第6章向量空间

第6章线性变换和特征值线性变换是线性代数中的重要概念，它是指一个向量空间V到另一个向量空间W之间的映射，满足线性性质。

线性变换在实际应用中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学、信号处理、物理学等领域中。

在进行线性变换时，我们通常会对向量进行一系列的操作，如旋转、缩放、投影等。

这些操作可以通过矩阵来表示，因为矩阵可以将一些向量操作统一起来，从而方便计算。

线性变换可以用一个矩阵A表示，对于输入向量x，其变换结果y=Ax。

线性变换的一个重要性质是保持向量的线性组合。

即对于任意的向量x1, x2和标量a，b，有T(ax1 + bx2) = aT(x1) + bT(x2)。

这一性质在实际应用中非常有用，它保证了线性变换的结果仍然是向量空间中的向量。

在线性代数中，我们研究的是向量空间的特征，即向量空间中的一些特殊向量。

对于一个线性变换T，其特征向量是满足T(v)=λv的非零向量v，其中λ是一个标量，称为特征值。

特征向量和特征值可以用来描述线性变换对向量的“拉伸”和“旋转”效果。

特征值和特征向量的计算是线性代数中的关键问题。

一般来说，我们可以通过求解线性变换对应矩阵的特征方程来求解特征值和特征向量。

特征方程是一个关于特征值λ的方程，其形式为det(A - λI) = 0，其中A是线性变换对应的矩阵，I是单位矩阵。

特征值和特征向量在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，特征值和特征向量可以用来描述3D模型的形状变化。

在信号处理中，特征值和特征向量可以用来解决滤波和降噪问题。

除了特征值和特征向量，线性变换还有一些重要的性质。

例如，对于矩阵为A的线性变换T和标量c，有T(cA)=cT(A)，称为线性变换的齐次性质。

此外，线性变换的核是指所有使得T(v)=0的向量v的集合，而像是指线性变换T的所有可能输出向量的集合。

总结起来，线性变换是线性代数中的重要概念，它可以用矩阵来表示，并且具有许多重要的性质。

特征值和特征向量是线性变换的重要度量指标，可以用来描述线性变换的效果。

第六章 向量代数与空间解析几何习 题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA = ()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、 求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x（2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x . 6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=； （8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+. 解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）1+=x y ；（2）422=+y x ；（3）122=-y x ；（4）22x y =. 解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）422=+yx 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）122=-yx 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面； （4）y x 22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成 （3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成；（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围. 解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习 题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x a y x 解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线；（2）上半球面z =与平面0x y -=的交线为14圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x . 4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩； （2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x 解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x x y ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==t z t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cos y b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ； （3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线. 解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、 求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、 求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,004522⎩⎨⎧==-++z x xy y x （2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影22200y z y z x ⎧++-=⎨=⎩. 习 题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程.解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以 B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程. 解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n 所求平面方程为化简得: .0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）,、（3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.习 题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线；（2） 过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线；（4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程.（5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程 .440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为：235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程. 解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i 34312111--=-=,所以直线的点向式方程为： ,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y t x 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=-- 43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ== 4、判别下列直线与平面的相关位置：（1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723z y x =-=与8723=+-z y x ； （3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ； （4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直. 复习题A一 、判断正误:1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ． 解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C) ⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-． 解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ； 解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2，=⋅b a b a cos()a,b π22=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±． 3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 ⎩⎨⎧==+.0,1222z y x解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c)2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解: (1)}2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3)21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P P P． 3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解： 令{}1110,2,2111=⨯=-=-ij kc a b，01⎧==⎨⎩c cc ，故与a、b 都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d 垂直于a 与b，故d 平行于b a ⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d .5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ．解2：}1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos 32=≠=，所以0≠B ），令C B C'=，则有0='+z C y ，由题设得22222212)5(10121503cos ++'++⨯'+⨯+⨯=πC C ， 解得3='C 或13C '=-，于是所求平面方程为03=+z y 或03=-z y ．6、 一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 且与平面01284=+--z y x 垂直，求该平面方程；解法1： 直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 在平面上，令x =0，得 54-=y ，z =4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n =},,{C B A ，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 1n ={1，5，1}，2n ={1，0，-1}，则直线的方向向量s =1n ⨯2n =101151-kj i ={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅n s ={-5，2，-5}•},,{C B A =C B A 525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--z y x 垂直，则}8,4,1{},,{--⋅C B A =C B A 84--=0，解方程组{5250,480,A B C A B C -+=--= ⇒ 2,5,2A CBC =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所求平面方程为 0)4()54(25)0(2=-++---z C y C x C ，即012254=+-+z y x ．解法2： 用平面束（略）7、求既与两平面1:43x z π-=和2:251x y z π--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为pz n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面．(d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．。

第六章 向量空间一 综述向量空间是高等代数最基本的概念之一,它用公理化方法首次引进了一个代数系,而这种公理化方法在高等代数以后各章以及在近世代数中将屡次遇到,它是近代数学研究的一个重要方法.本书以后各章如线性变换、欧几里德空间等概念都是直接建立在向量空间定义的基础上的.因此本章内容又是以后各章学习的基础. 二 教学目的使学生在集合、映射概念的基础上,理解并掌握向量空间的定义、性质和构造,并培养学生用公理化方法研究代数系的能力. 三 重点、难点教材重点：向量空间的定义、性质 教学难点：向量空间的定义6.1 定义和例子一 教学思考向量空间的定义是本章的重点和难点,是学生首次接触的一个用公理化方法引进的代数系.这一节的教学目的,不仅使学生正确理解和掌握向量空间的概念,而且应该使学生初步了解以集合论为基础运用公理化方法从具体的代数系抽象出一般的代数系的方法和意义,对此要心中有数,以便在教学中把传授知识与培养能力结合起来. 二 内容和要求1．内容：定义、例子及简单性质2．要求：掌握向量空间的概念及其简单性质,初步了解公理化的思想方法. 三 教学过程1． 引例 三维几何空间的实质及更多的类似结构的代数对象（略）. 2． 定义及例子定义 1 令F 是一个数域,F 中的元素用小写拉丁字母 ,,b a 表示；令V 是一个非空集合,V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα表示.我们把V 中的元素叫做向量,F 中的元素叫做纯量.若下列条件满足,就称V 是F 上的一个向量空间.1）在V 中定义了一个叫加法,对V 中任意两个向量βα,都有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做α与β的和,记为βα+.2）有一个纯量乘法,对于F 中的每一个数a 和V 中每一个向量α,有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做a 与α的积,记为αa .3）向量的加法和纯量乘法满足下列算律：F b a V ∈∈∀,;,,γβα有 （1）αββα+=+； （2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中存在一个向量叫零向量,积作ο；它满足对V ∈∀α 有ααο=+； （4）对V ∈∀α,V ∈'∃α使得οαα=+'；这样的α'叫做α的负向量；（负向量的定义） （5）βαβαa a a +=+)(； （6）αααb a b a +=+)(； （7）)()(ααb a ab =； （8）αα=1. 3． 向量空间的简单性质1）由于向量的加法满足结合律,所以任意n 个向量相加有唯一确定的含义且可写为不加括号的和的形式；再者由于加法满足结合律和交换律,所以在求任意n 个向量的和时可以任意交换被加项的次序.2）命题6.1.1（零向量、负向量的唯一性）在一个向量空间V 中,零向量是唯一的；对V ∈∀α,α的负向量是由α唯一确定的.（同一法,略） 3）命题6.1.2 对V ∈∀α,F a ∈∀有οα=0,οο=a ； αααa a a -=-=-)()(； 0=⇒=a a οα或οα=.4． 介绍一种写法-——（向量矩阵的记法）设V n ∈ααα,,,21 ,把它们排成一行写成一个以向量为元素的n ⨯1矩阵（n ααα,,,21 ）,设)()(F M a A m n m n ij ⨯⨯∈=；定义（n ααα,,,21 ）),,,(21m A βββ =,其中)1(,1m j a ni i ij j ≤≤=∑=αβ.即按照数域F 上矩阵的乘法定义（n ααα,,,21 ）右乘以A （这里约定对V ∈∀α,F a ∈∀有a a αα=）.并且设)(F M A m n ⨯∈,)(F M B P m ⨯∈,由向量与纯量乘法所满足的算律有：（n ααα,,,21 ）B A AB n )),,,(()(21ααα = ,即结合律成立.6.2 子空间一 教学思考1．向量空间一章主要讨论向量空间的运算、性质和结构,一般是通过向量空间自身（基、维数等）或其子结构（子空间）来讨论的,这正是代数学的基本方法.因而本节的概念（子空间）和结论在理论上与方法上是重要的.2．由于本章与以后内容的（抽象）特点,需重点培养学生逻辑论证能力,除了在教学中经常结合问题讲解分析解决问题的一般思想方法外,还需对以后教学有重要影响的几类具体问题的论证思路作出明确的交代.本章主要是“子空间的判定”.3．内容作如下调整,即先定义子空间,再介绍为何称为子空间,然后介绍子空间的判定和运算. 二 内容要求1．内容：子空间的定义、子空间的交与和.2．要求：理解和掌握向量空间的子空间的概念和判定方法、子空间的交与和的概念.三 教学过程1．子空间的概念及判定 （1）定义定义1 设V 是数域F 上的向量空间,W 是V 的非空子集,若对V ∈∀βα,都有W ∈+βα,则称W 对V 的加法封闭.若对F a V ∈∀∈∀,α都有W a ∈α,则称W 对纯量乘法封闭.定义2 令W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则称W 是V 的一个子空间.TH6.2.1设W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则W 本身也作成F 上一个向量空间.（2）子空间的判定TH6.2.2向量空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间的充要条件是对W F b a ∈∀∈∀βα,,,都有W b a ∈+βα.2．子空间的交与和定义3 设21,W W 都是V 的子空间,则21W W 称为两个子空间的交. 命题 21W W 也是V 的子空间.定义 4 设21,W W 都是V 的子空间,由所有能表示为),(221121W W ∈∈+αααα的向量组成的集合成为1W 与2W 的和,记为21W W +；即21W W +={}221121,|W W ∈∈+αααα. 命题 21W W +也是V 的子空间.6.3 向量的线性相关性一 教学思考1．向量的线性相关性在研究向量空间的结构时极为重要,并且学生在学习时感到困难的多是由于逻辑思维混乱以及推理不严谨造成的.2．本节重要的在于讲清诸概念,理清它们之间的关系,介绍一般方法和特殊方法,补充一些容易混淆的问题及一些错误做法或判断. 二 内容要求内容：向量的线性相关性定义、性质；替换定理；极大无关组.要求：正确理解和掌握向量组的线性相关性的概念及性质,掌握判断向量组线性关系的一般方法和特殊方法. 三．教学过程1．线性相关与线性无关（1）线性组合、线性表示及其性质定义 1 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,r a a a ,,,21 是数域F 中任意r 个数,我们把和r r a a a ααα ++2211叫做向量r ααα,,,21 的一个线性组合.定义 2 若V 中向量α可以表示成r ααα,,,21 的线性组合,即∃F a a a r ∈,,,21 使得r r a a a αααα ++=2211,则称α可以由r ααα,,,21 线性表示.（例略）性质 命题6.3.1向量组r ααα,,,21 中每一向量都可以由这一组向量线性表示.命题6.3.2若向量γ可以由r βββ,,,21 线性表示,而每个i β可由s ααα,,,21 线性表示,则γ可以由s ααα,,,21 线性表示.（2）线性相关、线性无关及有关性质定义3 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,若存在数域F 中r 个不全为0的数ra a a ,,,21 使得οααα=++r r a a a 2211,则称r ααα,,,21 线性相关,否则称r ααα,,,21 线性无关. 例1 若r ααα,,,21 中有一个零向量,则r ααα,,,21 一定线性相关. 例2 判断3F 中向量)9,7,1(),0,1,2(),3,2,1(321-==-=ααα是否线性相关 例3 在][x F 中对任意非负整数n ,证明nx x x ,,,,12线性无关.（解略）性质命题 6.3.3 若向量组{r ααα,,,21 }线性无关,则它的任一部分向量组也线性无关；等价地：若{r ααα,,,21 }有一部分组线性相关,则整个向量组{r ααα,,,21 }也线性相关.（证略）命题 6.3.4 设{r ααα,,,21 }线性无关,而{βααα,,,,21r }线性相关,则β一定可以由r ααα,,,21 线性表示,且表示法唯一.命题6.3.5 向量r ααα,,,21 （2≥r ）线性相关的充要条件是其中某个向量是其余向量的线性组合.（证略）2．向量组的等价、替换定理定义 4 设{}r ααα,,,21 和{}s βββ,,,21 是V 中的两个向量组,若每个),2,1(r i i =α都可以由s βββ,,,21 线性表示,而每个),2,1(s j j =β也可以由r ααα,,,21 线性表示,则称这两个向量组等价.定理6.3.6（替换定理）设向量组{}r ααα,,,21 （1）线性无关,且每个),2,1(r i i =α都可以由{}s βββ,,,21 （2）线性表示.则A ）s r ≤；B ）必要时对（2）中向量重新编号,使得用r ααα,,,21 替换r βββ,,,21 后得向量组{}s r r ββααα,,,,,,121 +（3）与（2）等价.推论6.3.7两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. 3．极大无关组（讨论一个非零向量组的一种部分组）定义 5 向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{}n ααα,,,21 的一个部分组（n r ≤）,若满足：1）ri i i ααα,,,21线性无关；2）每个),,1(n j j =α都可由ri i i ααα,,,21线性表示.则称rii i ααα,,,21是向量组{}n ααα,,,21 的一个极大线性无关部分组（简称极大无关组）. 极大无关组的求法：1）一般方法——设给定{}n ααα,,,21 ,求其一个极大无关组.先从1α考虑,若οα≠1,保留；考虑21,αα看其是否线性无关.无关,保留；相关舍去2α,考虑31,αα看其是否线性无关.依次类推直至n α,便得.（由于考虑次序不同可得不同的极大无关组）例4 求向量组{}32,2,,12+++x x x x 的一个极大无关组.（解略）2）特殊方法——对n F 中向量组{}n ααα,,,21 ,求极大无关组. 首先：可以证明“命题”：“设)(F M m n ⨯的矩阵A 经过行的初等变换得到)(F M m n ⨯的矩阵B ,则A 与B 的列向量有相同的线性关系.”（证略）这样可得：A ）求nm F ∈ααα,,,21 的线性关系,可以以m ααα,,,21 列作矩阵A ,通过对A 作行初等变换化为标准形B ,由B 的列向量的线性关系可得A 的列向量的线性关系.进而B ）用上述方法可求n F 中向量组{}n ααα,,,21 的极大无关组. 例5 求3R 中向量组)6,1,5(),4,0,3(),3,1,2(),1,2,1(4321====αααα的一个极大无关组. 解：以4321,,,αααα为列作矩阵B A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010101001643110125321.设B 的列向量为4321,,,ββββ,这样4321,,,αααα与4321,,,ββββ有相同的线性关系.容易看出321,,βββ线性无关,且=4β3212βββ+-；因此321,,ααα线性无关且=4α3212ααα+-.于是321,,ααα是4321,,,αααα的一个极大无关组.6.4 基与维数一 教学思考1．向量空间的结构中基起着重要作用,那么基概念的引入及作用为重点.2．从内容上本节在于给出了基与维数的概念后,解决基的存在性、个数及求法,要注意方法的总结归纳,特别是生成子空间.3．从定义上维数依赖于基,即要求一个向量空间的维数须求一个基；但反过来从结果上看,若已知维数n 求基的话,即求一组n 个线性无关的向量.4．本节及以后主要讨论有限维向量空间,有所谓的维数公式,其反映有限维向量空间的两个子空间与它们的和与交空间的维数之间的关系.在证明中,从“最小”的子空间的基出发逐步扩充为所出现的子空间的基的方法是重要的.5．基的存在性、个数、求法（生成子空间的基的求法）、余子空间等方法,注意总结归纳. 二 内容要求内容：向量空间的基与维数,有限维向量空间的维数公式,余子空间要求：正确理解和掌握向量空间的基与维数的概念,余子空间的定义,了解基在向量空间的结构中的重要作用,掌握求基、余子空间的一般方法和特殊方法. 三 教学过程1．引言我们知道当{}ο≠V 时,V 有无穷多向量,那么它们之间的结构如何？具体地,我们能否用V 中有限个向量表示所有向量.下面讨论这个问题.2．一类特殊子空间——由一组向量生成的子空间定义1设V r ∈ααα,,,21 ,那么由r ααα,,,21 的线性组合组成的集合{}F a a a a W i r r ∈+++=|2211ααα 称为由这一组向量r ααα,,,21 生成的子空间.记为L （r ααα,,,21 ）,其中r ααα,,,21 叫做生成元.例1 n F 中)1,,0,0(,),0,,,0,1(1 ==n εε,则nn F L =),,(1εε . 例2 ][x F 中n n x x ===+121,,,1ααα ,则][),,,1(x F x x L n n= .关于生成子空间有：定理 6.4.1设V n ∈ααα,,,21 ,且不全为零向量,r i i i ααα,,,21 为其一个极大无关组,则L （n ααα,,,21 ）=L （r i i i ααα,,,21 ）.3．基与维数1）定义2 设V n ∈ααα,,,21 ,若1）n ααα,,,21 线性无关；2）V ∈∀α都可由n ααα,,,21 线性表示.则称n ααα,,,21 为V 的一个基.定义 3 一个向量空间V 的一个基所含向量的个数叫做V 的维数；记为V dim .规定零空间的维数为0.2）定理定理6.4.2（基的作用）设n ααα,,,21 为V 的一个基,则V ∈∀α都可唯一地由n ααα,,,21 线性表示.定理6.4.3n 维向量空间V 任意多于n 个向量的向量组一定线性相关.定理 6.4.4设n V =dim ,V r ∈ααα,,,21 线性无关（易知n r ≤）,则总可以添加r n -个向量n r r ααα,,,21 ++,使得n ααα,,,21 作为V 的一个基.特别V 的任意n 个线性无关向量都可以取作基.例3 将)1,2,3,1(),1,0,2,1(21-==αα扩充为4R 的一个基.解：（法一）思想方法：由定理的证明过程,取4R 的一个基（如标准基4321,,,εεεε）,然后用21,αα代替其中某两个如21,εε,使得21,αα,43,εε线性无关；而代替哪两个,可用逐步添加法使添在21,αα上后线性无关.（法二）思想方法：可以从21,αα出发,利用21,αα为列再添上两个作成一个4阶方阵A ,使得0≠A ,如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011012000320011,取)1,0,0,0(),0,1,0,0(23==αα,则4321,,,αααα为4R 的一个基. 定理6.4.5设21,W W 是F 上向量空间V 的两个有限维子空间,则21W W +也是V 的一个有限维子空间,且：)dim (dim dim )dim (212121W W W W W W ⋂-+=+.推论 对n 维向量空间V 的子空间21,W W 有：}{dim dim dim 2121ο=⋂⇔=+W W V W W .4．余子空间（1） 定义：设W 是V 的子空间,若存在V 的子空间W '满足：1）V W W ='+,2）){ο='⋂W W ；则称W '是W 的一个余子空间,且称V 是W 与W '的直和,记为W W V '⊕=. （2）定理定理 6.4.6设W W V '⊕=,则对V ∈∀α有α可以唯一地表示成ββα'+=,其中W W '∈'∈ββ,.定理 6.4.7n 维向量空间V 的任一子空间W 都有余子空间.若W '是W 的一个余子空间,则V W W dim dim dim ='+.（3）上述概念及结论可扩充至有限设t W W W ,,,21 是V 的子空间,若1）t W W V ++= 1；2）{}),,2,1(,)(111t i W W W W W t i i i ==+++++⋂+-ο,则称V 是t W W W ,,,21 的直和,记为t W W V ⊕⊕= 1.且有类似于定理6、7的结论.6.5 坐标一 教学思考1．对n 维向量空间V 取定基后,任意向量引入了坐标的概念后,可将抽象的对象用具体的形式（nF中的向量）表示出来,为我们研究抽象的向量空间提供了方便,如由此可建立n V 与nF 的同构,所以本节概念及结论在空间的讨论中有重要的作用.2．注意坐标的概念依赖于基的选择,坐标变换依赖于相应的基变换；注意过渡矩阵的概念与性质以及结论,其是下节建立n V 与nF 的同构的基础.3．具体方法有：1）坐标的求法（定义法、坐标变换法）；2）过渡矩阵的求法；3）过渡矩阵的性质及由此反映的矩阵的运算的意义. 二 内容要求1． 内容：坐标、基变换、坐标变换、过渡矩阵；2． 要求：掌握坐标的概念及其意义,基变换与坐标变换公式,过渡矩阵的概念和性质. 三 教学过程（一） 坐标的概念1．定义 设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,对V ∈∀ξ有n n a a ααξ++= 11,则称n 元有序数组),,(1n a a 为向量ξ关于基{}n αα,,1 的坐标；其中i a 叫做向量ξ关于基{}n αα,,1 的第i 个坐标.2．定理6.5.1设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,V ∈ηξ,关于此基的坐标分别为),,(1n x x 和),,(1n y y ,则ξηξk ,+关于此基的坐标分别为: ),,(11n n y x y x ++ ,),,(1n ax ax .（二）坐标变换 1．基变换设,dim n V ={}n αα,,1 和{}n ββ,,1 是V 的两个基,则每个j β),,2,1(n j =可由{}n αα,,1 线性表示,设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nn n n nn nn a a a a a a ααβααβααβ1112112211111 （1）,以j β关于基{}n αα,,1 的坐标为列构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211称为由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵. （1）式可以写成矩阵等式),,(1n ββ =T n ),,(1αα （2）；称（1）或（2）为（由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的）基变换. 设V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标为),,(1n x x ,关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y ,则一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x 11),,(αα （3）；另一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y 11),,(ββ （4）；（2）代入（4）得=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y T 11)),,((αα=))(,,(11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y T αα （5）,比较（3）和（5）由坐标的唯一性得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1 （6）；于是得 定理 6.5.2设,dim n V =T 由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵,则V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标与关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y 由等式（6）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1联系着.3．过渡矩阵的性质 （1）基变换的传递性设,dim n V ={}n αα,,1 、{}n ββ,,1 、{}n γγ,,1 都是V 的基,且由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,基{}n ββ,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为B ,即),,(1n ββ =A n ),,(1αα 、),,(1n γγ =),,(1n ββ B ,则),,(1n γγ =A n ),,(1αα B ,即由基{}n αα,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为AB .（2）定理6.5.3设,dim n V =由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,那么A 是一个可逆矩阵.反过来,任意一个n 阶可逆矩阵A 都可以作为n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵.且若由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,则由基{}n ββ,,1 到基{}n αα,,1 的过渡矩阵为1-A .6.6 向量空间的同构一 教学思考1．向量空间的本质是一个带有加法和数乘的代数系,我们研究向量空间着眼点主要在于运算,至于元素是什么无关紧要.把具有某种关系的向量空间作为本质上没有区别的加以研究,从而取出其代表加以研究讨论以达到目的,本节正是解决这样一个问题.2．“同构”是这种关系的体现,在此关系下,同构的向量空间可以不加区别,因而维数就成了数域F 上有限维向量空间的唯一本质特征.3．注意“同构”映射的概念,向量空间同构的概念及各自的性质,以及有限维向量空间同构的判定. 二 内容要求1、内容：同构映射、向量空间同构的概念及各自的性质,有限维向量空间同构的判定.2、要求：理解向量空间同构的概念及性质,有限维向量空间同构的判定. 三 教学过程1．同构的概念和性质 （1）概念1）同构映射 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射； 若A ）f 是V 到W 的一个双射；B ）对)()()(,ηξηξηξf f f V +=+⇒∈∀；C ）对)()(,,ξξξaf a f V F a =∈∀∈∀.（2）定理6.6.1数域F 上任一n 维向量空间V 都与nF 同构. （3）性质 1）同构映射的性质定理6.6.2设V 和W 是数域F 上两个向量空间, f 是V 到W 的一个同构映射,则: A);)(οο=f B)对ααα-=-∈∀)(,f V ;C))()()(1111n n n n f a f a a a f αααα++=++ ,其中V F a i i ∈∈α,; D))(,,1V n ∈αα 线性相关))((,),(1W f f n ∈⇔αα 线性相关; E) f 的逆映射1-f是W 到V 的一个同构映射.2）同构关系的性质（等价关系）A ） 反身性：V V ≅；B ） B ）对称性：若W V ≅,则V W ≅；C) 传递性：若W V ≅,U W ≅,则U V ≅.（由双射性质及定义易证） 2．有限维向量空间同构的充要条件定理6.6.3数域F 上两个有限维维向量空间V 和W 有：W V ≅W V dim dim =⇔.6.7 矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一 教学思考1．矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构.2．注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成nF 的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也.3．注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系. 二 内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间.2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法. 三 教学过程1．矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m n a a a a A 1111,A 的每一行看作nF 的一个元素,叫做A 的行向量,用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的nF 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间.类似地,A 的每一列看作mF 的一个元素,叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的mF 的子空间叫做矩阵A 的列空间.引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈,1）若PA B =,P 是一个m 阶可逆矩阵,则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =,Q 是一个n 阶可逆矩阵,则C 与A 有相同的列空间.定理6.7.2矩阵)(F M A n m ⨯∈的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义 矩阵A 的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数,叫做矩阵A 的秩.2．线性方程组的解的结构1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域F 上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.”2）齐次线性方程组的解空间设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a（3）是数域F 上一个齐次线性方程组,令A 为其系数矩阵,则（3）可写为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （4）或ο=AX ；（3）的每一个解都可以看作n F 的一个向量,叫做（3）的一个解向量.令S 表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因S ∈ο,所以Φ≠S ；其次：F b a S ∈∀∈∀,,,ηξ,有οηξηξ=+=+bA aA b a A )(,即S b a ∈+ηξ.因此S 作成nF 的一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间.重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵A 的秩为)(n r <,则A 可经过一系列（行）初等变换化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r n r m r r m r n r r C I ,,,οο,与此相应的齐次线性方程组为：（5）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++++++0000001111111 n rn r rr r n n r r y c y c y y c y c y ,这里n y y ,,1 是n x x ,,1 的重新编号.（5）有r n -个自由未知量n r y y ,,1 +,依次让它们取)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( ,可得（5）的r n -个解向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++++100,,010,001122121111 rn n n rr r r rr r r c c c c c c ηηη.下面证其是（5）的解空间的一个基. 首先：n r ηη,,1 +线性无关.事实上设οηη=++++n n r r k k 11,由下面r n -个分量易得01===+n r k k .其次：设),,,(21n k k k 是（5）的任一解,代入（5）得：n rn r rr r nn r r nn r r k c k c k k c k c k k c k c k ---=---=---=++++++112112211111又有恒等式：nn r r k k k k ==++ 11此n 个等式即为n n r r n k k k k ηη++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 111,即（5）的每个解向量都可以由n r ηη,,1 +线性表示,故{n r ηη,,1 +}为（5）的解空间的一个基.注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解,所以重新编排n r ηη,,1 +的次序可得（4）的解空间的一个基,从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题.并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组,在等价组中自由未知量是清楚的,给其一组线性无关值,便得等价组的一组解向量,其构成等价组的解空间的一个基,再调整解向量的次序便得.上述讨论得：定理 6.7.3数域F 上一个n 元齐次线性方程组的一切解作成nF 的一个子空间,称之为这个线性方程组的解空间.若所给方程组的系数矩阵的秩为r ,则解空间的维数为r n -.定义 一个齐次线性方程组的解空间的一个基,叫做这个方程组的一个基础解系.3）非齐次线性方程组的解的结构 设))((,11F M A b b x x A n m m n ⨯∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）是数域F 上一个n 元线性方程组.问题当（6）有无穷解时,解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0,便得一个齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （7）,齐次线性方程组（7）叫做方程组（6）的导出齐次线性方程组.定理6.7.4若（6）有解,则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和.。

《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。

以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。

2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。

(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。

(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。

(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。

二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。

2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。

2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。

2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。

通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。

*第六章 线性空间与线性变换在第三章中，我们把n 元有序数组叫做n 维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向量空间的概念.在这里，我们把这些概念推广，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化.§１ 线性空间的定义与性质定义1 设V 是一个非空集合，R 为实数域，如果对于任意两个元素,αβ∈V ，总有惟一的一个元素γ∈V 与之对应，称为αβ与的和，记作γαβ=+；对于任一数k ∈R 与任一元素α∈V ，总有惟一的一个元素δ∈V 与之对应，称为k 与α的积，记为δ＝k α；并且这两种运算满足以下八条运算规律(对任意,,αβγ∈V ;k ,λ∈R )：(1) αββα+=+;(2) ()()αβγαβγ++=++；(3) 在V 中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何α∈V ，都有α+0＝α；(4) 对任何α∈V ，都有V 中的元素β，使αβ+=0(β称为α的负元素)；(5) 1α＝α；(6) k (λα)＝（k λ）α；(7) (k +λ)α＝k α＋λα；(8) k (αβ+)＝k α+k β.那么，V 就称为R 上的向量空间(或线性空间)，V 中的元素称为(实)向量(上面的实数域R 也可为一般数域).简言之，凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线性空间).注意：向量不一定是有序数组；向量空间V 对加法与数量乘法(数乘)封闭；向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算. 例1 实数域R 上次数不超过n 的多项式的全体，我们记作P ［x ］n ，即P ［x ］n ＝｛a n x n +…+a 1x ０＋a 0｜a n ,a n -1,…，a １，a ０∈R ｝.对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R 上的向量空间.例2 实数域R 上n 次多项式的全体，记作W ，即W ＝｛a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a ０｜a n ,a n -1，…，a １，a ０∈R ，且a n ≠0｝.W 对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R 上的向量空间.因为0(a n x n +a n -1x n -1+…+a １x ０＋a ０)＝0∉W ，即W 对数乘不封闭.例3 全体实函数，按函数的加法、数与函数的乘法，构成R 上的线性空间.例4 n 个有序实数组成的数组的全体S n =｛x =(x 1，x 2，…，x n )｜x 1，x 2，…，x n ∈R ｝对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k .(x 1，x 2，...，x n )＝(0,0, 0不构成R 上的向量空间，因为1x =0，不满足运算规律(5).例5 正实数的全体，记作R ＋，定义加法、数乘运算为a ⊕b =ab (a,b ∈R ＋)，k ·a =a k （k ∈R ,a ∈R +）.验证R +对上述加法与数乘运算构成R 上的线性空间.证 实际上要验证十条.对加法封闭：对任意a,b ∈R ＋，有a ⊕b ＝ab ∈R ＋；对数乘封闭：对任意k ∈R ,a ∈R ＋，有k ·a ＝a k ∈R ＋；(1) a ⊕b =ab =ba =b ⊕a ;(2) (a ⊕b )⊕c ＝(ab ) ⊕c ＝(ab )c ＝a (bc )＝a ⊕ (b ⊕c )；(3) R ＋中的元素1满足：a ⊕1＝a ·1＝a (1叫做R ＋的零元素)；(4) 对任何a ∈R ＋，有a ⊕a －１＝a －１＝１（a －1叫做a 的负元素）；(5) 1·a ＝a 1＝a ;(6) k ·(λ·a )＝k ·(a λ)k ＝k a λ＝（k λ）·a ；(7) (k +λ)·a=()k a λ+＝k a a λ= k a a λ⊕=k ·a ⊕λ·a ； (8) k ·(a ⊕b )=k ·(ab )=(ab )k =a k b k =a k ⊕b k =k ·a ⊕k ·b .因此，R ＋对于上面定义的运算构成R 上的线性空间.下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质.性质1 零元素是惟一的.假设01，02是线性空间V 中的两个零元素，即对任何α∈V ，有α+01=α,α+02＝α，于是特别有02+01=02,01+02=01,故01=01+02=02+01=02.性质2 任一元素的负元素是惟一的(α的负元素记作-α).假设α有两个负元素β与γ，即αβ+＝0，αγ+＝0.于是()().βββαγβαγγγ=+=++=++=+=00性质3 0α＝0；（－1）α＝－α；k 0＝0.因为 α＋0α＝1α＋0α＝（1+0）α＝1α＝α，所以 0α＝0+0α＝（－α＋α）＋0α＝－α+(α＋0)＝－α＋α＝0又因为 α＋（－1）α＝1α+（－1）α=［1+(－1)］α＝0α＝0，所以 (－1) α=0＋（－1）α＝（－α＋α）＋（－1）α＝－α＋［α＋（－1）α］＝－α＋0＝－α;而 k 0=k ［α＋（－1）α］＝k α＋（－k ）α＝［k +(-k )］α＝0α＝0.性质4 如果k α＝0，那么k ＝0或者α＝0.假设k ≠0，那么α＝1α＝(1k ·k) α=1k(kα)＝1k0＝0.在第三章子空间的概念可推广到一般线性空间中.定义2R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间(简称子空间).一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?因为W是V的一部分，V中运算对W而言，规律(1)，(2)，(5)，(6)，(7)，(8)显然被满足，因此只要W对运算封闭且满足规律(3)(4)即可，但由线性空间的性质3知，若W对运算封闭，则能满足规律(3)(4)，因此有定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭.例6在全体实函数组成的线性空间中，所有实系数多项式组成V的一个子空间.§2 维数、基与坐标在第三章，我们讨论了n维数组向量之间的关系，介绍了一些重要概念，如线性组合、线性相关与线性无关等，这些概念及有关性质只涉及线性运算，因此，对于一般的线性空间中的元素(向量)仍然适用，以后我们将直接引用这些概念和性质.基与维数的概念同样适用于一般的线性空间.定义3在线性空间V中，如果存在n个元素α1,α2,…,αn，满足：(1) α1,α2,…,αn线性无关.(2) V中任一元素α都可由α1,α2,…,αn线性表示，那么，α1,α2,…,αn就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数.维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作V n.如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的.若知α1,α2,…,αn为V的一个基，则对任何α∈Vn，都有一组有序数x1, x2,…, x n使α=x1α1+ x2α2+…+ x nαn，并且这组数是惟一的(否则α1,α2,…,αn线性相关).反之，任给一组有序数x1, x2,…, x n，可惟一确定V n中元素α=x1α1+ x2α2+…+ x nαn.这样，V n的元素与有序数组(x1, x2,…, x n)之间存在着一种一一对应，因此可用这组有序数来表示α，于是我们有定义4设α1,α2,…,αn是线性空间V n的一个基，对于任一元素α∈V n，有且仅有一组有序数x1, x2,…, x n使α=x1α1+ x2α2+…+ x nαn，x1, x2,…, x n这组有序数就称为α在基α1,α2,…,αn下的坐标，记作(x1, x2,…, x n).例7在线性空间P［x］3中，α1＝1，α2＝x，α3＝x2，α4＝x3就是P［x］3的一个基，P［x］3的维数是4，P［x］3中的任一多项式f(x)＝a3x3+a2x2＋a1x＋a0可写成f(x)=a3α4＋a2α3＋a1α2＋a0α1，因此f(x)在基α1，α2，α3，α4下的坐标为(a0，a1，a2，a3).易见β1＝1，β2＝1＋x; β3＝2x2，β4＝x3也是P［x］3的一个基，而f (x )=(a 0－a 1)β1＋a 1β2＋22a β2＋a 3β4， 因此f (x )在基β1，β2，β3，β4下的坐标为(a 0－a 1，a 1，22a ，a 3). 取定V n 的一个基α1,α2,…,αn ，设,αβ∈V n ，α＝x 1α1＋x 2α2＋…＋x n αn ，β＝y 1α1＋y 2α2＋…＋y n αn ,于是αβ+=（x 1＋y 1）α1＋(x 2＋y 2)α2＋…＋(x n +y n )αn ，k α＝(kx 1) α1＋(kx 2)α2＋…＋(kx n ) αn .即αβ+的坐标是(x 1＋y 1，x 2＋y 2，…，x n +y n )＝（x 1，x 2，…，x n ）+(y 1，y 2，…，y n )，k α的坐标是(kx 1，kx 2，…，kx n )＝k (x 1，x 2，…，x n ).总之，在线性空间V n 中取定一个基α1,α2,…,αn ，则V n 中的向量α与n 维数组向量空间R n 中的向量(x 1, x 2,…, x n )之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设 α↔ (x 1, x 2,…, x n ), β↔ (y 1，y 2，…，y n ).则(1) αβ+↔ (x 1，x 2，…，x n )+( y 1，y 2，…，y n )；(2) k α↔ k (x 1，x 2，…，x n ).由上面所述，我们可以说V n 与R n 有相同的结构，称Ｖn 与R n 同构.一般地，设V 与U 是R 上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V 与U 同构.易见，同构关系具有传递性，我们有定理2 R 上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等.同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，V n 中的线性运算就可转化为R n 中的线性运算，并且R n 中凡只涉及线性运算的性质都适用于V n ，但R n 中超出线性运算的性质，在V n 中就不一定具备，如内积.§3 基变换与坐标变换事实上，n 维线性空间中，任意n 个线性无关的向量都可以取做空间的基，由例7可见，同一元素在不同的基下有不同的坐标，那么，不同基与不同的坐标之间有怎样的关系呢?设α1,α2,…,αn 及β1, β2,…, βn 是线性空间V n 的两个基，且11112121212122221122,,.n n n n n n n nn n c c c c c c c c c βαααβαααβααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (6.1) (6.1) 式可表为111212122211111211(,,,)(,,,)(,,,).n n n n n n nn n c c c c c c c c c βββαααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=C (6.2) (6.1)和(6.2)称为基变换公式，矩阵C 称为由基α1,α2,…,αn 到基β1, β2,…, βn 的过渡矩阵，C 一定是可逆矩阵.定理3 设V n 中的元素α在基α1,α2,…,αn 下的坐标为(x 1，x 2，…，x n )，在基β1, β2,…,βn 下的坐标为12(,,,)n x x x ''' ，若两个基满足(6.2)，则有坐标变换公式 111122221,.n nn n x x x x x x x x x x x x -''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦C C 或 (6.3) 证 因 112212121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n nx x x x x x x x x '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎡⎤⎢⎥'⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦C ααααβββααα 而α1,α2,…,αn 线性无关，故即有关系式(6.3).例8 在例7中，我们有1234123411000100(,,,)(,,,),00200001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββββαααα111100110001000100,10020000200010001C ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故 121122233344411000100.11000220001x x x x x x x x x x x x x --⎡⎤⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这与例7所得的结果是一致的. §4 线性变换定义5 设A 、B 是两非空集合，如果对于A 中的任一元素α，按照一定的法则，总有B 中的一个确定的元素β与之对应，那么这个法则称为从集合A 到集合B 的映射.如果A ＝Ｂ，A 到A 的映射称为A 的变换.映射常用ϕ表示，A 的变换常用T 表示.A 到B 的映射ϕ使B 中的β与Ａ中的α对应，就记β＝ϕ (α)或β＝ϕα，此时，β称为α在映射ϕ下的像，α称为β在ϕ下的原像，ϕ的像的全体构成的集合称为ϕ的像集，记作ϕ (A )，即ϕ (A)＝｛ϕ (α)｜α∈A ｝.映射的概念是函数概念的推广.例9 设A ＝R ,B ＝R ＋, ϕ (x )＝x 2＋３是R 到R ＋的一个映射，它把x 映射到x 2＋3，7是-2在ϕ下的像.定义6 设U ，V 是R 上的两个线性空间，ϕ是V 到U 上的一个映射，如果ϕ满足(1) ∀α，β∈V , ϕ (α+β)＝ϕ (α)+ ϕ (β)；(2) ∀k ∈R ，α∈V ，ϕ (k α)=k ϕ (α)，那么，ϕ就称为V 到U 的线性映射.当V ＝U 时，V 到U 的线性映射称为V 的线性变换.例10 在线性空间P ［x ］３中，微分运算D 是一个线性变换.因D ［f (x )＋g (x )］＝［f (x )+g (x )］′＝f ′(x )+g ′(x )＝Df (x )+Dg (x )，故 D ［kf (x )］=［kf (x )］′＝kf ′(x )＝kDf (x ).例11 由关系式cos sin sin cos x x T y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααα 确定xOy 平面上的一个线性变换，T 把任一向量按逆时针方向旋转α角.例12 在线性空间R 3中，变换Ｔ(α)=α+(1,0,0), α∈R 3.验证T 不是R 3的线性变换.因T (0α)＝Ｔ(0)=(0,0,0)+(1,0,0)≠0=0·T (α).线性变换具有下述性质：(1) T (0)＝0,T (-α)＝－T (α)；(2) 若β＝k 1α1＋k 2α2＋…＋k m αm ,则T β＝k 1Ｔ α1＋k 2T α2＋…＋k m T αm ;(3) 若α1,α2,…,αm 线性相关，则T α1,T α2,…,T αm 也线性相关. 只证T (0)＝0，其余请读者自证.因 T (0)＝T (0·0)＝0·T (0)＝0.(4) 线性变换T 的像集是V 的子空间，称为T 的像空间.证 设β1，β2∈T (V )，那么，存在α1，α2∈V 使β1＝T α1，β2＝Ｔ α2，从而121212()()T T T T V ββαααα+=+=+∈ (因α1，α2∈V )；111()()k kT T k T V βαα==∈ (因k α1∈V ）.因此，T (V )是V 的子空间.(5) 使T α＝0的α的全体｛α｜α∈V ,T α＝0｝也是V 的子空间，称为线性变换T 的核，记为T -1(0).证 设α1，α2∈T -1(0),那么T α1＝T α2＝0，从而1212()T T T αααα+=+=+=000，即112()T αα-+∈0，11()()T k kT k αα==⋅=00,即11()k T α-∈0.因此，1()T -0是V 的子空间.例13 设有n 阶方阵11121212221112(,,,),n n m n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ααα 其中 12,1,2,,.i i i ni a a i n a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义R n 中的变换T 为： T (x )=Ax (x ∈R n ）,则T 为R n 中的线性变换.证 设,αβ∈R n ，k ∈R ，有T (αβ+)＝A (αβ+)＝A α＋A β＝T (α)＋T (β)；T (k α)＝A (k α)＝k A α=kT (α),故T 为R n 中的线性变换.设12n n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦x R 因12121122(,,,),,,n n n n x x T x x x x αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥===+⎢⎥⎢⎥⎣⎦x Ax ， 可见T 的像空间是由12,,,n ααα 生成的向量空间.T 的核T -1(0)是齐次线性方程组Ax ＝0的解空间.§5 线性变换的矩阵从上节例13看到，关系式T (x )＝Ax (x ∈R n )简单明了地表示出R n 中的一个线性变换，我们当然希望R n (V n )中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示.首先，我们证明下述两个结论.(1) 设12,,,n εεε 是线性空间V n 的一个基，如果V n 的线性变换T 与T ′在这组基上的作用相同，即,1,2,,,i i T T i n εε'== ，那么，T ＝T ′.证T 与T ′相等的意义是它们对V n 的每个向量的作用相同，即T α＝T ′α， ∀α∈V n .设1122n n αεεε=+++x x x ,由i T T εε'=，有11221122.n nn n T x T x T x T x T x T x T T αεεεεεεα=+++'''=+++'=(2) 设12,,,n εεε 是线性空间V n 的一个基，对于V n 任意一组向量12,,,n ααα ，一定有一个线性变换T 使,1,2,,.i i T i n εα==证 设1122n n n x x x V αεεε=+++∈ ,作变换T ，使1122n n T x x x αααα=+++ ，容易验证T 是V n 的线性变换，且1010i i n i T =++⋅++= εαααα.综合以上两点，得定理4 设12,,,n εεε 是线性空间V n 的一个基，12,,,n ααα 是V n 中任意n 个向量，则存在惟一的线性变换T 使,1,2,,.i i T i n εα==以后，记T (12,,,n εεε )＝(12,,,n T T T εεε ).定义7 设12,,,n εεε 是线性空间V n 的一个基，T 是V n 的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：11112121212122221122,,.n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a εεεεεεεεεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (6.4) 用矩阵来表示就是：121212(,,,)(,,,)(,,,),n n n T T T T εεεεεεεεε==A (6.5)其中111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A . 矩阵A 称为T 在基12,,,n εεε 下的矩阵. 因12,,,n εεε 线性无关，(6.4)式中的ij a 是由T 惟一确定的. 可见A 由T 惟一确定.给定一个方阵A ，定义变换T :11221212(,,,)(,,,),n n n n x x x x T T x x αεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A (6.6) 这里1122n n x x x αεεε=+++ .易见T 是由n 阶矩阵A 确定的线性变换，且T 在基12,,,n εεε 下的矩阵是A .这样，在V n 中取定一个基后，V n 的线性变换与n 阶矩阵之间，有一一对应的关系(根据定理4).由关系式(6.6)，α与T α在基下的坐标分别为1122,.n n x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 例14 在P ［x ］3中，取基2312231,,,x x x εεεε====，求微分运算D(线性变换)在这个基下的矩阵.解D 1ε=0=01ε+02ε+03ε+04ε，D 2ε=1=11ε+02ε+03ε+04ε，D 3ε=2x =01ε+22ε+03ε+04ε，D 4ε=3x 2=01ε+02ε+33ε+04ε，所以D 在这个基下的矩阵为：01000020.00030000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦D 例15 在R 3中，取基e 1＝(1，0，0)，e 2＝(0，1，0)，e 3＝(0，0，1)，Ｔ表示将向量投影到yOz 平面的线性变换，即T (x e 1＋y e 2＋z e 3)＝y e 2＋z e 3.(1) 求T 在基e 1, e 2，e 3下的矩阵；(2) 取基为1ε＝2e 1，2ε＝e 1－2 e 2，3ε＝e 3,求T 在该基下的矩阵. 解 (1) T e 1＝Ｔ(e 1＋0 e 2＋0 e 3)＝0，T e 2＝Ｔ(0 e 1＋e 2＋0 e 3)＝e 2， T e 3＝Ｔ(0 e 1＋0 e 2＋e 3)＝e 3， 即123123000(,,)(,,).010001T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦e e e e e e所以Ｔ在基123,,e e e 下的矩阵为：000.010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 由111212122112123333(2)20,1(2)222,2.T T T T T T T T T εεεεεε====-=-=-=-+-=-+===e e e e e e e e e e e e即1231231002(,,)(,,).010001T εεεεεε⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由上例可见，同一个线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的，一般地，我们有定理5 设线性空间V n 的线性变换T 在两组基12,,,n εεε (6.7) 12,,,n ηηη (6.8)下的矩阵分别为A 和B ，从基(6.7)到基(6.8)的过渡矩阵为P ，则B ＝Ｐ-1AP (此时，称A 与B 相似).证 由假设，有(12,,,n ηηη )＝(12,,,n εεε )P ，P 可逆；及T (12,,,n εεε )＝(12,,,n εεε )A ， T (12,,,n ηηη )＝(12,,,n ηηη )B .于是(12,,,n ηηη )B ＝T (12,,,n ηηη )＝Ｔ［(12,,,n εεε )Ｐ］ ＝［T （(12,,,n εεε )）P ＝(12,,,n εεε )AP＝(12,,,n ηηη )P -1ＡP . 因12,,,n ηηη 线性无关，所以B ＝Ｐ－１AP .例16 在例15中123123210(,,)(,,),020001εεε⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦e e e基123,,e e e 到基123,,εεε的过渡矩阵200020001⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,T 在基123,,e e e 下矩阵为000010001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A .由定理5，T 在基123,,e e e 下的矩阵为11210000210020010020001001001110000210241010020002001001001110021000421020010002001001001--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎢==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎢⎥⎣⎣⎦P AP .⎥⎥⎥⎥⎦.这与例15的结论是一致的.定义8 线性变换T 的像空间T (V n )的维数，称为T 的秩；T 的核T －１(0)的维数，称为T 的零度.显然，若A 是T 在一个基下的矩阵，则T 的秩就是R (A ).若T 的秩为r ，则T 的零度为n －r .定义9 线性变换T 在一个基下的矩阵A 的特征值，称为T 的特征值.因相似矩阵的特征值相同，故线性变换T 的特征值与基的选择无关.类似于矩阵，可讨论线性变换的特征值与特征向量.习 题 六1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； (2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k ·αα=；(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法. 2. 设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则U ＝Ｖ.3. 设12,,,r ααα 是n 维线性空间V n 的线性无关向量组，证明V n 中存在向量1,,r nαα+ 使121,,,,,,r r n ααααα+ 成为V n 的一个基(对n -r 用数学归纳法).4. 在R ４中求向量α＝(0,0,0,1)在基1ε＝(1,1,0,1),2ε＝(2,1,3,1),3ε＝(1,1,0,0), 4ε＝(0,1,－1,－1)下的坐标.5. 在R ３中，取两个基1α＝(1，2，1)，2α＝(2，3，3)，3α＝(3，7，1)； 1β＝(3，1，4)，2β＝(5，2，1)，3β＝(1，1，－6)，试求123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵与坐标变换公式. 6. 在R ４中取两个基11223344(1,0,0,0),(2,1,1,1),(0,1,0,0),(0,3,1,0),(0,0,1,0),(5,3,2,1),(0,0,0,1).(6,6,1,3).εαεαεαεα==-⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩. (1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；(2) 求向量(x 1，x 2，x 3，x 4）在后一个基下的坐标； (3) 求在两个基下有相同坐标的向量.7. 证明3阶对称矩阵的全体S 构成线性空间，且S 的维数为6.8. 说明xOy 平面上变换x x T y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 的几何意义，其中(1)1001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 0001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (3) 0110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (4) 0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A .9. 设V 是n 阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为(1)2n n +］，给定n 阶方阵P ，变换T (A )＝Ｐ′A Ｐ， ∀A ∈Ｖ称为合同变换，试证合同变换T 是V 中的线性变换. 10. 函数集合V 3＝｛α＝(a 2x 2+a 1x +a 0)e x ｜a 2，a 1,a 0∈R ｝对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基α1＝x 2e x , α2＝2x e x , α3＝3e x ，求微分运算D 在这个基下的矩阵.11. 2阶对称矩阵的全体12312323,,a a V a a a a a ⎧⎫⎡⎤⎪⎪==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭A R 对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn 中取一个基123100100,,.001001⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A (1) 在V 3中定义合同变换31110(),0111T V ⎡⎤⎡⎤=∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A A求在基A 1，A 2，A 3下的矩阵及T 的秩与零度. (2) 在V 3中定义线性变换31111(),,1111T V ⎡⎤⎡⎤=∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A A 求T 在基A 1，A 2，A 3下的矩阵及T 的像空间与T 的核.。

-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。