不等式(组)的概念、性质及解法

初中数学含参不等式组知识点及解法一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组.要点诠释： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上.(2) 这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(3) 有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2. 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。

含参数的一元二次不等式的解法：二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥∆） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。

解：0)1)((2>--x a x1,0)1)((==⇒=--x a x x a x 令 为方程的两个根（因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当1<a 时，不等式的解集为}1|{a x x x <>或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x综上所述：（1）当1<a 时，不等式的解集为}1|{a x x x <>或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x例2、解关于x 的不等式022≤-+k kx x分析：此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解 )8(82+=+=∆k k k k(1) 当02,08,02=-+>-<>∆k kx x k k 方程时或既有两个不相等的实根。

不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。

2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。

（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。

（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。

（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。

二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。

（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。

（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。

（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。

（5）化简：将不等式化简到最简形式。

2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。

（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。

3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。

（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。

三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。

2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。

3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。

第11练不等式（组）及其解法知识点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．注：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．知识点二、解一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．注：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．知识点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．注：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．一、单选题1．不等式组12511xx-⎧⎨-⎩＜＜的解集是（）A．x＞2 B．﹣3＜x＜2 C．﹣1＜x＜2 D．﹣2＜x＜2【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，然后再写出不等式组的解集即可．【详解】12511x x -⎧⎨-⎩＜①＜②， 解①得：x ＞﹣2，解②得：x ＜2，故不等式组的解集是：﹣2＜x ＜2，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确解出两个不等式的解集，是解题的关键． 2．若不等式组的解集为22x -≤<，则以下数轴表示中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】【分析】根据在数轴上表示解集的方法判断即可．【详解】解：若不等式组的解集为22x -≤<，在数轴上表示解集为：，故选：C ．【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键． 3．不等式组213417x x +≥⎧⎨-<⎩的解集是（ ） A ．1≥xB ．2x <C ．12x ≤<D ．12x < 【答案】C【分析】求一元一次不等式组的解集即可；【详解】解：213x +≥，解得：1≥x ；417x -<，解得：2x <；∴不等式组的解集为：12x ≤<；故选：C ．【点睛】本题主要考查求一元一次不等组的解集，正确计算是解本题的关键．4．若关于x 的不等式组325x m x ≤+⎧⎨>⎩无解，则m 的取值范围是（ ） A ．1mB ．1m <C ．m 1≥D ．1m【答案】A【解析】【分析】首先解每一个不等式，然后根据不等式组无解确定m 的范围．【详解】 解：325x m x ≤+⎧⎨>⎩①② ∵不等式组无解，∵325m +≤解得，1m ，故选：A【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．5．关于x 的不等式组()1233111222x x x a ⎧->-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩有且只有三个整数解，则a 的最大值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为1x a <<，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出a 的最大值．【详解】 解不等式1233x x ->-， 1233x x -+>， ∴2233x >， ∴1x >， 解不等式111(2)22x a -<-， 得11(2)122x a <-+， ∴x a <， ∴1233111(2)22x x x a ⎧->-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩的解集为1x a <<， ∵不等式组有且只有三个整数解，∴不等式组的整数解应为：2，3，4，∴a 的最大值应为5故选：C ．【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．6．如果关于x 的不等式组301x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅有2和3，那么适合这个不等式组的两整数a ，b 组成的有序数对()a b ，的个数为（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【解析】【分析】 求出不等式组的解集，根据已知求出1＜3a ≤2，3＜b +1≤4，解得：36a ≤＜，23b ≤＜，即可得出答案．【详解】解：解不等式3x −a ≥0，得：x ≥3a ， 解不等式x −b ＜1，得：1x b +＜，∵不等式组的整数解仅有x ＝2、x ＝3，∴1＜3a ≤2，3＜b +1≤4， 解得：36a ≤＜，23b ≤＜，则a ＝4时，b ＝3；当a ＝5时，b ＝3；当a ＝6时，b ＝3；∴适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对（a ，b ）共有3个，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的关键是求出a 、b 的取值范围．二、填空题7．不等式组325,212x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集为______． 【答案】41x -<≤-【解析】【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”确定出不等式组的公共解集即可．【详解】 解：325212x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②， 解①得：x ≤–1，解②得：x >-4，∴-4<x ≤-1．故答案为：-4<x ≤-1．【点睛】本题考查解不等式组，掌握确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”是解题的关键．8．若不等式组12x x k<≤⎧⎨>⎩无解，则k 的取值范围是______． 【答案】k ≥2【解析】【分析】根据不等式组的解集口诀：大大小小没有解得出k 的取值范围即可．【详解】解：∵不等式组12x x k <≤⎧⎨>⎩无解， ∴k ≥2，故答案为：k ≥2．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，解答的关键是熟知不等式组的解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没有解，注意端点值的取舍．9．已知关于x 的一元一次不等式()24m x +>的解集是42x m <+，如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四个点中，实数m 对应的点可能是______．【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式步骤中化系数为1中不等号变号，可得20m +<，进而得到m 的取值范围，结合数轴即可得到答案．【详解】由题意()24m x +>的解集为42x m <+， 则20m +<即2m <-则根据数轴中A ，B ，C ，D 位置，小于-2的只有A 点．故答案为A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，数轴，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．10．定义运算：*2a b a b =-，例如3*42342=⨯-=，则不等式组()*242*17x x ≥⎧⎨-<⎩的解集是________．【答案】34x ≤<【解析】【分析】根据所给的定义运算，不等式组*242*(1)7x x ≥⎧⎨-<⎩为22437x x -≥⎧⎨+<⎩，进行计算即可得． 【详解】解：根据题意不等式组*242*(1)7x x ≥⎧⎨-<⎩为2244(1)7x x -≥⎧⎨--<⎩， 即22437x x -≥⎧⎨+<⎩， 解得34x x ≥⎧⎨<⎩， 即34x ≤<，故答案为：34x ≤<．【点睛】本题考查了求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，掌握题中的定义运算． 11．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．【答案】32【解析】【分析】设该商品最多可降价x 元，列不等式32024020%240x --≥，求解即可； 【详解】解：设该商品最多可降价x 元；由题意可得，32024020%240x --≥， 解得：32x ≤；答：该护眼灯最多可降价32元．故答案为：32．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．12．若关于x ，y 的二元一次方程组52121,45,x y k x y -=-⎧⎨-+=⎩的解满足0x y ->，则k 的取值范围是______． 【答案】12k >【解析】【分析】解关于x 、y 的二元一次方程组，再代入不等式x －y ＞0，解不等式即可．【详解】 解： 5212145x y k x y -=-⎧⎨-+=⎩①②， ①－②有66126x y k -=-，即21x y k -=-，∵x －y ＞0，∴2k －1＞0， 解得12k ＞．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，掌握相关知识点是解题的关键．三、解答题13．解不等式组：421122x x x x ->+⎧⎪⎨--≤⎪⎩． 【答案】3x ≤１＜【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找这两个解集的公共部分即是不等式组的解集．【详解】421122x x x x -+⎧⎪⎨--≤⎪⎩＞①②， 解不等式①得：x ＞1；解不等式②得：3x ≤；即不等式组的解集为：13x ≤＜．【点睛】本题考查了求解一元一次不等式组的解集，解题的关键是准确解答出每一个不等式的解集．14．整式133m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为P ．(1)当m ＝2时，求P 的值；(2)若P 的取值范围如图所示，求m 的负整数值．【答案】(1)5-(2)2,1--【解析】【分析】（1）将m ＝2代入代数式求解即可，（2）根据题意7P ≤，根据不等式，然后求不等式的负整数解．(1)解：∵133m P ⎛⎫- ⎪⎝⎭= 当2m =时，1323P ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭533⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭5=-；(2)133m P ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，由数轴可知7P ≤， 即1373m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 1733m ∴-≤，解得2m ≥-，∴m 的负整数值为2,1--．【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．15．（1）解方程组：33814x y x y -=⎧⎨-=⎩； （2）解不等式组51222113x x +≥⎧⎪-⎨<⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）21x y =⎧⎨=-⎩（2）22x -≤< 【解析】【分析】（1）运用加减消元法解二元一次方程组，即可得出答案．（2）将不等式组中的两个一元一次不等式分别解出，再通过数轴确定公共解集，即可得出答案．【详解】（1）解：33814x y x y -=⎧⎨-=⎩①② 3⨯①得：339x y -=③③-②得：33(38)914x y x y ---=-55y =-∴1y =-把1y =-代入①：(1)3x --=∴2x =∴原方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩； （2）解：51222113x x +≥⎧⎪⎨-<⎪⎩①② 解不等式①得：2x ≥-解不等式②得：2x <数轴上表示为：∴原不等式组的解集为：22x -≤<【点睛】本题考查知识点为，二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的解法．熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，是解决本题的关键．16．解不等式组()5131212x x x x ⎧+>-⎨-≤+⎩①②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）． 解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．【答案】2x >-；3x ≤；见详解；23x -<≤【解析】【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①，得2x >-，解不等式②，得3x ≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：所以原不等式组解集为：23x -<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．17．已知方程组713x y m x y m +=--⎧⎨-=+⎩的解满足x 为非正数，y 为负数． (1)求m 的取值范围；(2)当m 为何整数时，不等式2mx +x ＜4m +2的解集为x ＞2．【答案】(1)23m -<≤【解析】【分析】（1）解方程组，再根据x 、y 的范围列出关于m 的不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）由不等式2mx ＋x ＜4m ＋2，即()()21221m x m ++＜的解集为x ＞2，可知2m ＋1＜0， 求出此不等式解集，再从－2＜m ≤3中找到符合此条件的m 的整数值即可．(1)解：解方程组得324x m y m =-⎧⎨=--⎩， ∵x 为非正数，y 为负数，∴30240m m -≤⎧⎨--<⎩， 解得－2＜m ≤3．∴m 的取值范围为－2＜m ≤3．(2)解：∵不等式2mx ＋x ＜4m ＋2，即()()21221m x m ++＜的解集为x ＞2，∴2m ＋1＜0，解得m ＜－12，在－2＜m ≤3中符合m ＜－12的整数为－1．∴m 为－1时，不等式2mx ＋x ＜4m ＋2的解集为x ＞2．【点睛】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解本题的关键．18．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．例题：解一元二次不等式（3x ﹣6）（2x +4）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①360240x x ->⎧⎨+>⎩或②360240x x -<⎧⎨+<⎩． 解不等式组①得x ＞2，解不等式组②得x ＜﹣2．所以一元二次不等式（3x ﹣6）（2x +4）＞0的解集是x ＞2或x ＜﹣2．(1)求不等式（2x +6）（2﹣x ）＜0的解集；(2)求不等式51542x x+-≥0的解集． 【答案】(1)x ﹥2或x ＜-3(2)32x -≤<【解析】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可．(1)解：由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①26020xx+>⎧⎨-<⎩或②26020xx+⎧⎨-⎩＜＞，解不等组①得：x>2，解不等组②得：x<-3，∴不等式（2x+6）（2﹣x）＜0的解集x﹥2或x＜-3；(2)解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得①5150420xx+≥⎧⎨-⎩＞或②5150420xx+≤⎧⎨-⎩＜，解不等组①得：-3≤x<2，解不等组②得：不等式组无解，∴不等式51542xx+-≥0的解集为-3≤x<2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键．1．已知关于x的不等式组320230a xa x-≥⎧⎨+>⎩恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．2332a≤≤B．4332a≤≤C．4332a<<D．4332a≤<【答案】B 【解析】首先确定不等式组的解集，先利用含a 的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解：320230a x a x -≥⎧⎨+>⎩①② 解不等式①得32a x ≤，解不等式②得23a x -＞， 由于不等式组有解，则2332a a x -<≤，必定有整数解0， ∵32||||23a a >-， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则32323102a a ⎧≤<⎪⎪⎨⎪-≤-<⎪⎩； 解得4332a ≤≤． 故选：B【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键．2．整数m 满足关于x ，y 的二元一次方程组214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，且关于x 的不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩有且仅有2个整数解，则m 的值为______． 【答案】5【解析】【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于x 的不等式，进而根据是正整数的条件求得m 的范围，解一元一次不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩，根据有且仅有2个整数解，确定m 的范围，最后根据x ，y 为整数，舍去不符合题意的m 的值即可求解．【详解】解：214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩①② ①＋②得，2213x m =-2132m x -∴= 将2132m x -=代入①，得5212m y -= x ，y 是正整数，21305210m m ->⎧∴⎨->⎩， 解得2175m <<， 54028x m x ->⎧⎨+≤⎩③④ 解不等式③得：45m x > 解不等式④得：6x ≤465m x ∴<≤ 有且仅有2个整数解，4455m ∴≤< 解得2554m ≤< 2175m << 212554m ∴≤< m 是整数5m ∴=或6当6m =时，21321183222m x --===，不合题意，故舍去 5m ∴=故答案为：5【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程13x -=的解为4x =，而不等式组1123x x ->⎧⎨-<⎩的解集为25x <<，不难发现4x =在25x <<的范围内，所以方程13x -=是不等式组1123x x ->⎧⎨-<⎩的“相依方程”．(1)在方程①6(2)(4)23x x +-+=；②930x -=；③230x -=中，不等式组2113(2)4x x x x ->+⎧⎨--≤⎩的“相依方程”是________；（填序号）(2)若关于x 的方程36x k -=是不等式组312121123x x x x +⎧>⎪⎪⎨-+⎪≥-⎪⎩的“相依方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程322x m -=-是关于x 的不等式组121x m x m m 的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m 的取值范围．【答案】(1)①(2)9 3.k(3)35.23m 【解析】【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组611,3k 解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得131,m x m 再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：,1,2,3,4,n n n n n 再求解02,n 而n 为整数，则1,n = 可得45,33m 再解方程可得34,x m 可得134,3431m m m m 解得3,2m 从而可得答案． (1)解：①6(2)(4)23x x +-+=，整理得：515,x = 解得：3,x =②930x -=，解得：1,3x = ③230x -=，解得：3.2x =2113(2)4x x x x ->+⎧⎨--≤⎩解不等式211x x ->+可得：2,x >解不等式324x x 可得：5,x ≤所以不等式组的解集为：2 5.x根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．故答案为：①(2) 解：312121123x xx x ①②由①得：1,x >-由②得：1,x ≤所以不等式组的解集为：11,x36x k -=，63k x根据“相依方程”的含义可得：611,3k363,k 解得：9 3.k(3)解：121x m x m m ①②由①得：1,x m由②得：31,x m∴不等式组的解集为：131,m x m此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：,1,2,3,4,n n n n n 11,4315n m nn m n∴1,3433n m n n n m 则43,313n n n n 解得：02,n 而n 为整数，则1,n = 12,4533m m 45,33m 因为322x m -=-， 解得：34,x m 根据“相依方程”的含义可得：134,3431m m m m 解134m m 可得：3,2m而3431m m 恒成立，所以不等式组的解集为：3,2m综上：35.23m 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．4．【提出问题】已知2x y -=，且1x >，0y <，试确定x y +的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用y 去表示x ，然后根据题中已知x 的取值范围，构建y 的不等式，从而确定y 的取值范围，同理再确定x 的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题．【解决问题】解：2x y -=，2x y ∴=+．1x >，21y ∴+>，1y ∴>-．0y <，10y ∴-<<，①同理，得12x <<．②由+①②，得1102y x -+<+<+，x y ∴+的取值范围是02x y <+<．【尝试应用】（1）已知3x y -=-，且1x <-，1y >，求x y +的取值范围；（2）已知1y >，1x <-，若x y a -=成立，求x y +的取值范围(结果用含a 的式子表示)．【答案】（1）11x y -<+<；（2）当2a <-时，22a x y a +<+<--【解析】【分析】（1）仿照例子，运算求解即可；（2）仿照例子，注意确定不等式有解集时a 的取值范围即当2a <-时，关于x 、y 的不等式存在解集，然后运算求解即可．【详解】（1）解：∵3x y -=-，∴3x y =-，∵1x <-，∴31y -<-，∴2y <，∵1y >，∴12y <<，①同理，得21x -<<-，②由①+②，得2112x y -+<+<-+，∴x y +的取值范围是11x y -<+<．（2）解：∵x y a -=，∴x y a =+，∵1x <-，∴1y a +<-，∴1y a <--，∵1y >，∴当2a <-时，11y a <<--，①同理，得11a x +<<-，②由①+②，得22a x y a +<+<--，∴x y +的取值范围是22a x y a +<+<--．【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式．能够仿照例子结合不等式的基本性质作答是解题的关键．。

人教版七年级数学下册第9章。

一元一次不等式组知识点专题复习讲义一元一次不等式组知识点专题复讲义一、知识梳理1.知识结构图概念基本性质不等式的解法不等式的定义不等式的解集一元一次不等式的解法实际应用一元一次不等式组的解法二、知识点回顾1.不等式不等式是由不等号连接起来的式子。

常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”。

2.不等式的解与解集不等式的解是使不等式成立的未知数的值。

不等式的解集是一个含有未知数的不等式的解的全体。

解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

3.不等式的基本性质1) 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

4.一元一次不等式一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1.系数不等于的不等式叫做一元一次不等式。

其标准形式为：ax+b＜或ax+b≤，ax+b＞或ax+b≥0(a≠0)。

5.解一元一次不等式的一般步骤1) 去分母；2) 去括号；3) 移项；4) 合并同类项；5) 化系数为1.删除格式错误的段落。

对于每段话，进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。

解一元一次不等式和解一元一次方程类似。

不同的是，一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

这是解不等式时最容易出错的地方。

例如，解不等式：-2/3x-1≤1/3解：去分母，得（3x-1）-2（3x-1）≤2（不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得3x-3-6x+2≤2（注意符号，不要漏乘！）移项，得3x-6x≤2+3-1（移项要变号）合并同类项，得-3x≤4（计算要正确）系数化为1，得x≥-4/3（同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）一元一次不等式组是含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组。

不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念，经常在解决实际问题和证明不等式性质时使用。

下面我将对不等式的定义、性质以及解不等式的方法进行总结。

1. 不等式的定义不等式是数学中用不等号表示的关系式。

不等式包括大于等于、小于等于、大于、小于四种形式。

例如：a≥b表示a大于等于b；c<b表示c小于b。

2. 不等式的性质（1）传递性：如果a≥b，b≥c，那么a≥c。

如果a<b，b<c，那么a<c。

（2）对称性：如果a≥b，那么b≤a；如果a<b，那么b>a。

（3）加法性：如果a≥b，那么a+c≥b+c；如果a<b，那么a+c<b+c。

（4）乘法性：如果a≥b，且c>0，那么ac≥bc；如果a≥b，且c<0，那么ac≤bc。

3. 不等式的解法（1）加减法解法：对于形如ax+b≥0或ax+b<0的一元一次不等式，可以通过加减法解法进行求解。

例如：5x+3>2x+7，首先将等式化简得到3x>-4，然后除以系数3得到x>-4/3。

（2）乘法解法：对于形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的二次不等式，可以通过乘法解法进行求解。

例如：x²+2x-4>0，首先求出二次方程x²+2x-4=0的根，然后根据二次曲线的凹凸性判断不等式的解集。

（3）分段解法：对于形如|x-a|<b的不等式，可以通过分段解法求解。

例如：|x-3|<5，可以将不等式分为两个部分，x-3<5和x-3>-5，然后求解这两个部分的解集，并取其交集作为原不等式的解集。

4. 不等式的应用（1）代数不等式的应用：代数不等式常常应用于经济学、物理学、生物学等实际问题分析中。

例如：求最大值、最小值、稳定性等。

（2）几何不等式的应用：几何不等式常常应用于解决关于图形的问题，如边长关系、面积关系等。

不等式知识点不等式，作为高中数学中一项重要的内容，贯穿着整个数学学习的过程。

它不仅在数学中有重要的地位，也在实际生活中应用广泛。

了解不等式的各种性质和解题方法，不仅可以帮助我们在数学考试中取得好成绩，更能在解决实际问题时发挥巨大的作用。

1. 不等式的基本概念不等式是用不等号连接的两个数或含有变量的代数式。

其中，大于号表示大于关系，小于号表示小于关系。

例如：3 > 2，x + 1 < 5等。

在不等式中，大于号和小于号都可以加上等于号，分别表示大于等于和小于等于的关系。

2. 不等式的性质（1）等价不等式性质：如果两个不等式左右两边互相相等，那么两个不等式的解集也相等。

例如：若a + b < c，则a + b + d < c + d。

（2）加减法性质：在不等式两边同时加或减相同的数，不等关系不变。

例如：若a < b，则a + c < b + c。

（3）乘除法性质：当不等号的一边为正数，另一边为负数时，改变不等关系。

例如：若a < b，则-a > -b。

但需注意，当两边同时乘或除以负数时，不等关系反转。

例如：若a < b，则-a > -b；若a > 0，则2a < a。

（4）倒置性质：如果不等式两边互相交换位置，不等关系也要交换。

例如：若a < b，则b > a。

3. 不等式的解法（1）图像法：将不等式等号两边的代数式分别画成函数图像，在坐标系中找出它们的共同区域，即为不等式的解集。

（2）试值法：根据不等式的性质，用一组特定的数值代替不等式中的变量，判断不等式是否成立。

（3）整理法：通过移动项的位置，使不等式看起来更简单。

例如：对于不等式a + b > c，可以移项为a + b - c > 0，更容易处理。

（4）分析法：对不等式进行逐步分析，通过推理和推导，得到不等式的解集。

4. 不等式在实际问题中的应用不等式在现实生活中有着广泛的应用。