题“若p，则q”的否命题为“若q，则p”；③若a＞b，则；④命题“”的否定为“∀x∈R，x2≠1”.正确说法的序号是①④.【解答】解：①命题的逆否命题为若x＝2且y＝1，则x+y＝3，为真命题，则原命题为真命题，故①正确，②题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，故②错误；③当a＞0，b＜0时，满足a＞b，则＞，即不成立；故③错误，④命题“”的否定为“∀x∈R，x2≠1”为真命题.故正确的是①④，故答案为：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知命题A：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣3t﹣4＜0成立.(1)若命题A中的椭圆的离心率为，求实数t的值；(2)命题A是命题B的什么条件.【解答】解：(1)由已知得：，解得：1＜t＜3，若椭圆离心率为，即e＝＝，解得：t＝2.(2)命题A成立的条件为1＜t＜3，由t2﹣3t﹣4＜0得﹣1＜t＜4，命题B成立的条件为﹣1＜t＜4，由此可得命题A是命题B的充分不必要条件.18.(12分)某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.(1)求a，b，c，d的值.(2)该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？(3)在(2)的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.【解答】解：(1)由题意得b＝0.06×5＝0.3，a＝100×0.3＝30，d＝1﹣0.05﹣0.35﹣0.3﹣0.1＝0.2，c＝100×0.2＝20.(2)三个组共有60人，∴第三组应抽6×人，第四组应抽6×人，第五组应抽6×人.(3)记第三组抽出的3人分别a，b，c，第四组抽出的2人分别d，e，第五组抽出的1人为f，从这6人中随机抽取2人，基本事件包含15个基本事件，分别为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f).其中2人来自同一组的情况有4种分别为：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(d，e)，∴2人来自同一组的概率为p＝.19.(12分)已知关于x的一次函数y＝mx+n.(1)设集合P＝{﹣2，﹣1，1，2，3}和Q＝{﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx+n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件求函数y＝mx+n的图象经过一、二、三象限的概率.【解答】解：(1)抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：Ω＝{(﹣2，﹣2)，(﹣2，3)，(﹣1，﹣2)，(﹣1，3)，(1，﹣2)，(1，3)，(2，﹣2)，(2，3)，(3，﹣2)，(3，3)}共10个基本事件(2分)设使函数为增函数的事件空间为A：则A＝{(1，﹣2)，(1，3)，(2，﹣2)，(2，3)，(3，﹣2)，(3，3)}有6个基本事件(4分)所以，(6分)(2)m、n满足条件m+n﹣1≤0，﹣1≤m≤1，﹣1≤n≤1的区域如图所示：使函数图象过一、二、三象限的(m，n)为区域为第一象限的阴影部分∴所求事件的概率为.(12分)20.(12分)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点.(1)若，求直线l的方程；(2)若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围.【解答】解：(1)由抛物线C：x2＝4y，可得Q(0，﹣1)，且直线l斜率存在，∴可设直线l：y＝kx﹣1，由，得：x2﹣4kx+4＝0，令△＝16k2﹣16＞0，解得：k＜﹣1或k＞1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1+x2＝4k，x1x2＝4，∴|AB|＝＝.∵|AB|＝，∴k4﹣1＝15，解得k＝±2，∴直线l的方程为：y＝±2x﹣1；(2)由(1)知，k＜﹣1或k＞1，x1+x2＝4k，x1x2＝4，∵点F在以AB为直径的圆外部，∴＝x1x2+y1y2﹣(y1+y2)+1＝，解得：k2＜2，即﹣.又k＜﹣1或k＞1，∴直线l的斜率的取值范围是(﹣，﹣1)∪(1，).21.(12分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，M，N分别是椭圆的上、下顶点，.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线y＝kx+m与椭圆E交于相异两点A，B，且满足直线MA，MB的斜率之积为，证明：直线AB恒过定点，并采定点的坐标.【解答】(1)解：由题知F2(c，0)，M(0，b)，N(0，﹣b)，可得，，∴，①由e＝，得a＝2c，②又a2﹣b2＝c2，③由①②③联立解得：a2＝4，b2＝3，∴椭圆E的方程为；(2)证明：由椭圆E的方程得，上顶点M(0，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，x1≠0，x2≠0.由，得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣3)＝0.∴，，又，.由，得，即：，∴，化简得：.解得：或m＝，结合x1≠0，x2≠0，可得m＝.即直线AB恒过定点(0，2).22.(12分)在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为(1)求圆C的直角坐标方程：(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.【解答】解：(1)圆的极坐标方程：，转化为：.即：.(2)将直线的参数方程(t为参数)代入圆的直角坐标方程得：，所以：，(t1和t2为A、B的参数).故：.。

2017-2018学年辽宁省本溪高中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知空间向量＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣3，1），则|+|等于（）A．B．2C．D．12．（5分）函数从1到a的平均变化率为，则实数a的值为（）A．10B．9C．8D．73．（5分）已知点A（1，﹣2，0）和向量，，且与方向相反，则点B坐标为（）A．（﹣7，6，12）B．（7，﹣10，﹣12）C．（7，﹣6，12）D．（﹣7，10，12）4．（5分）已知函数，则等于（）A．B．C．D．15．（5分）曲线与直线x+2y﹣3＝0所围成图形的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）设，分别是平面α，β的法向量，下列命题是真命题的是（）A．若＝（﹣2，2，4），＝（3，﹣1，﹣2），则α⊥βB．若＝（﹣1，2，﹣2），＝（2，﹣4，4），则α∥βC．若＝（﹣2，3，﹣5），＝（3，﹣1，4），则α⊥βD．若＝（1，2，4），＝（﹣4，﹣2，﹣1），则α∥β7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，E是BB1中点，则＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，1），C（1，﹣1，3），四边形ABCD是平行四边形，则|BD|＝（）A．B．C．D．89．（5分）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（）A．B．C．D．10．（5分）若平面α的一个法向量为＝（1，2，2），A＝（1，0，2），B＝（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．11．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面ABCD⊥平面P AD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是（）A．B．C．D．12．（5分）在直角△ABC中，AC⊥BC，BC＝3，AB＝5，点D、E分别在AC、AB边上，且DE∥BC，沿着DE将△ADE折起至△A'DE的位置，使得平面A'DE与平面BCDE所成二面角的平面角为60°（其中点A'为点A翻折后对应的点），则四棱锥A'﹣BCDE的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝f'（1）e x+ex2﹣2x，则f'（1）＝．14．（5分）已知，，则的最小值为．15．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上，若直线DD1与平面D1EC所成的角为，则AE＝．16．（5分）若函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣12x+a﹣10（a∈R）在（﹣2，4）上有2个零点，则a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣1）（x2+1）+1．（1）求函数f（x）的导函数f'（x）；（2）求过点（1，1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝3，AC＝BC＝2，点D 是AB中点，点E在AA1上，且＝．（1）求C1E与平面C1CD所成角的正弦值；（2）求二面角C1﹣CD﹣E的余弦值19．（12分）已知函数f（x）＝xe ax+c（a，c∈R），且x＝﹣1为函数y＝f（x）的极值点．（1）求实数a的值；（2）若当x∈[﹣2，0]时，存在实数x使得不等式f（x）+6＞c2成立，求实数c的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB ＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线P A与CD所成角等于60°．（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；（2）求直线CD和平面P AD所成角的正弦值；（3）在棱P A上是否存在一点E，使得平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．21．（12分）如图所示，有A、B、C三座城市，A城在C城的正西方向，且两座城市之间的距离为100km；B城在C城的正北方向，且两座城市之间的距离为100km．由A城到B 城只有一条公路AC，甲有急事要从A城赶到B城，现甲先从A城沿公路AC步行到点P （不包括A、B两点）处，然后从点P处开始沿山路BP赶往B城．若甲在公路上步行速度为每小时6km，在山路上步行速度为每小时3km，设∠BPC＝θ（单位：弧度），甲从A 城赶往B城所花的时间为f（θ）（单位：km/h）．（1）求函数y＝f（θ）的表达式，并求函数的定义域；（2）当点P在公路AC上何处时，甲从A城到达B城所花的时间最少，并求所花的最少的时间的值．22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，求a的值；（2）若函数f（x）在（1，2）上存在极值，求a的取值范围；（3）若函数y＝f（x）有两个零点，求a的取值范围．2017-2018学年辽宁省本溪高中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知空间向量＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣3，1），则|+|等于（）A．B．2C．D．1【解答】解：∵空间向量＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣3，1），∴＝（1，﹣2，0），|+|＝＝．故选：A．2．（5分）函数从1到a的平均变化率为，则实数a的值为（）A．10B．9C．8D．7【解答】解：∵f（x）＝，∴f（1）＝1，f（a）＝∴f（x）从1到a的平均变化率＝，解得a＝9，故选：B．3．（5分）已知点A（1，﹣2，0）和向量，，且与方向相反，则点B坐标为（）A．（﹣7，6，12）B．（7，﹣10，﹣12）C．（7，﹣6，12）D．（﹣7，10，12）【解答】解：设B（x，y，z），则，∵，且方向相反，∴，可得x＝7，y＝﹣10，z＝﹣12，故选：B．4．（5分）已知函数，则等于（）A．B．C．D．1【解答】解：f′（x）＝2cos（2x﹣），∴f′（）＝2cos（2×﹣）＝2cos＝1，故选：D．5．（5分）曲线与直线x+2y﹣3＝0所围成图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由，解得两函数图象交点A（1，1），B（2，）；如图所示，则曲线与直线x+2y﹣3＝0所围成图形的面积为S＝（﹣x﹣）dx＝（x﹣x2﹣lnx）＝﹣﹣ln2＝﹣ln2．故选：D．6．（5分）设，分别是平面α，β的法向量，下列命题是真命题的是（）A．若＝（﹣2，2，4），＝（3，﹣1，﹣2），则α⊥βB．若＝（﹣1，2，﹣2），＝（2，﹣4，4），则α∥βC．若＝（﹣2，3，﹣5），＝（3，﹣1，4），则α⊥βD．若＝（1，2，4），＝（﹣4，﹣2，﹣1），则α∥β【解答】解：设，分别是平面α，β的法向量，若＝（﹣2，2，4），＝（3，﹣1，﹣2），•＝﹣2×3+2×（﹣1）+4×（﹣2）＝﹣16≠0，故A错误；若＝（﹣1，2，﹣2），＝（2，﹣4，4），可得＝﹣2，即有∥，α∥β，故B正确；若＝（﹣2，3，﹣5），＝（3，﹣1，4），•＝﹣2×3+3×（﹣1）+4×（﹣5）＝﹣29≠0，故C错误；若＝（1，2，4），＝（﹣4，﹣2，﹣1），不存在实数λ，使得＝λ，故D错误．故选：B．7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，E是BB1中点，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，E是BB1的中点，且；∴＝．故选：A．8．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，1），C（1，﹣1，3），四边形ABCD是平行四边形，则|BD|＝（）A．B．C．D．8【解答】解：空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，1），C（1，﹣1，3），四边形ABCD是平行四边形，设D（x，y，z），∵＝（﹣2，﹣1，﹣2），＝（1﹣x，﹣1﹣y，3﹣z），∥，∴﹣2＝1﹣x，﹣1＝﹣1﹣y，﹣2＝3﹣z，解得x＝3，y＝0，z＝5，∴D（3，0，5），∴＝（5，1，4），∴|BD|＝＝，故选：C．9．（5分）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（）A．B．C．D．【解答】解：向量，，且与互相垂直，∴（k+）•（2﹣3）＝0，∴2k+（2﹣3k）•﹣3＝0，4k+（2﹣3k）×（﹣2）﹣3×6＝0，解得k＝，则k的值是．故选：D．10．（5分）若平面α的一个法向量为＝（1，2，2），A＝（1，0，2），B＝（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．【解答】解：∵平面α的一个法向量为＝（1，2，2），A＝（1，0，2），B＝（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴＝（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d＝＝＝．故选：C．11．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面ABCD⊥平面P AD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵P A＝PD＝，AD＝2，O为AD中点，∴PO⊥AD，PO＝2，∵平面P AD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵M为PC的中点，取OC中点N，连MN，并作NE⊥x轴，NF⊥y轴，∴MN＝1，NE＝，NF＝1，以O为原点建立空间坐标系如图，则O（0，0，0），B（2，﹣1，0），C（2，1，0），P（0，0，2），M（1，），∴，，，设平面PCO的法向量为，则＝2z＝0，得z＝0，＝2x+y＝0，取x＝1，则y＝﹣2，即，设直线BM与平面PCO所成角为θ，则sinθ＝|cos|＝||＝＝，故选：D．12．（5分）在直角△ABC中，AC⊥BC，BC＝3，AB＝5，点D、E分别在AC、AB边上，且DE∥BC，沿着DE将△ADE折起至△A'DE的位置，使得平面A'DE与平面BCDE所成二面角的平面角为60°（其中点A'为点A翻折后对应的点），则四棱锥A'﹣BCDE的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设AD＝x（0＜x＜4），则CD＝4﹣x，∴DE＝，在三角形A′CD内，过A′作A′O⊥CD，垂足为O，则A′O⊥平面BCDE，∵平面A'DE与平面BCDE所成二面角的平面角为60°，即∠A′DO＝60°，∴，则＝．令f（x）＝，则f′（x）＝，由f′（x）＝0，得x＝．∴当x＝时，．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝f'（1）e x+ex2﹣2x，则f'（1）＝﹣2．【解答】解：f′（x）＝f′（1）e x+2ex﹣2；∴f′（1）＝f′（1）e+2e﹣2；∴f′（1）＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知，，则的最小值为．【解答】解：∵，，∴∴＝令m＝3t2+4t+6，当t＝时，二次函数取到最小值∴的最小值为．故答案为．15．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上，若直线DD1与平面D1EC所成的角为，则AE＝2﹣．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，＝（1，t，﹣1），＝（0，2，﹣1），设平面D1EC的法向量＝（x，y，z），，可得，直线DD1与面D1EC所成的角为θ＝，sinθ＝||＝，得t＝2﹣，或t＝2+（舍），故答案为：2﹣16．（5分）若函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣12x+a﹣10（a∈R）在（﹣2，4）上有2个零点，则a 的取值范围是[14，30）∪{3}．【解答】解：函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣12x+a﹣10，则f′（x）＝6x2﹣6x﹣12＝6（x﹣2）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞2，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜2，故f（x）在（﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，2）递减，在（1，4）递增，故f（x）极大值＝f（﹣1）＝a﹣3，f（x）极小值＝f（2）＝a﹣30，而f（﹣2）＝a﹣14，f（4）＝a+22，故或，解得：a∈[14，30）∪{3}，故答案为：[14，30）∪{3}．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣1）（x2+1）+1．（1）求函数f（x）的导函数f'（x）；（2）求过点（1，1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程．【解答】解：（1）函数f（x）＝（x﹣1）（x2+1）+1的导数为f′（x）＝（x2+1）+2x（x﹣1）＝3x2﹣2x+1；（2）由f（x）＝x3﹣x2+x，设切点的坐标为（x0，y0），可得切线方程为：，将点（1，1）的坐标代入上述方程可得，整理为，解得：x0＝0或x0＝1，将x0＝0或x0＝1代入切线方程，可求得切线方程为：y＝x和y＝2x﹣1．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝3，AC＝BC＝2，点D 是AB中点，点E在AA1上，且＝．（1）求C1E与平面C1CD所成角的正弦值；（2）求二面角C1﹣CD﹣E的余弦值【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由∠ACB＝90°，知AC，BC，CC1两两互相垂直，分别以CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AA1＝3，＝，∴，则C（0，0，0），C1（0，0，3），E（0，2，），A（0，2，0），B（2，0，0），AB中点D（1，1，0），（1），，，设平面C1CD的一个法向量为，由，取x＝1，得；cos＜＞＝，∴C1E与平面C1CD所成角的正弦值为；（2），设平面CDE的一个法向量为，由，取z＝3，则．∴cos＜＞＝．由图可知，二面角C1﹣CD﹣E为锐二面角，故二面角C1﹣CD﹣E的余弦值为．19．（12分）已知函数f（x）＝xe ax+c（a，c∈R），且x＝﹣1为函数y＝f（x）的极值点．（1）求实数a的值；（2）若当x∈[﹣2，0]时，存在实数x使得不等式f（x）+6＞c2成立，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝e ax+axe ax＝（ax+1）e ax，由f'（﹣1）＝0得（1﹣a）e﹣a＝0，解得：a＝1．经过验证满足条件．（2）由（1）知f'（x）＝（x+1）e x，令f'（x）＞0可得x＞﹣1，故当x＞﹣1时函数f（x）单调递增；当x＜﹣1时函数f（x）单调递减．由f（0）＝c，，故有f（0）＞f（﹣2），则f（x）max＝f（0）＝c．由存在实数﹣2≤x≤0使得不等式成立，可得：c+6＞c2，解得：﹣2＜c＜3．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB ＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线P A与CD所成角等于60°．（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；（2）求直线CD和平面P AD所成角的正弦值；（3）在棱P A上是否存在一点E，使得平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵PB⊥底面ABCD，∴PB⊥CD，又∵CD⊥PD，PD∩PB＝P，PD，PB⊂平面PBD，∴CD⊥平面PBD，∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBD．解：（2）如图，以B为原点，BA、BC、BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由（1）知△BCD是等腰直角三角形，∴BC＝4，设BP＝b（b＞0），则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，4，0），D（2，2，0），P（0，0，b），则＝（2，0，﹣b），＝（2，﹣2，0），∵异面直线P A、CD所成角为60°，∴cos60°＝＝＝，解得b＝2，∵＝（0，2，0），＝（2，0，﹣2），设平面P AD的一个法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），设直线CD和平面P AD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝，∴直线CD和平面P AD所成角的正弦值为．（3）假设棱P A上存在一点E，使得平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为，设，（0＜λ＜1），且E（x，y，z），则（x，y，z﹣2）＝λ（2，0，﹣2），∴E（2λ，0，2﹣2λ），设平面DEB的一个法向量为＝（a，b，c），＝（2λ，0，2﹣2λ），＝（2，2，0），则，取a＝λ﹣1，得＝（λ﹣1，λ﹣1，λ），平面P AB的法向量＝（0，1，0），∵平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为，∴平面P AB与平面BDE所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，解得或λ＝2（舍），∴在棱P A上存在一点E，使得平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为，E为棱P A上靠近A的三等分点．21．（12分）如图所示，有A、B、C三座城市，A城在C城的正西方向，且两座城市之间的距离为100km；B城在C城的正北方向，且两座城市之间的距离为100km．由A城到B 城只有一条公路AC，甲有急事要从A城赶到B城，现甲先从A城沿公路AC步行到点P （不包括A、B两点）处，然后从点P处开始沿山路BP赶往B城．若甲在公路上步行速度为每小时6km，在山路上步行速度为每小时3km，设∠BPC＝θ（单位：弧度），甲从A 城赶往B城所花的时间为f（θ）（单位：km/h）．（1）求函数y＝f（θ）的表达式，并求函数的定义域；（2）当点P在公路AC上何处时，甲从A城到达B城所花的时间最少，并求所花的最少的时间的值．【解答】解：（1）在Rt△PBC中，，，故＝．由图知，，故函数y＝f（θ）的定义域为．（2）令，则＝．令g'（θ）＞0，可得，由可解得．故函数y＝g（θ）的增区间为，减区间为，故当时，函数．故点P所在的位置为处，甲所花最短时间为．答：（1）函数y＝f（θ）的表达式y＝f（θ）＝．定义域为．（2）点P所在的位置为处，甲所花最短时间为．22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，求a的值；（2）若函数f（x）在（1，2）上存在极值，求a的取值范围；（3）若函数y＝f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵，由f（1）＝1﹣a，f'（1）＝1﹣a，故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（1﹣a）＝（1﹣a）（x﹣1），整理为：y＝（1﹣a）x，由切线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切有，解得：．（2）∵为（0，+∞）上的增函数，∴，即，解得：1＜a＜11．（3）由，当x＞0时由函数为增函数，则函数y＝f（x）若存在零点，有且仅有一个，令g（x）＝3x3﹣ax﹣2．①当a＝1时，，令h（x）＝3x3﹣x﹣2（x＞0），由h'（x）＝9x2﹣1＞0有，故当时函数h（x）单调递增，当单调递减，又由h（1）＝0，h（0）＝﹣2，，可知当0＜x＜1时f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x＞1时f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，故f（x）min＝f（1）＝0，此时函数y＝f（x）有且只有一个零点．②当a＜1时，由g（1）＝1﹣a＞0，g（0）＝﹣2，故方程g（x）＝0在区间（0，1）上有解．③当a＞1时，由g（0）＝﹣2，g（a）＝3a3﹣a2﹣2＝2（a3﹣1）+（a3﹣a2）＝2（a3﹣1）+a2（a﹣1）＞0，故方程g（x）＝0在区间（0，a）上有解，由上知当a≠1时函数y＝f（x）有唯一的极小值点，记为x＝x0，有，可得，要使得函数y＝f（x）有两个零点，至少需要＝＝，可得，由函数l（x）＝x3+lnx单调递增，且l（1）＝1，可得：x0＞1，由，可得a＞1，由上知当a＞1时，f（x）极小值＝f（x0）＜0，且x0＞1，而＝，由常用不等式e x≥x+1，可知e a＞a，故f（e a）＝e3a﹣2a﹣ae a＞e3a﹣2e a﹣ae a＝[e2a﹣（a+2）]e a≥[（2a+1）﹣（a+2）]e a＝（a ﹣1）e a＞0，又，故f（e﹣a）＝e﹣3a+2a﹣a•e﹣a＝e﹣3a（1+2a•e3a﹣a•e2a）＝e﹣3a[1+ae﹣2a（2e a﹣1）]＞0，故此时函数y＝f（x）有且仅有两个零点，由上知a的取值范围为a＞1．。