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![[专题]北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题53.docx](https://img.taocdn.com/s1/m/8dbfc7a2aa00b52acfc7cad3.png)
习题5・31•指出下列平面位置的特点：(1)5x - 3z +1 = 0(2)x + 2y - 7z = 0(3)y + 5 = 0(4)2)，- 9z = 0(5)x-y-5 = 0(6)x = 0. 解⑴平行于屛由.⑵过原点.⑶平行于平面.⑷ 过兀轴.(5)平行于z轴•⑹0〃平面.2.求下列各平面的方程：⑴平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于O私平面且通过点(5,2,-8);(3)垂直于平面兀-4y + 5z = 1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);⑷垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).1j k解⑴—(0 ,l,0),* = (2,7,-3),n= 0 1 0 =(-3,0,-2).27-3_3O_1)_2(Z_1)=0,3JC +2Z_5=0.⑵y = 2.i j k(3)a = (1,-4,5), 6 = (-2,7,3),n = 1 -4 5 = (-47,-13,-1).-2 7 347x+13y+ 1 = 0.i j k(4)“ = (1,0,0),〃 = (-7,5,5),〃= 1 0 0 =(0,-5,5) = 5(0, -1,1).-7 5 5_(y + 4) + (z_3) = 0,y_z + 7 = 0.3.求通过点A(2,4,8), B(-3,1,5)及C(6,—2,7)的平面方程.解 a = (一5, —3,—3),〃 = (4,-6,-1).i j kn= -5 -3 -3 =(-15,-17,42),4 -6 -1一15(兀一2) —17(y — 4) + 42(z — 8) = 0,15x + 17y —42z + 238 = 0.4.设一平而在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5, -7, 4),求此平而的方程.解—+ —+ — = 1, —H—+ — = l,a = 2, x + y + z — 2 = 0.a, a a a a a5已知两点4(2,-1,-2)及〃(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解〃 =(6, & 7).6(x-8) + 8(y-7) + 7(z-5) = 0,6x + 8y + 7z-139 = 0.6.求过点(2,0, -3)且与2兀-2y + 4z + 7 = 0,3x+y-2z + 5二0垂直的平面方程.i j k解 n= 2 -24 =(0,16,8) = 8(0,2,l).2y + (z + 3) = 0,y + z + 3 = 0. 3 1 -27.求通过兀轴且与平面9兀-4y-2z + 3 = 0垂直的平面方程. 解 By + Cz=0,—4B —2C = 0,取B = 1,C = —2,y —2z = 0.8•求通过直纟划:｛；；工：二5地:仁鳥平行的平面方程. i j ki j k 解a = 1 0 2 = (-6,1,3), 6 = 1 -1 0= (1,1,1), 0 3-10 1 -1 i j kn - -6 13 =(-2,9,-7).用z ()= 0代入厶的方程，得x° =4,>\} =-8/3.1 1 1 -2(x-4) + 9(^ + 8/3)-7(z) = 0,-2x + 9y-7z + 32 = 0.x = 3r + 89.求直线厶：* +彳=•' +1 = __与直线/ ：< y = f + l 的交点坐标,3 24 _ 小， z = + 6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标：3r + 8 + 3 / + 1 + 1 2/ + 6 —2 \\ t t A 163 24 3 2 23 i j kn= 3 2 4 = (0,6, -3) = 3(0,2, -l).2(y +1) - (z - 2) = 0,2y - z + 4 = 0.3 1 2 10•求通过两直线厶=^ = 凹和厶：土 = □=三的平面方程. 1 2 -1 1 -4 2 -2i j k解 两直线平行•平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).川=2 — 1 1 = (—4,—5,3).-33 1一4(兀一 l)-5(y + l) + 3(z + l) = 0,-4x — 5y + 3z + 2 = 0.11证明两直线厶：口和是异面直线*-121 - 0 1 -2证首先，两直线的方向向量(-1,2,1)和(0,1,-2)不平行.x 二 _2l 2< y 二1+t —―二匕〜 力+ 3J = 5』= 0,矛盾.故两直线无公共点.-1 2 1 X Q = 一& 儿=一一牛交点(一8占弓)两-直线不平行，又无交点，故是异面直线. 12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程：[2x+y-z + l = 0 [x-3z + 5 = 0(1* ⑵彳[3x - y + 2z - 8 = 0; [y - 2z + 8 = 0.i j k解(1)〃= 2 1 -1 =(1,-7,-5).3-12V — 7 + 1 = 0⑴中令兀0=0,{ 解Z得儿=6,Zo=7・-y+ 2z-8 = 0;标准方程—q・1 -7 -5x = t参数方程：< y = 6-lt,-oo <t < +oo.z = l-5ti j k(2)(1加=1 0 -3 =(3,2,1).0 1 -2⑵中令z° = 0,直接得x° = -5, y Q = -8.标准方程出二凹二工3 2 1x ——5 + 3t参数方程：* >' = -8 + 2r,-co<t < +oo.z = t13•求通过点(32-5)及乂轴的平面与平面3x-y-7z + 9 = 0的交线方程・ ■I j k解地第一个平面的法向量〃二1 0 0 =(0,5,2), 3 2 -5平面方程5y + 2z = 0.直线方程严+ 2*°[3 兀-y-7z + 9 = 0.i j k直线的方向向量a =0 5 2 =(一336-15) = 3(-112-5)・3 -1 -7直线方程:r 匕14 •当D 为何值时,直线产？ £弓与0z 轴相交?[x + 4y-z + D = 0解直线F ：y + 2z-6弓与Oz 轴相交O 存在(0,0,勺)在此直线上，[x + 4y-z + £> = 0f2z o -6 = O <=> < u> £> =知=3. Ho+o=o15.试求通过直线人：£一2"：弓并与直线Z. = 2平行的平面方程.[3y — z + 8 = 0 *•匕 _y + 6 = 0i J k解厶的方向向&a = 1 0 -2 =(6丄3).0 3-1i J 平面的法向量/i =6 1 1 1 Q 在的方程中令z ()二0得X 。
向量代数与空间解析几何在数学中，向量代数与空间解析几何是两个重要的分支。
它们分别研究了向量以及在空间中的几何问题。
本文将介绍向量代数以及空间解析几何的基本概念和应用。
一、向量代数1. 向量的定义与性质向量是带有方向和大小的量，通常用有向线段表示。
向量有很多种表示方法，如坐标表示、向量符号表示等。
向量运算包括加法、减法、数乘等，遵循相应的运算规则。
向量的性质包括共线、对称性、平行四边形法则等。
2. 向量的内积与外积向量的内积（点积）和外积（叉积）是向量代数中的重要运算。
内积表示了两个向量之间的夹角关系，具有交换律和分配律等性质。
外积表示了两个向量之间的垂直关系，其大小等于由两个向量所决定的平行四边形的面积。
3. 向量的坐标表示与线性组合向量可以通过坐标表示在坐标系中，分别用行向量和列向量表示。
向量的线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到新的向量。
线性组合有重要的几何意义，可以表示平面或空间上的任意点。
二、空间解析几何1. 点、直线与平面空间解析几何研究了点、直线和平面在空间中的性质和相互关系。
点在空间中由坐标表示，在三维坐标系中是一个有序三元组。
直线可以通过点和方向向量表示，平面可以通过点和法向量表示。
2. 直线与平面的位置关系直线和平面有多种位置关系，包括相交、平行、重合、相交于一点等。
这些关系可以通过直线或平面的方程进行判断和计算。
同时，直线与平面之间也存在着夹角的概念，用于描述它们之间的夹角关系。
3. 空间几何体的体积与面积在空间解析几何中，体积和面积是重要的度量指标。
常见的几何体包括球、圆柱、圆锥、棱台等。
通过合适的公式和方法，可以计算出这些几何体的体积和表面积。
三、应用向量代数与空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
1. 物理学中的力学分析向量代数可以用来描述物理学中的力和运动，如力的合成与分解、速度和加速度的分析等。
空间解析几何则可以用来描述物体在空间中的位置和运动轨迹。
82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。
1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。
方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。
常用有向线段表示向量。
A 点叫起点，B 点叫终点，向量。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。
记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。
称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。
记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。
高等数学b2教材高等数学B2教材是大学数学教学中一门重要的课程，它承接着高等数学A1和A2教材的内容，涵盖了更加深入和高级的数学知识和技能。
本教材旨在帮助学生深入理解数学的基本概念和原理，并能够运用这些知识解决实际问题。
第一章：极限理论极限理论是高等数学的基础，它为后续章节的学习打下了坚实的基础。
本章介绍了极限的概念和性质，包括数列极限、函数极限和无穷大量。
通过学习本章内容，学生可以掌握极限的计算方法和应用，提高数学分析和推理的能力。
第二章：导数与微分导数与微分是数学中的重要概念，也是高等数学B2教材的核心内容。
本章介绍了导数的定义和性质，以及常用的导数计算方法，如求导法则、链式法则等。
学生通过学习本章内容，可以理解导数的几何意义，并能够应用导数解决实际问题。
第三章：不定积分与定积分本章介绍了不定积分和定积分的概念和计算方法。
学生通过学习本章内容，可以熟练运用不定积分和定积分的性质和公式，解决各种与积分相关的问题。
另外，本章还引入了曲线的长度、曲线的面积和旋转体的体积等概念，增加了数学知识的应用性。
第四章：微分方程微分方程是高等数学B2教材的重要内容之一。
本章介绍了常微分方程和偏微分方程的基本知识，包括一阶和二阶微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法等。
学生通过学习本章内容，可以运用微分方程的方法解决实际问题，如物理、工程等领域的应用问题。
第五章：向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何是高等数学的重要分支，本章介绍了向量的基本概念和性质，以及向量的线性运算、数量积和向量积等相关知识。
此外，本章还介绍了空间解析几何的基本概念和计算方法，如直线、平面、曲面等的方程。
总结高等数学B2教材涵盖了极限理论、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及向量代数与空间解析几何等重要内容。
通过学习本教材，学生将进一步掌握数学的基本概念和原理，并能够灵活运用数学知识解决实际问题。
高等数学B2教材的学习不仅对数学专业的学生具有重要意义，也对其他理工科专业的学生具有一定的指导作用。
向量代数和空间解析几何向量代数和空间解析几何是数学中非常重要的概念，既可以处理经典几何问题，又可以用于表达数学模型。
它们在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面都有着广泛的应用。
向量代数是计算机科学家和数学家在处理空间问题时最常使用的方法。
它利用向量来描述空间中的点、直线和平面。
向量代数可以用来计算空间的大小、形状、方向、坐标变换等概念。
向量代数涉及的内容主要有线性代数系统、矩阵运算、向量空间等。
它在科技计算机图形学、建模和科学仿真中被广泛使用。
空间解析几何是在几何学中一类研究空间几何结构的重要分支学科。
它被广泛应用于工程、机械、制图学等方面，是解决建筑、室内装潢、雕塑、建筑园林设计、制图学等问题的基础学科。
主要内容有平面几何和立体几何，包括平面的直线、圆弧、多边形等，立体的点、直线、面等概念。
空间解析几何主要用来解决解空间几何图形的问题，是几何学中一类重要的问题。
向量代数和空间解析几何之间有着千丝万缕的联系，它们都是分析和处理空间几何图形的重要工具。
向量代数主要用来解决空间的大小、形状、方向等问题，而空间解析几何则主要用于处理空间中的点、直线和平面等结构。
它们的结合可以清楚的表示空间的量化和定义，是建立数学模型的基础和工具。
向量代数和空间解析几何在科技、计算机图形学、建模和科学仿真方面都有着广泛的应用。
它们可以帮助我们更准确地表示和分析空间问题，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
综上所述，向量代数和空间解析几何是数学中重要的概念，可以在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面得到广泛应用，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
它们的结合可以更为清楚地表示和分析空间几何图形，为建立数学模型提供基础。
第五章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算一、内容要点⒈向量的定义 向量是即有大小、又有方向的量 。
⑴向量的几何表示 有向线段 ﹙与起点无关，称为自由向量﹚.⑵向量的坐标表示：),,(z y x a a a =a ，其中x a 、y a 、z a 为向量a 在三个坐标轴上的投影.以),,(0000z y x M 为起点、),,(0z y x M 为终点的向量),,(0000z z y y x x ---=M M .⑶向量的分解表示k j i a z y x a a a ++=，其 中)0,0,1(=i ，)0,1,0(=j ，)1,0,0(=k ⒉向量的模与方向余弦设),,(z y x a a a =a 则向量的模222zy x a a a ++=a 方向余弦为aaaz y x a a a ===γβαcos ,cos ,cos .其中α、β、γ分别为a 与x 轴、y 轴、z轴正向的夹角﹙称为a 的方向角﹚， 1cos cos cos 222=++γβα⒊向量的加法与数乘运算向量的加法有平行四边形法则和三角形法则. 运算的代数表示：设),,(z y x a a a =a ,),,,(z y x b b b =b则 (1)),,(z z y y x x b a b a b a +++=+b a ; (2)).,,(z y x a a a λλλλ=a 线性运算律为,a b b a +=+ ),()(c b a c b a ++=++ ,)(b a b a λλλ+=+ aa )()(λμμλ=基本定理：设0a ≠，则R b a ∈∃⇔λ，使得 a b λ= ； 或 设0a ≠=),,(z y x a a a ),,(z y x b b b =b ，则a\\zz yy xx a b a b a b ==⇔b .利用数乘 ,任何向量a 可表示为a e a a =，其中a e 表示与a 同方向的单位向量.空间直角坐标系中，三个坐轴上正向的单位向量分别记为k j i ,, ，则),,(z y x a a a =a 的分解表达式为:kj i a z y x a a a ++= .二、数学要求和学习注意点⑴理解空间直角坐标系，理解﹙自由﹚向量的概念及其几何表示和坐标表示；⑵掌握向量的线性运算，了解两个向量平行的条件；⑶理解单位向量、方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行线性运算的方法。
在学习这部分时，要注意掌握向量的几何表示与坐标表示之间的联系；会用向量及其运算﹙引进坐标、或不引进坐标、或两者结合﹚来解某些几何问题.三、释疑解难⒈设a 、b 为非零向量，指出它们具有什么几何特征，才能使下列各式成立？⑴ b a b a -=+ ； ⑵ b a b a -<+ ； ⑶ b a b a +=- .答 由向量加、减法的平行四边形法则知，当 ，则 时，⑴式成立，﹙图5–1﹙﹚﹚，当 时，⑵式成立﹙图5–1﹙﹚﹚。
由三角形法则知，一般有 ，当且仅当 时，⑶式成立﹙图5–1﹙﹚﹚。
⒉下列说法是否正确，为什么？⑴与 、 、 三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为 ； ⑵ ；⑶如图5–2所示，则力F 在向量S 上的分力为 。
答⑴与三坐标轴的正向夹角相同的向量，其方向角不是 ，因为任一向量的三个方向角 、 、 应满足关系式 ，当 时，有 ，即 ，故⑶的说法是错误有。
又因 ，所以，还可看出，三个方向角均为 的向量根本不存在。
⑵不正确。
不等号是用来比较两个实数的大小的，而向量是既有大小、又有方向的量，方向无所谓大小之分，故在向量之间，没有“大于”、“小于”这样的次序关系，正如复数之间没有大小次序关系一样，如果是比较两个向量的模的大小，则当然是可以的，比如 。
⑶不正确。
因F 在S 上的分力是一个方向和S 平行的力﹙向量﹚，而 仍是一个与 同方向的力，F 在S 上分力的正确表示应是 ，其中表示分力的方向，是S 方向的单位向量。
四、例题增补例1 已知三点Ａ﹙﹚，Ｂ﹙﹚，Ｃ﹙﹚。
求⑴ AB、BC、AC；⑵ AB AC在轴上的投影及轴上的分向量；⑶三角形ＡＢＣ是什么三角形。
解⑴ABBCAC⑵因为 AB AC ，所以AB AC在轴的投影为3，在轴上的分向量为。
⑶因为所以故三角形ＡＢＣ为等腰直角三角形。
例２证明空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形。
证如图5–3，设空间四边形的四个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ；Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ分别为AB，BC，CD，DA四边的中点，因此由于故所以这就是说，四边形ＭＮＰＱ的一双对边平行且相等，所以ＭＮＰＱ是平行四边形。
五、习题解析﹙习题5–1，教材下册第12页﹚1、已知点Ａ﹙２，１，４﹚，Ｂ﹙４，３，１０﹚，⑴写出线段ＡＢ为直径的球面方程。
解⑴记线段ＡＢ中点的坐标这﹙﹚，则⑵半径，由，得所求球面方程为注一般定比分点坐标的求法。
设点Ｍ﹙﹚是线段的分点，且，内分点；，外分点，，则分点Ｍ的坐标为当时，Ｍ为有中点。
５、已知点Ａ﹙３，–１，２﹚，Ｂ﹙１，２，–４﹚，Ｃ﹙–１，１，２﹚，试求点Ｄ，使得以Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ为顶点的四边形为平行四边形。
解设平行四边形的4个顶点依次这Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，则由于，设Ｄ，于是所以，即Ｄ﹙１，–２，８﹚。
同理，若平行四边形的4个顶点分别别依次为Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ和Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ，则由与可得Ｄ﹙５，０，–４﹚与Ｄ﹙–３，４，–４﹚。
本题有且仅有这三解，而且三种情况下分别以△ＡＢＣ的三条边为平行四边形的对角线，读者不妨画图试验证之。
10、设，试用单位向量表示向量。
解用消元法解由题设等式组成的方程组，易得第二节向量的乘法运算一、内容要点⒈数量积﹙点积、内积﹚定义性质夹角ｂ在ａ上的投影。
⒉向量的向量积﹙叉积，外积﹚定义：，其中是同时垂直于是同时垂直于ａ，ｂ的单位向量，并且ａ，ｂ，符合右手法则。
坐标表达式设，则性质几何意义：⑴等于以ａ，ｂ为边的平行四边形面积；⑵⒊混合积定义。
坐标表达式，设，性质⑴⑵ａ、ｂ、ｃ共面或存在一组不全为0的数，使得。
几何意义等于以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体的体积。
二、数学要求和学习注意点⑴掌握向量的数量积、向量积、混合积运算以及两个向量垂直、平行的条件，了解三个向量共面的条件。
⑵掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，了解向量的向量积、混合积的几何意义。
学习本章节时，必须掌握向量的三种乘积的定义及其在直角坐标系中的计算公式，注意归纳三种乘积的主要应用，特别是这三种乘积的几何意义在空间解析几何中有应用。
三、释疑解难⒈下列命题是否成立？为什么？⑴⑵若，则ａ，ｂ，ｃ共面；答⑴不成立。
可用反例说明。
取，则但注由⑴知，叉积不满足结合律。
⑵当时，等式两端分别与ｃ作数量积，得即故ａ、ｂ、ｃ共面，命题成立。
⒉请归纳一下向量的数量积、向量积和混合积在几何中的主要用途。
答⑴数量积按定义，，可知数量积与向量的长度和夹角都有关。
因此反过来可以利用数量积确定向量的长度及两向量的夹角。
又，在直角坐标系中，数量积的计算公式也比较简单，这就更增加了数量积在应用上的方便，特别值得指出的是，由数量积的这个计算公式，可以很容易地将向量积推广到到高维向量空间中去﹙详见线性代数教材﹚。
这里仅列举数量积的几何应用的要点：﹙ⅰ﹚求向量的模：；﹙ⅱ﹚求两向量的夹角：当时，﹙ⅲ﹚求一个向量在另一个向量上的投影；特别地，向量a在直角坐标系中的坐标为﹙ⅳ﹚向量a和b垂直的充分必要条件是a〃b＝0，或以下再举一例说明数量积的应用。
设，已知向量，令，求。
求解本题时，首先注意到，且，即为两两垂直的单位向量。
在等式两端与作数量积，即得类似可得于是顺便指出，上式称为从坐标系Ⅰ﹙以为基本单位向量的坐标系﹚到坐标系Ⅱ﹙以、、为基本单位向量的坐标系﹚的坐标变换公式。
由于、、是两两垂直的单位向量，因此坐标系Ⅱ也是空间直角坐标系。
两个直角坐标系之间的坐标变换通过数量积很容易计算出来。
⑵向量积按定义其中单位向量同时垂直于ａ和ｂ，且ａ、ｂ、ｃ符合右手规则，在直角坐标系中，ａ×ｂ的计算公式是以下列出向量积的几何应用要点：﹙ⅰ﹚求与两个非共线向量ａ、ｂ同时垂直的向量ｓ，可取ｓ＝ａ×ｂ或ｓ＝﹣ａ×ｂ﹙ⅱ﹚求由两个非共线向量ａ、ｂ所确定的平面的法向量ｎ，可取ｎ＝ａ×ｂ﹙ⅲ﹚求以向量ａ、ｂ为邻边的平行四边形的面积﹙ⅳ﹚给定不共线的三点Ａ、Ｂ、Ｃ，则点Ｃ到直线ＡＢ的距离﹙Ⅴ﹚向量ａ与ｂ共线的充分必要条件是ａ×ｂ＝０。
⑶混合积＝﹙ａ×ｂ﹚·c在直角坐标系中，的计算公式是混合积的主要几何应用是：﹙ⅰ﹚向量ａ、ｂ、ｃ共面的充分必要条件是＝０；﹙ⅱ﹚以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体积。
⒊已知向量ａ，ｂ，ｃ，ｄ，从几何上说明：⑴若ａ，ｂ不平行且ａ，ｂ，ｄ共面时，则存在，，使得⑵若ａ，ｂ，ｃ不共面，则存在，，使得答⑴由于ａ，ｂ不平行，故ａ≠０，ｂ≠０，因此当ｄａ或ｄｂ时，易知结论成立。
否则设＝ａ，＝ｂ，＝ｄ过点Ｄ分别作，的平行线，与直线ＯＢ，ＯＡ分别交于，﹙如图５–４﹚，则由于，，故存在，，使得，，，从⑵当ｄ与ａ、ｂ或与ｂ、ｃ或与ｃ、ａ共面时，由⑴可知结论成立，否则设＝ａ，＝ｂ，＝ｃ，＝ｄ，过点Ｄ分别作平面平行平面ＯＡＢ，ＯＢＣ，ＯＣＡ，如图5﹣5得到一个平行六面体，则由于，，，故存在，，使得，，，从而有注本题的结论说明：在分解向量时，并不一定要分解成相互正交的分向量之和，也可分解成两﹙在平面情形﹚或三个﹙在空间情形﹚相互斜交的分向量之和，这是建立斜坐标系的理论依据。
四、例题增补例1 设﹙ａ×ｂ﹚·ｃ＝２，求﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚解﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚＝﹙ａ+ｂ﹚×ｂ〃﹙ｃ+ａ﹚＋﹙ａ+ｂ﹚×ｃ〃ａ＝﹙ａ×ｂ﹚·ｃ+﹙ｂ×ｃ﹚〃ａ＝﹙ａ×ｂ﹚〃ｃ+﹙ａ×ｂ﹚〃ｃ＝４。
例２设ａ、ｂ是两个非零向量，且＝１，〈ａ，ｂ〉＝，求例３证明向量ｃ＝是表示向量ａ与ｂ夹角平分线方向的向量﹙ａ≠０，ｂ≠０﹚。
证设，分别表示与ａ，ｂ同方向的单位向量，则由以、为边所构成的平行四边形为菱形，知其对角线平分顶角，于是这是与ａ、ｂ夹角平行线平行之向量。
又其中﹥０，故ｃ是表示ａ与ｂ夹角平分线方向的向量。
五、习题解析﹙习题５–２，教材下册第２２页﹚⒈设ａ＝３，，求⑴ａ·ｂ；⑵ａ×ｂ；⑶ｂ；⑷ａ；⑸。
解⑴ａ〃ｂ＝３×１＋﹙－１﹚×２+﹙－２﹚×﹙－１﹚＝３⑵ａ×ｂ＝⑶⑷⑸⒎用向量法证明⑴直径对的圆周角是直角；⑵三角形的三条高交于一点。
证⑴如图５－６，AB是⊙Ｏ的直径，ｃ是半圆周上AB所对的任意一点，记＝ａ，＝ｂ，＝ｄ，＝＝ｃ，则ａ＝ｃ+ｄ，ｂ＝－ｄ+ｃ，因为所以ａ〃ｂ＝＝０，由≠０，≠０，知＝０，所以ａ⊥ｂ，即直径所对的圆周角是直角。
