专题1.8 导数综合问题-2017届高三数学三轮考点总动员(江苏版)(原卷版)

2017三轮考点总动员【江苏版】【方法引领】江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定，共有14道，分值70分，填空题的得分多少，决定了整个试卷的成败.我们应该坚持由易到难的做题顺序.要确保填空题前10题正确.解填空题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一个步骤都正确无误，还要求将答案表达的准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，解题的基本方法一般有：①直接求解；②数形结合；③特例法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型)；④整体代换；⑤类比、归纳；⑥构造图形等.求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究解题策略，要合理利用“数形结合”和“特例法”等非常规解法. 【举例说法】 一、直接法直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.例1 【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试】若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 .【答案】{2}【练习】 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试】在ABC ∆中，已知AB =3C π=，则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 ▲ . 【答案】32【解析】1cos 2CA CB ba C ab ⋅==uu r uu r ，由余弦定理得：2232cos 23a b ab ab ab ab π=+-≥-=，所以32CA CB ⋅≤uu r uu r ，当且仅当a b =时取等号. 二、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.例2 【镇江市2017届高三年级第一次模拟考试】已知函数1221+=+x x y 与函数x x y 1+=的图象共有k（*∈N k ）个公共点：),(111y x A ， ),(222y x A ，… ，),(k k k y x A ，则=+∑=ki i iy x1)( ．【答案】2【练习】【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 .【答案】【解析】直线l 1过定点(0,2),直线l 2过定点(2,0),且12l l ⊥ 垂足为P ，所以点P 的轨迹为圆，因此点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为d r +== 三、特例法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替，即可以得到正确结果.例3 在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b a +a b=6cos C ，则t a n t a n C A +tan tan CB= .【答案】4【解析】方法一：(特殊值法)根据题意可知，a ，b 是等价关系，我们将题目中的a ，b 互换条件不变.因此，我们选用特殊图形，构造锐角三角形ABC 为等腰三角形，此时cos C=13.不妨设a=b=3(如图)，作AD ⊥BC ，垂足为D ，所以CD=1，AD=2tan C=2tan A=tanB=tan tan C A +tan tan CB=4. 方法二：因为b a +a b =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2，所以6ab·222-2a b c ab +=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ， 所以t a t a C A +tan tan C B =sin cos C C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2221-2a b c ab+·2c ab=224c c =4. 【练习】【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试】在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．所以ABCS ∆≤=≤=28,5a b c ==时取等号 四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.例4 若不论k 为何实数，直线y=kx+1与曲线x 2+y 2-2ax+a 2-2a-4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是 .【分析】直线y=kx+1恒过定点(0，1)，转化为点(0，1)恒在圆的内部或边界上即可满足题意. 【答案】[-1，3] 学科*网【练习】 如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，点G 是EF 上的动点，记△A 1B 1G ，△C 1D 1G 的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的最小值为 .【答案】2【解析】设EG=x，则FG=2-x，0≤x ≤2，则S 1+S 2=12×212×2在平面直角坐标系中，它表示x 轴上的点P (x ，0)到M (0，2)与N (2，2)两点的距离之和，而点M 关于x 轴的对称点为M'(0，-2)，则S 1+S 2≥M'N=五、整体代入法将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能或作整体处理后得到正确的结果.例5 已知三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6，4，3，那么该三棱锥的体积等于 .【分析】由题意联想到长方体，把三棱锥放置于长方体内，整体代入，解决问题.【答案】4【练习】 设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤2x y ≤9，则34x y的最大值是 .【答案】27【解析】34xy =22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭·21xy∈[2，27]，故所求最大值为27. 学科*网 六、构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程.例6 在四面体ABCD 中，若AC=BD=5，AD=BC=则该四面体的体积V= .【答案】8【解析】构造如图所示的长方体，并且满足AC=BD=5，AD=BC=2现设AP=p ，AQ=q ，AR=r ，则p 2+q 2=AB 2=13，r 2+p 2=AD 2=20，q 2+r 2=AC 2=25. 将以上三式分别相加得p 2+q 2+r 2=29，于是r=4，q=3，p=2.故V=V 长方体-4CAQB V =2×3×4-4×13×4×12×2×3=8. 七、归纳猜想法认真分析，仔细观察、归纳，发现共同特征，大胆猜想，据此预测它的变化规律.例7 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)21n a +-n 2n a +a n+1a n =0(n=1，2，3，…)，则它的通项公式是a n = .【答案】1n【解析】因为(a n+1+a n )[(n+1)a n+1-na n ]=0，所以(n+1)a n+1-na n =0， 所以a 1=1，a 2=12，a 3=13，…，猜想a n =1n. 【练习】 观察下列算式，猜测由此提供的一般性法则，使用适当的数学式子表示它：1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125设第n 个式子为a 1+a 2+…+a n =b n ，则(a 1，a n )= ，b n = .【答案】(n 2-n+1，n 2+n-1) n3【实战演练】1. 对于△ABC ，有如下四个结论：①若sin2A= sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； ②若sin B=cos A ，则△ABC 是直角三角形；③若sin 2A+ sin 2B> sin 2C ，则△ABC 是锐角三角形；④若cos2a=cos 2b =cos 2c，则△ABC 是等边三角形.其中正确的结论个数是 . 【答案】 1【解析】①不对，可能2A+2B=π；②不对，如B=120°，A=30°；③不对，仅能说明C 为锐角；④对，由正弦定理可得sin2A =sin 2B =sin 2C，即A=B=C. 2. 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB=1，BC=2，AC=AA 1=3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM+MC1最小时，△AMC 1的面积为 .学科*网3. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 . 【答案】(2，+∞) 学科*网【解析】由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°-α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m=°sin(120-)sin αα=2×1tan α+12>212=2.4. 已知ω>0，若函数f (x )=sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭在ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是 .【答案】1524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5. 已知实数x ，y 满足约束条件-0-50-30x y x y y ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，若不等式m (x 2+y 2)≤(x+y )2恒成立，则实数m 的最大值是 .【答案】2513【解析】作出线性约束条件下的可行域如图中阴影部分所示，显然，A (2，3)，B (3，3)，令目标函数z=y x ，它表示经过点(0，0)及可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，从而1≤z ≤32.不等式m (x 2+y 2)≤(x+y )2恒成立，也就是m ≤222()x y x y ++恒成立，令u=222()x y x y++，则u=1+222xyx y +=1+2x y y x+=1+21z z+1≤z ≤32，当1≤z ≤32时，2≤1z +z ≤136，从而1213≤21z z+≤1，所以2513≤1+21z z+≤2，于是m ≤2513，即实数m 的最大值为2513.6. 若a 2-ab+b 2=1，a ，b 是实数，则a+b 的最大值是 . 【答案】2【解析】方法一：因为a 2-ab+b 2=1，即(a+b )2-3ab=1，从而3ab=(a+b )2-1≤23()4a b +，即(a+b )2≤4，所以-2≤a+b ≤2，所以(a+b )max =2.方法二：令u=a+b ，与a 2-ab+b 2=1联立消去b 得3a 2-3ua+u 2-1=0，由于此方程有解，从而有Δ=9u 2-12(u 2-1)≥0，即u 2≤4，所以-2≤u ≤2，所以(a+b )max =2. 学科*网 7. 如图，在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，若向量AM =14AB +m A C ，且AM 的终点M 在△ACD 的内部(不含边界)，则AM ·BM 的取值范围是.【答案】(-2，6)【解析】以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4)，D (2，2)，从而直线AD 的方程为y=x ，直线BC 的方程为y=-x+4.由AM =14AB +m A C 得M (1，4m ).因为点M 在△ACD 的内部，所以1-40144m m <⎧⎨+<⎩，，解得14<m<34.又因为AM ·BM =(1，4m )·(-3，4m )=16m 2-3，所以AM ·BM ∈(-2，6). 8. 在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD=2π3，若点P 为对角线AC 上一点，则P B ·PD 的最大值为 . 【答案】-129. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+(y-1)2=5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA=OM ，则直线AB 的斜率为 . 【答案】210.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为.【答案】3-4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得MC≥1对于任意的点M恒成立，由图形的对称性可知，只需点M位于AB的中点时存在则可.由点C(1，1)到直线l的距离得k≥-34.。

课时2 导数与函数的极值、最值题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值例1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极大值、极小值分别是________．答案 f (－2)、f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <1时，f ′(x )<0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值例2 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a(a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．解 由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a .令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↘↗∴f (x )极大值＝f (0)＝1－a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－a 2－a＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↘↗↘∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a＋1.综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.命题点3 已知极值求参数例3 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1)－7 (2)(2，103)解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值， 而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. (2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(1)函数y ＝2x －1x2的极大值是________．(2)设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 (1)－3 (2)－14解析 (1)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3.(2)由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－a ＋x1＋x ，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0， 得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x x －1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (1)是函数f (x )的极小值， 所以a ＝－14.题型二 用导数求函数的最值例4 已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝a x＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增， 所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________． 答案 1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.题型三 函数极值和最值的综合问题 例5 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋cex(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝ax ＋bx－ax 2＋bx ＋cxx2＝－ax 2＋a －b x ＋b －cex.令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x>0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g ＝b －c ＝0，g －＝－9a －a －b ＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5， 所以f (x )＝x 2＋5x ＋5ex.因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者， 而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.思维升华 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.3．利用导数求函数的最值问题典例 (14分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞.[4分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.[5分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[7分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[9分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[13分] 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[14分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用 以下几步答题第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型． (2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况． (3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．[方法与技巧]1．如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．3．当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值．4．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小． [失误与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． 3．函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝________. 答案 －1ln 2解析 令y ′＝2x＋x ·2xln 2＝0， ∴x ＝－1ln 2.经验证，－1ln 2为函数y ＝x ·2x的极小值点．2．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为________． 答案 －1解析 函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)． 又y ′＝1x －1＝1－xx，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，函数单调递增； 当x ∈(1，e]时，y ′<0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.3．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．答案 20解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)＝________. 答案 18解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10， ∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， ∴f (2)＝18.5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.6．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103，可知最小值为－173.7．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x<－1.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________． 答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0， 解得a >22. ∴a 的取值范围是(22，＋∞)． 9．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln2，极小值为2＋6ln 3. 10．已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下表：↘↗所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集是__________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x·f (x )－e x－1， 求导得到g ′(x )＝e x·f (x )＋e x·f ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x·f (x )>e x＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．12.若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为________．答案 ③解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除①、④；从适合f ′(x )＝0的点可以排除②.13．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 (－1,1)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：↗↘从而⎩⎨⎧－a 3－3a －a ＋b ＝6，a 3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)．14．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内， 即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2.解a <1<6－a 2，得－5<a <1. 不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0， 即(a －1)(a 2＋a －2)≥0， 即(a －1)2(a ＋2)≥0，即a ≥－2. 故实数a 的取值范围是[－2,1)． 15．已知函数f (x )＝a e 2x－b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x＋2b e－2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立， 即2(a －b )(e 2x－e－2x)＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x－e－2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0，当且仅当2e 2x＝2e－2x，即x ＝0时，“＝”成立．故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－c ，而2e 2x＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c －c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0； 又当x >x 2时，f ′(x )>0， 当x <x 1时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。

第三章导数及其应用
【知识网络】
【考情分析】
近几年江苏高考对导数的考查十分重视，难度保持中等以上，考试中有时会涉及一些文字型应用题，在数学思想上也有很强的体现.其考查情况如下：
【备考策略】
1.由上面的考情分析可知，导数的复习重点是理解导数的概念，熟记导数的运算法则和求导公式，熟练掌握导数的几何意义及在实际问题中的应用，会利用导数研究函数的单调性与极(最)值，并且能够将导数知识灵活地运用于求解不等式等相关内容.
2.导数是求解函数的单调性、极(最)值问题及曲线的切线方程等最有力的工具.对导数问题的考查多以三次函数、二次函数为载体，常常伴随不等式的证明一起考查，复习时应加强这方面的训练.
3.导数是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容及解决相关问题的重要工具，它常与方程、不等式等内容交叉渗透、自然交汇.这类问题的解决，首先利用导数判断其单调性(对方程而言首先构造函数)，然后画出草图，利用数形结合的思想，并根据图象与x 轴的交点情况，建立参数方程组或不等式组进行求解.复习时要求学生领会应用函数和导数解决问题的思想方法，并将知识融会贯通.。

第20课 导数的综合应用(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修2-2P27习题15改编)如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是 cm 2/s .(第1题)【答案】25 000π【解析】设时间t 对应的水波面的圆的半径为r ，面积为S ，则r=50t ，S=πr 2=2 500πt 2，当r=250时，t=5，故有s'=(2 500πt 2)'=5 000π·t=25 000π(cm 2/s).2.(选修1-1P83习题3改编)若做一个容积为256的方底无盖水箱，为使它的用料最省(全面积最小)，则它的高为 . 【答案】4【解析】设高为h ，底边长为x ，则x 2h=256，所以S=4hx+x 2=4x ·2256x +x 2=1024x +x 2，S'=-21024x +2x.令S'=0，解得x=8，此时h=4，S 取最小值.3.(选修2-2P34习题4改编)设函数f (x )=13x-ln x (x>0)，则y=f (x )的最小值为 .【答案】1-ln 3【解析】函数f (x )的定义域为(0，+∞)，由f'(x )=13-1x =0，得x=3，所以f (x )在(0，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (3)=1-ln 3.4.(选修1-1P79例2改编)设计一种体积为v 0的圆柱形饮料罐，为了使它的用料最省，则它的高为 .【解析】设圆柱的高为H ，底面半径为R ，则表面积为S=2πRH+2πR 2，又πR 2H=v 0，H=02v R π，故S=2πR ·02v R π+2πR 2=02v R +2πR 2，由S'=-022v R +4πR=0，解得，此时S 最小，H=02πv R5.(选修2-2P35例1改编)用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为 cm 时，容器的容积最大. 【答案】10【解析】设容器的高为x cm ，即小正方形的边长为x cm ，该容器的容积为V ，则V=(90-2x )(48-2x )x=4(x 3-69x 2+1 080x )，0<x<12，V'=12(x 2-46x+360)=12(x-10)(x-36)，当0<x<10时，V'>0；当10<x<12时，V'<0，所以V 在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x=10时，V 最大.1.最值与不等式各类不等式与函数最值的关系如下表：(续表)2.实际应用题(1)解题的一般步骤：理解题意，建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题.(2)注意事项：注意实际问题的定义域；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是最值点.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的性质例1设函数f(x)=c ln x+12x2+bx(b，c∈R，c≠0)，且x=1为f(x)的极值点.(1)若x=1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；(2)若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围.【思维引导】(1)条件：x=1为f(x)的极大值点；目标：确定函数f(x)的单调区间；方法：利用f'(1)=0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件：使用c表达的函数解析式；目标：c的取值范围；方法：讨论函数的单调性和极值点，根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件.【解答】f'(x)=cx+x+b=2x bx cx++，又因为f'(1)=0，所以b+c+1=0，所以f'(x)=(-1)(-)x x cx且c≠1，b+c+1=0.(1)因为x=1为f(x)的极大值点，所以c>1.当0<x<1时，f'(x)>0；当1<x<c时，f'(x)<0；当x>c时，f'(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(0，1)，(c，+∞)；单调减区间为(1，c).(2)①若c<0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，要使f(x)=0恰有两解，如图(1)所示，只需f(1)<0，即12+b<0，所以-12<c<0；图(1)图(2)图(3) (例1)②若0<c<1，则f (x )极大值=f (c )=c ln c+12c 2+bc=c ln c-22c -c ，f (x )极小值=f (1)=12+b=-12-c ，显然f (c )=c ln c-c-22c <0，f (x )极小值=-12-c<0，如图(2)所示，所以f (x )=0只有一解；③若c>1，则f (x )极小值=c ln c-c-22c <0，f (x )极大值=-12-c<0，如图(3)所示，所以f (x )=0只有一解.综上，使f (x )=0恰有两解的c 的取值范围为1-02⎛⎫⎪⎝⎭，. 【精要点评】本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想，在定义域区间端点函数值达到无穷大的、有两个极值点的函数类似三次函数，当其中两个极值都大于零或者都小于零时函数只有一个零点，当其中一个极值点等于零时函数有两个零点，当极大值大于零、极小值小于零时有三个零点.如果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的，还要结合端点值和极值的情况进行综合比较.变式 (2015·哈尔滨三中模拟)已知函数f (x )=x 3+ax 2-a 2x+m+2(a>0). (1)若f (x )在[-1，1]内没有极值点，求实数a 的取值范围；(2)当a=2时，方程f (x )=0有三个互不相同的解，求实数m 的取值范围.【思维引导】(1)若f (x )在[-1，1]内没有极值点，则f'(x )=0的根不在区间[-1，1]上；(2)方程f (x )=0有三个互不相同的解，则函数f (x )的极大值大于零、极小值小于零.【解答】(1)因为f'(x )=3x 2+2ax-a 2=3-3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+a )，令f'(x )=0，得x=3a或-a ，因为f (x )在[-1，1]内没有极值点，而且a>0，所以13--1aa⎧>⎪⎨⎪<⎩，，解得a>3，故实数a的取值范围是(3，+∞).(2)当a=2时，f'(x)=32-3x⎛⎫⎪⎝⎭(x+2)=0的两根为23，-2，要使方程f(x)=0有三个互不相同的解，需使(-2)023ff>⎧⎪⎨⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎩，，解得-10<m<-1427，所以m的取值范围为1410,27⎛⎫--⎪⎝⎭.利用导数解决实际生活中的优化问题例2在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该门为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为6 dm的材料弯折而成，BC边的长为2t dm312t⎛⎫≤≤⎪⎝⎭.曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cos x-1，此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t).(1)试分别求出函数h1(t)，h2(t)的表达式；(2)要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线?此时，最大值是多少?(例2)【思维引导】(1)可以通过求点D的坐标求出点O到BC边的距离；(2)利用导数的方法求出最大值，并进行比较.【解答】(1)对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为y=cos x-1，所以点D的坐标为(t，cos t-1)，所以点O到AD的距离为1-cos t，而AB=DC=3-t，则h1(t)=(3-t)+(1-cos t)=-t-cos t+4，1≤t≤3 2.对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2=-94y，即y=-49x2，所以点D的坐标为24-9t t⎛⎫⎪⎝⎭，，所以点O到AD的距离为49t2，而AB=DC=3-t，所以h2(t)=49t2-t+3，1≤t≤32.(2)由(1)知h'1(t)=-1+sin t<0，所以h1(t)在312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以当t=1时，h1(t)取得最大值3-cos 1.又h2(t)=249-98t⎛⎫⎪⎝⎭+3916，而1≤t≤32，所以当t=32时，h2(t)取得最大值52，因为cos 1>cos π3=12，所以3-cos 1<3-12=52.故选用曲线C2，当t=32时，点O到BC边的距离最大，最大值为52 dm.【精要点评】用导数解决实际问题的注意事项：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值舍去.(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得f'(x )=0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值，就是问题的最优解.(3)在列函数关系式解决优化问题中，不仅要注意函数关系式表达要恰当，还要注意自变量的实际意义，依此确定定义域.变式 (2014·南京、盐城一模)如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为x m(x ≥9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m .(1)求x 的取值范围(取1.4)；(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为1211a元/m 2，问：当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低?(变式)【解答】(1)由题意得29100-2601-22105x x x x ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪⨯≥⨯⎩，，，解得920-2015x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，即9≤x ≤15.所以x 的取值范围是[9，15]. (2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y=a×π×2215x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+433ax×πx 2+1211a ×24221105x x ππ⎡⎤⎛⎫-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=11a 432414*********x x x π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝+⨯⎭⎣+-⎦-.令f (x )=-125x 4+43x 3-12x 2，则f'(x )=-425x 3+4x 2-24x=-4x21-625x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由f'(x )=0，解得x=0(舍去)或x=10或x=15.列表如下：所以当x=10答：当x=10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低.导数在研究方程、不等式中的应用例3 已知函数f (x )=2x 2，g (x )=a ln x (a>0). (1)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围；(2)求证：44ln22+44ln33+…+44ln n n <2e .【思维引导】(1)条件：已知函数f (x )，g (x )的解析式；目标：在不等式f (x )≥g (x )恒成立时求参数a 的取值范围；方法：构造函数F (x )=f (x )-g (x )，只要函数F(x )在(0，+∞)上的最小值大于0即可得参数a 的不等式，解此不等式即得所求.(2)条件：(1)的求解结果；目标：证明(2)中的不等式；方法：根据(1)中结果得到不等式，使用特殊赋值法和放缩法可得.【解答】(1)令F (x )=f (x )-g (x )=2x 2-a ln x ，a>0，x>0，则F'(x )=4x-ax ，令F'(x )=0，得x=，所以F(x)的单调减区间为⎛⎝⎭，单调增区间为∞⎫+⎪⎪⎝⎭，F(x)min=F(x)极小值=F2⎛⎝⎭=2a-aln ，只要2a-aln 2≥0即可，得a≤4e且a>0，即a∈(0，4e].(2)由(1)得2x2≥4eln x，即44ln xx≤22e x，所以44ln22+44ln33+…+44ln nn≤2222111…e23n⎛⎫+++⎪⎝⎭<2e112⎡⎢⨯⎣+123⨯+…+1(-1)n n⎤⎥⎦<2e.【精要点评】含有参数的不等式恒成立问题是高考的一个热点题型，解决这类试题的基本思想是转化思想，即把含参不等式的恒成立问题转化为函数的最值或者值域问题，根据函数的最值或者值域找到参数所满足的不等式，即得到了参数的取值范围.变式(2016·苏州期中)已知函数f(x)=x2-2ax+1.(1)若函数g(x)=log a[f(x)+a](a>0，a≠1)的定义域是R，求实数a的取值范围；(2)当x>0时，不等式()f xx>ln x恒成立，求实数a的取值范围.【解答】(1)由题意知，对任意的x∈R，f(x)+a>0恒成立，即x2-2ax+1+a>0恒成立，即Δ=4a2-4(1+a)<0，即a2-a-1<0，解得2<a<12+.又因为a>0，a≠1，所以实数a的取值范围是(0，1)∪11,2⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭.(2)当x>0时，不等式()f xx>ln x等价于x-2a+1x>ln x，即2a<x+1x-ln x.设g(x)=x+1x-ln x(x>0)，则g'(x )=1-21x -1x =22--1x x x ，令g'(x )=0，得x=12+，当0<x<时，g'(x )<0，g (x )单调递减；当x>时，g'(x )>0，g (x )单调递增.故当x=时，g (x )取得极小值，也是最小值，且g (x )min=g12⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ln 12+.因为2a<x+1x -ln x ，所以2ln ，所以实数a 的取值范围是11,ln 222⎛⎫+-∞- ⎪ ⎪⎝⎭.1.(2015·全国卷)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，且当x>0时，xf'(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 .【答案】(-∞，-1)∪(0，1)【解析】记函数g (x )=()f x x ，则g'(x )=2'()-()xf x f x x ，因为当x>0时，xf'(x )-f (x )<0，故当x>0时，g'(x )<0，所以g (x )在(0，+∞)上单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(-∞，0)上单调递增，且g (-1)=g (1)=0.当0<x<1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x<-1时，g (x )<0，则f (x )>0，综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1).2.(2015·启东调研)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为 cm .【答案】【解析】设圆锥的高为x cmV=13πx (202-x 2)(0<x<20)，V'=13π(400-3x 2)，令V'=0，解得x 1=3，x 2=-3(舍去).当0<x<3时，V'>0；当<x<20时，V'<0，所以当x=时，V 取最大值.3.(2014·苏锡常镇连徐调研(一))已知函数f (x )=22(2-)e 0-430x x x x x x x ⎧≤⎨++>⎩，，，，g (x )=f (x )+2k ，若函数g (x )恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 .【答案】73--22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪0⎧⎪⎨⎪⎩(第3题)【解析】当x ≤0时，f'(x )=(2-x 2)e x，当时取得极小值f ()=-+1)·e当x<0时，f (x )<0，且f (0)=0，函数f (x )的图象如图所示，函数g (x )恰有两个不同的零点，就是f (x )的图象与直线y=-2k 有两个不同的交点，所以3<-2k<7或-2k=0或-2k=-+1)ek ∈73,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪⎧⎫⎪⎨⎪⎩.4.(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l.如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 km 和40 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为20 km 和2.5 km ，以l 1，l 2所在的直线分别为x轴、y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y=2a xb +(其中a ，b 为常数)的模型.(1)求a ，b 的值.(2)设公路l 与曲线C 相切于点P ，点P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短?求出最短长度.(第4题)【解答】(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)，将其分别代入y=2a xb +，得4025 2.5400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，，解得10000.a b =⎧⎨=⎩，(2)①由(1)知，y=21000x (5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为21000t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.设在点P 处的切线l 交x 轴、y 轴分别于A ，B 两点，y'=-32000x ，则直线l 的方程为y-21000t =-32000t (x-t )，由此得A 302t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 230000t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 所以f (t )t ∈[5，20]. ②设g (t )=t 2+64410t ⨯，则g'(t )=2t-651610t ⨯. 令g'(t )=0，解得t=.当t ∈(5，)时，g'(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈20)时，g'(t )>0，g (t )是增函数. 从而，当t=时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min =300，此时f (t )min =答：当t=l 的长度最短，最短长度为.【融会贯通】融会贯通 能力提升(2014·南京学情调研)已知函数f (x )=ax 2-ln x (a 为常数).(1)当a=12时，求f (x )的单调减区间；(2)若a<0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a-2)x 恒成立，求实数a 的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1)f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=2ax-1x =22-1ax x .当a=12时，f'(x )=2-1x x (2)分由f'(x )<0及x>0，解得0<x<1，所以函数f (x )的单调减区间为(0，1).………………………………………………………4分(2)方法一：设F (x )=f (x )-(a-2)x=ax 2-ln x-(a-2)x.因为对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a-2)x 恒成立， 所以当x ∈[1，e]时，F (x )≥0恒成立.F'(x )=2ax-1x -(a-2)=22-(-2)-1ax a x x =(1)(2-1)ax x x .因为a<0，令F'(x )=0，得x 1=-1a ，x 2=12<1.………………………………………………7分 ①当0<-1a ≤1，即a ≤-1时，因为x ∈(1，e)，所以F'(x )<0，所以F (x )在(1，e)上单调递减.因为对任意的x ∈[1，e]，F (x )≥0恒成立，所以F (x )min =F (e)≥0，即a e 2-1-(a-2)e≥0，解得a ≥21-2e e -e . 因为21-2e e -e >-1，所以此时a 不存在.…………………………………………………………………………10分②当1<-1a <e ，即-1<a<-1e 时，因为x ∈11-a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，F'(x )>0；x ∈1-e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，F'(x )<0， 所以F (x )在11-a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1-e a⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减. 因为对任意的x ∈[1，e]，F (x )≥0恒成立， 所以F (1)=2>0，且F (e)≥0，即a e 2-1-(a-2)e≥0，解得a ≥21-2ee -e . 因为-1<21-2e e -e <-1e ，所以21-2e e -e ≤a<-1e (13)分③当-1a ≥e，即-1e ≤a<0时，因为x ∈(1，e)，所以F'(x )>0，所以F (x )在(1，e)上单调递增，由于F (1)=2>0，符合题意.……………………………15分综上所述，实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.………………………………………………16分 方法二：因为f (x )≥(a-2)x 在x ∈[1，e]上恒成立， 即a (x 2-x )≥ln x-2x 在x ∈[1，e]上恒成立.2 当x=1时，此不等式恒成立，故此时a ∈R .……………………………………………6分②当x ∈(1，e]时，a ≥2ln -2-x x x x 在x ∈(1，e]上恒成立，令g (x )=2ln -2-x x x x ，x ∈(1，e]，则g'(x )=22(2-1)[(1)-ln ](-)x x x x x +， …………………………………………………………………9分令h (x )=x+1-ln x ，x ∈(1，e]，则h'(x )=1-1x =-1x x >0在x ∈(1，e]上恒成立，故h (x )在x ∈(1，e]上单调递增，从而h (x )>h (1)=2>0.……………………………………12分从而知，当x ∈(1，e]时，g'(x )>0恒成立， 故g (x )在(1，e]上单调递增，14分所以g (x )max =g (e)=21-2e e -e ，故a ≥21-2e e -e ，又a<0，故实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.…………………………………………………16分【精要点评】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析，验证其不符合题意，即可确定所求.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第39~40页.【检测与评估】第20课 导数的综合应用一、 填空题1.若函数y =ax 3-x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 .2.已知函数f (x )=x 3-3a 2x +1的图象与直线y =3只有一个公共点，那么实数a 的取值范围是 .3.(2015·无锡模拟)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y =-13x 3+81x -234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件.4.若函数y =m 与y =3x -x 3的图象有三个不同的交点，则实数m 的取值范围为 .5.(2015·海门中学)若对任意的x ∈[1，e ]，都有a ln x ≥-x 2+(a +2)x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .6.已知a ∈R ，且函数y =e x+ax ，x ∈R 有大于零的极值点，那么实数a 的取值范围是 .7.(2014·河北质检)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，那么当正六棱柱的体积最大时，其高为 .8.(2015·汇龙中学)现有一张长为80 cm ，宽为60 cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一个无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处的损失.如图，若长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，则该铁皮盒体积V 的最大值为 cm 3.(第8题)二、解答题9.(2014·南京一中)甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(单位：元)与年产量t(单位：t)满足函数关系x.若乙方每生产1 t产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润ω(单位：元)表示为年产量t的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(单位：元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少?10.(2015·曲塘中学)设函数f(x)=x3-92x2+6x-a.(1)若对于任意实数x，f'(x)≥m恒成立，求实数m的最大值；(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围.11.(2015·全国卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求实数a的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·福建卷)已知函数f(x)=ln x-2 (-1)2x.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)求证：当x>1时，f(x)<x-1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x-1).【检测与评估答案】第20课 导数的综合应用1.(-∞，0] 【解析】y'=3ax 2-1，因为函数y=ax 3-x 在R 上是减函数，所以3ax 2-1≤0在R 上恒成立，所以a ≤0.2.(-1，1) 【解析】f'(x )=3x 2-3a 2，令f'(x )=0，则x=±a.由题意知当a<0时，f (a )=a 3-3a 3+1<3，即a 3>-1，所以-1<a<0；当a=0时，成立；当a>0时，f (-a )=-a 3+3a 3+1<3，即a 3<1，所以0<a<1.故实数a 的取值范围为(-1，1).3.9 【解析】因为y'=-x 2+81，所以当x>9时，y'<0；当x ∈(0，9)时，y'>0，所以函数y=-13x 3+81x-234在(9，+∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x=9是函数的极大值点.又因为函数在(0，+∞)上只有一个极大值点，所以函数在x=9处取得最大值.4.(-2，2) 【解析】y'=3(1-x )(1+x )，令y'=0，得x=±1，所以y 极大值=2，y 极小值=-2，作出函数y=3x-x 3和y=m 的大致图象如图所示，根据图象知-2<m<2.(第4题)5.(-∞，-1] 【解析】由a ln x ≥-x 2+(a+2)x ，得(x-ln x )a ≤x 2-2x.由于x ∈[1，e]，lnx ≤1≤x ，且等号不能同时取得，所以ln x<x ，x-ln x>0.从而a ≤2-2-ln x xx x 恒成立，即a ≤2min -2-ln x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设t (x )=2-2-ln x x x x ，x ∈[1，e].求导，得t'(x )=2(-1)(2-2ln )(-ln )x x x x x +，x ∈[1，e]，x-1≥0，ln x≤1，x+2-2ln x>0，从而t'(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数，所以t(x)min=t(1)=-1，所以a≤-1.6. (-∞，-1)【解析】y'=e x+a，由y'=0，得x=ln(-a).因为x>0，所以-a>1，所以a<-1，即实数a的取值范围是(-∞，-1).7.【解析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2+24h=9，即a2=9-24h，那么正六棱柱的体积V=6×4a2×h=2×29-4h⎛⎫⎪⎝⎭h=2×3-94hh⎛⎫+⎪⎝⎭.设y=-34h+9h(0<h<6)，则y'=-234h+9，令y'=0，得h=易知当h=y取得最大值，此时正六棱柱的体积最大.8.32000【解析】设长方体的底面边长为x cm，高为y cm，则x2+4xy=4 800，即y=24800-4xx，0<x<60.铁皮盒体积V(x)=x2y=x2·24800-4xx=-14x3+1 200x，令V'(x)=0，得x=40，因为当x∈(0，40)时，V'(x)>0，V(x)是增函数；当x∈(40，60)时，V'(x)<0，V(x)是减函数，所以V(x)=-14x3+1 200x在x=40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm3.9. (1)因为赔付价格为s元/t，所以乙方的实际年利润为ω=-st.因为ω=-s)2=-s2310s⎫⎪⎭+610s，所以当t=6210s时，ω取得最大值.所以乙方取得最大年利润时的年产量是6210s t.(2)设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t2，当t=6210s 时，v=610s -94210s ⨯. v'=-6210s +95810s ⨯=63510(8?000-)s s ⨯，令v'=0，得s=20.当s<20时，v'>0；当s>20时，v'<0，所以当s=20时，v 取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格为20元/t 时，获得最大净收入.10.(1) f'(x )=3x 2-9x+6=3(x-1)(x-2)，因为x ∈(-∞，+∞)，f'(x )≥m ， 即3x 2-9x+(6-m )≥0恒成立，所以Δ=81-12(6-m )≤0，解得m ≤-34，即m 的最大值为-34.(2) 因为当x<1时，f'(x )>0；当1<x<2时，f'(x )<0；当x>2时，f'(x )>0，所以当x=1时，f (x )取得极大值f (1)=52-a ；当x=2时，f (x )取得极小值f (2)=2-a.故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )=0仅有一个实根， 解得a<2或a>52，即实数a 的取值范围为(-∞，2)∪52∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，.11.(1) f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=1x -a.若a ≤0，则f'(x )>0，f (x )在(0，+∞)上单调递增；若a>0，则当x ∈10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，f'(x )>0，当x ∈1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，时，f'(x )<0，所以f (x )在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减.(2) 由(1)知当a ≤0时，f (x )在(0，+∞)上无最大值；当a>0时，f (x )在x=1a 处取得最大值，最大值为f 1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=ln 1a +a 11-a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-ln a+a-1.因此f 1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭>2a-2⇔ln a+a-1<0.令g (a )=ln a+a-1，g'(a)=1a+1，当a>0时，g'(a)>0，所以g(a)在(0，+∞)上是增函数，g(1)=0，于是当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0，因此实数a的取值范围为(0，1).12.(1) f'(x)=1x-x+1=2-1x xx++，x∈(0，+∞)，令f'(x)>0，得2-10xx x>⎧⎨++>⎩，，解得<x<.故f(x)的单调增区间是⎛⎝⎭.(2) 令F(x)=f(x)-(x-1)，x∈(0，+∞)，则有F'(x)=21-x x.当x∈(1，+∞)时，F'(x)<0，所以F(x)在(1，+∞)上单调递减，故当x>1时，F(x)<F(1)=0，即当x>1时，f(x)<x-1.(3) 由(2)知，当k=1时，不存在x0>1满足题意.当k>1时，对于x>1，有f(x)<x-1<k(x-1)，则f(x)<k(x-1)，从而不存在x0>1满足题意.当k<1时，令G(x)=f(x)-k(x-1)，x∈(0，+∞)，则有G'(x)=1x-x+1-k=2-(1-)1x k xx++.由G'(x)=0，得-x2+(1-k)x+1=0，解得x1=<0，x2=>1，x∈(0，+∞).当x∈(1，x2)时，G'(x)>0，故G(x)在[1，x2)内单调递增. 从而当x∈(1，x2)时，G(x)>G(1)=0，即f(x)>k(x-1)，综上，实数k的取值范围是(-∞，1).。

2017三轮考点总动员【江苏版】【重点·提醒】1.弄清楚简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球的半径为2.搞清几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积.3.立体几何中，平行、垂直关系可以进行以下转化：线线平行⇔线面平行⇔面面平行，线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直，要弄清这些转化各自的依据.(1)线线、线面、面面平行的相互转化关系：(2)线线、线面、面面垂直的相互转化关系：4.平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折、展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”.5.立体几何问题的求解分为“作”、“证”、“算”三个环节，不能只“作”、“算”，而忽视了“证”这一重要环节.6.常用的转化思想：①构造四边形、三角形，把问题化为平面问题；②将空间图形展开为平面图形；③割补法；④等体积转化；⑤线线平行⇔线面平行⇔面面平行；⑥线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直；⑦有中点等特殊点、线，用“中位线、重心”转化.【经典·剖析】例1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.(1)求证：EF∥平面ABC1D1.(2)求证：EF⊥B1C.例2. 如图(1)，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 中点.(1)若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD.(2)已知点M 在线段PC 上，PM=tPC ，试确定实数t 的值，使得PA ∥平面MQB.( (1))【防错·练习】1. 如图，在四棱锥ABCD P -中，已知底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，求证：（1）//PB 平面EAC ；（2）平面⊥PAD 平面ABCD .O PA B C DE2. 对于以下命题：（1）若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线平行；（2）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；（3）若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与两个平面的交线平行；（4）若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.则真命题有 个.3. 已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 ▲ ．(填所有真命题的序号)①若l ∥α，l ∥β，则α∥β ② 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β③若l ∥α，α∥β，则l ∥β ④ 若l ⊥α，l //β，则 α⊥β4. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是▲ ．(填．写所有正确命题的．．．．．．．．序号．．)．5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若A1B∥平面ADC1，求BDDC的值．6.如图，在三棱锥P—ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．（1）求证：PB∥平面MNC；（2）若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC.A NBPMC。

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】专题3.3 导数的综合应用1．(2017·南通调研)已知函数f(x)＝a＋x ln x(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数．解(1)由函数f(x)＝a＋x ln x∈(a∈R)得f′(x)＝12x(ln x＋2)．令f′(x)＝0，得x＝e－2，列表如下：x (0，e－2)e－2(e－2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值因此，函数f(x)所以当a≤0时，函数f(x)零点个数为1.②当0<a<2e－1时，2．(2016·天津卷节选)设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝0. (1)解 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立， 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3－3a3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 33a3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞ f′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值极小值所以f (x )的单调递减区间为 ⎛⎪⎫－3a ，3a ，单调递增区间为 ⎛⎪⎫－∞，－3a ， ⎛⎪⎫3a ，＋∞. (2)证明 因为f (x )存在极值点， 所以由(1)知a >0，且x 0≠0.由题意，得f ′(x 0)＝3x 20－a ＝0，即x 20＝a3，进而f (x 0)＝x 30－ax 0－b ＝－2a3x 0－b . 又f (－2x 0)＝－8x 30＋2ax 0－b ＝－8a 3x 0＋2ax 0－b ＝－2a3x 0－b ＝f (x 0)，且－2x 0≠x 0， 由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝－2x 0，所以x 1＋2x 0＝0.3．(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝axe x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x .(1)求实数a 的值；(2)若对任意的x ∈(0,2)，都有f (x )<1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围；(3)若函数g (x )＝ln f (x )－b 的两个零点为x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的正负，并说明理由．由题意得函数g (x )＝ln f (x )－b ＝ln x －x －b ， 所以g ′(x )＝1x －1＝1－xx，易得函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以要证g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<0，只需证明x 1＋x 22>1即可．因为x 1，x 2是函数g (x )的两个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋b ＝ln x 1，x 2＋b ＝ln x 2，4．(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x＋b x(a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．解 (1)①由已知可得2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，即2x＋12x ＝2.∴(2x )2－2·2x＋1＝0， 解得2x ＝1，∴x ＝0.②f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2x ＋2－x ，令t ＝2x ＋2－x，则t ≥2. 又f (2x )＝22x＋2－2x＝t 2－2，故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6， 即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4t≥2t ·4t＝4. (当且仅当t ＝2时等号成立)．∴m ≤⎝⎛⎭⎪⎫t ＋4t min ＝4.即m 的最大值为4.(2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0.g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2.g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b 且g ′(x )为单调递增，值域为R 的函数．∴g ′(x )一定存在唯一的变号零点． ∴g (x )为先减后增且有唯一极值点． 由题意g (x )有且仅有一个零点．， 则g (x )的极值一定为0，而g (0)＝a 0＋b 0－2＝0，故极值点为0. ∴g ′(0)＝0，即ln a ＋ln b ＝0.∴ab ＝1. 5．(2017·衡水中学质检)已知函数f (x )＝x ＋aex.(1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，x 0<1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x )．6．(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′ (x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．。

(三)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝(ax 2＋x ＋2)e x(a ＞0)，其中e 是自然对数的底数． (1)当a ＝2时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在[－2,2]上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋4在[t ，t ＋1]上有解． 解 (1)f (x )＝(2x 2＋x ＋2)e x，则f ′(x )＝(2x 2＋5x ＋3)e x ＝(x ＋1)(2x ＋3)e x， 令f ′(x )＝0, 得x ＝－1，－32，∴f (x )极大值＝f (－32)＝5e －32，f (x )极小值＝f (－1)＝3e －1.(2)问题转化为f ′(x )＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋3]e x≥0在x ∈[－2,2]上恒成立； 又e x ＞0即ax 2＋(2a ＋1)x ＋3≥0在x ∈[－2,2]上恒成立； 令g (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋3， ∵a ＞0，对称轴x ＝－1－12a <0.①当－1－12a ≤－2，即0<a ≤12时，g (x )在[－2,2]上单调递增，∴g (x )的最小值g (x )＝g (－2)＝1＞0， ∴0＜a ≤12.②当－2＜－1－12a ＜0，即a >12时，g (x )在[－2，－1－12a ]上单调递减，在[－1－12a ，2]上单调递增，∴Δ＝(2a ＋1)2－12a ≤0，解得：1－32≤a ≤1＋32， ∴12＜a ≤1＋32， 综上，a 的取值范围是(0,1＋32]． (3)∵a ＝1，设h (x )＝(x 2＋x ＋2)e x－x －4，h ′(x )＝(x 2＋3x ＋3)e x －1，令φ(x )＝(x 2＋3x ＋3)e x－1， φ′(x )＝(x 2＋5x ＋6)e x， 令φ′(x )＝(x 2＋5x ＋6)e x＝0， 得x ＝－2，－3.∴φ(x )极大值＝φ(－3)＝3e 3－1<0，φ(x )极小值＝φ(－2)＝1e 2－1<0.∵φ(－1)＝1e－1<0，φ(0)＝2>0，∴存在x 0∈(－1,0)，x ∈(－∞，x 0)时，φ(x )＜0，x ∈(x 0，＋∞)时，φ(x )＞0， ∴h (x )在(－∞，x 1)上单调递减， 在(x 1，＋∞)上单调递增，又∵ h (－4)＝14e 4>0，h (－3)＝8e3－1<0，h (0)＝－2<0，h (1)＝4e －5>0.由零点存在性定理可知：h (x )＝0的根x 1∈(－4，－3)，x 2∈(0,1)，即t ＝－4,0. 2．(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x－e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >－e2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减． ③若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减． (2)(ⅰ)设a >0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，所以f (x )有两个零点．(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x， 所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a <0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点；若a <－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．3．(2016·山东)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)，所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增．可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，12a＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意 . 综上可知，实数a 的取值范围为a ＞12.4．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1x.(1)判断函数f (x )的单调性； (2)证明：当x >0时，ln(1＋1x)<1x 2＋x.(1)解 f ′(x )＝a x －1－1x 2＝－x 2＋ax －1x 2(x >0)．记g (x )＝－x 2＋ax －1，对称轴为x ＝a2，Δ＝a 2－4，而g (0)＝－1<0，且开口方向向下，则①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，g (x )≤0，f ′(x )≤0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当Δ＝a 2－4>0，即a >2或a <－2时， 若a >2，则a2>1，方程g (x )＝0的两根x 1＝a ＋a 2－42>0，x 2＝a －a 2－42>0，当0<x <a －a 2－42或x >a ＋a 2－42时，f ′(x )<0；当a －a 2－42<x <a ＋a 2－42时，f ′(x )>0. 则f (x )在区间(0，a －a 2－42)，(a ＋a 2－42，＋∞)上单调递减，在区间(a －a 2－42，a ＋a 2－42)上单调递增．若a <－2，则a2<－1，g (x )<0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．综上所述，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当a >2时，f (x )在区间(0，a －a 2－42)，(a ＋a 2－42，＋∞)上单调递减，在区间(a －a 2－42，a ＋a 2－42)上单调递增．(2)证明 原不等式可化为ln(1＋1x)<1x1＋1x＝ 1＋1x－11＋1x.令t ＝ 1＋1x，∵x >0，∴t >1，则原不等式等价于2ln t <t －1t.令φ(t )＝2ln t －t ＋1t，由(1)可知，函数φ(t )在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(t )<φ(1)＝0，∴2ln t <t －1t，故原不等式成立．。

第16课 导数的概念及运算(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修1-1P57例4改编)函数f (x )=-2x+10在区间[-3，-1]内的平均变化率为 . 【答案】-2【解析】ΔΔy x =(-1)-(-3)(-1)-(-3)f f =-2.2.(选修2-2P14练习2改编)若函数f (x )f'(1)= .【答案】13【解析】因为f'(x )=2-313x ，所以f'(1)=13×2-31=13.3.(选修2-2P12练习2改编)一个物体的运动方程为s=1-t+t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是 m/s . 【答案】5【解析】s'(t )=2t-1，s'(3)=2×3-1=5.4.(选修2-2P20练习2改编)已知函数f (x )=sin x+cos x ，x ∈(0，2π).若f'(x 0)=0，则x 0= .【答案】π5π44，【解析】f'(x )=cos x-sin x ，因为f'(x 0)=0，则f'(x 0)=cos x 0-sin x 0=0，所以x 0=π5π44，.5.(选修2-2P26习题8改编)已知函数f (x )=2(-2)1x x +，则f (x )的导函数f'(x )= .【答案】222-8(1)x x x ++【解析】因为f (x )=2-441x x x ++，所以由导数运算法则得f'(x )=22(2-4)(1)-(-44)(1)x x x x x +++=222-8(1)x x x ++.1.函数的平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为2121()-()-f x f x x x .2.导数的概念设函数y=f (x )在区间(a ，b )上有定义，且x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔΔy x =00(Δ)-()Δf x x f x x +无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x=x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x=x 0处的导数，记作f'(x 0).若函数y=f (x )在开区间(a ，b )内任意一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f (x )的导函数，记作f'(x ).3.导数的几何意义(1)设s=s (t )是位移函数，则s'(t 0)表示物体在t=t 0时刻的瞬时速度. (2)设v=v (t )是速度函数，则v'(t 0)表示物体在t=t 0时刻的瞬时加速度.4.基本初等函数求导公式(1)(xα)'=α-1xα(α为常数)；(2)(a x)'=a x ln a(a>0且a≠1)，(e x)'=e x；(3)(log a x)'=1lnx a(a>0且a≠1)，(ln x)'=1x；(4)(sin x)'=cos x，(cos x)'=-sin x.5.导数的四则运算法则(1)[]()()f xg x±'=f'(x)±g'(x)；(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；(3)[]()cf x'=cf'(x)(c为常数)；(4)()()f xg x⎡⎤⎢⎥⎣⎦'=2'()()-()'()()f xg x f x g xg x(g(x)≠0).*6.复合函数求导的运算法则一般地，设函数u=φ(x)在点x处有导数u'x=φ'(x)，函数y=f(u)在u处有导数y'u=f'(u)，则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数，且y'x=y'u·u'x.【要点导学】要点导学各个击破利用定义求导数例1利用导数的定义解答下列问题.(1)求f(x)x=1处的导数；(2)求f (x )=12x +的导数.【思维引导】由导数的定义可知，函数y=f (x )在x 处的导数是函数的增量Δy=f (x+Δx )-f (x )与自变量的增量Δx 之比在Δx →0时的无限趋近值.【解答】(1)因为ΔΔy x =(1Δ)-(1)Δf x f x +==，所以当Δx →0时，ΔΔy x →-12. 所以f'(1)=-12.(2)因为ΔΔy x =(Δ)-()Δf x x f x x +=11-2Δ2Δx x x x +++=(2)-(2Δ)Δ(2)(2Δ)x x x x x x x ++++++=-1(2)(2Δ)x x x +++，所以当Δx →0时，ΔΔyx →-21(2)x +， 所以f'(x )=-21(2)x +.【精要点评】(1)根据概念求函数的导数是求导的基本方法，要注意遵照“一差”、“二比”、“三趋零”的求导步骤；(2)要注意区分函数的导数与导数值的区别与联系，欲求导数值，先求其导数，再将数值代入.变式 设函数f (x )在x=x 0处可导.(1)若当Δx无限趋近于0时，00(4Δ)-()Δf x x f xx+无限趋近于1，求f'(x0)的值；(2)若当Δx无限趋近于0时，00(-4Δ)-()Δf x x f xx无限趋近于1，求f'(x0)的值.【解答】(1)00(4Δ)-()4Δf x x f xx+=14·00(4Δ)-()Δf x x f xx+，当Δx→0时，上式→14，故f'(x0)=1 4.(2)00(-4Δ)-()-4Δf x x f xx=-14·00(-4Δ)-()Δf x x f xx，当Δx→0时，上式→-14，故f'(x0)=-1 4.求导公式的应用例2(1)函数f(x)=-cos x在x=π4时的导数值为；(2)函数y=x3-2x的导数为；(3)函数y=sin x-2e x的导数为.【思维引导】(1)注意到-cos x的导数是sin x，再将x=π4的值代入即可；(2)函数和与差的导数等于导数的和与差，e x的导数仍然是e x.【答案】(1)2(2)y'=3x2-2(3)y'=cos x-2e x【解析】 (1)f'(x)=sin x，当x=π4时，f'π4⎛⎫⎪⎝⎭=2.【精要点评】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.变式 (1)函数的导数为 ； (2)函数y=x 2311x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的导数为 . 【答案】 (1)y'=22(1-)x(2)y'=3x 2-32x【解析】(1)因为21-x ，所以y'=21-x ⎛⎫⎪⎝⎭'=22(1-)x .(2)因为y=x 3+1+21x ，所以y'=3x 2-32x .导数物理意义的应用例3 神舟飞船发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )=5t 3+30t 2+45t+4，其中h 的单位为m ，t 的单位是s .(1)求第1 s 内的平均速度v ； (2)求第1 s 末的瞬时速度；(3)经过多长时间飞船的速度达到75 m/s?【思维引导】飞船在t s 到(t+Δt )s 时间内的平均速度为ΔΔh t =(Δ)-()Δh t t h t t +.飞船在t s末的瞬时速度是当Δt →0时，ΔΔh t =(Δ)-()Δh t t h t t +无限趋近的常数值，也就是h (t )在(t ，h (t ))处的导数，即v (t )=h'(t ).【解答】(1)v=(1)-(0)1-0h h =80(m/s).(2)v (t )=h'(t )=15t 2+60t+45， 所以v (1)=120(m/s).(3)由v (t )=75，得15t 2+60t+45=75，解得-2或-2(舍去)，所以-2(s).【精要点评】抓住导数的定义v(t)=h'(t)是解决第(2)小题的关键.变式将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)，计算第2小时和第6小时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【思维引导】要求瞬时变化率，就是要求温度函数的导数.【解答】在第2小时和第6小时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)，根据导数定义ΔΔfx=(2Δ)-(2)Δf x fx+=22(2Δ)-7(2Δ)15-(2-7215)Δx xx+++⨯+=Δx-3，所以f'(2)=-3，同理可得f'(6)=5.故在第2小时和第6小时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5，说明在第2小时附近，原油温度大约以3 ℃/ h的速率下降，在第6小时附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.【精要点评】求导的方法有定义法和公式法两种，本题用定义法求导数，其中瞬时变化率就是根据定义对速度进行求导.利用导数的四则运算法则求函数的导数例4求下列函数的导数.(1)y=x4-3x2-5x+6；(2)y=x·tan x；(3)y=-11xx+.【思维引导】本题主要利用导数的四则运算法则求函数的导数，解题的关键是仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数的求导公式，不具备求导条件的函数可进行适当的恒等变形.【解答】(1)y'=(x4-3x2-5x+6)'=(x4)'-(3x2)'-(5x)'+6'=4x3-6x-5.(2)y'=(x·tan x)'=sincosx xx⎛⎫⎪⎝⎭'=2(sin)'cos-sin(cos)'cosx x x x x xx=2sin coscosx x xx+.(3)方法一：y'=-11xx⎛⎫⎪+⎝⎭'=2(-1)'(1)-(-1)(1)'(1)x x x xx+++=21-(-1)(1)x xx++=22(1)x+.方法二：因为y=-11xx+=1-21xx++=1-21x+，所以y'=21-1x⎛⎫⎪+⎝⎭'=2-1x⎛⎫⎪+⎝⎭'=-22'(1)-2(1)'(1)x xx+++=22(1)x+.【精要点评】通过本例可以看出，只有深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性.同时，在解决问题时要做到举一反三.变式设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，求f'(0).【思维引导】本题主要应用导数乘法的运算法则求导数，求f'(0)，应先求f'(x)，由已知怎样求f'(x)，考虑将多个因式之积看成两个因式之积，便可应用积的求导法则解题.【解答】令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)，所以f(x)=xg(x).两边求导得f'(x)=x'g(x)+xg'(x)=g(x)+xg'(x).所以f'(0)=g(0)+0·g'(0)=g(0)=1×2×3×…×n=n!.【精要点评】灵活应用导数的乘法运算法则是本题的一大技巧.1.(2015·泰州中学)已知函数f(x)=1+1x，则f(x)在区间[1，2]，112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的平均变化率分别为.【答案】-12，-2【解析】(2)-(1)2-1f f =-1(1)-12121-2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；=-2.2.(2015·南通模拟)已知函数f (x )=e x -f (0)x+12x 2，则f'(1)= .【答案】e【解析】由题意得f (0)=e 0-f (0)×0+12×02=1， 则f (x )=e x -x+12x 2，所以f'(x )=e x-1+x ，所以f'(1)=e 1-1+1=e .3.某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2t 3-5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则t=2 s 时，汽车的瞬时速度为 . 【答案】4 m/s【解析】利用导数可求，注意结果要带单位.4.(2014·泰安模拟)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f'(x )存在，且导函数f'(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f″(x )=(f'(x ))'，若f″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数.以下四个函数在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为凸函数的是 .(填序号)①f (x )=sin x+cos x ； ②f (x )=ln x-2x ； ③f (x )=-x 3+2x-1； ④f (x )=x e x.【答案】①②③【解析】在定义域π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，内，由f″(x )=-sin x-cos x<0，得①是凸函数；由f″(x )=-21x <0，得②是凸函数；由f″(x )=-6x<0，得③是凸函数；由f″(x )=2e x +x e x >0，得④不是凸函数.5.求下列函数的导数.(1)y=(3x3-4x)(2x+1)；(2)y=x2sin x；(3)y=3x e x-2x+e；(4)y=cossinx xx x++.【解答】(1)方法一：因为y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x，所以y'=24x3+9x2-16x-4.方法二：y'=(3x3-4x)'(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.(2)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2x sin x+x2cos x.(3)y'=(3x e x)'-(2x)'+(e)'=(3x)'e x+3x(e x)'-(2x)'=3x e x ln 3+3x e x-2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x-2x ln 2.(4)y'=2(cos)'(sin)-(cos)(sin)'(sin)x x x x x x x xx x+++++=2(1-sin)(sin)-(cos)(1cos)(sin)x x x x x xx x++++=2-cos-sin sin-cos-1(sin)x x x x x xx x++.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第31~32页.【检测与评估】第三章导数及其应用第16课导数的概念及运算一、填空题1.(2015·盐城中学)若f(x)=x2-2x-4ln x，则f'(x)>0的解集是.2.某汽车的路程函数是s(t)=2t3-gt2(g=10 m/s2)，则当t=2 s时，汽车的加速度为.3.已知函数f(x)=x2+2xf'(1)，则f'(-1)= .4.已知函数f(x)=ax在x=1处的导数为-2，那么实数a的值为.5.(2015·天津卷)已知函数f(x)=ax ln x，x∈(0，+∞)，其中a为实数，f'(x)为f(x)的导函数，若f'(1)=3，则a的值为.6.已知函数f(x)=f'π4⎛⎫⎪⎝⎭cos x+sin x，那么f（π4）的值为.7.(2014·江苏模拟)同学们经过市场调查，得出了某种商品在2013年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为y=2+220-tt(1≤t≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是元/月.8.已知f1(x)=sin x+cos x，记f2(x)=f'1(x)，f3(x)=f'2 (x)，…，f n(x)=f'n-1(x)(n∈N*且n≥2)，则f1π2⎛⎫⎪⎝⎭+f2π2⎛⎫⎪⎝⎭+…+f2 017π2⎛⎫⎪⎝⎭= .二、解答题9.求下列函数的导数.(1)y=x n e x；(2)y=cos sinxx；(3)y=e x ln x；(4)y=(x+1)2(x-1).10.在F1赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s的单位为m，t的单位为s).(1)当t=20 s，Δt=0.1 s时，求Δs与ΔΔs t；(2)求t=20 s时的瞬时速度.11.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导函数.若f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=x3-3x2+2x-2.(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(2)求证：f(x)的图象关于“拐点”A对称.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·启东最后一卷)记定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f'(x).如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)-f(a)=f'(x0)(b-a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”，那么函数f(x)=x3-3x在区间[-2，2]上的“中值点”的个数为.13.已知函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1)，那么f'(x)= .【检测与评估答案】第三章导数及其应用第16课导数的概念及运算1.(2，+∞) 【解析】函数f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=2x-2-4x >0，解得x>2.2.4 m/s 2 【解析】由题意知汽车的速度函数为v (t )=s'(t )=6t 2-2gt ，则v'(t )=12t-2g ，故当t=2 s 时，汽车的加速度是v'(2)=12×2-2×10=4(m/s 2).3.-6 【解析】f'(x )=2x+2f'(1)，f'(1)=2+2f'(1)，所以f'(1)=-2，所以f (x )=x 2-4x ，f'(x )=2x-4，f'(-1)=-6.4. 2 【解析】由题设得f'(x )=-2ax ，当x=1时，-a=-2，即a=2.5.3 【解析】因为f'(x )=a (1+ln x )，所以f'(1)=a=3.6.1 【解析】由题意得f'(x )=-f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭sin x+cos x ⇒ f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭sin π4+cos π4，所以f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=21，所以f (x )=-1)cos x+sin x ，所以f π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1)cos π4+sin π4=1.7.3 【解析】因为y=2+220-t t (1≤t ≤12)，所以y'=2240-(20-)t t t ，可知10月份该商品价格的上涨速度应为y'|t=10=224010-10(20-10)⨯=3(元/月).8. 1 【解析】f 2(x )=f'1(x )=cos x-sin x ，f 3(x )=f'2(x )=-sin x-cos x ，f 4(x )=f'3(x )=sin x-cos x ，f 5(x )=f'4(x )=sin x+cos x ，故周期为4，前四项和为0，所以原式=f 1π2⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin π2+cosπ2=1.9. (1) y'=n -1n x e x +x n e x =-1n x e x (n+x ).(2) y'=222-sin -cos sin x x x =-21sin x .(3) y'=e x ln x+e x ·1x =e x 1ln x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(4) 因为y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x 2-1)=x 3+x 2-x-1，所以y'=3x 2+2x-1.10.(1) Δs=s (20+Δt )-s (20)=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-10×20-5×202=21.05(m). ΔΔs t =21.050.1=210.5(m/s).(2) 由导数的定义，知在t=20 s 时的瞬时速度为v (t )=ΔΔs t =2210(Δ)5(Δ)-10-5Δt t t t t t t +++=25Δ10Δ10ΔΔt t t tt +⋅+=5Δt+10t+10.当Δt →0，t=20 s 时，v=10×20+10=210(m/s).11. (1) f'(x )=3x 2-6x+2，f″(x )=6x-6.令f″(x )=6x-6=0，得x=1， f (1)=13-3+2-2=-2.所以拐点A 的坐标为(1，-2).(2) 设P (x 0，y 0)是y=f (x )图象上任意一点，则y 0=30x -320x +2x 0-2.因为P (x 0，y 0)关于点A (1，-2)的对称点为P'(2-x 0，-4-y 0)，把P'代入y=f (x )，得左边=-4-y 0=-30x +320x -2x 0-2，右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-3x+32x-2x0-2，所以左边=右边，所以点P'(2-x0，-4-y0)在函数y=f(x)的图象上. 所以y=f(x)的图象关于点A对称.12.2【解析】因为f(2)=2，f(-2)=-2，(2)-(-2)2-(-2)f f=1，所以f'(x)=3x2-3=1，得x=±∈[-2，2]，故有2个“中值点”.13.2[ln(2x+1)+1]。