高中数学课件：第二章24等比数列第二课时等比数列的性质及应用.ppt

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[悟一法] 等比数列性质的运用技巧： (1)利用性质，整体求值，在简化运算的过程中有重要的 作用． (2)巧妙地利用 am·an＝ap2(m＋n＝2p，m，n，p∈N*)可 简化解题过程．
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[通一类] 1．在等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝
512，求q.
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2．一般地，如果m，n，kБайду номын сангаасl为正整数，且m＋n＝k＋ l，则有 am·an＝ak·al .特别地，当m＋n＝2k时， am·an＝a .
3．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按 原来的顺序排列，所得的新数列为 等比数列 ．
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4．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为 q1，q2， 那么数列a1n，{kan}(k∈R，且 k≠0)，{an·bn}，bann，{|an|} 仍是等比数列 ，且公比分别为q11，q1，q1q2，qq21，|q1|.
则操作 n＋1 次后溶液的浓度为 an＋1＝an(1－1a)． ∴{an}是以 a1＝1－1a为首项，公比为 q＝1－1a的等比数列．
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∴an＝a1qn－1＝(1－1a)n. 即第 n 次操作后酒精的浓度是(1－1a)n. 当 a＝2 时，由 an＝(12)n＜110，解得 n≥4. 故至少应操作 4 次后才能使酒精浓度小于 10%.
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[研一题] [例3] 从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升然 后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀， 如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若 a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?
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[自主解答] 设开始的浓度为 1，操作一次后溶液浓度 a1 ＝1－1a，设操作 n 次后溶液的浓度为 an，
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[自主解答] 法一：设这四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2， 由条件得a－d＋a＋a d2＝16，
a＋a＋d＝12.
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解得ad＝ ＝44， ， 或ad＝ ＝－ 9，6. 所以当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a＝9，d＝－6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
3．在等比数列{an}中，a2n＝an－1·an＋1(n>1)和 an2＝an－k·an＋ k(n>k>0)是否成立？ 提示：成立．
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4．若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则{lg an}是等 差数列吗？公差是多少？ 提示：是等差数列，公差 d＝lg an－lg an－1＝lgaan－n1＝lg q(n≥2)．
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解此方程得 x＝4 或 x＝16. ∴aa311＝＝41，6 或aa131＝＝146. 又 a11＝a3·q11－3＝a3·q8， ∴q＝±(aa131)18＝±418＝±4 2或 q＝±(14)18＝±41 .
2
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[研一题] [例2] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三 个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和 是12.求这四个数．
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即[(2－p)2n＋(3－p)3n]2＝[(2－p)2n＋1＋(3－p)3n＋1][(2 －p)2n－1＋(3－p)·3n－1]．
整理得16(2－p)(3－p)·2n·3n＝0. 解得 p＝2 或 p＝3.
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法二：由cn＝2n＋3n，得c1＝5，c2＝13，c3＝35，c4＝97. 因而数列{cn＋1－pcn}的前三项依次为 13－5p,35－13p,97－35p. 由题意得：(35－13p)2＝(13－5p)(97－35p) 整理得：p2－5p＋6＝0，∴p＝2或p＝3.
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[研一题] [例1] 已知{an}是等比数列且an＞0，a2a4＋2a3a5＋ a4a6＝25，求a3＋a5的值．
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[自主解答] ∵{an}为等比数列， ∴a2a4＝a23，a4a6＝a25. ∴a23＋2a3a5＋a25＝25.即(a3＋a5)2＝25. ∵an＞0，∴a3＋a5＝5.
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解：设所求四个数为2qa－aq，aq，aq，aq3.
则由已知aq2qa·－aqaq＝·1a6q，3＝－128.
① ②
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由①得a2＝16，∴a＝4或a＝－4. 由②得2a2q2－a2q4＝－128. 将a2＝16代入整理，得q4－2q2－8＝0.解得q2＝4， ∴q＝2或q＝－2. ∴所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
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[通一类] 2．在递增等比数列中，a1a9＝64，a3＋a7＝20.求a11的值．
解：在等比数列{an}中， ∵a1·a9＝a3·a7， ∴由已知可得aa33＋·a7a＝7＝642，0. ∴aa37＝＝41，6， 或aa37＝＝146. ，
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∵{an}是递增等比数列， ∴a7＞a3. ∴a3＝4，a7＝16. ∴16＝4q4.∴q4＝4. ∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
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已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为 等比数列，求常数p.
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[解] 法一：因为{cn＋1－pcn}是等比数列， 所以当n≥2时， 有(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－pcn－1)， 将cn＝2n＋3n代入上式，得 [2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋ 1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，
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[小问题·大思维] 1．在等比数列{an}中，如何用am表示an?
提示：an＝am·qn－m. 2．若数列{an}是一个无穷等比数列，公比为q，将数列{an}
的偶数项去掉，剩余各项组成一个新的数列，它还是等 比数列吗？它的首项和公比分别是多少？ 提示：仍然是等比数列，首项为a1，公比为q2.
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解：设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了 等比数列{an}，记a1＝147(7月份价格)，则8月份价格a2＝ a1(1－x)＝147(1－x)， 9月份价格a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2. ∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%. 设an＝34，则34＝147·(1－18.8%)n－1，解得n＝8. 即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油 价格将跌至34美元每桶.
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[悟一法] 本题将实际问题抽象成一个数列问题，解决数列应用 题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部 分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的 确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．
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[通一类] 3．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经
演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从 2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至 每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平 均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌 至谷底(即每桶34美元)?
解：法一：由条件得
a7·q－4＋a7＋a7q4＝28，① a7·q－5·a7·a7·q5＝512， ② 由②得 a37＝512， ∴a7＝8.将其代入①得 2q8－5q4＋2＝0.
解之，得
q4＝12或
q4＝2，即
4 q＝±
12或 q＝±4 2.
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法二：∵a3a11＝a2a12＝a27，∴a73＝512. ∴a7＝8.∴aa33＋ a11a＝11＝ 64.20， ∴a3 和 a11 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根．
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法二：设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(a≠0)，
由条件得aq2q＋a－a＝a＋12a.q＝16，
解得aq＝＝82，，
或q＝13， a＝3.
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所以当 q＝2，a＝8 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 q＝13，a＝3 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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当 p＝2 时， cn＋1－pcn＝(2n＋1＋3n＋1)－2(2n＋3n)＝3n， ∴ccn＋n＋2－1－ppccn＋n 1＝33n＋n 1＝3. ∴此时{cn＋1－pcn}是等比数列． 同理 p＝3 时数列{cn＋1－pcn}也是等比数列， ∴p＝2 或 p＝3.
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法三：{cn＋1－pcn}是等比数列 ⇔ccn＋n＋2－1－ppccn＋n 1＝常数． ∵ccn＋n＋2－1－ppccn＋n 1＝2－2－pp2n2＋n1＋ ＋33－ －pp33nn＋1 ＝2[2－p22－n＋p23n－＋p33－n]p＋3n3－p3n
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[悟一法] 等比数列的“对称设项”方法为：当项数 n 为奇数时，先 设中间一个数为 a，再以公比为 q 向两边对称地依次设项即可， 如三个数成等比数列，可设为aq，a，aq；当项数 n 为偶数且公 比大于 0 时，先设中间两个数为aq和 aq，再以公比为 q2 向两边 对称地依次地设项即可，如四个数成等比数列，可设为qa3，aq， aq，aq3，六个数成等比数列可设为qa5，qa3，aq，aq，aq3，aq5.
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＝2＋2－p32－n＋p33－n p3n ＝2＋2－p323－n＋p 3－p. 为使ccn＋n＋2－1－ppccn＋n 1为常数，也就是使
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2＋2－p323－n＋p 3－p为常数． ∴p－2＝0 或 p－3＝0， ∴p＝2 或 p＝3.
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［点评］ 法一是利用等比中项，法二是先利用特值求得p 的值，然后加以验证说明，其中法二是解决此类问题的 常用方法，且可以降低解题错误.
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