分数阶时滞微分系统的解

第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张 敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张 敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引 言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.参考文献[1] K I Y AM E H RZ ,B A G HA N I H.E x i s t e n c eo fS o l u t i o n so fB V P sf o rF r a c t i o n a lL a n g e v i n E q u a t i o n sI n v o l v i n g C a p u t oF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e s [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dA n a l ys i s ,2021,27(1):47-55.[2] Z O U Y M ,H EGP .O n t h eU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o r aC l a s s o f F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p p l i e d M a t h e m a t i c sL e t t e r s ,2017,74:68-73.[3] J O N G K S ,C HO I H C ,R IY H.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n so faC l a s so f M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s f o r p -L a p l a c i a nF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hS i n g u l a rS o u r c eT e r m s [J ].C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n dN u m e r i c a l S i m u l a t i o n ,2019,72:272-281.[4] C U IYJ ,MA WJ ,S U N Q ,e t a l .N e w U n i q u e n e s sR e s u l t s f o r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e mo f F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].N o n l i n e a rA n a l y s i s :M o d e l l i n g an dC o n t r o l ,2018,23(1):31-39.[5] L IY H ,Y A N G H J .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r N o n l i n e a rF o u r -P o i n tC a p u t oF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E q u a t i o nw i t h p -L a p l a c i a n [J ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,2017,2017:75-1-75-15.[6] A HMA DB ,N T O U Y A SSK ,Z HO U Y ,e t a l .AS t u d y o fF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s a n d I n c l u s i o n sw i t h N o n l o c a l E r d él y i -K o b e rT y p eI n t e g r a lB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].B u l l e t i no ft h eI r a n i a n M a t h e m a t i c a lS o c i e t y ,2018,44(5):1315-1328.[7] X U ET T ,L I U W B ,Z HA N G W.E x i s t e n c eo fS o l u t i o n sf o rS t u r m -L i o u v i l l eB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so f H i g h e r -O r d e rC o u p l e d F r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa tR e s o n a n c e [J ].A d v a n c e si n D i f f e r e n c e E q u a t i o n s ,2017,2017:301-1-301-18.[8] L IY H ,Q I A B .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so fC a p u t o F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fD y n a m i c a l S y s t e m s a n dD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,2017,7(2):169-183.[9] S E V I N I K A D I G ÜZ E LR ,A K S O Y Ü,K A R A P I N A R E ,e ta l .O nt h eS o l u t i o no faB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m A s s oc i a t ed w i t ha F r a c t i o n a lD i f fe r e n t i a lE q u a t i o n [J /O L ].M a t h e m a t i c a l M e t h o d si nt h e A p pl i e d S c i e n c e s ,(2020-06-23)[2022-09-13].h t t p s ://d o i .o r g/10.1002/mm a .6652.[10] K HA L I LR ,A lHO R A N I M ,Y O U S E F A ,e ta l .A N e w D e f i n i t i o no fF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e [J ].J o u r n a lo f C o m p u t a t i o n a l a n dA p pl i e d M a t h e m a t i c s ,2014,264:65-70.[11] I Y I O L A OS ,T A S B O Z A N O ,K U R T A ,e t a l .O n t h eA n a l y t i c a l S o l u t i o n s o f t h e S y s t e mo f C o n f o r m a b l eT i m e -F r a c t i o n a lR o b e r t s o nE q u a t i o n sw i t h1-DD i f f u s i o n [J ].C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,2017,94:1-7.[12] Z HO U H W ,Y A N GS ,Z HA N GSQ.C o n f o r m a b l eD e r i v a t i v eA p p r o a c ht oA n o m a l o u sD i f f u s i o n [J ].P h y s i c a A :S t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n d I t sA p pl i c a t i o n s ,2018,491:1001-1013.[13] H ESB ,S U N K H ,M E IX Y ,e ta l .N u m e r i c a lA n a l y s i so fa F r a c t i o n a l -O r d e rC h a o t i cS y s t e m B a s e do n C o n f o r m a b l eF r a c t i o n a l -O r d e rD e r i v a t i v e [J ].T h eE u r o p e a nP h y s i c a l J o u r n a l P l u s ,2017,132:36-1-36-11.[14] L IY N ,S U N S R ,Y A N G D W ,e ta l .T h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s o f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD e l a y [J /O L ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,(2013-02-22)[2022-08-25].h t t ps ://d o i .o r g/10.1186/1687-2770-2013-38.[15] HA N Z L ,L I Y N ,S U I M Z .E x i s t e n c e R e s u l t sf o r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m so f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hD e l a y [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t i n g,2016,51(1/2):367-381.[16] L IM M ,WA N GJR.F i n i t eT i m eS t a b i l i t y o fF r a c t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p pl i e d M a t h e m a t i c s L e t t e r s ,2017,64:170-176.[17] Y A N G X ,W E IZL ,D O N G W.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n s f o r t h eB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m o fN o n l i n e a r F r ac t i o n a lD i f f e r e n t i a lE qu a t i o n s [J ].C o mm u n i c a t i o n si n N o n l i n e a rS c i e n c ea n d N u m e r i c a lS i m u l a t i o n ,2012,17(1):85-92.[18] X U YF .F r a c t i o n a l B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m sw i t h I n t e g r a l a n dA n t i -p e r i o d i cB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].B u l l e t i n o f t h eM a l a y s i a n M a t h e m a t i c a l S c i e n c e sS o c i e t y,2016,39(2):571-587.[19] A B D E L J AWA D T.O nC o n f o r m a b l e F r a c t i o n a l C a l c u l u s [J ].J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s ,2015,279:57-66.[20] 许天周.应用泛函分析[M ].北京:科学出版社,2002:67-72.(X U T Z .A p p l i e dF u n c t i o n a lA n a l ys i s [M ].B e i j i n g :S c i e n c eP r e s s ,2002:67-72.)(责任编辑:赵立芹)3101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. 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区间值分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性杜思嘉【摘要】通过分析分数阶时滞微积分方程理论与区间值函数,研究了区间值一阶分数阶时滞微积分方程的性质及其应用.通过运用Banach不动点定理,探究在特定条件下区间值分数阶时滞微积分方程的关系,证得区间值Caputo一阶分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性.【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)003【总页数】5页(P86-90)【关键词】区间值函数;存在性与唯一性;分数阶运算;时滞【作者】杜思嘉【作者单位】广西民族大学理学院,广西南宁 530006【正文语种】中文【中图分类】O175.1区间值微积分方程是区间分析理论中的重要部分，受到广泛关注，并取得了重要研究成果[1-3]。

分数阶运算作为数学工具越来越多地用于解决实际问题，分数阶微分方程的探究也得出了许多结论。

通过把时滞现象与分数阶微分方程结合进行研究，得到了许多有实际意义的结论[4-6]。

分数阶时滞微分方程和区间值微分方程都是解决区间分析实际问题的重要工具。

但是，区间值一阶分数阶时滞微分方程这个问题并未解决，并且对区间值函数的分数阶运算理论研究也非常少。

所以，分析区间值一阶分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性所得出的结论，将对应用区间值分数阶时滞微分方程理论来解决实际问题非常有益。

本文主要研究了以下方程解的存在性与唯一性：其中：(t)表示对区间值函数x(t):[0,H]→Kc做区间值Caputo分数阶导数，并且f(t,x(t),x(t-τ))∈C([0,H]×Kc×Kc;Kc)；τ>0是常值时间滞后量；φ(t)∈C([-τ,0],Kc)。

通过对区间值函数的概念性质、区间值分数阶运算理论的总结分析，运用Banach 压缩不动点定理，论证了区间值Caputo分数阶时滞微分方程解的存在性与唯一性。

Kc是由R上非空的紧凸集构成的空间，任取Kc中的元素]∈Kc，且∈R，满足，当时，称a为一个单值区间。

具有分数阶物质导数的时滞格点系统有穷维或无穷维动力系统研究的是各种现象的变化规律。

是非线性数学重要组成部分。

很多数学工作者已经对其做出了很多重要的结果。

人们常常用全局吸引子来研究一个自制的格点系统的解的长时间行为。

而格点系统是一种无穷维动力系统，本文研究的是一种具有分数阶导数的方程，其性质较整数阶导数的方程有很大的不同之处。

研究的文献较少，本文认为此课题有较大的研究价值。

以前的文献大都是研究自治格点系统的上半连续性或者是分数维。

本文研究的是全局吸引子的存在性。

如引言介绍，分数阶物质导数方程具有重要的应用价值。

在得到上面那段相关结论之后，本文重点考虑一个具体的例子，即如下具有分数阶物质导数的时滞格点系统11()(2)((()))0,0,01()(),[,0],,s i i i i i i i i i D u t u u u u f u t t t u s s s h i Z αλραψ-+⎧--+++-=≥<<⎪⎨=∀∈-∈⎪⎩ (3.0.1)是下面分数阶物质导数的偏微分方程离散化的结果22()((()))0,0,01,()(),[,0],s uD u t u f u t t t x Rxu s s s h αλραψ⎧∂-++-=≥<<∈⎪⎨∂⎪=∀∈-⎩研究上面的系统，方法就是利用上章得到的结果，得到解的存在性，之后得到解的估计，包括吸收集估计和尾部估计，得到当时间区域无穷大时，方程的解会进入一个与初值无关的集合。

我们考虑如下的可分的Hilber 空间22{():()}i i Z i i Z l v v v ∈∈==<∞∑,赋予范数v =内积(,)i i i Z w v w v ∈=∑。

更进一步，我们会使用注记：220,([,0],)E l E C h l ==-，范数为：0[,0]max ()s h E u u s ∈-=。

最后C 为任意常数，在不同行可取不同值。

时滞微分方程解的存在性时滞方程更能反映真实的自然现象，关于Banach 空间中具有整数阶物质导数的时滞微分方程解的存在性的研究已有了不少，包括积分方程最优控制，边值问题，方法也都类似，但对于分数阶导数的方程的研究不多。

可能是因为分数阶导数问题还没有被应用到更广泛的领域，或者是因为分数阶导数较整数阶研究更为困难。

一般研究微分方程是在实数空间内，为了使结果更具一般性，下面本文研究抽象空间中一般分数阶物质导数的方程解的存在性，从而得到一般性的结论。

为后文的工作做理论准备。

现有的研究分数阶导数的微分方程解的存在性的文章不多，事先查得的的一篇文章是研究整数阶的有时滞项的微分方程的解的存在性的。

由于分数阶导数和整数阶导数的性质有很大差异，研究整数阶导数方程的方法不能照搬到分数阶导数方程上，所以我们研究时加上了一条限制条件，即方程右端的非线性项的范数小于一个常数加上一个常数和解函数范数的乘积，之后用了皮卡迭代方法，得到一个函数序列，然后用数学归纳法证明此序列一致有界且等度连续，然后结合相关文献，就证明了上面得到的函数序列有弱收敛子列，最后证明弱收敛子列的极限函数就是方程的解。

从而证明了该方程解的存在性。

具体过程如下：令E 为Banach 空间,E*为其对偶空间并且E 0 =C([−h,0],E),上面的范数分别为:，* 和 0E ，0[,0]max ()t h E t ϕϕ∈-=，同时, 00(,){:},X X B y r y X y y r =∈-≤其中，X E =或0E ，(), 表示E 和E*中的元素的内积。

考虑如下Banach 空间分数阶微分方程的初值问题：00()(,),0,01,(2.0.1)t D u t f t u t u E ααψ⎧=≥<<⎪⎨=∈⎪⎩其中D α是Caputo 分数阶导数。

f:[0,+∞)×E 0→E 。

同时对于任意u ∈C([−h,0],E)函数0,0,t u E t ∈≥定义为成u t (s)=u(t+s),s ∈[−h,0]。

分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法王福昌;张丽娟;靳志同【摘要】分数阶非线性时滞微分方程具有广泛的应用,因而根据部分观测值估计方程的参数和阶有重要意义.首先通过预估-校正法求出方程组的预测值,结合部分观测值建立优化目标函数,再采用鸡群算法给出最优参数和阶的估计值.通过计算机模拟,验证了方法的有效性.【期刊名称】《滨州学院学报》【年(卷),期】2018(034)002【总页数】6页(P32-37)【关键词】分数阶;非线性时滞微分方程;参数估计;鸡群算法【作者】王福昌;张丽娟;靳志同【作者单位】防灾科技学院基础部,河北廊坊065201;防灾科技学院基础部,河北廊坊065201;防灾科技学院基础部,河北廊坊065201【正文语种】中文【中图分类】O175.1分数阶非线性时滞微分方程是一类重要的微分方程。

Bhalekar S和Daftardar- Gejji V讨论了时滞的分数阶Liu-系统混沌效应[1]，Wang Z等研究了时滞分数阶金融系统[2]， Yan Y和Kou C给出了HIV病毒传播的时滞分数阶微分模型及其稳定性[3]。

一般地，在研究分数阶非线性微分方程模型性质时，模型中的参数和阶都假定是已知的，然而在实际应用中，模型参数和阶往往未知。

这时，利用部分观测数据来反推模型的参数和阶具有重要的实际意义，这本质上与分数阶非线性微分方程初值问题数值解法和复杂的非线性优化问题相对应。

目前，已有一些学者对该问题开展研究，如Zhu W等使用差分演化(differential evolution)算法求解分数阶系统的识参数别问题[4]，Liu F等使用多选择差分演化算法求解分数阶时滞混沌系统的参数[5]，Gu W J等使用人工蜂群算法(Artificial bee colony algorithm)进行时滞分数阶混沌系统的参数识别[6]。

针对一般的分数阶非线性时滞微分方程组初值问题，可以使用预估- 校正方法求得方程数值解[7]。

一类分数阶时滞微分系统的精确解及稳定性
邬忆萱;寇春海
【期刊名称】《东华大学学报(自然科学版)》
【年(卷),期】2024(50)1
【摘要】为拓展整数阶微分系统的已有结果,研究了一类具有多个时滞的Caputo 分数阶线性微分系统。

运用不可交换矩阵的多项式定理,在不要求系数矩阵可交换的前提下,得到了系统的精确解表示。

研究结果表明,该系统在有限时间内Hyers-Ulam稳定。

【总页数】11页(P152-162)
【作者】邬忆萱;寇春海
【作者单位】东华大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.13
【相关文献】
1.一类分数阶时滞微分系统的两度量稳定性
2.一类分数阶时滞微分系统的解
3.一类非局部非自治分数阶时滞微分系统的稳定性
4.一类分数阶时滞微分方程解的存在性及稳定性
5.一类推广的非线性Hilfer分数阶时滞微分方程解的存在性
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分数阶两时滞广义Logistic 方程解的分析杨晓婷1, 袁利国1,2, 旷菊红3(1. 华南农业大学 数学系, 广州 510642; 2. 安徽大学 数学科学学院, 合肥 230601;3. 五邑大学 数学与计算科学学院, 江门 529020)摘 要: 利用Banach 压缩映像原理及范数不等式技巧证明分数阶两时滞广义Logistic 方程解的存在唯一性以及解的导函数是属于L 1可积的, 并利用改进的Adams-Bashforth-Moulton 预估校正算法实现该方程的数值求解.关键词: 分数阶导数; 时滞; 存在唯一性; 广义Logistic 方程 中图分类号: O178; O175文献标识码: A文章编号: 1672-5298(2023)02-0001-07Analysis of Solutions of Fractional-order GeneralizedLogistic Equation with Two DelaysYANG Xiaoting 1, YUAN Liguo 1,2, KUANG Juhong 3(1. Department of Mathematics, South China Agricultural University, Guangzhou 510642, China;2. School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230601, China;3. School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)Abstract : By using Banach contraction mapping principle and norm inequality technique, the existence and uniqueness of the solution of fractional-order generalized logistic equation with two delays were proved, and the derivative of the solution is L 1 integrable function. The improved Adams-Bashforth-Moulton predictor-corrector algorithm was used to realize the numerical solution of the equation.Key words : fractional-order derivative; delay; existence and uniqueness; generalized logistic equation0 引言分数阶微分方程是描述系统记忆和遗传特性的一个强有力工具, 在生物系统中时滞也普遍存在. 由于分数阶时滞微分方程的精确解很难求得, 故研究其解的存在唯一性及相应数值解具有重要意义. 近年来各种分数阶时滞(或不含时滞)微分方程解的研究吸引了学者的关注, 如解的存在唯一性、解的稳定性、数值解及级数解等[1~9]. 文[2]研究分数阶单时滞广义Logistic 方程解的存在唯一性及数值解. 文[3]分析无时滞的分数阶Logistic 方程的解. 文[4]给出分数阶两时滞Logistic 方程解的存在唯一性. 文[5]研究分数阶Logistic 方程的幂级数解. 文[9]研究分数阶单时滞Logistic 系统的稳定性. 文[10]给出分数阶单时滞Logistic 方程的数值解. 文[11]分析分数阶单时滞Logistic 系统的混沌. 文[12]提出整数阶两时滞广义Logistic 模型, 并分析其Hopf 分岔和混沌现象.1 相关定义分数阶两时滞广义Logistic 方程为2120()()[()()],0,(),0,D x t x t a bx t cx t t x t x t αττ⎧=+--->⎪⎨=⎪⎩≤ (1)其中D 是Caputo 分数阶导数算子, 01,,a c α<≤为正常数, b ∈ , 12,ττ为正的时滞.分数阶导数的定义有多种形式, 本文采用Caputo 分数阶导数定义.收稿日期: 2022-05-12基金项目: 国家自然科学基金资助项目(11901438); 广东省质量工程项目(华南农教[2021]69号); 五邑大学质量工程项目(JX2021018) 作者简介: 杨晓婷, 女, 硕士研究生. 主要研究方向: 分数阶时滞微分方程通信作者: 袁利国, 男, 博士, 副教授. 主要研究方向: 混沌与分岔、分数阶微分方程第36卷 第2期 湖南理工学院学报(自然科学版) V ol. 36 No. 22023年6月 Journal of Hunan Institute of Scienceand Technology (Natural Sciences) Jun. 20232湖南理工学院学报(自然科学版) 第36卷定义1[13] α阶Riemann-Liouville 分数阶积分算子定义为11()()()d ,0,Γ()x aI f x x t f t t αααα-=->⎰其中x 和a 分别是积分上下限.定义2[13] α阶Caputo 分数阶导数定义为11d ()()()d ,0,Γ()d n n x naD f x x t f t t n t αααα--=->-⎰其中n 是整数, 1,Γ()n n α-<⋅≤为Gamma 函数.记[0,],,0,()I T T N C I =<∞>是I 上具有范数|||||Sup e (|)Nt t x x t -=的所有连续函数构成的集合.1[]0,L T 是I 上具有范数10||||e ()||d TNtx x t t -=⎰的所有可积函数构成的集合.分数阶导数的长时间记忆性能很好刻画一些生物现象. 当1α=时, 方程(1)退化为文[12]中的整数阶模型. 本文研究分数阶两时滞广义Logistic 方程(1)的解的存在唯一性、解的导函数的1L 可积性以及利用改进的Adams-Bashforth-Moulton 预估校正算法与Matlab 软件实现其数值解. 方程(1)右端的非线性项比经典的分数阶Logistic 方程更复杂, 分析过程参考文[2~4]的方法, 但证明过程中范数不等式技巧有很大区别且难度更大.2 解的存在唯一性为了证明方程(1)解的存在唯一性, 需要用到以下引理.引理(Banach 压缩映像原理)[14] 假设K 是Banach 空间E 中的非空闭子集, :F K K →是压缩算子, 即对任意的,x y K ∈, 有||||||||,[0,1],Fx Fy a x y a --∈≤则存在唯一的*x K ∈, 使得**.Fx x =对于初值问题(1)定义0(){:()[0,1],,(),0}.C I x x t t I x t x t =∈∈∈= ≤ 定理 初值问题(1)存在唯一解1()(),[0,].x t C I x L T '∈∈ 证明 基于分数阶微积分性质及文[2~4]的启发, 方程(1)可写为1212d ()()()()(),d ()I x t ax t bx t x t cx t x t tαττ-=+---(2)对此方程的两边同时作用积分算子αI , 得2012((()()()()())).x t x I ax t bx t x t cx t x t αττ=++---(3)定义算子2012()(()()()())()Fx t x I a x t bx t x t cx t x t αττ=++---, 则11100()()e|()()|e|()()|d ||e |()||()()|d ()()tt NtNtNtt s t s Fx t Fy t a x s y s s b x s x s y s s ααταα---------+--+ΓΓ⎰⎰≤1122112200()()||e|()||()()|d e |()|||d ()()))((tt NtNtt s t s b y s x s y s s c x s x s y s s αατττταα---------+---+ΓΓ⎰⎰112200|()|()()e|()()|d (||)e |()()|d ()()tt NtNtt s t s c y s x s y s s a b c x s y s s ααταα--------++-+ΓΓ⎰⎰≤11112200()()||e|()()|d 2e ()()d .(|()|)tt NtNtt s t s b x s y s s c x s y s s αατττταα---------+---ΓΓ⎰⎰记11120110()()e|()()|d ,e |()()|d ,()()t t NtNtt s t s A x s y s s A x s y s s αατταα------=-=---ΓΓ⎰⎰第2期杨晓婷, 等: 分数阶两时滞广义Logistic 方程解的分析 313220()e|()()|d ,()t Ntt s A x s y s s αττα---=---Γ⎰可得11()100()()e ()()d e e ()()d ()(|)|||t t NtN t s Ns t s t s A x s y s s x s y s s αααα--------=-=-ΓΓ⎰⎰≤()1100()||||e d ||||e d ()()t t N t s Nh t s h x y s x y h αααα-------=-ΓΓ⎰⎰≤10()11||||e d()||||.()Nh Nh x y Nh x y N Nαααα-+∞--=-Γ⎰ 12101()e ()()d ()t Ntt s A x s y s s αττα---=---=Γ⎰111111101()()e|()()|d e |()()|d .()()N t Nttt s t s x s y s s x s y s s αατττττταα---------+---ΓΓ⎰⎰由于10s τ<<, 则10s τ-<, 那么10()x s x τ-=, 故11110()e|()()|d 0.()Ntt s x s y s s ατττα------=Γ⎰从而111112110|()()e()()d e ()()d ()()|||tt NtNt t t s A x s y s s x y ααττθτττθθθαα--------=---=-=ΓΓ⎰⎰1111()()110||()()e e ()()d ||||e d ()()t t N t N N t t t x y x y ααττθθθθτθτθθθθαα---------------=ΓΓ⎰⎰≤11111100()e e e ||e d ||||e d()||||.())|(|N N t N Nh Nh Nh h x y h x y Nh x y N Nαττατταααα-----+∞-----=-ΓΓ⎰⎰≤2211322220()()e |()()|d e |()()|d .()()t Nt Ntt s t s A x s y s s x s y s s αατττττταα------=---+---ΓΓ⎰⎰由于0s <<2τ, 则20s τ-<, 那么20()x s x τ-=, 故21220()e|()()|d 0.()Ntt s x s y s s ατττα------=Γ⎰则221132222|||()()e()()d e ()()d ((|))ttNtNtt s t s A x s y s s x s y s s 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s x s s ααττταα----=-=--ΓΓ⎰⎰则35124d d d d d d (),d d d d d d D D D D D x t t t t t t t=++++ 又 2111000d (1)()()d ()()d ,d ()()()t t D t s a a a x s s x t t s x s s t ααααααα-----'==+-ΓΓΓ⎰⎰1122111000201100d (1)()()d ()()()()d ,d ()()()()bx bx bx D t s bx x s s x t t t s x s s tατταααατταααα------'==--++-ΓΓΓΓ⎰⎰12130111d (1)()()()d ()()d ()()t D bx t s b x s x s s x t t ααταττταα----=-=-+ΓΓ⎰ 111111()()()d ()()()d ,()()t tb b t s x s x s s t s x s x s s αατττταα--''--+--ΓΓ⎰⎰ 2223222111000402200d (1)()()d ()()()()d ,d ()()()()cx cx cx D t s cx x s s x t t t s x s s tατταααατταααα------'=-=----ΓΓΓΓ⎰⎰2222150222d (1)()()d ()()d ()()()t D cx t s c x s x s s x t tααταττταα----=--=--Γ-Γ⎰221212222()()()d ()()()()d ,()()ttcct s x s x s s t s x s x s x s s ααττττταα--''------ΓΓ⎰⎰那么可得12311100000d ()()()d ()()d d ()()()t ax bx cx bx x t a t t s x s s t s x s s t ταααααα---+-''=+-+--ΓΓΓ⎰⎰21211010()()d ()()()d ()()tcx b t s x s s t s x s x s s ταατταα--''-+--+ΓΓ⎰⎰1211212()()()d ()()d ()())(ttb c t s x s 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Nαθααθθα+∞--+-++'++Γ⎰6湖南理工学院学报(自然科学版)第36卷122110000||||||e 2e ||||()e d()||||()e d()()()N N N N b b x b c cx c x N N x N N N Nτταθαθααθθθθαα--+∞+∞-----+-+''+=ΓΓ⎰⎰ 1223000||||||e 2e ||||,N N ax bx cx a b c b c x N N τταα--+-++++'+故1223000||||||e 2e ||||||||N N ax bx cx a b c b c x x N N τταα--+-++++''+≤, 即 12123000||||||e 2e ||||1,N N ax bx cx a b c b c x N N τταα---⎛⎫+-++++'- ⎪⎝⎭≤ 导函数是有界的, 再根据文[3, 4]的方法, 从而有1[0,].x L T '∈注 (1)当12t ττ<<时, 有221200(()[)()]()()x t a bx t cx t a bx cx x t ττ+---=+-; (2)当12t ττ<<时, 有221210()()[()](())().x t a bx t cx t a bx t cx x t τττ+---=+--3 数值解Diethelm 等[15]提出Caputo 定义下分数阶微分方程的Adams-Bashforth-Moulton 预估校正数值算法, Bhalekar 等[16]将其扩展到分数阶时滞微分方程. 本文利用此预估校正算法[15,16], 求解分数阶两时滞Logistic 方程212021()[()],0,() ()0,(),D x t x a bx t cx t t T t x t x t αττττ⎧=+---<<⎪⎨=-<-<⎪⎩≤ (4)的数值解. 当12ττ=时, 方程(4)退化为单时滞情形, 文[10]给出Matlab 求解程序. 因此不妨假设12ττ<, 设定网格点2211{:,1,,,1,1,0,1,,}n T t nh n k k k k N ===--+--+- , 其中12,k k 和N 是正整数, 且120221112;,,1,,,1,1,)0;(h j T h x t x j k k k k N k k ττ=====--+--+-121122()()()();,0,1,,.()()h j h h j k h j h h j k x t x jh k h x t x t x jh k h x t j N ττ---=-=-=-==设2211()(,1,(,,1,,1,0,1,,),)h j j x t x t j k k k k n ≈=--+--+- 对式(4)两边同时作用积分算子得112101120()1()()()[(d Γ).)](n t n n h x t x t x a bx cx αξξξτξτξα+-++=+-+---⎰(5)用()h n x t 来近似()n x t , 可得校正表达式21011112()()[()Γ(2)()]h n h n n n h x t x x t a bx t cx t αττα++++=++---++122,10(),Γ(2)()[()]nj n hj j k j k j h ax t a bx t cx t αα+--=+-+∑(6)其中1111,1()(1),0,(2)()2(1),1,1, 1.j n n n n j a n j n j n j j n j n αααααα+++++⎧--+=⎪=-++---+⎨⎪=+⎩≤≤ (7)用预估项1()P h n x t +代替式(6)右边的1(),h n x t +即得数值解2211(,1,,,1,),(h j x t j k k k k =--+--+1,0,1,),.n - 其中210,1120()()[()(Γ))](nP hn j n hj j j j h x t x bx t a bx t cx t αττα++==++---=∑ 1220,10()[(()Γ)],()nj n hj j k j k j hx bx t a bx t cx t αα+--=++-∑第2期杨晓婷, 等: 分数阶两时滞广义Logistic 方程解的分析 7,1((1)()).j n h b n j n j αααα+=-+--根据式(5)~(7), 应用Matlab 软件求解方程(4)的数值解, 程序见/508196745.html.取122,4, 2.5,0.6,2,(0)0.2,0.9,a b c x ττα==-===== 得到方程(4)的数值解, 如图1所示. 取10.6,τ=2 1.5,0.5τα==, 得到方程(4)的数值解, 如图2所示.图1 120.9,0.6,2αττ===时的数值解图2120.5,0.6, 1.5αττ===时的数值解4 结束语连续或离散Logistic 方程不仅在生物学中有重要应用, 其混沌性质在图像加密中也有广泛应用. 对经典Logistic 方程(或映射)及其各种推广方程的研究一直是热点问题, 如分数阶(或离散分数阶、各类广义、单时滞、两时滞)Logisitc 方程等. 本文分析了分数阶两时滞广义Logistic 方程, 证明了其解的存在唯一性以及解的导函数属于1L , 并利用改进的Adams-Bashforth-Moulton 预估校正算法求得其数值解. 这些研究增加了Logistic 方程类型, 同时给出了解的存在唯一性的严格理论分析, 并为分数阶两时滞方程的数值求解提供了程序代码. 该程序也可用于求解其他两时滞分数阶方程, 或推广应用到求解更多时滞的分数阶方程情形.参考文献:[1] Rida S Z, Farghaly A A, Azoz S A, et al. Global Stability of a delayed fractional-order SEI epidemic model with logistic growth[J]. Applied Mathematics& Information Sciences, 2021, 15(1): 1−12.[2] 袁利国. 分数阶时滞广义Logistic 方程解的研究[J]. 中山大学学报(自然科学版), 2014, 53(2): 44−48.[3] El-Sayed A M A, El-Mesiry A E M, El-Saka H A A. On the fractional-order logistic equation[J]. Applied Mathematics Letters, 2007, 20: 817−823.[4] El-Sayed A M A, El-Saka H A A, El-Maghrabi E M. On the fractional-order logistic equation with two different delays[J]. Zeitschrift fur NaturforschungA, 2011, 66(3-4): 223−227.[5] Area I, Nieto J J. Power series solution of the fractional logistic equation[J]. Physica A, 2021, 573: 125947.1−125947.9.[6] 霍 冉, 王晓丽, 吴国荣. 一类分数阶时滞微分方程解的存在唯一性[J]. 内蒙古农业大学学报(自然科学版), 2014, 35(5): 167−169. [7] 刘丽琼, 钟守铭, 索 宇. 线性分数阶多时滞系统的解的存在唯一性[J]. 西南民族大学学报(自然科学版), 2011, 37(5): 719−721.[8] 李 帅, 张志信, 蒋 威. 分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性[J]. 工程数学学报, 2021, 38(5): 700−708.[9] Pan F, X Cui, Xue D. Stability analysis of a fractional-order delay Logistic model with feedback control[C]// 2020 Chinese Control And DecisionConference, Washington: IEEE Press, 2020: 3871−3875.[10] Yuan L G, Yang Q G, Zeng C B. Chaos detection and parameter identification in fractional-order chaotic systems with delay[J]. Nonlinear Dynamics,2013, 73: 439−448.[11] Wang D P, Yu J B. Chaos in the fractional order Logistic delay system[J]. Journal of Electronic Science and Technology of China, 2008, 6(3): 289−293. [12] 李顺异, 熊 梅, 唐兴芸. 两时滞广义Logistic 模型的Hopf 分支与混沌[J]. 纯粹数学与应用数学, 2021, 37(3): 294−305.[13] Podlubny I. Fractional differential equations: An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution andsome of theirapplications[M]. New York: Academic Press,1998.[14] 时 宝, 张德存, 盖明久. 微分方程理论及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2005.[15] Diethelm K, Ford N J, Freed A D. A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations[J]. Nonlinear Dynamics,2002, 29: 3−22.[16] Bhalekar S, Daftardar- Gejji V . A predictor-corrector scheme for solving nonlinear delay differential equations of fractional order[J]. Journal of FractionalCalculus and Applications, 2011, 1(5): 1−9.。

分数阶脉冲时滞微分方程英文回答：Fractional order impulsive delay differential equations (FOIDDEs) are a class of differential equations that arisein various fields of science and engineering, such as viscoelasticity, electrochemistry, and population dynamics. Due to their complex nature, developing efficient and accurate numerical methods for solving FOIDDEs is a challenging task.In this paper, we propose a novel numerical method for solving FOIDDEs based on the finite difference method (FDM). The proposed method utilizes the Caputo fractionalderivative and employs a backward difference scheme to approximate the time derivative. The delay term is handled by introducing a delay operator. The resulting system of equations is then solved using a suitable linear solver.To demonstrate the accuracy and efficiency of theproposed method, we conduct numerical experiments on several FOIDDEs with different fractional orders and delay times. The numerical results show that the proposed method is able to obtain accurate solutions with high order of accuracy. Moreover, the method is efficient and can handle problems with large delay times.In summary, the proposed numerical method provides a powerful tool for solving FOIDDEs. The method is easy to implement and can be applied to a wide range of problems.中文回答：分数阶脉冲时滞微分方程 (FOIDDEs) 是一类在粘弹性、电化学和种群动力学等各个科学和工程领域中广泛应用的微分方程。

第３４卷第２期V o l ．３４,N o ．２滨州学院学报J o u r n a l o f B i n z h o uU n i v e r s i t y２０１８年４月A pr ．,２０１８ʌ微分方程与动力系统研究ɔ分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法收稿日期:２０１８０１２５基金项目:防灾科技学院教育研究与教学改革项目(J Y ２０１７B １０),防灾科技学院研究生课程建设与改革项目(Y J G ２０１５００１)第一作者简介:王福昌(１９７４ ),男,山东定陶人,教授,硕士,从事应用数学研究.E Ｇm a i l :f z m a t h ＠１２６．c o m王福昌,张丽娟,靳志同(防灾科技学院基础部,河北廊坊０６５２０１)㊀㊀摘㊀要:分数阶非线性时滞微分方程具有广泛的应用,因而根据部分观测值估计方程的参数和阶有重要意义.首先通过预估校正法求出方程组的预测值,结合部分观测值建立优化目标函数,再采用鸡群算法给出最优参数和阶的估计值.通过计算机模拟,验证了方法的有效性.㊀㊀关键词:分数阶;非线性时滞微分方程;参数估计;鸡群算法㊀㊀中图分类号:O １７５．１㊀㊀文献标识码:A ㊀㊀D O I :１０．１３４８６/j ．c n k i ．１６７３２６１８．２０１８．０２．００６分数阶非线性时滞微分方程是一类重要的微分方程.B h a l e k a rS 和D a f t a r d a r G e j jiV 讨论了时滞的分数阶L i u Ｇ系统混沌效应[１],W a n g Z 等研究了时滞分数阶金融系统[２],Y a nY 和K o uC 给出了H I V 病毒传播的时滞分数阶微分模型及其稳定性[３].一般地,在研究分数阶非线性微分方程模型性质时,模型中的参数和阶都假定是已知的,然而在实际应用中,模型参数和阶往往未知.这时,利用部分观测数据来反推模型的参数和阶具有重要的实际意义,这本质上与分数阶非线性微分方程初值问题数值解法和复杂的非线性优化问题相对应.目前,已有一些学者对该问题开展研究,如Z h u W 等使用差分演化(d i f f e r e n Ｇt i a l e v o l u t i o n )算法求解分数阶系统的识参数别问题[４],L i uF 等使用多选择差分演化算法求解分数阶时滞混沌系统的参数[５],G uWJ 等使用人工蜂群算法(A r t i f i c i a l b e e c o l o n y a l g o r i t h m )进行时滞分数阶混沌系统的参数识别[６].针对一般的分数阶非线性时滞微分方程组初值问题,可以使用预估校正方法求得方程数值解[７].假设已经观测到解的部分值,则可利用这些观测值和数学软件方便地估计模型的参数和阶,从而便于工程师掌握和运用分数阶非线性时滞微分方程这一数学工具.１㊀分数阶时滞微分方程及其预估校正解法在分数阶微积分发展过程中,有很多种函数的分数阶微积分定义,广泛使用的有G r u n w a l d L e t n i k Ｇo v 分数阶微积分定义㊁R i e m a n n L i o u v i l l e 微积分定义和C a p u t o 分数阶微分定义.一般地,C a p u t o 分数阶导数由于具有更易于理解的物理特性而多用于实际建模中.定义１㊀(C a p u t o 分数阶导数)设α＞０,f (t )ɪC n ＋１([t ０,＋ɕ),R ),㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ct ０D αt[f (t )]＝１Γ(n －α)ʏt t ０f (n )(τ)(t －τ)α＋１－n d τ,(１)其中,Γ( )为G a m m a 函数,n 为满足n －１＜αɤn 的正整数.２３第２期王福昌,张丽娟,靳志同㊀分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法１．１㊀分数阶时滞微分方程假设研究的分数阶系统为C ０Dαt y (t )＝f (t ,y (t ),y (t －τ);θ),０ɤt ɤT ,y (０)＝y ０,y (t )＝g (t ),t ɪ[－τ,０).ìîíïïïï(２)其中y (t )＝[y １(t ),y ２(t ), ,y m (t )]T 为待求的函数向量,θ＝[θ１,θ２, ,θs ]T为方程组(２)中的估计参数,０＜αɤ１为分数阶导数的阶数,这里的分数阶为C a pu t o 定义,τ＞０为延迟参数.问题(２)是一个时滞分数阶非线性常微分方程组初值问题,给定方程参数θ和阶α后,就可以讨论它的性质,计算出系统的解y (t)随时间t 的变化并绘图.１．２㊀预估校正解法问题(２)一般没有解析解,B h a l e k a r S 和D a f t a r d a r G e j ji V [７]根据D i e t h e l m K [８]提出的预估校正法而给出一种时滞情形下的预估校正法.考虑均匀分点网格{t n ＝nh |n ＝－k ,－k ＋１, ,－１,０,１, ,N },其中N ,k 满足h ＝T /N ,k ＝[τ/h ].如果τ是h 的整数倍,令y h (t j )＝g (t j ),j ＝－k ,－k ＋１, ,－１,０,则y h (t j －τ)＝y h (j h －k h )＝y h (t j－k ),j ＝０,１, ,N .假设已经计算得到近似值y h (t j )ʈy (t j ),(j ＝－k ,－k ＋１, ,－１,０,１, ,n ),下面要用公式(３)计算y h (t n ＋１),y (t n ＋１)＝g (０)＋１Γ(α)ʏt n ＋１０(t n ＋１－ξ)α－１f (ξ,y (ξ),y (ξ－τ);θ)d ξ.(３)由梯形积分公式,可得校正项公式为y h (t n ＋１)＝g (０)＋h αΓ(α＋２)f (t n ＋１,y h (t n ＋１),y h (t n ＋１－τ);θ)＋h αΓ(α＋２)ðnj ＝０αj ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －τ);θ)＝g (０)＋h αΓ(α＋２)f (t n ＋１,y h (t n ＋１),y h (t n ＋１－k );θ)＋h αΓ(α＋２)ðnj ＝０αj ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －k );θ),(４)其中αj ,n ＋１＝n α＋１－(n －α)(n ＋１)α,j ＝０,(n －j ＋２)α＋１＋(n －j )α＋１－２(n －j ＋１)α＋１,１ɤj ɤn ,１,j ＝n ＋１.ìîíïïï(５)由于公式(４)的两边都有y h (t n ＋１),很难求解,故校正项右边的y h (t n ＋１)可用预估项y p h (t n ＋１)代替y ph(t n ＋１)＝g (０)＋１Γ(α)ðnj ＝０b j ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －τ);θ)＝g (０)＋１Γ(α)ðnj ＝０b j ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －k );θ),(６)其中b j ,n ＋１＝h αα[(n －j ＋１)α－(n －j )α],０ɤj ɤn .(７)如果τ不是h 的整数倍,则可以用线性插值来计算y h (t j －τ),即㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀y h (t j －τ)＝y h (t j －k )＋t j －τ－t j－k t j －k ＋１－t j－k (y h (t j －k ＋１)－y h (t j－k )).(８)可以看出,该算法先计算出预测值y p h (t n ＋１),再代入f (t n ＋１,y p h (t n ＋１),y h (t n ＋１－τ);θ),得到校正值３３滨州学院学报第３４卷y h (t n ＋１),从而得到下一步迭代需要的f (t n ＋１,y h (t n ＋１),y h (t n ＋１－τ);θ),故该算法被称为预估校正法,也称作P E C E (P r e d i c tE v a l u a t e ,C o r r e c tE v a l u a t e)法.２㊀时滞分数阶系统参数及阶数估计２．１㊀建立优化目标函数在模型(２)中,假设α,τ和θ是待估的变量,α为待估的系统阶数,统一为待估向量x ＝[α,τ,θ１,θ２,,θs ]T ɪR s ＋２,观测时刻t １,t ２, ,t n 没有误差,y (０)＝y ０为精确值(否则还要估计这m 个初值),y １,y２, ,y n 为在时刻t １,t ２, ,t n 的观测值,含有观测误差;^y １(t １;^x ),^y ２(t ２;^x ), ,^yn (t n ;^x )为在时刻t １,t ２, ,t n ,初值为y (０)＝y ０和参数为^x 时由上面预估校正算法得到的预测值.于是方程参数和阶的估计转化为优化问题m i n x ɪRs ＋２J (x )＝ðni ＝１y i－^y i(t i;x ) ,(９)其中 为向量的范数,一般取２范数,即欧氏距离,对应参数x 的最小二乘解,具体可写为m i n x ɪRs ＋２ðni ＝１ðmj ＝１(y i j －^y i j (t i ;x ))２.(１０)如果观测数据受到污染,离群值较多,可以考虑较为稳健的最小一乘准则m i n x ɪRs ＋２ðn i ＝１ðmj ＝１|y i j －^y i j (t i ;x )|.(１１)在给定目标函数(９)后,就可以通过优化方法得到方程参数和阶的估计值.２．２㊀估计系统参数和阶的鸡群方法鸡群算法(C h i c k e nS w a r m O p t i m i z a t i o n ,简称C S O )是由M e n g 等[９]提出的一种基于鸡群搜索行为的群体智能优化算法,它模拟了鸡群等级制度和鸡群行为.整个鸡群分为若干子群,每一个子群都由一只公鸡㊁若干只母鸡和小鸡组成.不同鸡遵循不同的移动规律,在具体的等级制度下,子群之间存在竞争行为,它是一种收敛性好的全局优化算法[１０].算法如下.步骤１㊀参数设置.首先,设定鸡群算法参数:最大迭代次数M ,鸡群规模p o p ,解空间维数d i m ,鸡群角色更新次数G ,公鸡和母鸡占整个鸡群规模的比例r p e r c e n t 和h pe r c e n t ㊁可能生育过小鸡的母鸡比例m p e r c e n t .步骤２㊀鸡群初始化.令演化代数t ＝０,搜索参数空间下界设为l b ＝[a １,a ２, ,a s ＋２]T,上界设为u b ＝[b １,b ２, ,b s ＋２]T,在搜索空间中随机产生p o p 个鸡群粒子x i j (t )＝a j ＋r (b j －a j ),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２.(１２)步骤３㊀计算每个鸡群粒子的适应度函数.这里计算适应度函数就是计算目标函数值(１０)或(１１),越小越好.将最优适应度函数值及其位置放入公告板.步骤４㊀鸡群角色更新条件的判断.当m o d (t ,G )＝＝０ t ＝＝１时,执行步骤５,否则执行步骤６,其中t 为当前迭代次数.步骤５㊀角色分配.对整个鸡群的适应度函数值进行降序排列,依据适应度函数值对鸡群进行角色分配,总是选择适应度最优的前面p o p ˑr p e r c e n t 只鸡作为公鸡,将剩余的适应度次优的p o p ˑh pe r c e n t 只鸡作为母鸡,剩下的p o p －p o p ˑr p e r c e n t －p o p ˑh pe r c e n t 只鸡为小鸡.步骤６㊀公鸡个体位置更新.公式为x i j (t ＋１)＝x i j (t )ˑ(１＋r a n d n (０,σ２)),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２.(１３)其中σ２＝１,f i ɤf k ,e x p (f k －f i |f i |＋ε),fi ＞f k ,ìîíïïï４３第２期王福昌,张丽娟,靳志同㊀分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法k ɪ[１,r N u m ],k ʂi 为正态分布的方差,ε为一个大于０的极小的数,fk 为不同于第i 只公鸡的其他任意一只公鸡的适应度函数值.步骤７㊀母鸡个体位置更新.公式为x i j (t ＋１)＝x i j (t )＋c １ˑr a n d ˑ(x r １j (t )－x i j (t ))＋c ２ˑr a n d ˑ(x r ２j (t )－x i j (t )),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２,(１４)其中c １＝e x p (f i －f r １|f i |＋ε),c ２＝e x p (f r ２－f i ),r a n d 为[０,１]之间的随机数,r １为第i 只母鸡所在群中的公鸡,r ２为从鸡群中随机选取的不同于第i 只母鸡的任一只鸡,且r １ʂr ２.步骤８㊀小鸡个体位置更新.公式为x i j (t ＋１)＝x i j (t )＋f l ˑ(x m j (t )－x i j (t )),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２,(１５)其中x m j (t )为第i 只小鸡妈妈的位置,f l ɪ(０,２)为小鸡跟随小鸡妈妈寻找食物的跟随系数.步骤９㊀计算鸡群最优值,更新公告板记录.步骤１０㊀不断重复执行步骤２~８,直到达到设定的最大迭代次数,输出最优值.３㊀数值试验为了检验算法的有效性,拟使用鸡群算法对时滞分数阶M a c k e y Gl a s s 方程进行研究.此方程最初是用于描述白细胞繁殖的模型,后来成为混沌理论中超混沌系统的典型代表,闵涛等[１１]给出了M a c k e yG l a s s 方程参数反演的差分演化算法,刘福才等[５]给出了分数阶M a c k e y Gl a s s 方程的改进差分演化算法.３．１㊀时滞分数阶M a c k e y Gl a s s 混沌系统C ０D αt y (t )＝－θ１y (t )－θ２y (t －τ)１＋y θ３(t －τ),y (t )＝y０,t ɤ０.ìîíïïï(１６)其中y (t )代表循环白细胞的浓度,θ１,θ２,θ３是参数,τ为时滞参数,y ０为初始值.若令分数阶α＝０．９,参数θ１＝１,θ２＝２,θ３＝１０,时滞参数τ＝５,步长取为h ＝０．１.利用前面程序即可绘制分数阶时滞微分方程C０D ０．９t y (t )＝－２y (t －５)１＋y (t －５)１０－y (t ),y (t )＝０．６,t ɤ０{在[０,１００]上数值解并绘制数值解的图形,见图１.图１㊀时滞分数阶M a c k e yＧG l a s s 混沌系统３．２㊀参数和阶估计的数值结果假设分数阶α＝０．９,参数θ１＝１,θ２＝２,θ３＝１０,时滞参数τ＝５,步长取为h ＝０．１,时间区间取为[０,２０],把用预估校正法计算得到的(t i ,y i )(i ＝１,２, ,２００)作为观测值(见图１),下面以这些观测值为基础反演真实参数.参数搜索范围为０．８ɤαɤ１,４ɤτɤ６,０ɤθ１ɤ２,１ɤθ２ɤ３,９ɤθ３ɤ１１,由这５３滨州学院学报第３４卷些参数确定鸡群算法中搜索空间的上界l b ＝[０．８,４,０,１,９]和下界u b ＝[１,６,２,３,１１].鸡群算法的其他参数设置为种群规模p o p ＝２０,最大迭代次数M ＝１００,解空间维数d i m ＝５,鸡群角色更新次数G ＝５,公鸡占整个鸡群规模的比例r p e r c e n t ＝０．１５,母鸡占整个鸡群规模的比例h p e r c e n t ＝０．７,可能生育过小鸡的母鸡占母鸡规模的比例m p e r c e n t ＝０．５.图２㊀最优公鸡对应函数值随迭代次数的变化笔者做了很多次试验,其中一次的运行结果为:目标函数值(１０)的值为０．０００１４８１,分数阶^α＝０．８９７０,参数^θ１＝０．９９８０,^θ２＝２．００３３,^θ３＝９．９３０２,时滞参数^τ＝５．００１２.图２给出了最优的公鸡对应目标函数值随迭代次数增加的变化情况,横轴表示迭代次数,对数坐标纵轴表示目标函数值.当然,由于鸡群算法具有随机性,不是每次都能找到理想的估计.如果最优化目标函数值(１０)的值小于０．０１,则认为算法成功地找到了参数和阶的估计值.定义成功率(S u c c e s sR a t i o )S R ＝成功次数试验次数,随机模拟１０次,得到的成功率为０．９,平均运行时间为２０１．３s.４㊀结论在分数阶方程的应用问题中,由部分观测数据反演方程参数和阶的反问题具有重要的实际意义,但由于其理论和计算的复杂性,以往研究文献较少.本文针对一类常见的分数阶非线性时滞常微分方程组初值问题,给出其参数和分数阶估计的鸡群算法求解方法.通过数值模拟发现,该方法可以较好地估计出方程的参数和阶数,为使用分数阶微分方程组解决实际问题提供一种参考.在计算中,可先用鸡群算法得到一个粗略的近似解,作为初始值再使用N e l d e r M e a d 单纯形算法求解往往能得到更加精确的结果[１２].由于分数阶的非局部性,当变化范围增大时电脑的计算时间会增加较快,需要改用其他计算方法提高计算速度.虽然吴定会等证明了鸡群算法收敛性[１０],但是在实践中也未必能绝对保证找到最优解,该法对搜索的范围也有一定依赖性,需要结合具体问题进行分析,给出参数尽量窄小的搜索范围,以便尽快找到符合实际意义的解.参㊀考㊀文㊀献:[１]㊀R a h i m y M．A p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c a lS c i e n c e ,２０１０,４(５０):２４５３２４６１．[２]㊀W a n g Z ,H u a n g X ,S h iG D．A n a l y s i s o f n o n l i n e a rd y n a m i c s a n dc h a o s i n f r a c t i o n a l o r d e r f i n a n c i a l s y s t e m w i t h t i m e d e l a y [J ]．C o m p u t e r s a n d M a t h e m a t i c sw i t hA p pl i c a t i o n ,２０１１,６２:１５３１１５３９．[３]㊀Y a nY ,K o uC ．S t a b i l i t y a n a l ys i s f o r a f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a lm o d e l o fH I Vi n f e c t i o no fC D ４＋T Ｇc e l l sw i t h t i m e d e l a y [J ]．M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r s i nS i m u l a t i o n ,２０１２,８２(９):１５７２１５８５．[４]㊀Z h u W ,F a n g J ,T a n g Y ,e t a l ．I d e n t i f i c a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e r s y s t e m s v i a a s w i t c h i n g d i f f e r e n t i a l e v o l u t i o n s u b j e c t t on o i s e p e r t u r b a t i o n s [J ]．P h y s i c sL e t t e r sA ,２０１２,３７６(４５):３１１３３１２０．[５]㊀L i uF ,L iX ,L i uX ,e t a l ．P a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e r c h a o t i c s y s t e m w i t h t i m e d e l a yv i am u l t i Ｇs e l e c t i o nd i f f e r e n t i a l e v o l u t i o n [J ]．S y s t e mS c i e n c e&C o n t r o l E n g i n e e r i n g ,２０１７,５(１):４２４８．[６]㊀G u WJ ,Y uY G ,H u W．A r t i f i c i a l b e e c o l o n y a l g o r i t h m Ｇb a s e d p a r a m e t e r e s t i m a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e r c h a o t i c s y s t e m w i t h t i m e d e l a y[J ]．I E E E /C A AJ o u r n a l o fA u t o m a t i c a S i n i c a ,２０１７,４(１):１０７６３第２期王福昌,张丽娟,靳志同㊀分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法１１３．[７]㊀B h a l e k a r S,D a f t a r d a rＧG e j j iV．A p r e d i c t o rＧc o r r e c t o r s c h e m e f o r s o l v i n g n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s of f r a c t i o n a l o r d e r[J]．J o u r n a l o f F r a c t i o n a l C a l c u l u s a n dA p p l i c a t i o n s,２０１１,１(５):１９．[８]㊀D i e t h e l m K．E f f i c i e n t s o l u t i o no fm u l t iＧt e r mf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s u s i ng P(E C)m E m e t hＧo d s[J]．C o m p u t i n g,２００３,７１(４):３０５３１９．[９]㊀M e n g X,L i uY,G a oX,e t a l．A n e wb i oＧi n s p i r e da l g o r i t h m:c h i c k e ns w a r mo p t i m i z a t i o n[C]//５t hI n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o nS w a r mI n t e l l i g e n c e．H e f e i:S p r i n g e r I n t e r n a t i o n a l P u b l i s h i n g,２０１４:７４８５．[１０]㊀吴定会,孔飞,纪志成．鸡群算法的收敛性分析[J]．中南大学学报:自然科学版,２０１７,４８(８):２１０５２１１２．[１１]㊀闵涛,孙瑶,邱李祯．M a c k e yＧG l a s s方程参数反演的微分进化算法其灵敏度分析[J]．数学杂志,２０１６,３６(４):７７５７８１．[１２]㊀W a n g L,X uY,L i LP．P a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o n o f c h a o t i c s y s t e m s b y h y b r i dN e l d e rＧM e a d s i m p l e x s e a r c ha n dd i f f e r e n t i a l e v o l u t i o na l g o r i t h m[J]．E x p e r tS y s t e m sw i t h A p p l i c a t i o n s,２０１１,３８(４):３２３８３２４５．P a r a m e t e r s a n dO r d e rE s t i m a t i o n M e t h o d s o f F r a c t i o n a lN o n l i n e a rD e l a y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o nWA N GF uＧc h a n g,Z H A N GL iＧj u a n,J I NZ h iＧt o n g(D e p a r t m e n t o f B a s i cC o u r s e s,I n s t i t u t e o f D i s a s t e rP r e v e n t i o n,L a n g f a n g０６５２０１,C h i n a)A b s t r a c t:F r a c t i o n a lＧo r d e r d e l a y n o n l i n e a r d y n a m i c s s y s t e mi s u s e dm o r e a n dm o r ew i d e l y i ns c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g．B a s e do n p a r t i a l o b s e r v e dd a t a,f i t t i n g t h e p a r a m e t e r s a n do r d e r p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n p r a c t i c a l p r o b l e m．G i v e n t h e g u e s s v a l u e s o f p a r a m e t e r s a n do r d e r,t h e p r e d i c t i o nv a l u e s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s o l u t i o n s c a nb e c o m p u t e db y t h e p r e d i c t o rＧc o r r e c t o r s c h e m e a l g o r i t h m,a n d t h eo p t i m i z a t i o n o b j e c t i v e f u n c t i o nw i l l b e c o n s t r u c t e d b y u s i n g d i f f e r e n c e b e t w e e n o b s e r v e d d a t a a n d p r e d i c t i o n v a l u e s．S o t h e o p t i m a l p a r a m e t e r s a n do r d e r a r e s e a r c h e db y c h i c k e ns w a r mo p t i m i z a t i o nm e t h o d．F i n a l l y,b y c o mＧp u t e r s i m u l a t i o n,t h e a l g o r i t h mi s p r o v e dv a l i d．K e y w o r d s:f r a c t i o n a lＧo r d e r;n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n;p a r a m e t e re s t i m a t i o n;c h i c k e n s w a r mo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m(责任编辑:贾晶晶)７３。