四川省乐山市2017届高三第一次调查研究考试数学(理)试题 Word版含答案

2020届四川省乐山市2017级高三第一次调研考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页,第二部分3至4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷,草稿纸上答题无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题,每小题5分,共60分.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|90,{|15}A x x B x x =-<=-<,则A ⋂()B =R （ ）A. ()3,0-B. ()3,1--C. (3,1]--D. ()3,3-【答案】C【解析】根据集合的补运算和交运算,即可求得结果.【详解】由题知{|33},{|1R A x x B x x =-<<=-或5}x >,所以(){|31}R A B x x ⋂=-<-,故选：C.2.） A sin 40︒ B. cos40︒ C. cos130︒ D. cos150︒-【答案】A【解析】根据余弦的倍角公式,结合诱导公式,即可化简. 【详解】221cos26012cos 1301cos 130cos130cos50sin 4022︒︒︒︒︒︒++-=====, 故选：A.3..已知()()5,1,3,2OA OB =-=,AB 对应的复数为z ,则z =（ ）A. 5i -B. 32i +C. 23i -+D. 23i --【答案】D【解析】根据向量的减法坐标公式,解得AB 坐标,再写出对应的复数和其共轭复数.【详解】由题可知()2,3AB =-,故AB 对应的复数为23z i =-+,则23z i =--,故选：D. 4.在一次期末考试中,随机抽取200名学生的成绩,成绩全部在50分至100分之间,将成绩按如下方式分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100).据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在[80,90)中的学生有（ ）A. 30名B. 40名C. 50名D. 60名【答案】B【解析】 根据面积之和为1,计算出[80,90)所在长方形的面积,即为频率,乘以样本容量即可.【详解】由题知,成绩在[80,90)内的学生所占的频率为1(0.00520.0250.045)100.2-⨯++⨯=, 所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有2000.240⨯=名,。

・(4)充分不必耍羡件 (B 〉必要不充分条件«o 充分必要条件(D)既不充分逆不必要条件4.如果a<6<0,那么下列不等式成立的是■(O —4&V —a*(D)-1- 1匸v-石5.某算法的程序寵图如图所示•若输出的y ・・寺•则输人的工可能为(开始工⑷一 1或1(B)l«5入整Jfc/W(O1(D)-lV6.巳知向量丽=(】，一3人向量梵=(4・一2几则"5€的形状为(A 〉等腰直角三角形(B)磅边三角形ysirj< 尸 0§ --------------/输中/ $(«Al.机密★启用前 〔希试时间：2016年12月28日下午3-00—5 < 00)乐山市高中2017届第一次调査研究考试文科数学注意事項：/】.本试尊分第I 逡择越)和篥n 奪(非逸择题)两璋分•备仪前，考生务必特自己的姓 龙、准考证号填耳程学題卡上.2. 购答第I 峯时•遶出每小購备案后，用铅笔把尊题卡上对应题目的答案标号涂只•如需 改幼•用干净后•再遗涂其它答案标号.爲在本法豪上无效.3. 固答第n 題时•将稈索頁在答题卡上，写恵本试尊上无效. 4 •考试结朿后，件本试卷粗答恳卡一幷交回・第I 卷(选择题共60分)一、选择■:本大龜共12小題，毎小題5分•共60分.衽每小題给出的四个选项中•只有一项霆 符含题目要求的.1・设全集为R,集合A ■{工|F+3Q C0}・则 3 = (A){x|x<-3 或 £>0} (B){x|xC-3 或龙A0>(C){x|-3<x<0} • (D){x|-3<z<0)2. 巳知aWRM 为虚数单位，若(l-i)(«4-0为纯虚数，則a 的值为(A)2(B)l3・“・V2"是“2・V1”的(0-2(D)-lrx>i7•已知 OO.HQ 满足约束条牛jr+y<2• *=龙+2,的尺小值为一2,則a ・◎工一y —2aW0<A)-|- (B)-|- (C)l V (D)2&把頭数y-sinCx+f)图录上各点的橫塑标壕短为原来的寺倍(纵坐标不变人再将图佥向 右平移手个单位•那么所得图象的一条对称轴方程为(A)x —— ~ 49.《张丘定算绘》中女子织布问题为，某女子善于织布•一天比一天织得快•且从第2天开始, I •每天比前一天多织相同童的布，巳知第一天訳5尺布■一月(按30天计)共纵390尺布•則 从第2天起毎天比前一天裟织 _____________ 尺布. ⑷寻 ⑻If 氓 9焉 •..10. 如图，已知三梭柱ABC-A L B I G 的所有梭长均为1•且AA L 丄底面ABC.9A 三棱雜 Bi-ABC.的体积为|lo &xb0<x<312.巳知函数/G)=Y •若存在实ft Xi 9X2«X 19X <t 当尙<工*<列<工4时・—cos —x t 3<x<9 t漬足/(Xx ) = /(X, ) = /(X> )-/(X4) . W 却助血及的取值范国是<A)(7,^> ⑻⑵,竽) (C)[27,30> (D)(27,i|5)(D)x=f(A)(B> (C) (D)机空★启用阈〔才试时»：2016年12月28日下午3>00—5 < 003乐山市高中2017届第一次调查研究考试文科数学第II卷(非选择题共90分)注倉事瑣:1•水仏包括必考题和选考题瀚部分.* 13-21题为必考题，每个试題考生再必績作备•第22—23息为址肴題，肴生根据矣象柞答.■2.考生烦用0.5臺来X色基遽签字笔袒答息卡上息目所押示的答題区域内柞答•柞图题可先用铅笔理袋，确认后用0.54«色鼻诳签字笔卅清楚•參在试是參上无效.3•本仆分典10小題，矣90令・二、填空■:*大剧共4小通；每小題5分，共20分.13._________________________________________________ 设函ft/<x) = (x+l)(2x+3a)为偶函数,«a- ________________________________________________ ・ 4 14.在三角形ABC中，点E,F満力・CP=2PX・若耶•则x4-> __________________________ .15.小王何学骑电动自行车以24km/h的速度沿務正北方向的公路行驶，在点A处堕见电视塔S在电动车的北值东30•方向上・20min后到点B处电见电視琳在电动车的北偏东75* 方向上，则电动车庄点B时与电视塔S的距贏是 __________________________ km.16・巳知f(x)-x+alnx(a>0)对于区阿［1.3］内的任倉冏个相异实数x t.x t m有|/(x J)-/(x,)|<|^-^-1成立，则实数a的取值范曲是________________________ ・三、解答碼：本大题共6小題，共70分•解答应写出文字規期、证朋过建或掩演步■.17・(本小超満分12分)巳知2sina ・ tan«.3,且0VaVir.d)求a的值'■ ■ ...(2)求函数/(x)-4siiM：sin(x-a>在［0•乎］上的值域.418.(本小fl満分12分)如图所示，庄四棱锭S-ABCD中•底面ABCD是菱形. SA丄平面ABCD,M、N分别为SA、CD的中点.(1)证明；直變MN〃平面SBCi<2)fiE明，平面SBD丄平面SAC.19・(本小題満分12分)某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.巳知各役入工万元•甲、乙两种商品分别可获得刃，力万元的利润，利制曲线P] 1 yi«ax',P t « 6x-Fc.如图所示.(1)求两数M •处的解析式3(2)应怎样分配投资资金•才能使投资秩魁的利润最■大？20.(本小J1器分】2分)巳知数列｛a.｝的館川項和为S•，点5・S.)GGN・)在函数/W■寺*+寺工的图象上(1)求数列(孙)的通項公式。

四川省乐山市2017年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．22．已知集合A={x|x2+3x≤0}，集合B={n|n=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，1}B．{1，3}C．{﹣3，﹣1}D．{﹣3，﹣1，1，3}3．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．5．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为（）A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或16．已知向量，向量，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形7．已知a＞0，x，y满足约束条件，z=x+2y的最小值为﹣2，则a=（）A．B．C．1 D．28．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．9．函数的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g （x ）=Acosωx 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位10．已知函数f （x ）=，则y=f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，当x 1＜x 2＜x 3＜x 4时满足f （x 1）=f （x 2）=f （x 3）=f （x 4），则x 1?x 2?x 3?x 4的取值范围是（ ）A ．（7，）B ．（21，）C ．[27，30）D ．（27，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设函数f （x ）=（x +1）（2x +3a ）为偶函数，则a= ．14．在三角形ABC中，点E，F满足，，若，则x+y=．15．小王同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，20min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是km．16．已知f（x）=x+alnx（a＞0）对于区间[1，3]内的任意两个相异实数x1，x2，恒有成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知2sinα?tanα=3，且0＜α＜π．（1）求α的值；（2）求函数f（x）=4sinxsin（x﹣α）在上的值域．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N 分别为SA，CD的中点．（I）证明：直线MN∥平面SBC；（Ⅱ）证明：平面SBD⊥平面SAC．19．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品分别可获得y1，y2万元的利润，利润曲线，P2：y2=bx+c，如图所示．（1）求函数y1，y2的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？20．已知数列{a n}的前n项和s n，点（n，s n）（n∈N*）在函数y=x2+x的图象上（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，不等式T n＞log a（1﹣a）对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．21．已知f（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）=k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k=2时，求证：对于?x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．2017年四川省乐山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴，解得，则a+b=1．故选：B．2．已知集合A={x|x2+3x≤0}，集合B={n|n=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，1}B．{1，3}C．{﹣3，﹣1}D．{﹣3，﹣1，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A中的一元二次不等式的解集确定出集合A，观察发现集合B 为所有的奇数集，所以找出集合A解集中的奇数解即为两集合的交集．【解答】解：由集合A中的不等式x2+3x≤0，因式分解得：x（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜0，所以集合A=（﹣3，0）；根据集合B中的关系式n=2k+1，k∈Z，得到集合B为所有的奇数集，则集合A∩B={﹣3，﹣1}．故选：C3．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由ln（x﹣1）＜0，得：0＜x﹣1＜1，解得：1＜x＜2，故x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件，故选：B．4．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【考点】不等关系与不等式．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．5．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为（）A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或1【考点】选择结构；程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．利用输出的值，求出输入的x的值即可．【解答】解：这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，输出的结果为，当x≤2时，sin=，解得x=1+12k，或x=5+12k，k∈Z，即x=1，﹣7，﹣11，…当x＞2时，2x=，解得x=﹣1（不合，舍去），则输入的x可能为1．故选B．6．已知向量，向量，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由已知向量的坐标求得的坐标，可得，结合得答案．【解答】解：∵，，∴=（3，1），∴．又．∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故选A．7．已知a＞0，x，y满足约束条件，z=x+2y的最小值为﹣2，则a=（）A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入ax﹣y﹣2a=0得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（1，﹣），z=x+2y的最小值为﹣2，由图形可知A是目标函数的最优解，A在ax﹣y﹣2a=0上，可得：a+﹣2a=0解得a=．故选：B．8．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【考点】数列的应用．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则30×5+d=390，解得d=，故选：D．9．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】函数的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可知周期T=，可得ω的值，根据三角函数的平移变换规律可得结论．【解答】解：由题意，函数的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可知周期T=，那么：ω=．则f （x ）=Asin （3x +）=Asin3（x +） 要得到g （x ）=Acos3x ，即Acos3x=Asin （3x +）=Asin3（x +）由题意：可得：f （x ）向左平移可得g （x ） 故选A10．已知函数f （x ）=，则y=f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选A．11．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案．【解答】解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的体积为π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为，故选：D．12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，当x1＜x2＜x3＜x4时满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1?x2?x3?x4的取值范围是（）A．（7，）B．（21，）C．[27，30）D．（27，）【考点】函数的值．【分析】画出分段函数的图象，求得（3，1），（9，1），令f（x l）=f（x2）=f （x3）=f（x4）=a，作出直线y=a，通过图象观察，可得a的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得x1x2=1，x3+x4=12，再由二次函数在（3，4.5）递增，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）的图象，令f（x l）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=a，作出直线y=a，由x=3时，f（3）=﹣cosπ=1；x=9时，f（9）=﹣cos3π=1．由图象可得，当0＜a＜1时，直线和曲线y=f（x）有四个交点．由图象可得0＜x1＜1＜x2＜3＜x3＜4.5，7.5＜x4＜9，则|log3x1|=|log3x2|，即为﹣log3x1=log3x2，可得x1x2=1，由y=﹣cos（x）的图象关于直线x=6对称，可得x3+x4=12，则x1?x2?x3?x4=x3（12﹣x3）=﹣（x3﹣6）2+36在（3，4.5）递增，即有x1?x2?x3?x4∈（27，）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，则a=﹣．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论．【解答】解：函数f（x）=（x+1）（2x+3a）=2x2+（3a+2）x+3a∵函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，∴2x2﹣（3a+2）x+3a=2x2+（3a+2）x+3a∴3a+2=0∴a=﹣，故答案为：14．在三角形ABC中，点E，F满足，，若，则x+y=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】首先利用平面向量的三角形法则得到，然后用表示，结合平面向量基本定理得到x，y．【解答】解：在三角形ABC中，点E，F满足，，若==，所以x=﹣，y=，则x+y=；故答案为：15．小王同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，20min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是km．【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△ABS中，可得∠BAS=30°，AB=8，∠ABS=180°﹣75°=105°则∠ASB=45°，由正弦定理可得BS=．【解答】解：如图，由已知可得，AB=24×=8．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=8，∠ABS=180°﹣75°=105°∠ASB=45°由正弦定理可得BS==4，故答案为16．已知f（x）=x+alnx（a＞0）对于区间[1，3]内的任意两个相异实数x1，x2，恒有成立，则实数a的取值范围是（0，）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于|1+|＜，（1），由x1，x2→时（1）变为|1+3a|＜9，由x1，x2→1时（1）变为|1+a|＜1，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：已知a＞0，f（x）=x+alnx，对区间[1，3]内的任意两个相异的实数x1，x2，恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜|﹣|，∴|x1﹣x2+a（lnx1﹣lnx2）|＜||，两边都除以|x1﹣x2|，∵|1+|＜，（1）（lnx）′=∈[，1]，∴∈[，1]，x1，x2→时（1）变为|1+3a|＜9，解得：﹣＜a＜，x1，x2→1时（1）变为|1+a|＜1，解得：﹣2＜a＜0，又∵a＞0，∴0＜a＜，故答案为（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知2sinα?tanα=3，且0＜α＜π．（1）求α的值；（2）求函数f（x）=4sinxsin（x﹣α）在上的值域．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，求得sinα的值，可得α的值．（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）=4sinxsin（x﹣α）在上的值域．（1）∵2sinα?tanα=3，且0＜α＜π．∴2sin2α=3cosα，∴2﹣2cos2α=3cosα，【解答】解：∴2cos2α+3cosα﹣2=0，解得cosα=，或cosα=﹣2（舍），∴α=．（2）∵α=，∴函数f（x）=4sinxsin（x﹣）=4sinx（sinxcos﹣cosxsin）==，∵，∴，∴，则，∴f（x）∈[﹣1，0]．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N 分别为SA，CD的中点．（I）证明：直线MN∥平面SBC；（Ⅱ）证明：平面SBD⊥平面SAC．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取SB中点E，连接ME、CE，由三角形中位线定理、菱形性质得四边形MECN是平行四边形，由此能证明直线MN∥平面SBC．（Ⅱ）连接AC、BD，交于点O，由线面垂直得SA⊥BD，由菱形性质得AC⊥BD，由此能证明平面SBD⊥平面SAC．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取SB中点E，连接ME、CE，因为M为SA的中点，所以ME∥AB，且ME=，…因为N为菱形ABCD边CD的中点，所以CN∥AB，且CN=，…所以ME∥CN，ME=CN，所以四边形MECN是平行四边形，所以MN∥EC，…又因为EC?平面SBC，MN?平面SBC，所以直线MN∥平面SBC．…（Ⅱ）证明：如图，连接AC、BD，交于点O，因为SA⊥底面ABCD，所以SA⊥BD．…因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．…又SA∩AC=A，所以BD⊥平面SAC．…又BD?平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAC．…19．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品分别可获得y1，y2万元的利润，利润曲线，P2：y2=bx+c，如图所示．（1）求函数y1，y2的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）将（1，1.25），（4，2.5）代入曲线，解方程可得；由P2：y2=bx+c过原点，可得c=0，将（4，1）代入，可得b，即可得到P2的方程；（2）设甲投资x万元，则乙投资为（10﹣x）万元，投资获得的利润为y万元，则=，令，转化为二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题知（1，1.25），（4，2.5）在曲线P1上，则，解得，即．又（4，1）在曲线P2上，且c=0，则1=4b，则，所以．（2）设甲投资x万元，则乙投资为（10﹣x）万元，投资获得的利润为y万元，则=，令，则．当，即（万元）时，利润最大为万元，此时10﹣x=3.75（万元），答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元．20．已知数列{a n}的前n项和s n，点（n，s n）（n∈N*）在函数y=x2+x的图象上（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，不等式T n＞log a（1﹣a）对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1），再写一式，即可求{a n}的通项公式；（2）由（1）知a n=n，利用裂项法可求=（﹣），从而可求得T n﹣T n=═ [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，由T n+1＞0，可判断数列{T n}单调递增，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴①当②①﹣②得a n=n当，∴a n=n；（2）由（1）知a n=n，则=（﹣）．∴T n═ [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1+﹣﹣）=﹣（+）．∵T n+1﹣T n=＞0，∴数列{T n}单调递增，∴（T n）min=T1=．要使不等式T n＞log a（1﹣a）对任意正整数n恒成立，只要＞log a（1﹣a）．∵1﹣a＞0，∴0＜a＜1．∴1﹣a＞a，即0＜a＜．21．已知f（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）=k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k=2时，求证：对于?x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出定义域和导数f′（x），令f′（x）＞0，解出增区间，令f′（x）＜0，解出减区间；（Ⅱ）令H（x）=f（x）﹣g（x），利用导数判断出H（x）的单调性和单调区间，得出H（x）的最大值，证明H max（x）＜0即可．【解答】解：（Ⅰ），当f′（x）＞0 时，所以x2+3x+1＜0，解得﹣2＜x，当f′（x）＜0时，解得，所以f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k=2时，g（x）=2（x+1）．令H（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）=，令H′（x）=0，即﹣2x2﹣8x﹣6=0，解得x=﹣1或x=﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．∴H max（x）=H（﹣1）=0，∴对于?x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k=2时，f （x）＜g （x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k （x+1）．∴2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k （x+1），即f （x）＜g （x）恒成立，不存在满足条件的x0；令h（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）=，当k＜2时，令t （x）=﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t （x）与h′（x）符号相同，当x∈（x0，+∞）时，t （x）＜0，h′（x）＜0，h （x）单调递减，当x∈（﹣1，x0）时，h （x）＞h （﹣1）=0，即f （x）﹣g （x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）分别求出直线和曲线的普通方程，根据点到直线的距离，求出直线l与曲线C的位置关系；（2）根据点到直线的距离求出直线l上的点向圆C引的切线长的最小值即可．【解答】解：（1）直线l方程：y=x+4，ρ=4cos（θ+）=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2sinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即+=4，∴圆心（，﹣）到直线l的距离为d=6＞2，故直线与圆相离．（2）直线l的参数方程化为普通方程为x﹣y+4=0，则圆心C到直线l的距离为=6，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为=4．23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a2 ，求得a 的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3?﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，求得﹣＜a＜．。

2017年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2）B．（1，2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ35．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．611．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2C．2 D．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2017）的值为．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．18．（12分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．（12分）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．2017年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2）B．（1，2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x≥4}={x|x≥2}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}={x＞1}，∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．【解答】解：∵==1+i∴=1﹣i故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．5．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定【考点】BK：线性回归方程．【分析】由样本数据可得，，，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．【解答】解：由题意，=（15+16+18+19+22）=18，=（102+98+115+115+120）=110，xiyi=9993，5=9900，xi2=1650，n（）2=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100故选：B．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．【点评】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】8H：数列递推式．【分析】S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=2a n﹣1，利用等比数列的通项公式可得：a n=2n﹣1.化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．验证n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n，利用二项式定理展开即可得出．2n＞4n．【解答】解：S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．a n=2n﹣1．化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n=++…+++≥2（+）=n2+n+2，下面证明：n2+n+2＞4n，作差：n2+n+2﹣4n=n2﹣3n+2=（n﹣1）（n﹣2）＞0，∴n2+n+2＞4n，则满足的最大正整数n的值为4．故答案为：C．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |=，∴+=3 ∴p=4 故选：B ．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．多面体MN ﹣ABCD 的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可． 【解答】解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得，故选：C ．【点评】本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．11．函数f （x ）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f （π）=（ ）A．4 B．2C．2 D．【考点】35：函数的图象与图象变化；3T：函数的值．【分析】由图象的顶点坐标求出A，根据周期求得ω，再由sin[2（﹣）+φ]=0以及φ的范围求出φ的值，从而得到函数的解析式，进而求得f（π）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，根据半个周期=•=，解得ω=2．由图象可得当x=﹣时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin[2（﹣）+φ]=0．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=，∴f（π）=4，故选A．【点评】本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，运用求根公式和指数函数的值域，解不等式可得a的范围．【解答】解：f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1的导数为f′（x）=2e2x﹣2e x+a，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，即有（e x﹣）2=，即为e x=+或e x=﹣，即有7﹣2a＞0且7﹣2a＜1，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程的解的个数问题的解法，注意运用配方和二次方程求根公式，以及指数函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=72．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】可得a1+a8=18，代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：72【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为﹣80．【考点】DB：二项式系数的性质；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据两直线垂直求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x3的系数．【解答】解：直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，∴2a+1×（﹣1）=0，解得a=；∴二项式（﹣）5 =（2x﹣）5展开式的通项公式为T r=•（2x）5﹣r•=（﹣1）r•25﹣r••x5﹣2r，+1令5﹣2r=3，求得r=1，∴展开式中x3的系数为﹣1•24•=﹣80．故答案为：﹣80．【点评】本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2017）的值为﹣1．【考点】3T：函数的值．【分析】根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，可得答案．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（﹣1）=1，f（0）=0，f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1，f（3）=f（2）﹣f（1）=0，f（4）=f（3）﹣f（2）=1，f（5）=f（4）﹣f（3）=1，f（6）=f（5）﹣f（4）=0，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1，故当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故f（2017）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，是解答的关键．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是①④．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可．【解答】解：①对任一常数函数f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），∴常数函数是“关于t函数”，故①正确，②正比例函数必是一个“关于t函数”，设f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程无解，故②不正确；③“关于2函数”为f（2+x）=2•f（x），当函数f（x）不恒为0时，有=2＞0，故f（x+2）与f（x）同号．∴y=f（x）图象与x轴无交点，即无零点．故③错误，④对于f（x）=（）x设存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得（）t+x=t（）x，也就是存在t使得（）t（）x=t（）x，也就是存在t使得（）t=t，此方程有解，故④正确．故正确是①④，故答案为①④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•乐山三模）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠POQ 的值．（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．【解答】解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以．所以．（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而，所以==．因为，所以当时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为．【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．18．（12分）（2017•乐山三模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P （X=50）==，P （X=100）==，P （X=150）==，P （X=200）==，∴X 的分布列为：∴EX==55（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（2017•乐山三模）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，F 、G 、H 分别是PC 、AB 、BC 的中点，PA ⊥平面ABC ，PA=AB=AC=2，二面角B ﹣PA ﹣C 为120°． （I ）证明：FG ⊥AH ；（Ⅱ）求二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（I ）根据线面垂直的性质定理即可证明FG ⊥AH ；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值．【解答】解：（I ）设AC 的中点是M ，连接FM ，GM ， ∵PF=FC ，∴FM ∥PA ， ∵PA ⊥平面ABC ， ∴FM ⊥平面ABC ，∵AB=AC ，H 是BC 的中点， ∴AH ⊥BC ， ∵GM ∥BC ，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P（0，0，2），H（，，0），C（0，2，0），B（，﹣1，0），F（0，1，1），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos＜，＞==，即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是．【点评】本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2017•乐山三模）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．【解答】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点．设Q的坐标为（﹣3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0．设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）．=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4）又=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））．由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0，所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0．故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k]=0．因为k＞0，所以x2﹣x1≠0．所以（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k﹣2m=0．所以（1+k2）（﹣）+4k﹣2m=0．解得m=﹣，即因为k＞，可以使，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．21．（12分）（2017•乐山三模）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ax﹣=，（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a=0时，f′（x）=＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0，结合x＞0，解得，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递减；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述：当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）因为对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈[1，e]，直线PM 的斜率小于0，即，所以f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1．又因为f′（x）=ax﹣=，令g（x）=ax2﹣2，x∈[1，e]（1）当a≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=＜1，所以a＜2，故a≤0符和题意；（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得，①当≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数f（x）的最大值f（e）=，解得a＜，故无解；②当≥e，即时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=＜1，解得a＜2，故0；③当，即时，函数f（x）在（1，）上单调递减；当x∈（，e）上单调递增，故f（x）在区间x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），所以，即，故．综上所述a的取值范围．【点评】本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）（2017•乐山三模）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C1，C1的平面直角坐标方程，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，能求出曲线C1与C2交点的平面直角坐标．（Ⅱ）作出图形，由平面几何知识求出当|AB|最大时|AB|=2，O到AB的距离为，由此能求出△OAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程是（θ为参数），∴曲线C1的平面直角坐标方程为（x+2）2+y2=4．又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，解得或，∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为（0，0），（﹣2，2）．（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2，O到AB的距离为，∴△OAB的面积为S=．【点评】本题考查两曲线交点的平面直角坐标的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的相互转化及应用．23．（2017•乐山三模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=﹣1，从而解不等式t2﹣3t＞﹣1即可求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。

2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学(理)试题Word版含答案位C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位10.已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C.D ．11.2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A. B.C.D. 12.已知函数3|log |,03()cos ,393x x f x x π<<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x ，当1234x x x x <<<时，满足1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围是（ ）A ．29(7,)4B ．135(21,)4C.[27,30) D ．135(27,)4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a = ． 14.在三角形ABC 中，点,E F 满足12AE AB =，2CF FA =，若EF xAB y AC=+，则x y + ．15.小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 km ．16.已知()ln (0)f x x a x a =+>对于区间[1,3]内的任意两个相异实数12,x x ，恒有121211|()()|||f x f x x x-<-成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知2sin tan 3a a =•，且0a π<<. （1）求a 的值；（2）求函数()4sin sin()f x x x a =-在[0,]4π上的值域.18. 如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ⊥平面ABCD ，M N 、分别为SA CD 、的中点. （1）证明：直线//MN 平面SBC ； （2）证明：平面SBD ⊥平面SAC .19. 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:nP yax =，22:P y bx c=+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？20. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，点*(,)()nn S n N ∈在函数211()22f x x x =+的图象上.（1）求数列{}na 的通项公式；（2）设数列21{}n n a a+的前n 项和为nT ，不等式1log (1)3na Ta >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立； （3）若存在01x>-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知直线l 的参数方程为2.224 2.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos()4πρθ=+. （1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值.23.设函数()|21||2|f x x x =--+. （1）解不等式()0f x >； （2）若0x R ∃∈，使得2()24f x mm+<，求实数m 的取值范围.2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学（理）试题参考答案及评分意见一、选择题1-5:BCBDB 6-10: ABCAA 11、12：DD二、填空题13. 23a =- 14.16x y +=- 15.4216.83a ≤- 三、解答题17.解：（1）2sin tan 3a a =•，且0a π<<. 22sin 3cos a a∴=，222cos3cos a a∴-=，22cos 3cos 20a a ∴+-=，解得1cos 2a =或cos 2a =-（舍），0a π<<，3a π∴=. （2）3a π=， ()4sin sin()4sin (sin coscos sin )33f x x x a x x x ππ∴=-=-••22sin 23cos x x x=-2sin(2)16x π=-++，[0,]4x π∈，22[,]663x πππ∴+∈， 2sin(2[1,2]6x π∴+∈），则2sin(2[2,1]6x π-+∈--）， ()[1,0]f x ∴∈-．18.解：（1）在直角梯形ABCD 中，22AC = 取AB 中点E ，连接CE ， 则四边形AECD 为正方形， ∴2AE CE ==, 又122BE AB ==， 则ABC ∆为等腰直角三角形， ∴AC BC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥，由AC PA A =∩得BC ⊥平面PAC ， ∵PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥.（2）以A 为坐标原点，,,AD AB AP 分别,,x y z 为轴建立如图所示的坐标系，则(0,0,2)(0,4,0)(2,2,0)P B C ，，，(0,4,2)(2,2,0)BP BC =-=-，. 由（1）知BC 即为平面PAC 的一个法向量，10cos ,||||BC BP BC BP BC BP ==•即PB 与平面PAC 10.19.解：（1）由题知(1,1.25)，(4,2.5)在曲线1P 上， 则1.2512.5,4nn a a ⎧=⎪⎨⎪⎩••，解得5412a n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即154yx =又(4,1)在曲线2P 上，且0c =，则14b =，则14b =，所以214yx =.（2）设甲投资x 万元，则乙投资为(10)x -万元， 投资获得的利润为y 万元，则1(10)4y x =-1542x =+， t =∈，则221551565()4424216y tt t =-++=--+.当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6512万元，此时10 3.75x -=（万元），答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元.20.解：（1）点(,)nn S 在函数211()22f x xx =+的图象上，21122nSn n ∴=+.① 当2n ≥时，2111(1)(1)22n S n n -=-+-，②①-②得nan=.当1n =时，111aS ==，符合上式.*()n a n n N ∴=∈．（2）由（1）得211(2)n n a an n +=+111()22n n =-+，13242111n n n T a a a a a a +∴=+++ 111111(1)23242n n =-+-++-+3111()4212n n =-+++．11(1)(3)n n T T n n +-=>++，∴数列{}nT 单调递增，∴{}n T 中的最小项为113T =. 要使不等式1log (1)3na Ta >-对任意正整数n 恒成立，只要11log (1)33aa >-， 即log (1)log aaa a -<.解得102a <<， 即实数a 的取值范围为1(0,)2. 21.解：（1）2'()2(1)2f x x x =-++ 22(31)(2)2x x x x -++=>-+，当'()0f x <时，2310xx ++<.解得352x -+-<< 当'()0f x >时，解得35x -+>． 所以()f x 单调增区间为35(2,)2-+-，单调减区间为35(,)2-+∞．（2）设()()()h x f x g x =-22ln(2)(1)(1)(1)x x k x x =+-+-+>-，当2k =时，由题意，当(1,)x ∈-+∞时，()0h x <恒成立．22(31)'()22x x h x x -++=-+2(3)(1)2x x x -++=+，∴当1x >-时，'()0h x <恒成立，()h x 单调递减． 又(1)0h -=，∴当(1,)x ∈-+∞时，()(1)0h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立． （3）因为22(31)'()2x x h x kx -++=-+22(6)222x k x k x ++++=-+．由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立， 即对于1x ∀>-，22ln(2)(1)2(1)x x x +-+<+，不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>， 此时2(1)(1)x k x +<+． ∴22ln(2)(1)2(1)(1)x x x k x +-+<+<+，即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ； 当2k <时，令2()2(6)(22)t x xk x k =--+-+，可知()t x 与'()h x 符号相同， 当0(,)x x ∈+∞时，()0t x <，'()0h x <，()h x 单调递减．∴当0(1,)x x ∈-时，()(1)0h x h >-=， 即()()0f x g x ->恒成立． 综上，k 的取值范围为(,2)-∞．22.解：（1）由直线l 的参数方程消去参数t 得l 的方程为2y x =+4cos()22224πρθθθ=+=-，22cos 2ρρθθ∴=-，∴曲线C 的直角坐标方程为222220xy x y +-+=，即22(2)(2)4x y ++=.圆心2,2)-到直线l 的距离为2242622d ==>，∴直线l 与圆C 的相离.（2）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为2(4)3242t ==++≥即切线长的最小值为4223.解：（1）不等式()0f x >可转化为|21||2|x x ->+， 即2244144x x x x -+>++，即23830xx -->，解得13x <-或3x >. 即不等式的解集为1{|3x x <-或3}x >.（2）因为3,21()31,2213,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=---≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，()f x ∴的最小值为15()22f =-. 0x R∃∈，使得2()24f x mm+<， 即0x R ∃∈，使得2min42()m m f x ->，所以25422m m->-，解得1522m -<<， 故实数m 的范围为15(,)22-.。

2017年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2） B．（1，2] C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ35．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣ C． +D．+6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．611．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2 C．2 D．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2017）的值为．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t 函数”的结论： ①常数函数是“关于t 函数”；②正比例函数必是一个“关于t 函数”； ③“关于2函数”至少有一个零点；④f （x ）=是一个“关于t 函数”．其中正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线y=x （x ≥0）交于点Q ，与x 轴交于点M ．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos ∠POQ ； （Ⅱ）求△OPQ 面积的最大值．18．（12分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l 的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I ）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．（12分）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．2017年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2） B．（1，2] C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x≥4}={x|x≥2}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}={x＞1}，∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．【解答】解：∵==1+i∴=1﹣i故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．5．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣ C． +D．+【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定【考点】BK：线性回归方程．【分析】由样本数据可得，，，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．【解答】解：由题意，=（15+16+18+19+22）=18，=（102+98+115+115+120）=110，xiyi=9993，5=9900，xi2=1650，n（）2=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100故选：B．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．【点评】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】8H：数列递推式．【分析】S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=2a n，利用等比数列的通项公式可得：a n=2n﹣1.化为：2n﹣1≤2n，即2n ﹣1≤4n．验证n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n，利用二项式定理展开即可得出．2n＞4n．【解答】解：S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．a n=2n﹣1．化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n=++…+++≥2（+）=n2+n+2，下面证明：n2+n+2＞4n，作差：n2+n+2﹣4n=n2﹣3n+2=（n﹣1）（n﹣2）＞0，∴n2+n+2＞4n，则满足的最大正整数n的值为4．故答案为：C．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3∴p=4故选：B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可．【解答】解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得，故选：C．【点评】本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．11．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2 C．2 D．【考点】35：函数的图象与图象变化；3T：函数的值．【分析】由图象的顶点坐标求出A，根据周期求得ω，再由sin[2（﹣）+φ]=0以及φ的范围求出φ的值，从而得到函数的解析式，进而求得f（π）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，根据半个周期=•=，解得ω=2．由图象可得当x=﹣时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin[2（﹣）+φ]=0．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=，∴f（π）=4，故选A．【点评】本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，运用求根公式和指数函数的值域，解不等式可得a的范围．【解答】解：f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1的导数为f′（x）=2e2x﹣2e x+a，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，即有（e x ﹣）2=，即为e x =+或e x =﹣，即有7﹣2a ＞0且7﹣2a ＜1，解得3＜a ＜． 故选B ．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程的解的个数问题的解法，注意运用配方和二次方程求根公式，以及指数函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=9﹣a 6，则S 8= 72 ． 【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】可得a 1+a 8=18，代入求和公式计算可得． 【解答】解：由题意可得a 3+a 6=18， 由等差数列的性质可得a 1+a 8=18故S 8=（a 1+a 8）=4×18=72 故答案为：72【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14．若直线ax +y ﹣3=0与2x ﹣y +2=0垂直，则二项式展开式中x 3的系数为 ﹣80 ．【考点】DB ：二项式系数的性质；IJ ：直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】根据两直线垂直求出a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x 3的系数．【解答】解：直线ax +y ﹣3=0与2x ﹣y +2=0垂直，∴2a +1×（﹣1）=0，解得a=；∴二项式（﹣）5 =（2x ﹣）5展开式的通项公式为T r +1=•（2x ）5﹣r •=（﹣1）r •25﹣r ••x 5﹣2r ，令5﹣2r=3，求得r=1，∴展开式中x3的系数为﹣1•24•=﹣80．故答案为：﹣80．【点评】本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2017）的值为﹣1．【考点】3T：函数的值．【分析】根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，可得答案．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（﹣1）=1，f（0）=0，f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1，f（3）=f（2）﹣f（1）=0，f（4）=f（3）﹣f（2）=1，f（5）=f（4）﹣f（3）=1，f（6）=f（5）﹣f（4）=0，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1，故当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故f（2017）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当x ∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，是解答的关键．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是①④．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可．【解答】解：①对任一常数函数f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），∴常数函数是“关于t函数”，故①正确，②正比例函数必是一个“关于t函数”，设f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程无解，故②不正确；③“关于2函数”为f（2+x）=2•f（x），当函数f（x）不恒为0时，有=2＞0，故f（x+2）与f（x）同号．∴y=f（x）图象与x轴无交点，即无零点．故③错误，④对于f（x）=（）x设存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得（）t+x=t（）x，也就是存在t使得（）t（）x=t（）x，也就是存在t使得（）t=t，此方程有解，故④正确．故正确是①④，故答案为①④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•乐山三模）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠POQ的值．（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．【解答】解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以．所以．（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而，所以==．因为，所以当时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为．【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．18．（12分）（2017•乐山三模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P （X=200）==，∴X 的分布列为：∴EX==55（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（2017•乐山三模）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，F 、G 、H 分别是PC 、AB 、BC 的中点，PA ⊥平面ABC ，PA=AB=AC=2，二面角B ﹣PA ﹣C 为120°． （I ）证明：FG ⊥AH ；（Ⅱ）求二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I ）根据线面垂直的性质定理即可证明FG ⊥AH ；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值．【解答】解：（I ）设AC 的中点是M ，连接FM ，GM ， ∵PF=FC ，∴FM ∥PA ， ∵PA ⊥平面ABC ， ∴FM ⊥平面ABC ，∵AB=AC ，H 是BC 的中点， ∴AH ⊥BC ， ∵GM ∥BC ， ∴AH ⊥GM ，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P（0，0，2），H（，，0），C（0，2，0），B（，﹣1，0），F（0，1，1），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos＜，＞==，即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是．【点评】本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2017•乐山三模）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．【解答】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点．设Q的坐标为（﹣3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0．设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）．=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4）又=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））．由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0，所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0．故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k]=0．因为k＞0，所以x2﹣x1≠0．所以（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k﹣2m=0．所以（1+k2）（﹣）+4k﹣2m=0．解得m=﹣，即因为k＞，可以使，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．21．（12分）（2017•乐山三模）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m ∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ax﹣=，（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a=0时，f′（x）=＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0，结合x＞0，解得，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递减；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述：当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）因为对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈[1，e]，直线PM的斜率小于0，即，所以f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1．又因为f′（x）=ax﹣=，令g（x）=ax2﹣2，x∈[1，e]（1）当a≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=＜1，所以a＜2，故a≤0符和题意；（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得，①当≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数f（x）的最大值f（e）=，解得a＜，故无解；②当≥e，即时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=＜1，解得a＜2，故0；③当，即时，函数f（x）在（1，）上单调递减；当x∈（，e）上单调递增，故f（x）在区间x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），所以，即，故．综上所述a的取值范围．【点评】本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）（2017•乐山三模）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C1，C1的平面直角坐标方程，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，能求出曲线C1与C2交点的平面直角坐标．（Ⅱ）作出图形，由平面几何知识求出当|AB|最大时|AB|=2，O到AB的距离为，由此能求出△OAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程是（θ为参数），∴曲线C1的平面直角坐标方程为（x+2）2+y2=4．又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，解得或，∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为（0，0），（﹣2，2）．（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2，O到AB的距离为，∴△OAB的面积为S=．【点评】本题考查两曲线交点的平面直角坐标的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的相互转化及应用．23．（2017•乐山三模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=﹣1，从而解不等式t2﹣3t＞﹣1即可求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。

2017年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x-1）}，则A∩B=（）A.[1，2）B.（1，2]C.[2，+∞）D.[1，+∞）【答案】C【解析】解：∵集合A={x|2x≥4}={x|x≥2}，集合B={x|y=lg（x-1）}={x＞1}，∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞）．故选：C．先分别求出集合A和集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.复数的共轭复数=（）A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i【答案】D【解析】解：∵==1+i∴=1-i故选D．根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A.（￢p）∨（￢q）B.p∨（￢q）C.（￢p）∧（￢q）D.p∨q【答案】A【解析】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4.已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A.μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B.μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C.μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D.μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【答案】D【解析】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．5.如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A.-B.-C.+D.+【答案】D【解析】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．直接利用向量的基本定理判断选项即可．本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．6.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A.a+18b＜100B.a+18b＞100C.a+18b=100D.a+18b与100的大小无法确定【答案】B【解析】解：由题意，=（15+16+18+19+22）=18，=（102+98+115+115+120）=110，xiyi=9993，5=9900，xi2=1650，n（）2=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110-3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100故选：B．由样本数据可得，，，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．7.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A.a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B.a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C.a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D.a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【答案】C【解析】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．8.已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n-1，则满足的最大正整数n的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解：S n=2a n-1，n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1．n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-1-（2a n-1-1），化为：a n=2a n-1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．a n=2n-1．化为：2n-1≤2n，即2n≤4n．n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n=++…+++≥2（+）=n2+n+2，下面证明：n2+n+2＞4n，作差：n2+n+2-4n=n2-3n+2=（n-1）（n-2）＞0，∴n2+n+2＞4n，则满足的最大正整数n的值为4．故答案为：C．S n=2a n-1，n=1时，a1=2a1-1，解得a1．n≥2时，a n=S n-S n-1，化为：a n=2a n-1，利用等比数列的通项公式可得：a n=2n-1.化为：2n-1≤2n，即2n≤4n．验证n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n，利用二项式定理展开即可得出．2n＞4n．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.在平面直角坐标系x O y中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A.2 B.4 C.3 D.【答案】B【解析】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3∴p=4故选：B．根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10.多面体MN-ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得，故选：C．利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可．本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．11.函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A.4B.2C.2D.【答案】A【解析】解：由函数的图象可得A=2，根据半个周期=•=，解得ω=2．由图象可得当x=-时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin[2（-）+φ]=0．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=，∴f（π）=4，故选A．由图象的顶点坐标求出A，根据周期求得ω，再由sin[2（-）+φ]=0以及φ的范围求出φ的值，从而得到函数的解析式，进而求得f（π）的值．本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题．12.已知曲线f（x）=e2x-2e x+ax-1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A.（3，+∞）B.（3，）C.（-∞，）D.（0，3）【答案】B【解析】解：f（x）=e2x-2e x+ax-1的导数为f′（x）=2e2x-2e x+a，由题意可得2e2x-2e x+a=3的解有两个，即有（e x-）2=，即为e x=+或e x=-，即有7-2a＞0且7-2a＜1，解得3＜a＜．故选B．求得f（x）的导数，由题意可得2e2x-2e x+a=3的解有两个，运用求根公式和指数函数的值域，解不等式可得a的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程的解的个数问题的解法，注意运用配方和二次方程求根公式，以及指数函数的值域，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9-a6，则S8= ______ ．【答案】72【解析】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：72可得a1+a8=18，代入求和公式计算可得．本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14.若直线ax+y-3=0与2x-y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为______ ．【答案】-80【解析】解：直线ax+y-3=0与2x-y+2=0垂直，∴2a+1×（-1）=0，解得a=；∴二项式（-）5=（2x-）5展开式的通项公式为T r+1=•（2x）5-r•=（-1）r•25-r••x5-2r，令5-2r=3，求得r=1，∴展开式中x3的系数为-1•24•=-80．故答案为：-80．根据两直线垂直求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x3的系数．本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题．15.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2017）的值为______ ．【答案】-1【解析】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（-1）=1，f（0）=0，f（1）=f（0）-f（-1）=-1，f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=0，f（4）=f（3）-f（2）=1，f（5）=f（4）-f（3）=1，f（6）=f（5）-f（4）=0，f（7）=f（6）-f（5）=-1，故当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故f（2017）=f（1）=-1，故答案为：-1．根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，是解答的关键．16.若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是______ ．【答案】①④【解析】解：①对任一常数函数f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），∴常数函数是“关于t函数”，故①正确，②正比例函数必是一个“关于t函数”，设f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf （x），即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程无解，故②不正确；③“关于2函数”为f（2+x）=2•f（x），当函数f（x）不恒为0时，有=2＞0，故f（x+2）与f（x）同号．∴y=f（x）图象与x轴无交点，即无零点．故③错误，④对于f（x）=（）x设存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得（）t+x=t（）x，也就是存在t使得（）t（）x=t（）x，也就是存在t使得（）t=t，此方程有解，故④正确．故正确是①④，故答案为①④．根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可．本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.如图，在直角坐标系x O y中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（-，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．【答案】解：﹙Ⅰ﹚因为，且，，所以．所以∠．（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而，，所以==．因为，，所以当时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为．【解析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠POQ 的值．（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．18.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，∴X的分布列为：∴EX==55（元）．【解析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19.如图，在三棱锥P-ABC 中，F 、G 、H 分别是PC 、AB 、BC 的中点，PA ⊥平面ABC ，PA=AB=AC=2，二面角B-PA-C 为120°．（I ）证明：FG ⊥AH ；（Ⅱ）求二面角A-CP-B 的余弦值．【答案】 解：（I ）设AC 的中点是M ，连接FM ，GM ， ∵PF=FC ，∴FM ∥PA ， ∵PA ⊥平面ABC ， ∴FM ⊥平面ABC ，∵AB=AC ，H 是BC 的中点， ∴AH ⊥BC ， ∵GM ∥BC ， ∴AH ⊥GM ， ∴GF ⊥AH（Ⅱ）建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系如图： 则P （0，0，2），H （，，0），C （0，2，0），B （ ，-1，0），F （0，1，1），则平面PAC 的法向量为 =（1，0，0）， 设平面PBC 的法向量为 =（x ，y ，z ），则，令z =1，则y =1，x = ， 即 =（ ，1，1），cos ＜ ， ＞==， 即二面角A-CP-B 的余弦值是．【解析】（I ）根据线面垂直的性质定理即可证明FG ⊥AH ；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A-CP-B 的余弦值．本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20.设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交z 轴负半轴于点Q ，且 + =，过A ，Q ，F 2三点的圆的半径为2．过定点M （0，2）的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．【答案】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点．设Q的坐标为（-3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为2c因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0．设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=-∴=（x1-m，y1）+（x2-m，y2）=（x1+x2-2m，y1+y2）．=（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）又=（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，k（x2-x1））．由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0，所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0．故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0．因为k＞0，所以x2-x1≠0．所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0．所以（1+k2）（-）+4k-2m=0．解得m=-，即因为k＞，可以使，所以＜故存在满足题意的点P且m的取值范围是[，）．【解析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．高中数学试卷第11页，共14页21.已知函数f（x）=ax2-2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【答案】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ax-=，（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a=0时，f′（x）=＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0，结合x＞0，解得，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递减；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述：当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）因为对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈[1，e]，直线PM的斜率小于0，即＜，所以f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1．又因为f′（x）=ax-=，令g（x）=ax2-2，x∈[1，e]（1）当a≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=＜1，所以a＜2，故a≤0符和题意；（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得，①当≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数f（x）的最大值f （e）=＜，解得a＜，故无解；②当≥e，即时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=＜1，解得a＜2，故0＜＜；③当＜＜，即＜＜时，函数f（x）在（1，）上单调递减；当x∈（，e）高中数学试卷第12页，共14页上单调递增，故f（x）在区间x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），所以，即＜＜，故＜＜．综上所述a的取值范围＜．【解析】（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．22.已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程是（θ为参数），∴曲线C1的平面直角坐标方程为（x+2）2+y2=4．又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，把两式作差，得y=-x，代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，解得或，∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为（0，0），（-2，2）．（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2，O到AB的距离为，∴△OAB的面积为S=．高中数学试卷第13页，共14页【解析】（Ⅰ）求出曲线C1，C1的平面直角坐标方程，把两式作差，得y=-x，代入x2+y2=4y，能求出曲线C1与C2交点的平面直角坐标．（Ⅱ）作出图形，由平面几何知识求出当|AB|最大时|AB|=2，O到AB的距离为，由此能求出△OAB的面积．本题考查两曲线交点的平面直角坐标的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的相互转化及应用．23.设函数f（x）=|2x-1|-|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2-3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）=，，＜，＜，∴原不等式转化为或＜或，解得：x≥6或-2≤x≤-或x＜-2，∴原不等式的解集为：（-∞，-]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2-3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=-1，∴t2-3t＞-1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（-∞，）∪（，+∞）．【解析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，，＜，＜，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=-1，从而解不等式t2-3t＞-1即可求得实数t的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．高中数学试卷第14页，共14页。

四川省乐山市高中第一次调查研究考试数 学（理工农医类）本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B 或5B 铅笔写、涂写在答题卡上．高考资源网2．每小题选出答案后，用4B 或5B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再涂选其它答案，不准答在试题单上． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．参考公式：如果事件A 、B 五斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互，那么()()()P A B P A P B ••=如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)n k kk n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点(cot ,cos sin )P ααα-在第二象限，且3sin 5α=-，则sin()2πα+=（ ） 4()5A - 4()5B 3()5C 3()5D -2．已知全集为R ，集合{}12|log (1)1A x x =->，1|39x B x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则集合{}|2x x ≤-=（ ）()A A B ⋂ ()B A B ⋃ ()()R C C A B ⋂ ()()R D C A B ⋃ 3．设函数11()2,()(2,1),()f x ax y f x f a --=+=-=且图像过点则（ ） 3()4A 4()3B 3()2C 2()3D 4．在递增的等比例数列n a {}中，14351726,5,a a a a a a •=+=则的值为（ ） 3()2A 2()3B 9()4C 4()9D 5．某医院为了支援汶川地震灾区的重建工作，要从4名男医生和3名女医生中选出3名前往灾区，则至少有一男一女的不同选派方法有（ ）()60A 种 ()30B 种 ()35C 种 ()210D 种6．已知25()1x f x -⎧=⎨⎩ 22x x ≠=，则下列结论正确的是（ ） ()()2A f x x =在处连续 ()(2)1B f =- 2()lim ()1x C f x →= 2()lim ()1x D f x →=- 7．设函数1()cos()2f x x ωϕ=+对任意x R ∈，都有()()66f x f x ππ-=+，若函数()g x = 3sin()2x ωϕ+-，则()6g π的值是（ ）()1A ()53B -或 ()2C - 1()2D 8．将函数()||f x x =的图象按向量(3,2)a =-平移后得到的图象对应的函数为()x ϕ，则不等式()()f x x ϕ<的解集为（ ）1()|2A x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ 1()|2B x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭{}()|1C x x < {}()|1D x x >9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2,sin sin 3sin a B C A =+=，且△ABC 的面积为4sin 3A ，则角A=（ ） ()6A π()4B π()3C π2()3D π10．已知向量,a b 是两个不共线的向量，它们的起点相同，且1,,()()3a tb a b t R +∈这三个向量的终点在一条直线上，则t 的值为（ ） 1()2A 1()3B ()2C ()3D11．设数列{}n a 满足：1121,2nn n a a a a +==+，则经过点211(,)(2,)n n P n Q n a a ++、的直线的一个方向向量的坐标可以表示为（ ）1()(2,)2A ()(2,1)B -- 1()(,1)2C -- ()(1,1)D -- 12．函数2()ay a b c R x bx c+=∈-+、、的大致图象如图所示，1x =是该函 数图象的对称轴，则21c a -+的取值范围是（ ）()(3,1)A - ()(1,3)B -D+∞⋃-∞-C+∞⋃-∞-()[1,)(,3] ()(1,)(,3)绝密★启用前〔考试时间：12月29 日下午3：00一5：00〕乐山市高中第一次调查研究考试数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2017年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2）B．（1，2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ35．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．611．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2C．2 D．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2017）的值为．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．18．（12分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．（12分）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．2017年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2）B．（1，2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x≥4}={x|x≥2}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}={x＞1}，∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．【解答】解：∵==1+i∴=1﹣i故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．5．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定【考点】BK：线性回归方程．【分析】由样本数据可得，，，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．【解答】解：由题意， =（15+16+18+19+22）=18， =（102+98+115+115+120）=110，xiyi=9993，5=9900，xi2=1650，n （）2=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2， ∵点（a ，b ）代入x +18y ， ∴54.2+18×3.1=110＞100． 即a +18b ＞100 故选：B ．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ）A ．a 1+x 0（a 3+x 0（a 0+a 2x 0））的值B ．a 3+x 0（a 2+x 0（a 1+a 0x 0））的值C ．a 0+x 0（a 1+x 0（a 2+a 3x 0））的值D ．a 2+x 0（a 0+x 0（a 3+a 1x 0））的值 【考点】EF ：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解． 【解答】解：由秦九韶算法，S=a 0+x 0（a 1+x 0（a 2+a 3x 0））， 故选：C ．【点评】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】8H：数列递推式．【分析】S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=2a n﹣1，利用等比数列的通项公式可得：a n=2n﹣1.化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．验证n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n，利用二项式定理展开即可得出．2n＞4n．【解答】解：S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．a n=2n﹣1．化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n=++…+++≥2（+）=n2+n+2，下面证明：n2+n+2＞4n，作差：n2+n+2﹣4n=n2﹣3n+2=（n﹣1）（n﹣2）＞0，∴n2+n+2＞4n，则满足的最大正整数n的值为4．故答案为：C．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3∴p=4故选：B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可．【解答】解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得，故选：C．【点评】本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．11．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2C．2 D．【考点】35：函数的图象与图象变化；3T：函数的值．【分析】由图象的顶点坐标求出A，根据周期求得ω，再由sin[2（﹣）+φ]=0以及φ的范围求出φ的值，从而得到函数的解析式，进而求得f（π）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，根据半个周期=•=，解得ω=2．由图象可得当x=﹣时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin[2（﹣）+φ]=0．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=，∴f（π）=4，故选A．【点评】本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，运用求根公式和指数函数的值域，解不等式可得a的范围．【解答】解：f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1的导数为f′（x）=2e2x﹣2e x+a，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，即有（e x﹣）2=，即为e x=+或e x=﹣，即有7﹣2a＞0且7﹣2a＜1，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程的解的个数问题的解法，注意运用配方和二次方程求根公式，以及指数函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=72．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】可得a1+a8=18，代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：72【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为﹣80．【考点】DB：二项式系数的性质；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据两直线垂直求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x3的系数．【解答】解：直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，∴2a+1×（﹣1）=0，解得a=；∴二项式（﹣）5 =（2x﹣）5展开式的通项公式为=•（2x）5﹣r•=（﹣1）r•25﹣r••x5﹣2r，T r+1令5﹣2r=3，求得r=1，∴展开式中x3的系数为﹣1•24•=﹣80．故答案为：﹣80．【点评】本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2017）的值为﹣1．【考点】3T：函数的值．【分析】根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，可得答案．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（﹣1）=1，f（0）=0，f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1，f（3）=f（2）﹣f（1）=0，f（4）=f（3）﹣f（2）=1，f（5）=f（4）﹣f（3）=1，f（6）=f（5）﹣f（4）=0，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1，故当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故f（2017）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，是解答的关键．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是①④．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可．【解答】解：①对任一常数函数f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），∴常数函数是“关于t函数”，故①正确，②正比例函数必是一个“关于t函数”，设f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程无解，故②不正确；③“关于2函数”为f（2+x）=2•f（x），当函数f（x）不恒为0时，有=2＞0，故f（x+2）与f（x）同号．∴y=f（x）图象与x轴无交点，即无零点．故③错误，④对于f（x）=（）x设存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得（）t+x=t（）x，也就是存在t使得（）t（）x=t（）x，也就是存在t使得（）t=t，此方程有解，故④正确．故正确是①④，故答案为①④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•乐山三模）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠POQ 的值．（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．【解答】解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以．所以．（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而，所以==．因为，所以当时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为．【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．18．（12分）（2017•乐山三模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，∴X的分布列为：∴EX==55（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（2017•乐山三模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC 的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P（0，0，2），H（，，0），C（0，2，0），B（，﹣1，0），F（0，1，1），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos＜，＞==，即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是．【点评】本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2017•乐山三模）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．【解答】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点．设Q的坐标为（﹣3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0．设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）．=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4）又=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））．由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0，所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0．故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k]=0．因为k＞0，所以x2﹣x1≠0．所以（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k﹣2m=0．所以（1+k2）（﹣）+4k﹣2m=0．解得m=﹣，即因为k＞，可以使，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．21．（12分）（2017•乐山三模）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ax﹣=，（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a=0时，f′（x）=＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0，结合x＞0，解得，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递减；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述：当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）因为对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈[1，e]，直线PM 的斜率小于0，即，所以f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1．又因为f′（x）=ax﹣=，令g（x）=ax2﹣2，x∈[1，e]（1）当a≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=＜1，所以a＜2，故a≤0符和题意；（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得，①当≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数f（x）的最大值f（e）=，解得a＜，故无解；②当≥e，即时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=＜1，解得a＜2，故0；③当，即时，函数f（x）在（1，）上单调递减；当x∈（，e）上单调递增，故f（x）在区间x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），所以，即，故．综上所述a的取值范围．【点评】本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）（2017•乐山三模）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C1，C1的平面直角坐标方程，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，能求出曲线C1与C2交点的平面直角坐标．（Ⅱ）作出图形，由平面几何知识求出当|AB|最大时|AB|=2，O到AB的距离为，由此能求出△OAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程是（θ为参数），∴曲线C1的平面直角坐标方程为（x+2）2+y2=4．又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，解得或，∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为（0，0），（﹣2，2）．（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2，O到AB的距离为，∴△OAB的面积为S=．【点评】本题考查两曲线交点的平面直角坐标的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的相互转化及应用．23．（2017•乐山三模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=﹣1，从而解不等式t2﹣3t＞﹣1即可求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。

乐山市高中2017届第一次调查研究考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知11ai b i i-=-+(,)a b R ∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．22.已知集合2{|30}A x x x =+≤，集合{|21,}B n n k k Z ==+∈，则A B =∩（ ）A ．{1,1}-B ．{1,3}C ．{3,1}--D ．{3,1,1,3}--3.“2x <”是“ln(1)0x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b < B ．2a ab < C. 2ab a -<- D ．11a b-<- 5.某算法的程序框图如图所示，若输出的12y =，则输入的x 可能为（ ）A ．-1B ．1 C.1或5 D ． -1或16.已知向量(1,3)BA =- ，向量(4,2)BC =- ，则ABC ∆的形状为（ ）A ． 等腰直角三角形B ．等边三角形 C.直角非等腰三角形 D ．等腰非直角三角形7.已知0a >，,x y 满足约束条件1220x x y ax y a ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，2z x y =+的最小值为-2，则a =（ ）A ．12B ．32C.1 D ．2 8.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A ．12B ． 815 C. 1629 D ． 16319.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A.向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位 10.已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．11.个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A. B.C.D.12.已知函数3|log |,03()cos ,393x x f x x π<<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x ，当1234x x x x <<<时，满足1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围是（ ）A ．29(7,)4B ．135(21,)4 C.[27,30) D ．135(27,)4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a =．14.在三角形ABC 中，点,E F 满足12AE AB = ，2CF FA = ，若EF xAB yAC =+ ，则x y +．15.小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是km ．16.已知()ln (0)f x x a x a =+>对于区间[1,3]内的任意两个相异实数12,x x ，恒有121211|()()|||f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知2sin tan 3a a =•，且0a π<<.（1）求a 的值；（2）求函数()4sin sin()f x x x a =-在[0,]4π上的值域.18. 如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ⊥平面ABCD ，M N 、分别为SA CD 、的中点.（1）证明：直线//MN 平面SBC ；（2）证明：平面SBD ⊥平面SAC .19. 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:n P y ax =，22:Py bx c =+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？20. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，点*(,)()n n S n N ∈在函数211()22f x x x =+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列21{}n n a a +的前n 项和为n T ，不等式1log (1)3n a T a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知直线l的参数方程为.22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+.（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值.23.设函数()|21||2|f x x x =--+.（1）解不等式()0f x >； （2）若0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，求实数m 的取值范围.乐山市高中2017届第一次调查研究考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题1-5:BCBDB 6-10: ABCAA 11、12：DD二、填空题13. 23a =- 14.16x y +=- 15.83a ≤- 三、解答题17.解：（1）2sin tan 3a a = •，且0a π<<.22sin 3cos a a ∴=，222cos 3cos a a ∴-=，22cos 3cos 20a a ∴+-=， 解得1cos 2a =或cos 2a =-（舍），0a π<<，3a π∴=.（2）3a π= ，()4sin sin()4sin (sin cos cos sin )33f x x x a x x x ππ∴=-=-••22sin cos x x x =-2sin(2)16x π=-++，[0,]4x π∈ ，22[,]663x πππ∴+∈，2sin(2[1,2]6x π∴+∈）， 则2sin(2[2,1]6x π-+∈--），()[1,0]f x ∴∈-．18.解：（1）在直角梯形ABCD 中，AC =取AB 中点E ，连接CE ，则四边形AECD 为正方形，∴2AE CE ==,又122BE AB ==， 则ABC ∆为等腰直角三角形，∴AC BC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，由AC PA A =∩得BC ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥.（2）以A 为坐标原点，,,AD AB AP 分别,,x y z 为轴建立如图所示的坐标系，则(0,0,2)(0,4,0)(2,2,0)P B C ，，，(0,4,2)(2,2,0)BP BC =-=- ，.由（1）知BC 即为平面PAC 的一个法向量，cos ,5||||BC BP BC BP BC BP == •， 即PB 与平面PAC所成角的正弦值为519.解：（1）由题知(1,1.25)，(4,2.5)在曲线1P 上，则 1.2512.5,4n n a a ⎧=⎪⎨⎪⎩••， 解得5412a n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1y =又(4,1)在曲线2P 上，且0c =，则14b =， 则14b =，所以214y x =. （2）设甲投资x 万元，则乙投资为(10)x -万元，投资获得的利润为y 万元，则1(10)4y x =-1542x =+，t =∈， 则221551565()4424216y t t t =-++=--+. 当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6512万元，此时10 3.75x -=（万元）， 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元. 20.解：（1） 点(,)n n S 在函数211()22f x x x =+的图象上，21122n S n n ∴=+.① 当2n ≥时，2111(1)(1)22n S n n -=-+-，② ①-②得n a n =.当1n =时，111a S ==，符合上式.*()n a n n N ∴=∈．（2）由（1）得211(2)n n a a n n +=+ 111()22n n =-+， 13242111n n n T a a a a a a +∴=+++ 111111(1)23242n n =-+-++-+ 3111()4212n n =-+++． 110(1)(3)n n T T n n +-=>++ ， ∴数列{}n T 单调递增，∴{}n T 中的最小项为113T =. 要使不等式1log (1)3n a T a >-对任意正整数n 恒成立， 只要11log (1)33a a >-， 即log (1)log a a a a -<.解得102a <<， 即实数a 的取值范围为1(0,)2.21.解：（1）2'()2(1)2f x x x =-++ 22(31)(2)2x x x x -++=>-+， 当'()0f x <时，2310x x ++<.解得2x -<<当'()0f x >时，解得x >所以()f x 单调增区间为(-，单调减区间为3()2-+∞． （2）设()()()h x f x g x =-22ln(2)(1)(1)(1)x x k x x =+-+-+>-，当2k =时，由题意，当(1,)x ∈-+∞时，()0h x <恒成立．22(31)'()22x x h x x -++=-+ 2(3)(1)2x x x -++=+， ∴当1x >-时，'()0h x <恒成立，()h x 单调递减．又(1)0h -=，∴当(1,)x ∈-+∞时，()(1)0h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立．（3）因为22(31)'()2x x h x k x -++=-+ 22(6)222x k x k x ++++=-+． 由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立，即对于1x ∀>-，22ln(2)(1)2(1)x x x +-+<+，不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>，此时2(1)(1)x k x +<+．∴22ln(2)(1)2(1)(1)x x x k x +-+<+<+，即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ；当2k <时，令2()2(6)(22)t x x k x k =--+-+，可知()t x 与'()h x 符号相同，当0(,)x x ∈+∞时，()0t x <，'()0h x <，()h x 单调递减．∴当0(1,)x x ∈-时，()(1)0h x h >-=，即()()0f x g x ->恒成立．综上，k 的取值范围为(,2)-∞．22.解：（1）由直线l 的参数方程消去参数t 得l 的方程为y x =+4cos()4πρθθθ=+=- ，2cos ρθθ∴=-，∴曲线C 的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y +=.圆心到直线l的距离为62d ==>， ∴直线l 与圆C 的相离.（2）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为==即切线长的最小值为23.解：（1）不等式()0f x >可转化为|21||2|x x ->+， 即2244144x x x x -+>++，即23830x x -->，解得13x <-或3x >. 即不等式的解集为1{|3x x <-或3}x >. （2）因为3,21()31,2213,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=---≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， ()f x ∴的最小值为15()22f =-. 0x R ∃∈ ，使得20()24f x m m +<，即0x R ∃∈，使得2min 42()m m f x ->， 所以25422m m ->-，解得1522m -<<， 故实数m 的范围为15(,)22-.。