第五章 向量空间(07.12)

高等数学教学教案第五章向量与空间解析几何授课序号012(x =b ，即b b a=，、向量的运算, 见图5-14. 以向量的终点为起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差()b -.设λ是一个数，向量a a λ=，方向与0a =是零向量；a a a λ=，方向与1=-时，(又设α、β、γ为与三坐标轴正向之间的夹角分别为向量a cos a α=cos a cos a 、cos γ称为向量a 的方向余弦，通常用它表示向量的方向(()21a x y y =--22xa a ++(aa=、数量积 给定向量a 与b ，我们做这样的运算：a 与b 及它们的夹角与，即cos cos a b a b a b α== Pr j Pr j a b b a b b a ==； 2cos ,a a a a a a a ⋅==；）若0a ≠，0b ≠，则0a b ⋅=⇔、向量积 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件：()()()y z z y x z z x x y y x a b a b i a b a b j a b a b k =---+-)x y zxyzi j k a a a j k a a a b b b += 向量的混合积(,x a a =a =a a cos AB θ=.定理2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和(()4,3,1M 、()7,1,2M 及例4设()111,,A x y z 和AM MB=，y 和z .例5 设3m=,4k j -(2) a b的夹角θ; (3)b.液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（液体的比重为ν都垂直的单位向量授课序号021212cos n n A A n n A B θ⋅==+)2-、(2 M授课序号03，其中(s m =12s s s s m ⋅=(),,A B C ，则n ，因此Am n +=.授课序号04。

三 向量空间一、向量空间的定义线性代数是研究向量空间中的线性变换的理论．线性变换是实际运动的数学模型，变换的舞台就是向量空间． 向量空间是由线性变换自然定义的，因为线性变换L 是一个集合到另一个集合的映射，这个映射要满足（1）对于集合V 上任意向量u,v,有L(u+v)=L(u)+L(v) （2）对于集合V 上任意向量v 和任意实数k ，有 L(kv)=kL(v) 这个定义要求集合V 上的加法和数乘运算满足封闭性：即 （1）任意V v u ∈,，有V v u ∈+ （2）任意V u ∈，任意R k ∈，有V kv ∈我们把满足以上性质的集合V 称为向量空间．容易验证R ,2R ,3R ,n R 是向量空间．除了零向量空间外，其他所有向量空间V 的元素数量是无穷多的．我们希望找到V 的有限子集{n v v v ,,,2 1}（代表，委员会），它能够表达V 中任意向量．这里的表达就是指V 中任意向量v ，都存在实数n k k k ,,,2 1，使得n n v k v k v k v +++= 2211．定义1.1（线性组合）对于向量v ，如果存在向量组n v v v ,,,2 1和实数n k k k ,,,2 1使得 则称v 为n v v v ,,,2 1的线性组合，或者说v 可以由向量组n v v v ,,,2 1线性表示．定义1.2（生成集） 对于向量空间V ，如果其中任意向量都可以表达为向量组{n 21v ,,v ,v }的线性组合，则称向量组{n 21v ,,v ,v }是向量空间V 的生成集． 例1.1 2R 中任何向量都可以表达为两个向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,0121e e 的线性组合．所以{21,e e }为2R 的生成集．类似地，例1.2 3R 的生成集合为{321,,e e e }，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,010,001321e e e ．例1.3 n R 的生成集合为{n e e e ,,,21 }，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,,010,00121 n e e e ．有些向量空间并不好轻易看出其生成集．例1.4 验证Ax=0的解空间N(A)（又称为A 的零空间）为向量空间，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10120111A 时，求其生成集．解 U A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12101101~12100111~10120111，对应的方程组为其中21,x x 为主导变量，其余未知量43,x x 为自由变量．将自由变量移到等式的右侧，得到⎩⎨⎧+-=-=4324312x x x x x x ，分别令自由变量43,x x 为21,k k ，得到原方程的解为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101101210022212221112121214321k k k k k k k k k k k k k k x x x x ， 所以A 的零空间为 其中所以}{21,v v 为N(A)的生成集．生成集并不是唯一的．例1.5 向量空间3R 的一个生成集为{}321,,e e e ,其中 容易验证向量组{}321,,v v v 也是是3R 的生成集，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001,011,111321v v v ．我们称同一个向量空间的两组生成集是等价的．定义1.3（等价向量组） 设{}m u u u ,,,21 和{}n v v v ,,,21 是等价的，如果两组向量组能彼此相互线性表示．显然⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001,011,111321v v v 和⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,010,001321e e e 等价．等价的向量组未必含有数量相等的向量．比如⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001,011,111321v v v 和⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,100,010,001321u e e e 等价，但是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001,011,111321v v v 和⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,00121e e 不等价，因为存在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111v 无法由21,e e 线性表示．显然如果{}m u u u ,,,21 和{}n v v v ,,,21 等价，{}n v v v ,,,21 和{}k w w w ,,,21 等价，则{}m u u u ,,,21 和{}k w w w ,,,21 也是等价的．对于向量空间V 的等价的生成集，自然希望找到集合元素的数量尽可能少的生成集．这种生成集的一个特点是要求其中的向量间无关．二、向量相关性对于向量组n v v v ,,,21 ，如果存在某个向量可以由其他向量线性表示，则称这组向量是线性相关的，否则线性无关．正式地，定义2.1（线性相关和线性无关）对于向量组n v v v ,,,21 ，如果存在非零实数：n21x x x ,,, 使得0v x v x v x n n 2211=+++ ，则称向量n v v v ,,,21 线性相关．否则，如果方程组 只有零解，则称向量n v v v ,,,21 线性无关．线性相关从字面上看就是这些向量间存在某种线性的函数关系．以两个向量为例，如果21,v v 满足212v v =，则21,v v 线性相关．而向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,0121v v 一定线性无关．实际上两个向量线性相关和成比例是一回事．判别给定的向量的相关性就是看方程组0v x v x v x n n 2211=+++ 是否有非零解．为看出这个问题的本质，令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n n x x x x v v v A 2121),,,,(，则方程组0v x v x v x n n 2211=+++ 可以写成0=Ax ．由方程组理论知道，向量组n v v v ,,,21 相关就是0=Ax 有非零解，或者A 的行最简型U 有对应的自由变量（主导变量之外的未知量）．所以当U 的非零行数小于其列数时，相应的向量组线性相关．更简洁地，如果0=Ax 有非零解则A 的列向量相关，否则无关．例2.1 考察向量321,,v v v 的线性相关性，其中解 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=312321A 的行最简型的非零行数最多有2个，小于未知量个数n=3，从而齐次方程组0=Ax 一定有非零解，从而321,,v v v 一定线性相关．例2.2 利用等价定理验证321,,v v v 的相关性，其中从这个例子知道验证来自n R 的n 个向量n 21v ,v ,v , 线性无关的充要条件是)v ,v ,(v A n 21, =非奇异，或者说行列式0||≠A ．下面的一些命题证明很简单，但判断相关性时用处很大，记住． 命题1（1）相关;含有零的向量组必线性（2）；集必线性无关线性无关的向量组的子 （3）分量无关，则延展向量也无关．证明：（1）定义证明；（2）反证；（3）设分量矩阵为s A ，延展向量为A ．由于0=Ax 的任意解也满足0=x A s ．而s A 列无关，所以0=x A s 只有零解，所以0=x ，得证．命题2（重要等级*****） 设向量组}v ,,v ,{v n 21 是来自向量空间}u ,,u ,Span{u S m 21 =的任意m （<n ）个向量,则n 21v ,,v ,v 必线性相关．证明：记)u ,,u ,(u m 21 =A ，)v ,,v ,(v n 21 =B ，要证明}v ,,v ,{v n 21 线性相关，只需验证0=Bx 有非零解即可，事实上，由于}v ,,v ,{v n 21 可以由}u ,,u ,{u n 21 线性表示，表示记作j j Ak v =，令),,,(21n k k k K =，则AK B =，其中K 为n m ⨯矩阵．由于m<n ，所以0=Kx 为横型方程组，从而一定有非零x ˆ，满足0ˆ=x K ，从而0ˆˆ==x AK x B ，即}v ,,v ,{v m 21 线性相关．命题 3（重要等级****） 对向量组}v ,,v ,{v n 21 进行行变换（就是对矩阵)v ,,v ,(v n 21 =A 进行行变换）得到},u ,,u ,{u n 21 则}v ,,v ,{v n 21 和}u ,,u ,{u n 21 具有相同的相关性．证明：对A 行变换就是对A 左乘可逆阵B ，而对于可逆阵B ，齐次方程组0=Ax ，0=BAx 等价（就是同解），所以}v ,,v ,{v n 21 的线性关系与}u ,,u ,{u BA n 21 =的线性关系不变．换句话说，如果0=+++n n 2211v k v k v k ，则必有0=+++n n 2211u k u k u k ．这个结果在处理下面的古典问题中很实用．定义（最大无关组）给定向量组}v ,,v ,{v n 21 ，如果其子集满足（1）无关；（2）再增加一个向量就相关，则称该子集为向量组}v ,,v ,{v n 21 的最大无关组．例2.3 对于下面的向量组}u ,u ,u ,{u 4321的最大无关组，其中 并用最大无关组表示其他向量． 解显然其中的第一列，第二列和第四列线性无关，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=412u 132u ,324u 421,线性无关，所以最大无关组为}u ,u ,{u 421，且2133u u u -=2．有了以上的准备工作，下面开始研究向量空间中向量的表示问题：基和坐标．三、向量空间的基和坐标向量空间V 的最小生成集也叫V 的一组基．具体地，定义3.1（基）称S={n 21,v ,v ,v }为向量空间V 的一组基，如果（1）S={n 21,v ,v ,v }为V 的生成集；（2）n 21,v ,v ,v 线性无关．例 3.1 验证：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102,110,1111S 和⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,010,0012S 都是的基R 3，而⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,0013S 不是的基R 3．命题4 如果}v ,,v ,}和{v u ,,u ,{u n 21m 21 为向量空间S 的任意两组基，则m=n ． 证明： 是命题3（那个*****级命题） 的推论（如果m 大于n 则相关,矛盾）．也就是说向量空间的基向量的个数是固定的，称为向量空间的维数．定义3.2（向量空间的维数）向量空间V 的任意一组基，其中向量的数量称为V 的维数,记作dim(V).例3.2 3)所以dim(R ,102,110,111:的一个基为R 33=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛下面的命题不证明了． 命题 5 设dim(V)=n>0, 则:1.V 中任何n 个无关的向量一定是V 的生成集,从而是基.2.生成V 的任意n 个向量一定无关.3.数量少于n 的无关向量可以增加到n 个向量,形成V 的基.4.向量数量多于n 的支撑,一定可裁减到n 个向量,形成V 的基. 例3.3 已知3R 中的一组向量:从中找到3R 的一组基,并把其他向量表示为这组基的组合.命题6 对于向量空间V ，如果V 中任意向量都可以唯一表示为n 21v ,v ,v 的线性组合，则n 21v ,v ,v 一定线性无关．证明：反证法（结合定义自己证明），但直接证明也很简单，由于n 211v v v 0n x x x +++= 2表示的唯一性知道02====n x x x 1，从而n 21v ,v ,v 无关．命题7 对于向量空间V ，向量组{n 21v ,v ,v }为V 的一组基，则V 中任意向量都可以唯一表示为n 21v ,v ,v 的线性组合．表达系数就是该向量的坐标．定义 3.3（坐标）设向量空间V 的一组基为{n 21v ,,v ,v },v 是V 中任意向量，如果n n 2211v c v c v c v +++= ,则称表达系数向量T ),,,n 21c c (c 为v 关于基n 21v ,,v ,v 的坐标.例3.4 已知3T R (10,5,0)v ∈=，求该向量关于下面基的坐标 一个问题：一个向量关于不同基的坐标之间存在什么关系呢？定义3.4（过度阵） 设),,,(B ),,,,(A n 21n 21βββααα ==为V 的两组基，如果存在P 使B P =A ，称P 为由基),,,(A n 21ααα =到基),,,(B n 21βββ =的过度阵．过度阵一定存在且是可逆的，这是因为：证明 由于向量n 21,,,βββ 都可以表示为n 21,,,ααα 的线性组合，则存在P 使B P =A ．如果A 不可逆，则存在非零向量x ，使得Px=0，从而0==APx Bx ，即),,,(B n 21βββ =的列向量线性相关，矛盾．命题8（坐标转换公式） 设向量空间V 的两组基为),,,(B ),,,,(A n 21n 21βββααα ==,由基),,,(A n 21ααα =到基),,,(B n 21βββ =的过度阵为P,向量v 关于两组基的坐标分别为x 和y ，则Py x =．证明：按定义知道APy By Ax v ===，由坐标的唯一性知道Py x =． 例3.5 向量空间V 的两组基为)u ,u ,(u B ),v ,v ,(v A 321321==，其中 （1）计算由A 到B 的过度阵．解：由于B P =A ，且A ，B 都可逆，所以B A P 1-=．（2）关于B的坐标v 2v 3v 计算v 321-+=．解：由321v 2v 3v v -+=知道v 关于基A 的坐标⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=123x ，则有坐标转换公式知，v 关于B 的坐标Ax B x P y 11--==．下面求A B 1-．从而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1231A B y =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---358123*********，即v 关于B 的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-358．有了向量空间的基本理论，现在我们正式定义矩阵的秩，这个非常主要的概念．四、矩阵的行空间,列空间和矩阵的秩定义4.1 对于矩阵A ，记为行向量和列向量的形式有称):),(,,:),2(,:),1(()(T T T r m a a a Span A S =和),,,()(21n c a a a Span A S =分别为矩阵A 的行空间和列空间（注意行空间中元素也为列向量）．例3.6 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则其行空间和列空间相等，因为(A)S (A)S c r ==2R 例3.7 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010001A ，则该矩阵的行空间和列空间不等，这是因为(A)S (A)S c r ≠，但是它们之间一定有相同的东西．命题91、A).(E S (A)S 有 ,对于初等阵E k r r k =2、(BA)S (A)S 则 可逆,如果B r r =.3、((U))dim(S (A))dim(S U A r r =⇒~.所以矩阵的行空间就是行阶梯型的行空间;矩阵的行空间的维数就是行阶梯型的行空间的维数，就是其非零行数.命题10 (A))dim(S (A))dim(S r c ≥证明 记L (A)S dim r =，则U A ~，其中U 为行最简型，有L 行非零，首1所在的列无关，从而A 的相应列记为（L A ）也无关，从而(A).S dim )(A S dim (A)S dim r L C C ==≥L命题11 (A)dimS (A)S dim c r ≥证明：显然)(A'S dim (A)S dim c r =，而(A)S dim )(A'S dim )(A'S dim c r c =≥ 这样就有下面美丽定理： 定理 (A)dimR (A)dimR c r =定义（矩阵的秩）称矩阵A 的行（列）空间的维数为矩阵A 的秩，记为)(A R ．例3.8 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=741152321A ，求)(A R解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000510321~U A ，所以2)(=A R例3.9 已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=513521*********121121A ，确定)(A S c 的一组基． 解 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100000311007301~U A ，3(A)S dim 3R(A)c ==>=．又由于521a ,a ,a 线性无关，所以}a ,a ,{a 521为(A)S c 的一组基．命题12 n dimN(A)则R(A)设A有n列,=+证明 设r A R =)(，则A 的行最简型U 有r 个非零行，对应r 个主导变量和n-r 个自由变量，从而Ax=0的解空间的基向量个数为n-r （自由变量个数对应生成集中向量个数），即dim （A ）=n-r ．例3.10 证明R(B)}min{R(A),R(AB)≤证：由于Bx=0的解一定是Abx=0的解，所以N （AB ）包含N （B ），从而R （B ）>=R （AB ）．其他情况转置即可．推论：R(B).R(AB)如果A可逆,=(这是因为R(B)AB)R(A R(AB)R(B)-1=≥≥)．定义4.2（最大非零子式）对于矩阵A ，存在r 阶余子M 式不等于零，而更高阶余子式等于零，则称M 为最大非零子式．命题证明 1. 由于A 的秩为r,所以一定存在r 列无关向量,由这些列向量构成矩阵r A ,再由r A 的列空间和行空间维数相同,则r A 一定存在r 个无关的行向量,由这些行向量构成的矩阵rr A ,由于是方阵，行无关，所以可逆，从而得到r 阶非零子式||rr A .证明2.式不等于零,如果A存在一个r阶子则由包含相应r 阶子式对应的矩阵可逆，从而相应的列（或者行）向量无关（见命题1（3）），从而r A R ≥)(．证明3.反证法（由前两个结论容易证明，自己来吧）． 由此可以得到矩阵秩的等价定义：定义4.3（矩阵的秩的等价定义）称矩阵A 的秩为r ，如果A 的最大非零子式的阶为r ．例3.11 确定A 的一个最大非零子式，进而确定其秩，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=513521*********121121A解 由于行变换得到A =U ~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000100000311007301．所以A 的第一列、第二列和第五列构成的向量),,(5213a a a A =无关，转置得到从而知道⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=5422213210113TA 的前三列无关，得到最大非零子式410231221--- 来自⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=513521*********121121A 的第一列、第二列和第五列、第一行、第二行和第三行． 定义4.4（列满秩阵）称A为列满秩阵)的秩为n,a ,,(a 如果A n 1 =（显然这样的矩阵行数大于n ）． 例3.12 证明下面几个结论O.B O 且AB 1.A为列满秩阵,=⇒= 【乘法2，A （b1,b2,…,bn ）=0=>bi=0】 0同解.ABx O,则Bx 2.A为列满秩阵,==【显然】3．则A为列满秩阵,R(B)R(AB)=． 【利用命题:dimN(B)-n 则R(B)设B有n列,=】4. ()1)(,,0,02121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==≠≠C R b b b a a a ab C b a n n T 则 ．【C 的任意两列相关】 R(A)A)5.R(A'=． 【利用命题:dimN(A)-n 则R(A)设A有n列,=】。

向量空间的基本性质与判定定理向量空间是线性代数中的重要概念，它有一些基本的性质和判定定理。

本文将介绍向量空间的定义、基本性质和判定定理，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。

一、向量空间的定义向量空间是一种包含了向量的集合，满足特定的运算规则和性质。

具体而言，向量空间要满足以下三个条件：1. 封闭性：对于向量空间V中的任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v也属于V。

2. 结合律：对于向量空间V中的任意三个向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。

3. 数乘结合律：对于向量空间V中的任意标量c和任意向量v，有c(v+u)=cv+cu。

二、向量空间的基本性质1. 零向量：向量空间V中存在一个特殊的向量0，称为零向量，满足对于任意向量v，v+0=v。

2. 负向量：对于向量空间V中的任意向量v，存在一个唯一的向量-v，满足v+(-v)=0。

3. 唯一性：向量空间V中的零向量和负向量是唯一的，即只有一个零向量和一个负向量。

三、向量空间的判定定理判定一个集合是否构成向量空间的基本手段是验证其是否满足向量空间的定义和基本性质。

除此之外，还有一些判定定理可以用来简化判定过程。

1. 零向量的存在性：一个集合构成向量空间的必要条件是存在一个零向量。

2. 加法逆元的存在性：一个集合构成向量空间的必要条件是每个向量都存在一个加法逆元。

3. 闭性的必要性：一个集合构成向量空间的必要条件是对于任意两个向量，它们的线性组合也属于该集合。

4. 向量空间的非空性：一个集合构成向量空间的充分必要条件是该集合非空。

5. 零乘法：如果向量空间中允许定义零向量与非零向量相乘且结果为零向量，那么该集合不构成向量空间。

四、向量空间的重要性向量空间的概念不仅仅在数学中具有重要性，也被广泛应用于物理学、计算机科学和工程学等领域。

在物理学中，向量空间可以用来描述物体的运动和力的作用；在计算机科学中，向量空间可以用来表示文本、图像等信息；在工程学中，向量空间可以用来描述电路和信号处理等问题。

高一数学下第5章《空间向量及其运算》解析及答案巩固基础一、自主梳理1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量运算的推广.2.平行于同一平面的向量叫做共面向量,如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是:存在唯一的实数对x 、y,使p =x a +y b .3.空间向量基本定理:如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序数组x 、y 、z,使p =x a +y b +z c .{a,b,c }叫做空间的一个基底,a 、b 、c 叫做基向量,(x,y,z)叫做p 关于基底{a,b,c }的坐标.4.把|a||b|cos 〈a,b 〉叫做向量a 、b 的数量积,记作a·b ,即a·b =|a|·|b|cos 〈a,b 〉,其性质有:(1)a ⊥b ⇔a ·b =0;(2)cos 〈a,b 〉=||||b a ba ∙(a 、b 均为非零向量); (3)a 2=a ·a =|a |2; (4)|a ·b |≤|a |·|b |.二、点击双基1.在以下四个式子中正确的有( ) a+b·c a·(b·c) a(b·c) |a·b|=|a||b| A.1个 B.2个 C.3个 D.0个解析:根据数量积的定义，b·c 是一个实数，a+b·c 无意义.实数与向量无数量积,故a·(b·c)错，|a·b|=|a ||b ||cos 〈a,b 〉|，只有a(b·c)正确. 答案:A2.设向量a 、b 、c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是( ) A.{a+b,b-a,a } B.{a+b,b-a,b } C.{a+b,b-a,c } D.{a+b+c,a+b,c }解析:由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c 不共面,故可作为空间的一个基底, 故选C 。

第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。

1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。

方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。

常用有向线段表示向量。

A 点叫起点，B 点叫终点，向量。

模为1的向量称为单位向量。

2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。

记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。

称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。

记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。

向量空间的定义和基本性质向量空间是现代代数学的一个重要分支，与线性代数、函数论、微积分等领域有着紧密的联系。

本文将介绍向量空间的定义及其基本性质。

一、向量空间的定义向量空间是指一个非空集合V及定义在其上的加法和数乘两种运算，满足以下条件：1. 加法满足结合律、交换律和存在零元素的性质。

2. 数乘满足分配律和结合律，并且存在单位元素1。

3. 两种运算满足对于任意的向量u、v和任意的标量a、b，有如下运算规则：（a+b）u = au + bua（u+v）= au + av(ab)u = a(bu)1u = u其中，u、v为V中的向量，a、b为标量。

二、向量空间的基本性质1. 向量空间存在唯一的零元素和相反元素对于V中任意向量v，存在对应的相反元素-v，满足v+（-v）=0。

而0是唯一的零元素，满足对于任意的向量v，v+0=v。

2. 向量空间存在唯一的单位元素单位元素指的是满足1v=v的向量1，它是唯一的。

3. 向量空间中的线性组合向量空间中的线性组合指的是将向量v、w按照一定比例组合得到的新向量，即av+bw。

其中a、b为标量。

线性组合具有封闭性，即对于任意的v、w和标量a、b，有av+bw仍然属于向量空间V。

4. 向量空间的维数向量空间的维数是指该空间中线性无关向量的个数，记作dimV。

如果一组向量v1、v2、...、vn线性无关，则称它们为向量空间的一组基底。

任意向量都可以表示为这组基底的线性组合。

5. 向量空间的子空间向量空间的子空间指的是一个向量空间中的子集，也是一个向量空间。

它必须满足以下条件：1）包含零向量；2）封闭于加法和数乘。

6. 向量空间的同构如果两个向量空间V和W之间存在一个一一映射f，使得V中的任意向量v和w都有唯一的对应关系，同时满足运算规则，即f （v+w）= f(v)+f(w)和f(av)=af(v)，则称向量空间V与W同构。

7. 向量空间的直和向量空间的直和指的是由两个向量空间V和W所组成的向量空间V+W，满足以下条件：1）任意向量都可以表示为v+w的形式，其中v属于V，w属于W；2）V和W的交集只包含零元素。

第五节 向量空间分布图示★ 向量空间★ 例1★ 例2★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 子空间 ★ 例6 ★ 例7 ★ 向量空间的基与维数 ★ 例8★ 例9★ 向量在基下的坐标 ★ 例10★ 关于集合的坐标系的注记 ★ 例11 ★ 3R 中的坐标变换公式 ★ 例12★ 例13★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题3-5内容要点一、向量空间与子空间定义1 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即(1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间.记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间.注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间;2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面;1=n 时, 一维向量空间1R 表示数轴.3>n 时, nR 没有直观的几何形象.定义2 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ⊂, 则称1V 是2V 的子空间.二、向量空间的基与维数定义3 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足(1) r αα,,1 线性无关;(2) V 中任一向量都可由r αα,,1 线性表示.则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间.注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基;(2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩;(3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为}.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ 此时, V 又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间. 故数组r λλ,,1 称为向量x 在基r αα,,1 中的坐标.注: 如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为,2211r r a a a x λλλ+++=数组r λλλ,,,21 称为向量x 在基r a a a ,,,21 中的坐标.特别地, 在n 维向量空间n R 中取单位坐标向量组n e e e ,,,21 为基,则以n x x x ,,,21 为分量的向量x ,可表示为,2211n n e x e x e x x +++=可见向量在基n e e e ,,,21 中的坐标就是该向量的分量. 因此n e e e ,,,21 叫做n R 中的自然基.关于集合的坐标系的注记一个集合的坐标系就是这个集合中点到n R 的一对一映射. 例如,在图纸上取定互相垂直的两条轴及每条轴上的单位长度,就构成了平面的一个坐标系. 图3-5-2绘出了标准基12,εε,以及上述例子中的向量112(),αεα=和()1,6x =. 坐标1和6给出了x 关于标准基的位置:1ε方向上1个单位,2ε方向上6个单位.图3-5-3也绘出了图3-5-2中的向量12,αα和x . 从几何上看,在两幅图中,这3个向量都位于一条竖线上. 不过,图3-5-3标准坐标系被抹去了,换成了用上例中的基做成的坐标系. 坐标向量()T2,3-给出了在新坐标系下x 的位置:1α方向上-2个单位,2α方向上3个单位.图3-5-2 图3-5-3三、3R 中坐标变换公式在3R 中取定一个基321,,ααα, 再取一个新基321,,βββ, 设),,,(321ααα=A ),,(321βββ=B求用321,,ααα表示321,,βββ的表示式(基变换公式), 并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).因 ,),,(),,(321321A a a a εεε= .),,(),,(1321321-=A a a a εεε 故 ,),,(),,(),,(1321321321B A a a a B -==εεεβββ 即基变换公式为,),,(),,(321321P a a a =βββ其中表示式的系数矩阵B A P 1-=称为从旧基到新基的过渡矩阵.设向量x 在旧基和新基中的坐标分别为321,,x x x 和321,,x x x ''', 即 ,),,(,),,(321321321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x βββααα故 ,321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x B x x x A 得 ,3211321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-x x x A B x x x 即 ,321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x P x x x 或 .3211321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-x x x P x x x 这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式.注：这里，我们仅介绍了3R 中的基变换公式、坐标变换公式和过渡矩阵的概念，更一般的情况，我们将在第六章中介绍.例题选讲例1 (E01) 判别下列集合是否为向量空间},,|),,,0({221R x x x x x V n Tn ∈==解 1V 是向量空间. 因为对于1V 的任意两个元素,,,,T n a a )0(2 =α,,,,12)0(V b b Tn ∈= β有122)0(V b a b a T n n ∈++=+,,, βα.,,,12)0(V a a T n ∈=λλλα例2 (E02) 判别下列集合是否为向量空间},,|),,,1({222R x x x x x V n Tn ∈==解 2V 不是向量空间.因为若,,,,,22)1(V a a T n ∈= α 则.,,,,22)222(2V a a T n ∉= α例3 (E03) 设βα,为两个已知的n 维向量, 集合},|{R V ∈+==μλμβλαξ试判断集合V 是否为向量空间.解 V 是一个向量空间. 因为若,111βμαλξ+=,222βμαλξ+= 则有,)()(212121V ∈+++=+βμμαλλξξ ,)()(111V k k k ∈+=βμαλξ 即V 关于向量的线性运算封闭.这个向量空间称为由向量βα,所生成的向量空间.注: 通常由向量组m a a a ,,,21 所生成的向量空间记为}.,,,|{212211R a a a V m m m ∈+++==λλλλλλξ例4 (E04) 设向量组m αα,,1 与向量组s ββ,,1 等价, 记},,,|{},,,|{21221122122111R V R V s s s m m m ∈+++==∈+++==μμμβμβμβμξλλλαλαλαλξ试证: .21V V =证 设,1V ∈ξ 则ξ可由m αα,, 1线性表示.因m αα,, 1可由s ββ,, 1线性表示,故ξ可由s ββ,, 1线性表示.2V ∈ξ 这就是说，若,1V ∈ξ则2V ∈ξ.21V V ⊂类似地可证:若,2V ∈ξ则1V ∈ξ.12V V ⊂ 因为,21V V ⊂,12V V ⊂所以.21V V =例5 (E05) 考虑齐次线性方程组0=Ax ,全体解的集合为}0|{==ααA S显然, S 非空),0(S ∈ 任取k S ,,∈βα为任一常数, 则Sk k kA k A S A A A ∈===∈+=+=+αααβαβαβα即即,00)(,0)(故S 是一向量空间. 称S 为齐次线性方程组0=AX 的解空间.例6 (E06) 3R 中过原点的平面是3R 的子空间 证明 3R 中过原点的平面可以看作集合()(){}33,,0,,,V R x y z x y z Rαβγαβγ=∈++=∈其中若()111,,V αβγ∈,()222,,V αβγ∈,即1112220,0x y z x y z αβγαβγ++=++=则有121212111()()()0,0x y z k x k y k z ααββγγαβγ+++++=++=即 ()()111222,,,,V αβγαβγ+∈,()111,,k V αβγ∈ 故3R 中过原点的平面是3R 的子空间例7 (E07) 向量空间2R 不是3R 的子空间,因为2R 根本不是3R 的子集(3R 中的向量有三个分量,但2R 中的分量却只有两个). 集合(){},,0,H s t s tR=∈ 是3R 的与2R 有相同表现的子集,尽管严格意义上H 不同于2R ,见右图. 证明H 是3R 的子空间.证明 任取()()1122,,0,,,0s t s t H ∈,k 为任一常数,则()()1122,,0,,0s t s t H+∈, ()11,,0k s t H ∈因此H 是3R 的子空间.例8 (E08) 证明单位向量组,)1,,0,0,0(,)0,,0,1,0(,)0,,0,0,1(21Tn T T ===εεε是n 维向量空间n R 的一个基.证 (1)易见n 维向量组n εεε,,, 21线性无关;(2)对n 维向量空间n R 中的任意一向量,,,,T n a a a )(21 =α有,n n a a a εεεα+++= 2211 即n R 中的任意一向量都可由初始向量线性表出. 因此，向量组,,21εεn ε, 是n 维向量空间nR 的一个基.例9 (E09) 给定向量TT T T )3,1,1(,)1,3,2(,)5,3,1(,)1,4,2(321=-=-=-=βααα试证明:向量组321,,ααα是三维向量空间3R 的一个基, 并将向量β用这个基线性表示.证 令矩阵,,,)(321ααα=A 要证明321ααα,,是3R 的一个基，只需证明;E A → 又设332211αααβx x x ++=或β=Ax 则对)(βA进行初等行变换,当将A 化为单位矩阵E 时，同时将向量β化为.β1-=A X=)(βA⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---315113341212行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41010104001 故向量组321ααα,,是3R 的一个基，且.32144αααβ+-=例10 (E10) 考虑2R 的一个基12,αα,其中()()TT121,0,1,2αα==,若2R 的一向量x 在基12,αα的坐标为()T2,3-,求x . 又若()T4,5y =,试确定向量y 在基12,αα的坐标.解 结合x 在基12,αα的坐标构造x ,即111(2)3026x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设y 在基12,αα的坐标为()T12,λλ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54210121λλ 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54201121c c 该方程可以通过增广矩阵上的行变换或利用等号左边矩阵的逆来求解. 无论哪种方法,都能得到方程的解1235,22λλ==. 因此123522y αα=+.例11 (E11) 设()()()TTT123,6,2,1,0,1,3,12,7.v v x ==-=判断x 是否属于由12,v v 生成的向量空间. 如果是, 求出x 在12,v v 中的坐标.解 如果x 是属于由12,v v 生成的向量空间,则下列向量方程是有解的:123136012217λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭若12,λλ存在,它们应该是x 在12,v v 中的坐标. 利用行变换可得 3131026012013217000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此122,3λλ==.例12 设3R 中的两个基分别为.401,110,013,201,110,011321321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββααα(1) 求从基321,,ααα到基321,,βββ过渡矩阵;(2) 求坐标变换公式;(3) ,212⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 求α在这两组基下的坐标.解 （1）设,,,,,P )()(321321αααβββ===)(321βββ,,B , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103==)(321ααα,,A . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101 所以.B A P 1-=下面用初等行变换求.B A 1-=)(B A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-410210011011103101 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----410210112110103101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----32210112110103101 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----32210234010225001故所求的过渡矩阵为==-B A P 1. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----322234225（2）由（1）的结果，可直接写出坐标变换公式：. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321322234225x x x x x x（3）先求α在321βββ,,下的坐标.设332211βββαx x x '+'+'=)(321βββ,,=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''321x x x B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''321x x x 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''321x x x ,α1-=B 现用初等行变换求.α1-B B (=)α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛241010112103 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13/51024101011 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛13/51013/601013/7001所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''321x x x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛13/513/613/7为α在321βββ,,下的坐标. 而α在基321ααα,,下的坐标为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''321x x x =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----13/513/613/7322234225131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----567322234225131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13013=. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101例13 (E12) 设321,,ααα为三维线性空间的一个基, 而321,,βββ,与321,,γγγ, 为V 中两个向量组, 且⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=⎪⎩⎪⎨⎧+=-=++=32133212321131331232113434322,αααγαααγαααγααβααβαααβ (1) 验证321,,βββ及321,,γγγ都是V 的基;(2) 求由321,,βββ到321,,γγγ的过渡矩阵; (3) 求坐标变换公式. 解 （1）)()(321321αααβββ,,,,= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111001111B )(321ααα,,= )()(321321αααγγγ,,,,=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛341432321C )(321ααα,,= 由于,0≠B 故B 为可逆矩.而321ααα,,为V 的基，故321βββ,,线性无关.所以321βββ,,为三维向量空间V 的一个基.同理由0||≠C 知321γγγ,,是V 的基. （2） 由（1）知，=)(321βββ,,,),,(321B ααα从而,,,,,1321321)()(-=Bβββααα.,,,,,,C B C 1321321321)()()(-==βββαααγγγ所以，从321βββ,,到321γγγ,,的过渡矩阵为=-C B 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3414323211110011111=. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101010432 （3）坐标变换公式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---321101010432x x x课堂练习1.设向量组,)14,2(,)0,2,2(,)1,0,1(:321T T T A -===ααα向量组.)4,4,2(,)4,2,1(:21T T B -=-=ββ试证明向量组A 是三维向量空间3R 的一个基,并将向量组B 用这个基线性表示.。