年高考第一轮复习数学.三角函数的图象与性质三

第三章三角函数、解三角形第5讲三角函数的图象与性质教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源知识梳理Aj=sinxJ =COSXj=tanxJT2k盘 ----2JJI2k Jt H—,L 23Ji"2— H——2」仇wz)为减[2 吃7T, 2航+兀]仗WZ)为减;\2kn—n92kn\(k^Z)为（一-于,仇GZ）为增2.学会求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为j=Asin(ft>x+ (p)的形式，通过分析亦+卩的范围，结合图象写出函数的值域;(2)换元法：把sin x(cos劝看作一个整体，化为二次函数来解决.双基自测1. （2015•高考四川卷）下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是（A.j=sin(2x+—B.j=cos^2r+~C.y= sin 2x+ cos 2xD.y= sin x+ cos xC 项，y=sin 2x+cos 2x=\/2sin^2x+—为非奇非偶函数，不符合题意；ink+于)最小正周期为2兀， 为非奇非偶函数，不符合题意.( JIj=sin|2x+- 为偶函数，不符合题意；解析：A 项,= cos 2x,最小正周期为n ,且y= cos^2r+_j= —sin 2x,最小正周期为 函数，符合题意；B 项, 1=/兀，且为奇，最小正周期为皿,D 项，j=sin x+ cos兀B. x=——33 x=-兀4解析：由题意得 f(x)= 2cos 2^x+~J= 2sin 2x= 1— cos 2x,函 数图象的对称轴方程为尸竺kEZ,故选D.2A • x~—4 C. 71故函数/（对=$中一了丿在区间［o,于］±的最小值为一申.3・函数/(x) = sin上的最小值为A. -1B. -申C 誓 D. 0解析：由已知xG 0, 兀 8二討得加-2兀 -eJI2在区间o,兀4所以14.（必修4 P40 练习1X2）改编）函数/（x） = 4-2cos -x, xE32,取得最小值时，X的取值集合为R的最小值是—{x\x=6kn9 kEL}（JT JI \5.（必修4 P44例6改编）函数j=tan|^-x—yJ的最小正周期是—，单调增区间是G+"扌+2”（疋牛典例剖析▼考点突破*名师导悟以例说法考点一三角函数的定义域和值域^§例1 (1)函数y= lg(2sin x—1)+*\/1 —2cosx的定义域是" 兀5兀、2k Ji +—, 2k 乳—]9 ZL 3 6 丿______ .3(2)函数j=cos 2x+ 2sin x的最大值为—132'［解析］⑴要使函数丿=lg(2sinx —1)+^/1—2cos 兀有意义,sin ,■ “Ji 5 n解得 2k Ji +_^x<2^ Ji +飞-，kEL.即函数的定义域为卜—+专，2—+寻)kE 乙3i 3所以当/=扌时，函数取得最大值字2sinx —1>0, 即1—2cosx^0, cosxWq.+WWl),(2)y=cos 2x+2sin x= —2sin 2x+2sin x+1,设 f=sin x(—12Q互动探光本例(2)变为函数y = cos 2x+ 4sin5的最大值为 _________解析：j=cos 2x+4sin x= — 2sin2x+ 4sin 兀+1,设t=sin中冬怎*),则原函数可以化为y=~li +4(+1= —2(1—1『+3,所以当1=扌时，函数取得最大值丰.⑴三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求.②把所给的三角函数式变换成y=Asin(cox+^的形式求值域.③把sin兀或cos兀看作一个整体，转换成二次函数求值域・④利用sin兀土cos兀和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.壘踪i噬1・(1)函数y= /2+logjx + \/tanx的定义域为r i V 2jxIOVxV亍或Ji WxW4 »____________________________ ■7(2)函数y= (4— 3sin x)(4— 3cos兀)的最小值为xIOVxV 亍或 n4j.解析：⑴要使函数有意义, 厂2+10即亠0,2JIx^kn T —, I 2—o -------- o ——0 ?利用数轴可得函数的定义域是x>0, tan x^O, k 兀 WxVkii T 扌WZ)・-<—e---------(2)j = 16— 12(sin x+ cos x)+ 9sin xcos x,令Z=sinx+cosx,贝!1[—\[29 ^2],且sinxcosx=-------------------2『一1 ]所以y=16- 12Z+9X --------- =一(9,一24/+23)・2 2• 4 7故当时，Jmin = --考点二三角函数的奇偶性、周期性及对称性典例2 (1)(2014-高考课标全国卷I )在函数®j= cos 12x1,®y = Icos xl, (3)j=cos^x, (4)j= tan(2x—^中，最小正周期为n的所有函数为(C )A.②④C.①②③B.①③④D.①③（2）（2016-河北省五校联盟质量监测）下列函数中最小正周期为兀且图象关于直线兀=£■对称的函数是（B）［解析］⑴①yKOsMFOslx, 1- •②由图象知，函数的周期r= 31・③*兀・兀④丁=亍综上可知，最小正周期为询所有函数为①②③.⑵由函数的最小正周期为兀，可排除C •由函数图象关于直JT线*=〒对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对选B.（i ）三角函数的奇偶性的判断技巧于 A,因为 sin^2Xy+确・对于D, sinl2X ---------33 f) ( Tl JI 、 对于 B, sin|2X-——J=_：. =sin Ji =0,所以选项A 不正 =si 可羊所以D 不正确, 兀=sinT =h所以选项B 正确，故首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象进行判断.（2）求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义.②利用公式：y=Asin（cox+（p）和y =Acos（cyx+°）的最小正周2兀JT期为面，y=tan（cox+（/））.③利用图象.(3)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.［注意］判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原点对称.MISS] 2.(1)(2016-西安地区八校联考)若函数j = cos(ex+〒j(cyEN*)图象的一个对称中心是匕，0J,则co 的最小值为(A. 1B. 2C. 4D.（2）（2016•揭阳模拟）当心了时，函数/（gin（十）取得最小值，则函数)A.是奇函数且图象关于点仔，0）对称B.是偶函数且图象关于点（兀，0）对称C.是奇函数且图象关于直线兀=于对称D.是偶函数且图象关于直线兀=兀对称，■一JI 6； JI JI解析：(1 --------- 1=kJi ---------- (k £ Z)=>(o = 6k+ 2(kE：Z)=>(o6 6 2min =2Jl⑵因为当x=丁时，函数几兀)取得最小值，4所以sin&+J = —1,所以0=2反兀一普"(kEZ).所以/(x)=sin(+2“ 一冷9=sin|x J(k W Z).所以y=^~~x.=sin(—x)= —sin x.e 兀、JI 所以尸x)是奇函数，且图象关于直线兀=亍对称•考点三三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度适中，多为中档题.高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；⑵已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值);(4)利用三角函数的单调性比较大小.⑴求心）的最小正周期和最大值;⑵讨论心）在［十，牛］ 上的单调性.• sin （2015•高考重庆卷）已知函数几兀）=os 2x.［解］(l)Ax)=sin 仔一Jsin x —A /§C =cos xsinx — 2 (H~cos 2x)1・，© o 並=-sm 2x — cos 2x —因此冷）的最小正周期为兀，最大值为2苫.os 2x（2）当兀丘［于，牛］时'0W2x —于W 兀，从而当弓^加一7~Wn,即弓时，/（兀）单调递减. Z Q 丄/ J调递减•J fl _ 7 y \ TL1 lz\ A A J KX& M n I y-Z z 产〒 r^Q^i 0« h P <Jlu tz 二\ J nf r/7 J? ryj n r^z^C 77 f r三角函数单调性问题解题策略.兀 兀 当0»亍亏, JI 5 JT . 即訐Tr 时' 的单调递增, 综上可知，几r ）在单调递增; 刊上单(1)已知三角函数解析式求单调区间.①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律"同增异减”：②求形如j=Asin(ft)x+^)或y=Acos(ov +卩)(其中少＞0)的单调区间时，要视“ov+卩”为一个整体, 通过解不等式求解.但如果evO,那么一定先借助诱导公式将少化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.⑶利用三角函数的单调性求值域(或最值).形如j=Asin(ft>x +°)+〃或可化为y=4sin@v+°)+〃的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决.通关练习3.(1)已知函数/(x)=2sinC+亍) ，则a9 b9 c的大小关系是(BB. c<a<bD. b<c<aA. a<c<bC. b<a<c减，则 少的取值范围是（A54-(2)已知 ft»O,函数 f(x)=sirA. 12-D. (0, 2]10 —n 21兀因为j=sinx 在0,—上递增,——= 2sin 解：⑴选Ra兀= 2sin所以c<a<b.6>>0,JlJTJIH < 3X ---- < 3 兀 H - ,44 4G JI 3131〒+亡'313 JI3 JI H —W —4 2又 j=sinx所以6) JI3 31"T解得詳。

5.3 三角函数的图象与性质五年高考考点1 三角函数的图象及其变换1.(2022浙江,6,4分,易)为了得到函数y=2sin 3x 的图象,只要把函数y=2sin (3x +π5)图象上所有的点( )A.向左平移π5个单位长度 B.向右平移π5个单位长度 C.向左平移π15个单位长度 D.向右平移π15个单位长度 答案 D2.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin (x-π4)的图象,则f(x)=( ) A.sin (x 2-7π12) B.sin (x2+π12) C.sin (2x-7π12) D.sin (2x +π12) 答案 B3.(2017课标Ⅰ理,9,5分,中)已知曲线C 1:y=cos x,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是 ( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 答案 D4.(2023全国甲理,10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+π6)的图象向左平移π6个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=12x−12的交点个数为()A.1B.2C.3D.4答案C5.(2019天津,文7,理7,5分,中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g(π4)=√2,则f (3π8)=()A.-2B.-√2C.√2D.2答案C6.(2021全国甲文,15,5分,中)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)=.答案-√37.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)=.答案-√32考点2三角函数的性质及其应用1.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sin(x-π6)单调递增的区间是()A.(0,π2) B.(π2,π)C.(π,3π2) D.(3π2,2π)答案A2.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是()A.3π和√2B.3π和2C.6π和√2D.6π和2 答案C3.(2023全国乙理,6,5分,易)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(π6,2π3)单调递增,直线x=π6和x=2π3为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f (-5π12)=()A.-√32B.−12C.12D.√32答案D4.(2018课标Ⅰ文,8,5分,中)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4答案B5.(2021北京,7,4分,中)函数f(x)=cos x-cos 2x是()A.奇函数,且最大值为2B.偶函数,且最大值为2C.奇函数,且最大值为98D.偶函数,且最大值为98答案D6.(2022北京,5,4分,中)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()A. f(x)在(-π2,-π6)上单调递减B. f(x)在(-π4,π12)上单调递增C. f(x)在(0,π3)上单调递减D. f(x)在(π4,7π12)上单调递增答案C7.(2020天津,8,5分,中)已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②f(π2)是f(x)的最大值;③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.其中所有正确结论的序号是()A.①B.①③C.②③D.①②③答案B8.(2020课标Ⅰ,文7,理7,5分,中)设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2答案C9.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称,则f(π2)=()A.1B.32C.52D.3答案A10.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分,中)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)中心对称,则()A. f(x)在区间(0,5π12)单调递减B. f(x)在区间(-π12,11π12)有两个极值点C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴D.直线y=√32-x是曲线y=f(x)的切线答案AD11.(2019北京理,9,5分,易)函数f(x)=sin22x的最小正周期是.答案π212.(2023新课标Ⅰ,15,5分,中)已知函数f(x)=co s ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.答案[2,3)13.(2019课标Ⅰ文,15,5分,中)函数f(x)=sin(2x+3π2)-3cos x的最小值为. 答案-414.(2022全国乙理,15,5分,中)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=√32,x=π9为f(x)的零点,则ω的最小值为. 答案 315.(2020江苏,10,5分,中)将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.答案x=-524π16.(2020课标Ⅲ理,16,5分,难)关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=π2对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.答案②③三年模拟一、单项选择题1.(2021江苏七市第二次调研,6,易)函数f(x)=sin xcos x+√3cos2x的图象的一条对称轴为()A.x=π12B.x=π6C.x=π3D.x=π2答案A2.(2023广东潮州二模,5,中)若f(x)=sin(2x+π6)在区间[-t,t]上单调递增,则实数t的取值范围为()A.[π6,π2] B.(0,π3]C.[π6,π3] D.(0,π6]答案D3.(2023安徽“江南十校”一模,中)已知函数f(x)=cos(x+π2)cos(x+π4),则下列说法正确的是()A.点(-π8,0)是曲线y=f(x)的对称中心 B.点(π8,√24)是曲线y=f(x)的对称中心C.直线x=5π8是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线x=3π8是曲线y=f(x)的对称轴 答案 C4.(2023湖南岳阳一模,中)已知函数f(x)=sin x+acos x 的一个零点是π3,将函数y=f(2x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得图象的表达式为( ) A.y=2sin (2x-7π6) B.y =2sin (2x +π12)C.y=-2cos 2xD.y=2cos 2x 答案 D5.(2023河北邯郸二模,6,中)已知函数f(x)=cos(2x-θ)(|θ|<π2),将函数f(x)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则函数f(x)的极值点为( ) A.π6+kπ(k ∈Z ) B.π6+kπ2(k ∈Z ) C.π12+kπ(k ∈Z ) D.π12+kπ2(k ∈Z ) 答案 B6.(2023皖南八校一模,6,中)已知函数f(x)=√3sin x 2cos x 2−sin2x 2+12,则下列结论正确的有( ) A.|f(x)|的最小正周期为2πB.直线x=-π3是f(x)图象的一条对称轴 C. f(x)在(0,π2)上单调递增D.若f(x)在区间[-π2,m]上的最大值为1,则m ≥π3 答案 D7.(2021天津南开一模,7,中)已知函数f(x)=√3sin ωx -cos ωx(ω>0)满足f(x 1)-f(x 2)=4,且|x 1-x 2|的最小值为π2,则 f (π8)的值为( ) A.√6-√22B.1C.√3D.2答案 A8.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,7,中)若函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位长度后关于直线x=π4对称,则函数f(x)在区间[0,π2]上的最小值为()A.-√32B.−12C.√32D.12答案A二、多项选择题9.学科融合(2023广东一模,9,中)如图,弹簧下端悬挂着的小球做上下运动(忽略小球的大小),它在t(s)时刻相对于平衡位置的高度h(cm)可以由h=2sin(π2t+π4)确定,则下列说法正确的是()A.小球运动的最高点与最低点的距离为2 cmB.小球经过4 s往复运动一次C.t∈(3,5)时小球是自下往上运动D.当t=6.5时,小球到达最低点答案BD10.(2023湖南永州二模,9,中)已知函数f(x)=sin(2x+π6)−2√3sin xcos x,则()A.f(x)的最大值为1B.直线x=π3是f(x)图象的一条对称轴C. f(x)在区间(-π6,π3)上单调递减D. f(x)的图象关于点(π6,0)对称答案ABC11.(2022湖南株洲一模,中)若x=π6是函数f(x)=asin x+bcos x(ab≠0)图象的一条对称轴,则下列说法正确的是()A.b=√3aB.x=-5π6是函数f(x)图象的一条对称轴C.点(2π3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心D.函数f(x)在(π6,7π6)上单调递减 答案 ABC12.(2023广东深圳二模,10,中)已知f(x)是定义在闭区间上的偶函数,且在y 轴及其右侧的图象是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)图象的一部分(如图所示),则( )A.f(x)的定义域为[-π,π]B.当x=π6时, f(x)取得最大值 C.当x<0时, f(x)的单调递增区间为[-2π3,-π6] D.当x<0时, f(x)有且只有两个零点-5π12和-11π12 答案 BCD13.(2022山东滨州二模,中)设函数f(x)=|cos x|+cos 2x,则下列结论中正确的是( ) A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)在[0,2π3]上单调递减 C. f(x)的图象关于直线x=π4对称 D. f(x)的值域为[-1,2] 答案 AD 三、填空题14.(2023浙江强基联盟2月统测,中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2), f(x)≤|f (π6)|, f(x)+f (4π3-x)=0, f(x)在(π36,π6)上单调,则正整数ω的最大值为 . 答案 715.(2022上海杨浦二模,12,中)若函数f(x)=cos ωx(ω>0)在区间(2π,3π)内既没有最大值1,也没有最小值-1,则ω的取值范围是 . 答案 (0,13]∪[12,23]∪{1} 四、解答题16.(2023山东青岛第一次适应性测试,中)已知函数f(x)=2cos 2ωx+sin 2ωx(ω>0),x 1,x 2是f(x)的两个相邻极值点,且满足|x 1-x 2|=π.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程; (2)若f(α)=13,求sin 2α.解析 (1)f(x)=2cos 2ωx+sin 2ωx=1+cos 2ωx+sin 2ωx=√2sin (2ωx +π4)+1.(2分) 由题意得T=2π,所以2ω=2πT=1.(3分) 所以f(x)=√2sin (x +π4)+1.令x+π4=kπ+π2(k ∈Z ),得x=kπ+π4(k ∈Z ),所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ+π4(k ∈Z ).(5分) (2)由f(α)=13得sin (α+π4)=−√23.(6分)所以sin α+cos α=-23,所以(sin α+cos α)2=49,即1+sin 2α=49,所以sin 2α=-59.(10分) 17.(2023江苏南京一模,17,中)已知f(x)=sin ωx -√3cos ωx,ω>0. (1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2,求f (3π2)的值; (2)若函数f(x)的图象关于(π3,0)对称,且函数f(x)在[0,π4]上单调,求ω的值. 解析 (1)f(x)=sin ωx -√3cos ωx =2(12sinωx-√32cosωx)=2sin (ωx-π3),因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2,所以12T =π2,则T=π,所以T=2πω=π,解得ω=2, 所以f(x)=2sin (2x-π3), 所以f (3π2)=2sin (2×3π2-π3)=2sin π3=2×√32=√3.(2)由(1)知f(x)=2sin (ωx-π3),因为函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以πω3−π3=kπ,k ∈Z ,所以ω=3k+1,k ∈Z .由x ∈[0,π4],ω>0,得ωx -π3∈[-π3,πω4-π3], 因为f(x)在[0,π4]上单调,所以{πω4-π3≤π2,ω>0,解得0<ω≤103,所以取k=0,ω=1.18.(2022山东临沂二模,18,中)已知函数f(x)=Asin (ωx +π4)(A>0,0<ω<1), f (π4)=f (π2),且f(x)在(0,3π4)上的最大值为√2. (1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的13,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g (α2)=12,求sin 2α的值.解析 (1)因为0<ω<1,所以周期T=2πω>2π,又f(x)在(0,3π4)上的最大值为√2,且f (π4)=f (π2),所以当x=12×(π4+π2)=3π8时, f(x)取得最大值√2, 所以A=√2,且f (3π8)=√2,即√2sin (3π8ω+π4)=√2, 因为0<ω<1,所以π4<3π8ω+π4<5π8,故3π8ω+π4=π2,解得ω=23,故f(x)=√2sin (23x +π4).(2)由题意得g(x)=f(3x)=√2sin (2x +π4), 又g (α2)=√2sin (α+π4)=12,所以sin (α+π4)=2√2,所以sin 2α=-cos (2α+π2)=2sin2(α+π4)−1=−34.。

高三数学一轮复习知识点讲解专题5.3 三角函数的图象与性质【考纲解读与核心素养】1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测：（1） “五点法”作图； （2）三角函数的性质；（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查. 4.备考重点：（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R知识点2．“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象 “五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.【典例剖析】高频考点一 三角函数的定义域和值域 【典例1】（2020·山东高一期末）函数tan2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】 解不等式()22x k k Z ππ≠+∈，可得()2x k k Z ππ≠+∈， 因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z ππ≠+∈. 故答案为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈.【典例2】（2017新课标2）函数（）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值1．【规律方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 【变式探究】1.（2020·上海高三专题练习）函数sin y m x n =+的最大值为2，最小值为4-，则m =_________，n =_________.【答案】3± 1- 【解析】由已知得24m n m n ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得31m n =±⎧⎨=-⎩. 故答案为：3±；1-.2.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域. （1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈；（2）|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ≥.由正弦的定义知，sin 0x ≥就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数. ∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域， ∴22,k x k k Z πππ≤≤+∈.∴函数y ={|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ≠.∴,()2x k k Z x k πππ⎧≠+⎪∈⎨⎪≠⎩ ∴,2kx k Z π≠∈. ∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 高频考点二 三角函数的单调性【典例3】（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.【典例4】（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知sin33a =︒，cos55b =︒，tan35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】因为cos55sin35sin33b a ==>=，且sin 35tan 35sin 35cos35c ==>，所以c b a >>. 故选：A .【典例5】（2020·浙江柯城�衢州二中高三其他）已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是________. 【答案】2 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>， 所以()[]2sin 2,2ω=∈-f x x ， 所以()f x 的最大值为2， 因为()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以,,4322πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以4232πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：(1). 2 (2). 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【规律方法】1.求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2.当0ω<时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 【变式探究】1.（2020·河北路北�开滦第一中学高一期末）在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan A C < B ．tan tan A C >C ．sin sin <A CD ．sin sin A C >【答案】D 【解析】若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误. 若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sin sin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误.在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D2.（2020·河南林州一中高一月考）π()sin()(0,),2f x x ωϕωϕ=+>≤若π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴，()f x 在区间ππ(,)54上单调，则ω的最大值是 ( ) A ．14 B ．18C ．20D ．22【答案】A 【解析】因为π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴， 所以2144n T n N ，π+=∈，即21244n ππω+=, n N ∈，即42,?n n N ω=+∈，即ω为正偶数. 因为()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ππ45202T π-=≤，即210T ππω=≥. 20ω≤. 当18ω=时，ππ sin 18088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得9 ,4k k Z πϕπ-+=∈，9 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=，()πsin 184f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π779518,42020x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，其中，901202f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 当14ω=时，ππ sin 14088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得7 ,4k k Z πϕπ-+=∈，7 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=-，()πsin 144f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π516514,42020x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，满足()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调. 故ω的最大值是14. 故选A.3.（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．求()f x 的单调增区间； 【答案】5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】因为sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【总结提升】1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R 上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k π，(k ∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同． 2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sin x |≤1，|cos x |≤1．(2)函数y ＝sin x ，x ∈D ，(y ＝cos x ，x ∈D )的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D 来决定． (3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝Z ，将函数转化为y ＝A sin Z 的形式求最值．3.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π2，π2)∪(π2，3π2)∪…上是增函数．高频考点三 三角函数的周期性 【典例6】（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 由已知得的最小正周期故选C. 【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【变式探究】已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 【答案】（1）见解析；（2）是，2π. 【解析】(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈Z . 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π． 【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．. 高频考点四 三角函数的奇偶性【典例7】（2018届辽宁省丹东市测试（二））设，若，则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称【答案】C 【解析】 由题意得，∴．∴，∴函数为偶函数．故选C ． 【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【变式探究】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由题意得函数的定义域为，∵，∴函数为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称，故排除C,D ． 又当时，，因此可排除B ． 故选A ． 【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 高频考点五 三角函数的对称性 【典例8】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】 由题意可得，所以，因为，所以【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式，其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【变式探究】（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数()1cos cos f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称. ②()f x 的图像关于原点对称. ③()f x 的图像关于直线2x π=对称.④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 其中所有真命题的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】对于①，()f x 定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，显然关于原点对称， 且()()()()11cos cos cos cos x x x f x f x x=-=-++=-，所以()f x 的图象关于y 轴对称，命题①正确；对于②，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，532f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于原点对称，命题②错误； 对③，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2532f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则233f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于2x π=对称，命题③错误； 对④，1sin 2sin f x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1sin 2sin f x x x π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题④正确. 故答案为：①④.【特别提醒】1.求y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx ＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x 的值，最后写出结果．2.正切函数图象的对称中心是(k π2，0)而非(k π，0)(k ∈Z )．高频考点六 三角函数的图象和性质的应用 【典例9】（2018年理北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】 【解析】 因为对任意的实数x 都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数3sin 1()sin 2x f x x -=+的最大值是____，最小值是_________.【答案】234- 【解析】3(sin 2)77()3sin 2sin 2x f x x x +-==-++ sin [1,1]x[]sin 21,3x ∴+∈11,1sin 23x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦777,sin 23x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥+⎣⎦7234,sin 23x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥+⎣⎦即max 2()3f x =，min ()4f x =- 故答案为：23；4- 【典例11】（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】 （1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤,∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【规律方法】1．求形如y ＝a sin x ＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1)求解．2．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (Aω≠0)的函数，当定义域为R 时，值域为[－|A |＋k ，|A |＋k ]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx ＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，a ≠0，x ∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．4．求形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d ，ac ≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式反解出y ．综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sin x 的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x 的值时，要考虑三角函数的周期性． 【变式探究】1.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（ ） A ．(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭B ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭C ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭D ．(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题意，函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 可得w ππ=，解得1w =，即()tan()4f x x π=+，令,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈， 当1k =时，544x ππ<<，即函数()f x 在5(,)44ππ上单调递增， 又由4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=， 又由425ππ>>，所以(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭. 故选：C.2.（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））设0a <，若不等式22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】2a ≤- 【解析】令cos [1,1]t x =∈- ，则不等式22()(1)0f t t a t a =---≤ 对[1,1]t ∈- 恒成立，因此22(1)00,02(1)020f a a a a f a a -≤⎧-≤⎧⇒<∴≤-⎨⎨≤--≤⎩⎩ 3.（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，的最大值为，求的值【答案】(1) 最小正周期,为的单调递增区间；(2) .【解析】 （1）则的最小正周期当时，单调递增即的单调递增区间为：(2)当时，当，即时，所以【总结提升】比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．。

专题5.3 三角函数的图象与性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）“五点法”作图“五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在()sin y A x h ωϕ=++的图象.（二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．既无最大值，也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性 ()sin sin x x -=-,奇函数()cos cos x x -=偶函数()tan tan x x -=-奇函数单调性 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数．在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数．(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y ＝tan x 无单调递减区间，y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆． （三）常用结论 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．【常考题型剖析】题型一：“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象例1. （2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.例2．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，0>ω，2πϕ≤.若()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为4π，()01f =，求解下列问题. (1)化简()f x 的表达式并求()f x 的单调递增区间；(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥上的最值.【规律方法】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 题型二：三角函数的定义域例3.（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数()f x ）A ．3,48x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭C ．3,2428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2424k k xx k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭例 4. 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为 ．【总结提升】 三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．(3)对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域可令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z 求解．题型三：三角函数的值域(最值)例5.（2012·山东·高考真题（文））函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（ ）A ．2B ．0C ．－1D ．1-例6. （2022·安徽·砀山中学高一期中）函数22tan 3tan 1y x x =-+-，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为______．例7．（2014·北京·高考真题（文））函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【总结提升】求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．题型四：三角函数的单调性例8．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例9．（2015·全国·高考真题（文））函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈例10.（2015·安徽·高考真题（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<-例11. (2020·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎣⎡⎦⎤12，34 D ．⎣⎡⎦⎤12，54【规律方法】1.三角函数单调区间的求法(1)将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数． (2)根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调区间及A 的正负，列不等式求解． 2. 已知单调区间求参数范围的三种方法（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解. 3.比较三角函数值大小.题型五：三角函数的周期性、奇偶性、对称性例12.（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．32C ．52D ．3例13. （2019·全国·高考真题（文））函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．例14.（2015·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+例15.（2020·全国·高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【规律方法】1.求三角函数周期的常用方法 (1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 与f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的周期为T ＝2π|ω|；②函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝π|ω|.(2)对称性求最值①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于T 2；②对称中心到对称轴距离的最小值等于T4；③两个最大(小)值点之差的最小值等于T . 2.(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．3．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 4.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .(2)求f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标为ωx ＋φ＝π2＋k π(k∈Z )，求x 即可．(3)求f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x .题型六：三角函数()sin y A x ωϕ=+的解析式例16．（2016·全国·高考真题（文））函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π= 3π例17．（2020·全国·高考真题（理））设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【总结提升】1.由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2. 根据图象求解析式=sin()y A x h ωϕ++问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 题型七：三角函数的零点问题例18．（2010·浙江·高考真题（理））设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是（ ）A ．[]4,2--B ．[]2,0-C ．[]0,2D ．[]2,4例19．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．例20．（2018·全国·高考真题（理））函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．专题5.3 三角函数的图象与性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）“五点法”作图“五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在()sin y A x h ωϕ=++的图象.（二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．既无最大值，也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性 ()sin sin x x -=-,奇函数()cos cos x x -=偶函数()tan tan x x -=-奇函数单调性 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数．在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数．(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y ＝tan x 无单调递减区间，y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆． （三）常用结论 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．【常考题型剖析】题型一：“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象例1. （2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）3A =，2ω=，3πϕ=；（2）最大值是3，最小值是32-. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A ，ω，ϕ的值即可.（2）首先根据（1）知：3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得到11172636x πππ≤+≤，从而得到函数的最值.【详解】（1）由表可知max 3y =，则3A =， 因为566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2T πω=，所以2ππω=，解得2ω=，即3sin(2)y x ϕ=+，因为函数图象过点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则33sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即πsinφ16，所以262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得23k πϕπ=+，k ∈Z ，又因为2πϕ<，所以3πϕ=.（2）由（1）可知3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为3544x ππ≤≤，所以11172636x πππ≤+≤， 因此，当11236x ππ+=时，即34x π=时，32y =-， 当5232x ππ+=时，即1312x π=时，3y =. 所以该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3，最小值是32-.例2．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，0>ω，2πϕ≤.若()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为4π，()01f =，求解下列问题. (1)化简()f x 的表达式并求()f x 的单调递增区间；(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥上的最值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为(),Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)完善表格见解析；图象见解析；最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用最大值点和零点可确定最小正周期，由此可求得ω；利用()01f =可求得ϕ，由此可得()f x 解析式；令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈即可求得单调递增区间；（2）令26X x π=+，利用五点作图法即可完善表格并得到图象，结合图象可求得最值.(1)若()12f x =，()20f x =，即1x 是()f x 的最大值点，2x 是()f x 的零点，且12x x -的最小值为4π，设()f x 的最小正周期为T ，则44T π=，即2T ππω==，解得：2ω=. 由()01f =可得：()02sin 1f ϕ==，即有1sin 2ϕ=， 26k πϕπ∴=+或()526k k Z ππ+∈，又2πϕ<，6πϕ∴=， 综上所述：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；令()222Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得：()Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈，()f x ∴的单调递增区间为(),Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)根据“五点作图法”的要求先完成表格：令2X x π=+.由图可知：当6x π=时，()f x 取到最大值2；当712x π=时，()f x 取到最小值3-. 【规律方法】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 题型二：三角函数的定义域例3.（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数()f x ）A ．3,48x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭C ．3,2428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2424k k xx k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用关于正切型函数的不等式去求函数()f x =的定义域【详解】由πtan(2)14x，可得ππππ2π442k x k ，则π3πππ2428k k x则函数()f x 3,2428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭ 故选：C例 4. 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为 ． 【答案】5{|22,}44x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【解析】法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为4π，54π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为5{|22,}44x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 法二：sin x －cos x ＝2sin （4x π-）≥0，将4x π-视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －4π≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋4π≤x ≤2k π＋54π (k ∈Z )，所以定义域为5{|22,}44x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【点睛】若定义域中含k π或2k π应注明k ∈Z . 【总结提升】 三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线． (3)对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域可令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z 求解．题型三：三角函数的值域(最值)例5.（2012·山东·高考真题（文））函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（ ）A ．2B ．0C ．－1D ．1-【答案】A 【解析】709,,sin()1,363663x x x ππππππ∴≤≤∴-≤-≤≤-≤max min 2,y y ∴==故选A例6. （2022·安徽·砀山中学高一期中）函数22tan 3tan 1y x x =-+-，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为______．【答案】16,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由x 的范围求出tan x 的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]tan 1,1x ∈-，22312tan 3tan 12tan 48y x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，则当3tan 4x =时，()max 18f x =，当tan 1x =-时，()min 6f x =-， 所以函数()f x 的值域为16,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：16,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例7．（2014·北京·高考真题（文））函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π，076x π=，03y =；（2）最大值0，最小值3-. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出00,x y ；（2）把26x π+看作一个整体，从而求出最（1）由题意知：()f x 的最小正周期为π，令y=3，则2+2k k 62x Z πππ+=∈，，解得+k k 6x Z ππ=∈，，所以076x π=，03y =. （2）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是 当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值3-.【总结提升】求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．题型四：三角函数的单调性例8．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪，CD 选项均不满足条件.例9．（2015·全国·高考真题（文））函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】 【详解】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 例10.（2015·安徽·高考真题（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<- 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可求ω＝2，又当x 23π=时，函数f （x ）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f （x ）＝A sin （2x 6π+），解：依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0， ∴ω2ππ==2．又∵当x 23π=时，函数f （x ）取得最小值， ∴223π⨯+φ＝2k π32π+，k ∈Z ，可解得：φ＝2k π6π+，k ∈Z ， ∴f （x ）＝A sin （2x +2k π6π+）＝A sin （2x 6π+）．∴f （﹣2）＝A sin （﹣46π+）＝A sin （6π-4+2π）＞0．f （2）＝A sin （46π+）＜0， f （0）＝A sin 6π=A sin56π＞0， 又∵326ππ-＞4+2π562ππ＞＞，而f （x ）＝A sin x 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选A ．例11. (2020·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎣⎡⎦⎤12，34 D ．⎣⎡⎦⎤12，54【答案】D【解析】法一：(反子集法)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴ωx ＋π4∈⎝⎛⎭⎫πω2＋π4，πω＋π4. ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得⎩⎨⎧ω≥4k ＋12，k ∈Z ，ω≤2k ＋54，k ∈Z.∴k ＝0，此时12≤ω≤54，故选D ．法二：(子集法)由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z ，因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， 所以⎩⎨⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得⎩⎨⎧ω≥4k ＋12，ω≤2k ＋54.因为k ∈Z ，ω＞0，所以k ＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，54.故选D ． 【规律方法】1.三角函数单调区间的求法(1)将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数． (2)根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调区间及A 的正负，列不等式求解． 2. 已知单调区间求参数范围的三种方法（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解. 3.比较三角函数值大小.题型五：三角函数的周期性、奇偶性、对称性例12.（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<， 322π⎛⎫324ππ2所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A例13. （2019·全国·高考真题（文））函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 例14.（2015·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】 22πy ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x +cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cosx =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．例15.（2020·全国·高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③. 【规律方法】1.求三角函数周期的常用方法 (1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 与f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的周期为T ＝2π|ω|；②函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝π|ω|.(2)对称性求最值①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于T2；②对称中心到对称轴距离的最小值等于T4；③两个最大(小)值点之差的最小值等于T . 2.三角函数是奇、偶函数的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x∈R )：是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．3．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 4.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .(2)求f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标为ωx ＋φ＝π2＋k π(k∈Z )，求x 即可．(3)求f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x .题型六：三角函数()sin y A x ωϕ=+的解析式例16．（2016·全国·高考真题（文））函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π= 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A. 例17．（2020·全国·高考真题（理））设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】 【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 【总结提升】1.由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2. 根据图象求解析式=sin()y A x h ωϕ++问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 题型七：三角函数的零点问题例18．（2010·浙江·高考真题（理））设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是（ ） A ．[]4,2-- B ．[]2,0-C ．[]0,2D ．[]2,4【答案】A(1)4sin(1)14sin11f -=-+=-+，因为sin1sin 4π>4sin110-+<，(0)4sin10f =>，因此()f x 在[1,0]-上有零点，故在[2,0]-上有零点；(2)4sin524sin(25)2f π=-=---，而025ππ<-<，即sin(25)0π->，因此(2)0f <，故()f x 在[0,2]上一定存在零点；虽然(4)4sin1740f =-<，但99()4sin(1)4sin(1)844f πππππ=+-=+-，又21243πππ<+<，即3sin(1)42π+>，从而，于是()f x 在区间9[2,]8π上有零点，也即在[2,4]上有零点，排除B ，C ，D ，那么只能选A ．例19．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3 【解析】 【分析】首先表示出T ，根据()f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解： 因为()()cos f x x ωϕ=+，（0>ω，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2πcos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈， 因为0>ω，所以当0k =时min 3ω=； 故答案为：3例20．（2018·全国·高考真题（理））函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3求出36x π+的范围，再由函数值为零，得到36x π+的取值可得零点个数．【详解】 详解：0x π≤≤ 193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点．。