收稿日期:2002—03—17
基金项目:陕西省教育厅专项科研基金资助项目(00J K 116)
作者简介:孙广才(1958-),男,陕西大荔人,渭南师范学院数学系副教授.
《周易》筮法中的数学模型
孙广才
(渭南师范学院数学系,陕西渭南714000)
摘 要:文章通过对《周易》筮法的探讨与分析,给出了筮法的数学模型.指出:《周易》筮法处理了一个模4同余的数学问题,其中蕴含了同余的概念与思想.
关键词:周易;筮法;同余
中图分类号:O112 文献标识码:A 文章编号:1009—5128(2002)05-0055-02
Mathematical Modeling of the Divining Method in Zhou Yi
S UN G uang 2cai
(Department of Mathematics ,Weinan T eachers C ollege ,714000Weinan ,China )
Abstract :By discussing and analyzing the divining method in Zhou Y i ,the paper provides a mathematical m odeling of divining meth 2od ,and points out that divining method in Zhou Y i deals with a mathematical problem of congruence of m od (4),which contains congru 2ence concepts and thoughts.
K ey Words :Zhou Y i ;divinig method ;congruence
《周易》是我国最古老的一部占筮用书,也是中国哲学史上第一部经典著作,其地位居“六经”之首.它对中国古代的文化、哲学、科学技术的发展产生过重要的影响.《周易》从一诞生,就与数学有着密不可分的联系,特别是在历代象数派学者对《周易》的研究中,数学是贯穿始终的.《易》学中蕴藏着丰富的数学思想.
本文主要探讨《周易》筮法中的数学模型和数学思想.
1 《周易》筮法简介
《周易》是用“数”来占的一种占筮之术.其筮法记载于《易・系辞上》:“大衍之数五十,其用四十有九.分而为二以象两,挂一以象三,揲之以四以象四时;归奇于扌力以象闰,五岁再闰,故再劫而后挂.天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十.天数五,地数五,五位相得而各有合.天数二十有五,地数三十,凡天地之数五十有五,此所以成变化而行鬼神也.乾之策二百一十有六,坤之策百四十有四,凡三百有六十.当万物之数也.是故四营
而成《易》,十有八变而成卦,八卦而小成.引而伸之,触类而长之,天下之能事毕矣.”
这段文字记述了上古蓍算卦的方法和过程,简略而隐晦,后人难以理会,多有不同解释.南宋朱熹在《易学启蒙》中对此有详尽的辩证,后被奉为释《易》的经典.其大意如下:
《周易》算卦用蓍草五十策,去其一不用,只用四十九策.其推演过程分为三变(以求出一爻),每变又分为四个步骤(即四营).
第一变:将49根蓍草任意分为两部分:从其中一部分取出一根,挂于一旁,不参与下一步运算;将两部分蓍草分别每四根一组数出,每部分所余或一、或二、或三、或四;把两部分所余之策连同挂一之策取出,则对所剩之策进行第二变.
第二变:将第一变所剩之策按第一变同样方法揲之以四,去掉所余之策,对所剩之策进行第三变.
第三变:将二变所剩之策按同样方法进行第三变.
最后将三变所剩之策再除以四可得六、七、八、九之一数,据此可决定一爻,六为老阴,七为少阳、
2002年9月第17卷第5期 渭南师范学院学报Journal of Weinan T eachers C ollege
Sept.2002
V ol.17 N o.5
八为少阴、九为老阳,
而要成一卦则要决定六爻,即需3×6=18(变).即所谓的“四营十八变”.
2 《周易》筮法中的数学模型
(1)《周易》筮法推演了如下数学问题:
已知:R =49
a .R =S 1+S 2:
S 1-1=4K 1+r 1 (1≤r 1≤4)S 2=4K 2+r 2
(1≤r 2≤4)
R 1=R -(1+r 1+r 2)
b .R 1=S 11+S 12:
S 11-1=4K 11+r 11(1≤r 11≤4)S 12=4K 12+r 12
(1≤r 12≤4) R 2=R 1-(1+r 11+r 12)
(1≤r 12≤4)c .R 2=S 21+S 22
S 21-1=4K 21+r 21(1≤r 21≤4)S 22=4K 22+r 22
(1≤r 22≤4)
R 3=R 2-(1+r 21+r 22)则:
R 3
4
必为:6、7、8、9之一.
(2)《周易》筮法的目的就是要以49根蓍草,通
过固定的推演程序,求出6、7、8、9四数之一.上述
过程是否可保证在任何情况下都能得到6、7、8、9四数之一,这是问题的关键.关于上述推演过程的正确性和必然性,朱熹在《易学启蒙》中列举了所有可能出现的情况,进行了详尽的辩证.其构造性的说明和严密的论证近似于数学证明.
第一变,R =49任意分成两部分R =S 1+S 2,
对S 1-1,S 2揲之以四,即四四数之,其余数分别为
r 1,r 2由于S 1-1+S 2=R -1=49-1=48,所以r 1
+r 2=4或8,则挂扌力之数不五即九,即1+r 1+r 2=5或91所以R 1=R -(1+r 1+r 2)=40或441
同理R 2=40或36或32.
R 3=24或28或32或36.
再对R 3除以4,可得:6、7、8、9四数之一.
3 结论与评价
(1)《周易》筮法的模型中蕴含了同余的概念与
思想,处理了模4同余的简单数学问题(这里的余
数限定为1≤r ≤4,与现代同余式对余数的规定略有不同),并且知道和运用了同余的简单性质:a ≡r 1(mod 4),b ≡r 2(mod 4)]a +b ≡r 1+r 2(mod 4).这些思想和方法应产生于战国以前的时期,即《易传》产生以前,因而在数学史上具有重要的意义.而对其进行理论说明或证明,并有确切文献记载的时期至迟在宋代朱熹以前.
(2)《周易》筮法有两大特点:一是有确定的程序和算法,即“四营三变”,每一步都清晰、自然、明确,前一步是后一步的基础,后一步是前一步的结果;二是有确定的目的和结果,即得到六、七、八、九四数之一.这些特点与中国古代数学的实用化、算法化、程序化特点是一致的.
(3)《周易》筮法蕴含了同余的概念和思想,它只是处理了一个个别的模4同余问题,并不涉及一般的同余理论.所以把它推广到一般性情形的做法是缺乏依据和不可取的.
参考文献:
[1]吴文俊1秦九韶与《数书九章》[M]1北京:北京师范大学出版社,1987189～1581[2]朱 熹1周易本义[M]1上海:上海古籍出版社,19891
[3]孙国中1河图洛书解析[M]1北京:学苑出版社,19901236～2511
[责任编辑 牛怀岗]
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65・ 孙广才:《周易》筮法中的数学模型 第17卷
