题点技巧(一) 巧用性质·妙解函数[解题技法——学一招]函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用．以对称性为例，若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数图象关于直线x ＝a ＋b2对称；若函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，c 2对称．[典例] (2018·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72 B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52 C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1) D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72 [解析] 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝⎛⎭⎫72<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫52，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52，故选B. [答案] B[经典好题——练一手]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x (x >0)，ax 2＋bx ＋c (x ≤0)的图象关于原点对称，则a ，b ，c 的值分别为( )A ．－1，－2,0B ．1，－2,0C ．－1,2,0D ．1,2,0解析：选D 因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，即f (－x )＝－f (x )，设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .因为f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝－x2－2x，即f(x)＝x2＋2x.故a＝1，b＝2，c＝0，选D.2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A．0<f(1)<f(3) B．f(3)<0<f(1)C．f(1)<0<f(3) D．f(3)<f(1)<0解析：选C由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．故选C.[常用结论——记一番]1．有关函数单调性的常用结论(1)若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．(2)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．(3)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝1f(x)单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝f(x)单调性相同．[提示]在利用函数单调性解不等式时，易忽略函数定义域这一限制条件．2．有关函数奇偶性的常用结论(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)±f(－x)＝0，f(x)f(－x)＝±1.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇→奇，奇×奇→偶，偶＋偶→偶，偶×偶＝偶，奇×偶→奇．(3)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．3．有关函数f(x)周期性的常用结论(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数f(x)的周期为2|a|；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2|a|；(3)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数f(x)的周期为2|a|；(4)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |. 题点技巧(二) 最值函数·大显身手[解题技法——学一招]最值函数的定义：设a ，b 为实数，则min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ；max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，b >a .解有些求最值问题时，巧妙借助以下性质，可如虎添翼.(1)min{a ，b }≤a ＋b2≤max{a ，b }；(2) min a >0，b >0{a ，b }≤ab ≤max a >0，b >0{a ，b }.[典例] 已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 过点(α，0)，(β，0)，若存在整数n ，使n <α<β<n ＋1，则min{f (n )，f (n ＋1)}与14的大小关系为( )A ．min{f (n )，f (n ＋1)}>14B ．min{f (n )，f (n ＋1)}<14C ．min{f (n )，f (n ＋1)}＝14D ．不能确定[解析] 因为α，β为f (x )＝0的根，所以f (x )＝x 2＋px ＋q ＝(x －α)(x －β)，f (n )＝(n －α)(n －β)，f (n ＋1)＝(n ＋1－α)(n ＋1－β)，min{f (n )，f (n ＋1)}≤f (n )f (n ＋1)＝(α－n )(β－n )(n ＋1－α)(n ＋1－β)<⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫122＝14，故选B. [答案] B[经典好题——练一手]1．设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析：选D max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a ＋b |2＋|a －b |22＝|a |2＋|b |2，故选D.2．(2018·兰州模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ≥0，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C ．1D.52解析：选A 如图，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，∵λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1，∴0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，∴c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.∴max{c ·a ，c ·b }≥c ·a ＋c ·b 2＝4－3λ2＝45.即max {}c ·a ，c ·b 的最小值为45，此时λ＝45，μ＝15，∴c ＝45a ＋15b ＝⎝⎛⎭⎫45，25.∴|c |＝ ⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255.题点技巧(三) 成图在胸·巧比大小[解题技法——学一招]幂数、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函数图象和性质，做到“胸有成图”或“成图在胸”.解决这类问题首先要区分这些数属于哪类函数，是哪个函数的函数值，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小.[典例] 已知a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“>”表示排列)[解析] 法一(数形结合法)：变形a ＝ln 22＝ln 2－02－0，则a 表示函数y ＝ln x 图象上的点(2，ln 2)与点(0,0)连线的斜率．同理，b ＝ln 33＝ln 3－03－0，c ＝ln 55＝ln 5－05－0分别表示(3，ln 3)，(5，ln 5)与点(0,0)连线的斜率．作出函数y ＝ln x 的图象，标出相应点的位置，观察可知b >a >c .法二(构造函数法)：令y ＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，令y ′＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，所以函数在x ∈(0，e)上单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上单调递减，函数在x ＝e 处取得极大值，所以b >a ，b >c ，再作差比较a 与c 的大小，易知b >a >c .[答案] b >a >c[经典好题——练一手]1．已知实数a ，b 满足不等式log 2a <log 3b ，则不可能成立的是( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．0<a <1<bD ．1<b <a解析：选D 如图y ＝g (x )表示以2为底的对数函数图象，y ＝f (x )表示以3为底的对数函数图象，根据log 2a <log 3b ，得1<b <a 不可能成立，故选D.2．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A 法一：首先确定a 是函数y ＝2x 与y ＝log 12x 图象的交点的横坐标，b 是函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 12x 图象的交点的横坐标，c 是函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点的横坐标．分别画出函数y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 12x ，y ＝log 2x 的图象(图象略)，易知a <b <c . 法二：∵a ，b ，c 均为正数，∴2a >1，即log 12a >1，解得0<a <12.0<⎝⎛⎭⎫12b <1，即log 12b <1，解得12<b <1.0<⎝⎛⎭⎫12c <1即0<log 2c <1，解得1<c <2. ∴a <b <c .[常用结论——记一番]比较几个数的大小，关键是区分不同的函数，然后构造函数．(1)底数相同，指数不同时，如ax 1与ax 2，利用指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的单调性；(2)指数相同，底数不同，如x a 1与x a 2，利用幂函数y ＝x a 的单调性比较大小；(3)底数指数都不同，如ax 1与bx 2，寻找中间变量0,1或bx 1或ax 2.题点技巧(四) 特值探路·秒杀小题[解题技法——学一招]特值探路法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊角、特殊数列等对选择题各选项进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判断选项正确与否的方法.有时，也会取特殊位置，特殊模型等特征入手，简化运算，速得结论.[典例] 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ―→|＝6，|AD ―→|＝4.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] 若四边形ABCD 为矩形，建系如图．由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→， 知M (6,3)，N (4,4)，∴AM ―→＝(6,3)，NM ―→＝(2，－1)， AM ―→·NM ―→＝6×2＋3×(－1)＝9. [答案] C [技法领悟]取特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例解选择题时，要注意以下两点：第一，取的特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.[经典好题——练一手]1．存在函数f (x )满足对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：选D 在A 中，取x ＝0，可知f (sin 0)＝sin 0，即f (0)＝0，再取x ＝π2，可知f (sinπ)＝sin π2，即f (0)＝1，与f (0)＝0矛盾，故A 错误；同理可知B 错误；在C 中，取x ＝1，可知f (2)＝2，再取x ＝－1，可知f (2)＝0，与f (2)＝2矛盾，故C 错误．由排除法知选D.2．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则PM 与PN 的斜率之积等于________．解析：取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2,0)，N (2,0)， 所以k PM ·k PN ＝32·3－2＝－34. 答案：－34题点技巧(五) 应用导数·开阔思路[解题技法——学一招]1．函数的单调性与导数的关系 (1)f ′(x )>0⇒f (x )为增函数； (2)f ′(x )<0⇒f (x )为减函数； (3)f ′(x )＝0⇒f (x )为常数函数． 2．求函数f (x )极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，再判断f ′(x )＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．[典例] 设函数f (x )＝e x －1＋m x (m ∈R )．(1)若f (x )在[1,2]上为单调递减函数，求实数m 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处有极值，且函数g (x )＝f (x )－n 在(0，＋∞)上有零点，求n 的最小值． [解] (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝e x －1－m x2.当f (x )在[1,2]上单调递减时，e x －1－mx 2≤0在[1,2]上恒成立，所以m ≥x 2e x －1在[1,2]上恒成立．令h (x )＝x 2e x －1，则h ′(x )＝e x －1(x 2＋2x )>0在[1,2]上恒成立，即h (x )在[1,2]上单调递增，所以h (x )＝x 2e x －1在[1,2]上的最大值为h (2)＝4e ，即m ≥4e.所以实数m 的取值范围为[4e ，＋∞)．(2)因为f ′(x )＝e x －1－mx 2，又f (x )在x ＝1处有极值，所以f ′(1)＝e 0－m ＝0，解得m ＝1，经检验符合题意．所以f (x )＝e x －1＋1x ，g (x )＝f (x )－n ＝e x －1＋1x －n . 对g (x )求导，得g ′(x )＝e x －1－1x2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数．所以g (x )在x ＝1处取得极小值g (1)＝e 0＋1－n ＝2－n .依题意，g (x )在(0，＋∞)上有零点，所以g (1)≤0，即2－n ≤0，所以n ≥2. 所以n 的最小值为2. [技法领悟]本题的求解涉及两类题型的求解方法：(1)求参数的取值范围问题，方法是通过对函数单调性的研究，转化为不等式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题．(2)研究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大(或最小)值f (t )，而函数又在此区间有零点，则结合图形解析，可得f (t )≥0(或f (t )≤0)．[经典好题——练一手]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)，e ax (x >0)在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12ln 2，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 2 C ．(－∞，0)D.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 2 解析：选D 设y ＝2x 3＋3x 2＋1(－2≤x ≤0)，则y ′＝6x (x ＋1)(－2≤x ≤0)，所以－2≤x <－1时，y ′>0，－1<x <0时，y ′<0，所以y ＝2x 3＋3x 2＋1在[－2,0]上的最大值在x ＝－1时取得，为2，所以函数y ＝e ax 在(0,2]上的最大值不超过2，当a >0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值e 2a ≤2，所以0<a ≤12ln 2，当a ＝0时，y ＝1≤2，当a <0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值小于1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 2. 2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ln x .(1)若a ＝1，求函数f (x )的图象在(e ，f (e))处的切线方程． (2)若a ＝－e ，证明：方程2|f (x )|－3x ＝2ln x 无解．解：(1)当a ＝1时，f (e)＝e 2＋e ，f ′(x )＝2x ＋ln x ＋1，故f ′(e)＝2e ＋2，故所求切线方程为y －e 2－e ＝(2e ＋2)·(x －e)，即(2e ＋2)x －y －e 2－e ＝0.(2)证明：依题意，有2|ax 2＋x ln x |－3x ＝2ln x ， 即2|ax 2＋x ln x |＝2ln x ＋3x ， 亦即|ax ＋ln x |＝ln x x ＋32.令g (x )＝ax ＋ln x ，当a ＝－e 时，g (x )＝－e x ＋ln x ，则g ′(x )＝－e x ＋1x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1e，令g ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ， 所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增， 令g ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞， 所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递减， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e·1e ＋ln 1e ＝－2， 所以|g (x )|≥2，令h (x )＝ln x x ＋32，则x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝1－ln x x 2.令h ′(x )>0，得x ∈(0，e)， 所以函数h (x )在(0，e)上单调递增， 令h ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)， 所以函数h (x )在(e ，＋∞)上单调增减， 所以h (x )max ＝h (e)＝ln e e ＋32＝1e ＋32<12＋32＝2，即h (x )<2，所以|g (x )|>h (x )，即2|f (x )|－3x >2ln x ， 所以方程2|f (x )|－3x ＝2ln x 无解．题点技巧(六) 三角问题·重在三变[解题技法——学一招]“三变”是指变角、变数与变式.(1)变角如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β.(2)变数特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等.(3)变式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)，sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1.[典例] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B ．9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π， 又sin 2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 所以cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4， 于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] A[经典好题——练一手]1．已知α为锐角，若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，因为α为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35<32，所以π6<α＋π6<π3，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2×35×45＝2425. 答案：24252．若0<α<π2，0<β<π2，sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝35，cos ⎝⎛⎭⎫β2－π3＝255，则cos ⎝⎛⎭⎫β2－α的值为________． 解析：由题易知－π6<π3－α<π3，－π3<β2－π3<－π12，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin ⎝⎛⎭⎫β2－π3＝－1－⎝⎛⎭⎫2552＝－55，所以cos ⎝⎛⎭⎫β2－α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫β2－π3＝45×255＋35×55＝11525. 答案：11525题点技巧(七) 三角换元·妙解最值[解题技法——学一招]解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法.换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化隐含关系为显性关系等，在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用.[典例] (2018·湖北荆州质检)设P 为曲线C 1：x 28＋y 24＝1上一点，Q 为直线C 2：x －2y－5＝0上一点，则|PQ |的最小值为________．[解析] 设P (22cos α，2sin α)，则点P 到直线C 2的距离d ＝|22cos α－22sin α－5|1＋2＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4－53＝5－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π43.当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1时，d 取得最小值33，所以|PQ |的最小值为33. [答案]33[技法领悟]椭圆和圆上的两个动点或椭圆和直线上两个动点之间距离的最值问题，可转化为椭圆上的点到圆心的距离或椭圆上的点到直线的距离的最值问题，利用点到直线的距离公式，结合正、余弦函数的有界性或二次函数求解即可．[经典好题——练一手]1．(2019届高三·海南八校联考)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的最小值是________．解析：f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＝(sin x ＋cos x )2＋sin x ＋cos x －1，令sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤t ≤2，∴原函数可化为g (t )＝t 2＋t －1(0≤t ≤2)．∵函数g (t )＝t 2＋t －1的图象开口向上，其对称轴的方程为t ＝－12，∴当0≤t ≤2时，g (t )单调递增．当t ＝0时，g (t )取得最小值－1.答案：－12．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，则|QF 1|＋|QP |＋|QF 2|的最大值为________．解析：由椭圆定义知|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝210，则|QF 1|＋|QP |＋|QF 2|＝210＋|QP |.又圆心C (0,6)，半径r ＝2，设椭圆上一点Q 的坐标为(10cos α，sin α)(α为参数)，则|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝－9sin 2α－12sin α＋46＝－9⎝⎛⎭⎫sin α＋232＋50.因为－1≤sin α≤1，所以当sin α＝－23时，|CQ |max ＝50＝52，此时|QP |max ＝|CQ |max ＋r ＝52＋2＝62，即|QF 1|＋|QP |＋|QF 2|的最大值为210＋6 2.答案：210＋6 2[常用结论——记一番] 三角公式中常用的换元变形(1)对于含有sin α±cos α，sin αcos α的问题，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，建立sin α±cos α与sin αcos α的关系．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式⎝⎛ 如sin α＋cos αsin α－cos α，)sin αcos α，利用tan α＝sin αcos α转化为含tan α的式子．(3)对于形如cos 2α＋sin α与cos 2α＋sin αcos α的变形，前者用平方关系sin 2α＋cos 2α＝1化为二次型函数，而后者用降幂公式化为一个角的三角函数．(4)含tan α＋tan β与tan αtan β时考虑tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.题点技巧(八) 四心定位·向量有法[解题技法——学一招]平面向量与三角形“四心”(内心、外心、重心、垂心)相结合的试题在历年高考试题和模拟题中频繁出现，且往往以向量作为载体对三角形的“四心”进行考查，要求考生掌握三角形“四心”的性质以及在向量运算的基础上读懂向量的几何意义，可快速求解.[典例] 已知△ABC 中，G 是△ABC 的重心，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且56a GA ―→＋40b GB ―→＋35c GC ―→＝0，则B 的度数为________．[解析] 因为G 是△ABC 的重心，根据重心的性质可知GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，所以56a ∶40b ∶35c ＝1∶1∶1，即有7a ＝5b,7c ＝8b ，令a ＝5k (k >0)，则b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可得cos B ＝25k 2＋64k 2－49k 22×5k ×8k＝12，所以B ＝60°.[答案] 60° [技法领悟]本题是一道关于解三角形的题目，熟练掌握三角形重心性质的向量表达式以及余弦定理是解答此题的关键．[经典好题——练一手]1．在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AC ＝3，设G 是△ABC 的内心，若AG ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，则mn的值为________． 解析：∵AG ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，∴AG ―→＝m (GB ―→－GA ―→)＋n (GC ―→－GA ―→)，∴(1－m －n )GA ―→＋m GB ―→＋n GC ―→＝0，∵G 是△ABC 的内心，∴由三角形内心的性质，得2GA ―→＋3GB ―→＋2GC ―→＝0，∴m n ＝32.答案：322．已知△ABC 的外心、垂心分别为O ，H .若OH ―→＝m (OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)，则m ＝________.解析：如图，连接BO 并延长交△ABC 的外接圆于点E ，连接EA ，EC ，HA ，HC ，因为H 是△ABC 的垂心，所以AH ⊥BC ，又BE 为⊙O 的直径，所以EC ⊥BC ，所以AH ∥EC ，同理可证CH ∥EA ，所以四边形AHCE 为平行四边形，故OH ―→＝OA ―→＋AH ―→＝OA ―→＋EC ―→＝OA ―→＋OC ―→－OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→，又OH ―→＝m (OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)，所以m ＝1.答案：1[常用结论——记一番]1．三角形三边中线的交点叫三角形的重心，它到三角形顶点的距离等于到对边中点距离的2倍．三角形重心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.2．三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，也是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等．三角形外心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2.3．三角形的三个内角平分线的交点叫三角形的内心，也是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．三角形内心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0(a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边)．4．三角形三边上的高的交点，叫三角形的垂心，它与顶点的连线垂直于对边．三角形垂心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→.题点技巧(九) 巧妙建系·妙解向量[解题技法——学一招]平面向量作为高考必考内容，常以选择题或填空题的形式出现，而且具有一定难度，若采取建立坐标系的方法，则可在很大程度上降低解题难度.坐标法是处理平面向量问题的主要方法，只要能够建立平面直角坐标系，把点的坐标表示出来，向量的坐标就可以求出来，从而平面向量的四大常见问题(平行、垂直、夹角、模)都可以套用相应的公式解决.如果图形特殊，如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等，均可尝试用坐标法解决问题.[典例] 在平面上，已知AB 1―→⊥AB 2―→，|OB 1―→|＝|OB 2―→|＝1，AP ―→＝AB 1―→＋AB 2―→，若|OP ―→|<12，则|OA ―→|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72 C.⎝⎛⎭⎫52，2D.⎝⎛⎭⎫72，2 [解析] 连接PB 1，PB 2，由AB 1―→⊥AB ―→2，AP ―→＝AB 1―→＋AB 2―→，得四边形AB 1PB 2为矩形，故以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，且PB 1∥x 轴，PB 2∥y 轴，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1，A (x 1，y 2)，P (x 2，y 1)，又|OP ―→|＝x 22＋y 21<12，则|OA ―→|＝x 21＋y 22＝2－(x 22＋y 21)∈⎝⎛⎭⎫72，2，故选D.[答案] D [技法领悟]在有关平面向量的模和两向量的夹角的问题中，可建立平面直角坐标系，把相关点的坐标表示出来，用坐标法来求解，更简便、快捷．[经典好题——练一手]1．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，则点C 到直线BD 的距离为25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为点P 在圆C 上，所以可设P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ，又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，所以AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ(θ为参数)，则λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，其中tan φ＝2，故选A. 2.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥DC ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分(包括边界)运动，若AP ―→＝αAB ―→＋βBC ―→，其中α，β∈R ，则4α－β的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤2，3＋324 B ．⎣⎡⎦⎤2，3＋52 C.⎣⎡⎦⎤3－24，3＋32 D.⎣⎡⎦⎤3－172，3＋172 解析：选B 如图，以A 为坐标原点，AB ―→，AD ―→的方向分别为x轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，AB ―→＝(2,0)，BC ―→＝(－1,1)，设点P 的坐标为(x ，y )，由题意，知AP ―→＝α(2,0)＋β(－1,1)，据此可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2α－β，y ＝β，则⎩⎨⎧α＝x ＋y2，β＝y ，令z ＝4α－β，则z ＝2x ＋y ，其中z 为直线系y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距， 结合图形易知当直线y ＝－2x ＋z 与圆相切时，z 取得最大值，此时|－2－1＋z |5＝12，解得z ＝3＋52或z ＝3－52(舍去)， 故z 的最大值为3＋52，当直线y ＝－2x ＋z 过点⎝⎛⎭⎫12，1时z 有最小值2.故选B. 题点技巧(十) 正弦余弦·相得益彰[解题技法——学一招] 解三角形问题的求解策略在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．一般来说，当条件中同时出现ab 及b 2，a 2时，往往用余弦定理；当条件中边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的公式进行解答．[典例] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．[解] (1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sinC ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C－8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B ，结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.[经典好题——练一手]1．非直角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝1，C ＝π3.若sin C＋sin(A －B )＝3sin 2B ，则△ABC 的面积为( )A.1534B.154 C.2134或36D.3328解析：选D 因为sin C ＋sin(A －B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ＝6sin B cos B ，因为△ABC 非直角三角形，所以cos B ≠0，所以sin A ＝3sin B ，即a ＝3b . 又c ＝1，C ＝π3，由余弦定理得a 2＋b 2－ab ＝1，结合a ＝3b ，可得b 2＝17，所以S ＝12ab sin C ＝32b 2sin π3＝3328.故选D.2.如图所示，圆内接四边形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝4，AD ＝2CD ＝4.(1)求圆的半径R ；(2)若点P 在圆周上运动，求四边形APCD 面积的最大值． 解：(1)因为四边形ABCD 内接于圆， 所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.连接AC (图略)，因为BC ＝6，AB ＝4，AD ＝4，CD ＝2，由余弦定理可得AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC ＝42＋22－2×4×2cos(180°－∠ABC )， 解得cos ∠ABC ＝12，因为0°<∠ABC <180°，故∠ABC ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝42＋62－2×4×6cos 60°＝28，故AC ＝27. 由正弦定理得2R ＝AC sin ∠ABC ＝4213，故R ＝2213.(2)易知S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，由(1)可得S △ADC ＝12AD ×CD sin ∠ADC ＝12×4×2×sin 120°＝2 3.易知∠APC ＝∠ABC ＝60°，设AP ＝x ，CP ＝y ，则S △APC ＝12xy sin 60°＝34xy .由余弦定理知AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos 60°＝x 2＋y 2－xy ＝28， 又x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy ，所以xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号， 所以S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93， 所以四边形APCD 面积的最大值为9 3.题点技巧(十一) 玩转通项·搞定数列[解题技法——学一招]几种常见的数列类型及通项的求法[典例] 已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n＝________.[解析] 由a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)得，a n ＋t ＝2(a n －1＋t )(n ≥2)，所以2t －t ＝1，解得t ＝1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＋1＝2，所以{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1.[答案] 2n －1 [技法领悟]形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)的递推公式，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，其中t ＝qp －1，再转化为等比数列求解．[经典好题——练一手]1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝2n (n －1)2D ．a n ＝2n 22解析：选C 因为a n ＋1＝2na n ，所以a n ＋1a n ＝2n ，所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝21×22×23× (2)－1(n ≥2)，即a n a 1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2，所以a n ＝2n (n －1)2a 1＝2n (n －1)2，故选C. 2．在数列{a n }中，a 1＝1，(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.解析：由(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1得a n ＋1－a n ＝1n 2＋2n ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2－a 1＝12×⎝⎛⎭⎫11－13，a 3－a 2＝12×⎝⎛⎭⎫12－14，…，a n －1－a n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ，a n －a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝74－2n ＋12n (n ＋1). 答案：74－2n ＋12n (n ＋1)[常用结论——记一番] 等差(比)数列的重要结论(1)数列{a n }是等差数列⇔数列{c a n }是等比数列；数列{a n }是等比数列，则数列{log a |a n |}是等差数列．(2){a n }，{b n }是等差数列，S n ，T n 分别为它们的前n 项和，若b m ≠0，则a mb m ＝S 2m －1T 2m －1. (3)首项为正(或为负)递减(或递增)的等差数列前n 项和最大(或最小)问题转化为解不等式⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，也可化为二次型函数S n＝An 2＋Bn 来分析，注意n ∈N *.(4)等差(比)数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(各项均不为0)仍是等差(比)数列．题点技巧(十二) 掌握规律·巧妙求和[解题技法——学一招]求数列的前n 项和的主要方法(1)公式法：对于等差数列或等比数列可用公式法．(2)裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而累加相消．(3)错位相减法：若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则对于数列{a n b n }的前n 项和可用错位相减法．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加法．(5)分组求和法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列．[典例] (2018·东北三省三校第二次联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝b n ＋a n －n ，n ∈N *.(1)证明：{a n －n }为等比数列； (2)数列{c n }满足c n ＝a n －n(b n ＋1)(b n ＋1＋1)，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)证明：因为a n ＋1＝2a n －n ＋1，所以a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )．又a 1＝3，所以a 1－1＝2，所以数列{a n －n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，a n －n ＝2·2n －1＝2n .所以b n ＋1＝b n ＋a n －n ＝b n ＋2n ，即b n ＋1－b n ＝2n .b 2－b 1＝21，b 3－b 2＝22，b 4－b 3＝23，…，b n －b n －1＝2n －1.以上式子相加，得b n ＝2＋2·(1－2n －1)1－2＝2n(n ≥2)．当n ＝1时，b 1＝2，满足b n ＝2n ，所以b n ＝2n .所以c n ＝a n －n(b n ＋1)(b n ＋1＋1)＝2n(2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1. 所以T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1.[技法领悟]求解此类题需掌握三个技巧：一是巧拆分，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的和，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n 项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和．[经典好题——练一手]1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＋a 5＝8，在数列{b n }中，b 1＝2，其前n 项和S n 满足b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 2＝2，a 3＋a 5＝8， ∴a 1＋d ＝2,2a 1＋6d ＝8， 解得a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n . ∵b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)，① ∴b n ＝S n －1＋2(n ∈N *，n ≥2)．②①－②得，b n ＋1－b n ＝S n －S n －1＝b n (n ∈N *，n ≥2)， ∴b n ＋1＝2b n (n ∈N *，n ≥2)． ∵b 1＝2，b 2＝2＋2＝2b 1，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝2n .(2)c n ＝a n b n ＝n 2n ，则T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①则12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－2＋n 2n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n .2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题知⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得{a 1＝3，d ＝2，则a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)，∴T n ＝2(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9＋…＋(－1)n (2n ＋1)]．设G n ＝－3＋5－7＋9＋…＋(－1)n(2n ＋1)，则T n ＝8(4n －1)3＋G n .当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝8(4n －1)3＋n ；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝8(4n －1)3－n －2，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8(4n －1)3＋n (n ＝2k ，k ∈N *)，8(4n －1)3－n －2(n ＝2k －1，k ∈N *). [常用结论——记一番]常用裂项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1n ＋1＋n＝n ＋1－n ；(3)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1；(4)n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]；(5)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)；(6)(2n )2(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.题点技巧(十三) 求得通项·何愁放缩[解题技法——学一招]数列与不等式的综合是高考的难点，其难点往往在于递推式的合理变形与放缩，举例说明数列的放缩.[典例] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1(n ∈N *)，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[解] (1)由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，得2S n ＋1＝a n ＋2－2n ＋2＋1，两式相减得a n ＋2＝3a n ＋1＋2n ＋1，2S 1＝a 2－3⇔a 2＝2a 1＋3，a 3＝3a 2＋4＝6a 1＋13，a 1，a 2＋5，a 3成等差数列⇔a 1＋a 3＝2(a 2＋5)⇔a 1＝1.a n ＋1＝3a n ＋2n ⇔a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n＋2n )，∴数列{a n ＋2n }为首项是3，公比是3的等比数列． 则a n ＋2n ＝3n ， ∴a n ＝3n －2n .(2)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<32，当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n ≥⎝⎛⎭⎫322>2⇔3n >2×2n ⇔a n>2n⇔1a n <12n . ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋122＋123＋…＋12n ＝1＋12－12n <32. 由上式得：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[经典好题——练一手]1．已知函数f (x )＝2cos π2x ，x >0，将函数f (x )的零点按从小到大依次排成一列，得到数列{a n }，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝1a 2n ＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <14.解：(1)因为f (x )＝2cos π2x ，x >0，令f (x )＝0，得π2x ＝π2＋k π(k ∈N)，解得x ＝1＋2k (k ∈N)， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)证明：由(1)可知b n ＝1a 2n ＋1＝1(2n ＋1)2<14n 2＋4n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n<14×⎝⎛⎭⎫1－12＋14×⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<14. 2．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝n ＋1(n ∈N *)．(1)如果a 1a 2，a k ＋1a k ＋2，a 6k ＋1a 6k ＋2成等比数列，求正整数k 的值； (2)求证：∑k ＝1n 1a k≥2(n ＋1－1)．解：(1)(a k ＋1a k ＋2)2＝(a 1a 2)(a 6k ＋1a 6k ＋2)， 将已知代入得(k ＋2)2＝2(6k ＋2)， 解得k ＝8.(2)证明：由题意知a 2＝2，a n >0，n ∈N *. 当n ＝1时，1a 1＝1>2(2－1)，命题成立．当n ≥2时，由a n ＋1a n ＝n ＋1得a n a n －1＝n ， 所以a n (a n ＋1－a n －1)＝1，1a n＝a n ＋1－a n －1.从而有∑k ＝1n 1a k＝1a 1＋∑k ＝2n (a k ＋1－a k －1)＝a n ＋1＋a n －2≥2a n ＋1a n －2＝2(n ＋1－1)．[常用结论——记一番]几种常见放缩形式： (1)1n 2<1n 2－n ＝1n －1－1n ； (2)1n 2<1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1； (3)1n 2<44n 2－1＝2⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)12n (2n ＋1)<1⎝⎛⎭⎫2n －12⎝⎛⎭⎫2n ＋32＝14n －1－14n ＋3；(5)1(n ＋2)3<1(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3) ＝12⎣⎡⎦⎤1(n ＋1)(n ＋2)－1(n ＋2)(n ＋3)； (6)1n n －1＝1n ·n ·n －1 ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ·1n －n －1 ＝n ＋n －1n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n <2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n . 题点技巧(十四) 巧变多联·目标转换[解题技法——学一招]解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； (3)求出目标函数的最大值或最小值．解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，常见几何意义有直线、斜率、距离、面积等，整点问题要验证解决．[典例] 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．[解析] 因为目标函数z ＝|x ＋2y －4|＝5×|x ＋2y －4|5，所以目标函数的几何意义为点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍，作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)及直线x ＋2y －4＝0，可知点A (7,9)到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，所以最优解为(7,9)，将最优解(7,9)代入目标函数z ＝|x ＋2y －4|可得目标函数的最大值为21.[答案] 21 [技法领悟]形如z ＝|Ax ＋By ＋C |的目标函数，可变换为A 2＋B 2·z A 2＋B2＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2，联想点到直线的距离公式即可发现z A 2＋B2的几何意义为可行域内的点N (x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离，从而确定目标函数z ＝|Ax ＋By ＋C |取得最值的最优解，将最优解代入目标函数即可求得目标函数的最值．[经典好题——练一手]1．若x ，y 满足约束条件{ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：设点A (x ，y )，点O (0,0)，则目标函数yx 的几何意义是点(x ，y )和点O (0,0)连线的斜率k ，作出约束条件{x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当点(x ，y )为点A (1,3)时，点(x ，y )和点O (0,0)连线的斜率最大，所以目标函数yx 取得最大值的最优解为(1,3)，将最优解(1,3)代入目标函数y x ，可得目标函数yx的最大值为3.答案：32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围是________．解析：目标函数z ＝(x －0)2＋(y －0)2的几何意义为两点(0,0)，(x ，y )间距离的平方，作出⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知点(0,0)到直线AB 的距离为两点间距离的最小值，为25，点(0,0)到点C (2,3)的距离为两点间距离的最大值，为13，所以z ＝x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13.答案：⎣⎡⎦⎤45，13 题点技巧(十五) 合理配凑·妙解最值[解题技法——学一招]对于基本不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，当和a ＋b 为定值时，积ab 有最大值；当积ab 为定值时，和a ＋b 有最小值.然而在实际解题中，这个定值通常不会直接给出，往往需要通过变形和配凑才能得到.[典例] 设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________． [解析] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝ab ＋a (a －b )＋1ab ＋1a (a －b )＝⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (a －b )＋1a (a －b )≥2ab ×1ab＋2a (a －b )×1a (a －b )＝4，当且仅当ab ＝a (a －b )＝1，即a ＝2，b ＝22时等号成立．[答案] 4 [技法领悟]根据所求式子的特征，拼凑出可利用基本不等式求解的形式．[经典好题——练一手]1．设x >－1，则f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．解析：∵x >－1，∴x ＋1>0，∴f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝－3(舍去)或x ＝1时取等号，故当x ＝1时，f (x )取得最小值9.答案：92．正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________．解析：由1a ＋1b ＝1可得a －1＝a b ，b －1＝b a ，则4a －1＋16b －1＝4b a ＋16ab ≥16，当且仅当4b a ＝16a b ，即a ＝32，b ＝3时等号成立．故4a －1＋16b －1的最小值为16. 答案：16题点技巧(十六) 绝对值题·四法破解[解题技法——学一招] 含绝对值问题的解法(1)定义讨论法由于利用定义可以把绝对值去掉，因此往往需要分类讨论．其方法是：把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可．(2)性质平方法因为绝对值的性质有|a |2＝a 2，利用此性质可把绝对值去掉．但这种方法的缺点是平方后往往比较复杂，另外要注意何时才能平方，防止出现增根．(3)等价转化法(合二为一)利用绝对值的性质等价转化，去绝对值，如：|ax ＋b |<c ⇔－c <ax ＋b <c ，|ax ＋b |>c ⇔ax ＋b >c 或ax ＋b <－c . (4)数形结合法利用函数的图象解含有绝对值的不等式． [典例] 设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；。
