重点高中自招必备 七年级 专题09 含绝对值符号的一次方程

09 含绝对值符号的一次方程阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如||(0)ax b c c +=…的最简绝对值方程 这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax b c +=或ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题与求解【例1】 方程|5|25x x -+=-的解是__________．（四川省竞赛试题）解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．【例2】 方程|1||3|4x x ++-=的整数解有（ ）． A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．【例3】 已知：有理数x 、y 、z 满足0xy <，0yz >．并且||3x =，||2y =，|1|2z +=．求x y z ++的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：本题关键在于确定x 、y 、z 的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．【例4】 解下列方程：（1）||31||4x x -+=；（天津市竞赛试题）（2）|3||1|1x x x +--=+；（北京市“迎春杯”竞赛试题）（3）|1||5|4x x -+-=．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．【例5】 已知|2||1|9|5||1|x x y y ++-=---+，求x y +的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）解题思路：已知等式可化为：|2||1||1||5|9x x y y ++-+++-=，再根据绝对值的几何意义来探求x 、y 的取值范围，进而可得x y +的最大值与最小值．【例6】 当10m -<…时，试判定关于x 的方程|1|x mx -=的解的情况．（上海市竞赛试题）解题思路：由于10m -<…，且|1|0x -…，就有0x …，进而计算． 能力训练A 级1．方程|56|65x x +=-的解是_______________．（重庆市竞赛试题）2．方程13|2||2|035y y +--=的解是_______________，方程||3(||1)15x x -=+的解是_______________．3．已知|39901995|1995x +=，那么x =__________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）4．巳知||2x x =+，那么9919327x x ++的值为__________．（“希望杯”邀请赛试题）5．若方程23|10021002|1002x -=的解分别是1x 、2x ，则12x x +=__________．（“希望杯”邀请赛试题）6．满足2()()||a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）的有理数a 和b ，一定不满足的关系是（ ）．A ．0ab <B ．0ab >C ．0a b +>D ．0a b +<7．有理数a 、b 满足||||a b a b +<-，则（ ）．A ．0a b +…B ．0a b +<C ．0ab <D ．0ab …8．若关于x 的方程|23|0x m -+=无解，|34|0x n -+=只有一个解，|45|0x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系是（ ）．A ．m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >>（“希望杯”邀请赛试题）9．方程|5|50x x -+-=的解的个数为（ ）． A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．若关于x 的方程||2|1|x a --=有三个整数解，则a 的值是（ ）．A ．0B ．2C ．1D ．3（全国初中数学联赛试题）11．解下列方程： （1）142|1|32x -+=； （2）1|1|32x x -=-； （3）||21||3x x -+=； （五城市联赛试题）（4）|21||2||1|x x x -+--+．（全国通讯赛试题）12．求关于x 的方程||2|1|0x a ---=（01a <<）的所有解的和．（陕西省竞赛试题）B 级1．关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是0x =，则a 的值是__________；关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是1x =，则有理数a 的取值范围是__________．2．若010x <<，则满足条件|3|x a -=的整数a 的值共有__________个，它们的和是__________．（“希望杯”邀请赛试题）3．若0a >，0b <，则使||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围是__________．（武汉市选拔赛试题）4．已知||0a a +=且1a ≠-，那么||1|1|a a -=+__________．5．若有理数x 满足方程|1|1||x x -=+，那么化简|1|x -的结果是（ ）． A ．1B ．xC ．1x -D ．1x -6．适合关系式|34||32|6x x -++=的整数x 的值有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数7．如果关于x 的方程|1||1|x x a ++-=有实根．那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．0a …B ．0a >C ．1a …D ．2a …（武汉市竞赛试题）8．巳知方程||1x ax =+有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是（ ）． A ．1a =B ．1a >-C ．1a …D ．1a <（全国初中数学联赛试题）9．设a 、b 为有理数，且方程||||3x a b --=有三个不相等的解，求b 的值．（“华罗庚金杯”邀请赛试题）10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=有一解？有无数多解？无解？（江苏省竞赛试题）11．用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有220032004||a b a b a a+⊕=-，已知20042x ⊕=，求x 的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-． 又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0； 当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2． 综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2． 例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5； 当－3≤x＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1； 当x≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3； 故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时，有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6. 例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx ≤<⎧⎨-=⎩②当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为111m≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-1 4． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002² 6． A 提示:a <b 7． C 8．A 9．B10．C 提示:用筛选法 11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3 ⑵ ｘ=4⑶43x =- 或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到 122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a ,x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8 B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6.C提示由绝对值的几何意义知-2≤3X≤47.D提示用绝对值得几何意义求解8.C提示:当a＞1时,方程有一负根;当a＜1时,方程有一正根.9.提示:若b+3,b-3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=310.提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a＜3时,方程有一解;当a=±3时,方程有无穷多个解;当a>3或a＜-3时,方程无解.11.根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x⨯+⨯++====⨯-⨯⊕解得x=±2003。

含绝对值号的一元一次方程题目特点：一元一次方程中的未知数含有绝对值号。

解题关键：去绝对值号，化为一元一次方程求解。

解题方法：分类讨论，分x ≥0和x ＜0两种情况讨论。

讨论时，要注意方程的解是否符合题意。

解题关键：去绝对值号。

所用知识：0||0x x x x x ⎧=⎨-<⎩?。

,,||(),.x a x a x a x a a x x a -⎧-=⎨--=-<⎩… 例1 方程|3x|=15的解的情况是（ ）A 、有一个解，是5B 、无解C 、有无数个解D 、有两个解，是±5解：①当x ≥0时，去绝对值得：3x=15，解得：x=5；②当x ＜0时，去绝对值得：-3x=15，解得：x=-5。

故方程有两根，分别为x=5和x=-5．故选D ．点评：这是绝对值方程，正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 例2 若关于x 的方程||21x x =+的解为负数，则x 的值为（ ）A 、14-B 、13-C 、12- D 、-1 分析：分x ≥0和x ＜0两种情况讨论去绝对值即可．解：①当x ≥0时，去绝对值得，x=2x+1，解得x=-1，不符合预设的x ≥0，舍去．②当x ＜0时，去绝对值得，-x=2x+1，得13x =-．故选B ．例3 方程2|x-5|=6x 的解为（ ）A 、x=52-或54x =B 、x=52或54x =-C 、54x =D 、52x =- 分析：首先考虑去掉绝对值，这是要考虑x 的取值范围，即x ＞5和x ＜5，又有方程2|x-5|=6x 可知，x ＞0，由上可知方程的解．解：（1）当x ≥5时，2（x-5）=6x ，∴4x=-10，解得x=52-，与x ＞5矛盾，舍去； （2）当x ＜5时，2（5-x ）=6x ，∴8x=10，解得x=54；故选C 。

点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算题，充分考察了绝对值的几何意义．难易适中．例4 方程|21|45x x -=+的解是（ ）A 、x=-3或23x =-B 、x=3或23x =C 、23x =- D 、3x =- 分析：分210x -…和210x -<两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．解：①当2x-1≥0，即x ≥12时，原式可化为：2145x x -=+，解得，x=-3，舍去； ②当2x-1＜0，即x ＜12时，原式可化为：1245x x -=+，解得，23x =-，符合题意． 故此方程的解为23x =-．故选C ．练习：1．方程|2x-6|=0的解是（）A、3B、-3C、±3D、132．方程|3x|=15的解的情况是（）A、有一个解，是5B、无解C、有无数个解D、有两个解，是±5 3．方程|2007x-2007|=2007的解是（）A、0B、2C、1或2D、2或04．若|x-2|=3，则x的值是（）A、1B、-1C、-1或5D、以上都不对5．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）A、-2B、0C、23D、不存在6．已知|3x|-y=0，|x|=1，则y的值等于（）A、3或-3B、1或-1C、-3D、37．关于x的方程mx+1=2（m-x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（）A、43B、43-C、34D、34-8．已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足|x-12|-1=0，则m的值是（）A、10或25B、10或25-C、-10或25D、-10或25-9．方程|x|=5的解是x= ，|x-2|=0的解是，3|x|=-6的解是，|x+2|=3的解是。

含绝对值的一次方程的解法绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程。

在解含有绝对值的方程时，关键是利用绝对值的定义，去掉绝对值的符号，从而转化为不含绝对值的方程。

如果x a =，（a 是常数）当0a 时，x a =± 当0a =时，0x =当0a 时，此方程无解1．含绝对值的一次方程的解法 （1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法： ①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c bx a--=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解． （3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b cx ++=． （5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥； ③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解． （6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法： 解法一：由内而外去绝对值符号： 按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解． 解法二：由外而内去绝对值符号： ①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和()()ax b ex f cx d +=-+-+； ③解②中的两个绝对值方程． 例题：1. 解方程235x +=答案：1x =或4x =- 2. 解方程 3434x x -=-答案：43x ≥3. 解方程 143x x -+-=答案：14x ≤≤4. 若010x ，则满足条件3x a -=的整数a 的值有___个，它们的和等于___.(第10届初一希望杯)答案：当03x 时，则有33,12x x a a -=-==、 当310x ≤时，则有33,0123456.x x a a -=-==、、、、、、 则a 的值有9个，它们的和等于24。

专题09 含绝对值符号的一次方程阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如||(0)ax b c c +=…的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax b c +=或ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题与求解【例1】 方程|5|25x x -+=-的解是__________．（四川省竞赛试题）解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．【例2】 方程|1||3|4x x ++-=的整数解有（ ）． A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．【例3】 已知：有理数x 、y 、z 满足0xy <，0yz >．并且||3x =，||2y =，|1|2z +=．求x y z++的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：本题关键在于确定x 、y 、z 的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．【例4】 解下列方程： （1）||31||4x x -+=；（天津市竞赛试题）（2）|3||1|1x x x +--=+；（北京市“迎春杯”竞赛试题）（3）|1||5|4x x -+-=．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．【例5】 已知|2||1|9|5||1|x x y y ++-=---+，求x y +的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）解题思路：已知等式可化为：|2||1||1||5|9x x y y ++-+++-=，再根据绝对值的几何意义来探求x 、y 的取值范围，进而可得x y +的最大值与最小值．【例6】 当10m -<…时，试判定关于x 的方程|1|x mx -=的解的情况．（上海市竞赛试题）解题思路：由于10m -<…，且|1|0x -…，就有0x …，进而计算．能力训练A 级1．方程|56|65x x +=-的解是_______________．（重庆市竞赛试题）2．方程13|2||2|035y y +--=的解是_______________，方程||3(||1)15x x -=+的解是_______________．3．已知|39901995|1995x +=，那么x =__________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）4．巳知||2x x =+，那么9919327x x ++的值为__________．（“希望杯”邀请赛试题）5．若方程23|10021002|1002x -=的解分别是1x 、2x ，则12x x +=__________．（“希望杯”邀请赛试题）6．满足2()()||a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）的有理数a 和b ，一定不满足的关系是（ ）． A ．0ab <B ．0ab >C ．0a b +>D ．0a b +<7．有理数a 、b 满足||||a b a b +<-，则（ ）．A ．0a b +…B ．0a b +<C ．0ab <D ．0ab …8．若关于x 的方程|23|0x m -+=无解，|34|0x n -+=只有一个解，|45|0x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系是（ ）．A ．m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >>（“希望杯”邀请赛试题）9．方程|5|50x x -+-=的解的个数为（ ）． A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．若关于x 的方程||2|1|x a --=有三个整数解，则a 的值是（ ）． A ．0B ．2C ．1D ．3（全国初中数学联赛试题）11．解下列方程： （1）142|1|32x -+=； （2）1|1|32x x -=-； （3）||21||3x x -+=； （五城市联赛试题）（4）|21||2||1|x x x -+--+．（全国通讯赛试题）12．求关于x 的方程||2|1|0x a ---=（01a <<）的所有解的和．（陕西省竞赛试题）B 级1．关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是0x =，则a 的值是__________；关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是1x =，则有理数a 的取值范围是__________．2．若010x <<，则满足条件|3|x a -=的整数a 的值共有__________个，它们的和是__________．（“希望杯”邀请赛试题）3．若0a >，0b <，则使||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围是__________．（武汉市选拔赛试题）4．已知||0a a +=且1a ≠-，那么||1|1|a a -=+__________．5．若有理数x 满足方程|1|1||x x -=+，那么化简|1|x -的结果是（ ）． A ．1B ．xC ．1x -D ．1x -6．适合关系式|34||32|6x x -++=的整数x 的值有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数7．如果关于x 的方程|1||1|x x a ++-=有实根．那么实数a 的取值范围是（ ）． A ．0a …B ．0a >C ．1a …D ．2a …（武汉市竞赛试题）8．巳知方程||1x ax =+有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是（ ）． A ．1a =B ．1a >-C ．1a …D ．1a <（全国初中数学联赛试题）9．设a 、b 为有理数，且方程||||3x a b --=有三个不相等的解，求b 的值．（“华罗庚金杯”邀请赛试题）10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=有一解？有无数多解？无解？（江苏省竞赛试题）11． 用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有220032004||a b a b a a+⊕=-，已知20042x ⊕=，求x 的值． （北京市“迎春杯”竞赛试题）。

七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．例4解下列方程：．(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；(天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1(北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．A 级1．若x=9是方程|31x －2|=a 的解，则a=_______；又若当a=l 时，则方程|31x －2|=a 的解是_______．2．方程|31y ＋2|－|2y －53|的解是_______，方程3(|x|一1)=5x ＋1的解是_______． 3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x=_______(北京市“迎春杯”竞赛题) 4．已知|x|=x ＋2，那么19x 99+3x ＋27的值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)5．方程|||x|－2|－1|=2的解是_______．6．满足(a －b)2＋(b －a)|a －b|=ab(ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( )(A)ab<O (B)ab>O (C)a+b>O (D)a+b<O7．有理数a 、b 满足|a ＋b|<|a －b|，则( )．(A)a ＋b 6≥O (B)a ＋b<0 (C)ab<O (D)ab≥O8．若关于x 的方程|2x －3|＋m=0无解，|3x －4|＋n=0只有一个解，|4x －5|＋k=0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9．方程|x －5|＋x 一5=O 的解的个数为( )．(A)不确定 (B)无数个 (C)2个 (D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)lO ．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )．(A)0 (B)2 (C)1 (D)3． (全国初中数学联赛试题)11．解下列方程：(1)4－2|21x ＋1|=3； (2)|21x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|；(五城市联赛题) (4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|(全国通讯赛试题)12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a=0(0<口<1)的所有解的和． ．(陕西省竞赛题)B 级1．关于x 的方程|a|x=|a ＋1|－x 的解是x=0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a|x=|a＋1|－x 的解是x=l ，则有理数a 的取值范围是_______．2．若O<x<10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)3．若a>0，b<0，则使|x －a|＋|x －b|=a －b 成立的x 的取值范围是_______．(武汉市选拔赛试题)4．已知|a|＋a=0且a ≠一l ，那么11+-a a =_______．5．若有理数x 满足方程|1－x|=1＋|x|，那么化简|x －1|的结果是( )．(A)1 (B)x (C)x 一1 (D)1一x6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个．(A)0 (B)l (C)2 (D)大于2的自然数7．当a>0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )．(A)0.001<a<3 (B)O<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38．已知方程|x|=ax+l 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>－1 (C)a ≥1 (D)a<19．设a 、b 为有理解，且|a|>O ，方程||x －a|－b|=3有三个不相等的解，求b 的值．(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?(江苏省竞赛题)。

3.含绝对值的一次方程绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程，在解含有绝对值的方程时，关键是利用绝对值的定义，去掉绝对值符号，从而转化为不含绝对值的方程．如果a a x (,||=是常数）当0>a 时，;a x ±= 当0=a 时，;0=x 当0<a 时，此方程无解，例1 解方程.5|32|=+x 解 由题意可知532=+x 或,532-=+x则 1=x 或.4-=x例2 解方程.43|43|-=-x x分析 观察到绝对值内的式子和绝对值外面的式子是相同的，那么谁的绝对值会等于本身呢？ 解 由题意可知,043≥-x ,43≥x⋅≥34x 例3 解方程.3|4||1|=-+-x x分析 本题可以根据去绝对值符号的方法进行“分段讨论”，但是仔细观察方程自身的特点，利用绝对值的几何意义，能很快地解出这个方程，解 因为|1|-x 表示x 与1之间的距离（在数轴上），︱x-4︱表示x 与4之间的距离，而|4||1|-+-x x 一定大于等于1和4之间的距离，当x 落在1和4之间（包含1、4）时，取等号．因此，我们有,3|4||1|≥-+-x x 当且仅当41≤≤x 时取等号， 所以原方程的解为.41≤≤x例4 若,100<<x 则满足条件a x =-|3|的整数a 的值有 个，它们的和等于 ．（第10届初一希望杯）解 当30<<x 时，则有a a x x ,3|3|=-=-的解为1、2；当103<≤x 时，则a a x x .3|3|=-=-的解为0、1、2、3、4、5、6．则a 的值有9个，它们的和等于24.例5 使得关于x 的方程1||+=ax x 同时有一个正根和一个负根的整数a 的值是 ．（第12届初一希望杯）解 若x 为方程的正根，则,1+=ax x 即,1)1(=-x a 因为,01>,0>x 所以,01>-a 即;1<a若x 为方程的负根，则,1+=-ax x 即,1)1(-=+x a 因为,01<-,0<x 故,01>+a 即.1->a要使原方程同时有正根和负根，则,11<<-a 这样的整数a 只有.0=a 例6 若关于x 的方程x m x .|1|=-有解，则实数m 的取值范围是分析与解 分类讨论，去掉绝对值的符号．当1≥x 时，得,11,1)1(,1mx x m mx x -==-=-可得;10<≤m 当1<x 时，得;1)1(,1=+=-x m mx x 当1-<m 时，显然成立，当1->m 时，要求,111<+m 所以 .0>m综上所述，1-≤m 或.0≥m 例7 若方程01997||1997=--x x a只有负根，则实数a 的取值范围是 ．（1997年上海市初中数学竞赛）解 当0>x 时，原方程为.01997)11997(=--x a当1997=a 时，方程无解；当1997=/a 时，则,199719972-=a x 所以.1997<a当0<x 时，原方程为,01997)11997(=---x a 则,199719972+-=a x 所以.1997->a所以 .19971997≤<-a例8 解方程.1|2||4|+=--+x x x分析 要去掉绝对值符号，必须明确绝对值符号内的代数式4+x 和2-x 的符号，由04=+x和,02=-x 得4-=x 和,2=x 这样x 的取值范围从小到大排列依次为,2,24,4>≤<--≤x x x 由此可判定4+x 和2-x 的符号，这样的方法也称为“零点分段法”，解 令,04=+x 解得;4-=x 令,02=-x 解得.2=x 当4-≤x 时，原方程可化为,1)2()4(+=-++-x x x解得 ,7⋅-=x当24≤<-x 时，原方程可化为,1)2(4+=-++x x x解得 ,1⋅-=x时，原方程可化为,1)2(4+=--+x x x解得 .5=x综上所述，517、、--=x 是原方程的解.例9 解方程.3||12||=+-x x分析 方程中有两层绝对值符号，可以逐层去掉绝对值符号． 解 由,3||12||=+-x x可得 3|12|=+-x x 或.3|12|-=+-x x当3|12|=+-x x 时，,3|12|-=+x x则可得 312-=+x x 或者,312x x -=+ 解得 4-=x （不符合题意，舍去）或者;32=x 当3|12|-=+-x x 时，,3|12|+=+x x则可得 312+=+x x 或者,312--=+x x解得 2=x 或者34-=x （不符合题意，舍去）． 所以，原方程的解为2=x 或⋅=32x习 题 3一、选择题1. 若,||a x =则||a x -等于( )．a x A 22.或 a x B -⋅. x a C -. 0.D2. 若,200020|20002000|⨯=+x 则x=( )．（2000年重庆市初中数学竞赛）2120.-或A 2120.或-B 2119.或-C 2119.-或D3. 已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足,01|21|=--x 则m 的值为( )．5210.或A 5210.-或B 5210.或-C 5210.--或D二、填空题4. 当2||+=x x 时，则=++273194x x5. 解方程,12||21|21|2=+--x x 则x=6. 如果规定,2*b a =那么方程4||*3=x 的解是 ．（第14届迎春杯） 7. 已知关于x 的方程a x x =-++|6||3|有解，那么a 的取值范围是 8. 方程56|65|-=+x x 的解是 ．（1999年重庆市初二数学竞赛）参考答案。

专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-．又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0；当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2．综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2．例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5；当－3≤x ＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1；当x ≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3；故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x ≤1且－1≤y ≤5时， 有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6.例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx ≤<⎧⎨-=⎩② 当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为 111m ≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-14． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002²6． A 提示:a <b7． C8．A9．B10．C 提示:用筛选法11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3⑵ ｘ=4 ⑶43x =- 或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到 122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a , x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6. C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X ≤47. D 提示用绝对值得几何意义求解8. C 提示:当a ＞1时,方程有一负根;当a ＜1时,方程有一正根.9. 提示:若b +3,b -3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b =310. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a ＜3时,方程有一解;当a =±3时,方程有无穷多个解;当a >3或a ＜-3时,方程无解.11. 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得x=±2003。

专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-．又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0；当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2．综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2．例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5；当－3≤x ＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1；当x≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3；故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时， 有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6.例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx≤<⎧⎨-=⎩② 当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为 111m≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-14． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002²6． A 提示:a <b7． C8．A9．B10．C 提示:用筛选法11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3⑵ ｘ=4 ⑶43x =-或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a ,x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6. C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X ≤47. D 提示用绝对值得几何意义求解8. C 提示:当a ＞1时,方程有一负根;当a ＜1时,方程有一正根.9. 提示:若b +3,b -3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b =310. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a ＜3时,方程有一解;当a =±3时,方程有无穷多个解;当a >3或a ＜-3时,方程无解.11. 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得x =±2003。

9含绝对值符号的一次方程y阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程.解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1.形如Iax+bI=C(C20)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax+b=c或ax+b=C2.含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解.解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.。

仲I超与求解例1方程IX—5I+2X=—5的解是.(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解.例2适当I2a+7I+I2a-1I=8的整数a的值的个数有().(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解.例3己知关于X的方程IXI=ax+1同时有一个正根和一个负根，求整数a的值.(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把X用a的代数式表示，首先确定a的取值范围.例4解下列方程：(1)∣χ-∣3x+1II=4；(天津市竞赛题) (2)Ix÷31—Iχ-1I=x÷1(北京市“迎春杯”竞赛题) (31X—11÷IX-51=4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段.例5讨论关于X的方程|x-2+|x—5=a的解的情况.(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，□与方程中常数2,5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况.因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具.能力训练A级1.若x=9是方程|』x一2|二a的解，则a=；又若当a=1时，则方程」x-2Ua3 3的解是.2.方程|』丫+2|一|2丫一3|的解是_______ ,方程3(∣x∣—1)=®+1的解是__________ .3 5 53.己知∣3990x+1995∣=1995,那么X=(北京市“迎春杯”竞赛题)4.己知∣x=x+2,那么19x"+3x+27的值为.(“希望杯”邀请赛试题)5.方程I∣∣x∣-2∣—1|=2的解是.6.满足(a—b)2+(b-a)∣a-b=ab(ab≠O)的有理数a和b,一定不满足的关系是()(A)ab<O(B)ab>O (C)a+b>O(D)a+b<O7.有理数a、b满足∣a+b∣<a-b∣,贝∣J().(A)a+b6>O(B)a+b<O (C)ab<O(D)ab>O8.若关于X的方程：2x—3∣+m=0无解，3x—4∣+n=0只有一个解，∣4χ-5；+k=0有两个解，则m、n、k的大小关系是().(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9.方程∣χ-5∣+x—5=0的解的个数为( ).(A)不确定(B)无数个(C)2个(D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)10.若关于X的方程||x一2|一1|=a有三个整数解，则a的值是().(A)O (B)2 (C)I(D)3(全国初中数学联赛试题)11.解下列方程：(1)4-2∣-x+1∣=3;2(2)∣-χ-1∣=χ-3;2(3)IX—2x÷11∣=∣x÷1∣;(五城市联赛题)(4)∣2χ-11÷∣χ-2∣=∣x+1(全国通讯赛试题)12.求关于X的方程I|x-2|—1∣-a=0(0<口<1)的所有解的和.(陕西省竞赛题)B级1.关于X的方程Ia1X=Ia+11—x的解是x=0,则a的值是；关于X的方程Ia1X=Ia+I1-X的解是X=I,则有理数a的取值范围是.2.若(Xx<10,则满足条件Ix—31的整数a的值共有——个，它们的和是(第十届“希望杯”邀请赛试题)3.若a>0,b<0,则使IX—a∣+Ix—b|=a—b成立的X的取值范围是.(武汉市选拔赛试题)\a\-\4.已知Ia+a=0且aW—1,那么段-∣=___________ .∣α+1∣5.若有理数X满足方程"一χ∣=1+∣x,那么化简Ix-I的结果是().(A)I(B)x(C)X—1(D)I—X6.适合关系式3χ-4∣+∣3x+2∣=6的整数X的值有()个.(A)O(B)I(C)2 (D)大于2的自然数7.当a>0,且∣χ-2∣+∣χ-5∣〈以时，则以下结论正确的是( ).(A)0.001<a<3 (B)0<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38.己知方程IXuaX+1有一个负根，而没有正根，那么a的取值范围是().(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>-1 (C)a≥1 (D)a<19.设a、b为有理解，且∣a∣>0,方程b∣=3有三个不相等的解，求b的值.(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10.当a满足什么条件时，关于X的方程|x-2|一∣χ-5∣=a有一解?有无数多解?无解？(江苏省竞赛题)。