对偶理论与灵敏度分析练习题答案

第二章.对偶理论与灵敏度分析1. 已知线性规划问题： 332211m ax x c x c x c z ++=⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5,,1(01001.2154323132221212111Λj x b b x x x a a x a a x a a st j用单纯形法求解得最终单纯形表如下表所示： （a ） 求232221131211,,,,,a a a a a a 和21,b b321,,c c c 8,4,7,5,8,2,4,1,1,2/5,2/932121231322122111===========c c c b b a a a a a a2. 已知矩阵A 及其逆矩阵1-A 如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=104020012A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11202/1004/12/11A试根据改进单纯形法中求逆矩阵的方法原理求下述矩阵B 的逆矩阵1-B ，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B答：先设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144010052C Θ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-•-72/14/114151A∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--16201002/52/1114002002/11111A C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B Θ 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡•-1322/111211C∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--26/226/1226/426/426/226/826/1126/126/913/10013/21026/110111C B3. 已知线性规划的原问题与对偶问题分别为：（P ）原问题：CX z =max (D)对偶问题：Yb w =min⎩⎨⎧≥≤0.X b AX st ⎩⎨⎧≥≥0Y C YA st若*Y 为对偶问题最优解，又原问题约束条件右端项用b 替换之后其最优解为X ，试证明有b Y X C *≤证明：原问题右端项b 用b 替换后，新的原问题'P 及对偶问题'D 为：:'P ⎩⎨⎧≥≤=0.'max Z b AZ st CZz :'D ⎩⎨⎧≥≤=0.min 'Y C YA st bY w设'D 的最优解为Y ，因有b Y Z C =，有*Y 是'D 的可行解，故有b Y b Y *≤，由此b Y Z C *≤4. 已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束(b) 直接由表写出对偶问题的最优解。

第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案1．判断下列说法是否正确：(1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；()(2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；()(3) 设j ˆx ，i ˆy 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m**j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1ˆˆc x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；()(4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；()(5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；()(6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；()(7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；()(8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；()(9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；()(10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。

()2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。

要求：(1)(3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。

第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。

(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++++=无约束321321321321321,0,534332243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束(3)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1111n j m i x n j b x m i a x x c z ij mi j ij nj i ij mi ijnj ij (4)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1(),,1(min 1211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij nj i j ij nj jj 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么?(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；(4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。

3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。

⎪⎩⎪⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=)4,,1(0322326532min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。

《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤82．解：（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.53．解：（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤1504．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥45. 解：最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-14011B ； 最优解变为130321===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321===x x x ，，，最小值变为-96；6．解：（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。

（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。

（3）0≤b 2≤45。

（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。

（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。

7. 解：(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。

(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。

（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中667.31110,167.144321====x x x x ，，；（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中382.70,114321====x x x x ，，；所以建议生产乙产品。

第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。

一、填空题1、对偶问题的对偶问题是（）。

正确答案：原问题2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。

正确答案：=3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。

正确答案：<=4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。

正确答案：=5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。

正确答案：min=Yb YA>=c Y>=06、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。

正确答案：对偶变量7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。

正确答案：AT8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…n)，则原问题（）。

正确答案：无解二、选择题1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。

A. “≥”B. “≤”C. “>”D. “=”正确答案：A2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。

A.W﹡=Z﹡B.W﹡≠Z﹡C.W﹡≤Z﹡D.W﹡≥Z﹡正确答案：A3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。

A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。

A.≥B.≤C. >D. =正确答案：A5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。

A.正则解B.最优解C.可行解D.可行解正确答案：A6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。

A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。

对偶理论及灵敏度分析习题1. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划中的一种方法，它是将一个线性规划问题转化为另一个等价的线性规划问题。

这个等价问题被称为原问题的对偶问题，原问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系。

2. 什么是灵敏度分析？灵敏度分析是一种方法，用于评估一个线性规划问题的解对输入数据的变化的敏感程度。

它涉及到对线性规划问题的目标函数系数、约束条件常数、以及右手边向量的变化进行分析，以确定线性规划问题在输入数据变化下的解的变化情况。

3. 对偶问题和原问题之间有什么关系？对偶问题和原问题之间存在着一种对偶关系，即两个问题中的变量和约束条件互相对应。

对原问题的对偶问题的目标函数系数就是原问题的约束条件系数，而对原问题的每个变量的约束条件对应着对偶问题的每个变量的目标函数系数。

4. 什么是原问题？原问题是一个线性规划问题，它包括在一组约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数的问题。

原问题通常表示为标准形式或规范形式。

5. 什么是对偶问题？对偶问题是一个等价的线性规划问题，它与原问题共享相同的约束条件，但目标函数和约束条件的系数经过了转换。

对偶问题可以用来评估原问题的最优解并提供其他信息，如原问题的灵敏度分析和可行性分析。

6. 什么是灵敏度分析中的“影响范围”？灵敏度分析中的“影响范围”指输入参数发生变化时，该变化对解决方案的影响的程度范围。

影响范围可以用来确定哪些输入参数对问题的解决非常敏感，以及如何调整这些参数以最大程度地减少对解决方案的影响。

7. 在灵敏度分析中，什么是“松弛变量”的作用？在灵敏度分析中，“松弛变量”用于评估一个约束条件的“松弛度”，即约束条件与等式相差多少。

这个信息可以用来确定输入参数值的变化可以多少，以使某个约束条件的松弛度保持不变。

8. 什么是敏感性分析？敏感性分析是一种评估线性规划问题解决方案的稳定性的方法。

它涉及到对输入参数的变化进行分析，以确定对线性规划问题最优解的影响程度。

《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。

答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。

答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。

答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。

（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。

（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。

答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。

工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。

习题 6 6.1 试建立下述LP问题的对偶关系表，并写出其对偶问题：（1）max z=4x1+3x2+6x3s.t.123123123123 360 22340 2260,0,0 x x xx x xx x xx x x++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥≥⎩（2）min w=60x1+10x2+20x3s.t.123123123123321210,0,0 x x xx x xx x xx x x++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥≥≥⎩（3）min w=5x1-3x2s.t.123123123123 24221330,0,0 x x xx x xx x xx x x-+≥⎧⎪+-≥⎪⎨--≥⎪⎪≥≥≥⎩（4）max z=4x1+3x2+6x3s.t.1231231232410 253150,0,0 x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪≥≥≥⎩（5）min w=2x1+2x2+4x3s.t.123123123232352 3734650,0x x xx x xx x xx x++≥⎧⎪++≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩(6) min w=2x1+3x2+6x3+x4s.t.123412341234124344721 273818 25340,0,0x x x xx x x xx x x xx x x+++=⎧⎪+++≥⎪⎨-+-≤⎪⎪≥≤≥⎩6.2 已知LP问题：min z= 5x1+6x2+3x3s.t. 12312312312312312231235535020769307241510654510200,0,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪+-≥⎪⎪+-≥⎪++≥⎪⎨+-≥⎪⎪+≥⎪-≥⎪⎪≥≥≥⎩ 试通过求解其对偶问题来确定该LP 问题的最优解。

6.3 已知LP 问题：max z= x 1+2x 2s.t.121212210,0x x x x x x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩（1）试证明它与其对偶问题均无可行解。