北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合1Ax x ，B x x m ，且A B R ，那么m 的值可以是（A ）1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ，，则7a =（A ）116（B ）18 （C ）14 （D ）12（3）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A ）sin 2ρθ （B ）cos 2ρθ（C ）sin 2ρθ（D ）cos 2ρθ（4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a（A（B（C ）2 （D ）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a （B ）2a （C ）22a（D ）2a或2a（8）在正方体''''ABCD A B C D 中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45的点P 的个数为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1ia 在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . （10）过双曲线221916x y 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若1tan 2α，则cos(2)απ2= . （12）设某商品的需求函数为1005QP ，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（13）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB 于点F ，3AF BF ，22BE EC ，那么CDE = ，CD = .（14）已知函数1,,()0,,x f x xRQ Q 则（ⅰ）(())f f x = ； （ⅱ）给出下列三个命题：FEDCBAA'B'C'D'ABCD①函数f x 是偶函数； ②存在(1,2,3)i x iR ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i为顶点的三角形是等腰直角三角形； ③存在(1,2,3,4)ix iR ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列. （Ⅰ）若13b，3a ，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.(16)（本小题满分14分）在四棱锥PABCD 中，AB //CD ，ABAD ，4,22,2AB AD CD ，PA平面ABCD ，4PA .（Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC，求PQPB的值．(17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；PDCBA（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本小题满分13分）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.(20)（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A ，{1,2,4,8,16}B.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q AB ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）2 （10）43200xy （11）45（12）(10,20)（13）60°（14）1 ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π， 所以3B π=. ………………………………………2分 因为13b，3a，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分（Ⅱ）因为23A C +=π， 所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )22A A A =+11cos22()22A A -=+11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.………………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP平面ABCD ，ABAD ，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C .………………………………………5分所以(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQ PBλ（其中01λ），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQPB λ.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ.所以4,0,44,xy zλλ即(4,0,44)Q λλ.所以 (42,22,44)CQλλ. ………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BDCQ BDθ，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB . ………………………………………14分(17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 0.0125x . ………………………………………2分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ………………………………………4分因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1. ………………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e(2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<. ………………………………………2分令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0xf x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,).………………………………………3分 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)k-.………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-.………………………………………7分（Ⅱ）当1k时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， ………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为 2e e k-<，1102k <-<， 所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<， 所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. ………………………………………12分 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.………………………………………13分(19)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，所以1b c .所以 2222ab c . ………………………………………2分所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分 所以||AB ====同理||CD =. ………………………………………7分 因为 ||||AB CD =,所以=.因为 12m m ≠，所以 120m m +=. ………………………………………9分 （ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则 1221m m dk.因为 120m m +=， 所以 1221m dk. ………………………………………10分所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=（或S ==所以 当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S取得最大值为 ………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若aC 且aX ，则(({})()1Card C X a Card C X ∆=∆-；②若a C 且a X，则(({})()1Card C Xa Card C X ∆=∆+.所以 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.所以 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………8分 （Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，所以 A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.所以 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅， ()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅. 所以 ()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=. 所以 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以 P Q ∆∆∅=∅. 所以 P Q ∆=∅，即P Q .因为 ,P Q AB ⊆，所以 满足题意的集合对（P ，Q ）的个数为72128=.………………………………………14分。

是否n =n +1开 始n =1n >9结束输出S输入11主视图1俯视图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 函数()f x =A.[0,)+∞B.[1,)+∞C.(,0]-∞D.(,1]-∞2. 某程序的框图如图所示，若输入的i z =（其中i 为虚数单位），则输出 的S 值为A.1-B.1C.i -D.i3. 若,x y 满足 +20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12z x y=+的最大值为A.52B.3C.72D.44. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 C. D.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在极坐标系中，圆1:2cos C ρθ=与圆2:2sin C ρθ=相交于,A B 两点， 则AB = A.1 D.27. 已知函数sin(),0,()cos(), 0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能．．成立的是 A. ππ,44a b ==- B. 2ππ,36a b == C. ππ,36a b == D. 5π2π,63a b ==8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知向量(1,),(,9),t t ==a b 若a b P ，则__.t = 10. 在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为___. 11. 在三个数1231, 2, log 22-中，最小的数是__.12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为π3，则C 的离心率为__;若C 的一个焦点到l 的距离为2,则C 的方程为__.13. 如图,在 在三角形三条边上的6个不同的圆内填上数字1,2,3其中的一个.(i) 当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有___种； (ii) 当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有__种.14. 已知函数()f x ，对于给定的实数t ，若存在0,0a b >>，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得 |()()|2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t . （i ） 当()2f x x =时，(0)H =___；（ii ）当2()f x x =且[1,2]t ∈时，函数()H t 的值域为___.DABC三、解答题共6小题，共80分。

2023年北京市海淀区高考数学一模试卷1. 已知集合，，则( )A. B. C.D.2. 若，其中i 是虚数单位，则( )A.B. 1C.D. 33. 在等差数列中，，，则( )A. 9B. 11C. 13D. 154. 已知抛物线的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 的横坐标为4，则( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 若，则( )A.B. 1C. 15D. 166. 已知直线与圆O ：交于A ，B 两点，且为等边三角形，则m 的值为( )A. B.C.D.7. 在中，，，的平分线交BC 于点若则( )A.B.C. 2D. 38. 已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是( )A. B.C. D.9.已知等比数列的公比为q ，且，记……，则“且”是“为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 刘老师沿着某公园的环形跑道周长大于按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为( )A. 7B. 8C. 9D. 1011. 不等式的解集是______.12. 已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为______ .13. 已知函数若在区间上单调递减，则的一个取值可以为______ .14. 设函数①当时，______ ；②若恰有2个零点，则a的取值范围是______ .15. 在中，，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点不与A，B重合，过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B 折起后的位置记为点P，得到四棱锥，如图所示，给出下列四个结论：①平面PEF；②不可能为等腰三角形；③存在点E，P，使得；④当四棱锥的体积最大时，其中所有正确结论的序号是______ .16. 如图，直三棱柱中，，，，D是的中点.证明：平面BCD；求直线CD与平面所成角的正弦值.17. 在中，求；若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值.条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为4组和8组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小结论不要求证明19.已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为求椭圆E的方程；设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为，直线与y轴交于点Q，若的面积为2，求k的值.20. 已知函数，当时，求曲线在点处的切线方程；求的单调区间；若存在，，使得，求a的取值范围.21. 已知数列给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意连续三项，，，均有分别判断一下两个数列是否满足性质①，并说明理由；有穷数列：；无穷数列：…若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；若数列满足性质①和性质②，且，，，求的通项公式.答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，，则故选：根据交集定义，找出两个集合的公共元素即可．本题考查集合的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，则，，故选：根据复数相等，可得a，b的取值．本题考查复数的相等，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：在等差数列中，，，，解得，，则故选：利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：抛物线方程为，，又点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，故选：根据抛物线的几何性质，即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．5.【答案】C【解析】解：设，则故选：设，再根据赋值法，即可求解．本题考查赋值法的应用，属基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意，圆心到直线的距离为，，，故选：确定圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数m的值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属基础题．7.【答案】B【解析】解：设，因为，，所以，又AD是的平分线，所以，，，又，所以，，所以故选：根据角平分线定理可得，利用三角形法则先将表示出来，再利用向量相等可求出，本题考查向量的表示，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：二次函数，对任意的，有，令得，，即，故CD都不可能，对于B，二次函数的对称轴方程为，由图象可知，设的图象与x轴的两个交点为，，且，则，所以，所以，当时，，两者相矛盾，故B不可能．故选：由题意可得，所以CD都不可能，对于B，由图象可知，与时，相矛盾，所以B不可能．本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：①当，时，则，，充分性不成立，②若为递增数列，则，则，，当，时，则，则可能成立，当，时，则，则可能成立，当，时，则，则可能成立，当，时，则，则恒成立，且是为递增数列的必要不充分条件．故选：利用举实例判断充分性，利用等比数列的通项公式、充要条件的定义判定必要性．本题考查了等比数列的通项公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：设公园的环形道的周长为t，刘老师总共跑的圈数为x，，则由题意，所以，所以，因为，所以，又，所以，即刘老师总共跑的圈数为故选：利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解．本题考查不等关系，考查不等关系在实际中的应用，属于中档题．11.【答案】或【解析】解：不等式即为或，解得或则解集为或故答案为：或不等式即为或，由一次不等式的解法，即可得到解集．本题考查分式不等式的解法，可以运用符号法则或化为整式不等式，注意等价变形，属于基础题．12.【答案】2【解析】解：由题意，双曲线的渐近线方程为，故答案为：2利用双曲线的渐近线方程为，可得，结合离心率公式，即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．13.【答案】答案不唯一【解析】解：令，，可得，，的单调减区间为，，又在区间上单调递减，，，，，，，又，，可取故答案为：答案不唯一先求出在R上的单调减区间，再根据题意建立不等式组，即可求解．本题考查三角函数的单调性，不等式思想，属中档题．14.【答案】【解析】解：①当时，，；②令，得或，又，当，即时，，此时恰有2个零点，，；当时，易知恰有2个零点，1，；当，即时，要使恰有2个零点，则，，综合可得a的取值范围是故答案为：①1；②①代值计算，即可求解；②分类讨论，根据二次函数的性质，对数函数的性质，不等式思想，即可求解．本题考查函数值的求解，二次函数的性质，对数函数的性质，分类讨论，不等式思想，属中档题．15.【答案】①③【解析】解：①因为，平面PEF，平面PEF，所以平面PEF，故①正确；②因为是等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形，则，因为，，所以，且，当时，≌，所以，此时是等腰三角形，故②错误；③因为，且，，且平面PCF，平面PCF，所以平面PCF，平面ABC，所以平面平面PCF，且平面平面，如图，过点P作，连结DM，则平面ABC，平面ABC，所以，若，，平面PDM，平面PDM，所以平面PDM，平面PDM，所以，如图，，延长MD，交AB于点N，则和都是等腰直角三角形，则，点N到直线AC的距离等于，这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则，设，则，则，则存在点E，P，使得，故③正确：④当底面ACFE的面积一定时，平面平面PEF时，即平面ABC时，四棱锥的体积最大，设，，，，，得舍或，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时，故④错误；故答案为：①③根据线面平行的判断定理，判断①；证明≌，即可判断②；利用垂直关系转化，结合反证法，即可判断③；表示四棱锥的体积后，利用导数计算最值，即可判断④．本题考查空间中线面的位置关系，利用导数求最值，属于难题．16.【答案】证明：在直三棱柱中，平面ABC，且，点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，点、、、，、、，所以，，，则，，因为，CB、平面BCD，因此，平面解：设平面的法向量为，，则，取，可得，所以，，，因此，CD与平面所成角的正弦值为【解析】以点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面BCD；利用空间向量法可求得直线CD与平面所成角的正弦值．本题考查空间向量的应用，属于中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以；选条件①：；由知，，根据正弦定理知，，即，所以角C有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件．选条件②：；因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以选条件③：；因为，所以，由，得到，又，由知，所以，又由正弦定理得，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以【解析】利用正弦定理：边转化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；条件①，可得角C是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转化成边，再结合条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，利用余弦定理，即可求出结果．本题考查正余弦定理，属于中档题．18.【答案】解：设C事件为“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20“，又在A组10户中超过20次的有3户，由样本估计总体可得所求概率为；由得：从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，同理：从二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，，1，2，又，，，；根据题意可得，的取值可能为0，1，2，且得，服从超几何分布，又，，，，，，，，，，【解析】根据古典概型的概率公式，即可求解；根据题意可知，1，2，再分别求出对应的概率，从而可求解；根据方差公式计算，即可求解．本题考查根据样本估计总体，古典概型的概率公式，离散型随机变量的期望的求解，超几何分布列的期望与方差的求解，属中档题．19.【答案】解：依题意可得，解得，椭圆E的方程为；依题意，可设直线l的方程为，，，联立方程，可得，，即，，，在直线l的方程中，令，得，得，依题意得，得直线的方程为，令，得，，，，解得的值为【解析】依题意可得，求解即可；可设直线l的方程为，联立方程组可得，，求得的方程，进而可得，计算可得结论．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．20.【答案】解：当时，，则，，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线的方程为，当时，恒成立，则在R上单调递减，当时，令得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，综上所述，当时，在R上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增．在区间上的最大值为，最小值为，所以存在，使得成立，即或，当，，所以存在，使得成立，只需，由可知在区间上单调或先单调递减后递增，所以为与中的较大者，所以只需或，即可满足题意，即或，解得或，综上所述，a的取值范围为【解析】当时，，计算，由导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为，进而可得答案．求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性．在区间上的最大值为，最小值为，存在，使得成立，即或，由于当，，只需，由可知在区间上单调或先单调递减后递增，为与中的较大者，只需或，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：有穷数列：不满足性质①．令，则不是数列中的项，有穷数列不满足性质①；无穷数列：…满足性质①．对于任意的，，有，，令即可，无穷数列满足性质①．对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，故令时，存在一项，即，再令时，存在一项，即，又，数列所有非零项的绝对值均为1，又数列的各项均不相等，其最多有0，，1，共3项，，构造数列：0，，1，其任意两项乘积均为0，，1之一，满足性质①，其连续三项满足，满足性质②，又其各项均不相等，该数列满足条件，此时，综上，项数m的最大值为首先证明：当，时，数列满足，，且，，2，3，，对于任意数列的连续三项，，，总有，即或，不论是哪种情形，均有：当时，，即，当时，，即，，性质得证．考虑，，三项，有或，若，则，此时令，有，由性质知不存在k，使得，且，只有，此时，，令时，，由性质知，只有或，当时，，此时令，，，但，即，由性质知不存在k，使得，，即，从而，经验证，数列：满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列，假设是第一个不满足上述通项公式的项，则，当，时，只能为，令，，则，但，由性质，不存在k，使得，当，时，只能为，则，令，，则，但，由性质，不存在k，使得，不存在不满足上述通项公式的项，综上，数列的通项公式为【解析】利用性质①直接判断．对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，令时，得，令时，得，由此能求出项数m的最大值．首先证明当，时，数列满足，，由此能求出数列的通项公式．本题考查数列的性质、新定义、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

北京市海淀区高三数学一模考试试题 理选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B A A. {}32<<x x B. {}32<≤x x C. {}322<≤-≤x x x 或 D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0B ．1C ．2D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 4 8．已知抛物线M ：24yx ，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,CBD 乙丙甲演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；(Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）ADF E BG C已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）答案及评分参考 2011．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . (3)分因为180A B C =-- , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分（II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . ............8分 所以sin B =sin C =. (9)分由sin sin a cA C=得a = …………………11分 所以ABC∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又,AE EB EB EF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,HA DFEB G C∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分 ∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,EB =<>==θn …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为6- …………………………14分17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. (8)分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤. ………………………13分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分由已知可得OP OA OB=+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分 由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=-⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分 由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，故2OP ≤≤. ………………………13分 所求OP的取值范围是. ………………………14分 20. （共13分） 解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++==== 112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =， 所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123()n M a a a a b =-+++++ 123()n a a a a n =-+++++ …………………12分 ∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 ．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDBCACAB第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④ 12．1 13．12(,)35 14．π；18π+.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω，………………2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π………………6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x = ………………9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即 (Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……………12分故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈. ……………13分 16．（本小题满分13分）解：设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C .则111(),(),()632P A P B P C ===.………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+=………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次. 随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………………7分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=………………10分P0 30 6090120X 14 13518 19 136………………12分其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .………13分 17． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点， 所以1AO AC ⊥.………………1分又由题意可知，平面11AAC C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1A O ⊂平面11AA C C ， 所以1A O ⊥平面ABC .………………4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴==所以1A 1B 1z得:11(0,0,0),(0,1,0),3),(0,1,0),3),(1,0,0)O A A C C B - 则有：11(0,1,3),(0,1,3),(1,1,0).A C AA AB =-== ………………6分设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有103000AA y z x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得31,x z =-= 所以3(1,1,)=-n . ………………7分 11121cos ,7|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ………………9分因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C 所成锐角互余，所以21sin 7θ=.………………10分（Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==………………11分即000(1,,)(3)x y z λ-=-，得000123x y z λλλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,23),E λλλ=-得(1,23),OE λλλ=- ………………12分 令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ， (13)分即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点.………………14分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x'=-………………2分 令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分 若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可，所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可，所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-. ……………12分综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ..……………1分222233532(11)()(11)()42222a ∴=++-+=+=..……………3分2,a ∴=又1c = 2413b =-=，……………4分故椭圆的方程为22143x y +=..……………5分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意..……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=，.……………7分显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k -+=-⋅=++.……………8分又422221212222644(412)||1()41(34)34k k AB k x x x x k k k-=++-⋅=+-++即 2222212112(1)||13434k k AB k k k++=+=++， .……………9分 又圆2F 的半径2211r kk==++.……………10分所以2222221112(1)12||1122||,22343471AF Bk k k S AB r k k k∆++==⨯==+++化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±所以，221r k==+.……………12分 故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=..……………13分（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t+=⋅=-++……………8分所以 221212122223636||()4(43)43t y y y y y y t t -=+-⋅=+++22143t t +=+.……………9分又圆2F 的半径为2211r tt==++，.……………10分所以22121212211122||||||2437AF Bt S F F y y y y t ∆+=⋅⋅-=-==+，解得21t =， 所以221r t==+……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=..……………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=. ………………3分（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121111221222n n n n n n n a a b b +--++++===+， ∴ 112n n b b +-=.∴ 数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列.∴ 12n n b -=. …………………………………………………………7分 （Ⅲ）对于任意的正整数k ， 当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<； 当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>. ……………………………………8分 证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<； 其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；…………………9分41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()()()2212212121222222122120k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=所以，1n n a a +=.…………………10分43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>.综上可知：结论得证.…………………12分对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>， 满足（＊）式。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018. 4本试卷共 4 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

（1）已知会合 A {0, a}, B { x | 1 x 2} ，且A B ，则a能够是(A) 1 (B) 0(C) 1 (D) 2（2）已知向量 a (1,2) ， b ( 1,0) ，则a 2b(A) ( 1,2) (B) ( 1,4)(C) (1,2) (D) (1,4)（3）履行以下图的程序框图，输出的S值为(A) 2 (B) 6(C) 8 (D) 10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点构成的会合记为M , 且P( x, y)为 M 中随意一点，则 y x 的最大值为(A) 1 (B) (C) 1 (D) 2 2（5）已知a，b为正实数，则“ a 1 ， b 1”是“lg a lg b 0 ”的()(A) 充分而不用要条件(B)必需而不充分条件(C) 充分必需条件(D)既不充分也不用要条件（6）以下图，一个棱长为 1 的正方体在一个水平搁置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光芒照耀，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则 S 的值不行能是6(A) 1(B)54 3(C)(D)3 2（ 7）以下函数 f ( x) 中，其图象上随意一点P( x, y) 的坐标都知足条件 y x 的函数是(A)f ( x) x3 (B) f ( x) x (C) f ( x) e x 1 (D) f (x) ln( x 1) （8）已知点M 在圆 C1 : ( x 1)2 ( y 1)2 1上，点N 在圆C2 :( x 1)2 ( y 1)2 1 上，则以下说法错误的选项是uuuur uuur3 2 2,0]（A）OM ON 的取值范围为 [uuuur uuur2]（B）| OM ON |的取值范围为 [0, 2uuuur uuur2,2 2 2]（C）| OM ON | 的取值范围为 [2 2uuuur uuur的取值范围为 [ 3 2 2, 3 2 2]（D）若OM ON ，则实数第二部分（非选择题，共110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （海淀·理科·题1）1．在复平面内，复数1iiz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 C ；()()1i 1i i 1i iz -==--=--，该复数对应的点位于第三象限．（海淀·理科·题2）2．在同一坐标系中画出函数log a y x =，x y a =，y x a =+的图象，可能正确的是（ ）【解析】 D ；y x a =+在B 、C 、D 三个选项中对应的1a >，只有选项D 的图象正确．（海淀·理科·题3）3．在四边形ABCD 中，AB DC =，且0AC BD ⋅=，则四边形ABCD （ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 【解析】 B ；∵AB DC =即一组对边平行且相等，0AC BD ⋅=即对角线互相垂直； ∴该四边形ABCD 为菱形．（海淀·理科·题4）4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是（ ）A ．π1,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．4π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 C ；PyO x1-311xyO B 11x yO A 11xyO C 11xyO D易知()22132ρ=+-=，()π2π3k k θ=-∈Z ．（海淀·理科·题5）5．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A ．63B ．8C ．83D ．12【解析】 A ；设该三棱柱底面边长为a ，高为h ，则左视图面积为23h ．由三视图可得： 2312343232a h a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得43a h =⎧⎨=⎩．于是2363h =为所求．（海淀·理科·题6）6．已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（ ） A ．3或3- B ．3或1- C ．3 D ．3- 【解析】 C ；()()221235050a ba b ab b =+⎧⎪+=⋅+⎪⎨+≠⎪⎪+≠⎩，解得47a b =⎧⎨=⎩． 因此该等差数列的公差为3．（海淀·理科·题7）7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）第 7 题结束输出 a i = i +1否是a = 1-1ai ≥ 2010a = 2 , j = 1开始A ．1-B ．1C ．2D ．12【解析】 A ；第 5 题a = -1 , j = 3a = 12, j = 2a = 2 , j = 1∵()20100mod 3i ==，∴对应的1a =-．（海淀·理科·题8）8．已知数列()1212:,,,0,3nn A a a a a a a n <<<≤≥具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：① 数列0,1,3具有性质P ； ② 数列0,2,4,6具有性质P ；③ 若数列A 具有性质P ，则10a =；④ 若数列()123123,,0a a a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=． 其中真命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【解析】 B ；① ∵134+=，132-=-都不在数列中，∴数列0,1,3不具有性质P ； ② 容易验证数列0,2,4,6具有性质P ；③ 取i j n ==，则0j i a a -=在数列中，而数列中最小的数10a ≥，因此10a =； ④ 由对②的分析可知，10a =．由于210a a >=，32a a +3a >不在数列中，因此32a a -必然在数列中．又32a a >，故320a a ->1a =，于是322a a a -=，等式1322a a a +=成立．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （海淀·理科·题9）9．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为 ．【解析】 30；由10.040.120.140.052x ++++=，解得0.15x =．于是在这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为0.15100230⨯⨯=．（海淀·理科·题10）10．如图，AB 为O 的直径，且8AB =，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 ．【解析】 7；由8AB =得2,6AP PB ==．由已知和相交弦定理得 :3:4CP PD AP PB CP PD ⋅=⋅⎧⎨=⎩，解得34CP PD =⎧⎨=⎩． 于是347CD CP PD =+=+=．（海淀·理科·题11） 11．给定下列四个命题：① “π6x =”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；② 若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；③ 若a b <，则22am bm <；④ 若集合A B A =，则A B ⊆．其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）． 【解析】 ①，④；（海淀·理科·题12）12．在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．【解析】 1；由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭． 当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．（海淀·理科·题13）13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为()1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 【解析】 12,35⎛⎫⎪⎝⎭；如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为1,a c ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为2,a c ，12,PF m PF n ==，则PF 2F 1O yx1222102m n a m n a m n c+=⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪=⎩1255a c a c =+⎧⇒⎨=-⎩，问题转化为已知125c c <<-，求5c c +的取值范围． 设5c x c =-，则51x c x =+，11521242c x c x x ==-+++． ∵12x <<，∴11111126242210x -<-<-+，即111232425x <-<+．（海淀·理科·题14）14．在平面直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y xy =+≤，{(,)|4,0,340}B x y x y x y =-≤≥≥，则（1）点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； （2）点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．【解析】π；18π+．； xy131OQPFED CBAO 43yx（1） 如左图所示，点集P 是以()3,1为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π；（2） 如右图所示，点集Q 是由三段圆弧以及连结它们的三条切线段围成的区域，其面积为()1π433451π18π2OPQ OABP PCDQ OFEQ S S S S ++++=⨯⨯+++⨯+=+△．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （海淀·理科·题15） 15．（本小题满分13分）已知函数()()()sin 0,||πf x x ωϕωϕ=+><的图象如图所示． （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设π()()4g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间．【解析】 （Ⅰ）由图可知ππ4π24T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，y Ox1π2π4-12π2T ω==， 又由π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得()sin π1ϕ+=，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-∵||φπ<，∴π2ϕ=-，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭因为()π()cos 2cos 2cos 2sin 22g x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-⋅--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1sin 42x =所以，ππ2π42π22k x k -+≤≤，即ππππ()2828k k x k -+∈Z ≤≤． 故函数()g x 的单调增区间为ππππ,()2828k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（海淀·理科·题16） 16．（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置． 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券． 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．【解析】 设指针落在A 、B 、C 区域分别记为事件A 、B 、C ．则1()6P A =，1()3P B =，1()2P C =．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域．∵111()()632P P A P B =+=+=即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120．111(0)224P X ==⨯=；111(30)2233P X ==⨯⨯=；11115(60)2263318P X ==⨯⨯+⨯=；111(90)2369P X ==⨯⨯=；111(120)6636P X ==⨯=； 所以，随机变量X 的分布列为：P0 30 60 90 120X14 13 518 19 136其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（海淀·理科·题17） 17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA AC AC ===，AB BC =，且AB BC ⊥，O 为AC 中点． （Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置．【解析】 （Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点，所以1AO AC ⊥． 又由题意可知，平面11AAC C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1A O ⊂平面11AA C C ， 所以1A O ⊥平面ABC ．（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知，112A A AC AC ===，又,AB BC AB BC =⊥ ∴1,12OB AC ==．所以得：()0,0,0O ，()0,1,0A -，()10,0,3A ，()0,1,0C ，()10,2,3C ，()1,0,0B ，则有：()10,1,3AC =-，()10,1,3AA =，(1,1,0)AB =． 设平面1AA B 的一个法向量为(),,x y z =n ，则有 103000AA y z x y AB ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1x =-，33z =-所以31,1,3⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭n ． 11121cos ,7|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ．因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C 所成锐角互余， 所以21sin 7θ=． （Ⅲ）设()000,,E x y z =，1BE BC λ=即()()0001,,1,2,3x y z λ-=-，得000123x y z λλλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩．所以()1,2,3E λλλ=-，得()1,2,3OE λλλ=-令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ，即120λλλ-++-=，得12λ=， 即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点．（海淀·理科·题18） 18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x a x =+，其中a 为常数，且1a -≤． （Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e ,e ]（e 2.71828=）上的值域；（Ⅱ）若()e 1f x -≤对任意2[e ,e ]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】 （Ⅰ）当1a =-时，()ln f x x x =-，得1()1,f x x'=-令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在()1,+∞上为增函数，据此，函数()f x 在2[e ,e ]上为增函数，而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e ,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--．（Ⅱ）由()1a f x x '=+，令()0f x '=，得10ax+=，即x a =-，当()0,x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在()0,a -上单调递减； 当(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(),a -+∞上单调递增； 若1e a -≤≤，即e 1a --≤≤，易得函数()f x 在2[e ,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x -≤对2[e ,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f -≤即可，所以有2e 2e 1a +-≤，即2e e 12a -+-≤．而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解．若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e ,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数，要使()e 1f x -≤对2[e ,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f -⎧⎨-⎩≤≤，即21e e 12a a -⎧⎪⎨-+-⎪⎩≤≤， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤．若2e a -≥，即2e a -≤，易得函数()f x 在2[e ,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x -≤对2[e ,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f -≤即可，所以有e e 1a +-≤，即1a -≤，又因为2e a -≤，所以2e a -≤． 综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1,2⎛⎤-+--∞ ⎥⎝⎦．（海淀·理科·题19） 19．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F =，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2AF B ∆1222F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．【解析】 （Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ．∴222233532(11)()(11)()42222a ++-++=．∴2a =，又1c =，2413b =-=，故椭圆的方程为22143x y +=．（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2222(34)84120k x k x k +++-=．显然0∆>成立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -⋅=+．又422221212222644(412)||1()41(34)34k k AB k x x x x k k k -=++-⋅=+-++即222212112(1)||134k k AB k k ++=+=+，又圆2F 的半径2211r k k=++．所以222221112(1)12||1122||22341AF Bk k k S AB r k k∆++==⨯==++， 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±． 所以，221r k ==+故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=． （Ⅱ）另解：设直线l 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122643t y y t +=+，122943y y t ⋅=-+． 所以2121212||()4y y y y y y -+-⋅22223636(43)43t t t =+++2121t +=又圆2F 的半径为21r t=+21t=+所以212121||||2AF B S F F y y ∆=⋅⋅-12||y y =-2121t +=1227=21t =， 所以21r t+2= 故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=．（海淀·理科·题20） 20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,n =．（Ⅰ）求567,,a a a 的值；（Ⅱ）设212nn n a b -=，试求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系．【解析】 （Ⅰ）∵10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=，∴52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=． （Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有： 121112n n n a b +-++=211222n n n a -++=12n b =+， ∴112n n b b +-=． ∴数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列． ∴12n n b -=．11 / 11（Ⅲ）对于任意的正整数k ， 当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<； 当41n k =+时，1n n a a +=； 当43n k =+时，1n n a a +>． 证明如下：首先，由10a =，21a =，32a =，43a =可知1,3n =时，1n n a a +<； 其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，1221n n k k a a a a ++-=-()()1212k k a k a =+-++0k =-<； 41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()22121212k k k a a +=++-+221222k k k a a +=+-()()2212212k k k a k a =++-++0=所以1n n a a +=．43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()212222212k k k a a ++=++-+21222122k k k a a ++=++-()()121212212k k k k a a +=++++-+()141k k k a a +=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥…（*）（证明见后），所以此时1n n a a +>． 综上可知：结论得证．对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>，满足（*）式．2）当1k =时，1211a a +==，满足（*）式． 3）当()*21k m m =+∈N 时，1212221k k m m k a a m a a ++++-=++-()()1211212m m m m a a +=++++-+ 13122m m m a a +=++-()()121m m m a a m +=+-++于是只须证明10m m m a a ++-≥，如此递推，可归结为1）或2）的情形， 于是（*）得证．。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学〔理科〕2021.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一局部〔选择题，共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

〔1〕集合A{0,a},B{x|1x2}，且AB，那么a可以是(A)1(B)0(C)1(D)2〔2〕向量a (1,2)，b(1,0)，那么a2b(A)(1,2)(B)(1,4 )(C)(1,2)(D)(1,4)〔3〕执行如下列图的程序框图，输出的S值为(A)2(B)6(C)8(D)10〔4〕如图，网格纸上小正方形的边长为1，假设四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M,且P(x,y)为M中任意一点，那么yx的最大值为(A)1(B)2(C)1(D)2〔5〕a，b为正实数，那么“a1，b1〞是“lgalgb0〞的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件6〕如下列图，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，那么S的值不可能是6(A)1(B)543 (C)(D)32〔7〕以下函数f(x)中，其图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足条件 y x 的函数是(A)f(x)x 3(B)f(x)x(C)f(x) e x1 (D) f(x) ln(x 1)〔8〕点M 在圆C 1:(x 1)2 (y 1)21上，点N 在圆C 2 :(x 1)2 (y 1)2 1上，那么以下说法错误的选项是uuuur uuur 3 2 2,0]〔A 〕OM ON 的取值范围为[uuuur uuur [0,2 2]〔B 〕|OM ON|的取值范围为uuuur uuur 2 2,2 2 2]〔C 〕|OM ON|的取值范围为[2uuuur uuur的取值范围为[ 3 22,32 2]〔D 〕假设OM ON ，那么实数第二局部〔非选择题，共 110分〕二、填空共 6小，每小5分，共30分。