高三数学高考模拟试题(2)

秘密★启用前【考试时间：2024年5月30日15：00-17：00】绵阳南山2024年高三仿真考试（二）理科数学（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2N |2nA n n =∈≥，则集合A 的元素个数为（）A.1B.2C.3D.无穷多个【答案】C 【解析】【分析】利用指数与幂的运算性质可求解.【详解】由2*2(N )n n n ≥∈，可得1,2,4n =，所以集合A 的元素个数为3个.故选：C2.虚数1i(R)z b b =+∈满足()i 1z z z z -=-⋅，则b =（）A.0B.1C.2D.0或2【答案】C 【解析】【分析】求出z ，代入()i 1z z z z -=-⋅计算即可.【详解】由已知1i(R)z b b =-∈，0b ≠，所以()i 2z z b -=-，()22111z z b b-⋅=-+=-，所以22b b -=-，解得2b =.故选：C.3.已知双曲线C 的顶点为1A ，2A ，虚轴的一个端点为B ，且12BA A △是一个直角三角形，则双曲线C 的渐近线为（）A.2y x =±B.y x=± C.22y x =±D.y =【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的对称性可得1212,BA BA BA BA ⊥=，求出ba即可得解.【详解】设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，由双曲线的对称性可得12BA A △是一个等腰直角三角形，且1212,BA BA BA BA ⊥=，则12OA OA OB ==，即a b =，所以双曲线C 的渐近线为y x =±.故选：B.4.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某新能源汽车厂根据2021年新能源汽车销售额（单位：万元）和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示双层饼图.根据双层饼图，下列说法错误的是（）A.2021年第四季度销售额最低B.2月销售额占全年销售额的8%.C.2021年全年销售总额约为1079万元D.7月的销售额约为46万元【答案】D 【解析】【分析】根据双层饼图，依次判断选项即可.【详解】解：由图知，第四季度销售额占全年销售额的百分比18%,第三季度为33%，第二季度为29%，第一季度为20%，故第四季度最低，A 正确；2月销售额占全年销售额的占比为20%5%7%8%--=，B 正确；全年销售总额为()31310%9%10%1079÷++≈（万元），C 正确；7月的销售额为107913%140⨯≈（万元），D 错误.故选：D.5.在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的始边均为Ox ，终边相互垂直，若35=cos α，则cos2β=（）A.925B.925-C.725D.725-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.【详解】依题意，π2π,Z 2k k βα=++∈，则3sin cos 5βα==，或π2π,Z 2k k βα=-+∈，则3sin cos 5βα=-=-，所以27cos212sin 25ββ=-=.故选：C6.已知点()00,P x y 为可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内任意一点，则000x y ->的概率为（）A.25B.49C.13D.310【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，求得可行域内的整点个数，进而求得满足000x y ->的点个数，由古典概型概率公式求解即可.【详解】可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内的点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共9个，其中满足000x y ->的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共4个，所以所求的概率49P =.故选：B.7.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .8.已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，Z k ∈,()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6πϕ=时,()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时,()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.9.已知函数()f x 满足()()311f x f x +=--，且函数()1f x +为偶函数，若()11f =，则()()()()1232024f f f f +++⋯+=（）A.0B.1012C.2024D.3036【答案】B 【解析】【分析】由题意得()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，函数的周期为4，进一步()()()()12342f f f f +++=，由此即可得解.【详解】由题意函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()()()()()3111111331f x f x f x f x f x f x +=--=-+=---=-=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，在()()311f x f x +=--中，分别令0x =和1，得()()131f f +=，()()041f f +=，即()()241f f +=，所以()()()()12342f f f f +++=，所以()()()12202450621012f f f +++=⨯=L .故选：B.10.六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m ，则下列错误的是（）A.该正八面体结构的外接球表面积为22πm B.该正八面体结构的内切球表面积为22π3mC.该正八面体结构的表面积为2D.3【答案】D 【解析】【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.【详解】对A ：底面中心S 到各顶点的距离相等，故S 为外接球球心，外接球半径22R PS m ==，故该正八面体结构的外接球表面积22π)2πS m '=⨯=，故A 正确；对D ：连接AS ，PS ，则22AS PS m ==，PS ⊥底面ABCD ，故该正八面体结构的体积231222323V m m =⨯⨯⨯=，故D 错误；对C ：由题知，各侧面均为边长为m 的正三角形，故该正八面体结构的表面积2284S m =⨯⨯=，故C 正确；对B ：底面中心S 到各面顶点的距离相等，故S 为内切球球心，设该正八面体结构的内切球半径r，则13V Sr =，所以33VrS==故内切球的表面积222π4π3mS⎛⎫''=⨯=，故B正确.故选：D.11.若函数()21ln22f x a x x x=+-有两个不同的极值点12,x x，且()()1221t f x x f x x-+<-恒成立，则实数t的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-【答案】B【解析】【分析】首先对()f x求导，得()()22x x af x xx'-+=>，根据题意得到方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系求得a的取值范围，然后将不等式进行转化，结合根与系数的关系得到()()1212f x f x x x+--关于参数a的表达式，从而构造函数，利用导数知识进行求解．【详解】依题意得()()2220a x x af x x xx x-+=+-=>'，若函数()f x有两个不同的极值点12,x x，则方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根12,x x，可得1212Δ44020ax xx x a=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a<<，因为()()1221t f x x f x x-+<-，可得()()2212121112221211ln 2ln 222t f x f x x x a x x x a x x x x x <+--=+-++---()()()()()()2221212121212121211ln 3ln 322a x x x x x x a x x x x x x x x =++-+=++--+21ln 232ln 42a a a a a a =+⨯--⨯=--．设()()ln 401h a a a a a =--<<，则()ln 0h a a ='<，则()h a 单调递减，()()15h a h >=-，可知5t ≤-．所以实数t 的取值范围是(],5-∞-.故选：B ．【点睛】关键点睛：1.利用导数与极值点之间的关系及一元二次方程有两个不相等的正实数根，求得a 的取值范围是解决问题的前提；2.利用韦达定理二元换一元，通过构造函数解决问题.12.记椭圆1C ：22221(0)x ya b a b+=>>与圆2C ：222x y a +=的公共点为M ，N ，其中M 在N 的左侧，A 是圆2C 上异于M ，N 的点，连接AM 交1C 于B ，若2tan 5tan ANM BNM ∠=∠，则1C 的离心率为（）A.35B.45C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知(),0M a -，(),0N a ，结合图象和椭圆方程可知22tan tan b BMN BNM a ∠⋅∠=，由AMN 为直角三角形，可求得πtan tan 2tan tan BMN ANM BNM BNM⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭=∠∠，可得2225b a =，即可求得离心率.【详解】由题意可知点M ，N 分别为椭圆的左右顶点，所以(),0M a -，(),0N a ，设点A 在第一象限，设点(),B x y ，所以22222222221tan tan x b a y y y b BMN BNM a x a x a x a x a⎛⎫- ⎪⎝⎭∠⋅∠=⋅===+---，πtan tan 152tan tan tan tan 2BMN ANM BNM BNM BNM BMN ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠∠∠⋅∠，所以2225b a =，5c e a ===.故选：D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面向量a 与b相互垂直，已知(6,8)a =- ，||5b = ，且b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b = ______.【答案】(4,3)--【解析】【分析】设(,)b x y = ，根据向量垂直和向量模的坐标表示得到方程组，再结合b与向量(1,0)的夹角为钝角得到0x <，最后解出方程组即可.【详解】设(,),b x y a b =⊥ ，0a b ∴⋅= ，680x y ∴-=，①，||5b == ，②，因为b与向量(1,0)夹角为钝角，∴0x <，③，由①②③解得43x y =-⎧⎨=-⎩，(4,3)b ∴=-- .故答案为：(4,3)--.14.已知函数()π2cos 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中ω为常数，且()0,6ω∈，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位所得的图象对应的函数()g x 在0x =取得极大值，则ω的值为_____________________.【答案】2【解析】【分析】先根据图象平移得到()g x 的解析式，然后根据()0g 为最大值得到关于ω的方程，结合ω的范围可知结果.【详解】由题意可知()ππππ2cos 2cos 6363g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 在0x =取得极大值，所以()g x 在0x =取得最大值，所以ππ2π63k ω-=，Z k ∈，即212k ω=+，又因为()0,6ω∈，所以，当且仅当0k =时，2ω=满足条件，所以2ω=，故答案为：2.15.若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．【答案】3或4【解析】【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值.【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项，当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k kk k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩，整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩，所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值.故答案为：3或416.在钝角ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是______.【答案】,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】延长CG 交AB 于D ，由G 为ABC 的重心，可得3322CD AB c ==，根据πBDC ADC ∠+∠=，利用余弦定理可得222222525233c a c b c c--=-，进而可得C 为锐角，设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，进而计算可得03b a <<，利用余弦定理可得cos C 的取值范围.【详解】延长CG 交AB 于D，如下图所示：G 为ABC 的重心，∴D 为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅；在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； πBDC ADC ∠+∠=，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，∴C 为锐角；设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a b a b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0a b >>，03b a ∴<<，22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，又C 为锐角，∴cos 13C <<，即cos C的取值范围为,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查余弦定理的综合应用，利用已知求得603b a <<是关键，考查运算求解能力，难度较大.三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足31720,56a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()41nn S b n =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设[]x 表示不超过x 的最大正整数，求使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值.【答案】（1）84n a n =-（2）64【解析】【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果；（2）由（1）可得,n n S b ，根据题意可得[]1n b n =-，根据等差数列的求和公式分析运算即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得311712202656a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得148a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式()48184n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）可得84n a n =-，则()248442n n n n S +-==，所以()()2114111n n S n b n n n n ===-++++，因为*n ∈N ，则()1110,1,n n -∈∈+N ，所以[]1n b n =-，则[][]()111n n b b n n +-=--=，即数列[]{}n b 是以首项为0，公差为1的等差数列，则[][][][]()()123011202322n n n n n b b b b +--++++==<L ，即24046n n -<，又因为()2f n n n =-在[)1,+∞上单调递增，且()()6440324046,6541604046f f =<=>，所以使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值为64.18.为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程 4.79459.2y x =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.（1）求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的强弱.（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？25=≈.②参考公式：线性回归方程为ˆˆy bx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-；相关系数()()niix x y y r --=∑||0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）0.93，电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强（2）有关【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答；（2）根据22⨯列联表，计算2K 的值，并与对应的小概率值比较即得.【小问1详解】由22xs =，得()2212ni x i x x ns n =-==∑，由22545ys =，得()2212545ni y i n y y ns =-==∑，因为线性回归方程 4.79459.2y x =-，则()()()1214.7ˆniii ni i x x y y bx x ==--==-∑∑，即()()()2114.7 4.729.4n ni i i i i x x y y x x n r ==--=-=⨯=∑∑，因此相关系数()() 4.7 4.7250.930.9127127n iix x y y r --⨯===≈≈>∑，所以电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强.【小问2详解】零假设0H ：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：2290(3915306) 5.031 3.84145456921K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB ，12AB AC A B ===，1AC BC ==．（1）证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【小问1详解】取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABC A B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =，所以22211AC AA AC +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；【小问2详解】取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B yn A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==--⎪⎩ ，取x =，则0y =，2z =，所以n =设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>==⋅=若0a =，则sin 7θ=，若0a ≠，则sin 7θ=≤，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C所成角的正弦值的最大值7.20.已知抛物线E ：24y x =，过点(1,1)P 作斜率互为相反数的直线,m n ，分别交抛物线E 于,A B 及,C D 两点．（1）若3PA BP =，求直线AB 的方程；（2）求证：CAP BDP ∠=∠．【答案】（1）y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PA BP = ，得12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩，又2114y x =，2224y x =，解得,A B两点的坐标，进而可得答案．（2）设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立直线AB 与抛物线的方程，结合韦达定理由弦长公式计算AP BP ⋅，同理可得CP DP ⋅，进而可得APC BPD ∽△△，即可得出答案．【小问1详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵(1,1)P ，∴22(1,1)BP x y =-- ，11(1,1)PA x y =--，∵3PA BP =，∴21213(1)13(1)1x x y y -=-⎧⎨-=-⎩，12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩．又∵2114y x =，∴222(43)4(43)y x -=-，即2222384y y x -=-，又∵2224y x =，∴222480y y -=，20y =或22y =，当20y =时，20x =，∴14x =，14y =；当22y =时，21x =，∴11x =，12y =-，此时直线AB 的斜率不存在，舍去，∴(4,4)A ，(0,0)B ，∴直线AB 的方程为：y x =．【小问2详解】设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y，由2(1)14y k x y x =-+⎧⎨=⎩，即21(1)14x y ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，则24440y y k k -+-=，所以124y y k +=，1244y y k =-，又∵1||1|AP y =-，2||1|BP y =-，∴12121222211144||||1(1)(1)1()1141AP BP y y y y y y k k k kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-++=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2131k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理可证：2211||||3131()CP DP k k ⎡⎤⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦，∴||||||||AP BP CP DP ⋅=⋅，∴||||||||AP CP DP BP =，又∵CPA BPD ∠=∠，∴APC BPD ∽△△，∴CAP BDP ∠=∠．【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知0a >，函数()()1ln 1f x a x x x =+-+.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围；（2）证明：当102a <<，且1e a ≠时，存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数判断导函数的单调性，再结合函数的单调性，即可求解；（2）首先求曲线ln y x =的切线方程，再与曲线1y a x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的方程联立，再根据判别式构造函数，()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理判断函数有3个零点.【小问1详解】()f x 的定义域为()()10,,ln 1,x f x a x x ∞+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭'+令()()()221111ln 1,a x x F x a x F x a x x x x -+⎛⎫⎛⎫'=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0F x '<，得01x <<；令()0F x '>，得1x >，故()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，从而()min 1()1210,2f x f a a ==-≥≥''，故a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】设曲线ln y x =的切点为()1,ln ,(ln )t t x x'=，则曲线ln y x =在点(),ln t t 处的切线方程为()1ln y t x t t-=-.联立()1ln 1y t x t t y a x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()21ln 10a x t x a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，必有()2101Δln 140a t t a a t ⎧-≠⎪⎪⎨⎛⎫⎪=---= ⎪⎪⎝⎭⎩，记函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题2111,ln 10e a g a a ⎛⎫⎛⎫≠∴=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0g t =时，11,0t a a t≠-≠.()()()222ln 12ln 144t t t a a g t tt t --+=+='记()()()()2ln 14,2ln 122ln h t t t a h t t t '=-+=-+=，令()0h t '<，得01t <<；令()0h t '>，得1t >，故()h t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当102a <<，且1ea ≠时，(1)420,(e)40h a h a =-<=>，当0t →时，()4h t a →，故存在1201e t t <<<<，使得()()120h t h t ==，当10t t <<，或2t t >时，()()0,0h t g t >>'；当12t t t <<时，()()0,0h t g t <<'，故()g t 在()()120,,,t t +∞上单调递增，在()12,t t 上单调递减.由()10h t =，得()111ln 2t t a -=，代入()()21111ln 14g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭并整理得：()()()222111111ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦同理()()()222222221ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，记()()11ln 12x x x x ϕ=+-+，由（1）知()x ϕ为增函数，1201e t t <<<< ，()()2212(1)0,(1)0,t t ϕϕϕϕ∴<=>=，()()()()()()22111222ln 10,ln 10g t t t g t t t ϕϕ∴=->=-<又()2222142e 14110e e e a g a a ⎛⎫=-->->-> ⎪⎝⎭ ，当0t →时，()g t →-∞，()g t ∴有三个零点，∴存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的导数判断函数的单调性，以及切线，零点，函数性质的综合应用问题，推理难度较大，第二问的关键是根据判别式来设函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，转化为函数有3个零点问题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4]坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，A 为曲线C 上一点.（1）求A 到直线l 距离的最大值；（2）若B 为直线l 与曲线C 第一象限的交点，且7π12AOB ∠=，求AOB 的面积.【答案】（1）4+（2）4+【解析】【分析】（1）由条件得出直线的普通方程和圆的参数方程，设(4cos ,44sin )A θθ+，利用点到直线的距离公式得到π)14d θ=+-，从而求出结果；（2）由条件求出点B 的坐标，设出,A B 的极坐标方程，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】由44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消t 得到80x y +-=，所以直线l 的普通方程为80x y +-=，因为曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，所以28sin ρρθ=，又cos ,sin x y ρθθ==，所以曲线C 的普通方程为228x y y +=，即()22416x y +-=，所以曲线C 的参数方程为4cos 44sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），因为A 在圆C 上，设(4cos ,44sin )A θθ+，则A 到l 距离为πsin 1)14d θθ==+-=+-，所以当πsin(14θ+=-时，A 到l 距离最大，为4+.【小问2详解】由22808x y x y y+-=⎧⎨+=⎩，消y 得到240x x -=，解得0x =或4x =，又因为B 在第一象限，所以()4,4B ，点A ，B 在曲线C 上，由题可设17,412A ππρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入曲线C 的极坐标方程得17π5π8sin 8sin 44126OA πρ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，2π8sin 4OB ρ===，又因为7πππππππsin sin sin sin cos cos sin 124343434AOB ⎛⎫∠==+=+= ⎪⎝⎭，故AOB 的面积为14424S =⨯⨯=+.[选修4-5]不等式选讲23.已知a ，b 均不为零，且满足221a b +=．证明：（1）a b +≤（2）331a b b a+≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据完全平方式有222||||(||||)2||||1a b a b a b +=+-⋅=，再利用基本不等式即可证明；（2）根据条件将原式化简为332||a b a b ab b a b a+=+-，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】221a b +=，22||||1a b ∴+=，222||||(||||)2||||1a b a b a b ∴+=+-⋅=.根据基本不等式得22(||||)(||||)12||||2a b a b a b ++-=⋅≤,当且仅当||||2a b ==时,等号成立.整理得2(||||)2a b +≤,a b ∴+≤【小问2详解】()()33222211a b a b a b a b b a b a b a b a +=⋅+⋅=⋅-+⋅-||||2||a b a b ab ab ab b a b a=-+-=+-，由基本不等式和不等式的性质,得2a b b a +≥=，222||1ab a b ≤+=，故2||211a b ab b a+-≥-=，当且仅当||||2a b ==时,等号成立,331.a b b a∴+≥。

2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠， 所以i z a a =−，所以i z a a =+， 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=， 故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>， 当a<0时，由1ab >，得10b a<<； 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >， 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形， 则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1， 直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°， 所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°， 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确； 设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误． 故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >， 因为这些MN 倾斜角不为0， 则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=， 则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=， 则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确； 对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小， 即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确； 对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误； 对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==， 解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=， 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+， 所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥， 当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ， 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ， 令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−， 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ， 故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ， 令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ， 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=， 令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤， 因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论． 【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=； 当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=， 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。

山西省大同市实验中学2023届高三上学期高考考前模拟（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}02,{1}A xx B x x =≤≤=>∣∣，则A B =I （ ） A ．(],1-∞ B ．(]1,2 C ．(],2-∞ D ．[]0,22．若复数z 满足()()2+323i z z z z +-=+，则z =（ ） A ．11i 22+B ．11i 22-C ．22i +D ．22i -3．ABC V 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．8B ．4C ．2D ．64．“01t <<”是“曲线2211x y t t +=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12966．过圆2264x y +=上的动点作圆22:16C x y +=的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ） A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =A ．1020B ．1010C ．510D ．5058．若关于x 的方程22e ln (eln )0()x a x x x a ++=∈R 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)(2,)-∞-+∞U B ．(,2][2,)-∞-+∞U C ．(2,2)-D ．[2,2]-二、多选题9．“中国最具幸福感城市调查推选活动”由新华社《瞭望东方周刊》、瞭望智库共同主办，至今已连续举办15年，累计推选出80余座幸福城市，现某城市随机选取30个人进行调查，得到他们的收入、生活成本及幸福感分数（幸福感分数为0~10分），并整理得到散点图（如图），其中x 是收入与生活成本的比值，y 是幸福感分数，经计算得回归方程为 1.50114ˆ.51x y=+.根据回归方程可知（ ）A ．y 与x 成正相关B ．样本点中残差的绝对值最大是2.044C ．只要增加民众的收入就可以提高民众的幸福感D ．当收入是生活成本3倍时，预报得幸福感分数为6.04410．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1232f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()2f x x =-，设函数()()2e26x g x x --=-<<，则（ ）A ．函数()f x 图象关于直线2x =对称B ．函数()f x 的周期为6C ．()()202320221f f +=-D ．()f x 和()g x 的图象所有交点横坐标之和等于812．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ，则下列说法正确的是（ ）A ．259P =B ．12133n n P P +=+ C ．点Q 移动4次后恰好位于点1C 的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为10111()232+三、填空题13．已知0,0a b >>，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为________．14．P 是抛物线28y x =上的动点，P 到y 轴的距离为1d ，到圆22:(3)(3)4C x y ++-=上动点Q 的距离为2d ，则12d d +的最小值为________．15．已知四面体ABCD ，平面ABD ⊥平面ABC ，DB BC ⊥，1DA DB ==，120ADB ∠=︒，且四面体ABCD 外接球的表面积为36π，则四面体ABCD 的体积为______．16．如图，一建筑工地有墙面α与水平面β垂直并交于l ，长为α内一点A 与平面β内一点B ，点,A B 距l 均为3米，,E F 分别为AB 的三等分点，若在平面α内一点P 向点,E F 连绳子，则PE PF +的最短长度为__________米.四、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.（1）求sin sin AC的值 （2）若1cos 4B =，b ＝2，求△ABC 的面积S . 18．从①12n a S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②23S a =，412a a a =；③12a =，4a 是2a ，8a 的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于零，______． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n n n b S S +=-，数列{}n b 的前n 项和为n W ，求n W ．19．如图，在四棱锥E -ABCD 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，O ､M 分别为线段AD ､DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE =DE ，AE ⊥DE.(1)求证：CM //平面ABE ；(2)求直线CM 与BD 所成角的余弦值；(3)点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.20．某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；(2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；②记X ，Y 分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较()E X 和()E Y 的大小.（结论不要求证明）21．已知函数()21e 2x f x ax =-，其中a R ∈．(1)若函数()f x 在()0,∞+上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数()f x 存在两个极值点1x ，()212x x x <，[]212,e ∈x x 时，求12x x +的取值范围. 22．已知椭圆C 的方程为22142x y +=，过点203Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线与椭圆交于A ，B 两点.（1）求证：P A ⊥PB ；（2）求|P A|·|PB|的最大值.。

八省适应性联考模拟演练考试（二）数学试题命题：四川省新高考教研联盟试题研究中心审题：四川省新高考教研联盟试题研究中心注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个答案符合要求.1.已知为虚数单位，复数z 满足2(1i)|1i |z +=+，则复数z 的虚部为（）A.i -B.1- C. D.1【答案】B 【解析】【分析】首先求出|1i |+，再根据复数代数形式的除法运算化简z ，最后根据复数的相关概念判断即可；解：因为|1i |+==2(1i)|1i |z +=+，所以(1i)2z +=，所以()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以复数z 的虚部为1-；故选：B2.设0x >，0y >，不等式110m x y x y++≥+恒成立，则实数m 的最小值是（）A.2- B.2C.1D.4-【答案】D 【解析】【分析】将不等式110mx y x y ++≥+恒成立转化为max11()m x y x y ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,利用基本不等式求得11()x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，即可得答案.∵0x >，0y >，不等式110m x y x y++≥+恒成立，即11()m x y x y ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭恒成立，∴只需max11()m x y x y ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,∵11()224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号.所以11()4x y x y ⎛⎫-++≤-⎪⎝⎭，∴4m ≥-，∴m 的最小值为4-，故选：D3.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的最大盛水量为（）A.68πcm 3B.152πcm 3C.3D.204πcm 3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，可得圆台上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，再利用台体体积公式计算得答案.依题意，上圆台底面半径为4，面积21=π4=16πS ⨯，下底面半径为6，面积22=π6=36πS ⨯，圆台高h 为6，所以圆台的体积1211=(+(16π36π6152π33V S S h =++⨯=3cm .故选：B4.给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c ，若a c b c ⋅=⋅ ，则a b = ；④若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.对于①，当a 与b 的夹角为π，满足0a b ⋅< ，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由a c b c ⋅=⋅ ，得到()0a b c -⋅= ，所以a b = 或a b - 与c 垂直，所以③错误；对于④，因为{},,a b c 为空间向量的一个基底，所以,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++也不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.5.设ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，tan aA b=，且B 为钝角．sin sin A C +的取值范围（）A.29,28⎛⎤⎥⎝⎦B.5,44⎛⎤⎝⎦C.99,87⎛⎤ ⎥⎝⎦D.0,4⎛ ⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出2B A π=+，()22C A B A ππ=-+=-，219sin sin 2sin 48A C A ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭，最后由0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结合正弦函数的性质得出sin sin A C +的取值范围.由tan aA b =以及正弦定理得sin sin cos sin A a A A b B==，所以sin cos B A=即sin sin 2B A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，又B 为钝角，所以,22A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故2B Aπ=+()200,24C A B A A πππ⎛⎫=-+=->⇒∈ ⎪⎝⎭于是2sin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 12A C A A A A A A π⎛⎫+=+-=+=-++⎪⎝⎭2192sin 48A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，因为0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20sin 2A <<由此21992sin 2488A ⎛⎫<--+ ⎪⎝⎭ ，即sin sin A C +的取值范围是9,28⎛⎤ ⎥ ⎝⎦故选：A6.如图，1F ，2F 是分别是双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点，圆M 与12PF F 三边所在的直线都相切，切点为A ，B ，C ，若PB a =，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】连接MA ，MC ，1MF ，由直线和圆相切的性质，可得PA PB a ==，设22F B F C x ==，运用双曲线的定义，求得1PF ，再由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．解：连接MA ，MC ，1MF ，由直线和圆相切的性质，可得PA PB a ==，设22F B F C x ==，由双曲线的定义可得，122PF PF a -=，则122223PF a PF a PB BF a x =+=++=+，114AF AP PF a x =+=+，11222FC F F F C c x =+=+，由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，即有42a x c x +=+，即2c a =，2ce a==．故选：B ．7.设04b a b <<<，>0，若三个数2a b+，能组成一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围是()A.135,124⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.(C.135,224⎤-⎥⎣⎦ D.)2【答案】C 【解析】【分析】由题意可得a 14b <<，可令a t (1t 4)b =<<，判断可得a b2+<，可得a b a b22++-<<，化为2m-<<+，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．0b a 4b <<< ，m 0>，令a bx 2+=，y =z =2222a b 3x y ()(a b)024+-=-=--<，a b 2+∴<，x y ∴<，x ，y，z 能组成一个三角形的三条边长，可得y x z x y -<<+，a b a b22++-<<+，设0b a 4b <<<，可得a 14b <<，可令at (1t 4)b=<<，2m-++<<即为2m<<，由4≥，当且仅当t 1=上式取得等号，但1t 4<<，可得4+>，则2m 4≤，即m 2≤；又设5k 2,2⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得k -=-，由y k =的导数为y'1=-=由52k 2<<可得2k >，即函数y 为增函数，可得55k 22-<=，即有52m 2≥-，即有5m 24≥-，可得135m 224-≤≤，故选C．【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于at (1t 4)b=<<的函数求最值.8.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若A ＝{1，2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()1C B =或()3C B =，进而讨论a 的范围，确定出()C B ，最后得到答案.因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =，由20x ax +=，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±时，易知()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-或a >0，-a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -<<220x ax ++=无实根，若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<<或0a <<，则()2C B =，不符合题意.所以{0,S =-，故()3C S =.故选：B .【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0∆时，容易遗漏a =0时的情况，注意仔细分析题目.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.9.下列说法正确的是（）A.“11a b>”是“a b <”的充分不必要条件B.A B =∅ .是A =∅的必要不充分条件C.若a ，b ，c ∈R ，则“22ac bc >”的充要条件是“a b >”D.若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件【答案】BD 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解．A 选项：当22a b ==-，时，满足11a b>，但是不能推出a b <；反之当22a b =-=，时，满足a b <，但是不能推出11a b>，所以两者既不充分也不必要，故A 错误；B 选项：当{}{}12A B ==，，A B ⋂=∅,但是不能推出=∅当=∅时，A B ⋂=∅，故B 正确；C 选项：当0c =时，不能由a b >推出22ac bc >,故C 错误；D 选项：220a b +≠等价于00a b ≠≠，等价于0a b +≠，故D 正确；故选：BD.10.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =，CD PC PD ===．若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（）A.BM ⊥平面PCDB.//PA 平面MBDC.四棱锥M ABCD -外接球的表面积为18πD.四棱锥M ABCD -的体积为12【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，通过证明⊥BC 平面PCD 来判断结论错误；对于B ，设AC BD H = ,连接HM ，证明//PA MH 即得结论；对于C ，取CD 中点K ,连接,,PK KH 先证PK ⊥平面ABCD ，过点H 作OH ⊥平面ABCD ,其中点O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，通过直角梯形PKHO 建立方程求解即得外接球半径，计算排除C ；对于D ，利用M 为PC 的中点，得到点M 到平面ABCD 的距离等于点P 到平面ABCD 的距离的一半，从而求得体积.对于A ，因底面ABCD 为矩形，则BC CD ⊥，又侧面PCD ⊥平面ABCD ，且侧面PCD 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，故⊥BC 平面PCD ,而BM 与BC 不重合，故A 错误；对于B ，设AC BD H = ,连接HM ,因,M H 分别是,PC CA 的中点，则//PA MH ,又PA ⊄平面MBD ，MH ⊂平面MBD ,故得//PA 平面MBD ，即B 正确；对于C ，取CD 中点K ,连接,,PK KH 因CD PC PD ===，则PK CD ⊥,2PK =⨯=,因侧面PCD ⊥平面ABCD ，且侧面PCD 平面ABCD CD =，PK ⊂平面PCD ，则PK ⊥平面ABCD ，易知点H 为矩形ABCD 的外接圆圆心，过点H 作OH ⊥平面ABCD ,其中点O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，连接,OP OD ,设球O 的半径为R ，在Rt ODH △中，3DH ==，故OH =12KH BC ==PKHO 中，222R =+，解得，211R =，故四棱锥M ABCD -外接球的表面积为24π44πR =，故C 错误；对于D ，因点M 为PC 的中点，故点M 到平面ABCD 的距离等于点P 到平面ABCD 的距离的一半，即122PK =,故四棱锥M ABCD -的体积为11232⨯⨯=，故D 正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：本题主要考查与空间几何体有关的线面关系判断，外接球以及体积问题，属于难题.解题思路在于掌握线面垂直、平行的判定和性质，借助于图形进行推理和计算，掌握几何体外接球的常规解法，通过作图、分析列出方程求解即得.11.芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取M 个，这M 个芯片中恰有m 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55，则下列说法正确的是（）（参考数据：()0.6826P μσξμσ-<≤-≈，()330.9974P μσξμσ-<≤+≈）A.()()|P B P B A >B.()()||P A B P A B>C.()5.35 5.550.84P ξ<<≈D.()45P m =取得最大值时，M 的估计值为54【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，由条件概率的定义进行判断；B 选项，在A 选项基础上，推出()()()P AB P A P B >，结合()()()P AB P AB P A +=，得到()()()()1P AB P B P B P AB ⎡⎤->⎣⎦，简单变形即可得到B 正确；C 选项，利用正态分布的对称性和3σ原则得到答案；D 选项，(),0.84m B M ~，()45454545C 0.840.16M M P m -==⨯，令()454545C 0.840.16x x f x -=⨯，作商法得到其单调性，求出()()5352f f >，()()5354f f >，得到答案.A 选项，由条件概率的定义可知，()()|PB A P B >，A 错误；对于B ，因为()()|P B A P B >，所以()()()()|P A P B A P A P B >，其中()()()|P AB P B A P A =，故()()()P AB P A P B >，又()()()()()()()P AB P AB P A P B A P A P B A P A +=+=，于是()()()()P AB P B P AB P AB ⎡⎤>⋅+⎣⎦，即()()()()()P AB P AB P B P B P AB ->，即()()()()1P AB P B P B P AB ⎡⎤->⎣⎦，而()()0,1P B ∈，所以()()()()1P AB P AB P B P B >-，即()()()()P AB P AB P B P B >，故()()||P A B P A B >，B 正确；C 选项，指标ξ服从正态分布()25.40,0.05N ，故 5.40,0.05μσ==，则 5.35,3 5.55μσμσ-=+=，因为()0.6826P μσξμσ-<≤-≈，()330.9974P μσξμσ-<≤+≈，所以()1130.68260.99740.8422P μσξμσ-<≤+≈⨯+⨯=，C 正确；D 选项，(),0.84m B M ~，()45454545C 0.840.16M M P m -==⨯，设()454545C 0.840.16x x f x -=⨯，令()()45454414545451C 0.840.1610.161C 0.840.1644x x x x f x x f x x -+-+⨯+==⋅>⨯-，。

2023-2024学年湖南省高三高考数学押题模拟试题（二模）一、单选题1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若A 的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合A =（）A ．{}1,3,5,8-B ．{}3,0,2,6-C ．{}4,8,10,13D ．{}7,10,12,16【正确答案】B【分析】不妨设1234a a a a <<<，由题意可得1231241342341358a a a a a a a a a a a a ++=-⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，即可得解.【详解】不妨设1234a a a a <<<，则A 的所有三元子集为{}{}{}{}123124134234,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a ，由题意可得1231241342341358a a a a a a a a a a a a ++=-⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得12343026a a a a =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，因此集合{}3,0,2,6A =-.故选：B.2．已知ABC ，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，则ABC 一定为（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量的模化简不等式，得出AD 和AC 的关系，即可得出ABC 的形状.【详解】由题意，在ABC 中，令ABC α∠=，过A 作AD BC ⊥于D.∵对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，∴22222BA tBA BC t BC AC -⋅+≥ ，令2BA BC t BC⋅= ，代入上式，得2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥ ，即222sin BA AC α≥ ，也即sin BA AC α≥ .从而有AD AC ≥ .∴π2ACB ∠=.∴ABC 为直角三角形，故选：D.3．过双曲线2212y x -=的左焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条，则λ=（）A ．2B ．3C ．4D ．6【正确答案】C【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于x 轴对称，即可得到答案.【详解】左支内最短的焦点弦224b a==，又22a =，所以与左、右两支相交的焦点弦长22a ≥=，因为实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条，根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于x 轴对称.如图所示：所以当4λ=时，有3条直线满足题意.故选：C4．设a ，b 为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则log a b =（）A B ．12C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】首先由()()234a b ab -=得出()()2344a b ab ab +=+，由11a b+≤22()8()a b ab +≤，代入得出12ab ab +≤，而12ab ab +≥，即12ab ab+=，由基本不等式等号成立条件得出1ab =，即可得出答案．【详解】因为()()234a b ab -=，所以()()()223444a b ab a b ab ab+=+-=+，又因为11a b +≤所以a bab+≤，所以22()8()a b ab +≤，所以()328(4)4a a b b b a +≤，即12ab ab+≤，又12ab ab ≥=+，当且仅当1ab =时，等号成立，所以12ab ab+=，此时1ab =，所以1log log 1a a b a==-，故选：D ．5．已知()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θ∈π，则θ的取值范围是（）A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π5π,44⎛⎫ ⎝⎭C ．3π7π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-转化为353511sin sin cos cos 77θθθθ+>+，利用增函数性质可得()3517f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，故而sin cos θθ>，进而得出答案即可.【详解】不等式()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-等价于353511sin sin cos cos 77θθθθ+>+，又()3517f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，所以sin cos θθ>，故()5π2π2πZ 44πk k k θ+<<+∈.因为[)0,2θ∈π，所以θ的取值范围是π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 6．已知200200Cnnn n a -=⋅⋅（1n =，2，⋯，95），则数列{}n a 中整数项的个数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【正确答案】C【分析】整理n a 得200400536200C 32n nn n a --=⋅⋅，当80n ≤时，只要2003n -，40056n-均为整数即可，但当80n >，400562n -会出现小数，应考虑200C n中因子2的个数问题.【详解】因为20020020020033322200200200C C 62C32nnn n nn nnn n n a ------=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅200400536200C32n n n--=⋅⋅，要使()195n a n ≤≤为整数，必有2003n -，40056n-均为整数，当2n =，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68，74，80时，2003n -和40056n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个.当86n =时，8638586200C 32a -=⋅⋅，在86200200!C 86!114!=中，200!中因数2的个数为2345672002002002002002002001972222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，同理可计算得86!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以86200C 中因数2的个数为197821105--=，故86a 是整数.当92n =时，92361092200C 32a -=⋅⋅，在92200200!C 92!108!=中，同样可求得92!中因数2的个数为88，108!中因数2的个数为105，故86200C 中因数2的个数为197881054--=，故92a 不是整数.因此，整数项的个数为14115+=.故选：C.7．在直三棱柱111A B C ABC -中，1,12BAC AB AC AA π∠====，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）.若GD EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为A ．⎡⎣B ．1,25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎭D ．【正确答案】C【详解】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(0E ，1，1)2，1(2G ，0，1)，(F x ，0，0)，(0D ，y ，0)由于GD EF ⊥，所以210x y +-=，(0,1)x ∈，11(0,)22x y -+=∈，DF =当25y =时，线段DF 当0y =时，线段DF 长度的最大值是1而不包括端点，故1y =不能取；故选C ．8．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243【正确答案】B【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为22215()()339+=；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为49，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算ξ为2，4的概率，ξ为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.【详解】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮24(6)916()81P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选：B二、多选题9．已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据()1,2,,i x i m = 的平均数为x ，方差为2x s ；第二部分样本数据()1,2,,i y i n = 的平均数为y ，方差为2y s ，设22,x y x y s s ≤≤，则以下命题正确的是（）A ．设总样本的平均数为z ，则x z y ≤≤B ．设总样本的平均数为z ，则2z x y≥⋅C ．设总样本的方差为2s ，则222x ys s s ≤≤D ．若,m n x y ==，则2222x ys s s +=【正确答案】AD【分析】对于A 选项，因为x y ≤，由x y m nz m n m n=+++放缩可得x z y ≤≤；对于B 选项，举例说明B 不正确；对于C 选项，举例说明C 不正确；对于D 选项，若,m n x y ==，代入总体方差计算公式，可得2222x ys s s +=.【详解】对于A 选项，因为x y ≤，所以y m n m nz nx m n m y y y m n n m =+≤+=++++x m n m nz nx m n m y x x m n n m =+≥+=++++，即x z y ≤≤，A 正确；对于B 选项，取第一部分数据为1,1,1,1,1，则1x =，20x s =，取第二部分数据为3,9-，则3y =，236y s =，则2252121(13)37749x y z =⨯+⨯<=⋅=，B 不正确；对于C 选项，取第一部分数据为2,1,0,1,2--，则0x =，22x s =，取第二部分数据为1,2,3,4,5，则3y =，22y s =，则5530310102m z y m n n m n x ==⨯+⨯+=++，222222595917(2(2)21041()()044y x y m n s x z y z s s s m n m n ⎡⎤⎡⎤=+=+++=>=⎣-⎦⎣⎦++-++，C 不正确；对于D 选项，若,m n x y ==，则z x y ==22222222(()x y x y s s m n s y s s z m n m n x z +⎡⎤⎡⎤=+++-+-=⎣⎦⎣⎦+，D 正确.故选：AD.10．如图，ABCD A B C D -''''为正方体.任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（）A ．S 为定值B ．S 不为定值C ．l 为定值D ．l 不为定值【正确答案】BC【分析】作出辅助线，得到平面α，从而得到截面的周长为定值，举出例子得到面积不是定值.【详解】将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '-''后，得到一个以平行平面A BD '与D B C ''为上、下底面的几何体V ，在A B ''上取一点E '，作//B D E T '''，//A E S B ''，再作//TM A D '，//MR CD '，//QS B C '，则六边形E TMRQS '即为平面α，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ''剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '），显然11E E A A =''，故l 为定值.当E '位于A B ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 22，故S 不为定值.故选：BC11．已知函数()()lg 1f x x =+，实数a ，()b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，则（）A ．12+=+a bB ．()()121a b ++=C ．25a =-D ．1b =-【正确答案】BC【分析】根据题目给出的等式()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，代入函数解析式得到a 、b 的关系，从而判断出()10621f a b ++的符号，再把()106214lg2f a b ++=，转化为含有一个字母的式子即可求解．【详解】∵()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴()()11lg 1lg 1lg lg 222b a b b b +⎛⎫⎛⎫+=-+==+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴12+=+a b 或()()121a b ++=，又∵a b <，∴12a b +≠+，∴()()121a b ++=，故A 不正确，B 正确；又由()()lg 1f a a =+有意义知01a <+，从而0112a b b <+<+<+，于是0112a b <+<<+.所以()()()()10106211101626212a b a b b b +++=+++=++>+.从而()()()101010621lg 62lg 6222f a b b b b b ⎡⎤⎡⎤++=++=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦.又()106214lg2f a b ++=，所以()10lg 624lg22b b ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦，故()1062162b b ++=+.解得13b =-或1b =-（舍去）.把13b =-代入()()121a b ++=解得25a =-.所以25a =-，13b =-，故C 正确，D 不正确.故选：BC.12．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为()0n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论正确的是（）A ．数列{}n x 的通项公式为1n nx n =+B ．若数列42n y n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则222(1)n n nT n +=+C ．当*n ∈N时，2462n x x x x ⋅⋅⋅⋅< D ．当*n ∈N 时，()2ln ln n n n n n nx y x y x y -->+【正确答案】ABC【分析】设直线:(1)n n l y k x =+，方程联立由Δ0=，可得1n n x n =+，1n n n y n =+，从而可判断A ，B ；由2244441n n n n +<++，得221nn <+C ；举例即可判断D ，如4n =.【详解】设直线:(1)n n l y k x =+，联立2220x nx y -+=，得()()22221220n n n k x k n x k ++-+=，则由Δ0=，即()()222222410n n n k n k k ∆=--+=，得n k =所以可得211n n n n k n x k n -==++，()11n n n y k x n =+=+，故A 正确；()()()()22244222221111111nn n nn y n n n n n n +===-++++，所以()()2222222221111111112(1)22311n n nT n n n n =-+-++-=-++=++ ，故B 正确；对于C ，由1n nx n =+，得2221n n x n =+，因为2244441n n n n +<++，所以()()222221n n n +<+，所以()2212221nn n <++，所以()()222222121n n n n n n <=+++，所以221nn <+则24622423521n x x x x n n ⋅=⨯⨯⨯<⋅⋅⋅=+= 故C 正确；对于D，1n n nx n y =，因为*n ∈N ，所以213n +≥≥，所以03<≤，令()2ln ln n n n n n n x y x y x y ---+，即21ln 1n n n n nnx y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+，令()()214ln ln 2,113x g x x x x x x ⎛-=-=+-∈ ++⎝⎦，则()()()()2221140,0,311x g x x x x x x ⎛-'=-=>∈ ++⎝⎦，所以函数()g x在⎛ ⎝⎦上单调递增，由114ln 21013313g ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭+，得44444421ln 01x y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+，所以当4n =时，()2ln ln n n n n n nx y x y x y --<+，故D 错误.故选：ABC.关键点睛：本题考查圆的切线问题和数列不等式的证明问题，解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由Δ0=，得出1n n x n =+，211n n n y n =+，证明得到212n n -<比较2452n x x x x ⋅⋅⋅⋅.三、填空题13．直线210x y --=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒.则点C 的坐标为______.【正确答案】()1,2-或()9,6-【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()2,2C t t 由2210,4,x y y x --=⎧⎨=⎩得2840y y --=.则12128,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩①又1121x y =+，2221x y =+，则121218,1.x x x x +=⎧⎨=⎩②因为90ACB ∠=︒，所以，0CA CB ⋅= .故()()()()221212220t x t x t y t y --+--=.将方程组①、②代入上式并整理得42141630t t t ---=()()()213410t t t t ⇒++--=.显然，2410t t --≠.否则，22210t t -⨯-=.于是，点C 在直线210x y --=上，即点C 与A 或B 重合.所以，11t =-，23t =-.故所求点()1,2C -或()9,6C -.故答案为()1,2-或()9,6-14．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f =，且对任意x ∈R ，满足(2)()f x f x +-≤32x ⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则(2008)f =________【正确答案】200822007+由(2)()32x f x f x +-≤⋅可得(6)()632x f x f x +-≤⋅，从而可得(2)()32x f x f x +-=⋅.从而可求(2008)f 的值.【详解】因为(2)()32x f x f x +-≤⋅，故2(4)(2)32122x x f x f x ++-+≤⋅=⋅，+4(6)(4)32482x x f x f x +-+≤⋅=⋅，故(6)()(6)(4)(4)(2)(2)()f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-32122482632x x x x ≤⋅+⋅+⋅=⋅，而(6)()632xf x f x +-≥⋅，所以(6)()632x f x f x +-=⋅，所以(2)()32x f x f x +-=⋅，故()()()(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)200f f f f f f f f =-+-++-+L 2006200403232322008=⋅+⋅++⨯+L 1004200814320082200714-=⨯+=+-，故答案为.200822007+本题考查不等式的性质、等比数列的前n 和，注意利用夹逼的方法把不等关系转化为相等关系，本题属于较难题.15．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【正确答案】【详解】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C 面⊥，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD ==，从而43PO PD OD =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP，则2211PP PO OP =-==．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如图乙．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有113cos 262PM PP MPP =⋅==1226PE PA PM a =-=-小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为1PAB P EF S S ∆∆-223(26))4a a =--3263a =-又46a =124363183PAB P EFS S ∆∆-=-=由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用．16．如图，在78⨯的长方形棋盘的每个小方格中各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，则称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.则最少取出______个棋子才可能满足要求.【正确答案】11【分析】通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，然后构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠，最后得到答案.【详解】如果一个方格在第i 行第j 列，则记这个方格为(),i j .第一步通过反证法证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在()1,4、()1,5、()2,4、()2,5这些方格.同理()6,4、()6,5、()7,4、()75,这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()5,1、()5,2、()5,3所在区域，同理()3,6、()3,7、()3,8、()4,6、()4,7、()4,8、()5,6、()5,7、()5,8所在区域内至少取出3个棋子.这样在这些区域内至少已取出了10个棋子.因此在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾，故假设不成立，则若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.关键点睛：本题的关键是通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，然偶利用图形分析出取出固定标号的棋子，则无法五子连珠.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列.(1)若3cos 5B =，ABC 的面积为2，求ABC 的周长；(2)求sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围.【正确答案】(2)1122⎫-+⎪⎪⎝⎭【分析】（1）利用等比中项公式与三角形面积公式求得b =再利用余弦定理与完全平方公式求得a c +，从而得解；（2）结合题意，先化简所求得求公式q 的取值范围即可，利用三角形两边之和大于第三边得到关于q 的不等式组，从而得解.【详解】（1）因为a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =，又3cos 5B =，0πB <<，所以4sin 5B ==，所以ABC 的面积为2114sin 2225ABC S ac B b ⨯===△，故b =25ac b ==，由余弦定理2222222632cos 255b ac ac B a c a c =+-=+⨯⨯=+--，即22265611a c b +=+=+=，则()2222112521a c a ac c +=++=+⨯=，所以a c +=，故ABC的周长为a b c ++（2）设a ，b ，c 的公比为q ，则b aq =，2c aq =，而sin cos tan sin cos cos sin sin cos tan sin cos cos sin A A C A C A C B B C B C B C ++=++()()()()sin sin πsin sin sin πsin A C B B bq B C A A a+-=====+-，因此，只需求q 的取值范围即可.因a ，b ，c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此a ，b ，c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>.故有不等式组22a aq aq aq aq a ⎧+>⎨+>⎩，即221010q q q q ⎧--<⎨+->⎩，解得q q q <<⎨⎪><-⎪⎩，从而1122q <<，因此所求范围为⎫⎪⎪⎝⎭.18．已知数列{}n a 满足：()123R,1a t t t =-∈≠±，()()()1123211N 21n n n n nn t a t t a n a t +++-+--=∈+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0t >，试比较1n a +与n a 的大小.【正确答案】（1）()211n n t a n-=-，Nn +∈且1t ≠±；（2）1n n a a +>．【分析】（1）由已知可得()1121111121n n n n n n a a t a t t ++++-=+-+-，令11n nn a b t +=-求数列{}n b 的通项公式，即可求数列{}n a 的通项公式；（2）通过（1）作差()()1121(1)()...()1nn n n n n t a a t t t t t n n -+-⎡⎤-=-+-++-⎣⎦+，讨论01t <<、1t >判断1(1)()...()n n n n t t t t t --+-++-、1t -的符号，即可得结论．【详解】（1）原式可变形得：()()11211121n n n nn t a a a t ++-+=--+-，则()()11212111112121n n n n n n n n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-，记11n n na b t +=-，则122n n nb b b +=+，整理得1221n n b b +-=，又122(1)122t b t -==-，所以2{}n b 是首项、公比均为1的等差数列，则2n n b =，故2n b n=.所以()211n n t a n-=-，Nn +∈且1t ≠±．（2）由（1），作差可得：()()()2112111n n n n t a a nt t t t n n -+-⎡⎤-=-++++⎣⎦+，又()2111(1)()...()n n n n n n nt t t tt t t t t ---++++=-+-++- ，当01t <<时，1(1)()...()0n n n n t t t t t --+-++-<且10t -<；当1t >时，1(1)()...()0n n n n t t t t t --+-++->且10t ->综上，当0t >且1t ≠时，1t -与()211n n nt t t t -⎡⎤-++++⎣⎦同号，即1n n a a +>．19．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒，①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）①4；②当点P 在1C C 的延长线上，且使1CP C C =时，//BP 平面11DA C .【分析】（1）过射线PC 上一点H 作HM PC ⊥交PA 于M 点，作HN PC ⊥交PB 于N 点，连接，MN ，可得MHN ∠是二面角A PC B --的平面角．在MNP △中和MNH △中分别用余弦定理，两式相减变形可证结论；（2）①直接利用三面角定理（（1）的结论）计算；②连结1B C ，延长1C C 至P ，使1CP C C =，连结BP ，由线面平行的判定定理证明//BP 平面11DA C ．【详解】（1）证明：如图，过射线PC 上一点H 作HM PC ⊥交PA 于M 点，作HN PC ⊥交PB 于N 点，连接，MN则MHN ∠是二面角A PC B --的平面角．在MNP △中和MNH △中分别用余弦定理，得2222cos MN MP NP MP NP γ=+-⋅⋅，2222cos MN MH NH MH NH θ=+-⋅⋅，两式相减得22222cos 2cos 0MP MH NP NH MP NP MH NH γθ-+--⋅⋅+⋅⋅=，∴22cos 22cos MP NP PH MH NH γθ⋅⋅=+⋅⋅，两边同除以2MP NP ⋅，得cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（2）①由平面11AA C C ⊥平面ABCD ，知90θ=︒，∴由（1）得11cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠⋅∠，∵1cos 60A AC ∠=︒，cos 45BAC ∠=︒，∴1122cos 224A AB ∠=⨯=．②在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ．连结1B C ，延长1C C 至P ，使1CP C C =，连结BP ，在棱柱1111ABCD A B C D -中，11//A B AB ，//AB CD ，∴11//A B ，∴四边形11A B CD 为平行四边形，∴11//A D B C ．在四边形1B BPC 中，1//B B CP ，∴四边形1B BPC 为平行四边形，∴1//B C BP ，∴1//A D BP ，又1A D ⊂平面11DA C ，BP ⊄平面11DA C ，∴//BP 平面11DA C ．∴当点P 在1C C 的延长线上，且使1CP C C =时，//BP 平面11DA C ．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫()Demere 向另一位著名的数学家帕斯卡(.)B Pascal 提请了一个问题，帕斯卡和费马()Fermat 讨论了这个问题，后来惠更斯(.)C Huygens 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()*1,k k k N >∈局，谁便赢得全部赌注a 元.每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每局赌钱相互独立.在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌钱意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则赌钱意外终止的情况，甲、乙便按照赌钱再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注.（1）甲、乙赌钱意外终止，若2243,4,2,1,3a k m n p =====，则甲应分得多少赌注？（2）记事件A 为“赌钱继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4,2,1k m n ===时赌钱继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当45p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.【正确答案】（1）216元；（2）3()1(13)(1)f p p p =-+-，是，理由见解析.【分析】(1)设赌钱再进行X 局甲赢得全部赌注，甲必赢最后一局，最多再进行4局，甲、乙必有人赢得全部赌注，由此利用概率计算公式即可得解；(2)设赌钱再进行Y 局乙赢得全部赌注，同(1)的方法求出乙赢得全部赌注的概率，由对立事件可得()f p ，再利用导数求出()f p 的最小值作答.【详解】（1）设赌钱再继续进行X 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当2X =时，甲以4:1赢，所以224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当3X =时，甲以4:2赢，所以122228(3)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭，当4X =时，甲以4:3赢，所以2132224(4)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭，于是得甲赢得全部赌注的概率为48424892727279++==，所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元.（2）设赌钱继续进行Y 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当3Y =时，乙以4:2赢，3(3)(1)P Y p ==-，当4Y =时，乙以4:3赢，1333(4)(1)3(1)P Y C p p p p ==-=-，从而得乙赢得全部赌注的概率为333()(1)3(1)(13)(1)P A p p p p p =-+-=+-，于是甲赢得全部赌注的概率3()1()1(13)(1)f p P A p p =-=-+-，对()f p 求导得322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)f p p p p p p '=---+⋅--=-，因415p ≤<，即()0f p '>，从而有()f p 在4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，于是得min 4608()5625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，乙赢的概率()P A 最大值为6081710.02720.05625625-==<，所以事件A 是小概率事件.21．作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于A 、B 两点（如图），且(P 在直线l 的左上方.（1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60APB ∠=︒，求PAB ∆的面积.【正确答案】（1）见解析；（2）49【详解】（1）设()11,A x y 、()22,B x y ，直线1:3l y x m =+.①将式①代入椭圆C 的方程，并化简整理得22269360x mx m ++-=.则123x x m +=-，2129362m x x -=，PA k =PB k =故12213PAPByx y x k k-+--+=上式分子((12211133x m x x m x ⎛⎛=+--++- ⎝⎝(()121223x x m x x m =+-+-(()22936332m m m m -=⋅+----22312312m m =--+-+0=.从而，0PA PB k k +=.又点P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线.所以，PAB ∆的内切圆的圆心在直线x =.（2）若60APB ∠=︒，结合1的结论知PA k =PB k =将直线:PA l y x =-，代入椭圆C 的方程并消去y得(2141181330x x +-+-=.因为上式两根分别是1x、11314x -=.则)117PA x=-=.同理，)17PB =.故1sin602PABSPA PB ∆=︒=22．已知α，β是方程()24410R x tx t --=∈的两个不等实根，函数()221x tf x x -=+的定义域为[],αβ.(1)求()()()max min g t f x f x =-；(2)证明：对于()π0,1,2,32i u i ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，若123sin sin sin 1u u u ++=，则()()()123111tan tan tan g u gu g u ++<.【正确答案】(1))22251625++t t (2)证明见解析【分析】（1）由韦达定理得t αβ+=，14αβ=-，利用导数确定函数在区间[],αβ上的单调性．从而求得函数()f x 的最大值与最小值，最后写出()g t ；（2）先证：()2tan ,1,2,3169cos i ig u i u ≥=+，从而利用不等式证明结论即可．【详解】（1）已知α，β是方程()24410R x tx t --=∈的两个不等实根，∴t αβ+=，14αβ=-.故0α<，0β>.当1x ，[]2,x αβ∈时，∴()()()()()()()()()()22222222222211444441212221221111x xt x xt x x x t x xt f x x x x x ------+-----===<+'+++而当[],x αβ∈时，24410x tx --≤，于是()0f x ¢>，即()f x 在[],αβ上单调增.∴()()()()()()()()()()()22222222222121222211111t t t t t g t f f βααββααβαββαβαβααβαβαβ-+--+⎡⎤-+-+--⎣⎦=-==+++++++)2222525225162516t t t t ⎫+⎪+⎝⎭==++（2）()2228216324cos cos cos cos tan 1,2,316169cos 9cos iii ii i i i iu u u u g u u u ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==≥=++当且仅当1624cos cos i i u u =，即cos 3i u =时，等号成立；∴()()()()22212312311111639cos cos cos tan tan tan 166u u u g u g u g u ⎡⎤++≤⨯+++⎣⎦()222123759sin sin sin u u u ⎤=-++⎦而()22221231231sin sin sin sin sin sin 33u u u u u u ++⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即()2221239sin sin sin 3u u u ++≥，当且仅当1231sin sin sin 3u u u ===时等号成立，∴()()())123111753tan tan tan g u g u g u ++-由于等号不能同时成立，故得证，所以()()()1231113tan tan tan 4g u g u g u ++.易错点睛：本题主要考查函数与不等式的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)求导确定函数单调性时，注意结合一元二次方程的根与不等式关系；(2)多次利用基本不等式时，注意去等条件是否均成立.。

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故πsin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AE EC λ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．710e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ=，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,710e e ≤≤≤≤710e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221xy a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A 【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99i x x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(i i i i x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147y x =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= .19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v 小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y 有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m m y y m m +=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。

上海市杨浦区2023届高三下学期高考模拟（二模）数学试题一、单选题1．（2023·上海杨浦·统考二模）已知a 、b ∈R ，则“a b >”是“33a b >”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．（2023·上海杨浦·统考二模）对成对数据()11,x y 、()22,x y 、…、(),n n x y 用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）A ．()10ni i y y =-=∑B ．µ()10ni i i y y =-=∑C ．µ()1n i i i y y =-∑最小D ．µ()21ni i i y y =-∑最小3．（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0∞-上严格递减的是（ ）A ．2xy =B ．()ln y x =-C ．23y x-=D．y =4．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是（ ）ABC ．2D ．32二、填空题5．（2023·上海杨浦·统考二模）集合{}2230A x x x =--=，{}24,B x x x =≤≤∈R ，则A B =I______6．（2023·上海杨浦·统考二模）复数34i34i+-的虚部是______7．（2023·上海杨浦·统考二模）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.8．（2023·上海杨浦·统考二模）设()55435431021x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a =______9．（2023·上海杨浦·统考二模）函数()ln 23y x =-的导数是y '=______10．（2023·上海杨浦·统考二模）若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为______11．（2023·上海杨浦·统考二模）由函数的观点，不等式3lg 3x x +≤的解集是______12．（2023·上海杨浦·统考二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分13．（2023·上海杨浦·统考二模）ABC V 内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b ，π3A ∠=，则B ∠=______14．（2023·上海杨浦·统考二模）若1F ､2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线的离心率为________.15．（2023·上海杨浦·统考二模）若存在实数ϕ，使函数()()()1cos 02f x x ωϕω=+->在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______16．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足5a =r ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b r的最小值是______三、解答题17．（2023·上海杨浦·统考二模）已知一个随机变量X 的分布为：6789100.10.20.3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)已知()435E X =，求a 、b 的值；(2)记事件A ：X 为偶数；事件B ：8X ≤.已知()12P A =，求()P B ，()P A B ⋂，并判断A 、B 是否相互独立？18．（2023·上海杨浦·统考二模）四边形ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于O 点，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P BC A --的大小为45︒.(1)求点A 到平面PBD 的距离；(2)求直线AC 与平面PCD 所成的角.19．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，某国家森林公园的一区域OAB 为人工湖，其中射线OA 、OB 为公园边界.已知OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，以OB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线AB 的轨迹方程为：()2402y x x =-+≤≤.计划修一条与湖边AB 相切于点P 的直路l （宽度不计），直路l 与公园边界交于点C 、D 两点，把人工湖围成一片景区OCD V .(1)若P 点坐标为()1,3，计算直路CD 的长度；（精确到0.1千米）(2)若P 为曲线AB （不含端点）上的任意一点，求景区OCD V 面积的最小值.（精确到0.1平方千米）20．（2023·上海杨浦·统考二模）已知椭圆()2222:1043x y C a a a +=>的右焦点为F ，直线:40l x y +-=.(1)若F 到直线l 的距离为a ；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且ABO V 的面积为487，求a ；(3)若椭圆C 上存在点P ，过P 作直线l 的垂线1l ，垂足为H ，满足直线1l 和直线FH 的夹角为π4，求a 的取值范围.21．（2023·上海杨浦·统考二模）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .(1)写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；(2)判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；(3)n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.参考答案：1．C【分析】利用函数3()f x x =在R 上单调递增即可判断出结论.【详解】()3,f x x x =∈R Q 是奇函数且为递增函数，所以a b >，则()()f a f b >，即33a b >，同理，33a b >，则()()f a f b >，函数单调递增，得a b >；∴ “a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.2．D【分析】由最小二乘法的求解即可知.【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D 3．A【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案.【详解】由22x x -=且x ∈R ，故2x y =为偶函数，在(),0∞-上2xy -=递减，A 符合；由()ln y x =-的定义域为(),0∞-，故为非奇非偶函数，B 不符合；由23y x -==(,0)(0,)-∞+∞U ，=，故23y x -=为偶函数，在(),0∞-上递增，C 不符合；由y =R ，=，故为偶函数，在(),0∞-上递增，D 不符合.故选：A 4．B【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心O 到点P 的距离.【详解】如上图正四棱锥P ABCD -，H 为底面中心，O 为球心，E 为球体与PD 的切点，又π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，故P ABCD -各侧面均为等边三角形，若侧面三角形边长为a，则HD =，PD a =，1OE =，显然Rt △PHD ~Rt △PEO，故HD OE PD OP ==OP =.故选：B.5．{}3【分析】根据一元二次方程化简集合A ,由集合的交运算即可求解.【详解】由{}2230A x x x =--=得{}3,1A =-，所以{}3A B ⋂=，故答案为：{}36．2425##0.96【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】因为()()()()34i 34i 34i 34i 34i 347+24i 25i -==+++--+，所以虚部为2425.故答案为：24257．10n a n =-##10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出1a d 、，即可得到通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：191a d =⎧⎨=-⎩，所以()1110n a a n d n =+-=-.故答案为：10n a n =-.8．80【分析】先写出()521x +的二项展开式的通项，再求出3a 即可.【详解】()521x +的二项展开式的通项：()()555155C 22C 0,1,2,3,,145rr rr r rr T x x r ---+===，故33522C 81080a ==⨯=．故答案为：80.9．332x -【分析】根据复合函数求导法则进行求导即可.【详解】因为()ln 23y x =-，所以()()113233232332y x x x x ''=⨯-=⨯-=---.故答案为：332x -.10．12π【分析】圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，则侧面积为12ππ15π2S r l rl =⨯⨯==，再结合2216l r =+，可得r 的值.然后根据椎体体积公式13V Sh =计算即可.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，有22π15π16rl l r =⎧⎨=+⎩，解得：35r l =⎧⎨=⎩.211π12π,33V Sh r h ==⨯⨯=故答案为： 12π.11．(]0,1【分析】构造()3lg 3xf x x =+-可得()f x 为单调递增函数，有()10f =即可求解.【详解】令()3lg 3xf x x =+-，由于3,lg x y y x ==均为单调递增函数，因此()f x 为()0,∞+上的单调递增函数，又()10f =，故()0f x ≤的解为(]0,1，故答案为：(]0,112．107【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.【详解】由直方图知：平均成绩为(950.031050.041150.0151250.011350.005)10107⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分.故答案为：10713．π4##45o 【分析】利用正弦定理及大边对大角即可求解.【详解】因为3a =，b π3A ∠=，由正弦定理得sin sin b AB a∠∠===所以π4B ∠=或3π4B ∠=.由b a <，得B A ∠<∠,所以0π3B <∠<，所以π4B ∠=.故答案为：π4.14【分析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF1|=2a ，|AF2|=4a ，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知22||||||AB BF AF ==，A 为双曲线上一点，21||||2AF AF a ∴-=，B 为双曲线上一点，则 12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==，∴21||||24,AF AF a a =+=由0260ABF ∠=，则12120F AF ︒∠=，已知12||2F F c =，在△F 1AF 2中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，得c 2=7a 2，则e 2＝7⇒e【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a ，c 的值，这时可将ca或b a 视为一个整体，把关系式转化为关于c a 或ba的方程，从而得到离心率的值.15．15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用cos y x =的图像与性质，直接求出函数()f x 的零点，再利用题设条件建立不等关系ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+--+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，从而求出结果.【详解】因为()()()1cos 02f x x ωϕω=+->，由()0f x =，得到()1cos 2x ωϕ+=，所以π2π(Z)3x k k ωϕ+=+∈或π2π(Z)3x k k ωϕ+=-+∈，所以π2π3(Z)k x k ϕω-+=∈或π2π3(Z)k x k ϕω--+=∈，又因为存在实数ϕ，使函数()f x 在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，所以7π5π2π2π332πk k ϕϕωω-+-+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，即2π32πω≤且10π32πω>，解得1533ω≤<.故答案为：1533ω≤<16【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图AC a =u u u r r ，AD b u u u r r =，AB c =u u u r r ，则b a CD -=u u u r r r ，c a CB -=u u rr r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=u u u r u u r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有1122OC BD b c ==-r r，而12OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC+≥则11522b c b c a ++-≥=r r r rr ，所以10b c b c ++-≥r r r r ，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c r r向量的夹角为θ，则b +=r ，同理b -r ，由10b c b c ++-≥r r r r10≥，则225b ≥==r ，当cos 0θ=，即b c ⊥r r时取等号，，即b r的最小值是【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式10b c b c ++-≥r r r r，进而利用数量积求模长.17．(1)0.1a =，0.3b =；(2)()0.5P B =，()0.3P A B ⋂=，事件A 与B 不相互独立.【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；（2）由()12P A =及分布列的性质求出a 、b ，进一步求出()P B ，()P A B ⋂，利用两个事件相互独立的定义判断即可.【详解】（1）由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.4a b +=，又()60.1780.290.310E X a b=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯60.17(0.4)80.290.310b b =⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯437.738.65b =+==，解得0.3b =，所以0.40.1a b =-=，即0.1a =，0.3b =；（2）由题意，()10P X b ==，又事件A ：X 为偶数，所以()()()()168100.10.22P A P X P X P X b ===+=+==++，所以0.2b =，由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.2a =，又事件B 为8X ≤，所以()()()()6780.10.20.20.5P B P X P X P X ==+=+==++=，所以()()()680.10.20.3P A B P X P X ⋂==+==+=，因为()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 与B 不相互独立.18．(2)π6【分析】（1）建立空间直角坐标系，设PA a =，利用空间向量法及二面角P BC A --的大小求出a 的值，再求平面PBD 的法向量n r ，根据点A 到平面PBD 的距离AP n d n⋅=u u u r r r 求解即可；（2）先求出平面PCD 的法向量，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,,AP AB AD 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，设PA a =，0a >，则()0,0,P a ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，()0,1,0D ，所以()1,0,PB a =-u u u r ，()0,1,0BC =u u u r ，()1,0,0AB =u u u r ，设平面PBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，则1111100n PB x az n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，取()1,0,1n a =u r ，取平面BCA 的法向量()20,0,1n =u u r ，因为二面角P BC A --的大小为45︒，所以12cos ,n n =u r u u r ，解得1a =，即()0,0,1P ，所以()1,0,1PB =-u u u r ，()0,1,1PD =-u u u r ，()0,0,1AP =u u u r ，设平面PBD 的法向量()000,,n x y z =r ，则000000n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()1,1,1n =r ，所以点A 到平面PBD的距离d =（2）由（1）得()()()1,1,1,0,1,1,1,1,0PC PD AC =-=-=u u u r u u u r u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,m x y z =u r ，则00m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()0,1,1m =u r ，设直线AC 与平面PCD 所成的角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin cos ,2m AC m AC m ACθ⋅====u r u u u r u r u u u r u r u u u r ，所以直线AC 与平面PCD 所成的角为π6.19．(1)5.6km(2)26.2km 【分析】（1）根据导数与切线的关系求解即可；（2）利用切线方程与导数的关系求出点P 处的切线方程，从而表示出OCD V 的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解.【详解】（1）因为()2402y x x =-+≤≤，所以2y x '=-，所以1|2x y ='=-，所以由点斜式可得32(1)y x -=--，即25y x =-+，令0x =，解得5y =，令0y =，解得52x =，所以5(0,5),(,0)2C D5.6km =≈.（2）设2(,4),02P t t t -+<<，则由（1）可知|2x t y t ='=-，所以CD 的直线方程为242()y t t x t +-=--，整理得224y tx t =-++，令0x =，解得24y t =+，令0y =，解得242t x t +=，所以22314116(4)(8224OCD t S t t t t t+=⨯+⨯=++△，设3116()(8),024f t t t t t=++<<，4222222211613816(34)(4)()(38)444t t t t f t t t t t+--+'=+-=⨯=，令()0f t '>，即2340t ->2t <<，令()0f t '<，即2340t -<，解得0t <<所以函数()f t在⎛ ⎝单调递减，2⎫⎪⎪⎭单调递增，所以32min1()8 6.2km4f t f⎡⎤⎢==+=≈⎢⎢⎢⎣.所以景区OCDV面积的最小值为26.2km.20．(1)8a=(2)2a=(3)a≥4a≠【分析】（1）由椭圆方程得右焦点为(,0)F a，再根据已知条件及点到直线的距离公式求解即可；（2）联立直线与椭圆方程，先由韦达定理及弦长公式求AB，点到直线的距离公式求O到直线l的距离h，再根据三角形面积公式求解即可；（3）分4a=和4a≠两种情况讨论，易知4a=不合题意，当4a≠时，根据题意可得直线FH 的方程为0y=或x a=，代入l方程可求H点坐标，从而可求直线1l的方程，联立1l与椭圆方程，利用0∆≥即可求出a的取值范围．【详解】（1）因为()2222:1043x yC aa a+=>，所以右焦点为(,0)F a，又因为:40l x y+-=，所以F到直线l的距离d8a=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，由22221434x ya ax y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2273264120x x a-+-=，所以223228(6412)0a∆=-->，即2167a>，且1221232764127x xax x⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩，==，又因为O 到直线l 的距离为h 所以ABO V 的面积为118482277ABO S AB h =⋅=⨯==V ，解得2a =满足2167a >，所以2a =；（3）若4a =，则直线l 经过点F ，此时直线1l 和直线FH 的夹角为π2（舍去），若4a ≠，由直线1l 和直线FH 的夹角为π4，且11l k =得，直线FH 的方程为0y =或x a =代入:40l x y +-=得(4,0)H 或(,4)H a a -，所以直线1l 的方程为4y x =-或(4)y a x a --=-代入椭圆方程得2273264120x x a -+-=或()()2273216464640x a x a a +-+-+=，由2148(716)0a ∆=-≥或2248(3+1616)0a a ∆=-≥解得a ≥a ≥，综上得的取值范围为a ≥4a ≠．21．(1)答案见解析；(2)不存在，理由见解析；(3)51【分析】（1）根据题意得21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再直接求解即可；（2）根据21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再证明3n n a a +≥，*n ∈N 即可证明结论‘；（3）根据21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②得对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=可得1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，进而得10051c ≥，再根据特例说明10051c =即可得答案.【详解】（1）解：由12n n n a a a ++=-得12n n n a a a ++-=-或12n n n a a a ++=-，所以21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，因为足13a =，27a =，所以310a =或34a =，所以，当310a =时，417a =或43a =；当34a =时，411a =或43a =-因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以43a =-舍，所以，数列{}n a 前4项的所有可能取法有13a =，27a =，310a =，417a =或13a =，27a =，310a =，43a =或13a =，27a =，34a =，411a =.（2）解：不存在，下面证明：因为12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，当21n n n a a a ++=+时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以32121n n n n n n n a a a a a a a +++++=+>=+>，即3n n a a +>或321n n n n a a a a +++=-=，所以3n n a a +≥；当21n n n a a a ++=-时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以210n n n a a a ++=->，即1n na a +>所以3211n n n n n a a a a a ++++=+>>或3210n n n n a a a a +++=-=-<（舍），综上，3n n a a +≥，*n ∈N 所以3213k a a -≥=，3127k a a -≥=，334k a a ≥=.综上，不存在正整数k ，满足1k a =.（3）解：由12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②，对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，只有满足1n n a a +>时，才可以使用②递推；若21n n n a a a ++=-，显然21n n a a ++<，下次只能用①递推，即321n n n a a a +++=+所以，②不能连续使用.记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=若21221k k k a a a +-=+，则1k k b b +>；若21221k k k a a a +-=-，则22212221k k k k k a a a a a ++-=+>>，所以1k k b b +>，所以1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，所以，12100,,,a a a L 中至少有122350,,,,,a a b b b L 共51项，即10051c ≥.举例如下：1212,(,(n n n n n a a n a a a n ----+⎧=⎨-⎩为奇数）为偶数）所以{}:3,7,10,3,13,10,23,13,36,23n a L L ，此时10051c =，所以，100c 的最小值为51.【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=推理得到1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，10051c ≥，进而结合题意说明最小值可以取到51即可.。

高三理科数学全国1卷高考模拟试题（2）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1．若集合(){}(){}22|40,|log 1A x x x B x x x =-≤=->，则AB =A ．(]2,4B ．[]2,4C ．()[],00,4-∞D ．()[],10,4-∞-2．设i 是虚数单位，复数iia +-1为纯虚数，则实数a 的值为 A ．1 B ．1- C ．21D ．2-3．下列函数)(x f 中，满足“对任意的),0(,21+∞∈x x 时，均0)]()()[(2121>--x f x f x x ”的是A ．xx f ）（21)(= B.44)(2+-=x x x f C.()2f x x =+ D.x x f 21log )(= 4．已知定义在R 上的函数()f x 有导函数()f x '，则“0()0f x '=”是“0x x =为函数()f x 极值点”的A ．充分但不必要条件B ． 必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为 A ．35- B ．45- C ．35 D.456.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ,若2a =,2A B =,则cos B 等于A.65B.35C.45D.557．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是A ．2cm 2B cm 3C ．3D ．3cm 38．函数xa x f =)(与)1(log )(>=a x x g a 的图像交点个数为A.没有交点B.一个交点C. 两个交点D.以上都不对 9.已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3,则点M 到x 轴的距离为 A.12B. 1C. 2D. 4 10．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是A ．4B ．8C ．12D ．16 11．已知0x >，由不等式221442,3,22x x x x x x x +≥=+=++≥我们可以得出推广结论：()1n ax n n N x++≥+∈，则a =A ．2nB ．2n C ．3n D ．nn12．已知函数()()()()22sin 23410f x x x x R f y y f x x =+∈-++-+≤，且，则当1y ≥时，11x y x +++的取值范围是A ．57,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．57,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦一、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量(1,2)a m =，(1,1)b m =+，若0a b ⋅=，则m =_____________. 14. 已知函数11x y a+=-(01)a a >≠且恒过定点M ，则定点M 的坐标为______________15.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是_______________ 16．以下四个命题：①若函数xy e mx =- ()m R ∈有大于零的极值点，则实数1m >；②命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；Y 输出i i=1④已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则a b 的值为-2或23-. 其中真命题的序号为_____________(写出所有真命题的序号)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()...,2,112=-=n a S n n . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()2,...,2,111==+=+b n b a b n n n ，求数列{}n b 的通项公式.18．（本小题满分12分）网店为促销，拿出A,B,C 三件商品进行抢拍。

重庆市2024届高三下学期高考数学模拟试题（二模）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．─、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等差数列满足，，则（ ）{}n a 134a a +=48a =3a =A ．4B ．5C ．6D ．72．已知集合，，若，则a 的取值范{}2230A x x x =-->()(){}20B x x a x =-+<A B =R 围为（ ）A ．B ．()3,+∞[)3,+∞C ．D ．()1,3-(),1-∞-3．2023年10月4日，在杭州亚运会跳水男子10米台决赛中，中国选手杨昊夺得金牌．中国跳水队包揽杭州亚运会跳水项目全部10枚金牌．跳水比赛的评分规则如下，7位裁判同时给分，去掉两个最高分，去掉两个最低分，剩下的3个分数求和再乘以难度系数，就是该选手本轮的得分，下表就是杨昊比赛中的第一轮得分表，则（ ）1号裁判2号裁判3号裁判4号裁判5号裁判6号裁判7号裁判难度系数本轮得分a 9.59.010.09.510.010.0 3.292.80A ．这7个数据的众数只能是10.0B ．这7个数据的中位数只能是9.0C ．a 可能是10.0D ．a 可能是9.54．已知双曲线的方程为，则不因m 的变化而变化的是（ ）()2255R,0mx my m m -=∈≠A ．顶点坐标B ．渐近线方程C ．焦距D ．离心率5．已知角θ满足，则（ ）1tan 2024tan θθ+=sin 2θ=A ．B ．C ．D ．15061101212024140486．已知球O 的半径为2cm ，平面α截球O 产生半径为1cm 的圆面，A ，B ，C ，D 均在圆O '面的圆周上，且为正四棱锥，则该棱锥的体积为（ ）O 'O ABCD -A ．B ．C ．D ．33cm 3323cm 333cm 323cm 7．已知函数，其中是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是()sin x f x x =,A B ABC （ ）A ．B ．()()sin sin f A f B >()()cos cos f A f B >C ．D ．()()cos sin f A f B >()()sin cos f A f B >8．设，，，则（ ）2024log 2023a =2023log 2022b =0.2024log 0.2023c =A ．B ．c<a<b b<c<aC ．D ．b a c<<a b c <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9．已知z 为复数，，则（ ）2122i z =-z =A ．B ．2iz =+2i z =-C ．D ．2iz =-+2i z =--10．已知定义在R 上的奇函数满足：，则（ ）()f x ()()()21f x f x f +=+-A ．B ．()10f =13022f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()()4f x f x +=-()12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭11．记数列的前n 项和为，则下列说法错误的是（ ）{}n a n S14．已知函数()(1sin cos 02f x a x x a =+>距离为，若，25π+x ∀∈R ()()0f x f x ≥四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为ABC ．2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1)求角A 的大小；(1)证明：；2PM BM =(1)求椭圆C 的方程；4MF NF +(2)设集合．元素个数为2的集合M 为的子集，(){}{}7127,,,|0,1,1,2,,7i U a a a a i =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅7U 且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M 为“的优集”．证明：7A U ∈B M ∈()3d AB ≤7U “的优集”M 存在，且M 中两不同点的“距离”是7．7U1．B【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解.{}n a d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，因为，，{}n a d 134a a +=48a =可得，解得，所以.1112438a a d a d ++=⎧⎨+=⎩11,3a d =-=31235a =-+⨯=故选：B.2．A【分析】根据不等式的解法，求得或，分类讨论求得集合，结合{|1A x x =<-3}x >B ，利用集合的运算，即可求解.A B =R 【详解】由不等式，解得或，所以或，2230x x -->1x <-3x >{|1A x x =<-3}x >又由不等式，()()20x a x -+<当时，不等式解集为空集，不满足，不符合题意，舍去；2a =-A B =R 当时，解得，即，2a <-2a x <<-{|2}B x a x =<<-此时不满足，不符合题意，舍去；A B =R 当时，解得，即，2a >-2x a -<<{|2}B x x a =-<<要使得，则满足，A B =R 3a >综上可得，实数的取值范围为.a (3,)+∞故选：A.3．D【分析】根据评分规则，结合众数、中位数的定义进行求解即可.【详解】当时，由题意可知：，符合题意，此时众数为09.5a ≤≤()109.59.5 3.292.8++⨯=10或（此时），中位数为9.5，因此选项AB 不正确，D 正确；9.59.5a =当时，由题意可知：，舍去，因此选项C 不正9.510a <≤()109.5 3.292.89.5a a ++⨯=⇒=确，故选：D4．B【分析】根据题意，分与讨论，结合双曲线的标准方程代入计算，即可判断.0m >0m <【详解】将双曲线方程化为标准式可得，22115x y m m -=当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，0m >22115x y m m -=x 且，222156,,a b c m m m ===此时顶点坐标为，渐近线方程为，1,0m ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭5y x =±焦距，离心率；262c m =221156b e a =+=+=当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，0m <22115x y m m -=y 且，222516,,a b c m m m =-=-=-此时顶点坐标为，渐近线方程为，5,0m ⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭5y x =±焦距，离心率；262c m =-221301155b e a =+=+=综上可得，不因m 的变化而变化的是渐近线方程.故选：B5．B【分析】切化弦，得到，利用正弦二倍角公式求出答案.4s 2in 1cos 20θθ=【详解】，221sin cos sin cos 1tan 2024tan cos sin sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++=+===故，4s 2in 1cos 20θθ=则.21sin 22sin cos 20241012θθθ===故选：B6．B【分析】画出图形根据球的半径和截面圆的半径即可求出，根据四棱锥的体积公式求出OO '体积。