第五章 向量空间

高等代数第五章知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。

第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。

以下是对这些知识点的总结:1. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是一次多项式。

线性方程组的解称为线性方程组的解，可以用矩阵和向量来表示。

2. 矩阵：矩阵是一种特殊的数组，可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。

矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义，并且矩阵具有一些特殊的性质，如行列式、秩等。

3. 向量空间：向量空间是一个线性空间，其中添加了一个标量值域。

向量空间的元素称为向量，向量空间的基和维数是重要概念。

向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。

4. 线性变换：线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。

线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。

线性变换的矩阵表示是一个方阵，其中每行每列都是一个向量。

5. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是两个重要的概念，用于描述矩阵的性质。

矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值，而特征向量是指与特征值相关的向量。

6. 相似矩阵：相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。

相似矩阵之间具有一些相似性质，如行列式、秩等。

相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。

7. 克莱默法则：克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式，可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求解线性方程组的解。

8. 特征值分解：特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。

特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。

9. 二次型：二次型是一种特殊的矩阵，其元素是二次多项式。

二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵，并且具有一些重要的性质，如行列式、秩等。

以上是第五章的主要知识点总结，这些知识点是高等代数中的重要基础，对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。

第五章 向量空间本章介绍向量空间以及维数、基和坐标等概念，讨论齐次线性方程组的解空间和非齐次线性方程组解的结构。

第一节 向量空间一、向量空间及有关概念定义1 设V 为nR 的一个非空子集，如果V 满足：（1）V 对加法运算封闭，即V 中任意两个向量的和向量仍在V 中； （2）V 对数乘运算封闭，即V 中任意向量与任一实数的乘积仍在V 中； 则称V 关于向量的线性运算构成实数域上的一个向量空间．如我们平常接触最多的1R 、2R 和3R 都是向量空间。

例1 设{}T1(,,)|0,,,x y z x y z x y z =++=∈V R ，{}T2(,,)|1,,,x y z x y z x y z =++=∈V R ，问1V 和2V 是向量空间吗？解 由于1V 同时满足向量空间定义中的加法运算封闭性和数乘运算封闭性，因此1V 是向量空间。

而2V 不满足加法运算封闭性（数乘运算封闭性也没有满足），因此2V 不是向量空间。

例2 设齐次线性方程组的解集{}T 3121(,,,)|, ,,n n x x x x x ===∈V x Ax 0R ，非齐次线性方程组的解集{}T 4121(,,,)|, , ,,n n x x x x x ===≠∈V x Ax b b 0R ，问3V 和4V 是向量空间吗？解 对于3V ，设1α和2α是任意两个属于3V 的向量，k 是任意一个实数，则由1212()+=+=A ααA αA α0以及11()k k ==A αA α0可知3V 满足加法运算封闭性和数乘运算封闭性，因此3V 是向量空间。

对于4V ，设1β和2β是任意两个属于4V 的向量，则由1212()2+=+=≠A ββA βA βb b 可知4V 不满足加法运算封闭性，因此4V 不是向量空间。

定义2 设12,,,n s ∈ αααR ，则可以验证由该向量组的所有线性组合得到的向量的集合{}112212|, ,,s s s k k k k k k ==+++∈ U x x αααR 是一个向量空间。

第五章 向量空间向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统（定义了代数运算的集合），现代数学所涉及的欧氏空间、U 空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的.我们知道,在n 元向量集和n m ⨯矩阵集中,都分别定义了加法和数乘运算,并且就这两种运算的基本性质而言,在形式上是完全一样的.向量空间就是对这类集合的共性的抽象.学习向量空间的理论,不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解,同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础.除此之外,向量空间的理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有一定的应用.本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等.5.1 向量空间的概念定义 1 设V 是一个非空集,F 是一个数域．如果：1) V 中定义了一个加法．α∀、∈βV , V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为α与β的和,记为α+β.2) F 到V 有一个数量乘法．k ∀∈F ,∀α∈V ,V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为k 与α的数量乘积,记为αk .3) 加法与数量乘法满足以下算律： ∀α、β、γ∈V ,∀k 、l ∈F 1 α+β=β+α；2 (α+β)+γ=α+(β+γ)；3 0∈V ,称为V 的零元,有0+α=α；4 α-∈V ,称为α的负元,有α+(α-)=0；5 βαβαk k k +=+)(；6 αααl k l k +=+)(；7 )()(ααl k kl =；8 αα=1,那么称V 是数域F 上的一个向量空间.向量空间V 的元称为向量.定义1中的条件1)和2)可以合并为:F l k V ∈∀∈∀、、,βα,有V l k ∈+βα.由于运算是线性的,也将向量空间称为线性空间.例 1 nF 为数域F 上所有n 元向量构成的集,对向量的加法和数乘,nF 是F 上的一个向量空间.例 2 )(},|){()(F M F a a F M ij n m ij ∈=⨯对矩阵的加法和数量乘法构成F 上的一个向量空间.例 3 在解析几何里,平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间.分别记为32,V V .例 4 令],[b a C 为定义在区间],[b a 上的一切连续函数所构成的集.对函数的加法,实数与函数的乘法,],[b a C 是实数域上的向量空间.例5 复数域C 是实数域R 上的向量空间.任意数域都是它自身上的向量空间. 由定义1,可以推出向量空间V 的如下几个性质： 1. 在向量空间V 中,零向量是唯一的.事实上,若10与20都是V 的零向量,便有22110000=+=.2. V 中每一向量的负向量是唯一的.事实上,V ∈∀α,若21,αα都是α的负向量,即有0,021=+=+αααα,那么222121110)()(0αααααααααα=+=++=++=+=.规定α-β=α+ (-β). 3. 在V 中, (Ⅰ) 00＝α； (Ⅱ) 00=k ；(Ⅲ) αααk k k -=-=-)()(.事实上, 0=+αα0=+αα1(0+1)ααα==1.等式两边同时加上(-α),得0α=0.故（i ）式成立.由0)00(00k k k k =+=+,两边加上0)(k -,得00=k ,即(ii )式成立.由00)()(==+-=+-k k k k αααα,即)(α-k 是αk 的负元,所以ααk k -=-)(.同样可得ααk k -=-)(.4. 在V 中,如果0=αk ,则=k 0或0=α. 事实上,若0=αk ,而≠k 0,那么001)(1==k k k α.又αααα===1)1()(1k kk k ,故.0=α此外,由于V 中的加法满足交换律﹑结合律,V 中s 个向量相加,可以任意交换各项的次序,任意添加括号,所得结果都相同.定义2 设V 是数域F 上的向量空间,.,φ≠⊆W V W 如果F k W ∈∀∈∀,βα、,有W k W ∈∈+αβα,, (1)那么称W 是V 的一个子空间.由定义,V 的子空间一定含V 中的零向量(则,W ∈α0W ∈=0α).如果W 是V 的子空间,那么W 也是数域F 上的向量空间.这是因为W 对V 的加法和F 到V 的数量乘法封闭，而定义1中的算律1 至8在V 中成立,在W 中当然成立.例 6. 由向量空间V 的零向量构成的集{0}是V 的子空间,称为零空间.V 自身是V 的子空间.这两个子空间都称为V 的平凡子空间.例7. nF 中一切形如),0,,,,(121-n a a a F a i ∈的向量构成的集是nF 的一个子空间.定义2中的条件（1）可表示为:F l k W ∈∀∈∀、、,βαW l k ∈+βα. （2） 反之,若（2）成立,则W 是V 的一个子空间.事实上,在（2）中,令1==l k ,得W ∈+βα;令0=l ,得W k ∈α,由定义2,W 是V 的子空间.在向量空间V 中,我们可以依照3.2中n 元向量线性相关性的表述来定义诸如向量的线性组合、线性相关等相应的概念,从而得出相应的结论.从形式上说,这些概念、结论的表述是完全一样的.只是在向量空间中涉及这些概念、结论的对象——向量以及线性运算,已经不局限于n 元向量及其运算.在此,不再一一列出.现设V 是数域F 上的向量空间,V 中的s 个向量s ααα,,,21 的一切线性组合构成的集},,2,1,|{2211s i F k k k k s i s s =∈+++=ααα是V 的一个子空间.事实上,∀α﹑β∈S ,∀k ∈F ,令s s k k k αααα+++= 2211,2211ααβl l +=s s l α++ ,那么α+β与αk 仍为s ααα,,,21 的线性组合,即有α+β∈S ,αk ∈S .故S 是V 的子空间,它称为由s ααα,,,21 生成的子空间,记为 L (s ααα,,,21 ),s ααα,,,21 称为生成向量.下面我们看一个例子.m 个方程n 个未知量的齐次线性方程组0=AX ,它的所有解向量的集{}元列向量为n A T ααα,0==是n F 的非空子集.若n F ∈βα、（βα、为n 元列向量）,有0,0==βαA A ,那么F k ∈∀,则0)(=+βαA ,0)(=αk A .即F k T ∈∈∀,,βα,有T k T ∈∈+αβα,.因此T 是n F 的一个子空间.由于0=AX 的任一解都可表示为它的基础解系的线性组合,若r n -ηηη,,,21 是0=AX 的一个基础解系,那么α﹑β可表示为r n -ηηη,,,21 的线性组合,于是T 包含于生成子空间),,,(21r n L -ηηη .即 T ⊆),,,(21r n L -ηηη . 反之,任取∈β),,,(21r n L -ηηη ,令F k k k k i r n r n ∈+++=--,2211ηηηβ 为常数,r n i -=,,2,1 ,那么,0)(2211=+++=--r n r n k k k A A ηηηβ ,即β∈T .因而),,,(21r n L -ηηη ⊆T . 故 ),,,(21r n L T -=ηηη .n F 的子空间),,,(21r n L -ηηη 称为齐次线性方程组0=AX 的解空间.最后，我们给出子空间的和的概念。

高等代数向量空间定义和例子知识点总结嘿！同学们，今天咱们来好好聊聊高等代数中向量空间这个重要的概念。

首先呢，咱们得弄清楚向量空间的定义到底是啥呀！向量空间，简单来说，就是一个集合，里面的元素叫做向量，并且这些向量要满足一些特定的条件。

哎呀呀，具体是啥条件呢？那就是对于向量的加法和数乘运算封闭。

啥叫封闭呢？就是说，任意两个向量相加，结果还在这个集合里；任意一个向量乘以一个数，结果也还在这个集合里。

比如说，咱们常见的三维空间中的向量，就是一个典型的向量空间呀！那些表示位置和方向的箭头，它们的加法和数乘运算都符合向量空间的定义呢。

再比如，全体实系数的多项式，也能构成一个向量空间哟！哇，是不是有点惊讶？接下来，咱们详细讲讲向量空间的几个重要性质。

其一，零向量一定在向量空间中呢。

为啥？因为对于任何向量v ，0 乘以v 都等于零向量呀。

其二，向量空间中的向量乘以-1 ，得到的向量与原来的向量相加，结果就是零向量。

这可都是很基础但又非常关键的性质哟！再说说向量空间的例子。

比如说，平面上的所有向量，就构成了一个二维向量空间。

想象一下，那些在平面上随意指向不同方向的箭头，它们相加和数乘之后，依然在这个平面上，这不就是向量空间嘛！还有，n 维欧几里得空间，这可是高等代数中经常会碰到的。

它里面的向量可以用n 个坐标来表示，加法和数乘运算都没问题，妥妥的向量空间呀！然后呢，咱们讲讲向量空间在实际中的应用。

哎呀呀，这可不少呢！在物理学中，比如力、速度、位移等，都可以用向量来表示，而它们构成的空间就是向量空间啦。

在计算机图形学中，处理图像的变换、建模等，也都离不开向量空间的知识哟。

哇！讲了这么多，希望大家对高等代数中的向量空间定义和例子有了更深入的理解。

同学们，加油呀，把这些知识牢牢掌握，以后在学习和工作中可都能派上大用场呢！接着，咱们再深入探讨一下向量空间的一些拓展内容。

比如说，子空间的概念。

一个向量空间的一部分，如果它本身也满足向量空间的定义，那它就是原向量空间的子空间。

三 向量空间一、向量空间的定义线性代数是研究向量空间中的线性变换的理论．线性变换是实际运动的数学模型，变换的舞台就是向量空间． 向量空间是由线性变换自然定义的，因为线性变换L 是一个集合到另一个集合的映射，这个映射要满足（1）对于集合V 上任意向量u,v,有L(u+v)=L(u)+L(v) （2）对于集合V 上任意向量v 和任意实数k ，有 L(kv)=kL(v) 这个定义要求集合V 上的加法和数乘运算满足封闭性：即 （1）任意V v u ∈,，有V v u ∈+ （2）任意V u ∈，任意R k ∈，有V kv ∈我们把满足以上性质的集合V 称为向量空间．容易验证R ,2R ,3R ,n R 是向量空间．除了零向量空间外，其他所有向量空间V 的元素数量是无穷多的．我们希望找到V 的有限子集{n v v v ,,,2 1}（代表，委员会），它能够表达V 中任意向量．这里的表达就是指V 中任意向量v ，都存在实数n k k k ,,,2 1，使得n n v k v k v k v +++= 2211．定义1.1（线性组合）对于向量v ，如果存在向量组n v v v ,,,2 1和实数n k k k ,,,2 1使得 则称v 为n v v v ,,,2 1的线性组合，或者说v 可以由向量组n v v v ,,,2 1线性表示．定义1.2（生成集） 对于向量空间V ，如果其中任意向量都可以表达为向量组{n 21v ,,v ,v }的线性组合，则称向量组{n 21v ,,v ,v }是向量空间V 的生成集． 例1.1 2R 中任何向量都可以表达为两个向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,0121e e 的线性组合．所以{21,e e }为2R 的生成集．类似地，例1.2 3R 的生成集合为{321,,e e e }，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,010,001321e e e ．例1.3 n R 的生成集合为{n e e e ,,,21 }，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,,010,00121 n e e e ．有些向量空间并不好轻易看出其生成集．例1.4 验证Ax=0的解空间N(A)（又称为A 的零空间）为向量空间，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10120111A 时，求其生成集．解 U A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12101101~12100111~10120111，对应的方程组为其中21,x x 为主导变量，其余未知量43,x x 为自由变量．将自由变量移到等式的右侧，得到⎩⎨⎧+-=-=4324312x x x x x x ，分别令自由变量43,x x 为21,k k ，得到原方程的解为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101101210022212221112121214321k k k k k k k k k k k k k k x x x x ， 所以A 的零空间为 其中所以}{21,v v 为N(A)的生成集．生成集并不是唯一的．例1.5 向量空间3R 的一个生成集为{}321,,e e e ,其中 容易验证向量组{}321,,v v v 也是是3R 的生成集，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001,011,111321v v v ．我们称同一个向量空间的两组生成集是等价的．定义1.3（等价向量组） 设{}m u u u ,,,21 和{}n v v v ,,,21 是等价的，如果两组向量组能彼此相互线性表示．显然⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001,011,111321v v v 和⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,010,001321e e e 等价．等价的向量组未必含有数量相等的向量．比如⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001,011,111321v v v 和⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,100,010,001321u e e e 等价，但是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001,011,111321v v v 和⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,00121e e 不等价，因为存在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111v 无法由21,e e 线性表示．显然如果{}m u u u ,,,21 和{}n v v v ,,,21 等价，{}n v v v ,,,21 和{}k w w w ,,,21 等价，则{}m u u u ,,,21 和{}k w w w ,,,21 也是等价的．对于向量空间V 的等价的生成集，自然希望找到集合元素的数量尽可能少的生成集．这种生成集的一个特点是要求其中的向量间无关．二、向量相关性对于向量组n v v v ,,,21 ，如果存在某个向量可以由其他向量线性表示，则称这组向量是线性相关的，否则线性无关．正式地，定义2.1（线性相关和线性无关）对于向量组n v v v ,,,21 ，如果存在非零实数：n21x x x ,,, 使得0v x v x v x n n 2211=+++ ，则称向量n v v v ,,,21 线性相关．否则，如果方程组 只有零解，则称向量n v v v ,,,21 线性无关．线性相关从字面上看就是这些向量间存在某种线性的函数关系．以两个向量为例，如果21,v v 满足212v v =，则21,v v 线性相关．而向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,0121v v 一定线性无关．实际上两个向量线性相关和成比例是一回事．判别给定的向量的相关性就是看方程组0v x v x v x n n 2211=+++ 是否有非零解．为看出这个问题的本质，令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n n x x x x v v v A 2121),,,,(，则方程组0v x v x v x n n 2211=+++ 可以写成0=Ax ．由方程组理论知道，向量组n v v v ,,,21 相关就是0=Ax 有非零解，或者A 的行最简型U 有对应的自由变量（主导变量之外的未知量）．所以当U 的非零行数小于其列数时，相应的向量组线性相关．更简洁地，如果0=Ax 有非零解则A 的列向量相关，否则无关．例2.1 考察向量321,,v v v 的线性相关性，其中解 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=312321A 的行最简型的非零行数最多有2个，小于未知量个数n=3，从而齐次方程组0=Ax 一定有非零解，从而321,,v v v 一定线性相关．例2.2 利用等价定理验证321,,v v v 的相关性，其中从这个例子知道验证来自n R 的n 个向量n 21v ,v ,v , 线性无关的充要条件是)v ,v ,(v A n 21, =非奇异，或者说行列式0||≠A ．下面的一些命题证明很简单，但判断相关性时用处很大，记住． 命题1（1）相关;含有零的向量组必线性（2）；集必线性无关线性无关的向量组的子 （3）分量无关，则延展向量也无关．证明：（1）定义证明；（2）反证；（3）设分量矩阵为s A ，延展向量为A ．由于0=Ax 的任意解也满足0=x A s ．而s A 列无关，所以0=x A s 只有零解，所以0=x ，得证．命题2（重要等级*****） 设向量组}v ,,v ,{v n 21 是来自向量空间}u ,,u ,Span{u S m 21 =的任意m （<n ）个向量,则n 21v ,,v ,v 必线性相关．证明：记)u ,,u ,(u m 21 =A ，)v ,,v ,(v n 21 =B ，要证明}v ,,v ,{v n 21 线性相关，只需验证0=Bx 有非零解即可，事实上，由于}v ,,v ,{v n 21 可以由}u ,,u ,{u n 21 线性表示，表示记作j j Ak v =，令),,,(21n k k k K =，则AK B =，其中K 为n m ⨯矩阵．由于m<n ，所以0=Kx 为横型方程组，从而一定有非零x ˆ，满足0ˆ=x K ，从而0ˆˆ==x AK x B ，即}v ,,v ,{v m 21 线性相关．命题 3（重要等级****） 对向量组}v ,,v ,{v n 21 进行行变换（就是对矩阵)v ,,v ,(v n 21 =A 进行行变换）得到},u ,,u ,{u n 21 则}v ,,v ,{v n 21 和}u ,,u ,{u n 21 具有相同的相关性．证明：对A 行变换就是对A 左乘可逆阵B ，而对于可逆阵B ，齐次方程组0=Ax ，0=BAx 等价（就是同解），所以}v ,,v ,{v n 21 的线性关系与}u ,,u ,{u BA n 21 =的线性关系不变．换句话说，如果0=+++n n 2211v k v k v k ，则必有0=+++n n 2211u k u k u k ．这个结果在处理下面的古典问题中很实用．定义（最大无关组）给定向量组}v ,,v ,{v n 21 ，如果其子集满足（1）无关；（2）再增加一个向量就相关，则称该子集为向量组}v ,,v ,{v n 21 的最大无关组．例2.3 对于下面的向量组}u ,u ,u ,{u 4321的最大无关组，其中 并用最大无关组表示其他向量． 解显然其中的第一列，第二列和第四列线性无关，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=412u 132u ,324u 421,线性无关，所以最大无关组为}u ,u ,{u 421，且2133u u u -=2．有了以上的准备工作，下面开始研究向量空间中向量的表示问题：基和坐标．三、向量空间的基和坐标向量空间V 的最小生成集也叫V 的一组基．具体地，定义3.1（基）称S={n 21,v ,v ,v }为向量空间V 的一组基，如果（1）S={n 21,v ,v ,v }为V 的生成集；（2）n 21,v ,v ,v 线性无关．例 3.1 验证：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102,110,1111S 和⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,010,0012S 都是的基R 3，而⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,0013S 不是的基R 3．命题4 如果}v ,,v ,}和{v u ,,u ,{u n 21m 21 为向量空间S 的任意两组基，则m=n ． 证明： 是命题3（那个*****级命题） 的推论（如果m 大于n 则相关,矛盾）．也就是说向量空间的基向量的个数是固定的，称为向量空间的维数．定义3.2（向量空间的维数）向量空间V 的任意一组基，其中向量的数量称为V 的维数,记作dim(V).例3.2 3)所以dim(R ,102,110,111:的一个基为R 33=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛下面的命题不证明了． 命题 5 设dim(V)=n>0, 则:1.V 中任何n 个无关的向量一定是V 的生成集,从而是基.2.生成V 的任意n 个向量一定无关.3.数量少于n 的无关向量可以增加到n 个向量,形成V 的基.4.向量数量多于n 的支撑,一定可裁减到n 个向量,形成V 的基. 例3.3 已知3R 中的一组向量:从中找到3R 的一组基,并把其他向量表示为这组基的组合.命题6 对于向量空间V ，如果V 中任意向量都可以唯一表示为n 21v ,v ,v 的线性组合，则n 21v ,v ,v 一定线性无关．证明：反证法（结合定义自己证明），但直接证明也很简单，由于n 211v v v 0n x x x +++= 2表示的唯一性知道02====n x x x 1，从而n 21v ,v ,v 无关．命题7 对于向量空间V ，向量组{n 21v ,v ,v }为V 的一组基，则V 中任意向量都可以唯一表示为n 21v ,v ,v 的线性组合．表达系数就是该向量的坐标．定义 3.3（坐标）设向量空间V 的一组基为{n 21v ,,v ,v },v 是V 中任意向量，如果n n 2211v c v c v c v +++= ,则称表达系数向量T ),,,n 21c c (c 为v 关于基n 21v ,,v ,v 的坐标.例3.4 已知3T R (10,5,0)v ∈=，求该向量关于下面基的坐标 一个问题：一个向量关于不同基的坐标之间存在什么关系呢？定义3.4（过度阵） 设),,,(B ),,,,(A n 21n 21βββααα ==为V 的两组基，如果存在P 使B P =A ，称P 为由基),,,(A n 21ααα =到基),,,(B n 21βββ =的过度阵．过度阵一定存在且是可逆的，这是因为：证明 由于向量n 21,,,βββ 都可以表示为n 21,,,ααα 的线性组合，则存在P 使B P =A ．如果A 不可逆，则存在非零向量x ，使得Px=0，从而0==APx Bx ，即),,,(B n 21βββ =的列向量线性相关，矛盾．命题8（坐标转换公式） 设向量空间V 的两组基为),,,(B ),,,,(A n 21n 21βββααα ==,由基),,,(A n 21ααα =到基),,,(B n 21βββ =的过度阵为P,向量v 关于两组基的坐标分别为x 和y ，则Py x =．证明：按定义知道APy By Ax v ===，由坐标的唯一性知道Py x =． 例3.5 向量空间V 的两组基为)u ,u ,(u B ),v ,v ,(v A 321321==，其中 （1）计算由A 到B 的过度阵．解：由于B P =A ，且A ，B 都可逆，所以B A P 1-=．（2）关于B的坐标v 2v 3v 计算v 321-+=．解：由321v 2v 3v v -+=知道v 关于基A 的坐标⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=123x ，则有坐标转换公式知，v 关于B 的坐标Ax B x P y 11--==．下面求A B 1-．从而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1231A B y =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---358123*********，即v 关于B 的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-358．有了向量空间的基本理论，现在我们正式定义矩阵的秩，这个非常主要的概念．四、矩阵的行空间,列空间和矩阵的秩定义4.1 对于矩阵A ，记为行向量和列向量的形式有称):),(,,:),2(,:),1(()(T T T r m a a a Span A S =和),,,()(21n c a a a Span A S =分别为矩阵A 的行空间和列空间（注意行空间中元素也为列向量）．例3.6 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则其行空间和列空间相等，因为(A)S (A)S c r ==2R 例3.7 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010001A ，则该矩阵的行空间和列空间不等，这是因为(A)S (A)S c r ≠，但是它们之间一定有相同的东西．命题91、A).(E S (A)S 有 ,对于初等阵E k r r k =2、(BA)S (A)S 则 可逆,如果B r r =.3、((U))dim(S (A))dim(S U A r r =⇒~.所以矩阵的行空间就是行阶梯型的行空间;矩阵的行空间的维数就是行阶梯型的行空间的维数，就是其非零行数.命题10 (A))dim(S (A))dim(S r c ≥证明 记L (A)S dim r =，则U A ~，其中U 为行最简型，有L 行非零，首1所在的列无关，从而A 的相应列记为（L A ）也无关，从而(A).S dim )(A S dim (A)S dim r L C C ==≥L命题11 (A)dimS (A)S dim c r ≥证明：显然)(A'S dim (A)S dim c r =，而(A)S dim )(A'S dim )(A'S dim c r c =≥ 这样就有下面美丽定理： 定理 (A)dimR (A)dimR c r =定义（矩阵的秩）称矩阵A 的行（列）空间的维数为矩阵A 的秩，记为)(A R ．例3.8 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=741152321A ，求)(A R解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000510321~U A ，所以2)(=A R例3.9 已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=513521*********121121A ，确定)(A S c 的一组基． 解 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100000311007301~U A ，3(A)S dim 3R(A)c ==>=．又由于521a ,a ,a 线性无关，所以}a ,a ,{a 521为(A)S c 的一组基．命题12 n dimN(A)则R(A)设A有n列,=+证明 设r A R =)(，则A 的行最简型U 有r 个非零行，对应r 个主导变量和n-r 个自由变量，从而Ax=0的解空间的基向量个数为n-r （自由变量个数对应生成集中向量个数），即dim （A ）=n-r ．例3.10 证明R(B)}min{R(A),R(AB)≤证：由于Bx=0的解一定是Abx=0的解，所以N （AB ）包含N （B ），从而R （B ）>=R （AB ）．其他情况转置即可．推论：R(B).R(AB)如果A可逆,=(这是因为R(B)AB)R(A R(AB)R(B)-1=≥≥)．定义4.2（最大非零子式）对于矩阵A ，存在r 阶余子M 式不等于零，而更高阶余子式等于零，则称M 为最大非零子式．命题证明 1. 由于A 的秩为r,所以一定存在r 列无关向量,由这些列向量构成矩阵r A ,再由r A 的列空间和行空间维数相同,则r A 一定存在r 个无关的行向量,由这些行向量构成的矩阵rr A ,由于是方阵，行无关，所以可逆，从而得到r 阶非零子式||rr A .证明2.式不等于零,如果A存在一个r阶子则由包含相应r 阶子式对应的矩阵可逆，从而相应的列（或者行）向量无关（见命题1（3）），从而r A R ≥)(．证明3.反证法（由前两个结论容易证明，自己来吧）． 由此可以得到矩阵秩的等价定义：定义4.3（矩阵的秩的等价定义）称矩阵A 的秩为r ，如果A 的最大非零子式的阶为r ．例3.11 确定A 的一个最大非零子式，进而确定其秩，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=513521*********121121A解 由于行变换得到A =U ~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000100000311007301．所以A 的第一列、第二列和第五列构成的向量),,(5213a a a A =无关，转置得到从而知道⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=5422213210113TA 的前三列无关，得到最大非零子式410231221--- 来自⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=513521*********121121A 的第一列、第二列和第五列、第一行、第二行和第三行． 定义4.4（列满秩阵）称A为列满秩阵)的秩为n,a ,,(a 如果A n 1 =（显然这样的矩阵行数大于n ）． 例3.12 证明下面几个结论O.B O 且AB 1.A为列满秩阵,=⇒= 【乘法2，A （b1,b2,…,bn ）=0=>bi=0】 0同解.ABx O,则Bx 2.A为列满秩阵,==【显然】3．则A为列满秩阵,R(B)R(AB)=． 【利用命题:dimN(B)-n 则R(B)设B有n列,=】4. ()1)(,,0,02121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==≠≠C R b b b a a a ab C b a n n T 则 ．【C 的任意两列相关】 R(A)A)5.R(A'=． 【利用命题:dimN(A)-n 则R(A)设A有n列,=】。