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一、曲线运动的发生条件F 合外力方向与速度方向不在一直线二、曲线运动的特点速度方向一定变化切向力改变速度大小法向力改变速度方向v F nF t 三、求解曲线运动问题的运动学基本方法矢量的合成与分解微元法♠质点的瞬时加速度定义为0lim t v a t ∆→∆=∆A v B v ∆n v ∆t v ∆0lim n n t v a t ∆→∆=∆0lim t t t v a t ∆→∆=∆为求一般的做曲线运动质点在任一点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度a n 与切向加速度a t ．OA 点曲率圆ρn A v v AB ρ∆=n A v v AB t t ρ∆⋅=∆⋅∆0lim An t a ∆→= 0lim A t v AB t ρ∆→⋅=⋅∆2n v a ρ=A 点曲率圆半径0lim t t t v a t ∆→∆=∆aB在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为v 0，试求船在离岸边s 距离处时的速度与加速度的大小各为多少？专题7-例1依据实际运动效果分解船的运动：v 0A v v n h s θv t 船及与船相系的绳端A 的实际运动是水平向左的，这可看作是绳之A 端一方面沿绳方向向“前方”滑轮处“收短”，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实际速度v 分解成沿绳方向“收短”的分速度v n 和垂直于绳方向的转动分速度v t ;注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速率v 0也就是绳端A 点沿绳方向移动速率v n :由图示v 、v t 、v n 矢量关系及位置的几何关系易得：0n v v =00cot t h v v v s θ==0sin v v θ=则220h s v s =+求船的速度续解θ求船的加速度在一小段时间Δt 内,船头位置从A 移A ′，绳绕滑轮转过一小角度Δθ→0:A v v 0θv t A 'θv 'v 0t v 'θ∆()0sin v v θθ'=-∆θθ-∆读题()011sin sin v v θθθ⎛⎫∆=- ⎪ ⎪-∆⎝⎭由加速度定义得：0lim t v a t ∆→∆=∆0cos tan cos t h h t v v θθθθθ⎛⎫⋅∆ ⎪⋅∆⎝⎭∆==由几何关系得：cos h θθ⋅∆()00011sin sin lim tan cos v a h v θθθθθθθ∆→⎛⎫- ⎪ ⎪-∆⎝⎭=⋅∆则()()200sin sin cos lim tan sin sin v h θθθθθθθθθθ∆→--∆=⋅∆⋅-∆⋅()200cos sin cos 22lim tan sin sin 2v h θθθθθθθθθθ∆→∆∆⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=∆⋅-∆⋅230cot v h θ=2203v h s =320v h h s ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动．每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度a t 与法向加速度a n ，前者反映质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢．如图所示，质点从O 点由静止开始沿半径为R 的圆周做速率均匀增大的运动，到达A 点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s 所对的圆心角为β，试确定α与β间的关系．专题7-例2v A a A O βs αa t a n 由题给条件22t n a t a R =则222,A n t a a s v Rt==而()22,A t v a t s R β==2n t t a a t a R ⇒=222st t R =2β=tan n t a a α=又tan 2αβ=如图所示，质点沿一圆周运动，过M 点时速度大小为v ，作加速度矢量与圆相交成弦MA =l ，试求此加速度的大小．将M 点加速度沿切向与法向进行分解!v a M A l O a t a n 法向加速度2sin n v a a R α==α22a v l =sin =2而l R αα2sin v a R α=如图所示，曲柄OA 长40 cm,以等角速度ω=0.5rad/s 绕O轴反时针方向转动．由于曲柄的A 端推动水平板B 而使滑杆C 沿竖直方向上升，求当曲柄与水平线夹角θ=30°时，滑杆C 的加速度．杆A 与B 板接触点有相同沿竖直方向的加速度!杆上A 点加速度2A a l ω=⋅O A BC ωθa Aa Ay a C 20.05m/s B a =21sin 2Ay A a a l θω==⋅θ此即滑杆C 的加速度C Aya a =代入数据得滑杆C 的加速度有一只狐狸以不变的速度v 1沿着直线AB 逃跑，一猎犬以不变的速率v 2追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD ＝L ，如图．试求此时猎犬的加速度的大小．设Δt 时间内，v 2方向变化Δθ, Δθ→0时:F L AB D A 'B 'v 1v 2v 2v∆1v t ⋅∆v 21tan v t Lθθ⋅∆∆=→∆θ∆θ∆由加速度定义，猎犬加速度0lim t v a t ∆→∆=∆20lim t v t θ∆→⋅∆=∆12a v v L=赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在0.1 s 内速度由10.0m ／s 加大到10.5 m ／s ，那么该赛车在半径为30 m 的环形公路段行驶中，要达到同样大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不可能增大到超过10 m/s ？（公路的路面是水平的）直线加速时车的加速度:20005m/s t v v a t -==在环形公路上，法向加速度2t n v a R =0t t v v a t -=切向加速度2220n t a a a +=代入数据4210.50.2525900t +=0.15t 200m v a R =当轨道半径令法向加速度大小等于a 0:无切向加速度，赛车速率不会增加m 20m R =质点沿半径为R 的圆周运动，初速度的大小为v 0．在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T 质点的速度v ．设速率从v 0增加,取运动过程中第i 个极短时间Δt ，由题意有本题用微元法210lim i i i it i v v v t R -∆→-=∆121lim lim i nii i t n i iv vT t R v-∆→→∞=-=∆=∑∑则1111lim nn i i i R v v →∞=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑01121111111 n R v v v v v v -⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭111lim ni i n i i iv v R v v -→∞=--=∑011R v v -=⎛⎫ ⎪⎝⎭0Rv R v v T-=若速率从v 0减小, 有0Rv R v v T+=y质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起转动两者之合运动．如图所示，圆盘半径为R ，以角速度ω绕盘心O 转动，一质点沿径向槽以恒定速度u 自盘心向外运动，试求质点的加速度．专题7-例3AO 本题讨论中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成u 设某一瞬时质点沿槽运动到与O 相距r 的位置A BxOAu ωrB '()r u t ω+⋅∆tω∆经Δt 时间，质点沿槽运动到与盘心O 相距r +uΔt 的位置B ，盘转过了角度ωΔt ，故质点实际应在位置B ′ω在Δt 时间内，质点沿y 方向速度增量为()cos sin yv u t r u t t u ωωω⎡⎤∆=∆-+∆∆-⎣⎦在Δt 时间内，质点沿x 方向速度增量为()sin cos x v u t r u t t rωωωω⎡⎤∆=∆++∆∆-⎣⎦注意到Δt →0时cos 1t ω∆→sin t tωω∆→∆()2t ∆→续解0lim yAy t v a t ∆→∆=∆读题()0lim t u r u t t u tωω∆→⎡⎤-+∆∆-⎣⎦=∆2rω=-0lim xAxt v a t ∆→∆=∆()0lim t r u t u t r tωωω∆→+∆+∆-=∆2uω=()224A r a uωω+=方向与x 成1tan2ruωα-=2rω2uω牵连加速度Aa α相对中介参考系的加速度a 相对牵连加速度牵连2a r ω=2a uω=科yx OAω由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而产生的，方向指向u 沿ω方向转过90°的方向返回试手如图所示,一等腰直角三角形OAB 在其自身平面内以等角速度ω绕顶点O 转动，某一点M 以等相对速度沿AB 边运动，当三角形转了一周时，M 点走过了AB ，如已知AB ＝b ，试求M 点在A 时的速度与加速度．求质点的速度OA BMω引入中介参照系-三角形OAB 质点对轴O 的速度（相对速度）三角形A 点对轴的速度（牵连速度）质点对轴O 的速度（绝对速度）v M 2A v b ω=⋅2MA b v ωπ=v MAv A?M A MAv v v =+ 三速度关系为v M22222222cos 4524Mb b v b b ωωωωππ=++⋅⋅︒4528412b ωπππ+=+方向与AB 夹角12tan21παπ-=+α续解求质点的加速度a a a a M MA A =++科相对中介参考系的加速度0MA a =牵连加速度22b a ωωπ=⋅科22A a b ω=OA BMωa Aa 科a M()()222222222cos4522M b b a bb ωωωωωωππ⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221b ωπππ+=+方向与AO 夹角11tan21βπ-=+β规律曲线运动轨迹的曲率♠曲线的弯曲程度用曲率描述曲线上某点的曲率定义为s∆α0limt K sα∆→∆=∆圆周上各点曲率相同:Rαα1K R Rαα∆==⋅∆曲线上各点对应的半径为该点曲率倒数1/K 的圆称为曲率圆,该圆圆心称曲线该点的曲率中心!M 1用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径,已知长半轴与短半轴为a 和b .专题7-例4θ设质点在M 平面内沿椭圆轨道以速率v 运动，这个运动在M 1平面的一个分运动轨道恰成半径为b 的圆，则两平面间夹角1cosba θ-=对椭圆长轴端的A 点:A 1a A 12A Ava ρ=对A 点投影A 1点:21A va b =1cos A A A b a a a a θ==⋅又2A b aρ=椭圆短轴端B 点的曲率半径由B 1v vMA a AB va Ba B()22cos B B v v a b θρ==2Babρ=用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径.专题7-例5y xOp2p 22y px=设质点以速度v 0做平抛运动平抛规律0212x v ty gt =⎧⎪⎨=⎪⎩在中消去t 得222v s hg=shO 22y p x =vv 2h v gh=θPgθ对轨迹上的P 点:2cos v g θρ=式中2202v v gh =+020cos 2v v ghθ=+220022v ghv g g v hρ=⋅++2200,2v v g g ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()3222v gh gv +=32202021gh v v g ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭=3221x p p g⎛⎫+⎪⎭=22P pρ=抛物线上x=p /2点P试手旋转半径为r 、螺距为h 的等距螺旋线，曲率半径处处相同．试用运动学方法求解曲率半径ρ值．设物体以v 0做匀速率的圆周运动、同时以v h 沿垂直于v 0方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有02hr hv v π=设螺旋线上任一点的曲率半径为ρ则20n v a r=22020hv vr v ρ+=22214h r r π⎛⎫+ =⎪⎝⎭v hv 220hv v ρ+=hr受恒力作用力与初速度垂直轨迹为半支抛物线匀变速曲线运动vx◎物体在时刻t 的位置()20222100121,tan22s s v t h gtgt x v t gt s v θ-==⎛⎫=+= ⎪⎝⎭方向与成shsθ◎物体在时刻t 的速度()022100,tans h v v v v gtgt v v gt v v θ-===+=方向与成0v hv 0v vθ水平方向匀速运动与竖直方向自由落体运动的合成返回0sin2cos v t g θθ=22sin 2cos H v g θθ=平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!Hθxyv 0g2tan v gθ=空中飞行时间距斜面最大高度沿斜面方向的匀加速运动与垂直斜面方向的上抛运动之合成!如图所示，小冰球从高为H 的光滑坡顶由静止开始下滑，这个坡的末端形如水平跳板．当跳板高h 为何值时，冰球飞过的距离s 最远？它等于多少？HhA B()()222.hS g H h H h hg=-⋅=-物体从坡末端B 水平飞出后做平抛运动:由基本不等式性质,2H h h Hh -==当时max S H=两个质点以加速度g 在均匀重力场中运动．开始时两个质点位于同一点，且其中一个质点具有水平速度v 1＝3.0 m ／s ；另一个质点水平速度v 2＝4.0 m ／s ，方向与前者相反．求当两个质点的速度矢量相互垂直时，它们之间的距离．当两质点速度互相垂直时，速度矢量关系如图示:v 1v y v 1tv 2tv 2v yβα122tan cot tan 3v v ααα=⇒=由矢量图得1tan 23y v v α==而m/s1ta 0.3n 2v t gα==s()12S v v t=+则m735=如图，一仓库高25 m ，宽40 m ．今在仓库前l m 、高5 m 的A 处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离l 为多大时，初速度v 0之值最小？（g 取10 m/s 2）hSv 0lv BA HB 45 过B 点时速度方向与水平成45°时，可以最小的v B 越过40m 仓库顶!()2sin 45cos 45B B v S v g =⋅由B v gS=θ()()()220sin sin452B v v g H h θ-︒=-从A 到B 竖直方向分运动有0sin sin 45cos 45B B v v l v gθ-=⋅从A 到B 水平方向分运动有()2031l =-m14.6≈mx 岸木排停泊在河上，到岸的距离L ＝60 m ．流水速度同离岸的距离成比例地增大，在岸边u 0=0，而在木排边流速u L =2 m/s ．小汽船离开岸驶向木排．船对水的速度v =7.2 km/h ．问驾驶员在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航处正对面的木排？这时船航行多少时间？V 0=vθ流水速度为u kx =船的合速度为LV u v=+在岸边船的合速度大小V 0=v 方向如示!122L v u k ==中m/s=2L u kL ==m/s 中间时刻船合速度沿x 方向,航线如示30v u 中VVv u L cos L t v θ=通过L 的时间30=602cos30=203=s如图所示，一个完全弹性小球自由下落，经5m 碰到斜面上的A 点．同时斜面正以V ＝10m ／s 在水平面上做匀速运动，斜面与水平面的倾角为45°．问在离A 点多远处，小球将与斜面发生第二次碰撞？球以v =10 m/s 入射，与斜面的接近速度vAVv →∠球2v →∠球=10m/s球与斜面的分离速度v →∠'球2v →∠'球=10m/s 球从与斜面分离到再次碰撞历时g452022cos45452v t g →∠'==球=s s注意到球沿斜面体方向初速度为零，加速度g sin45°()21sin452AA g t '=︒⋅球再与斜面碰撞处距A 402=m如图所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡与水平面成角度α．他与水平成θ仰角扔出的石子落在斜坡上距离为L ，求其抛出时初速度v 0及以此大小初速度抛出的石子在斜坡上可以达到的最大距离．αxyv 0gθααL石子沿山坡方向做匀加速运动()201cos sin 2L v t g tθαα=++⋅石子沿垂直山坡方向做匀加速运动()0sin 2cos v t g θαα+=()0cos 2cos sin v gLαθθα+=得设抛出石子的仰角为β()()222cos sin cos v Lg βββαα=⋅+⋅()202sin 2sin cos v g βααα⎡⎤=+-⎣⎦⋅()2022cos sin cos vL g θθαα=⋅+⋅22πβα+=当()2max 021sin cos v L g αα-=⋅小球以恒定速度v 沿水平面运动，在A 点坠落于半径为r 和深为Ｈ的竖直圆柱形井中．小球速度v 与过Ａ点井的直径成α，俯视如图．问v 、H 、r 、α之间关系如何，才能使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里“跳出来”（不计摩擦）v Arα小球运动轨迹的俯视图如示小球两次与壁相碰点间水平射程为2cos r α12cos r t vα=历时从进入至与底碰撞历时22Ht g=为使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里“跳出来”122nt kt =cos 2r H n kv gα=即(n 、k 均为正整数)小球在竖直方向做自由下落或碰底上抛至速度为零小球在水平方向以v 匀速运动,碰壁“反射”如图，一位网球运动员用拍朝水平方向击球，第一只球落在自己一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地Ａ处．第二只球直接擦网而过，也落在Ａ处．球与地面的碰撞是完全弹性的，且空气阻力不计，试求运动员击球高度为网高的多少倍？AOH设C 点高度为h ，由题意球1运动时间为123Ht g=由题意球2运动时间为22Ht g=∵水平射程相同1221223v t v v v t =⇒=x()()212222H h H h H v v g g g x ⎡⎤--⎢=-⎢⎣=⎥⎥⎦2H h H-=34h H =初速度为v 0的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求出空间安全区域的边界的方程．这个问题可抽象为一个求射出炮弹在空中可能轨迹的包络线方程问题，包络线以外即为安全区域．如图，在空间三维坐标中，设初速度方向与xy 平面成θ角，由抛体运动规律可建立时间t 的三个参数方程xzyO v 0v xv yv zθx x v t =201sin 2z v t gtθ=⋅-y y v t=()22220cos x y v t θ+=且22222201tan 2cos x yz x y g v θθ+=+⋅-2222222220011tan tan 22x y x y x y g g v v θθ++=+⋅--续解这是发射角θ各不相同的炮弹的空间轨迹方程()()22222222200tan tan 022g x y g x y x y z v v θθ++-+⋅++=即此方程式有解时，必满足()()22222222004022g x y g x y x y z v v ⎡⎤++⎢⎥∆=+-⋅⋅+≥⎢⎥⎣⎦242200220v v x y z g g ++-=包络线方程为()2222002102g x y g z v v ⎡⎤+⎢⎥-⋅+=⎢⎥⎣⎦这里我们运用了曲线簇的包络线的数学模型处理了一个有实际应用背景的物理问题整理该包络线方程为所求安全区域的边界方程读题机车以等速率v 0沿直线轨道行驶．机车车轮半径为r ．如车轮只滚动不滑动，将轮缘上的点M 在轨道上的起点位置取为坐标原点，并将轨道取为x 轴，如图所示，求M 点的运动轨迹方程以及轨迹的曲率半径，并求当M 点所在的车轮直径在水平位置时，该点的速度与加速度．y xO M A M 点的两个分运动——与轮心相同的匀速运动对轮心的匀速圆周运动O yx2r 0v T 0v t r 00sin v x v t r t r ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭0cos v y r r t r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0v t ()()2220r v t x r y =-+-()2221cos r y r r x r y r --⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭00sin v r t v t x r ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭0cos v r t r y r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭续解M 点的轨迹方程为求轨迹方程：M 90求当M 点所在的车轮直径在水平位置时，该点的速度与加速度：v M a Ma t v 0v 02v ρ0sin45M v v = 02v =方向与x 轴成45°20a v r =方向+x。
