2019-2020学年四川省棠湖中学高二上学期开学考试数学(理)试题(解析版)

四川省棠湖中学2020学年高二上学期开学考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线l 过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直,则l 的方程为 A.3210x y +-= B.2310x y +-= C.3210x y ++= D.2310x y --=2.已知等差数列{}n a 中，若415a =，则它的前7项和为A.120B.115 错误！未找到引用源。

C.110 错误！未找到引用源。

D.1053.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若cos c A b =，则ABC ∆A. 一定是锐角三角形B. 一定是钝角三角形C. 一定是斜三角形D. 一定是直角三角形 4．一个球的内接正方体的表面积为54,则该球的表面积为A. 27πB. 18πC. 19πD. 54π 5．若a ，b ∈R 且a ＋b ＝0，则2a＋2b的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5 6．给出下列四种说法：① 若平面βα//，直线βα⊂⊂b a ,，则b a //； ② 若直线b a //，直线α//a ，直线β//b ，则βα//； ③ 若平面βα//，直线α⊂a ，则β//a ；④ 若直线α//a ，β//a ，则βα//.其中正确说法的个数为A.4个B.3个C. 2个D.1个7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A.5B.6C.7D.88．已知函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨ >⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是A ．3-≤a ＜0B ．3-≤a ≤2-C ．a ≤2-D ．a ＜09．一个三棱锥P ABC -的三条侧棱PA PB PC 、、两两互相垂直，且长度分别为1、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为A ．16πB ．32πC . 36πD ．64π10．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知23sin ab A=，224a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为 A ．43 B ．23 C ．13 D ．1611．将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间[0,]4π上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5(,)126ππ--上，则ϕ的取值范围是 A ．(,]64ππB ．(,)62ππC ．(,]124ππD ．(,)122ππ12.在ABC ∆中，若⋅=⋅=⋅，且A b B a cos cos =，4=c ，则=⋅A ．8B ．2 C.2- D ．8-第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知数列}{n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，则数列}{n a 的通项公式为 .14.已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，且()⊥-a a b ，则a 与b 的夹角为 ． 15．一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，x = .16.已知数列{}n a 错误！未找到引用源。

四川省成都市棠湖中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 A.11a b > B. n 0()l a b ->C. 21a b -<D.11()()32a b < 【答案】D 【解析】 【分析】由22log log a b >可得0a b >>，故0a b ->，据此逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】由22log log a b >可得0a b >>，故0a b ->，逐一考查所给的选项：A .11a b<； B .0a b ->，()ln a b -的符号不能确定； C .21a b ->；D .111322a a b⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.不等式2x 10x 3+≤-的解集为( ) A. 1{x |x 3}2-≤≤B. 1{x |x 3}2-<< C. 1{x |x 3}2-≤<D. 1{x |x 2≤或x 3}≥【答案】C【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．【详解】不等式等价为()()213030x xx+-≤⎧-≠⎨⎩，得1323xx⎧-≤≤⎪⎨⎪≠⎩，即132x-≤<，即不等式的解集为1{|3}2x x-≤<，故选：C．【点睛】本题主要考查分式不等式的求解，将其转化为一元二次不等式是解决本题的关键．3.若变量,x y满足约束条件20,{0,220,x yx yx y+≥-≤-+≥则2z x y=-的最小值等于（）A.52- B. 2- C.32- D. 2【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】解：由变量x，y满足约束条件20220x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立20220x yx y+=⎧⎨-+=⎩，解得A（﹣1，12）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）15 22 -=-．故选：A．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4.过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A. 2x ＋y －1＝0 B. x －2y ＋7＝0 C. x －2y －5＝0 D. 2x ＋y －5＝0【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线系方程的知识，设所求直线方程是：x －2y ＋c ＝0，直线又过点（-1，3），将点坐标代入方程求出c ，即可得到所求直线方程. 【详解】设直线方程式是：x －2y ＋c ＝0 因为直线过点(－1,3) 所以-1-6+c=0，解得c=7 故所求直线方程是：x －2y ＋7＝0 故选B【点睛】本题考察平行直线的求法，当直线方程式是一般式时，可以利用两直线平行的条件：111222A B C A B C =≠ 设出直线方程求解.注：已知直线:0l Ax BY C ++=，求与其平行或垂直的直线时，记住以下结论，可避免讨论：(1)与l 平行的直线可设为：10Ax BY C ++=； (2)与l 垂直的直线方程可设为：20Bx AY C -+=5.直线1l ：2230x y +-=和2l ：30x ay ++=垂直，则实数(a = ) A. 1- B. 1C. 1-或1D. 3【答案】A 【解析】 【分析】本题可以根据直线1l 与直线2l 的解析式以及两直线垂直的相关性质列出算式，然后通过计算得出结果。

四川省棠湖中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题理第I卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）已知，则下列不等式一定成立的是1.D.C.B. A.不等式 2.的解集为 A.B.D.C.或满足约束条件则的最小值等于 3.若变量C. D. 2A. B.4.过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为A. 2x＋y－1＝0B. x－2y＋7＝0D. 2x＋y－5 ＝ 0C. x－2y－5＝0?m CAB、5.、三点共线，则已知，若、、 B. 3 A. C. D. 46.下列说法正确的是A. 若两个平面和第三个平面都垂直，则这两个平面平行B. 若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行C. 若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行D. 若两条平行直线中的一条和一个平面平行，则另一条也和这个平面平行，则的倾斜角为已知直线7. C. B.A. D.的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余一个棱长为28. 部分体积的比为 16：：5 D. 1：3 B. 1：4 C. 1A. 1AA在一次函数，图象恒过定点函数，若点9.，的最小值是则的图象上，其中B. 7A. 6C. 8D. 9如图，已知三棱柱10.底面，的各条棱长都相等，且是侧棱的中点，则异面直线( )和所成的角为?? D. A. B.C.64著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可11.与点可以转化为平面上点以转化为几何问题加以解决，如：的最小值为的距离结合上述观点，可得 C.A.B.D.?30ABC?S?2,?ABCPP—ABC—ABC?PA的中，，则三棱锥平面12.在三棱锥，APC?外接球体积的最小值为?32?4?4?64 C. B.A. D.33分）第Ⅱ卷（非选择题共90 20分）4小题，每小题5分，满分本大题共二、填空题(01???x3y．13.直线_________的倾斜角为．恒过定点14.直线_____ 2ax﹣1＜0恒成立，则实数a的取值范围是对于任意实数x，不等式ax ． 15.2﹣截得的弦长为被圆已知，则为正数，若直线16.____________.的最大值是分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（共7010分）17.（本大题满分已知三角形的三个顶点，，，AC边所在直线方程；Ⅰ求BCⅡ求线段的中垂线所在直线方程． 1218.（本大题满分分）的倾B交于A，两点，直线lCl内有一点，直线C已知圆过点：P且和圆斜角为．当ABⅠ的长；时，求弦Ⅱ当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．19.（本大题满分12分）已知函数．在区间上的单调性，并证明你的结论；Ⅰ判断函数a 的取值范围．Ⅱ若时恒成立，求实数在320.（本大题满分12分）????????2x Ra?0ax??a?2?x2????,?12,?.????????2x0?x?c?ax?012x?c3?a?x?2c A 的不等式关于的解集为a的值；Ⅰ求的，不等式Ⅱ若关于解集是集合的不等式c BA?B的取值范围，求实数，若解集是集合.21.（本大题满分12分），D是C﹣AB的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是如图，三棱柱ABC111的中点．ACB；C∥平面ABDⅠ求证：11 A﹣的大小；Ⅱ求二面角A﹣BD1所成的角的正弦值．与平面Ⅲ求直线ABABD11分）22.（本大题满分12lO：，直线．已知圆：lOkAB，当为锐角时，求的取值范围；、Ⅰ若直线与圆交于不同的两点 4 PlPOPCPDCDCD 是作圆的两条切线、是直线上的动点，过、，切点为，则直线Ⅱ若，否过定点？若是，求出定点，并说明理由．EGFHEFGHOⅢ若、为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值． 52019-2020学年秋四川省棠湖中学高二第一学月考试理科数学试题答案一．选择题1.D2.C3.A4.B5.C6.C7.A8.A9.C10.A 11.C 12.D4r?x?PA ABCAC?x?APC?O到平，得，进而得到，由外接圆的半径和的面积为12.设2x12?PAd??ABC，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解的距离为面.2x4PA?APC?x?AC，得的面积为，由2如图所示，设，xr?x ABC?030??ABC，因为，外接圆的半径4?PA ABC?PA，平面，且因为x12?dPA??ABCO的距离为所以到平面，x24222O2?2??x?2rR???d，，则设球的半径为R2x当且仅当时等号成立，2x??3243??2?ABCP?D. ，故选所以三棱锥的外接球的体积的最小值为33二．填空题030 16.4，0]13.（﹣14. 15.r，据此整=2(0,0)16.由题意可知圆的圆心坐标为，半径，结合点到直线距离公式有.，结合二次函数的性质确定其最大值即可理计算可得r =2(0,0)圆的圆心坐标为，半径，由直线被圆截取的弦长为可得圆心到直线的距离，,，取得最大值.时则,6三．解答题AC所在直线方程为，即知直线；、17.⑴由BC中点为，可知⑵由、BC的中垂线斜率为又因为，，所以线段BC的中垂线所在直线方程为。

2019年秋四川省棠湖中学高二期末模拟考试理科数学试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1．直线31y x =-+的倾斜角为A ．30-︒B ．30°C ．120︒D ．150︒2．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ￢为A ．x R ∀∈，210x x ++<B ．x R ∀∈，210x x ++>C ．x R ∀∈，210x x ++≥D ．x R ∃∈，210x x ++≥3．命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是 A ．若22a b >，则a b >，B ．若a b ≤，则22a b ≤ C ．若22a b ≤，则a b ≤D ．若a b >，则22a b ≤4．如图是某班篮球队队员身高(单位：厘米)的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是A ．168B ．181C ．186D ．1915．用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本，将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组（1～13号，14～26号，…，118～130号），若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是A ．36B ．37C ．38D ．396．如图是某超市一年中各月份的收入与支出(单位：万元)情况的条形统计图.已知利润为收入与支出的差，即利润=收入一支出，则下列说法正确的是A ．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B ．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C ．收入最少的月份的利润也最少D ．收入最少的月份的支出也最少7．如图所示，执行如图的程序框图，输出的S 值是A ．1B ．10C ．19D ．28 8．在某次测量中得到的A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．平均数B ．标准差C ．众数D ．中位数9．直线1l ：2230x y +-=和2l ：30x ay ++=垂直，则实数=aA ．1-B ．1C ．1-或1D ．310．已知圆1C ：22140x y x F +++=与圆2C ：22280x y x F +-+=外切，则圆1C 与圆2C 的周长之和为A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y +-=有公共点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是A ．(]1,2B ．[)2,+∞C ．231,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．23,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭12．P 是双曲线2213664x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆22(10)1x y ++=和22(10)4x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为A ．12B ．13C ．14D ．15第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知直线l 经过点()7,1且斜率为1，则直线l 的方程为______．14．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________15．抛物线C: 24y x =的焦点为F ,设过点F 的直线l 交抛物线与,A B 两点，且43AF =,则BF =______.16．已知A ，B 分别为椭圆2214x y +=的右顶点和上顶点，平行于AB 的直线l 与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点,直线CE 、DF 均与椭圆相切,则CE 和DF 的斜率之积等于__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：椭圆22173x y m m+=-+的焦点在x 轴上；命题Q ：关于x 的方程()244210x m x +-+=无实根．（Ⅰ）当“命题p ”和“命题q ”为真命题时，求各自m 的取值范围；（Ⅱ）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知直线210x y --=与直线210x y -+=交于点P（Ⅰ）求过点P 且平行于直线34150x y +-=的直线1l 的方程；（Ⅱ）在（1）的条件下，若直线1l 与圆222x y +=交于A 、B 两点，求直线与圆截得的弦长||AB19．（12分）某城市理论预测2017年到2021年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示： 年份2017x + 0 1 2 3 4 人口总数y 5 7 8 11 19（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程：a x b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）据此估计2022年该城市人口总数.附：1221n i ii n i i x y nx y b x nx==-=-∑∑$，x b y aˆˆ-= 参考数据：051728311419132⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222220123430++++=.20．（12分）已知抛物线21:2C x py =(0)p >，椭圆2222:116x y C b +=（0<b <4），O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，A 是椭圆的右顶点，AOF ∆的面积为4．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值．21．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值．22．（12分） 已知F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，点()2,2P 在C 上，且PF x ⊥轴． （Ⅰ）求C 的方程（Ⅱ）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线4x =于点M ．证明：直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．2019年秋四川省棠湖中学高二期末模拟考试理科数学试题参考答案1．C2．C 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．D13．60x y --= 14．40 15．4 16．14± 17．解：（Ⅰ）由730m m ->+>可知，32m -<<即:32p m -<<.若方程()244210x m x +-+=无实根，则()216430m m ∆=-+<，解得13m <<． （Ⅱ）由“p 且q” 是假命题，“p 或q”是真命题，所以p 、q 两命题中应一真一假，于是3213m m m ≤-≥⎧⎨<<⎩或 或3231m m m 或-<<⎧⎨≥≤⎩，解得2331m m 或≤<-<≤． 18．（ 1）由21012101x y x x y y ⎧--==⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，()1,1P ∴ 令1:340l x y m ++=，将()1,1P 代入得：1:3470l x y +-= (直线表示方式不唯一)（2）圆心()0,0O 到直线1:3470l x y +-=的距离75d ==，所以25AB = 19．解：(1)由题中数表，知()10123425x =++++=， ()157********y =++++=. 所以5152215 3.25ˆi i i i i x y xy b x x==-==-∑∑，3ˆ6ˆ.a y bx =-=. 所以回归方程为 3.2.6ˆ3yx =+. (2)当5x =时， 3.25 3..6ˆ619y=⨯+=(十万)= 196(万). 答：估计2022年该城市人口总数约为196万.20．（Ⅰ）已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为椭圆长半轴长的平方为16，所以右顶点为()4,0A ，又AOF ∆的面积为14422p ⋅⋅=，解得4p =， 所以抛物线方程为28x y =（Ⅱ）由题知直线CD 斜率一定存在，设为k ，则设直线的方程为2y kx =+，联立抛物线方程得：28160x kx --=， 由根与系数的关系12128,16x x k x x +=⋅=- ()22121214CD k x x x x =+⋅+-⋅ ()()()2221841681CD k k k =+⋅--=+，点O 到直线CD 的距离为221d k =+所以OCD S ∆=()22218181821k k k ⋅+⋅=+≥+ 所以，OCD S ∆最小值为8．21．(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面， 故.由条件，，∴平面. 又平面，∴. 由，，可得. ∵是的中点，∴. 又，综上得平面. （2）过点作，垂足为，连接， 由（1）知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，可得．设，可得，，，． 在中，∵，∴，则 ， 在中，.22．解：（1） 因为点2)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =，设椭圆C 左焦点为E ，则24EF c ==，2PF =Rt EFP ∆中，222||||18PE PF EF =+=，所以32PE =． 所以242a PE PF =+=22a =2224b a c =-=，故椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）证明：由题意可设直线AB 的方程为(2)y k x =-，令4x =得，M 的坐标为(4,2)k ， 由22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(21)88(1)0k x k x k +-+-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则有2122821k x x k +=+，21228(1)21k x x k -=⋯+①． 记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， 从而11122y k x =-，22222y k x =-，3222422k k k ==--． 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以11(2)y k x =-，22(2)y k x =-，所以121212*********()222222y y y y k k x x x x x x +=+=++------12122k =②． ①代入②得22122282242121k k k k k k k +==-+++又3k k =-，所以1232k k k +=，故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．。

四川省棠湖中学2019-2020学年高二数学上学期期末模拟试题 理第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．直线31y x =-+的倾斜角为 A ．30-︒B ．30°C ．120︒D ．150︒2．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ￢为A ．x R ∀∈，210x x ++<B ．x R ∀∈，210x x ++>C ．x R ∀∈，210x x ++≥D ．x R ∃∈，210x x ++≥3．命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是A ．若22a b >，则a b >，B ．若a b ≤，则22a b ≤C ．若22a b ≤，则a b ≤D ．若a b >，则22a b ≤4．如图是某班篮球队队员身高(单位：厘米)的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是A ．168B ．181C ．186D ．1915．用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本，将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组（1～13号，14～26号，…，118～130号），若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是 A ．36 B ．37 C ．38 D ．396．如图是某超市一年中各月份的收入与支出(单位：万元)情况的条形统计图.已知利润为收入与支出的差，即利润=收入一支出，则下列说法正确的是A ．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B ．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C ．收入最少的月份的利润也最少D ．收入最少的月份的支出也最少7．如图所示，执行如图的程序框图，输出的S 值是 A ．1B ．10C ．19D ．288．在某次测量中得到的A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A ．平均数 B ．标准差 C ．众数 D ．中位数9．直线1l ：2230x y +-=和2l ：30x ay ++=垂直，则实数=a A ．1-B ．1C ．1-或1D ．310．已知圆1C ：22140x y x F +++=与圆2C ：22280x y x F +-+=外切，则圆1C 与圆2C 的周长之和为 A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y +-=有公共点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 A ．(]1,2B ．[)2,+∞C ．231,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．23,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭12．P 是双曲线2213664x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆22(10)1x y ++=和22(10)4x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为A ．12B ．13C ．14D ．15第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知直线l 经过点()7,1且斜率为1，则直线l 的方程为______． 14．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________15．抛物线C: 24y x =的焦点为F ,设过点F 的直线l 交抛物线与,A B 两点，且43AF =,则BF =______.16．已知A ，B 分别为椭圆2214x y +=的右顶点和上顶点，平行于AB 的直线l 与x 轴、y轴分别交于C 、D 两点,直线CE 、DF 均与椭圆相切,则CE 和DF 的斜率之积等于__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知命题p ：椭圆22173x ym m+=-+的焦点在x 轴上；命题Q ：关于x 的方程()244210x m x +-+=无实根．（Ⅰ）当“命题p ”和“命题q ”为真命题时，求各自m 的取值范围； （Ⅱ）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知直线210x y --=与直线210x y -+=交于点P（Ⅰ）求过点P 且平行于直线34150x y +-=的直线1l 的方程；（Ⅱ）在（1）的条件下，若直线1l 与圆222x y +=交于A 、B 两点，求直线与圆截得的弦长||AB19．（12分）某城市理论预测2017年到2021年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示： 年份2017x +0 1 2 3 4人口总数y 57 8 11 19（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程：a x b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）据此估计2022年该城市人口总数.附：1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$，x b y aˆˆ-= 参考数据：051728311419132⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222220123430++++=.20．（12分）已知抛物线21:2C x py =(0)p >，椭圆2222:116x y C b+=（0<b <4），O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，A 是椭圆的右顶点，AOF ∆的面积为4．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值．21．（12分） 如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值．22．（12分）已知F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，点()2,2P 在C 上，且PF x ⊥轴．（Ⅰ）求C 的方程（Ⅱ）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线4x =于点M ．证明：直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．2019年秋四川省棠湖中学高二期末模拟考试理科数学试题参考答案1．C 2．C3．C4．C5．A6．D7．C8．B9．A10．B11．B 12．D13．60x y --=14．4015．4 16．14±17．解：（Ⅰ）由730m m ->+>可知，32m -<<即:32p m -<<.若方程()244210x m x +-+=无实根，则()216430m m ∆=-+<，解得13m <<．（Ⅱ）由“p 且q” 是假命题，“p 或q”是真命题，所以p 、q 两命题中应一真一假，于是3213m m m ≤-≥⎧⎨<<⎩或 或3231m m m 或-<<⎧⎨≥≤⎩，解得2331m m 或≤<-<≤．18．（ 1）由21012101x y x x y y ⎧--==⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，()1,1P ∴令1:340l x y m ++=，将()1,1P 代入得：1:3470l x y +-= (直线表示方式不唯一) （2）圆心()0,0O 到直线1:3470l x y +-=的距离75d ==，所以25AB = 19．解：(1)由题中数表，知()10123425x =++++=， ()15781119105y =++++=. 所以5152215 3.25ˆi i i i i x y xy b x x ==-==-∑∑，3ˆ6ˆ.a y bx =-=. 所以回归方程为 3.2.6ˆ3yx =+. (2)当5x =时， 3.25 3..6ˆ619y=⨯+=(十万)= 196(万). 答：估计2022年该城市人口总数约为196万. 20．（Ⅰ）已知0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为椭圆长半轴长的平方为16，所以右顶点为()4,0A ，又AOF ∆的面积为14422p⋅⋅=，解得4p =， 所以抛物线方程为28x y =（Ⅱ）由题知直线CD 斜率一定存在，设为k ，则设直线的方程为2y kx =+，联立抛物线方程得：28160x kx --=，由根与系数的关系12128,16x x k x x +=⋅=-()22121214CD k x x x x =+⋅+-⋅()()()2221841681CD k k k =+⋅--=+，点O 到直线CD 的距离为221d k=+所以OCD S ∆=()22218181821k k k ⋅+⋅=+≥+ 所以，OCD S ∆最小值为8． 21．(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面，故.由条件，，∴平面. 又平面，∴. 由，，可得.∵是的中点，∴. 又，综上得平面.（2）过点作，垂足为，连接， 由（1）知，平面，在平面内的射影是，则．因此是二面角的平面角．由已知，可得．设，可得，，，．在中，∵，∴，则 ，在中，.22．解：（1） 因为点2)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =， 设椭圆C 左焦点为E ，则24EF c ==，2PF =Rt EFP ∆中，222||||18PE PF EF =+=，所以32PE =所以242a PE PF =+=22a =2224b a c =-=，故椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）证明：由题意可设直线AB 的方程为(2)y k x =-， 令4x =得，M 的坐标为(4,2)k ，由22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(21)88(1)0k x k x k +-+-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有2122821k x x k +=+，21228(1)21k x x k -=⋯+①． 记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， 从而11122y k x =-，22222y k x =-，3222422k k k ==--． 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以11(2)y k x =-，22(2)y k x =-，所以121212121212112()222222y y y y k k x x x x x x +=+=++------12122k =②．①代入②得22122282242121k k k k k k k +==-+++又3k k =-，所以1232k k k +=，故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．。

2019-2020学年秋四川省棠湖中学高二开学考试理科数学试题第I 卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.=A. B.C.D.2.在中，， 则这个三角形的最大内角为A.B.C.D.3.已知数列{}n a 的前项和n S 满足： n m n m S S S ++=，且11a =，那么10a = ( )． A.B. 9C. 10D. 554.在等比数列中，，，则公比q 是 A. 2B. 3C. 4D. 55.张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加 A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 6.函数的图象大致为A. B. C. D.7.,,若则实数a 的取值范围是A.B.{a|或}C.{a|或｝D.8.已知的三个顶点A ，B ，C 及半面内的一点P ，若，则点P 与的位置关系是 A. 点P 在内部 B. 点P 在外部C. 点P 在线段AC 上D. 点P 在直线AB 上9.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，此时测得点的仰角为再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是A. 10B. 10C. 10D. 1010.如图是某几何体的三视图,图中方格的单位长度为1,则该几何体的表面积为A. 16B. 8+4C. 8+4D. 12+411.已知函数的最小值为则实数m 的取值范围是 A.B.C.D.12.三棱锥P ABC -， PA ABC ⊥平面 ， AC BC ⊥， 2,AC BC == PA =球的表面积为 A. 4πB. 8πC. 16πD. 64π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.不等式的解集是__________． 14.已知，则_____________． 15.已知数列为等差数列且，则______．16.若函数f （x ）=（1-x 2）（x 2+bx+c ）的图象关于直线x=-2对称，则b+c 的值是______． 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本大题满分10分）已知4a =， 8b =， 120a b ︒与夹角是.Ⅰ计算a b +；Ⅱ当k 为何值时， ()()2a b ka b +⊥-.18.（本大题满分12分） 已知函数．Ⅰ求，的值；Ⅱ求的最小正周期及对称轴方程；Ⅲ当时，求的单调递增区间．19.（本大题满分12分） 已知数列的前n 项和为，且Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n 项和．20.（本大题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ， 2PA AD ==， BD =Ⅰ求证：BD⊥平面PAC；--余弦值的大小；Ⅱ求二面角P CD BⅢ求点C到平面PBD的距离．21.（本大题满分12分）已知函数，．Ⅰ当时，求的最大值；Ⅱ若函数为偶函数，求m的值；Ⅲ设函数，若对任意，总有，使得，求m的取值范围．22.（本大题满分12分）已知函数．Ⅰ设a，，证明：；Ⅱ当时，函数有零点，求实数m的取值范围．2019-2020学年秋四川省棠湖中学高二开学考试理科数学试题答案1.C2.C3.A4.A5.C6.C7.C8.C9.B 10.C 11.B12.C13. 14. 15. 16.2317.解析：（1）由已知得： 148162a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭222248a b a a b b +=+⋅+=43a b ∴+=（2）()()2a b ka b +⊥- ()()20a b ka b ∴+⋅-=()222120ka k a b b ∴+-⋅-=()1616212640k k ∴---⨯= 7k ∴=-18.Ⅰ函数．，，则：．．Ⅱ由于：，所以：函数的最小正周期，令， 解得：，所以函数的对称轴方程为：．Ⅲ令，解得，由于，所以：当或1时，函数的单调递增区间为：和19.数列的前n项和为，且．当时，，得：，所以：，则数列是以为首项，2为公比的等比数列．则，当时，符合通项，故：．由得：，则：，所以：，得：，，解得：．20解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=450. 二面角P—CD—B余弦值为。

2020年秋四川省棠湖中学高二开学考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．化简cos18cos 42cos72sin 42-的值为A B ．12C ．12-D ． 2．若a b <，则下列不等式成立的是 A ．11a b> B ．22a b <C ．lg lg a b <D ．33a b <3．已知直线2120l x a y a -+=：与直线()2110l a x ay --+=：互相平行，则实数a 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．24．在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD =A ．14AB +34AC B ．34AB +14ACC ．13AB +23ACD ．23AB +13AC 5．已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中1O B O C ''''==，则此正三棱锥的体积为A B ．C D6．设α、β、γ是三个不同平面，l 是一条直线，下列各组条件中可以推出//αβ的有①l α⊥，l β⊥ ②//l α，l β// ③//αγ，//βγ ④αγβγ⊥⊥， A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．在ABC 中，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 是 A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线10mx ny ++=上，其中mn 、均为正数，则12m n+的最小值为 A ．2B ．4C ．6D ．89．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为A ．8πB ．414πC ．283πD ．1369π10．设函数221,1()22,1x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩，若f （x 0）＞1，则x 0的取值范围是 A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）11．在ABC 中，如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=C ∠的大小为A ．30B ．150︒C ．30或150︒D ．60︒或120︒12．在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，点P 在CD 边上运动(如图甲)，现以AP 为折痕将DAP 折起，使得点D 在平面ABCP 内的射影O 恰好落在AB 边上(如图乙)．设(01)CP x x =<<二面角D -AP -B 的余弦值为y ，则函数()y f x =的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年四川省成都市双流区棠湖中学高二上学期开学数学（理）试题一、单选题1．cos42cos18cos72sin 42︒︒-︒︒= （ ）A ．2B ．12C ．12-D ． 【答案】B【解析】利用诱导公式和逆用余弦和角公式计算即可.【详解】 解：1cos 42cos18cos72sin 42cos 42cos18sin18sin 42cos602︒-︒︒=︒︒-︒︒︒=︒=. 故选：B .【点睛】本题考查三角函数的诱导公式及余弦和角公式的逆用，属于基础题.2．若a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．22a b <C ．lg lg a b <D ．33a b <【答案】D【解析】根据不等式的性质结合函数的单调性即可判断.【详解】对于A ，若0,0a b <>，则11a b<，故A 错误； 对于B ，若2,1a b =-=，则22a b >，故B 错误；对于C ，若0a <，则lg a 没有意义，故C 错误；对于D ，因为3xy =在R 上单调递增，若a b <，则33a b <，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知直线2120l x a y a -+=：与直线()2110l a x ay --+=：互相平行，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B 【解析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果．【详解】解：当0a =时，直线1l ：即0x =，直线2l ：即1x =，满足12l l //．当0a ≠时，直线21:20l x a y a -+=与直线2:(1)10l a x ay --+=互相平行，∴2211a a a a -=≠--，解得实数a ∈∅． 综上，0a =，故选：B ．【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题．4．在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD =A ．14AB +34AC B ．34AB +14AC C ．13AB +23ACD ．23AB +13AC 【答案】C【解析】根据向量减法和2BD DC =用,AB AC 表示BD ，再根据向量加法用,AB BD 表示AD .【详解】如图：因为22,()33BC AC AB BD BC AC AB =-==-， 所以212()333AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+， 故选C.【点睛】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.5．已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中1O B O C ''''==，则此正三棱锥的体积为（ ）A 3B ．33C ．34D 33【答案】A 【解析】根据''B C 的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三棱锥的体积.【详解】 由于1O B O C ''''==，所以''2B C =，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为2，其面积为23234⨯=13333=故选：A【点睛】本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，属于基础题.6．设α、β、γ是三个不同平面，l 是一条直线，下列各组条件中可以推出//αβ的有（ ）①l α⊥，l β⊥ ②//l α，l β// ③//αγ，//βγ ④αγβγ⊥⊥， A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】A【解析】根据线面垂直的性质，面面平行的判断定理及性质，以及空间中平面间的位置关系，即可得出结论.【详解】①垂直于同一条直线的两个平面平行；因为l α⊥，l β⊥，所以//αβ；故①正确； ②因为//l α，l β//，所以α与β可能平行或相交；故②错；③平行于同一个平面的两个平面平行；因为//αγ，//βγ，所以//αβ；故③正确； ④因为αγβγ⊥⊥，，则α与β可能平行或相交；故④错；故选：A.【点睛】本题主要考查判断面面平行，熟记面面平行的判定定理及性质，以及线面垂直的性质即可，属于常考题型.7．在ABC 中，若cos cos cos a b c A B C ==，则ABC 是（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B【解析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状.【详解】 由正弦定理sin sin sin cos cos cos cos cos cos a b c A B C A B C A B C==⇒==， 即tan tan tan A B C ==，因为0A π<<，0B π<<，0C π<<，所以A B C ==，所以ABC 是等边三角形.故选：B【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，从而判断三角形的形状，属基础题.8．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线10mx ny ++=上，其中mn 、均为正数，则12m n +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D 【解析】试题分析：210kx y k -+-=变形为()21k x y +=+，所以过定点()2,1--，代入直线得21m n +=()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n =时等号成立，取得最小值8【考点】1．直线方程；2．均值不等式求最值9．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．8πB ．414πC ．283πD ．1369π 【答案】B 【解析】先根据三视图还原几何体,再求出几何体底面ABC 的外接圆圆心及半径,然后利用“三棱锥的外接球球心在过底面中心的垂线上”这一性质,确定外接球球心,最后利用勾股定理求出外接球半径即可得解. 【详解】根据三视图还原几何体如下:设D 为AB 的中点,则有2,2,2,AB CD PA AC BC ====,且PA ⊥平面ABC , 设M 为ABC 的外心,r 为ABC 的外接圆半径,则AM CM r ==,故在AMD 中,有222AD MD AM +=,即2251(2)4r r r +-=⇒=,如图所示,过M 作//MN PA ,且MN PA =,此时MN ⊥平面ABC ,设MN 的中点为O ,则OP OA =,故点O 即为三棱锥P ABC -的外接球球心, 又2224116AO AM OM =+=,所以三棱锥P ABC -的外接球半径R =, 所以三棱锥P ABC -的外接球表面积24144S R ππ==, 故选:B.【点睛】 本题主要考查了三棱锥外接球半径的求法,考查了三视图还原几何体,有一定难度.本题中既可利用“三棱锥的外接球球心在过底面中心的垂线上”这一性质去确定外接球球心,也可将三棱锥还原成对应的三棱柱去确定球心,要求学生具备一定的空间思维与想象能力.10．设函数221,1()22,1x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(,1)[1,)-∞-+∞C ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞D ．(,3)[1,)-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】分01x ≥和01x <两种情况求解不等式即可得解.【详解】当01x ≥时，000()211,0f x x x =+>>，则01x ≥当01x <时，2000()221f x x x =-->，200230x x -->，有01x <-或03x >，则01x <-，综上可知：0x 的取值范围是01x <-或01x ≥.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解不等式，分类讨论是解题的关键，属于基础题.11．在ABC 中，如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=C ∠的大小为（ ）A ．30B ．150︒C ．30或150︒D ．60︒或120︒【答案】A【解析】对4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=出30C ︒=或150︒，再由三角函数的性质验证150C ︒=，即可得出答案.【详解】4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=2216sin 16sin cos 4cos 1A A B B ∴++=①224sin 16sin cos 16cos 27B B A A ∴++=②①+②得2016sin()28A B ++= 即1sin()sin()sin 2A B C C π+=-== ()0,180C ︒︒∈30C ︒∴=或150︒当150C ︒=时，则030,030A B ︒︒︒︒<<<< 12sin 212B ∴<⨯=，4cos 4A < 2sin 4cos 5B A ∴+<5∴<150C ︒∴=不满足题意故选：A【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式，平方关系，三角函数的性质，属于中档题. 12．在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，点P 在CD 边上运动(如图甲)，现以AP 为折痕将DAP 折起，使得点D 在平面ABCP 内的射影O 恰好落在AB 边上(如图乙)．设(01)CP x x =<<二面角D -AP -B 的余弦值为y ，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分别取0x =和12x =，计算出二面角D -AP -B 的余弦值为14和49，对比图象得到结果.【详解】当0x =时，作OM AC ⊥于M ，连结DM ，因为DO ⊥平面ABC ，所以DMO ∠是二面角D -AP -B 的平面角，可以求得2555DM==，510MO=，所以1cos4DMO∠=，所以排除A、B；当12x=时，作OM AP⊥于M，连结DM，因为DO⊥平面ABC，所以DMO∠是二面角D-AP-B的平面角，可以求得31313213132DM⨯==，413MO=41cos92DMO∠=<，排除C,故选：D.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有翻折问题，二面角的余弦值，图象的识别，属于中档题目.二、填空题13．函数245y x x=--____________.【答案】(][),15,-∞-⋃+∞【解析】解一元二次不等式，即可得出其定义域.【详解】依题意2450x x--≥即()()510x x-+≥，解得1x≤-或5x≥.所以函数245y x x=--(][),15,-∞-⋃+∞.故答案为：(][),15,-∞-⋃+∞【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，涉及了一元二次不等式的应用，属于基础题. 14．求值：sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______【解析】根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可.【详解】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒ sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒ sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.15．已知1cos()43πα+=，则sin 2α=__________． 【答案】79【解析】根据二倍角公式求得cos 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭，利用诱导公式求得结果. 【详解】 1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 114992ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又cos 2sin 22παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 7sin 29α∴= 本题正确结果：79 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题.16．ABC中，2AB BA BC=⋅，0OA OC AB++=，且1OA AB==，则CA CB⋅=______.【答案】3【解析】由2AB BA BC=⋅得出AB AC⊥，由0OA OC AB++=得O是BC中点，在直角三角形中求出角C，再根据数量积的定义计算．【详解】由2AB BA BC=⋅得22()0AB BA BC AB AB BC AB AB BC AB AC-⋅=+⋅=⋅+=⋅=，所以AB AC⊥，又0OA OC AB OB OC++=+=，所以O是BC中点，如图Rt ABC中，1AB=，1OA OB OC===，所以30C=︒，22213AC=-=，所以23cos303CA CB⋅=⨯︒=．故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键由已知数量积为0得出直角三角形，由向量的线性运算得出O是BC中点．三、解答题17．化简或求值：（1）313127262-⎛⎫+-⎪⎝⎭；（2）()281lg500lg lg64lg2lg552+-++【答案】（1）6；（2）3.【解析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质，即可求解.【详解】（1）由实数指数幂的运算性质，可得原式=()13332138136+-=+-=；（2）由对数的运算性质，可得原式=12lg 5lg100lg8lg 5lg 641++--+ =lg100lg8lg81+-+=2lg101213+=+=. 【点睛】本题主要考查了指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查计算能力. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35，求cos2sin cos θθθ-⋅的值. （2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值. 【答案】（1）15（2）13-【解析】（1）由三角函数的定义知，3cos 5θ=-，4sin 5θ=，又2cos22cos 1θθ=-，代入即可得到答案； （2）利用公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅计算即可.【详解】 （1）P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35，则3cos 5θ=-，4sin 5θ=，2cos2sin cos 2cos 1sin cos θθθθθθ∴-⋅=--⋅93412125555⎛⎫=⨯---⨯= ⎪⎝⎭. （2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则1tan tan1142tan tan 1431tan tan 142παπθαπα--⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭+⋅+. 【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233=+nn S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求证{}n b 的前n 项和1312n T <. 【答案】（1）13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，求出n a ，同时由11a S =计算出1a ； （2）由（1）求出n b ，11T b =，2n ≥时，12()n n T b b b =+++，从2b 到n b 的和用错位相减法计算，求出n T 后易知不等式成立． 【详解】（1）因为233=+nn S ，所以1233a =+，故13a =，当1n >时，11233--=+n n S ，此时1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，即13-=n n a ，1n =不合， 所以13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩. （2）因为3log n n n a b a =，所以113b =. 当1n >时，11133log 3(1)3n n nn b n ---==-⋅.所以1113T b ==； 当1n >时，123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+12111323(1)33nn ---⎡⎤=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎣⎦， 所以012311323(1)3nn T n --⎡⎤=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎣⎦，两式相减，得()01221223333(1)33n n n T n ----=++++⋅⋅⋅+--⨯ 111213(1)3313n nn ----=+--⨯- 1363623nn +=-⨯， 所以13631243n n n T +=-⨯. 经检验，1n =时也适合. 综上可得13631243n nn T +=-⨯. ∴1312n T <. 【点睛】本题考查由前n 项和n S 求通项n a ，考查分组求和与错位相减法求和．在由n S 求通项n a 时一定要注意1n n n a S S -=-中有2n ≥，而11a S =，因此要分类讨论．数列求和除要掌握等差数列与等比数列前n 项和公式外，还必须掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．20．某公司有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*∈x x N 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10250x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a 的取值范围． 【答案】（1）()0500x x N*<≤∈；（2）(]0,4. 【解析】（1）利用剩余员工创造的年总利润大于等于原来的年总利润可构造不等式求得结果；（2）根据题意得到()1101010001250500x a x x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分离变量可知10001500x a x ≤++，根据对号函数单调性可求得10001500x y x=++的最小值，由此得到结果. 【详解】（1）由题意得：()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 即25000x x -≤，又0x >，()0500x x N*∴<≤∈；（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10250x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭万元，从事原来产业的员工的年总利润为()11010001500x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭万元，则()1101010001250500x a x x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22110002250500x ax x x x ∴-≤+--，即10001500x a x ≤++恒成立， 函数10001500x y x =++在(]0,500上是减函数， ∴函数10001500x y x=++的最小值为4，04a ∴<≤. 即a 的取值范围为(]0,4. 【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，涉及到函数最值的求解问题；本题中求解参数范围的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的关系，利用对号函数性质求得函数最值，进而得到参数范围.21．如图，已知四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是正三角形，底面ABCD 为边长2的菱形，60BAD ︒∠=，3PB =.（1）设平面PAD 平面PBC l =，求证：//l BC ；（2）求多面体PABD 的体积； （3）求二面角A PB D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2（3）17-.【解析】（1）由//AD BC ，证得//BC 平面PAD ，再由线面平行的性质，即可得到//l BC ；（2）取AD 中点O ，连结,,OP OB BD ，推得OP AD ⊥，OB AD ⊥，得到AD ⊥平面POB ，再由多面体PABD 的体积PABD D OPB A OPB V V V --=+，结合体积公式，即可求解； （3）由APB DBP △≌△，设PB 的中点为E ，连结,AE DE ，推得,AE PB DE PB ⊥⊥，从而得到AED ∠就是二面角A PB D --的平面角，由此可求得二面角A PB D --的余弦值. 【详解】证明：（1）因为BC ⊄平面,PAD AD ⊂平面,//PAD AD BC ， 所以//BC 平面PAD ， 又BC ⊂平面PBC ，平面PAD平面PBC l =，所以//l BC ；（2）取AD 中点O ，连结,,OP OB BD ，由PA PD =得OP AD ⊥， 同理OB AD ⊥，又因为OP OB O =，所以AD ⊥平面POB ，在OPB △中，3OP OB PB ===，所以13224OPB S =⨯⨯=△， 所以多面体PABD 的体积PABD D OPB A OPB V V V --=+1133OPB OPB S OD S OA =⋅+⋅△△11()33OPB OPB S OD OA S AD =+=⋅△△123==； （3）由题意知，底面ABCD 为边长2的菱形，60BAD ︒∠=， 所以BD AB =，又,PA PD PB PB ==，所以APB DBP △≌△， 设PB 的中点为E ，连结,AE DE ，由侧面PAD 是正三角形知，,PA AD PD BD ==，所以,AE PB DE PB ⊥⊥， 因此AED ∠就是二面角A PB D --的平面角，在AED 中，72AE DE ==，2AD =， 由余弦定理得2227721cos 777222AED ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==-⨯⨯，二面角A PB D --的余弦值为17-.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定，多面体的体积的计算，以及二面角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及而面积的平面角的定义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 22．已知()1xx f x e k e=+⋅，()()ln 31ln32x g x a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦． （1）若函数()f x 在[)0,+∞为增函数，求实数k 的值；（2）若函数()f x 为偶函数，对于任意[)10x ∈+∞,，任意2x R ∈，使得()()122g x f x ≤-成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(],1-∞；（2）[]1,3.【解析】（1）任取120x x >≥，由()()120f x f x ->，得出12x x k e +<，求出12x x e +的取值范围，即可得出实数k 的取值范围；（2）由偶函数的定义可求得1k =，由题意可得出()()max min 20g x f x ⎡⎤≤-=⎣⎦，由此可得出110x ae -≥对于任意[)10,x ∈+∞成立，利用参变量分离法得出11x a e ≥，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）任取120x x >≥，则()()()()()21121212121212121x x x x x x x x x x x x x x k e e k k k f x f x e e e e e e e e e e++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，120x x >≥，则120x x e e ->， 且()()1212010x x k f x f x e+->⇒->，12x x k e +∴<，120x x >≥，120x x ∴+>，则121x x e +>，1k ∴≤，因此，实数k 的取值范围是(],1-∞； （2）函数()1xxf x e k e =+⋅为偶函数，则()()f x f x =-， 即1xx xx x x k k e e ke e e e --+=+=+，即()110x x k e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立， 所以10k -=，解得1k =，则()1xx f x e e=+， 由（1）知，函数()1xxf x e e =+在[)0,+∞上为增函数， 当[)0,x ∈+∞时，()min 2220f x ⎡⎤-=-=⎣⎦，对于任意[)10,x ∈+∞，任意2x R ∈，使得()()122g x f x ≤-成立，()()12min 20g x f x ⎡⎤∴≤-=⎣⎦对于任意[)10,x ∈+∞成立，即()11ln 31ln320xa e a x ⎡⎤-+--≤⎣⎦（）对于任意[)10,x ∈+∞成立，由()1310xa e -+>对于任意[)10,x ∈+∞成立，则1130x a e a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩， 10x ≥，则11334x e <+≤，03a ∴<≤. （）式可化为()()1121ln 31ln32ln 3xx a e a x ae⎡⎤-+≤+=⎣⎦，即对于任意[)10,x ∈+∞，()112313xx a e ae-+≤成立，即()1123310x x aea e +--≥成立，即对于任意[)10,x ∈+∞，()()113110xxe ae +-≥成立，因为1310x e +>，所以110x ae -≥对于任意[)10,x ∈+∞成立, 即1max1x a e ⎛⎫≥⎪⎝⎭任意[)10,x ∈+∞成立，所以1a ≥， 由03a <≤得13a ≤≤，所以a 的取值范围为[]1,3.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，同时考查了与指数、对数最值相关的综合问题，涉及参变量分离思想的应用，考查化归与转化思想的应用，属于难题.。