漫谈正项级数的收敛性及收敛速度

漫谈正项级数的收敛性及收敛速度++++=∑∞=n n na a a a211称为无穷级数。

当0≥n a 时，此级数称为正项级数。

记n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。

级数∑∞=1n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛散性来定义。

显然，级数∑∞=1n n a 时，有0lim =∞→n n a 。

因此，0lim ≠→∞n n a 时，必有级数∑∞=1n n a 发散。

但是0lim =∞→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。

只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞=1n n a 才收敛。

可以证明：几何级数∑∞=1n n q ，当1||<q 时收敛；当1||≥q 时发散。

p -级数∑∞=11n pn，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

由p -级数∑∞=11n pn 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。

因而，无穷小n 1是衡量级数∑∞=1n na 敛散性的一把“尺子”。

可是，这把“尺子”有点粗糙了。

事实上，尽管无穷小nn ln 1趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。

可以证明，级数∑∞=1ln 1n pnn ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

于是，无穷小nn ln 1是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 发散。

可是，马上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞=1ln ln ln 1n nn n 仍然发散级数。

于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。

正项级数收敛性真正反映思维过程的文章，比八股式论文 要和谐可亲得多，而且对思维训练更有帮 助，可惜，这种文章只能藏在文库中。

----作者感言21ln a bn nn∞=∑ 1．1a <发散 2．1a >收敛 3．1,1a b =≤发散 4．1,1a b =>收敛1lim[ln1]ln nn n a n n g a →∞+-= (1)ln 1(1)ln ln ln ln 1ln g y nx n y x n ng n n n n=-=-+--1111ln ln 1ln ln n n g g a a n n n n εε+-+⎛⎫⎛⎫+≤-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11ln 1ln 1ln ln 111ln N N ng g a a n n n n n g n n b ea ee eεεε-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-∑∑≥≥∑∑现在开始讨论正项级数的收敛性，上面写得很乱的东西，没有清掉它，因为它是问题的核心，记录着思维的真实，保持原样挺美的。

1nn a∞=∑（0n a ≥）被称为正项级数，这个定义有点狭隘，因为级数的收敛性不受去掉或增加有限项的影响，只要从某项开始，后面全部项都是0n a ≥，就足够看成正项级数了。

数列na写成函数形式()n a f n =可以拓展解决问题的视野，比如1()n f n ∞=∑的收敛性和()af x dx +∞⎰的收敛性，有着极为密切的关系，假定()0f x ≥很多时候，收敛性是相同的，比如单调的时候。

不单调也不怕，因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的情况没什么关系。

极值点是单调性改变的地方，如果只有有限个极值点，在右边足够远的区间里，函数必然单调，而这足够肯定，两者收敛性相同。

只要有限个极值点，很多时候这已经够用了。

如果是无穷个极值点，也不是没有作为，只要存在经过极少值点的函数，经过极大值点的函数，且这两个函数只有有限个极值点，对这两个函数进行类似讨论，也能解决绝大部分问题。

级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。

在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。

本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。

一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。

设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。

1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。

关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。

（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。

（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。

2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。

关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。

3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。

二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。

以下是几种常见的级数计算方法。

1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。

对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。

2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。

正项级数的收敛性问题研究正项级数的收敛性问题是数学分析中极为重要的问题之一。

正项级数指的是只含有非负数（或者正数）的级数，例如：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2},\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n},\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$$正项级数的收敛性可以归结为两个问题：收敛和发散。

如果一个级数收敛，那么它的和可以用某个数来表示；如果一个级数发散，那么它没有和（或者可以看做是无穷大）。

一、收敛性一个正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，就意味着存在一个数$S$，使得级数的部分和$\{S_N\}$逐渐趋近于$S$，即：$$S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n\to S\quad (N\to\infty)$$上述定义等价于下面两个条件：1. $\forall \varepsilon>0$，存在$N>0$，$\forall n>N$，$\sum_{k=n}^{\infty}a_k<S+\varepsilon$。

这里需要注意的是，级数的收敛性与第一个非零项$a_1$无关。

例如，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$和$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}$都是调和级数，但是前者收敛，后者发散。

我们介绍下面几种判别级数收敛的方法：1. 比较判别法如果存在一个正级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，使得对于所有$n\geqslant 1$，满足$a_n\leqslant b_n$，那么当正级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；当正级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散时，正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。

正项级数的收敛性问题研究
正项级数的收敛性问题是数学分析中一个基本而重要的课题。

一个正项级数是指其各
项都为非负的实数或复数，按照特定顺序相加而得到的无穷级数。

正项级数的收敛性研究
探讨了如何判断一个正项级数是否会收敛，即它的和是否有一个有限的值。

在正项级数的收敛性问题中，常见的研究方法是比较判别法、比值判别法、根值判别
法等。

比较判别法是通过与已知的收敛或发散级数进行比较，来判断一个正项级数的收敛性。

当正项级数的各项都小于或大于某个已知的收敛级数时，可以得到它的收敛性。

比较判别
法的关键是找到适当的比较级数，以确定级数的收敛或发散。

比值判别法是通过计算级数的相邻项之比的极限值来判断级数的收敛性。

如果极限值
小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则无法确定级数的收敛性，需要使用其他方法进一步研究。

正项级数的收敛性还有一些其他的判别方法，如积分判别法、魏尔斯特拉斯判别法等。

这些方法在不同情况下适用，并且需根据具体问题来选择合适的判别法进行研究。

正项级数的收敛性问题在数学分析中有广泛的应用。

它可以用来研究函数的连续性、
可积性等性质；在物理学中，可以用来研究连续介质的性质等。

正项级数的收敛性问题的
研究具有重要的理论和应用价值。

正项级数的收敛性问题是数学分析中一个基本而重要的课题，涉及到多种判别方法的
运用。

通过研究正项级数的收敛性，可以推动数学分析理论的发展，并在实际应用中发挥
重要作用。

正项级数的收敛性问题研究正项级数是指级数的每一项都是非负的实数。

正项级数的收敛性问题是数学分析中一个重要的研究课题，它涉及到级数的收敛与发散的判定以及级数的收敛的速度等问题。

本文将从几个方面对正项级数的收敛性问题进行研究。

正项级数的收敛与发散的判定是正项级数研究的基础。

常见的判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法和级数收敛的充要条件等。

比较判别法通过比较给定正项级数与已知收敛（发散）的基准级数的大小关系来判断级数的收敛性。

比值判别法则通过计算级数的项的绝对值与其后一项的比值的极限来判断级数的收敛性。

根值判别法与比值判别法类似，只不过是计算级数的项的绝对值开根号与其后一项的绝对值开根号的比值的极限。

根据这些判别法，我们可以判断一个正项级数是收敛还是发散。

对于收敛的正项级数，研究其收敛速度也是一个重要问题。

收敛速度是指级数收敛到其极限的速度。

常见的收敛速度有线性收敛、对数收敛和指数收敛等。

线性收敛是指级数每一项的尺度都以相同的速度递减，即级数的收敛速度与级数项之间线性相关。

对数收敛是指级数的尺度以对数方式递减。

指数收敛则是指级数的尺度以指数方式递减。

研究收敛速度可以帮助我们更好地理解和描述正项级数的收敛性质。

正项级数的收敛性问题还涉及到级数的压缩性和收敛域的问题。

级数的压缩性是指如果一个正项级数的每一项都小于等于另一个正项级数的对应项，那么这个正项级数也是收敛的。

根据级数的收敛性问题，我们还可以研究级数的收敛域，即级数的收敛范围。

收敛域的研究可以帮助我们更深入地理解级数的收敛性质。

正项级数的收敛性问题研究正项级数的收敛性是数学中一个重要的问题，对于数学分析和实际问题的研究具有重要的意义。

本文将从正项级数的定义、收敛判别准则和一些典型的正项级数的收敛性问题进行研究，并阐述其相关的性质和应用。

正项级数是指级数的各项都是非负数的级数，即a_n\geq0。

正项级数的定义为S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n，其中a_n为级数的第n项。

研究正项级数的收敛性就是要研究级数的部分和序列是否存在极限，并讨论其有限或无限的性质。

关于正项级数的收敛判别准则有很多，其中最重要的是比较判别法、比值判别法和根值判别法。

比较判别法是通过比较级数与已知的收敛或发散的级数相比较，来研究级数的收敛性。

当存在一个已知的收敛级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n，使得对于n\geq N，有a_n\leq b_n 时，如果\sum_{n=1}^{\infty}b_n收敛，则\sum_{n=1}^{\infty}a_n也收敛；如果\sum_{n=1}^{\infty}b_n发散，则\sum_{n=1}^{\infty}a_n也发散。

调和级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}是一个著名的发散级数。

调和级数的部分和序列S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}是一个无界的序列，其发散的特点反映了调和级数的无穷大的增长速度。

幂级数\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n是正项级数的一种推广，其中a_n为常数，x为变量。

幂级数的收敛域是幂级数收敛的一组点构成的集合。

幂级数的收敛域可能是一个区间，也可能是一条直线或一个点。

正项级数的收敛性问题在实际中有广泛的应用。

对于工程中的问题，我们需要研究一些数列的收敛性，以确定问题的解是否存在。

正项级数的收敛性也在经济学、物理学和计算机科学等领域中有重要的应用。

通过研究正项级数的收敛性，我们可以对问题进行合理的建模和分析，为实际问题的解决提供有效的方法和手段。

正项级数的收敛性问题研究正项级数的收敛性问题是数学中一个非常基础的问题。

一个序列可能会收敛或者发散，这会对正项级数的收敛性产生影响。

下面我们将详细讨论正项级数的收敛性问题。

1. 正项级数的收敛定义首先，我们需要了解正项级数的收敛定义。

正项级数指的是一个数列的总和，该数列中所有的项均为正数。

例如，一个正项级数可以表示为:$$a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$$这种级数在数学和其他领域都有广泛的应用。

在数学中，这种级数通常用来描述函数的连续性和积分的收敛性。

那么，正项级数的收敛定义是什么呢？一个正项级数可以表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$如果该级数的部分和序列$\{S_n\}$收敛，则称该级数收敛，即：其中，$S_n$表示级数的前$n$项和，$S$表示级数的总和。

在研究正项级数的收敛性问题时，有许多判别法可以帮助我们判断一个级数是否收敛。

下面我们介绍一些常见的方法。

2.1 比较判别法比较判别法告诉我们，如果一个正项级数的每一项都大于或等于另一个级数的对应项，而那个级数又已知其发散，则该正项级数也一定发散。

换句话说，如果正项级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$满足：$$\forall n,\ a_n \geq b_n\ \text{且}\ \sum_{n=1}^\infty b_n = \infty$$则该正项级数也会发散。

则该正项级数与函数的积分$\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x$的收敛性相同。

3. 总结正项级数是数学中一个基础的问题，其收敛性影响着一系列函数的特性和一些积分的正确性。

因此，研究正项级数的收敛性问题是很有意义的。

本文介绍了正项级数的收敛定义和常见的收敛判别法，希望对读者有所帮助。