河南省南阳市邓州市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处）1．（3分）在，，，，中，分式的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（3分）今年某初中有近1千名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取50名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．这50名考生是总体的一个样本B．近1千名考生是总体C．每位考生的数学成绩是个体D．50名学生是样本容量3．（3分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大9倍B．扩大3倍C．不变D．缩小3倍4．（3分）下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形5．（3分）如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B 是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C＝（）A．106°B．146°C．148°D．156°6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（）A．B．2C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）7．（3分）当x＝时，分式的值为0．8．（3分）用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设．9．（3分）某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是．10．（3分）已知y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝．11．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则▱ABCD的周长为cm．12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数值是．13．（3分）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为．14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝．15．（3分）已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）计算下面各题．（1）（）×﹣6（2）+2﹣﹣418．（12分）（1）解方程：+3＝．（2）已知x+y＝3，xy＝1，求的值．19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．20．（8分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（2）点B1的坐标为，点C2的坐标为．21．（8分）某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？22．（8分）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．（1）求证：FE＝FD；（2）若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE ＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．25．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象，A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C （﹣2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，点C关于y轴的对称点在y＝（x ＞0）图象上，连接AC，BC．（1）求m，n的值；（2）求BC所在直线的表达式；（3）求△ABC的面积．26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处）1．（3分）在，，，，中，分式的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，的分母中含有字母，因此是分式．故选：A．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．（3分）今年某初中有近1千名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取50名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．这50名考生是总体的一个样本B．近1千名考生是总体C．每位考生的数学成绩是个体D．50名学生是样本容量【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：A、这50名考生的数学成绩是总体的一个样本，故选项错误；B、近1千名考生的数学成绩是总体，故选项错误；C、每位考生的数学成绩是个体，正确；D、样本容量是：50，故选项错误；故选：C．【点评】本题考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．3．（3分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大9倍B．扩大3倍C．不变D．缩小3倍【分析】把分式中的x和y都扩大3倍，就是用x变成3x，y变成3y，用3x，3y代替式子中的x、y，看所得的式子与原式之间的关系．【解答】解：分别用3x，3y代替式子中的x、y，得，即分式的值扩大3倍．故选：B．【点评】本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．4．（3分）下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定即可一一判断．【解答】解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；故选：B．【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（3分）如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B 是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C＝（）A．106°B．146°C．148°D．156°【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AB′，∠BAB′＝32°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B＝∠AB′B＝74°，然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，再根据平行线的性质计算得∠C＝180°﹣∠B＝106°．【解答】解：∵▱ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝32°，∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣32°）＝74°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣74°＝106°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的性质．6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（）A．B．2C．D．【分析】连接ME，依据MN垂直平分PE，可得MP＝ME，当MP∥BC时，四边形BCPM 是矩形，即可得到BC＝MP＝5，ME＝5，依据E＝3，可得AM＝4＝DP，即可得到t的值．【解答】解：如图，连接ME，∵MN垂直平分PE，∴MP＝ME，当MP∥BC时，四边形BCPM是矩形，∴BC＝MP＝5，∴ME＝5，又∵AE＝3，∴AM＝4＝DP，∴t＝4÷2＝2（s），故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）7．（3分）当x＝﹣2时，分式的值为0．【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0，并且分母的值不为0．【解答】解：由分子x+2＝0，解得x＝﹣2，而x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0．所以x＝﹣2．【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．8．（3分）用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设一个三角形中至少有两个钝角．【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．故答案为：一个三角形中至少有两个钝角．【点评】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．9．（3分）某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是0.4．【分析】根据频率＝求解即可．【解答】解：跳绳次数在90～110这一组的同学有4个，则频率＝4÷10＝0.4．故答案为：0.4．【点评】本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频率＝．10．（3分）已知y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝0．【分析】根据形如y＝（k≠0）是反比例函数，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值．【解答】解：∵y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，∴m﹣1＝﹣1．解得m＝0，故答案为：0．【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．11．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则▱ABCD的周长为16cm．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE＝DE，又由△CDE的周长为8cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为8cm，即CD+DE+EC＝8cm，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×8＝16cm．故答案为：16．【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数值是2．【分析】根据被开方数大于等于0列式求出m的取值范围，再确定出m的值即可．【解答】解：由题意得，3m﹣6≥0，解得m≥2，所以，m能取的最小整数值2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13．（3分）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为 6.5．【分析】首先利用勾股定理计算出AR的长，然后再根据三角形中位线定理计算出EF的长即可．【解答】解：∵∠D＝90°，DR＝5，AD＝12，∴AR＝，∵E、F分别是PA、PR的中点，∴EF＝AR＝6.5，故答案为：6.5．【点评】此题主要考查了勾股定理和三角形的中位线，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝1或﹣2．【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．【解答】解：方程两边都乘x（x﹣1）得，x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），整理得，（a+2）x＝3，当整式方程无解时，a+2＝0即a＝﹣2，当分式方程无解时：①x＝0时，a无解，②x＝1时，a＝1，所以a＝1或﹣2时，原方程无解．故答案为：1或﹣2．【点评】分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．15．（3分）已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是0＜x≤4．【分析】根据反比例函数的性质，结合“y≥1”，得到x＞0，列出关于x的分式不等式，解之即可．【解答】解：∵反比例函数y＝，k＞0，∴当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，∵y≥1，∴x＞0，，解得：x≤4，综上可知：0＜x≤4，故答案为：0＜x≤4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC＝5，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可计算出CB′＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E＝∠B＝90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，∴CB′＝5﹣3＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2，∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴BE＝；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．综上所述，BE的长为或3．故答案为：或3．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）计算下面各题．（1）（）×﹣6（2）+2﹣﹣4【分析】（1）先算乘法，再合并同类二次根式即可；（2）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）（）×﹣6＝3﹣6﹣3＝﹣6；（2）+2﹣﹣4＝2+2﹣﹣4＝﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．18．（12分）（1）解方程：+3＝．（2）已知x+y＝3，xy＝1，求的值．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（1）去分母得：1+3x﹣6＝x﹣1，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解；（2）∵x+y＝3，xy＝1，∴原式＝＝＝．【点评】此题考查了解分式方程，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．【分析】先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出m的值，从而可求出原式的值．【解答】解：原式＝（﹣）×＝×﹣×＝﹣＝，∵m≠±2，0，∴当m＝3时，原式＝3【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20．（8分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（2）点B1的坐标为（﹣2，﹣3），点C2的坐标为（2，﹣2）．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点B1、C2的坐标．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，△A2B2C2如图所示；（2）B1（﹣2，﹣3），C2（2，﹣2）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．（8分）某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为40%，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是144度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？【分析】（1）根据各项目百分比之和为1可得样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比，再用A的百分比乘以360度可得答案；（2）先求出调查的总人数，再根据A项目所占百分比求得其人数，即可补全条形图；（3）用该校学生总数乘以D项目所占百分比可得答案．【解答】解：（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为1﹣30%﹣10%﹣20%＝40%，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是360°×40%＝144°，故答案为：40%，144；（2）本次抽查的学生人数是：15÷30%＝50（人），则喜欢A项目的人数是：50×40%＝20（人），作图如下：（3）1000×20%＝200（人），答：根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是200人．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．22．（8分）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作（20﹣）天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【分析】（1）关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量＝1；（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；（3）关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用（2）得到的代数式求解．【解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，+＝1，解得：x＝30，经检验x＝30是原方程的解．∴x+30＝60，答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；故答案为：（20﹣）；（3）设甲单独做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程队至少要单独施工36天．【点评】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．（1）求证：FE＝FD；（2）若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到FE＝AB，根据直角三角形的性质得到FD ＝AC，等量代换即可；（2）根据平行线的性质得到∠EFC＝∠BAC＝24°，根据直角三角形的性质得到∠DFC ＝48°，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE＝AB，∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，∴FD＝AC，∵AB＝AC，∴FE＝FD；（2）解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝24°，∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，∴FD＝AF．∴∠ADF＝∠DAF＝24°，∴∠DFC＝48°，∴∠EFD＝72°，∵FE＝FD，∴∠FED＝∠EDF＝54°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD；（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．【解答】解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．又∵DE＝AC，∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝8，AO＝4．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．25．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象，A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C （﹣2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，点C关于y轴的对称点在y＝（x ＞0）图象上，连接AC，BC．（1）求m，n的值；（2）求BC所在直线的表达式；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）先由点A确定k，再求m的值，根据关于y轴对称，确定k2再求n；（2）先设出函数表达式，再代入B、C两点，根据待定系数法即可得直线BC的表达式；（3）过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线构造矩形，△ABC的面积＝矩形面积﹣3个直角三角形的面积．【解答】解：（1）因为点A、点B在函数y＝（x＞0）图象上，∴k1＝1×4＝4，∴m×4＝k1＝4，∴m＝1，∵点C（﹣2，n）关于y轴的对称点在y＝（x＞0）图象上．∴对称点为（2，n），∴2×n＝4，∴n＝2；（2）设直线BC所在的直线表达式为y＝kx+b把B（4，1），C（﹣2，2）代入，得，解得，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+；（3）如图所示：过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线，它们的交点分别是E、F、B、G．∴四边形EFBG是矩形．则AF＝3，BF＝3，AE＝3，EC＝2，CG＝1，GB＝6，EG＝3∴S△ABC ＝S矩形EFBG﹣S△AFB﹣S△AEC﹣S△CBG＝BG×EG﹣AF×FB﹣AE×EC﹣BG×CG＝18﹣﹣3﹣3＝．【点评】本题考查了反比例函数的图形及性质、待定系数法确定一次函数解析式及三角形的面积．题目具有综合性．注意图形的面积可以用割补法也可以用规则的几何图形求和差．26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．【分析】（1）由已知代入点坐标即可；（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上∴k＝8∴y1＝∵a＝2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n解得∴y2＝x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点S △AOB ＝S △ABA ′＝8∵点A 、B 在双曲线上∴S △AOC ＝S △BOD∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8由已知点A 、B 坐标都表示为（a ，）（3a ，） ∴解得k ＝6（3）由已知A （a ，），则A ′为（﹣a ，﹣）把A ′代入到y ＝﹣∴n ＝∴A ′D 解析式为y ＝当x ＝a 时，点D 纵坐标为∴AD ＝∵AD ＝AF ，∴点F 和点P 横坐标为∴点P 纵坐标为∴点P 在y 1═（x ＞0）的图象上【点评】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．。

2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列调查，应采用全面调查的是（）A．对我市七年级学生身高的调查B．对我国研制的“C919”大飞机零部件的调查C．对我市各乡镇猪肉价格的调查D．对我国“东风﹣41”洲际弹道导弹射程的调查2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．“长度分别为6cm、8cm、10cm的三根木条首尾顺次相接，组成一个直角三角形．”这个事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．无法确定4．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分5．在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1和函数y=kx（k是常数且k≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．6．若反比例函数y=kx的图象经过（﹣1，3），则这个函数的图象一定过（）A ．（﹣3，1）B ．（−13，3）C ．（﹣3，﹣1）D ．（13，3） 7．如图，△ABC 为钝角三角形，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转120°得到△AB ′C ′，连接BB ′，若AC ′∥BB ′，则∠CAB ′的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．70°D ．90°8．将矩形OABC 如图放置，O 为原点，若点A 的坐标是（﹣1，2），点B 的坐标是（2，72），则点C 的坐标是（ ）A ．（4，2）B ．（2，4）C ．（32，3）D ．（3，32） 二．填空题（共9小题）9．在一个不透明的袋子中有1个红球，2个绿球和3个白球，这些球除了颜色外完全一样，摇匀后，从袋子中任意摸出1个球，你认为取出 颜色的球的可能性最大．10．在整数20180419中，数字“1”出现的频率是 ．11．已知反比例函数y =3x ，x ＞0时，y 0，这部分图象在第 象限，y 随着x值的增大而 ．12．在平行四边形ABCD 中，连接AC ，∠CAD ＝40°，△ABC 为钝角等腰三角形，则∠ADC的度数为 度．13．如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若AC ＝6，BD＝8，则OE 的长为 ．14．已知y与x+1成反比例函数，且当x＝1时，y＝2，则当x＝0时，y＝．15．如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，当点E，F分别在对角线BD、边CD上，若FC ＝6，则BE的长为．16．点P，Q，R在反比例函数y=kx（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为．17．如图，反比例函数y=kx位于第二象限的图象上有A，B两点，过A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥y轴于点C．已知，S△OCD=32，S△OAB＝12，则反比例函数解析式为．三．解答题（共6小题，满分46分）18．（7分）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间y（h）是参加植树人数x（人）的反比例函数，且当x＝20人时，y＝3h．（1）若平均每人每小时植树4棵，则这次共计要植树棵；（2）当x＝80时，求y的值；（3）为了能在1.5h内完成任务，至少需要多少人参加植树？19．（8分）为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项：A、1.5小时以上；B、1～1.5小时；C、0.5～1小时；D、0.5小时以下．图1、2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：（1）本次一共调查了多少名学生？（2）在图1中将选项B的部分补充完整；（3）若该校有3000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在1小时以下．20．（12分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（2）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．21．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10．（1）如图1，若点H在边BC上，且AH＝AD，DG⊥AH，求DG的长．（2）如图2，连接BD，作BD的垂直平分线与边AD．BC分别相交于E、F，连接BE、DF．求证：四边形EBFD是菱形．22．【阅读】如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC＝8，BC＝6，∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC 的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，8]；【尝试】（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[，]；（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；【应用】经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，直线l 与AB相交于点F，试画出图形并解决下列问题：①求出a的值；②若P为边OA上一动点，连接PE、PF，请直接写出PE+PF的最小值．（备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：√2或√2：√2：2）23．（13分）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数．（可直接使用问题（1）中的结论）【问题探究】（3）如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，若∠A ＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为．【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为．（用x、y表示∠P）（5）在图5中，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论．2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列调查，应采用全面调查的是（）A．对我市七年级学生身高的调查B．对我国研制的“C919”大飞机零部件的调查C．对我市各乡镇猪肉价格的调查D．对我国“东风﹣41”洲际弹道导弹射程的调查【解答】解：A、对我市七年级学生身高的调查，因范围较广，不宜采用全面调查，故A 不符合题意；B、对我国研制的“C919”大飞机零部件的调查，因涉及安全问题，宜采用全面调查，故B符合题意；C、对我市各乡镇猪肉价格的调查，因范围较广，不宜采用全面调查，故C不符合题意；D、对我国“东风﹣41”洲际弹道导弹射程的调查，因破坏性较强，宜采用抽样调查，故D不符合题意；故选：B．2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．3．“长度分别为6cm、8cm、10cm的三根木条首尾顺次相接，组成一个直角三角形．”这个事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．无法确定【解答】解：“长度分别为6cm、8cm、10cm的三根木条首尾顺次相接，组成一个直角三角形．”这个事件是必然事件，故选：A．4．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分【解答】解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．故选：A．5．在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1和函数y=kx（k是常数且k≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当k＞0时，一次函数过一二三象限，反比例函数过一三象限；当k＜0时，一次函数过一二四象限，反比例函数过二四象限；故选：B．6．若反比例函数y=kx的图象经过（﹣1，3），则这个函数的图象一定过（）A．（﹣3，1）B．（−13，3）C．（﹣3，﹣1）D．（13，3）【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过（﹣1，3），∴k＝﹣1×3＝﹣3，∴反比例函数解析式为y=−3 x．当x ＝﹣3时，y =−3−3=1， ∴反比例函数y =−3x 的图象经过点（﹣3，1），反比例函数y =−3x 的图象不经过点（﹣3，﹣1）；当x =−13时，y =−3−13=9， ∴反比例函数y =−3x 的图象不经过点（−13，3）；当x =13时，y =−313=−9，∴反比例函数y =−3x 的图象不经过点（13，3）．故选：A ．7．如图，△ABC 为钝角三角形，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转120°得到△AB ′C ′，连接BB ′，若AC ′∥BB ′，则∠CAB ′的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．70°D ．90°【解答】解：∵将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转120°得到△AB ′C ′，∴∠BAB ′＝∠CAC ′＝120°，AB ＝AB ′，∴∠AB ′B =12（180°﹣120°）＝30°，∵AC ′∥BB ′，∴∠C ′AB ′＝∠AB ′B ＝30°，∴∠CAB ′＝∠CAC ′﹣∠C ′AB ′＝120°﹣30°＝90°．故选：D ．8．将矩形OABC 如图放置，O 为原点，若点A 的坐标是（﹣1，2），点B 的坐标是（2，72），则点C 的坐标是（ ）A ．（4，2）B ．（2，4）C ．（32，3）D ．（3，32）【解答】解：如图：过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥⊥x 轴于点F ，过点A 作AN ⊥BF 于点N ，过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，∵∠EAO +∠AOE ＝90°，∠AOE +∠MOC ＝90°， ∴∠EAO ＝∠COM ， 又∵∠AEO ＝∠CMO ， ∴∠AEO ∽△COM ， ∴EO AE=CM MO=12，∵∠BAN +∠OAN ＝90°，∠EAO +∠OAN ＝90°， ∴∠BAN ＝∠EAO ＝∠COM ， 在△ABN 和△OCM 中 {∠BNA =∠CMO ∠BAN =∠COM AB =OC， ∴△ABN ≌△OCM （AAS ）， ∴BN ＝CM ，∵点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，∴BN =32， ∴CM =32，∴MO ＝3，∴点C 的坐标是：（3，32）．故选：D ．二．填空题（共9小题）9．在一个不透明的袋子中有1个红球，2个绿球和3个白球，这些球除了颜色外完全一样，摇匀后，从袋子中任意摸出1个球，你认为取出 白 颜色的球的可能性最大． 【解答】解：∵一只不透明的袋子中有1个红球，2个绿球和3个白球，这些球除颜色外都相同，∴P （红球）=16，P （绿球）=26=13，（白球）=36=12， ∴摸到白球的可能性最大． 故答案为：白．10．在整数20180419中，数字“1”出现的频率是14．【解答】解：∵在整数20180419中，数字“1”出现了2次， ∴数字“1”出现的频率是28=14；故答案为：14．11．已知反比例函数y =3x ，x ＞0时，y ＞ 0，这部分图象在第 一 象限，y 随着x 值的增大而 减小 ．【解答】解：反比例函数y =3x ，x ＞0时，y ＞0，这部分图象在第一象限，y 随着x 值的增大而减小．故答案为：＞；一；减小．12．在平行四边形ABCD 中，连接AC ，∠CAD ＝40°，△ABC 为钝角等腰三角形，则∠ADC 的度数为 100或40 度．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCA ＝∠CAD ＝40°， ①如图1，∠BAC ＝∠BCA ＝40°， ∠B ＝180°﹣40°×2＝100°， 则∠ADC ＝100°；②如图2，∠B＝∠BCA＝40°，则∠ADC＝40°．综上所述，∠ADC的度数为100或40度．故答案为：100或40．13．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD ＝8，则OE的长为 2.5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，又∵点E是AB中点，∴OE是△DAB的中位线，在Rt△AOD中，AB=√OA2+OB2=√32+42=5，则OE=12AB＝2.5．故答案为：2.5．14．已知y与x+1成反比例函数，且当x＝1时，y＝2，则当x＝0时，y＝4．【解答】解：设反比例函数解析式为y=kx+1（k≠0），∵当x＝1时，y＝2，∴2=k1+1，解得k ＝4，∴反比例函数解析式为y =4x+1， 把x ＝0代入y =4x+1得：y ＝4， 故答案为：4．15．如图，正方形ABCD ，∠EAF ＝45°，当点E ，F 分别在对角线BD 、边CD 上，若FC ＝6，则BE 的长为 3√2 ．【解答】解：作△ADF 的外接圆⊙O ，连接EF 、EC ，过点E 分别作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥BC 于N （如图） ∵∠ADF ＝90°， ∴AF 为⊙O 直径，∵BD 为正方形ABCD 对角线， ∴∠EDF ＝∠EAF ＝45°， ∴点E 在⊙O 上， ∴∠AEF ＝90°，∴△AEF 为等腰直角三角形， ∴AE ＝EF ，在△ABE 与△CBE 中{AB =CB∠ABE =∠CBE BE =BE ，∴△ABE ≌△CBE （SAS ）， ∴AE ＝CE ， ∴CE ＝EF ， ∵EM ⊥CF ，CF ＝6， ∴CM =12CF ＝3，∵EN ⊥BC ，∠NCM ＝90°，∴四边形CMEN 是矩形， ∴EN ＝CM ＝3， ∵∠EBN ＝45°， ∴BE =√2EN ＝3√2， 故答案为：3√2．16．点P ，Q ，R 在反比例函数y =kx （常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1+S 3＝27，则S 2的值为275．【解答】解：∵CD ＝DE ＝OE ， ∴可以假设CD ＝DE ＝OE ＝a ， 则P （k 3a，3a ），Q （k2a，2a ），R （ka，a ），∴CP =k3a ，DQ =k2a ，ER =ka ， ∴OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF =23GA ， ∴S 1=23S 3＝2S 2， ∵S 1+S 3＝27，∴S 3=815，S 1=545，S 2=275， 故答案为275．17．如图，反比例函数y =k x位于第二象限的图象上有A ，B 两点，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥y 轴于点C ．已知，S △OCD =32，S △OAB ＝12，则反比例函数解析式为 y =−9x ．【解答】解：作BE ⊥x 轴于E ， 设A （m ，km ），∵S △OCD =32，∴12OD •OC =32，即12（﹣m ）•OC =32，∴OC =−3m， ∴B （−mk 3，−3m）， ∵S △OAB ＝12，∴S 梯形ABED ＝S △OAB ﹣S △AOD +S △BOE ＝12， ∴12（k m−3m）（m +mk3）＝12， 解得k ＝±9，∵反比例函数y =kx 位于第二象限． ∴k ＝﹣9，∴反比例函数的解析式是y =−9x， 故答案为y =−9x ．三．解答题（共6小题，满分46分）18．（7分）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间y（h）是参加植树人数x（人）的反比例函数，且当x＝20人时，y＝3h．（1）若平均每人每小时植树4棵，则这次共计要植树240棵；（2）当x＝80时，求y的值；（3）为了能在1.5h内完成任务，至少需要多少人参加植树？【解答】解：（1）由题意可得：20×4×3＝240；故答案为：240；（2）设y与x的函数表达式为：y=kx（k≠0），∵当x＝20时，y＝3．∴3=k 20∴k＝60，∴y=60 x，当x＝80时，y=6080=34；（3）把y＝1.5代入y=60x，得1.5=60 x，解得：x＝40，根据反比例函数的性质，y随x的增大而减小，所以为了能在1.5h内完成任务，至少需要40人参加植树．19．（8分）为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项：A、1.5小时以上；B、1～1.5小时；C、0.5～1小时；D、0.5小时以下．图1、2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：（1）本次一共调查了多少名学生？（2）在图1中将选项B的部分补充完整；（3）若该校有3000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在1小时以下．【解答】解：（1）读图可得：A类有60人，占30%，则本次一共调查了60÷30%＝200人，因此本次一共调查了200名学生．（2）“B”有200﹣60﹣30﹣10＝100人，如图1所示．（3）每天参加体育锻炼在1小时以下占15%，每天参加体育锻炼在0.5小时以下占5%，则3000×（15%+5%）＝3000×20%＝600人，因此学校有600人平均每天参加体育锻炼在1小时以下．20．（12分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（2）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所作；点B的对应点B'的坐标的坐标为（0，﹣6）；（2）如图所示，点D的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）．21．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10．（1）如图1，若点H在边BC上，且AH＝AD，DG⊥AH，求DG的长．（2）如图2，连接BD，作BD的垂直平分线与边AD．BC分别相交于E、F，连接BE、DF．求证：四边形EBFD是菱形．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠DAG ＝∠AHB ， 在△ADG 和△HAB 中， {∠DAG =∠AHB ∠DGA =∠B AD =AH， ∴△ADG ≌△HAB （AAS ）， ∴DG ＝AB ＝6；（2）∵EF 是BD 的垂直平分线， ∴BO ＝DO ，BE ＝DE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠EDO ＝∠FBO ， 在△DEO 和△BFO 中， {∠EDO =∠FBO DO =BO ∠DOE =∠BOF， ∴△DEO ≌△BFO （ASA ）， ∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形， 又∵BE ＝DE ，∴四边形BFDE 是菱形．22．【阅读】如图1，四边形OABC 中，OA ＝a ，OC ＝8，BC ＝6，∠AOC ＝∠BCO ＝90°，经过点O 的直线l 将四边形分成两部分，直线l 与OC 所成的角设为θ，将四边形OABC 的直角∠OCB 沿直线l 折叠，点C 落在点D 处，我们把这个操作过程记为FZ [θ，a ]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，8]；【尝试】（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[45°，16]；（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；【应用】经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，直线l 与AB相交于点F，试画出图形并解决下列问题：①求出a的值；②若P为边OA上一动点，连接PE、PF，请直接写出PE+PF的最小值．（备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：√2或√2：√2：2）【解答】解：（1）点D与OA的中点重合，如图1，由折叠得：∠COP＝∠DOP＝45°，∠C＝∠ODP＝90°，∴CP＝PD，∵OP＝OP，∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），∴OC ＝OD ＝8，∵D 为OA 的中点，∴OA ＝a ＝16，则这个操作过程为FZ [45°，16]；故答案为：45°，16；（2）延长MD 、OA ，交于点N ，如图2．∵∠AOC ＝∠BCO ＝90°，∴∠AOC +∠BCO ＝180°，∴BC ∥OA ，∴∠B ＝∠DAN ．在△BDM 和△ADN 中，{∠B =∠DAN BD =AD ∠BDM =∠ADN，∴△BDM ≌△ADN （ASA ），∴DM ＝DN ．∵∠ODM ＝∠OCM ＝90°，∴根据线段垂直平分线的性质可得OM ＝ON ，∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD ＝∠NOD ．由折叠可得∠MOD ＝∠MOC ＝θ，∴∠COA ＝3θ＝90°，∴θ＝30°；【应用】①过点B作BH⊥OA于点H，如图3．∵∠COA＝90°，∠COF＝45°，∴∠FOA＝45°．∵点B与点E关于直线l对称，∴∠OF A＝∠OFB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠HBA＝90°﹣45°＝45°＝∠HAB，∴BH＝AH．∵CO⊥OA，BH⊥OA，∴CO∥BH．∵BC∥OA，∴四边形BCOH是平行四边形，∴BH＝CO＝8，OH＝CB＝6，∴OA＝OH+AH＝OH+BH＝6+8＝14．∴a的值为14．②过点B作BH⊥OA于点H，过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ，OB，如图4，则有∠QAO＝∠F AO＝45°，QA＝F A，∴∠QAF＝90°．在Rt△BHA中，AB=√BH2+AH2=8√2．在Rt△OF A中，∠AFO＝90°，∠AOF＝∠OAF＝45°=7√2，∴AF＝OF=2∴AQ＝AF＝7√2．在Rt△OCB中，OB=√OC2+BC2=√82+62=10．在Rt△OFB中，BF＝AB﹣AF＝8√2−7√2=√2．由折叠可得EF＝BF=√2，∴AE＝AF﹣EF＝7√2−√2=6√2．在Rt△QAE中，EQ2＝AE2+AQ2＝（6√2）2+（7√2）2＝170．根据两点之间线段最短可得：当点E、P、Q三点共线时，PE+PF＝PE+PQ最短，最小值为线段EQ长．∴PE+PF的最小值的是√170．23．（13分）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数．（可直接使用问题（1）中的结论）【问题探究】（3）如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，若∠A ＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为24°．【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为∠P=14（3x+y）．（用x、y表示∠P）（5）在图5中，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论∠P＝90°+12∠C−32∠A．【解答】解：（1）如图1中，∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图2中，设∠BAP ＝∠P AD ＝x ，∠BCP ＝∠PCD ＝y ，则有{x +∠B =y +∠P x +∠P =y +∠D， ∴∠B ﹣∠P ＝∠P ﹣∠D ，∴P =12（∠B +∠D ）=12（28°+20°）＝24°．故答案为24°（3）如图3中，设∠CBJ ＝∠JBF ＝x ，∠ADP ＝∠PDE ＝y ．则有{∠P +x =∠A +y ∠P +180°−x =∠C +180°−y， ∴2∠P ＝∠A +∠C ，∴∠P =12（30°+18°）＝24°．（4）如图4中，设∠CAP ＝α，∠CDP ＝β，则∠P AB ＝3α，∠PDB ＝3β，则有{∠P +β=∠C +α∠P +3α=∠B +3β， ∴4∠P ＝3∠C +∠B ，∴∠P =14（3x +y ），故答案为∠P =14（3x +y ）．（5）如图5中，延长AB 交PD 于J ，设∠PBJ ＝x ，∠ADP ＝∠PDE ＝y ．则有∠A +2x ＝∠C +180°﹣2y ，∴x +y ＝90°+12（∠C ﹣∠A ），∵∠P +x +∠A +y ＝180°，∴∠P ＝90°−12∠C −12∠A ．故答案为∠P ＝90°−12∠C −12∠A ．。

数学试卷注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟；2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．1．下列各式中是分式的是（）A．B．C．D．2．使分式有意义的x的取值范围为（）A．B．C．D．且3．分式中的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（）A．不变B．扩大到原来的3倍C．缩小到原来的D．缩小到原来的4．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．在上述变化中，自变量是（）A．2B．周长C C．D．半径r5．分式和的最简公分母是（）A．B．C．D．6．对于函数，下列说法正确的是（）A．它的图象经过点B．y值随着x值的增大而减小C．它的图象经过第二象限D．当时，7．“行走是吾乡”2023河南省自行车公开赛暨环中原自行车公开赛在南水北调中线工程渠首激情开赛，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示，有下列说法：其中，错误的说法是（）A．甲比乙先到达终点B．第1小时两人都跑了21千米C．起跑后1小时内，甲在乙的前面D．两人都跑了42.195千米8．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（）A．快马的速度B．慢马的速度C．规定的时间D．以上都不对9．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为B．当时，C．当时，D．蓄电池的电压是二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：__________．12．已知点在第二象限，则正整数a的值可以等于__________．（写出一个符合要求的a值）13．“双碳”目标背景下，一种具有机电能量转换和储存装置的飞轮储能系统被列入了国家“十四五”新型储能技术试点示范重点．飞轮储能可以在约完成整体场站一次调频，其性能远远优于火电机组，将数据0.000139用科学记数法表示为__________．14．如图，点分别在反比例函数和图象上，分别过两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为__________．15．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线运动到点C，速度为，其中的长与运动时间t的关系如图2．则的面积为__________．图1 图2三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．计算与化简（10分）（1）（5分）计算：．（2）（5分）化简：17．（9分）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主千在地面以上处的直径）越大，树就越高，通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为．（1）求y与x之间的函数表达式．（2）当这种树的胸径为时，其树高是多少？18．（9分）如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在的图象交于两点，已知点A的坐标为，点B的坐标为（1）求反比例函数的解析式；（2）请写出不等式的解集．（3）求的面积．19．（9分）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．（1）求两种文具的单价；（2）若年级组需要购买两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元，则年级组至少购买B种文具多少件？20．（9分）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质，下面是他的探究过程，请你补充完整：（1）列表：x…01…y…321012k…直接填空：__________．（2）描点并画出该函数的图象．（3）观察的图象，类比一次函数，写出该函数的两条性质：①__________；②__________．（4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为__________．21．（9分）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意，某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元．（1）求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．（2）该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？22．（10分）阅读与思考小敏在学完一次函数后，针对“一次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读整理笔记专题：一次方程解法归纳引例，求一元一次方程和方程组的解基本步骤：去括号，去分母，移项合并同类项，化系数为1基本思想：__________．解答：，第一步：移项得：，第二步：合并同类项得：，第三步：化系数为1得：方法一：由得，把代入①中得，．所以原方程组的解为．方法二：利用两条直线的交点坐标求得方程组的解为：．任务：（1）解方程的基本思想是__________；A．方程思想；B．转化思想；C．数形结合；D．分类讨论．（2）解方程的步骤从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________，方程正确的解为__________；（3）归纳小结：小敏认为像方法二一样用函数的观点不仅可以认识二元一次方程组的解，还可以认识其他的知识．例如：__________（请你用简明的语言再举一例即可）23．（10分）综合与实践探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，在数学课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：图1 图2 图3（1）操作猜想：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到x轴的距离是__________，点B到x轴的距离是__________．（2）类比探究：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D，求点D的坐标．（3）拓展探究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点分别在y轴、x轴上，且．若点C的坐标为，点A的坐标为，点P是x轴上的动点，当的面积等于6时，请直接写出线段的长．数学参考答案一．选择题(每小题3分，共30分)题号12345678910答案A C B D C D A C A B二．填空题(每小题3分，共15分)题号1112131415答案1答案不唯一（1或2、3都可) 1.39×10－4448三．解答题（本大题共8个小题，共75分）16．(共10分，每小题5分)（1）解：原式＝－1－2＋9 ………3分＝－3＋9＝6 ………5分（2）解：原式＝………2分……………4分……………………5分17．(9分)（1）设y与x的函数表达式为y＝kx＋b，根据题意，得……………2分解得……………4分∴y＝25x＋15 ……………5分（2）由（1）可知y＝25x＋15当x＝0.3时，y＝25×0.3＋15＝22.5 ……………8分∴当这棵树的胸径为0.3 m时，其树高是22.5 m．……………9分18．(9分)解：（1）∵直线y1＝x－4与反比例函数的图象交于点A(3n，n)、B(m，－6)∴n＝3n－4，-6＝m－4解得n＝2, m＝-2∴点A的坐标为(6，2), 点B的坐标为(-2，－6) ……………1分(A、B两点的坐标只求其中一个也给分）……………3分（2）－2＜x＜0 或x＞6 ………………5分（写对一个给1分）（3）∵y1＝x－4，当y1＝0时，x＝4∴C(4，0)，即OC＝4 ……………7分＝4 ……………9分19．(9分)解：（1）设A文具的单价为x元，则B文具的单价为(x－8)元．（设法不唯一，合理即可）根据题意，得……………2分解得x＝24经检验x＝24是原方程的解，且符合题意．此时x－8＝24－8＝16 ……………4分答：A文具的单价为24元，则B文具的单价为16元……………5分（2）设年级组购买B种文具m件，根据题意，得24(100－m)＋16m≤2080……………7分解得m≥40∴年级组至少购买B种文具40件．……………9分20．(9分)解：（1）k＝3 ……………………1分（2）如图所示．……………………4分（3）例如①当x＞-2时，y随x的增大而增大．②当x＜-2时，y随x的增大而减小．…………6分（各1分）③当x＝2时，y有最小值0．④函数图像关于直线x＝－2对称(只要符合图象即可)……（4）4 ……………………9分解：（1）设大号“龙辰辰”的进价为x元，则每个中号“龙辰辰”的进价为(x－15)元（设法不唯一，正确即可）．根据题意，得2x＋x－15＝150 ……………………2分解得x＝55．此时x－15＝40 ……………………3分答：大号“龙辰辰”的进价为55元，中号“龙辰辰”的进价为40元．……………4分（2）设购进大号“龙辰辰”m个，销售总利润为w元．由题意，得w＝[60(1＋30%)－55]m＋(60－40)(60－m)＝3m＋1200 ……………6分又∴m≤20……………7分∵k＝3＞0，∴w随m的增大而增大．∴当m＝20时，w最大＝3×20＋1200＝1260(元) ……………8分答：当购进大号“龙辰辰”20个时，销售利润最大．最大利润为1260元．…………9分22．(10分)解：（1）B ……………2分（2）二……………4分化简系数错误（合理即可）……………6分x＝6 ……………8分（3）用函数的观点可以认识一元一次方程的解．………………10分（合理即可）(或用函数的观点可以认识一元一次不等式的解集)23．(10分)（1） 2 ……………………1分1 ……………………2分（2）过点C作CE⊥x轴，垂足为E……………………3分∵y＝－2x＋2∴当x＝0时，y＝2即A(0，2)当y＝0时，x＝1即B(1，0)∴OA＝2，OB＝1．……………4分又∵BC⊥AB∴∠ABC＝90°∴∠CBE＋∠OBA＝90°∴∠CBE＋∠ECB＝90°∴∠OBA＝∠ECB在△AOB和△BEC中∴△AOB≌△BEC ……………………6分∴OA＝BE＝2OB＝EC＝1∴C点的坐标为(3，1) ……………7分设直线AD的解析式为y＝kx＋b，则解得当y＝0时，∴x＝6∴D(6，0) ……………8分⑶或……………10分(答对1个给1分)。

2022-2023学年河南省南阳市邓州市八年级（下）期中数学试卷1. 当a 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( )A. B.C. D.2. 分式可变形为( )A.B. C. D.3. 若一粒米的质量约是，我国有14亿人，如果每人每天浪费10粒米，那么全国人民一年会浪费掉大米．节约粮食，人人有责；光盘行动，意义重大！将数据用科学记数法表示为( )A. B.C. D.4. 化简的结果是( )A.B. C. D.5. 在平面直角坐标系中，已知点，下列说法不正确的是( )A. 点A 在第四象限B. 点A 关于x 轴的对称点的坐标为C. 点A 关于y 轴的对称点的坐标为D. 点A 关于原点的对称点的坐标为6. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为( )A. 5mB. 7mC. 10mD. 13m7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是( )A. B.C. D.8. 如图，在▱ABCD中，已知，，的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是( )A. B. C. D.10.如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动，到点C停止运动，点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则的面积是( )A. 24B. 48C. 80D. 9611. 若分式有意义，则m的值不等于______ .12. 已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则实数k的值可以是______ 只需写出一个符合条件的实数13. 分式方程的解是______ .14. 如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接AB、，则图中阴影部分的面积为______ .15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转后，点B的对应点坐标是______.16. 计算：；化简：17. 如图所示反映的过程是：小明从家出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家.其中表示时间，表示小明离家的距离.已知小明家、菜地、玉米地在同一直线上.根据图象回答下列问题：小明到达菜地用了______ 分钟；菜地离玉米地的距离是______ 千米；小明给玉米地锄草用了______ 分钟；求小明从玉米地到家的平均速度是每小时多少千米？18. 阅读与理解阅读下列材料，完成后面的任务.在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.例：若，求代数式的值.解：，，，任务：已知求的值.求的值.19. 已知y是x的函数，且若该函数为正比例函数，则______ ，此时函数图象经过______ 象限.若将该函数图象向上平移2个单位后经过点，求出此时m的值.当时，求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标.20. 反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点.求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；观察图象，直接写出不等式的解集.21. 我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多5台.求A、B型设备单价分别是多少元.该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的设购买a 台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用.22. 为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法. x…12369…y…10610…列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示.观察所描出点的分布，用一条光滑的曲线将点顺次连接起来，作出函数图象.已知点、在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题填“>”“=”或“<”：①若，则______ ；②若，则______ ；③若，则______某农户要用一些围栏建造一个的长方形鸡圈，设鸡圈的一边长为x m，所需围栏长度为①请直接写出y与x之间的函数关系式；②若围栏的单价为50元，且该农户买围栏的预算不超过750元，在不考虑其他影响因素的情况下，鸡圈的一边长x应控制在什么范围内？23. 综合与实践折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧.定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形.操作发现：如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若的面积为12，，则此完美长方形的边长______ ，面积为______ .类比探究：如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为20，，求完美长方形AEFG的周长.拓展延伸：如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：：4，，则此完美长方形的周长为______ ，面积为______ .答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、当时，分式无意义，故此选项错误；B、当时，分式无意义，故此选项错误；C、当时，分式无意义，故此选项错误；D、当a为任意实数时，分式都有意义，故此选项正确；故选：根据分式有意义分母不为零分别进行分析即可．此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．分式无意义的条件是分母等于零．2.【答案】D【解析】解：分式可变形为：故选：直接利用分式的基本性质分析得出答案．此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形是解题关键．3.【答案】C【解析】解：故选：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.【答案】A【解析】解：，故选：根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：点A在第四象限，选项正确，不符合题意；B.点A关于x轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意；C.点A关于y轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意；D.点A关于原点的对称点的坐标为，选项错误，符合题意；故选：先确定平面直角坐标系中A点的位置，再确定其对称点的位置即可．本题考查平面直角坐标系中点的位置和对称点的坐标，解题的关键是熟练掌握对称点坐标变化规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数；关于y轴对称，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标均变为原数的相反数．6.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度是解题的关键．【解答】解：观察图象，当时，，这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，故选：7.【答案】C【解析】解：一次函数中，令，则；令，则，一次函数的图象经过点和，一次函数的图象经过一、二、四象限，故选：依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、二、四象限．本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．8.【答案】B【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，是的平分线，，，，，故选：由平行四边形的得，，，再证，则，即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：根据题意，可得，故选：根据“顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等”列分式方程即可．本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为10，即，点P从B向C运动时，AP的最小值为8，即BC边上的高为8，当，，此时，由勾股定理可知：，由于图象的曲线部分是轴对称图形，此时，，的面积为：，故选：根据图象可知点P在AB上运动时，此时AP不断增大，而从B向C运动时，AP先变小后变大，从而可求出BC与BC上的高．本题考查动点问题的函数图象，注意结合图象求出BC与AB的长度是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：分式有意义，，解得：，故答案为：由分式有意义，可得，从而可得答案．本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解本题的关键．12.【答案】答案不唯一【解析】解：一次函数y随x的增大而减小，，不妨设，故答案为：答案不唯一根据一次函数的性质，y随x的增大而减小，不妨令即可．本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足13.【答案】【解析】解：方程两边同时乘以，得：，去括号得，整理得，解得：，检验：当时，所以是分式方程的解，故答案为：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的方法以及注意事项是解题的关键．解分式方程注意要检验．14.【答案】3【解析】解：如图，过作于H，将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，，，，，故答案为：如图，过作于H，由将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，可得，，从而可得答案．本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质，理解题意确定是解本题的关键．15.【答案】或【解析】解：，，，，，，轴，将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转后，由旋转得：，，，轴，轴，和的坐标分别为：、，即是图中的和，坐标就是或，故答案为：或根据旋转可得：，，可得和的坐标，即是的坐标．本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．16.【答案】解：原式；原式【解析】实数的计算，根据实数的运算法则求解即可；分式的化简，根据分式的运算法则计算求解．本题考查了实数的混合运算，负指数幂的计算，二次根式的化简，零次幂的计算，分式的化简等知识，牢记公式与定义，熟练分解因式是解题的关键．17.【答案】【解析】解：由图可知，小明到达菜地用了15分钟；故答案为：15；菜地离玉米地的距离是千米；故答案为：；小明给玉米地锄草用了分钟；故答案为：18；千米，小明从玉米地到家的平均速度是每小时或千米．观察函数图象得到小明用15分钟从家去菜地，浇水用了10分钟，又去离家2千米的玉米地，锄草用了18分钟，然后用了25分钟回家，由此可得出结果．本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18.【答案】解：，，，；，【解析】利用分式约分化简解题；先求出倒数的值，然后代入求值即可．本题考查分式的有关运算，理解材料中的计算方法，掌握分式的运算法则是解题的关键．19.【答案】一，三【解析】解：为正比例函数，且，解得：，此时函数式为：，函数图象经过一、三象限．故答案为：，一，三；向上平移2个单位长度；平移后的解析式为：，平移后图象经过点解得；当时，，令，即解得：，令，即该函数图象x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为由为正比例函数，可得且，解得：，从而可得答案；向上平移2个单位长度；可得，把点代入可得，再解方程即可；当时，则，再求解函数与坐标轴的交点即可．本题考查的是正比例函数的定义，一次函数图象的平移，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，理解一次函数的性质是解本题的关键．20.【答案】，在反比例函数的图象上，，解得，，，，把，代入中得，解得，一次函数解析式为画出函数图象如图；由图象可得当或时，直线在反比例函数图象下方，的解集为或【解析】将A，B两坐标先代入反比例函数求出m，n，然后由待定系数法求函数解析式．根据直线在曲线下方时x的取值范围求解．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．21.【答案】解：设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为元，根据题意，得：，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，元，答：A型设备的单价为2400元，B型设备的单价为2000元．根据题意，得，解得，由题意得：，随a的增大而增大，当时，w最小，元答：w与a的函数关系式为，最少购买费用为126000元．【解析】设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；根据题意建立关于a的一元一次不等式，求得a的取值范围，根据单价乘以数量即可求的w 与a的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键，难点是根据一次函数增减性判断最小值．22.【答案】【解析】解：函数图象如下所示：由函数图象可知，当时，y值随x的增大而减小，当时，y值随x的增大而增大，因此若，则；若，则；若，则，故答案为：①>；②<；③=；①设鸡圈的一边长为xm，则另一边长为m，因此y与x之间的函数关系式为：；②由题意知：，整理得：，即，解得用光滑的曲线将点顺次连接起来即可；根据函数图象的增减性即可求解；①设鸡圈的一边长为xm，则另一边长为m，再根据长方形周长公式即可求解；②根据“预算不超过750元”列不等式即可求解．本题主要考查反比例函数的实际应用、从函数的图象获取信息、一元二次方程的应用等，能够从函数图象获取相关信息是解题的关键．23.【答案】3 6 42 108【解析】解：由折叠可知，，，，，点H是AC中点，，，即，过点A作于M，四边形EHGF是矩形，，，是CM中点，，，，，完美长方形的面积为，故答案为：3，6；由折叠可知，，，同理可知，，长方形AEFG的面积为，，长方形AEFG的周长为；由折叠可证点E，G分别是AB，CD的中点，，由题意知，，，，为平行四边形，，在中，设，则，由勾股定理得：，又，，，，周长为：，面积为：，故答案为：42，由折叠可知点H是AC中点，，过点A作于M，根据三角形ABC面积求AM的长，由，点H是AC中点可知GH是中位线，得到进而求完美长方形面积；根据折叠可知，，，从而可得，根据平行四边形ABCD面积可求得AE的长为4进而可求周长；由折叠可证点E，G分别是AB，CD中点，进一步可证四边形ADGE是平行四边形，所以，即长方形EFGH对角线长为15，设，，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可．本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．。

八年级数学下册期中考试试卷满分：150分考试用时：120分钟范围：第一章《三角形的证明》～第三章《图形的平移和旋转》班级姓名得分卷Ⅰ一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45.0分。

在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上）1.如图，在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是()A. 70m2B. 60m2C. 48m2D. 18m22.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.3.以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是()A. a=9，b=40，c=41B. a=b=5，c=5√2C. a:b:c=3:4:5D. a=11，b=12，c=154.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线．若AB=13，AD=12，则BC的长为()A. 5B. 10C. 20D. 245.如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD=5cm，DE=5cm，∠ACD=30°，则∠DCE=()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6.不等式组{x−1>0,5−x≥1的整数解共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.下列说法不一定成立的是()A. 若a>b，则a+c>b+cB. 若a+c>b+c，则a>bC. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b8.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆9.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°10.在如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组11.已知关于x的不等式组{2x−a<1,x−2b>3的解集为−1<x<1，则(a+1)(b−1)的值为()A. 6B. −6C. 3D. −312.如图所示的仪器中，OD=OE，CD=CE.小州把这个仪器往直线l上一放，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是()A. 到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等13.如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等边三角形，AB⊥x轴，AB=4√3，点C的坐标为(2,0).P为OB边上的一个动点，则PA+PC的最小值为()A. √13B. 2√13C. 4√13D. 1214.在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是()①这次比赛的全程是500米②乙队先到达终点③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快④乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟⑤在1.8分钟时，乙队追上了甲队A. ①③④B. ①②⑤C. ①②④D. ①②③④⑤15. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点M 在CD 的边上，且DM =1，△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A. 3B. 2√3C. √13D. √15 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16. 根据平移的知识可得图中的封闭图形的周长(图中所有的角都是直角)为______．17. 已知x −y =3，若y <1，则x 的取值范围是 ．18. 如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离ℎ=6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v =0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒．19. 当k 时，代数式23(k −1)的值不小于代数式1−5k−16的值．20. 如图，线段AB 和CD 关于点O 中心对称．若∠B =40°，则∠D 的度数为 ．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）21. （8分）(1)解不等式0.2x 0.3−6−7x 3≤1(2) 解不等式组{12x >13x x+43>3x−72−122. （8分）如图，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一条直线上，连接BE ．(1)求证：AD=BE；(2)若∠CAE=15°，AD=5，求AB的长．23.（10分）如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F.将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．(1)若∠B=50°，求∠DAF的度数；(2)若∠E=∠CAD，求证：AD=CD．24.（12分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图①中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′;(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．25.（12分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？26.（14分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF=2CD．27.（16分）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)求证：∠OMP=∠OPN；(2)当OP=2时，点M关于点H的对称点为Q，连接QP．①用量角器和直尺以图1中OP的长为2，画出一个尽可能准确的图形。

2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ．{x =0y =2B ．{x +y =0z +y =2C ．{x +y =01x+y =2D ．{x +y =0xy =2【解答】解：A 、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； B 、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C 、该方程组的第二个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D 、该方程组中的第二个方程的最高次数2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：A ．2．如图是12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（ ）A ．56B ．512C ．59D ．712【解答】解：如图所示：12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影， 则随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是：512．故选：B ．3．如图，∠DAC 是△ABC 的一个外角，AE 平分∠DAC ，且AE ∥BC ，则△ABC 一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【解答】证明：∵AE 平分∠DAC ，∴∠1＝∠2，∵AE∥BC，∴∠1＝∠C，∠B＝∠2，∴∠B＝∠C，即AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．4．下列命题中，真命题是（）A．两个锐角的和一定是钝角B．相等的角是对顶角C．垂线段最短D．带根号的数一定是无理数【解答】解：A、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；C、垂线段最短，正确，是真命题，符合题意；D、带根号的数不一定是无理数，如√4，故原命题错误，不符合题意，故选：C．5．下列说法正确的是（）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为s甲2、s乙2，若x甲=x乙，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定D．一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示抽奖20次就有1次中奖【解答】解：了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A 不符合题意；任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项B 不符合题意； 根据平均数和方差的意义可得选项C 符合题意； 一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示中奖的可能性为120，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项D 不符合题意； 故选：C ．6．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD ＝CE ，∠D ＝74°，则∠B 的度数为（ ）A ．74°B ．32°C ．22°D ．16°【解答】解：∵CD ＝CE ，∠D ＝74°， ∴∠DEC ＝∠D ＝74°，∴∠C ＝180°﹣74°﹣74°＝32°， ∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ＝32°， 故选：B ．7．已知方程组{2x −y +3=0ax −y +c =0的解为{x =−1y =1，则一次函数y ＝2x +3与y ＝ax +c 的图象的交点坐标是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（1，﹣1）C ．（2，﹣2）D ．（﹣2，2）【解答】解：∵方程组{2x −y +3=0ax −y +c =0的解为{x =−1y =1，∴一次函数y ＝2x +3与y ＝ax +c 的图象的交点坐标是（﹣1，1）， 故选：A ．8．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：设袋中白球有x 个，根据题意得：x x+14=0.3，解得：x ＝6，经检验：x ＝6是分式方程的解，故选：B ．9．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为5尺，那么索长（ ）尺． A ．25B ．20C ．15D ．10【解答】解：设索长x 尺，竿子长y 尺， 依题意，得：{x −y =5y −12x =5， 解得：{x =20y =15．故选：B ．10．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在M 、N 的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AEN 等于（ ）A ．25°B ．50°C ．65°D ．70°【解答】解：∵∠EFB ＝65°，AD ∥CB ， ∴∠DEF ＝65°，由折叠可得∠NEF ＝∠DEF ＝65°， ∴∠AEN ＝180°﹣65°﹣65°＝50°， 故选：B ．11．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x 负的场数为y ，则可列方程组为（ ） A ．{x +y =83x −y =12B ．{x −y =83x −y =12C ．{x +y =183x +y =12D ．{x −y =83x +y =12【解答】解：设这个队胜x 场，负y 场， 根据题意，得{x +y =83x −y =12．故选：A ．12．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km【解答】解：设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB ＝xkm ，AC ＝ykm ，根据题意得： {2x +2y =210×2x −y +x =210， 解得：{x =140y =70．∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ．或者：设AC ＝ykm 即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C 回到A ．从A 到C ，甲、乙两车都行驶了AC ，即乙车耗油量为ykm ，也即甲车注入燃料量为ykm ，注入后甲车剩余ykm （刚好返回A 地），所以对于甲车，y +y +y ＝210，所以y ＝70．从乙车角度，从C 出发是满燃料，所以AB 为：105+70÷2＝140（km ）． 故选：B ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．14．甲乙两人同解方程组{ax +by =2cx −7y =8时，甲正确解得{x =3y =−2，乙因抄错c 而得{x =−2y =2，则a +c ＝ 2 ．【解答】解：{ax +by =2①cx −7y =8②把{x =3y =−2代入②得：3c +14＝8， 解得：c ＝﹣2，把{x =3y =−2和{x =−2y =2代入①得：{3a −2b =2−2a +2b =2， 解得：{a =4b =5，所以a +c ＝4+（﹣2）＝2， 故答案为：2．15．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为13，那么盒子内白色乒乓球的个数为 4 ．【解答】解：盒子内乒乓球的个数为2÷13=6（个）， 白色乒乓球的个数6﹣2＝4（个） 故答案为4．16．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那它停在4号板上的概率是116．【解答】解：因为4号板的面积占了总面积的116，故停在4号板上的概率为116，故答案为：116．17．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系是 ∠1﹣∠3+∠2＝180° ．【解答】解：∵CD ∥EF ，∴∠2+∠CEF ＝180°， ∵AB ∥EF ， ∴∠1＝∠3+∠CEF ， ∴∠CEF ＝∠1﹣∠3， ∴∠2+∠1﹣∠3＝180°， 即∠1﹣∠3+∠2＝180°． 故答案为：∠1﹣∠3+∠2＝180°．18．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAE ＝78°，∠DCE ＝120°，则∠E 的度数是 42° ．【解答】解：如图，延长DC 交AE 于F ， ∵AB ∥CD ，∠BAE ＝78°， ∴∠CFE ＝78°， 又∵∠DCE ＝120°，∴∠E ＝∠DCE ﹣∠CFE ＝120°﹣78°＝42°． 故答案为：42°．三．解答题（共6小题，满分66分）19．（12分）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下：解： ① + ② ，得3x +4y ＝10，④ ② + ③ ，得5x +y ＝11，⑤ ⑤ 与 ④ 联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤（1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m 、n 、p 、q 满足方程组{m +n +p +q =42(m +n)+3p −q =163(m +n)−2p +q =6，则m +n ﹣2p +q ＝ ﹣2 ．【解答】解：（1）方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下： 解：①+②，得3x +4y ＝10，④ ②+③，得5x +y ＝11，⑤ ⑤与④联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤ 解得：{x =2y =1把{x =2y =1代入①得：2+1+z ＝2， 解得：z ＝﹣1，∴原方程组的解是{x =2y =1z =−1故答案为：①，②，②，③，⑤，④．（2）{m +n +p +q =4①2(m +n)+3p −q =16②3(m +n)−2p +q =6③②﹣①×2得：p ﹣3q ＝8④， ③﹣①×3得：﹣5p ﹣2q ＝﹣6⑤， 由④与⑤组成方程组{p −3q =8−5p −2q =−6解得：{p =2q =−2，代入①得：m +n ＝4 ∴m +n ﹣2p +q ＝﹣2 故答案为：﹣2．20．（10分）（1）解方程组：{x +2y =1，①3x −2y =11，②（2）计算：√4+|﹣2|+√−273+（﹣1）2016．【解答】解：（1）①+②得：4x ＝12， 解得：x ＝3；把x ＝3代入①得：y ＝﹣1， 则方程组的解为{x =3y =−1；（2）原式＝2+2﹣3+1 ＝4﹣3+1 ＝1+1 ＝2．21．（10分）（1）解方程组：{23x −34y =124(x −y)−3(2x +y)=17； （2）已知关于x 、y 的方程组{x −y =a +32x +y =5a 的解满足x ＞y ＞0，化简|a |+|3﹣a |．【解答】解：（1）原方程化为{8x −9y =6①2x +7y =−17②，①﹣②×4得：﹣37y ＝74， 解得y ＝﹣2，把y ＝﹣2代入①得x =−32， ∴原方程组的解为{x =−32y =−2；（2）由方程组{x −y =a +32x +y =5a ，解得{x =2a +1y =a −2，由x ＞y ＞0，得{2a +1＞a −2a −2＞0，解得a＞2，当2＜a≤3时，|a|+|3﹣a|＝a+3﹣a＝3；当a＞3时，|a|+|3﹣a|＝a+a﹣3＝2a﹣3．22．（12分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．【解答】证明：（1）∵DE∥AC∴∠2＝∠DAC∵∠l+∠2＝180°∴∠1+∠DAC＝180°∴AD∥GF（2）∵ED∥AC∴∠EDB＝∠C＝40°∵ED平分∠ADB∴∠2＝∠EDB＝40°∴∠ADB＝80°∵AD∥FG∴∠BFG＝∠ADB＝80°23．（10分）小明和小刚用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由．若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？【解答】解：公平．画树状图得：从表中可以得到：P 积为奇数=26=13，P 积为偶数=46=23，∴小明的积分为26×2=23，小刚的积分为46×1=46=23．24．（12分）5G 时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A 、B 两种型号的5G 手机，进价和售价如表所示：型号价格进价（元/部） 售价（元/部） A3000 3400 B 3500 4000某营业厅购进A 、B 两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A 、B 两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A 、B 两种型号手机共30部，其中B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）设营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为a 部、b 部，{3000a +3500b =32000(3400−3000)a +(4000−3500)b =4400， 解得，{a =6b =4， 答：营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为6部、4部；（2）设购进A 种型号的手机x 部，则购进B 种型号的手机（30﹣x ）部，获得的利润为w 元，w＝（3400﹣3000）x+（4000﹣3500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，∴30﹣x≤2x，解得，x≥10，∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，∴w随x的增大而减小，∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．四．解答题（共2小题，满分30分）25．（14分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟10米，乙在A地时距地面的高度b为30米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？【解答】解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30；（2）当0≤x＜2时，y＝15x；当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y={15x(0≤x ＜2)30x−30(2≤x≤11)；（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y ＝10x+100（0≤x≤20）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．26．（16分）探究与发现：【探究一】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD 的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究二】三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图②，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究三】若将△ADC改成任意四边形ABCD呢？已知：如图③，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠BDC和∠ACD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系2∠P＝∠B+∠A．【解答】解：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A．理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；探究二：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A．理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠ACD，∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，＝180°−12∠ADC−12∠ACD，＝180°−12（∠ADC+∠ACD），＝180°−12（180°﹣∠A），＝90°+12∠A；探究三：2∠P＝∠B+∠A．理由如下：∵DP，CP分别平分∠BDC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠BCD，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°−12∠ADC−12∠BCD＝180°−12（∠ADC+∠BCD）＝180°−12（360°﹣∠A﹣∠B）=12（∠A+∠B）．即2∠P＝∠B+∠A．故答案为：2∠P＝∠B+∠A．。

2020-2021学年度第二学期八年级数学期中检测试卷（含解答）总分：120分班级:__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1. 已知a>b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是( )A. a+c<b+cB. a−c>b−cC. ac<bcD. ac>bc2. 下列x的值不是不等式−2x+4<0的解的是 ( )A. −2B. 3C. 3.5D. 10AC的长为半径画3. 如图，在△ABC中，∠B=70∘，∠C=30∘，分别以点A和点C为圆心，大于12弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ( )A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘4. 联通公司推出两种手机收费方案．方案一：月租费36元，本地通话话费0.1元/分；方案二：不收月租费，本地通话费为0.6元/分．设小明的爸爸一个月通话时间为x分钟．小明爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案一比方案二优惠 ( )A. 60分钟B. 70分钟C. 72分钟D. 80分钟5. 点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为( )A. 1B. 4C. 7D. 106. 如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为已方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 ( )A. 2步B. 3步C. 4步D. 5步7. “赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为 ( )A. 13B. 14C. 15D. √558. 已知直线y=−(n+1)n+2x+1n+2（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+⋯+S2012的值为 ( )A. 5032015B. 10062015C. 10062014D. 5032014二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9. 不等式组{x−3(x−2)>4,2x−15≤x+12的解集为10. 不等式x≤4的非负整数解是．11. 某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了支．12. 如图是由若干个粗细均匀的铁环最大限度地拉伸组成的链条．已知铁环粗1厘米，每个铁环长5厘米．设铁环间处于最大限度的拉伸状态．若要组成2米长的链条，则需要个铁环．13. 如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB，BC，CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转α（0∘<α<180∘），得到ABʹ，BCʹ，CAʹ，连接AʹBʹ，BʹCʹ，AʹCʹ，OAʹ，OBʹ．（1）∠AʹOBʹ=∘；（2）当α=∘时，△AʹBʹCʹ的周长最大．14. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60∘，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△AʹBʹCʹ，连接AʹC，则△AʹBʹC的周长为．15. 四边形 ABCD 的对角线 AC ，BD 交于点 O ，点 M ，N ，P ，Q 分别为边 AB ，BC ，CD ，DA 的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形 ABCD ，四边形 MNPQ 都是平行四边形；②若四边形 ABCD 是平行四边形，则 MP 与 NQ 交于点 O ；③若四边形 ABCD 是矩形，则四边形 MNPQ 也是矩形；④若四边形 MNPQ 是正方形，则四边形 ABCD 也一定是正方形． 所有正确推断的序号是 ．16. 如图，P 是等边 △ACB 中的一个点，PA =2，PB =2√3，PC =4，则 △ACB 的边长是 ．三、解答题（共9小题；共72分）17. （7分）已知：如图，直线 a ，b 被 c 所截，∠1，∠2 是同位角，且 ∠1≠∠2．求证：a 不平行于 b ．18.（8分） 如图 ①，把 △ABC 沿直线 BC 平移线段 BC 的长度，得到 △ECD ；如图 ②，以 BC 为轴，把 △ABC 沿 BC 翻折 180∘，可以得到 △DBC ；如图 ③，以点 A 为中心，把 △ABC 旋转 180∘，可以得到 △AED ．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：Ⅰ 在图 ④ 中，可以使 △ABE 通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到 △ADF ?Ⅱ 图中线段 BE 与 DF 相等吗?为什么? 19.（7分） 若不等式组 {x <m +1,x >2m −1 无解，求 m 的取值范围． 20. （10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC =3，BC =4．Ⅰ试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90∘后的图形△A1B1C1；Ⅱ若点B的坐标为(−3,5)，试在图中画出直角坐标系，并写出A、C两点的坐标；Ⅲ根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2、C2两点的坐标．21.（7分）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．22. （8分）写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．23. （8分）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F=40∘，∠C=20∘，求∠FBC的度数．24. （7分）解不等式组{3x−(x−2)≥6, x+1>4x−13.25. （10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠BAC=40∘．Ⅰ则∠NMB=；Ⅱ如果将题中∠BAC的度数改为70∘，其余条件不变，那么∠NMB=；Ⅲ你发现有什么样的规律性?试证明；Ⅳ若将题中的∠BAC改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改?答案一、选择题1. B2. 答案：A解析：不等式−2x+4<0，解得：x>2，则−2不是不等式的解．3. 答案：C解析：∵∠B=70∘，∠C=30∘，∴∠BAC=180∘−100∘=80∘，由作图可知：MN垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30∘，∴∠BAD=80∘−30∘=50∘．4. 答案：D解析：∵方案一：月租费36元，本地通话话费0.1元 / 分；方案二：不收月租费，本地通话费为0.6元/ 分．设小明的爸爸一个月通话时间为x分钟．∴方案一：y=36+0.1x，方案二：y=0.6x，∴当方案一比方案二优惠，则36+0.1x<0.6x，解得：x>72．5. 答案：D解析：应该有十个点：①内部一个，是三角形的中心P；②外面有九个，在直线AP上有三个点P1，P2，P3，满足AP1=AB，AP2=AB，BP3=AB．同理，在直线BP上有三个点，在直线CP上有三个点满足条件．6. 答案：B解析：7. 答案：C 解析：提示：由题意可知大正方形的边长为 √5，小正方形的边长为 1．所以小正方形的面积是大正方形的面积的 15． 8. 答案：D解析：令 x =0，则 y =1n+2 .令 y =0，则 −(n+1)n+2x +1n+2=0 . 解得 x =1n+1. ∴S n =12⋅1n+1⋅1n+2=12(1n+1−1n+2) .∴S 1+S 2+S 3+⋅+S 2012=12(12−13+13−14+14−15+⋅+12013−12014)=12(12−12014)=5032014.二、填空题9. 答案： −7≤x <1解析：解不等式①得 x <1；解不等式②得 x ≥−7，所以不等式组的解集为 −7≤x <1．10. 0，1，2，3，411. 答案： 8解析：设签字笔购买了 x 支，则圆珠笔购买了 15−x 支.根据题意得 {2x +1.5(15−x )<27,2x +1.5(15−x )>26.解不等式组得 7<x <9 .∵x 是整数，∴x =8．12. 答案： 66解析：设至少需要 x 个铁环．依题意，得 5x −2(x −1)≥200．解得 x ≥66．13. 答案： 120；150解析：（1）连接 OA ，OC ．∵O是等边△ABC的中心，∴OA=OC，∠AOC=120∘，∠OCA=∠OAC=∠OAB=30∘．∴∠OCAʹ=∠OABʹ=α+30∘．又ABʹ=AB=AC=AʹC，∴△OABʹ≌△OCAʹ．∴∠BʹOA=∠AʹOC．∴∠BʹOAʹ=∠AOC=120∘．（2）△AʹBʹCʹ是等边三角形．当其边长最大时，周长最大．∠AʹOBʹ=120∘，OAʹ=OBʹ．当OAʹ最大时，AʹBʹ最大．在△OCAʹ中，OA<OC+AʹC．∴当C在线段OAʹ上时，OAʹ最大．此时∠AOAʹ=α=180∘−30∘=150∘．14. 答案：12解析：由题意，得BBʹ=2，∴BʹC=BC−BBʹ=4．由平移性质，可知AʹBʹ=AB=4，∠AʹBʹC=∠ABC=60∘，∴AʹBʹ=BʹC，且∠AʹBʹC=60∘，∴△AʹBʹC为等边三角形，∴△AʹBʹC的周长=3AʹBʹ=12．15. ①②16. 答案：2√7解析：将△ABP绕点A顺时针旋转，使AB与AC重合，如图所示，点P对应点为点D，连接DP．则△APB≌ADC，∠DAP=60∘．所以DC=PB=2√3，DP=DA=AP=2．则CP2=DC2+DP2，且∠CPD=60∘．所以∠BPA=∠CDA=90∘+60∘=150∘．所以∠CPB=360∘−∠BPA−∠APD−∠DPC=90∘．所以BC=√PB2+PC2=2√7．三、解答题17. 假设a∥b，则∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），这与∠1≠∠2相矛盾，∴假设不成立，∴a不平行于b．18. （1）旋转．（2）BE=DF．理由：因为△ABE绕点A按逆时针方向旋转90∘后得到△ADF，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，所以BE=DF．19. 由题意，得m+1≤2m−1,解得m≥2.不等式组无解时，m≥2．20. （1）如图所示（2）如图所示A(0,1)，C(−3,1)（3）如图所示B2(3,−5)，C2(3,−1).21. ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60∘，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60∘，∴△EDC是等边三角形，∴DE=DC=2，在Rt△DEF中，∵∠DEF=90∘，DE=2，∴DF=2DE=4，∴EF=√DF2−DE2=√42−22=2√3．22. 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题.反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD=45∘，∠EBF=135∘，∠CAD≠∠EBF．逆命题是假命题.反例：如解图②，∠CAD=∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．23. 在Rt△AEC中，∠A=90∘−∠C=70∘．∴∠FBC=∠A+∠F=70∘+40∘=110∘．24. 答案：2≤x<4解析：由3x−(x−2)≥6得：x≥2，得：x<4，由x+1>4x−13所以这个不等式组的解集为：2≤x<4．25. （1）答案：20∘解析：∵AB=AC，∠BAC=40∘，=70∘，∴∠ACB=180∘−∠A2∴∠CDM=∠ADN=90∘−∠A=50∘，∴∠NMB=∠ACB−∠CDM=20∘．（2）答案：35∘解析：∵AB=AC，∠BAC=70∘，=55∘，∴∠ACB=180∘−∠A2∴∠CDM=∠ADN=90∘−∠A=20∘，∴∠NMB=∠ACB−∠CDM=35∘．∠BAC．（3）∠NMB=12证明：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．∠BAC．∴∠BAD=12又AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90∘．∵MN⊥AB，∴∠B+∠NMB=90∘，∴∠BAD=∠NMB，∠BAC．∴∠NMB=12（4）不需要修改．此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．。

第 1 页 共 24 页2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．对角线互相平分D ．对角线相等 2．（4分）使分式x−2(x−1)(x−2)有意义，x 应满足的条件是（ ） A ．x ≠1 B ．x ≠2 C ．x ≠1或x ≠2 D ．x ≠1且x ≠23．（4分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣1）＝x 2﹣1B ．x 2﹣4y 2＝（x +4y ）（x ﹣4y ）C ．x 2﹣2x +1＝x （x ﹣1）+1D ．x 2﹣8x +16＝（x ﹣4）2 4．（4分）下列命题中，不正确的是（ ）A ．对角线相等的矩形是正方形B ．对角线垂直平分的四边形是菱形C ．矩形的对角线平分且相等D ．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形5．（4分）图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图（箭头表示行进的方向）．图②中E 为AB 的中点，图③中AJ ＞JB ．判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）A ．甲＝乙＝丙B ．甲＜乙＜丙C ．乙＜丙＜甲D ．丙＜乙＜甲6．（4分）用配方法解方程x 2+2x ﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ）A ．（x ﹣1）2＝2B ．（x ﹣1）2＝4C ．（x +1）2＝2D ．（x +1）2＝47．（4分）已知一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A ．k ＝4B ．k ＝﹣4C ．k ＝±4D ．k ＝±28．（4分）如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 点是AC 的中点，连接EF ．如果EF。

2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．下列调查适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A ．翠湖的水质情况B ．某品牌节能灯的使用寿命C ．乘坐动车时对乘客的安检D ．端午节期间市场上粽子质量情况 2．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．三角形的外心到三边的距离相等 B ．某射击运动员射击一次，命中靶心 C ．任意画一个三角形，其内角和是180° D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上 3．分式2−x x−3有意义的x 的取值范围为（ ）A ．x ≠2B ．x ≠3C ．x ＝2D ．x ＝34．下列各式中，正确的是（ ） A ．ab =a 2b2 B ．2(x−1)1−x 2=−21+xC ．ab+1a=b +1D ．a 2+b 2a+b=a +b5．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲，乙两人合作完成需要（ ）小时 A ．1a+1bB ．1abC ．1a+bD ．aba+b7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A．AO＝BO B．AC＝AD C．AB＝BC D．OD＝AC8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD=√2DF；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④B．①②C．①④D．①②③④二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．已知一组数据有40个，把它分成五组，第一组、第二组、第四组、第五组的频数分别是10，8，7，6，第三组频数是．10．为了了解某市2019年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本；④样本容量是200．其中说法正确的有（填序号）．11．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于12019，则密码的位数至少要设置位．12．下列说法中：①在367人中至少有两个人的生日相同；②一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次必然会中一次奖；③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件；④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性；以上说法中正确的有（填序号）．13．计算2m−2+m2−m的结果是．14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=√2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+√2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+√2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014＝．15．菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝2，以AC为边作正方形ACEF，则BF的长为．16．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD 上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是．17．若关于x的分式方程6x−1=x+3x(x−1)−kx无解，则k的值为．18．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF．连结DF并延长交BC于点G，且点C与AB 的中点E恰好关于直线DG对称．若AD＝9，则AB的长为．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（8分）先化简，再求值：(2x2x+1−14x2+2x)÷(1−4x2+14x)，其中x＝3．20．（8分）解方程：xx−3+6x+3=121．（8分）如图，在3×3正方形方格中，有3个小正方形涂成了黑色，所形成的图案如图所示，图中每块小正方形除颜色外完全相同．（1）一个小球在这个正方形方格上自由滚动，那么小球停在黑色小正方形的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A、B、C、D、E、F）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．22．（8分）为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t（分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C组所在扇形的圆心角为108°．组别频数统计A（t＜20）8B（20＜40）12C（40t＜60）aD（60≤t＜80）15E（80）b请根据如图图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有人，a＝，b＝，m＝；（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．23．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为；（3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为．24．（10分）如图，▱ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG 于点E，连接AE，AE⊥AD．（1）若BG＝1，BC=√10，求EF的长度；（2）求证：AB−√2BE＝CF．25．（10分）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？26．（10分）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．（1）求证：四边形ACFE是菱形；（2）连接BE 交AD 于点G ．当AB ＝2，∠ACB ＝30°时，求BG 的长．27．（12分）阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如4x−1，x+1x 2当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+1x−1，x 2+1x+1假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1．解决问题：（1）下列分式中属于真分式的是（ ） A ．x 2x−1B ．x−1x+1C ．32x−1D ．x 2+1x 2−1（2）将假分式3x+1x−1、x 2+1x+1分别化为带分式；（3）若假分式2x 2+3x−6x+3的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x 的值．28．（12分）如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示． ①线段DG 与BE 之间的数量关系是 ； ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 ；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．下列调查适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A ．翠湖的水质情况B ．某品牌节能灯的使用寿命C ．乘坐动车时对乘客的安检D ．端午节期间市场上粽子质量情况【解答】解：A 、调查翠湖的水质情况适合抽样调查； B 、调查某品牌节能灯的使用寿命适合抽样调查； C 、乘坐动车时对乘客的安检必须全面调查；D 、调查端午节期间市场上粽子质量情况适合抽样调查； 故选：C ．2．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．三角形的外心到三边的距离相等 B ．某射击运动员射击一次，命中靶心 C ．任意画一个三角形，其内角和是180° D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上【解答】解：A 、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意； B 、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意； D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C ． 3．分式2−x x−3有意义的x 的取值范围为（ ）A ．x ≠2B ．x ≠3C ．x ＝2D ．x ＝3【解答】解：由题意得：x ﹣3≠0， 解得：x ≠3， 故选：B ．4．下列各式中，正确的是（ ） A ．ab =a 2b2 B ．2(x−1)1−x 2=−21+xC ．ab+1a=b +1D ．a 2+b 2a+b=a +b【解答】解：ab 与a 2b 在a ＝0或a ＝b 时才成立，故选项A 不正确；2(x−1)1−x =2(x−1)(1+x)(1−x)=−21+x，故选项B 正确；ab+1a =b +1a，故选项C 不正确； a 2+b 2a+b不能化简，故选项D 不正确；故选：B ．5．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不属于中心对称图形； B 、属于中心对称图形； C 、不属于中心对称图形； D 、不属于中心对称图形； 故选：B ．6．一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲，乙两人合作完成需要（ ）小时 A ．1a+1bB ．1abC ．1a+bD ．aba+b【解答】解：甲和乙的工作效率分别是1a，1b，合作的工作效率是1a+1b，所以合作完成需要的时间是11a +1b=1b+a ab=ab a+b．故选：D ．7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A．AO＝BO B．AC＝AD C．AB＝BC D．OD＝AC【解答】解：A、AO＝BO，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；B、AC＝AD，不能判断▱ABCD是菱形，错误；C、根据菱形的定义可得，当AB＝BC时▱ABCD是菱形，正确；D、OD＝AC，不能判断▱ABCD是菱形，错误；故选：C．8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD=√2DF；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④B．①②C．①④D．①②③④【解答】解：∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，∴PD=√2DF．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，∴当∠P AD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．④∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，∵正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故④正确；故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．已知一组数据有40个，把它分成五组，第一组、第二组、第四组、第五组的频数分别是10，8，7，6，第三组频数是9．【解答】解：∵一组数据有40个，把它分成五组，第一组、第二组、第四组、第五组的频数分别是10，8，7，6，∴第三组频数是：40﹣10﹣8﹣7﹣6＝9．故答案为：9．10．为了了解某市2019年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本；④样本容量是200．其中说法正确的有①③④（填序号）．【解答】解：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体，正确；②每个考生的数学中考成绩是个体，故原说法错误；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本，正确；④样本容量是200，正确；故答案为：①③④．11．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于12019，则密码的位数至少要设置4位．【解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为110；取两位数时一次就拨对密码的概率为1100；取三位数时一次就拨对密码的概率为11000；取四位数时一次就拨对密码的概率为110000．故一次就拨对的概率小于12019，密码的位数至少需要4位．故答案为：4．12．下列说法中：①在367人中至少有两个人的生日相同；②一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次必然会中一次奖；③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件；④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性；以上说法中正确的有①、③（填序号）．【解答】解：①在367人中至少有两个人的生日相同，正确；②一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次不一定会中一次奖，错误；③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件，正确；④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性小于于摸到白球的可能性，错误；故答案为：①、③．13．计算2m−2+m2−m的结果是﹣1．【解答】解：原式=2m−2−mm−2=2−mm−2=−(m−2)m−2＝﹣1，故答案为：﹣1．14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=√2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+√2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+√2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014＝1342+672√2．【解答】解：由题意可得：AP1=√2，AP2＝1+√2，AP3＝2+√2；AP4＝2+2√2；AP5＝3+2√2；AP6＝4+2√2；AP7＝4+3√2；AP8＝5+3√2；AP9＝6+3√2；∵2013＝3×671，∴AP2013＝（2013﹣671）+671√2=1342+671√2，∴AP2014＝1342+671√2+√2=1342+672√2．故答案为：1342+672√2．15．菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝2，以AC为边作正方形ACEF，则BF的长为√29或√13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝2，∴AO=12AC＝2，BO=12BD＝1，①如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交F A的延长线于G，则BG＝AO＝2，AG＝OB＝1，FG＝AF+AG＝4+1＝5，在Rt△BFG中，BF=√BG2+FG2=√22+52=√29；②如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，则BG＝AO＝2，FG＝AF﹣AG＝4﹣1＝3，在Rt△BFG中，BF=√BG2+FG2=√22+32=√13，综上所述，BF长为√29或√13．故答案为：√29或√13．16．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD 上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是10√33．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．∴A′B＝AB＝2BM．在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，∴sin∠MA′B=BM BA′=12，∴∠MA′B＝30°，∵MN∥BC，∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABA ′＝60°，∴∠ABE ＝∠EBA ′＝30°，∴BE =AB cos30°=5√32=10√33． 故答案为：10√33． 17．若关于x 的分式方程6x−1=x+3x(x−1)−kx 无解，则k 的值为 ﹣3或﹣5 ． 【解答】解：方程两边同时乘以x （x ﹣1），得6x ＝x +3﹣k （x ﹣1），∴（5+k ）x ＝3+k ，∵方程无解，∴k ＝﹣5，∵x ＝0和x ＝1是方程的增根，∴3+k ＝0，∴k ＝﹣3，故答案为﹣3或﹣5．18．如图，F 是矩形ABCD 内一点，AF ＝BF ．连结DF 并延长交BC 于点G ，且点C 与AB的中点E 恰好关于直线DG 对称．若AD ＝9，则AB 的长为 6√3 ．【解答】解：连接EF 、EG 、EC ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝9，AD ∥BC ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，∴AB ⊥AD ，∵AF ＝BF ，点E 是AB 的中点，∴EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ∥BC ，∴EF 是梯形ABGD 的中位线，∠EFG ＝∠CGF ，∴EF =12（AD +BG ），设BG ＝x ，则CG ＝9﹣x ，EF =12（9+x ），∵点C 与AB 的中点E 关于直线DG 对称，∴EG ＝CG ，∠CGF ＝∠EGF ，∴∠EFG ＝∠EGF ，∴EG ＝EF ，∴EF ＝CG ，∴12（9+x ）＝9﹣x ， 解得：x ＝3，∴BG ＝3，EG ＝CG ＝6，∴BE =√EG 2−BG 2=√62−32=3√3，∴AB ＝2BE ＝6√3；故答案为：6√3．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（8分）先化简，再求值：(2x 2x+1−14x 2+2x)÷(1−4x 2+14x )，其中x ＝3． 【解答】解：原式=4x 2−12x(2x+1)÷4x−4x 2−14x =(2x+1)(2x−1)2x(2x+1)•4x −(2x−1)2=−22x−1， 当x ＝3时，原式=−25．20．（8分）解方程：x x−3+6x+3=1【解答】解：方程两边乘 （x ﹣3）（x +3），得 x （x +3）+6 （x ﹣3）＝x 2﹣9，解得：x ＝1，检验：当 x ＝1 时，（x ﹣3）（x +3）≠0，所以，原分式方程的解为x ＝1．21．（8分）如图，在3×3正方形方格中，有3个小正方形涂成了黑色，所形成的图案如图所示，图中每块小正方形除颜色外完全相同．（1）一个小球在这个正方形方格上自由滚动，那么小球停在黑色小正方形的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A 、B 、C 、D 、E 、F ）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．【解答】解：（1）由题意可得，小球停在黑色小正方形的概率是39=13， 即小球停在黑色小正方形的概率是13； （2）中心对称的情况是：（BE ）、（CD ）、（AF ），（EB ），（DC ），（F A ），则新图案是中心对称图形的概率是：65×6=15， 即新图案是中心对称图形的概率是15．22．（8分）为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t （分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C 组所在扇形的圆心角为108°．组别频数统计 A （t ＜20） 8B（20＜40）12C（40t＜60）aD（60≤t＜80）15E（80）b请根据如图图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有60人，a＝18，b＝7，m＝25；（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），15÷60＝25%，因此m＝25，∵C组所在扇形的圆心角为108°，∴C组的人数a＝60×108360=18（人），b＝60﹣15﹣18﹣12﹣8＝7（人），故答案为：60，18，7，25；（2）扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×760=42°，答：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为42°；（3）每天健身时间不少于1 小时的人数是1200×15+760=440（人），答：该校1200名学生中每天健身时间不少于1小时的大约有440人．23．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为（﹣2，3）；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为（﹣2，﹣4）；（3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，3）．故答案为（﹣2，3）．（2）△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣2，﹣4）故答案为（﹣2，﹣4）．（3）如图，满足条件的点D的坐标为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．故答案为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．24．（10分）如图，▱ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG 于点E，连接AE，AE⊥AD．（1）若BG＝1，BC=√10，求EF的长度；（2）求证：AB−√2BE＝CF．【解答】解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，BC=√10，∴CG=√BC2−BG2=√(√10)2−12=3．∵∠ABF＝45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∴EG＝BG＝1，∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=√EC2+CF2=√22+22=2√2；（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，∴△BEH是等腰直角三角形，∴BH=√BE2+EH2=√2BE，BE＝HE，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，∴∠BEG＝45°，CE＝CF，∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，∴∠AHE＝∠CEB，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，由（1）知，∠FCE＝90°，∴∠BCD ＝∠FCE +∠BCG ＝90°+∠BCG ，∵在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ，∴90°+∠EAB ＝90°+∠BCG ，∴∠EAB ＝∠BCG ，即∠EAH ＝∠BCE ，在△△EAH 和△BCE 中，{∠EAH =∠BCE ∠EHA =∠BEC EH =BE∴△EAH ≌△BCE （AAS ），∴AH ＝CE ＝CF ，∴AB −√2BE ＝AB ﹣BH ＝AH ＝CF ，即AB −√2BE ＝CF ．25．（10分）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？【解答】解：（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x 元/瓶，依题意得：2×8000x=17600x+1． 解得，x ＝10．经检验，x ＝10是原方程的根．所以该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶；（2）共获利：（800010+1760010+1−200）×13+200×13×0.9﹣（8000+17600）＝5340（元）．在这两笔生意中商场共获得5340元．26．（10分）如图，矩形ABCD ，延长CD 至点E ，使DE ＝CD ，连接AC ，AE ，过点C 作CF ∥AE 交AD 的延长线于点F ，连接EF ．（1）求证：四边形ACFE 是菱形；（2）连接BE 交AD 于点G ．当AB ＝2，∠ACB ＝30°时，求BG 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，∴AF ⊥CE ，∵CD ＝DE ，∴AE ＝AC ，EF ＝CF ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵AE ∥CF ，∴∠EAD ＝∠AFC ，∴∠CAD ＝∠CF A ，∴AC ＝CF ，∴AE ＝EF ＝AC ＝CF ，∴四边形ACFE 是菱形；（2）解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠BCE ＝90°，CD ＝AB ，∵AB ＝2，CD ＝DE ，∴BC ＝2√3，CE ＝4，∴BE =√BC 2+CE 2=2√7，∵AB ＝CD ＝DE ，∠BAE ＝∠EDG ＝90°，∠AGB ＝∠DGE ，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴BG ＝EG ，∴BG =12BE =√7．27．（12分）阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如4x−1，x+1x 当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+1x−1，x 2+1x+1假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1．解决问题：（1）下列分式中属于真分式的是（ ）A ．x 2x−1B ．x−1x+1C ．32x−1 D ．x 2+1x 2−1 （2）将假分式3x+1x−1、x 2+1x+1分别化为带分式； （3）若假分式2x 2+3x−6x+3的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x 的值．【解答】解：（1）选（C ）；（2）3x+1x−1=3(x−1)+4x−1=3+4x−1； x 2+1x+1=(x 2−1)+2x+1=(x+1)(x−1)+2x+1=x ﹣1+2x+1； （3）原式=(2x−3)(x+3)+3x+3 ＝2x ﹣3+3x+3，由x 是整数，原分式的值也为整数，∴x +3＝±1或±3，∴x ＝﹣6、﹣4、﹣2、0．28．（12分）如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示．①线段DG 与BE 之间的数量关系是 DG ＝BE ；②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 DG ⊥BE ；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．【解答】解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ABE 和△DAG 中，{AB =AD ∠BAE =∠DAG AE =AG，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴BE ＝DG ；②如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．由①知，△ABE ≌△DAG ，∴∠ABE ＝∠ADG ，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ABAD =AEAG=12，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，BEDG =1 2，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE ⊥DG ；（3）如图④中，作ET ⊥AD 于T ，GH ⊥BA 交BA 的延长线于H ．设ET ＝x ，AT ＝y ．∵△AHG ∽△ATE ，∴GH ET =AH AT =AG AE =2，∴GH ＝2x ，AH ＝2y ，∴4x 2+4y 2＝4，∴x 2+y 2＝1，∴BG 2+DE 2＝（2x ）2+（2y +2）2+x 2+（4﹣y ）2＝5x 2+5y 2+20＝25．。