一类分数阶中立型延迟微分系统解的存在唯一性

一阶常微分方程的可解性与解的存在唯一性微积分是数学的重要分支，其中一阶常微分方程是微积分的基础内容之一。

在实际应用中，我们经常遇到需要求解一阶常微分方程的问题，因此研究一阶常微分方程的可解性和解的存在唯一性具有重要意义。

一阶常微分方程是指未知函数的导数与自变量之间的关系可以用一阶导数表示的微分方程。

它的一般形式可以表示为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。

我们的目标是找到满足该方程的函数y(x)。

首先，我们需要讨论一阶常微分方程的可解性。

一个方程是可解的，意味着我们可以找到一个或多个满足方程的函数。

对于一阶常微分方程来说，我们可以通过积分的方法来求解。

具体来说，我们可以将方程两边同时积分，得到∫dy = ∫f(x,y)dx。

通过求积分，我们可以得到方程的解。

然而，并不是所有的一阶常微分方程都是可解的。

有些方程可能没有解，或者解的形式非常复杂，无法用已知的函数表示。

这时，我们需要借助一些特殊的方法，如数值方法或级数方法，来近似求解方程。

这些方法可以在一定程度上解决一阶常微分方程的可解性问题。

接下来，我们来讨论一阶常微分方程的解的存在唯一性。

解的存在唯一性是指方程的解是否唯一确定。

根据微分方程的性质，我们可以得到解的存在唯一性的一些定理。

首先是皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelöf theorem），也称为柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz theorem）。

该定理指出，如果方程的右端函数f(x, y)在某个区域内连续且满足利普希茨条件，那么方程的初值问题存在唯一解。

利普希茨条件是指存在一个常数L，使得在该区域内，对于任意的x和y1、y2，有|f(x, y1) -f(x, y2)| ≤ L|y1 - y2|。

这个定理保证了方程在一定条件下解的存在唯一性。

其次是解的局部存在唯一性定理。

该定理指出，如果方程的右端函数f(x, y)在某个点(x0, y0)的某个邻域内连续，那么方程的初值问题在该点的某个邻域内存在唯一解。

一类分数阶中立型进步方程的可解性与可控性引言中立型进步方程在科学探究和工程实践中扮演着重要的角色。

这类方程描述了动态系统中的延迟效应，是分数阶微积分的一种应用。

然而，分数阶中立型进步方程的可解性和可控性依旧是一个开放的问题。

本文旨在探讨这一问题，并提供一种方法来解决。

一、问题背景中立型进步方程通常被用于描述带有延迟的物理系统，例如经济学、生物学和控制系统。

分数阶微积分是对传统微积分的一种推广，可以更加准确地描述非局部和非线性现象。

然而，尽管分数阶微积分已经广泛应用于各个领域，分数阶中立型进步方程的可解性和可控性问题依旧具有挑战性。

二、方程模型我们思量以下形式的分数阶中立型进步方程：$$D^{\alpha}x(t) = f(t,x(t),x(t-\tau))$$其中，$D^{\alpha}$表示分数阶阶微分算子，$x(t)$是未知函数，$\alpha$是分数阶指数，$f(t,x(t),x(t-\tau))$是已知函数，$\tau$是时间延迟。

三、可解性的谈论为了谈论方程的可解性，我们引入适当的初值条件。

起首，我们将问题转化为求解以下积分方程：$$x(t) = x_0 + \int_{-\tau}^{t}f(t,x(t),x(t-\tau))dt $$然后，我们应用适当的分数阶靠近技术，例如Adomian分解法或Laplace变换等，来得到方程的近似解。

这些方法可以将原始的分数阶微分方程转化为一系列常微分方程，通过求解这些常微分方程，我们可以得到方程的近似解。

四、可控性的谈论方程的可控性问题是指当给定某些控制函数时，我们能否通过调整控制函数来使系统在有限时间内收敛到给定的状态。

为了谈论方程的可控性，我们可以引入适当的控制函数，例如反馈控制或开关控制等。

然后，通过探究控制函数的性质以及方程的稳定性，我们可以裁定系统是否具有可控性。

五、数值实例为了验证我们的分析结果，我们进行了一些数值实例。

我们选择了一些已知的分数阶中立型进步方程，并应用上述方法来求解方程的近似解。

一类中立型随机偏微分方程概周期解的存在性和唯一性蒲晓琴【摘要】最近,P.Bezandry和T.Diagana(P.Bezandry,T.Diagana.Appl.Anal.,2007,117:1-10.)引入了均值概周期的概念,研究了一类随机时滞演化方程,并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件.我们将应用不动点理论和分数幂算子方法,获得一类中立型随机偏微分方程在均方意义下的概周期解的存在性和唯一性的充分条件.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)005【总页数】6页(P659-664)【关键词】中立随机偏微分方程;均值概周期;分数幂算子;不动点【作者】蒲晓琴【作者单位】中国民航飞行学院计算机学院,四川广汉618307【正文语种】中文【中图分类】O175.13Bohr最先引了概周期函数的概念，随后，Bochner将这概念推广到Polish空间．近些年来，由于概周期微分方程在物理、化学和生物数学上的应用，许多学者研究了概周期微分方程概周期解存在性问题［1－17］．随机微分方程的动力行为也被许多人研究［8－20］．最近，P．Bezandry等［21－22］引入了均值概周期的概念，研究了一类随机时滞演化方程，并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件．应用不动点理论和分数幂算子方法，获得了一类中立型随机偏微分方程在均值概周期解的存在性和唯一性的充分条件．假设H和K为实可分的Hilbert空间，它们的范数分别记为‖·‖和‖·‖K．设(Ω，F，{Ft}t≥0，P)为完备概率空间．L2(K，H)为Hilbert－Schmidt算子，范数记为‖·‖2．Q为对称非负算子，Q∈L2(K，H)，并且Q的迹有限．W(t)(t∈R)为定义在(Ω，F，{Ft}t≥0，P)上的取值在K上的Q－Wiener过程［23］．L2(P，H)为强可测的，均方可积的H值随机变量的全体，显然，在范数‖X‖L2(P，H)=(E‖X‖2)1/2下为Banach空间，其中E为期望．设范数为研究如下一类中立型随机偏微分方程其中，A为Hilbert空间H上的一致指数稳定解析半群最小生成元，r≥0，f，g:R×H→H和σ:R×H→为连续函数．设A:D(A) H→H为定义在Hilbert空间H上的线性算子(T(t))t≥0的解析半群最小生成元，M和δ为正常数，满足‖T(t)‖≤Me－δt对任意t≥0．假设0∈ρ(A)，那么，可以定义分数幂算子Aα对0＜α＜1．它是一闭线性算子，并且定义域D(Aα)在H中稠密．Hα记为Banach空间D(Aα)，其范数为引理1．1［24］下列2个属性成立:(i)如果0＜β＜α≤1，那么Hα→Hβ并且当A的预解式为紧时，该嵌入是紧的; (ii)对0＜α≤1，存在Cα以致为了获得主要结果，介绍一些定义和引理．设(B，‖·‖)为一Banach空间．定义1．1 一连续随机过程X:R→L2(P;B)称为均值概周期的，如果对每一个ε＞0，存在l(ε)＞0以致任何区间长度l(ε)最少存在一数τ满足下列为一些均值概周期过程的属性．引理1．2［21］如果X属于AP(R;L2(P;B))，那么:(i)映射t→E‖X(t)‖2一致连续;(ii)存在常数N＞0满足E‖X(t)‖2≤N，对t∈R．引理1．3 如果X(·)∈AP(R;L2(P;B))，那么X(·－r)∈AP(R;L2(P;B))，其中r≥0为固定常数．证明和文献［25］中的相似，故省略．设CUB(R;L2(P;B))为连续有界随机过程X: R→L2(P;B)的集合，那么，容易证明在下列范数下CUB(R;L2(P;B))为Banach空间．引理1．4［21］ AP(R;L2(P;B)) CUB(R; L2(P;B))为闭子空间．由上可知，AP(R;L2(P;B))在范数‖·‖∞下是Banach空间．设(B1，‖·‖B1)和(B2，‖·‖B2)为Banach空间．定义1．2 称连续函数F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的，如果对任何ε＞0，存在l(ε，K)＞0以致对任何区间长度l(ε，K)最少存在一数τ，对任何随机过程Y:R→K满足引理1．5［21］设F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的．假设F是以下列方式Lipschitz的对所有Y，Z∈B1，t∈R成立，其中M＞0，那么对所有均值概周期过程Φ:R→L2(P;B1)，随机过程t→F(t，Φ(t))是均值概周期的．(1)式的温和解的定义如下［26］:定义1．3 随机过程x(t):［δ，δ+a)→L2(P; H)，a＞0，称为(1)式在［δ，δ+a)上的温和解，如果s→AT(t－s)f(s，x(s－r))在［δ，t)可积，δ＜t＜δ+ a，并且满足为了获得所需结果，假设:(H1)函数g(t，x):R×H→H关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．存在α∈(0，1)以致(－A)αf(t，x):R×H→Hα关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，(－A)αf，g是以下列方式 Lipschitz的:存在 Lf和Lg满足对所有x，y∈H和t∈R成立．(H2)函数σ(t，x):R×H→L02关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，σ是以下列方式Lipschitz的:存在Lσ满足对所有x，y∈H和t∈R成立．定理2．1 假设(H1)和(H2)成立，并且那么(1)式在R上存在唯一均值概周期解．证明设Γ:AP(R;L2(P;H))→C(R;L2(P; H))的定义为显然，Γx(·)是连续的．定义由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．由引理1．2，可知(－A)αf(t，x(t－r))有界．由引理1．1和Cauchy－Schwarz不等式可得由s→AT(t－s)f(s，x(s－r))是可积的在(－∞，t)对任何t∈R，故Γ定义是合适的．由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．同时有由上可知对每个t∈R成立，即I1x(t)均值概周期函数．下一步，证明当x是均值概周期函数I3x(t)和I4x(t)是均值概周期函数．该证明和文献［21］中的定理3．2相似，故省略．下一步证明I2x(t)是均值概周期函数．由引理1．3、引理1．5和(H1)可得，当x 是均值概周期函数，(－A)αf(t，x(t－r))是均值概周期函数．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．由引理1．1可得因此，应用Cauchy－Schwarz不等式可得由上可知对每个t∈R成立，即I2x(t)是均值概周期函数．由上可知，Γ是AP(R;L2(P;H))对自身的映射．下面证明Γ是压缩映射．显然由于可得首先，估计上式右边第一项现在估计第二项，由引理1．1、(H1)和Cauchy－Schwarz不等式可得现在估计第三项得现在估计最后一项，应用建立在文献［27］中命题1．9的It 积分估计得因此这说明Γ(·)是压缩的．故Γ(·)存在不动点x∈AP(R;L2(P;H))，即对所有t∈R成立．固定δ∈R可得那么然而，对t≥δ，因此，x(t)是(1)式的温和解．证明完毕．致谢中国民航飞行学院面上项目(J2013－39)对本文给予了资助，谨致谢意．【相关文献】［1］HERN NDEZ E，PELICER M．Asymptotically almost periodic and almost periodic solutions for partial neutral differential equations［J］．Appl Math Lett，2005，18:1265－1272．［2］HENR QUEZ H，V SQEZ C．Almost periodic solutions of abstract retarded functional －differential equations with unbounded delay［J］．Acta Appl Math，1999，57(2):105－132．［3］LIU B，TUNC C．Pseudo almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with a deviating argument［J］．J Appl Math Comput，2015，49:233－242．［4］ZHANG L，LI H．Weighted pseudo almost periodic solutions for differential equations with piecewise constant arguments［J］．Bull Aust Math Soc，2015，92:238－250．［5］AKDAD A，EZZINBI K，SOUDEN L．Pseudo almost periodic and automorphic mild solutions to nonautonomous neutral partial evolution equations［J］．Nonauton Dyn Syst，2015，2:12－30．［6］SADRATI A，ZERTITI A．Existence and uniqueness of positive almost periodic solutions for systems of nonlinear delay integral equations［J］．Electron J Diff Eqns，2015，116:12．［7］CAO J，HUANG Z．Existence and exponential stability of weighted pseudo almost periodic classical solutions of integro－differential equations with analytic semigroups ［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2015，23:241－256．［8］WANG W T．Positive pseudo almost periodic solutions for a class of differential iterative equations with biological background［J］．Appl Math Lett，2015，46:106－110．［9］HENRIQUEZ H，CUEVAS C，CAICEDO A．Almost periodic solutions of partial differential equations with delay［J］．Adv Difference Eqns，2015，2015:46－61．［10］WANG Q，LIU Z，LI Z，et al．Existence and global asymptotic stability of positive almost periodic solutions of a two－species competitive system［J］．Int J Biomath，2014，7:1450040．［11］ZHUANG R，YUAN R．Weighted pseudo almost periodic solutions of N－th order neutral differential equations with piecewise constant arguments［J］．Acta MathSin(Engl Ser)，2014，30:1259－1272．［12］MAQBUL M，BAHUGUANA D．Almost periodic solutions for Stepanov－almost periodic differential equations［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2014，22:251－264．［13］EZZINBI K，ZABSORE I．Pseudo almost periodic solutions of infinite class for some functional differential equations［J］．Appl Anal，2013，92:627－1642．［14］WANG L，SHI Y．Almost periodic solutions of abstract differential equation withimpulse and time delay in Banach space［J］．Int J Appl Math Stat，2013，43:379－386．［15］VRABEL I．Almost periodic solutions for nonlinear delay evolutions with nonlocal initial conditions［J］．J Evol Eqns，2013，13: 693－714．［16］DING H，LONG W，N’GU R KATA G．Existence of pseudo almost periodic solutions for a class of partial functional differential equations［J］．Electron J Diff Eqns，2013，104:14．［17］XU Y．Existence and uniqueness of almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with time－varying delays［J］．Electron J Qual Theory Differ Eqns，2012，80:9．［18］鲍杰，舒级．高阶广义2D Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(3):298－306．［19］付颖，李扬荣．无界域上带有可加白噪音的Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．西南大学学报(自然科学版)，2012，37(12):37－42．［20］杜先云，陈伟．具有可加噪声的耗散KdV型方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(5):651－655．［21］BEZANDRY P，DIAGANA T．Existence of almost periodic solutions to some stochastic differential equations［J］．Appl Anal，2007，117:1－10．［22］BEZANDRY P．Existence of almost periodic solutions to some functional integro－differential stochastic evolution equations［J］．Stat Probabil Lett，2008，78:2844－2849．［23］PRATO G，ZABCZYK J．Stochastic Equations in Infinite Dimensions ［M］．Cambridge:Cambridge Univ Press，1992．［24］PAZY A．Applied Methematical Sciences［M］．New York:Springer－Verlag，1983．［25］DING H，LIANG J，N’GU R KATA G．Pseudo almost periodicity of some nonautonomous evolution equations with delay［J］．Nonlinear Anal:TMA，2007，67:1412－1418．［26］LIU K．Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations with Applications［M］．London:Chapman and Hall，2004．［27］ICHIKAWA A．Stability of semilinear stochastic evolution equations［J］．J Math Anal Appl，1982，90(1):12－44．。

一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。

定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。

定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)这里，。

我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。

为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。

现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。

首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。

然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数，显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。

否则,我们又把代入积分方程右端的，得到如果，那末就是积分方程的解。

否则我们继续这个步骤。

一般地作函数(3.1.1.4)这样就得到连续函数序列：，，…，，….如果，那末就是积分方程的解。

如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到即，这就是说是积分方程的解。

这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。

由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。

在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。

下面我们分五个命题来证明定理1。

命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则是积分方程(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。

反之亦然。

证明因为是方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取定积分得到把(3.1.1.3)代入上式，即有因此，是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。

3.1 一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem ofInitial Value Problem of ODE )[教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; 2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道一阶微分方程的类型及其解法;2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理（柯西版本和Picard版本）;3. 知道Picard定理的证明思路和过程;4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解.5. 了解和掌握Graonwall积分不等式.1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结（1）认识一阶微分方程：一阶线性方程（交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的）、一阶可分离变量型方程（齐次方程以及其他可化为可分离变量型的）、一阶对称形式的恰当方程（通过引入积分因子可化为恰当方程的方程）一阶隐方程（可解出x或y的类型，以及x, y, y’只含有其中两个的方程类型）（2）解法常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换分离变量方法、齐次方程的变量替换恰当方程的解法、积分因子的求法隐方程的求导法和参数法（3）例题上述提到的方程类型各举出一个例子来，并用上面的方法来求解，允许一题多解.（4）介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程（参见上节讲义）.（5）预告：下周二上午第一节课进行上一章测试，请相互转告.2. 必要准备：数学中的进化论生物上，比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化，还有如下图片.在数学上也有类似的进化过程，下面就说一说.（1）考察三次代数方程 x 3+4x-2 0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根.思路一：运用连续函数的零点定理, 记1] [0,]b ,[a 11=表示第一代；将]b ,[a 11平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第二代，即]21 [0,]b ,[a 22=；将]b ,[a 22平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第三代，即]21 ,41[]b ,[a 33=；将]b ,[a 33平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第四代，即]21 ,81[]b ,[a 44=；... ... 这样下去，]b ,[a n n 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466,其中误差就是|a b |n n -.思路二：运用教材P89习题9的结论和证明过程，改写方程为x 42x -3=+，记42x f(x)3+-= 则方程就是f(x)x =，方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件（自行验证）,于是方程的根存在且唯一，下面就用进化的思想来寻找方程的根.选取第一代1x 1=（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第二代25.0)f(x x 12==；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第三代496094.0)f(x x 23≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第四代469477.0)f(x x 34≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第五代474131.0)f(x x 45≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第六代473354.0)f(x x 56≈=；... ... n x 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466.打个比方，把方程的根比作我们想要的某种属性的对象，我们可以通过迭代（进化）过程来把它造出来或找出来。

第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。

2. 了解解的延拓定理及延拓条件。

3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。

[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。

[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。

2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。

而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。

第４０卷第２期贵州大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．２２０２３年　３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｍａｒ．２０２３文章编号　１０００ ５２６９（２０２３）０２ ００２４ ０５ＤＯＩ：１０．１５９５８／ｊ．ｃｎｋｉ．ｇｄｘｂｚｒｂ．２０２３．０２．０４分数阶随机微分方程解的存在性与唯一性罗　欢 ，陈付彬，周　旋（昆明理工大学津桥学院，云南昆明６５０１０６）摘　要：研究了一类分数阶随机微分方程解的存在性与唯一性。

通过运用微分方程的半离散化技术，推导出分数阶随机微分方程解的半离散化模型，利用Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式、Ｈ ｌｄｅｒ不等式和Ｐｉｃａｒｄ逐步逼近法，证明了半离散随机模型解的存在性与唯一性。

关键词：分数阶；Ｐｉｃａｒｄ迭代；Ｍｉｔｔａｇ Ｌｅｆｆｌｅｒ函数中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标志码：Ａ 近年来，分数阶微积分［１］在量子力学［２］、土木工程［３］和非牛顿流体［４］等理工领域得到了快速的发展，在信号处理［５］、生物医学［６］和自动控制［７］等其他领域也发挥了积极推动的作用。

２０世纪６０年代，意大利物理学家Ｃａｐｕｔｏ提出了一种具有弱奇异性质的分数阶导数，使得Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数解的存在性、唯一性和稳定性得到了更为广泛的研究［８ １０］。

关于确定性分数阶微分方程的文章较多，但是在某些随机环境中，模型的不确定性对系统的影响很大。

为了解决这些问题，学者提出了分数阶随机微分方程。

涉及分数阶随机微分方程解的离散模型的文章较少，大部分讨论的是连续型解的存在性和唯一性，以及对稳定性的分析。

文献［１１］建立了随机神经网络的指数稳定性判据。

ＰＥＮＧ［１２］建立了Ｇ 期望理论和Ｇ 布朗运动的概念，使Ｇ 布朗运动驱动的随机微分方程的研究工作得到了很好的发展。

文献［１３］利用逐次逼近方法将解的局部存在唯一性推广到全局存在唯一性，建立了分数阶随机微分方程两个不同解之间渐近距离的下界，推导出有界线性Ｃａｐｕｔｏ分数阶随机微分方程任意非平凡解的均方Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数总是非负的。

一类Hadamard分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性张海燕;李耀红【摘要】利用Leray-Schauder选择原理及Banach压缩映射原理,本文在一定的非线性增长和压缩条件下研究了一类具有Hadamard积分边值条件的Hadamard 分数阶微分方程边值问题,获得了问题解的存在唯一性的充分条件,并给出了两个例子.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(055)004【总页数】5页(P683-687)【关键词】Hadamard分数阶导数;分数阶微分方程;边值条件;存在唯一性【作者】张海燕;李耀红【作者单位】宿州学院数学与统计学院,宿州234000;宿州学院数学与统计学院,宿州234000【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言近年来,分数阶微分理论在黏弹性材料力学、工程问题建模、系统控制、分形几何和分形动力学等应用领域建模中得到广泛应用.由于分数阶模型描述的过程信息比整数阶微分方程更精确,分数阶微积分理论近来受到了广泛关注[1-3].虽然出现了许多分数阶微分方程边值问题解的存在性的结果[4-10],但是绝大部分研究工作都是基于Riemann-Liouville或Caputo分数阶微分方程边值问题,对Hadamard分数阶微分方程边值问题的研究则相对较少.其原因也许是Hadamard分数阶定义及计算较复杂,且与其他类型的分数阶微分之间的关联还未完全明确,因而很多现有的非线性分析计算方法不能通过简单平移进行使用.总之,对Hadamard分数阶微分方程进行深入研究很有必要.最近，文献[11]在无穷区间研究了一类Hadamard分数阶微分方程的正解,文献[12]对一类耦合的Hadamard分数阶微分方程组解的存在性进行了研究.受上述文献及其参考文献启发,本文考虑如下Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)解的存在唯一性充分条件,这里为为Hadamard分数阶导数,为γ阶Hadamard分数阶积分，f:[1,e]×R2→R是一个连续函数.和文献[11,12]比较,方程(1)中的非线性项中含有Hadamard分数阶导数,同时具有更一般的非线性增长条件,因而在应用上更方便.2 预备知识定义2.1[1] 函数g:[1,+∞)→R的α阶Hadamard分数阶积分定义为定义2.2[1] 函数g:[1,+∞)→R的α阶Hadamard分数阶导数定义为其中n=[α]+1.引理2.3[1] 若α>0，u∈C[1,e]∩L[1,e]，则有c2(lnt)α-2-…-cn(lnt)α-n,其中ci∈R,i=1,2,…,n,n如定义2.2所述.引理2.4 如果y(t)∈C([1,e],R)且1<α≤2，则分数阶微分方程(2)有唯一解(3)其中证明由引理2.3可知,Hadamard分数阶微分方程(2)的一般解为(4)利用边值条件u(1)=0，则有c2=0.又由条件知[y(t)+c1(lnt)α-1](η)=则c1=K[y(η)-y(e)].将c1,c2代入(4)式即得(3)式.引理得证.引理2.5(Leray-Schauder选择原理[13]) 设E是实Banach空间,D是E中有界凸集,T:D→D是一个全连续算子,则T在D中必具有不动点.引理2.6(Banach压缩映射原理[13]) 设D是Banach空间E的闭子集，F:D→D 是一个严格的压缩映射,即对任意x,y∈D,|Fx-Fy|≤k|x-y|成立,其中0<k<1，则F在E中有唯一不动点.3 主要结果记X={u|u∈C([1,e],R)且u∈C([1,e],R)}，则X在范数下是一个Banach空间.结合引理2.4,定义算子T:X→X如下:Tu(t)=显然，Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)有解当且仅当算子T在X中有不动点.为方便,记定理3.1 若f:[1,e]×R2→R是一个连续函数,且存在实常数μi>0(i=0,1,2)使得|f(t,x,y)|<μ0+μ1|x|σ1+μ2|y|σ2,1<t<e,0<σi<1,i=1,2(5)成立,则Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中至少存在一个解.证明首先构造一个有界凸闭集.令Ωl={u(t)|u(t)∈X,‖u‖X≤l,t∈[1,e]}，这里的显然Ωl是Banach空间X中的有界凸闭集.接着，由Hadamard分数阶导数定义及(5)式,对任意u∈Ωl有|Tu(t)|≤μ1lσ1+μ2lσ2)≤μ1lσ1+μ2lσ2)=M(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2) (6)同时,由定义2.2有μ1lσ1+μ2lσ2)=(7)因此‖Tu‖ X=故算子T:Ωl→Ωl.最后，我们分三步证明T是Ωl上的一个全连续算子.第一步,由于算子T:Ωl→Ωl且f是一个连续函数，因此算子T在Ωl上连续. 第二步，∀u∈Ωl，|f(t,u(t),u(t))|≤L=(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2).于是，类似于(6)式和(7)式有即TΩl⊂Ωl.故算子T在Ωl上是一致有界的.第三步,∀u∈Ωl，|f(t,u(t),u(t))|≤L=(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2).故由第二步知T:Ωl→Ωl.接着，令t1,t2∈[1,e](t1<t2).于是|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|≤KL|(lnt2)α-1-(lnt1)α-1|×另一方面,类似地有|Tu(t2)-Tu(t1)|≤因此,当t2→t1时,有|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|→0，|Tu(t2)-Tu(t1)|→0，即‖(Tu)(t2)-(Tu)(t1)‖X→0，从而T在Ωl上是等度连续的.结合以上三步的结果,由Arzela-Ascoli's定理知算子T在Ωl上是全连续的.综上所述,由引理2.5可知，算子T在Ωl中至少存在一个不动点,即Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中至少存在一个解.证毕.注1 当σi=1或σi>1(i=1,2)时，用类似方法在一定条件下也可得到定理3.1的结论.定理3.2 若f:[1,e]×R2→R是一个连续函数且满足下面Lipschitz条件:|f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1)|<λ(|x2-x1|+|y2-y1|),1<t<e,λ>0,xi,yi∈R,i=1,2(8)且Nλ<1，则Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中存在唯一解.证明令其中取Ωr={u(t)|u(t)∈X,‖u‖X≤r,t∈[1,e]}.则TΩr⊂Ωr.事实上,由u∈Ωr可知|f(t,u(t),u(t))|≤|f(t,u(t),u(t))-f(t,0,0)|+|f(t,0,0)|≤λ(|u(t)|+|u(t)|)|+r′≤λ‖u(t)‖X+r′≤λr+r′.于是由(6)式和(7)式有‖Tu‖≤M(λr+r′)，因而N(λr+r′)≤r,即TΩr⊂Ωr.接着我们证明算子T是压缩映射.对ui∈Ωr,i=1,2,t∈[1,e]，有|Tu2(t)-Tu1(t)|≤|f(s,u2(s),u2(s))-Mλ(|u2(s)-u1(s)|+|u2(s)-u1(s)|)≤Mλ‖u2-u1‖X,及|Tu2(t)-Tu1(t)|≤因此，‖Tu2-Tu1‖X≤Nλ‖u2-u1‖X.注意到Nλ<1，则T是一个压缩映射.因而由引理2.6知算子T在Ωr中有唯一不动点,即Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中存在唯一解.证毕.例3.3 考虑Hadamard分数阶微分方程积分边值问题(9)这里于是取显然,定理3.1条件满足.因此由定理3.1知Hadamard分数阶微分方程边值问题(9)在X中至少存在一个解.例3.4 考虑Hadamard分数阶微分方程积分边值问题(10)这里则于是|f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1)|<取λ=1/30，则Nλ<1.显然,定理3.2条件满足.因此由定理3.2知Hadamard分数阶微分方程边值问题(10)在X中存在唯一解.参考文献:【相关文献】[1] Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].Amsterdam: Else vier， 2006.[2] Zhou Y，Wang J R，Zhang L.Basic theory of fractional differential equations[M].Singapore: World Scientific Pre ss， 2016.[3] 陈文，孙洪广，李西成,等.力学与工程问题的分数阶导数建模[M].北京: 科学出版社， 2012.[4] Cui Y J.Uniqueness of solution for boundary value problems for fractional differential equations[J].Appl Math Lett， 2016， 51: 48.[5] Zhang X Q.Positive solutions for a class of singular fractional differential equation wi th infinite-point boundary value conditions[J].Appl Math Lett，2015， 39: 22.[6] Zhang H Y，Li Y H，Lu W.Existence and uniqueness of solutions for a coupled system of nonlinear fractional d ifferential equations with fractional integral boundary conditions [J].J Nonlinear Sci Appl，2016， 9: 2434.[7] Wang G T.Explicit iteration and unbounded solutions for fractional integral boundary value problem on an infinite interval [J].Appl Math Lett， 2015， 47: 1.[8] Hamani S，Henderson J.Boundary value problems for fractional differential inclusions with nonlocal c onditions [J].Mediterr J Math， 2016， 13: 967.[9] 张海燕,李耀红.一类高分数阶微分方程积分边值问题的正解[J].四川大学学报:自然科学版，2016，53: 512.[10] 张立新,杨玉洁,贾敬文.一类Caputo分数阶微分方程积分边值问题的正解[J].四川大学学报:自然科学版， 2017， 54: 1169.[11] Qiao Y，Zhou Z F.Positive solutions for a class of Hadamard fractional differential equations on the Infinite interval [J].Math Appl， 2017， 30: 589.[12] Ahmad B，Ntouyas S.A fully Hadamard type integral boundary value problem of a coupled system of fractional differential equations [J].Fract Calc Appl Anal， 2014， 17: 348.[13] Deimling，K.Nonlinear functional analysis[M].Berlin: Springer， 1985.。