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对偶单纯形法 灵敏度分析

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第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶

第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶

这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。

第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介

第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介

2 3
c2
2
运筹学
第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
三、资源约束系数 bi 变化的灵敏度分析
∆b 的变化将引起 ∆b’的变化，最终出现a、c两种情况
P64-例6：(1) 若设备A和调试工序的每天能力不变，而设备B每
天的能力增加到32h，问最优生产计划有何变化；(2) 若设备A 和B每天可用能力不变，问调试工序能力在什么范围内变化时， 问题的最优基不变。
甲
乙 每天可用能力
0
5
15
6
2
24
1
1
5
2
1
对应最后一张单纯形表
基变矢XB ＝ [x3, x1, x2]T ＝ [15/2, 7/2, 3/2]T 非基变矢XN ＝ [x4, x5]T ＝ [0, 0]T
与XB对应的未转换前的基为最优基，用B表示
与XN对应的未转换前的列向量组合采用N表示
例如：
1 B (P3, P1, P2 ) 0
例2(P61-例4)：采用对偶单纯形法求解LP问题
min Z = 15x1+ 24x2 + 5x3
s.t.
6x2 + x3 ≥ 2
5x1 + 2x2 + x3 ≥ 1
x1, x2, x3≥ 0
运筹学
第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
例3：求解如下LP问题
min Z = 3x1 + 2x2 + x3 + 4x4 s.t. 2x1 + 4x2 + 5x3 + x4 ≥ 0 3x1 － x2 + 7x3 － 2x4 ≥ 2 5x1 + 2x2 + x3 + 6x4 ≥ 10

韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶

韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶

迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的

线性规划的对偶理论与灵敏度分析报告

线性规划的对偶理论与灵敏度分析报告

第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析主要内容 对偶问题、对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析、参数规划 讲授重点 对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析 讲授方式 讲授式、启发式 本章知识结构图第一节 线性规划的对偶问 题一、对偶问题的提出首先通过实际例子看对偶问题的经济意义。

例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品时，其线性规划问题为： (LP 1) max z ＝2x l +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x现从另一角度提出问题。

假定有另一公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源。

显然美佳公司愿出让自己资源的条件是，出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的盈利。

设分别用y 1、y 2、和y 3代表单位时间(h)设备A 、设备B 和调试工序的出让代价。

因美佳公司用6小时设备A 和1小时调试可生产一件家电I ，盈利2元；用5小时设备A ，2小时设备B 及1小时调试可生产一件家电Ⅱ，盈利1元。

由此y1，y2，y3的取值应满足 6y 2+y 3≥25y 1+2y 2+y 3≥1 (2.1) 又另一公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，故有min z ＝15y 1+24y 2+5y 3 (2.2) 显然y i ≥0(i ＝l ，2，3)，再综合(2.1)，(2.2)式有。

(LP 2) min ω＝15y 1+24y 2+5y 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+0,,125263212132y y y y y y y上述LP 1和LP 2是两个线性规划问题，通常称前者为原问题，后者是前者的对偶问题。

二、对称形式下对偶问题的一般形式定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极大时均取“≤”号，当目标函数求极小时均取“≥”号’。

第六章单纯形法灵敏度分析与对偶

第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）

韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶

韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶

x1 x2 s1 s2 s3 比值 基 ck 是系数 变 cB b bi/ai2 50 100 0 0 0 量 s1 0 1 1 c1 灵敏度分析 0 0 300 一、目标函数中变量系数 k s2 0 2 1 0 1 0 400 1．在最终的单纯形表里， xk 是非基变量。 0 s3 0 0 1 0 0 1 250
j , a2 j ,...,akj ,...,amj )T 变成了: z j (cB1 , cB 2 ,...,cK ,...,cBm )(a1 j , a2 j ,...,akj ,...,amj )T z j (cB1 , cB 2 ,...,(cK ck ),...,cBm )(a1 j c B 2 a2 j ... (cK ck )akj ... cBm amj cB1a1 j c B 2 a2 j ... cK akj ... cBm amj ck akj cB1a1 . z j ck akj (c j z j ) - ck akj 这样检验数 j c j z j c j z j - ck akj j - ck akj
首先知道在最优解中s2=50是基变量，也就是说， 原料A有50千克没用完，再增加原料 A是不会带来任何利 x x s s s3 迭代 基 1 2 1 2 润的，故原料 A 的对偶价格为零。在最终单纯形表上当 次数 变 cB b 50 100 0 0 0 松弛变量为基变量时，都有其检验数 σj 为零，又知道对 量 任何的松弛变量，它在目标函数中的系数 都为零，那 x1 50 1 0 1 0 -1 cj 50 么为基变量的松弛变量的 s2 0 0 0 zj也必然为零，因为 -2 1 1 50zj=cj-σ j=00=0 2 ，这正确地反映了对于任何为基变量的松弛变量所 x2 100 0 1 0 0 1 250 对应的约束条件的对偶价格为零。

运筹学02对偶理论(2)对偶单纯形法,灵敏度与参数分析

从满足条件(2)的基出发去找原问题的最优解→ 对偶单纯形法思想： 从满足条件(2) 的基(一般称为正则基)B出发，经 过换基运算到另一个正则基，即一直保证条件 (2)成立， 直到找到一个满足条件(1)的正则基。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2

单纯形法的灵敏度分析与对偶


目标函数： max z=50x1+100x2
x1+ x2≤300 s.t. 2x1+x2≤400
x2≤250 x1 ≥0, x2≥0
max z=50x1+100x2
x1+ x2+s1=300
s.t.
2x1+x2+s2=400
x2+s3 =250
x1 ≥0, x2≥0, si≥0
一、线性规划问题解的基本概念
△C3 ≤－（－50）=50；
c’=c+△C<=0+50=50
最优解不变。
（2）再分析基变量的系数分析：
ck k
max J ak jjak j0 ckm J i ak n jjak j0
例如对基变量X1的系数C1进行灵敏度分析：
从表中获得了:
a11=1, a12=0, a13=1, a14=0, a15=-1
❖
OBJ COEFFICIENT RANGES
❖ VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
❖
COEF INCREASE DECREASE
❖
X1
50.000000 50.000000 50.000000
❖
X2
100.000000 INFINITY 50.000000
❖
RIGHTHAND SIDE RANGES
4. 对偶问题的约束条件系数矩阵A是原问题的AT
maxz c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a1nxn b1
s.t.
a21x1 a22x2 a2nxn b2
am1x1 y2 bm ym

对偶单纯形法+灵敏度分析讲解

答：不能。因为此时右边常数项为负数，解不可 行。为了保证初始解可行
北京联合大学 耿钰
第四节 对偶单纯形法
例 用对偶单纯形法求解
maxZ x1 4x2 3x4
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4

2
能否用对偶单纯形法呢？
原问题表中的检验数满足最优性条件
CN-CB B-1 N≤0
ATY ≥ CT;
min w Y T b bTY
-CB B-1 ≤0;
Y≥0
CB:1×m B-1：m ×m
YT= CB B-1
CB B-1：1 ×m Y： m ×1
ATY CT s.t.
Y 0
从上面可以看出：
1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验 数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立
-1 x1 7 0 x3 4
7
1 7/2 0 5/2 -2 -1/2 0 3/2 1 3/2 -1 -1/2 0 -1/2 0 -1/2 -2 -1/2
最优解 X*=（7，0，4， 0）T
Z*=-7
北京联合大学 耿钰
例6 用对偶单纯形法求解
min w 2x1 3x2 4x3
（P）
x1 2x2 x3 3 2x1 x2 3x3 4
原问题不 可行，应 该换基迭 代。但按 对偶单纯 形法的思 想，每次 均应保证 检验数均 非正
cj
CB XB b -1 x1 3 0 x6 -8
3
-1 -4 0 -3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 2 - 1 1 -1 0 0 -3 -2 -3 2 1 0 -2 -1 -2 -1 0

管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件

参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
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单纯形法开始于初始基可行解。如果不满足最优性条件，则 要换基迭代转到能使目标函数值得到改善的邻近顶点上。在这个 转换过程中，存在两个原则: 一是首先保持原问题的解仍是可行的， 另一个是要求目标函数值有改善。 如何保证可行？
北京联合大学 耿钰
初始单纯形表 项目 非基变量 XN N CN
CB CN
基变量 XS I 0
cj CB XB b -1 x1 -4 0 -3 x4 0 0 x2 x3 x5 x6 初始对 偶单纯 形表
第四节 对偶单纯形法
根据刚才所说，单纯形法只要单纯形法计算时只要原问 题可行（B-1b ≥ 0），对偶问题可行（即检验数小于 0），解就是最优解。所以，我们利用单纯形法对原问 题求解时，如果首先保持对偶问题的可行性（即原问题 检验数≤0），然后再看原问题是否可行，如果此时原 问题的解不可行，则换基迭代，换基过程中保证对偶可 行（检验数≤0 ），直至原问题由不可行解变为可行解， 此时就得到它的最优解，——这就是对偶单纯形法的基 本思想。
北京联合大学 耿钰
第四节 对偶单纯形法
怎么做呢？
① 先找一个基，建立初始对偶单纯形表，使检 验数全部非正，即C全部为非正；
② 若b列元素非负，则已经是最优基。反之， 则换基迭代，直至原问题可行。
北京联合大学 耿钰
第四节 对偶单纯形法
例
该问题用单纯形法求解时，需要先化标准型，此时约束 方程两边左边需要减去剩余变量，同时为了构造单位阵， 需要添加人工变量，采用大M法求解。 思考：上面约束方程化为标准型后，两边乘以 -1， 就可得到单位阵。此时能否用单纯形法？原因? 答：不能。因为此时右边常数项为负数，解不可 行。为了保证初始解可行
例 用对偶单纯形法求解
maxZ x 1 4 x 2 3 x 4 x1 2 x2 x3 x 4 3 2 x1 x2 4x3 x 4 2 x j 0 j 1,2 ,3, 4
将约束方程化为标准型，再用（-1）乘不等式两边
max Z x 1 4 x 2 3 x 4 x 1 2 x 2 x 3 x 4 x 5 3 2 x 1 x 2 4 x 3 x 4 x 6 2 x j 0 j 1,2 , ,6
北京联合大学 耿钰
第四节 对偶单纯形法
max Z x 1 4 x 2 3 x 4 x 1 2 x 2 x 3 x 4 x 5 3 2 x 1 x 2 4 x 3 x 4 x 6 2 x j 0 j 1,2 , ,6
北京联合大学 耿钰
maxZ x 1 4 x 2 3 x 4 x1 2 x2 x3 x 4 3 2 x1 x2 4x3 x 4 2 x j 0 j 1,2 ,3, 4
用对偶单纯形法求解
第四节 对偶单纯形法
例
maxZ x 1 4 x 2 3 x 4 x1 2 x2 x3 x 4 3 2 x1 x2 4x3 x 4 2 x j 0 j 1,2 ,3, 4
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
北京联合大学 耿钰
第四节 对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求对偶问题解的方法，而是利用单纯形 法求解规划问题时运用了对偶理论。 也就是说：对偶单纯形法与单纯形法一样都是是求解线性规划 的一种基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。 在了解对偶单纯形法的实质之前，我们回顾一下单纯形法。
能否用对偶单纯形法呢？ 对偶单纯形法初始对偶单纯形表只要保证对偶可行， 即检验数全部非正即可。并不要求初始解可行，所 以右边常数项可以非负，此题目价值系数均为负， 意味着初始单纯形表格的检验数为负，而右端常数 项又有负数，正好满足对偶单纯形法的要求。
北京联合大学 耿钰
用对偶单纯形法求解
第四节 对偶单纯形法
0
基变量
XB I 0
XN B-1 N
XS B-1
Cj-Zj
CN -CB B-1 N -CB B-1
也就是：单纯形法计算时只要原问题可行（B-1b ≥ 0），对偶问 题可行（即检验数小于0），解就是最优解。单纯形法的基本过 程就是保证原问题解可行的情况下，不停迭代，直至对偶问题也 达到可行，此时原问题达到最优，对偶问题也达到最优
也就是说：对偶单纯形法是在保持原问题所有检验数 都小于等于零的基础上，通过迭代，使原问题的解（即 右边常数项）都大于等于零，从而求得最优解。
北京联合大学 耿钰
第四节 对偶单纯形法
使用对偶单纯形法必须满足两个条件： （1）单纯形表中的所有检验数必须符合对偶可行，即 小于等于0 （2）初始解不可行，即右端常数项有负分量（如果原 问题可行，则直接用单纯形法）

从上面可以看出： 1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验 数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立 也就是说，当原问题达到最优时，对偶问题的解可行。并且根据 对偶的性质，我们可以确定此时对偶问题也达到最优
北京联合大学 耿钰
初始单纯形表 项目 非基变量 XN N CN 基变量 XS I 0 非基变量 XB XS b B Cj-Zj CB 项目 CB XB B-1 b
0
0
XB XS b B Cj-Zj CB 项目
基变量 XB I 0 B-1 N
非基变量 XS B-1
CB XB B-1 b
Cj-Zj
CN -CB B-1 N -CB B-1
单纯形法是在保持所有约束条件常数项总是保持大于等于零的情 况（保证可行），通过迭代，使所有检验数小于等于零（求最大 值），求得最优解。
原问题表中的检验数满足最优性条件 T T T T; min w Y b b Y AY ≥ C CN-CB B-1 N≤0 Y≥0 -CB B-1 ≤0; AT Y C T s.t. T -1 -1 Y = CB B CB:1×m B ：m ×m Y 0
CB B-1：1 ×m Y： m ×1