障碍期权的定价问题

金融工程练习题及答案一、单项选择1、下列关于远期价格和远期价值的说法中，不正确的是：（B）B．远期价格等于远期合约在实际交易中形成的交割价格2.在衍生证券定价中，用风险中性定价法，是假定所有投资者都是(C)。

C.风险无所谓的3.金融工具合成是指通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有(A)。

A.相同价值4.远期价格是(C)。

C.使得远期合约价值为零的交割价格5.无收益资产的美式期权和欧式期权比较(A)。

A.美式期权价格大于欧式期权价格6.无收益资产欧式看跌期权的价格上限公式是(C)。

C.p某er(Tt)7.在期货交易中，基差是指（B）。

B.现货价格与期货价格之差8.无风险套利活动在开始时不需要（B）投入。

B.任何资金9.金融互换具有(A)功能。

A.降低筹资成本10.对利率互换定价可以运用(A)方法。

A.债券组合定价11.期货价格和远期价格的关系（A)。

A.期货价格和远期价格具有趋同性12.对于期权的买者来说，期权合约赋予他的（C）。

C.只有权利而没有义务13.期权价格即为(D)。

D.内在价值加上时间价值14.下面哪一因素将直接影响股票期权价格(B)。

B.股票价格的波动率15.无收益资产的欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系为(A)。

A.c某er(Tt)p16、假设有两家公司A和B，资产性质完全一样，但资本结构不同，在MM条件下，它们每年创造的息税前收益都是1000万元。

A的资本全部由股本组成，共100万股（设公司不用缴税），预期收益率为10%。

B公司资本中有4000万企业债券，股本6000万，年利率为8%，则B公司的股票价格是（A）元A、10017、表示资金时间价值的利息率是（C）C、社会资金平均利润率18.金融工程的复制技术是（A）。

A.一组证券复制另一组证券19、金融互换的条件之一是(B)。

B.比较优势20、期权的内在价值加上时间价值即为(D)。

D.期权价值21、对于期权的卖者来说，期权合约赋予他的（D）。

期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。

期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。

BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。

该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。

该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。

通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。

BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。

有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。

与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。

该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。

通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。

二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。

无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。

其中，最关键的参数是标的资产的波动率。

波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。

根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。

其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。

需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。

实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。

因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。

总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。

BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。

金融数学_常州工学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在BS模型中，在其他参数不变的情况下，看跌期权的价格关于波动率，是严格单调递增的。

（）参考答案:正确2.计算期权价格的时候是从期初支付往终端算。

（）参考答案:错误3.障碍期权和欧式期权都具有路径依赖性。

（）参考答案:错误4.一份普通欧式期权的Gamma大于零。

（）参考答案:正确5.欧式看跌期权的价格上限是执行价格。

（）参考答案:错误6.无套利原理是指：在一个有效运行的金融市场中，套利机会不可能（长时间）存在。

（）参考答案:正确7.远期价格总是围绕着远期价值上下波动。

（）参考答案:错误8.二叉树定价的看涨期权价格与物理测度下资产价格上涨概率p的大小有关系。

（）参考答案:错误9.标的资产的价格波动是影响衍生品价格的重要因素。

（）参考答案:正确10.以下说法错误的有（）。

参考答案:若以ln(K/Ft)为横坐标，波动率微笑曲线平价点右边的点通常对应着虚值看跌期权_由于期限越长，不确定性越高，因此隐含波动率期限结构总是向上倾斜的_波动率曲面分为隐含波动率曲面和实际波动率曲面_若以ln(K/Ft)为横坐标，波动率微笑曲线平价点左边的点通常对应着虚值看涨期权11.BS模型包括下列哪些前提假设（）。

参考答案:标的资产价格服从几何布朗运动_证券允许卖空_证券可以任意分割且交易没有成本_市场上不存在无风险套利机会12.使用风险中性定价法的前提包括（）。

参考答案:可以自由卖空_没有套利机会_没有交易成本13.假设W是标准布朗运动，在随机微积分的计算中，下列哪些计算规则是正确的（）参考答案:dt * dt = 0_dw * dw= dt_dt * dw =014.B-S期权定价方程求解的思路是（）。

参考答案:热扩散方程15.从交易层面来看，属于零和游戏的有（）。

参考答案:互换_期货_期权16.金融产品今天的价值，应该等于未来收益的贴现。

（）参考答案:正确17.Vasicek模型是一个满足均值回复特征的随机利率模型。

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。

近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。

蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。

下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。

蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。

在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。

在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。

常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。

然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。

通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。

在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。

路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。

路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。

蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。

例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。

在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。

此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。

总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。

它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。

蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。

蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。

首先是欧式期权定价。

欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。

蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。

基于障碍期权的贷款保险定价研究张耀杰;史本山【摘要】现有的贷款保险定价模型通常忽略了违约门槛和提前违约对贷款损失的影响.本文基于障碍期权中的向下敲入看跌期权,将这两个重要因素纳入到了新的贷款保险定价模型中.进一步,本文通过蒙特卡洛模拟的方法,给出了贷款保险敲入概率和敲入时间点的估计过程.此外,本文将新构建的贷款保险定价模型应用于实际中,并进行了实证分析.结果表明,违约门槛的上升会提高贷款保险的定价水平和敲入概率,并导致更早的敲入时间点.而银行降低对企业违约情况的观察频率会引起贷款保险的价值损失.【期刊名称】《运筹与管理》【年(卷),期】2018(027)006【总页数】8页(P148-155)【关键词】贷款保险;障碍期权;向下敲入看跌期权;违约门槛;敲入时间点【作者】张耀杰;史本山【作者单位】西南交通大学经济管理学院,四川成都 610031;西南交通大学经济管理学院,四川成都 610031【正文语种】中文【中图分类】F830;F8400 引言中国已于2015年5月1日建立并实施了存款保险制度。

这有利于保护存款人利益，预防银行挤兑现象，从而增强整个社会金融体系的稳定性。

然而，相比于存款，银行贷款的信用风险更加严重。

目前为止，国内鲜有商业银行破产而不能偿付个人存款的例子。

但借款企业因经营不善等问题而导致的贷款违约现象却屡见不鲜。

杨志鸿和欧明刚[1]根据银监会提供的数据发现，近年来我国商业银行的不良贷款余额和不良贷款率均在不断上升，严重影响商业银行的风险管理质量。

因此，银行贷款的风险管理和控制是十分有必要的。

国外通常建立部分信用担保(Partial Credit Guarantee)制度来控制和管理信贷风险[2～5]。

然而，国内正在尝试用贷款保险的方式来规避贷款风险。

在一个贷款保险中，投保方(借款方或放贷方)需要向保险方(如保险公司或其他大型的金融担保机构)支付一定的保费以获得相应贷款信用的保护；当借款方违约时，保险方有责任向放贷方赔付相应的贷款损失。

双障碍期权的定价问题王杨;张寄洲;傅毅【摘要】根据初始股票价格S0的位置将双障碍期权划分为两大类,研究了双障碍期权的定价问题,发现双障碍期权或由一份单障碍期权和一份双边敲出期权组合而成或由两份单障碍期权组合而成,从而将双障碍期权的定价问题转化为单障碍期权和双边敲出期权的定价问题.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)004【总页数】8页(P347-354)【关键词】双障碍期权;单障碍期权;期权定价【作者】王杨;张寄洲;傅毅【作者单位】上海师范大学数理学院,上海,200234;上海师范大学数理学院,上海,200234;上海师范大学数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】F830.90 引言自20世纪60年代末, 市场上出现障碍期权交易后,障碍期权的发展便一发不可收. 据统计, 1992年以来,障碍期权的规模以每年两倍的速度增加,正如Carr[1]所说:“标准障碍期权现在是无处不在，很难想象它们是变异的”.随着障碍期权的快速发展, 迫切需要对障碍期权进行理论研究,障碍期权的定价研究无论是理论上还是现实市场上都具有重要的价值.到目前为止, 障碍期权的种类已超过数十种. 双障碍期权便是其中的一种,顾名思义,双障碍期权是指拥有两个障碍-上障碍U和下障碍L 的一种特殊的期权.文献[2]讨论了下降敲出双障碍期权的定价,文献[3]讨论了上升敲入但下降敲出双障碍期权的定价,本文作者参考了文献[2]和文献[3]的思想方法,对双障碍期权的定价问题进行了系统而全面的研究,根据初始股票价格S0的位置将10种双障碍期权划分为两大类来讨论.得出上升敲入双障碍期权、上升敲出双障碍期权、下降敲入双障碍期权和下降敲出双障碍期权是由两个单障碍期权组合而成,从而这些期权的定价问题便转化为两个单障碍期权的定价问题;并得出下降敲入但上升敲出双障碍期权、上升敲入但下降敲出双障碍期权、下降敲出但上升敲入双障碍期权和上升敲出但下降敲入双障碍期权是由一份单障碍期权和一份双边敲出双障碍期权组合而成,从而这些期权的定价问题便转化为对单障碍期权和双边敲出双障碍期权的定价问题.在本文中并未直接去求解这10种双障碍期权的定价方程,而是将双障碍期权的定价问题转换为我们已经熟知的单障碍期权的定价问题,从而大大简化了问题.1 股票价格不在两个障碍之间本节考虑初始股票价格S0不位于两个障碍之间的情况.这种情况下,可细分为4种双障碍期权(见图1).本节中将逐一研究这4种双障碍期权的定价问题.图 1 股票价格S0不在两个障碍之间定义1.1 上升敲入期权(S0<L<U)是指如果股票价格S在期权有效期内未达到下障碍L, 则期权价值为0; 如果股票价格S在期权有效期内触及下障碍L但未触及上障碍U,则期权的最终收益为f1(ST); 如果股票价格S在到期日前触及上障碍U, 则期权的最终收益为f2(ST)，即定义1.2 上升敲出期权(S0<L<U)是指如果股票价格S在期权有效期内未达到下障碍L,则期权的最终收益为f1(ST);如果S在到期日前触及下障碍L但未触及上障碍U,则期权的最终收益为f2(ST); 如果S在到期日前触及上障碍U,则期权价值为0,即定义1.3 下降敲入期权(L<U<S0)是指如果股票价格S在期权有效期内未达到上障碍U, 则期权价值为0;如果股票价格 S在期权有效期内触及上障碍U但未触及下障碍L,则期权的最终收益为f1(ST); 如果股票价格S在到期日前触及下障碍L, 则期权的最终收益为f2(ST),即定义1.4 下降敲出期权(L<U<S0)下降敲出期权是指如果股票价格S在期权有效期内未达到上障碍U,则期权的最终收益为f1(ST);如果S在到期日前触及上障碍U但未触及下障碍L,则期权的最终收益为f2(ST); 如果股票价格S在到期日前触及下障碍L, 则期权价值为0,即下面对这4种双障碍期权进行定价.(1) 上升敲入期权构造两个上升敲入的单障碍期权V1和V2：从下表中不难发现上升敲入双障碍期权V(S,t)=V1(S,t)+V2(S,t),即上升敲入双障碍期权是由两个上升敲入单障碍期权组合而成,从而可把上升敲入双障碍期权的定价问题转化为两个上升敲入单障碍期权的定价问题.表 1 上升敲入期权St<LL ≤St<USt≥ U V1(S,T)0f1(ST)f1(ST)V2(S,T)00f2(ST)-f1(ST)(V1+V2)(S,T)0f1(ST)f2(ST)V(S,T)0f1(ST)f2(ST)(2) 上升敲出期权同样的方法构造两个上升敲出单障碍期权V3和V4:则上升敲出双障碍期权V(S,t)=V3(S,t)+V4(S,t).(3) 下降敲入期权构造两个下降敲入单障碍期权V5和V6:则下降敲入双障碍期权V(S,t)=V5(S,t)+V6(S,t).(4) 下降敲出期权构造两个下降敲入单障碍期权V7和V8:则下降敲出双障碍期权V(S,t)=V7(S,t)+V8(S,t).综上, 以上4种双障碍期权均是由两个单障碍期权组合而成的,从而这些双障碍期权的定价问题便转化为两个单障碍期权的定价问题,而文献[4]给出了单障碍期权的定价公式, 因此双障碍期权的定价问题也就解决了.2 股票价格在两个障碍之间本节考虑初始股票价格S0位于两个障碍之间的情况.此情况下,可细分为6种双障碍期权(见图2).本节将逐一研究这6种双障碍期权的定价问题.图 2 股票价格S0在两个障碍之间定义2.1 双边敲出期权是指在期权有效期内原生资产价格S上涨超越U或下降跌破L时,期权都作废.定义2.2 双边敲入期权是指在期权有效期内原生资产价格S上涨超越U或下降跌破L时,期权均生效.定义2.3 下降敲入但上升敲出期权是指当原生资产价格S在期权有效期内首先下降触及下障碍L时,一份普通欧式期权生效, 但在普通欧式期权生效后,如果原生资产价格S上涨触及上障碍U,那么已经生效的普通欧式期权作废.定义2.4 上升敲入但下降敲出期权是指当原生资产价格S在期权有效期内首先上升触及上障碍U时,一份普通欧式期权生效, 但在普通欧式期权生效后,如果原生资产价格S下降触及下障碍L,那么已经生效的普通欧式期权作废.定义2.5 下降敲出但上升敲入期权是指当原生资产价格S在期权有效期内首先下降触及下障碍L时,期权作废, 但在期权作废后, 如果原生资产价格S上涨触及上障碍U,那么已经作废的期权重新生效.定义2.6 上升敲出但下降敲入期权是指当原生资产价格S在期权有效期内首先上升触及上障碍U时,期权作废, 但在期权作废后, 如果原生资产价格S下降触及下障碍L,那么已经作废的期权重新生效.定理2.7 双边敲出看涨期权的定价公式为:(1)证明双边敲出看涨期权满足令则有:再令u=eα x+β (T-t)W, 其中有:利用分离变量法解此方程得:其中代回原变量得:V(S,t) = Leα x+β (T-t)W(x,t)=定理2.8 双边敲出看跌期权的定价公式为:(2)证明过程类似于定理2.7的证明.定理2.9 双边敲入看涨期权的定价公式为:(3)其中,证明双边敲入看涨期权满足:(4)其中, Vv(S,t)表示标准欧式看涨期权的价值, Vv满足:令V1=Vv-V,由(3),(4)知V1满足:从上面的方程容易看出, V1是一个双边敲出期权.因此,Vv(S,t)=V(S,t)+V1(S,t),即双边敲出期权的收益+双边敲入期权的收益=标准欧式期权的收益.由此关系式和(1)很容易得到双边敲入看涨期权的定价公式为:定理 2.10 双边敲入看跌期权的定价公式为:(6)证明过程类似于定理2.9的证明.定理 2.11 下降敲入但上升敲出期权是由一份上升敲出期权与一份双边敲出期权组合而成.证明以下降敲入但上升敲出看涨期权为例, 原生资产价格运动可能呈现4种情况(图3).图 3 原生资产价格运动情况对于下降敲入但上升敲出的看涨期权, 当S<L时,上升敲出的看涨期权已经生效, 当S>U时, 期权已经作废, 这两种情况都不考虑, 只考虑L<S<U的情况, 它的定价模型为:其中c1是以U为障碍的上升敲出看涨期权, c1满足:c2是一个双边敲出看涨期权,c(S,t)=c1(S,t)-c2(S,t),即下降敲入但上升敲出看涨期权是由一份上升敲出看涨期权与一份双边敲出看涨期权组合而成, 同理,下降敲入但上升敲出看跌期权是由一份上升敲出看跌期权与一份双边敲出看跌期权组合而成,结论得证.由定理2.11,就将下降敲入但上升敲出期权的定价问题转化为对上升敲出期权和双边敲出期权的定价,文献[4]给出了上升敲出期权的定价公式,而双边敲出期权的定价公式上面已经给出,因而下降敲入但上升敲出期权的定价问题就解决了.定理 2.12 上升敲入但下降敲出期权是由一份下降敲出期权与一份双边敲出期权组合而成.证明过程类似于定理2.11的证明. 文献[4]给出了下降敲出期权的定价公式,而双边敲出期权的定价公式上面已经给出,因而下降敲入但上升敲出期权的定价问题就解决了.定理 2.13 下降敲出但上升敲入期权是由一份上升敲入期权与一份双边敲出期权组合而成.证明以下降敲出但上升敲入看涨期权为例,原生资产价格运动可能呈现4种情况(图3).对于下降敲出但上升敲入的看涨期权, 当S<L时,上升敲入的看涨期权已经生效, 当S>U时, 普通欧式看涨期权已经生效,这两种情况都不考虑, 只考虑L<S<U的情况, 它的定价模型为:其中cv是普通欧式看涨期权, c1是以U为障碍的上升敲入看涨期权,c1满足:c2是一个双边敲出看涨期权,c(S,t)=c1(S,t)+c2(S,t),即下降敲出但上升敲入看涨期权是由一份上升敲入看涨期权与一份双边敲出看涨期权组合而成, 同理,下降敲出但上升敲入看跌期权是由一份上升敲入看跌期权与一份双边敲出看跌期权组合而成,定理得证.由定理2.13,就将下降敲出但上升敲入期权的定价问题转化为对上升敲入期权和双边敲出看期权的定价,文献[4]给出了上升敲入期权的定价公式,而双边敲出期权的定价公式上面已经给出,因而下降敲出但上升敲入看涨期权的定价问题就解决了.定理 2.14 上升敲出但下降敲入期权是由一份下降敲入期权与一份双边敲出期权组合而成.证明过程类似于定理2.13的证明. 文献[4]给出了下降敲入期权的定价公式,而双边敲出期权的定价公式上面已经给出,因而下降敲出但上升敲入看涨期权的定价问题就解决了.2 结论本文中作者系统而全面地研究了双障碍期权的定价问题,将10种双障碍期权根据初始股票价格S0的位置划分为两大类进行讨论.得出上升敲入双障碍期权、上升敲出双障碍期权、下降敲入双障碍期权和下降敲出双障碍期权是由两个单障碍期权组合而成,从而这些期权的定价问题便转化为两个单障碍期权的定价问题;并得出下降敲入但上升敲出双障碍期权、上升敲入但下降敲出双障碍期权、下降敲出但上升敲入双障碍期权和上升敲出但下降敲入双障碍期权是由一份单障碍期权和一份双边敲出双障碍期权组合而成,从而这些期权的定价问题便转化为对单障碍期权和双边敲出双障碍期权的定价问题.单障碍期权的定价问题已经有很多学者研究过,其定价公式也均已知.其特色在于并未直接去求解双障碍期权的定价方程,而是将双障碍期权的定价问题转换成单障碍期权的定价问题,从而大大简化了该问题的讨论.参考文献:[1] CARR P. Two extensions to barrier option valuation[J]. Applied mathematical finance, 1995, 2: 173-209.[2] LI Ly. The bibarrier option[J]. Journal of Yunnan Normal University, 2003, 23(supplement): 7-10.[3] 叶峰, 范龙振,陈辰. 复合打包型衍生证券--日本New Wave基金的定价研究[J].管理工程学报, 2001, 15(4): 31-33.[4] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.。

基于Monte-Carlo和Crank-Nicolson有限差分法的欧式障碍期权定价胡素敏中国矿业大学理学院，江苏徐州(221116)Email:husumin@摘要：近年来国际金融衍生市场除了人们熟知的欧式和美式期权外，还涌现出了大量的由标准期权变化、组合、派生出的新品种。

障碍期权便是新型期权的一种，障碍期权比普通欧式期权便宜，因而受到市场的青睐，被广泛的用来进行风险管理。

本文采用Monte-Carlo和Crank-Nicolson有限差分法对欧式障碍期权定价，以欧式看跌期权为例，运用Matlab编程，将所得两个结果与基于公式解的结果进行比较，结果表明Crank-Nicolson有限差分法比Monte-Carlo方法更优。

关键词： Monte-Carlo；障碍期权；有限差分方法；欧式看跌期权中图分类号：F832.511 引言及文献综述近年来国际金融衍生市场除了交易人们广为熟悉的欧式和美式期权外，还涌现出大量的由标准期权变化组合及派生的新品种，即新型期权[1]。

障碍期权就是其中一种，它是一种奇异期权，在金融衍生市场上发展非常迅猛，据估计从1992年起每年以2倍的惊人速度发展。

Carr发现“标准的障碍期权无处不在，以致人们很难把它叫作奇异期权”。

障碍期权具有以下优点：（1）障碍期权的价格低于标准期权的价格。

（2）设置的障碍具有可变性[2]。

障碍期权是一种路径有关期权（path-dependent options）,它的最终收益依赖于标的资产变动的路径，当原生资产价格触及设定的障碍时，期权合约生效或失效，自20世纪60年代末，市场上出现障碍期权交易后，障碍期权的发展便一发不可收，到目前为止，障碍期权的种类已经超过数十种，主要包括欧式障碍期权(Euroption barrier options)、美式障碍期权(American barrier options)、双障碍期权(double barrier options)、彩虹障碍期权(rainbow barrier options)，部分障碍期权(partial barrier options)、阶梯期权(step options)、巴拉期权(parasian options)、巴黎期权(Parisian options )等。

5.第五章 金融工程在交易策略设计中的应用第三节 期权产品的定价原理5.3.5期权定价——障碍期权的二叉树定价一、障碍期权的二叉树定价1.障碍期权的性质障碍期权是路径依赖期权，它们的回报以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。

（1）敲入障碍（knock in option ）敲入期权在没有到达障碍水平时，期权价值为0。

对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。

如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值就等于一个相应的常规期权价值。

（2）敲出期权（knock out option ）当标的资产价格达到敲出障碍水平H 时，期权合约作废。

2.二叉树模型下敲出（down-out ）期权的定价假设标的资产为不付红利股票, 其当前市场价为100元, 无风险连续复利为5%，u =1.1,d =0.9, 二叉树步长为1周，试计算该股票3周的，协议价格为X =105元，障碍水平为95元的向下敲出欧式看涨期权的价值。

障碍水平为95。

0.76,0.24u d P P ==普通看涨期权价值为11.87，障碍期权比较便宜。

二、回望期权（look-back option ）的二叉树模型1.回望期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称为回望时段）中达到的最大或最小价格（又称为回望价），根据是资产价还是执行价采用这个回望价格，回望期权可以分为：（1）固定执行价期权max(max(,),0)max(min(,),0)t t C S s t T K P K S s t T =≤≤−=−≤≤（2）浮动执行价期权max(min(,),0)max(max(,),0)T t t T C S S s t T P S s t T S =−≤≤=≤≤−2.二叉树模型下回望期权的定价S =100，d =0.9，u =1.1，执行价格X =105，无风险连续利率 r =5%。

利用3步二叉树计算到期日为3年的固定执行价的欧式回望看涨期权的价格。

障碍期权实质上是在一个普通期权的基础上增加适当选定的障碍。

在期权到期日之前，如果标的资产价格超过该障碍，则期权的回报将发生变化。

其相关定义为期权的回报依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到某个特定的水平(临界值)，这个临界值就称为”障碍”水平分类方式标的资产价格水平障碍期权状态达到所设定的障碍水平时期权作废(被敲出，knock-out)在特定时期内没有达到障碍水平普通期权在特定时期内达到所设定的障碍水平时期权开始生效(被敲入，knock-in)，否则该期权作废。

障碍水平与标的资产初始价格的大小关系障碍水平高于标的资产初始价格向上障碍期权(up)障碍水平低于标的资产初始价格向下障碍期权(down)而同时根据普通期权的认购和认沽方式，障碍期权可以形成八种组合方式:看涨期权call看跌期权put向下敲出看张期权(down-and-out call)向下敲出看跌期权(down-and-out put)向下敲入看涨期权(down-and-in call)向下敲入看跌期权(down-and-in put)向上敲出看张期权(up-and-out call)向上敲出看跌期权(up-and-out put)向上敲入看涨期权(up-and-in call)向上敲入看跌期权(up-and-in put)以向上敲出看涨期权(up-and-out call)为例，当投资者认为标的资产价格在未来一段时间会上涨，但上涨不会超过一定幅度的时候，其就会考虑以一个低于普通看涨期权的价格买入一个向上敲出看涨期权，他既希望获得预期以内的收益，又避免了相对较高的权利金。

假定该向上障碍为Hmax,行权价格为K。

在不考虑权利金的情况下，Hmax-K为投资者的期望最大收益。

因为投资者放弃了St>Hmax之后的潜在收益，因而该期权价格小于普通期权价格。

同时可以看出，Hmax与K距离越小，则该期权越容易敲出，其权利金越少。

定价逻辑假设有一个欧式普通期权,标的价格为St,行权价格为K,到期日为T,障碍水平为H。

复合条款下的农作物生长指数期权定价公式傅毅;张寄洲;王杨【摘要】本文针对农作物生长的阶段性,研究了在连续扩散的基础上,含有障碍条款以及重置条款的农作物生长指数期权的定价问题.利用投资组合进行对冲,建立了农作物生长指数期权的复合条款模型.通过分阶段计算,得到了相应的定解问题,最后用偏微分方程的理论得到显式的定价公式并给出了数值分析实例.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)001【总页数】10页(P1-10)【关键词】天气期权;复合期权;投资组合;定价公式【作者】傅毅;张寄洲;王杨【作者单位】上海师范大学数理学院,上海,200234;上海师范大学数理学院,上海,200234;上海师范大学数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O175.21 引言随着人们对于天气风险认识的更加深刻，特别是在1997年的厄尔尼诺(ElNino)现象之后，迫使许多公司需要对冲其天气风险。

1997年天气衍生产品市场应运而生[1]。

近年来，天气衍生产品市场迅速扩大，交易量步步攀升。

虽然天气衍生产品是一个新生事物，但是在天气期权、天气期货、天气互换等产品的定价上，许多思想都来源于我们所熟知的期权定价。

1992年，D’Arcy等在文献[2]中提出了使用灾难期货来保障收益，为天气衍生产品的出现打下了基础。

在随后的十几年间，大量的研究者们利用如均衡分析法[3]，影子价格的方法[4]等为天气衍生品进行定价。

农作物生长指数期权作为天气衍生产品的一个重要组成部分，主要用于帮助农产品生产经营者应对不利天气，抵御风险，锁定收益。

由于农作物生长指数所对应的农作物通常在其生长过程中有多个生长阶段，在不同的生长阶段中，根据交易双方不同的利益需求，期权内往往含有障碍条款和重置条款。

本文针对农作物生长的阶段性，主要研究在连续扩散的基础上，含有障碍条款以及重置条款的农作物生长指数期权的定价问题[5,6]，并建立了农作物生长指数期权的复合条款模型。

向上敲出看涨障碍期权Gram-Charlier定价模型早在1973年,由Fisher Black和Myron Scholes推导出了基于无红利支付股票期权的Black-Scholes期权定价公式。

同年,Robert Merton提出了一个一般化的模型。

在该期权定价模型中,假设标的资产回报率是符合几何布朗运动过程,并且波动率为常数,且只关注了标的资产价格分布的均值和方差。

然而在实际情况中,标的资产回报过程的分布是趋如“尖峰厚尾”的。

所以本文考虑了“尖峰厚尾”的特点,在传统Black-Scholes-Merton模型的基础上,不再假定资产回报是几何布朗运动,而是将标的资产变化率用高阶统计量进行表达,然后利用Gram-Charlier级数展开定理,将统计量和标的资产的偏度、峰度的联系起来,使得标的资产满足的概率密度函数含有偏度和峰度系数,再根据Black-Scholes公式,推导出基于偏度和峰度调整的欧式看涨期权和向上敲出看涨障碍期权的定价公式。

最后以ETF50基金的实际收盘价为例,用MATLAB 进行计算,对BlackScholes期权定价模型和Gram-Charlier定价模型下的向上敲出看涨障碍期权价格进行对比。

期权定价的数值方法研究1、相关定义1.1、预备概念a. Brown 运动定义1.1[26](Brown运动)如果随机过程{B t , t 0}满足:(1)B0 0; (2) cov( B i , B j) 0,i j; (3)B 2t s Bs ~N (0, t). 则称{B t , t 0}为Brown 运动.特别地,当1时,称之为标准Brown 运动. 图2-1 布朗运动数据模拟图像b. It 过程定义1.2(It 过程)如果随机过程(t ) 满足d t a t dt bt dBt(2-1) 其中a t和bt 都是R 上的函数,则称(t ) 为It 过程. c. It 公式It 公式,随机分析中的一个重要的工具,有很多的重要的公式及定理都是由It 公式推导出的.以下是具体的内容. 51.2、Black-Scholes 模型的基本概念Black-Scholes 微分方程是基于不付红利股票的任意一种衍生证券的价格f 必须满足的方程。

一种无风险证券组合包含一些衍生证券头寸和一个股票头寸,建立一个这样的证券组合并设定其收益率等于无风险利率。

在Black-Scholes 分析中,建立的证券组合仅在很短时期内保持无风险状态,而可以证明:如果无套利机会,这一段短期的收益必定为无风险利率。

可以建立无风险证券组合的原因是股票价格和衍生证券的价格都受到同一种基本的不确定性的影响。

这意味着经过任意一个短时期,两者高度相关。

如果建立了一个恰当的股票和衍生证券的证券组合,股票头寸的盈利(损失)总是会与衍生证券的损失(盈利)相抵消,因而在短时期末证券组合的总价值也就确定了。

Black-Scholes 模型的基本假设: ①允许使用全部所得卖空衍生证券。

②没有交易费用或税收。

③在衍生证券的有效期内没有红利支付。

④不存在无风险套利的机会。

⑤证券交易是连续的。

⑥无风险利率r 为常数且对所有到期日都相同。

重庆大学硕士学位论文2 Black-Scholes 模型的建立和定价公式的推导 6 ⑦标的股票价格S 遵循如下过程: dS=μSdt + σSdZ(t ) (2.1) 其中μ 为股票预期收益率,σ 为股价波动率。

⾦融⼯程课后习题详解七．习题1.布莱克－舒尔斯定价模型的主要缺陷有哪些？2.交易成本的存在对期权价格有什么影响？3.怎样理解下⾯这个观点：组合中⼀份衍⽣证券合约的价值往往取决于该组合中其他合约的价值？4.什么是波动率微笑、波动率期限结构和波动率矩阵？它们的作⽤何在？5.当波动率是随机的且和股票价格正相关时，⼈们在市场上可能会观察到怎样的隐含波动率？6.假设⼀个股票价格遵循复合期权模型，隐含波动率会是怎样的形状？7.如果我们对随机波动率的概念进⼀步深⼊下去，使得波动率的波动率也是随机的，结果会如何？8.设前⼀天收盘时S&P500为1040，指数的每天波动率为1％，GARCH(1,1)模型中的参数为0.06ω=。

如果当天收盘时S&P500α=，0.92β=，0.000002为1060，则新的波动率估计为多少？（设µ＝0）9.不确定参数模型的定价思想是什么？10.如何理解跳跃扩散模型和崩盘模型？11.期权交易者常常喜欢把深度虚值期权看作基于波动率的期权，为什么？答案：1.（1）交易成本的假设：BS模型假定⽆交易成本，可以连续进⾏动态的套期保值，但事实上交易成本总是客观存在的。

（2）波动率为常数的假设：实际上波动率本⾝就是⼀个随机变量。

（3）不确定的参数：BS模型假设波动率、利率、股利等参数都是已知的常数（或是已知的确定函数）。

但事实上它们都不是⼀个常数，最为典型的波动率甚⾄也不是⼀个时间和标的资产价格的确定函数，并且完全⽆法在市场观察到，也⽆法预测。

（4）资产价格的连续变动：在实际中，不连续是常见的，资产价格常常出现跳跃。

2.交易成本的存在，会影响我们进⾏套期保值的次数和期权价格：交易成本⼀⽅⾯会使得调整次数受到限制，使基于连续组合调整的BS模型定价成为⼀种近似；另⼀⽅⾯，交易成本也直接影响到期权价格本⾝，使得合理的期权价格成为⼀个区间⽽不是单个数值。

同时，不同的投资者需要承担的交易成本不同，具有规模效应，即使是同⼀个投资者，处于合约多头和空头时，期权价值也不同。