随机波动率模型下离散几何平均亚式障碍期权定价

金融市场学中的波动率模型应用引言：金融市场中的波动率是指资产价格的波动程度，是衡量市场风险的重要指标。

波动率模型是金融市场学中的重要研究内容，通过对市场波动率的建模和预测，可以帮助投资者制定风险管理策略、优化投资组合和进行衍生品定价等。

本文将探讨金融市场学中的波动率模型应用。

一、历史波动率模型历史波动率模型是最简单直观的波动率模型之一，它通过计算历史价格序列的标准差来衡量波动率。

这种模型的优点是简单易懂，能够反映市场的实际情况。

然而，历史波动率模型的缺点在于无法考虑未来的市场变动，只能基于过去的数据进行预测，因此在市场快速变化的情况下可能会失效。

二、随机波动率模型随机波动率模型是一类基于时间序列的模型，它假设波动率是一个随机变量，可以通过对历史数据进行拟合来估计未来的波动率。

其中，最常用的模型是ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型和GARCH （Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型。

这些模型考虑了波动率的自相关性和条件异方差性，能够更好地捕捉市场的波动特征。

三、隐含波动率模型隐含波动率模型是通过期权定价模型来反推市场对未来波动率的预期。

市场上的期权交易数据中包含了市场对未来波动率的预期，通过对期权价格进行反推，可以得到隐含波动率。

这种模型的优点是能够直接反映市场对未来波动率的预期，但缺点是需要对期权定价模型进行合理的假设。

四、波动率预测模型波动率预测模型是通过历史数据和市场信息来预测未来的波动率。

常用的波动率预测模型包括GARCH模型、EGARCH模型、SV模型等。

这些模型通过对历史数据的拟合和市场信息的利用，可以提供未来波动率的预测结果。

波动率预测模型在风险管理和投资组合优化中有着广泛的应用。

五、波动率模型在风险管理中的应用波动率模型在风险管理中起到了重要的作用。

股指期货的四种定价方法[摘要]我国金融市场已经推出沪深300股票指数期货,本文吸收借鉴了国内外的研究成果,说明了股指期货四种定价理论和相关的实证结果,并提出今后理论研究的方向。

[关键词]股指期货定价定价理论实证研究研究方向一、定价理论1、持有成本定价模型Comell&French(1983)最早提出在无摩擦市场以及借贷利率相等且保持不变情况下的股指期货持有成本定价公式,股指期货的理论价格为■。

该模型假设条件较多,且定价偏差大,但是最经典的定价模型。

2、连续时间模型Ramaswamy&Sundaresan(1985)修正了期权定价模型进而推导出随机利率条件下无套利股指期货的理论价格。

该模型有四个假设条件:采用单因子CIR描述无风险利率,无风险贴现债券用局部期望假设来描述,无摩擦市场,股指服从对数正态分布。

Cakici&Chatterjee(1999)引入另一种利率模型,通过对S&P500实证比较发现,利率的平方根过程和对数正态过程对定价没有显著性影响。

3、一般均衡定价模型Cox和Ross等人在1985年推出资产定价的一般均衡模型, 随后Hemler&Longstaff(1991)推导出利率随机波动和市场随机波动情况下的股指期货一般均衡定价模型。

该模型有四个假设:经济个体同质预期,企业产品被消费或被投资,投资回报率是随机过程,经济体状态变量X 和Y均值复归。

股指期货的偏微分方程的PDE解析解和持有成本定价模型异曲同工。

4、区间定价模型Klemkosky&Lee(1991)考虑交易成本、股利和借贷利率不相等因素,“做多指数现货,做空指数期货”得到套利区间的上限,“做多指数期货,做空指数现货”得到套利区间的下限,在此区间内不可套利,在此区间外可套利。

国内对股指期货定价的理论探索较少,其中陈晓杰,黄志刚(2007)在无风险套利原理下,改良B-S方程通解,推导出股指期货的定价模型。

基于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权Monte-Carlo定价梁艳;王玉文【摘要】在Black-Schole期权定价模型中,假设股票红利q、无风险利率r及股票收益的标准差σ都是常数.然而在实际的交易市场,波动率却是随机变化的,而非常数.因此,把波动率考虑到期权定价公式中是十分必然的.在建立随机波动率定价模型中,假设波动率是一个随机变量,以亚式期权为研究对象,让随机波动率满足Hull-White 模型,对算术平均亚式期权进行Monte-Carlo模拟定价.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2017(033)005【总页数】4页(P1-4)【关键词】Hull-White模型;亚式期权;Monte-Calor模拟【作者】梁艳;王玉文【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文【中图分类】O290 引言自1973年著名的Black-Scholes期权定价公式的问世,金融市场迎来了前所未有的变革.随着国际金融衍生品市场越来越复杂，应运而生了大量的新型期权，它们的交易方式、交易价格等更能适应市场和投资的需求，其中研究比较多的就是亚式期权.近年来，如何科学的给亚式期权定价成为非常受欢迎的金融研究课题[1,5]. 在现有的对亚式期权定价模型中，常假设波动率是不变的,但实际市场的波动率却是随机的，所以建立的随机波动率模型需要把这个问题考虑进去.宋逢明[2]研究了Hull-White三叉树利率期限结构模型，并进行了模拟，结果表明其实用性很强.该文研究的Hull-White模型是时变的，而Hull-White模型与Vasick模型都是波动率可以出现负值，这是Hull-White模型[3]最大的缺陷，为了克服这一困难，把波动率的变化范围大致进行了限制，所以并未影响 Hull-White模型在随机波动率期权定价中的应用.1 模型与假设算术平均亚式期权，设其中标的股价为S，在t时刻无风险资产的价格为Bt,无红利支付的风险资产St,无风险利率为r.在t时刻的St 及Vt[4]满足(0≤t≤T)该模型具有与时间有关的漂移率θt(时间t的确定性连续函数)，均值回复速度为κ和波动系数σ为正常数，模型以速率向均值及回复，在返回程度上依赖于时间.{W1(t):0≤t≤T},{W2(t):0≤t≤T}是满足风险中性概率测度条件下的一维标准Brownan运动，Cov(dW1(t),dW2(t))=ρdt,相关系数ρ是常数且|ρ|<1令其中Zt 是与W1，W2独立的布朗运动[5].2 Monte- Carlo模拟法由参考文献[5]可知，该文的模拟的原理如下：假设有两个相似金融衍生品A、B，其中A是待求解，B与A相似，但可求出VB的显式解，用相同的▯t及相同随机序列样本类似模拟出A的近似估计值与B的近似估计值则A的近似估计值为模拟步骤：(1)若E[X]无显式解，找出与X无关的另一个随机变量Y，且E[Y]有显式解.(2)用同样▯t及同样的随机序列样本平行模拟出序列X,Y.(3)用模拟出X,Y，求出最优系数c*=(4)求出模拟序列X及Y的数学期望由求出E[X]的近似值[6].3 算术平均亚式期权的Monte-Carlo模拟3.1 模拟随机波动率过程Vt的路径(1)Wt、Zt是两个相互独立的Brownan运动，ρ是确定的常数，则可解出分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，则▯▯……▯又由于Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1与Zt1-Zt0,…,Ztn-Ztn-1是相互独立的增量，且Wt1-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),Zti-Zti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t)i=1,…,n.可由Matlab随机生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的n×m个数，分别记作A、B，则A=(a1,a2,…,an)',B=(b1,b2,…,bn)',且ai=aij,bi=bij,i=1,…,n,j=1,…,m对Vti(i=0,1,2,…,n)取对数，有对(1)式等号两边的元素取指数，有则Vt=Vtn为第m次模拟后得到的随机波动率终值，可间接得到波动率的路径变化过程[7].3.2 模拟股票价格过程St的路径若St满足dSt=rS1dt+VtStdW1(t)，则(4)分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，由上式有而Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1是相互独立的增量，且Wti-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),i=1,…,n.同样由Matlab生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的随机数，记作向量C，则对S(ti)(i=1,…,n)取对数，有对(2)式等号两边的元素取对数，有则经过m次模拟近似得出了股票价格的可能变化过程[8].3.3 算术平均亚式期权的关于Monte Carlo模拟的估计值由3.2可估计出S的m条可能路径上的变化值，Sk(t1),…, Sk(tn),k=1,…,m,可计算出m条路径上的算术平均亚式期权价格为：(6)则算术平均亚式期权价格用U1，…,Um的算术平均值来估计(7)4 总结与展望该文在波动率满足Hull-White模型的条件下，对固定执行价格的算术平均亚式期权进行了定价，由于亚式期权是求所有可能股票价格的平均值的期权，所以采用了Monte-Calor模拟法对其路径进行模拟，在最后得出了关于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权定价的近似解.但是在用Monte-Calor模拟法时，需要用matlab对数据进行计算，为了得到的数据更加接近于理论值，在计算时需要加大运算次数和运算的数据的密度，为结果的得出增大了难度，会在以后的学习中，继续改进此方法，争取得到运算简便，结果准确的模型.参考文献[1] 郑小迎,陈金贤. 关于亚式期权及其定价模型的研究. 系统工程,2000(18): 22-26.[2] John H, Alan W. The General Hull-White Model and Supercalibration J. Financial Analysts, 2011, 57(6): 34-43.[3] 宋逢明, 石峰. 基于Hull-White模型的债券市场利率期限结构研究[J]. 运筹与管理，2006, 15(3): 85-89.[4] 许聪聪, 许作良. 随机波动模型下算术亚式期权的Monte Carlo模拟定价[J]. 数学的实践与认识，2015, 45(21): 114-121.[5] 王欣欣,王玉文.约化模型下互联网理财产品的信用违约互换保费的确定[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2016,32(1):16-18.[6] 詹慧蓉,程乾生.拟蒙特卡罗法在亚式期权定价中的应用[J].数学的实践与认识,2005,3(35):20-27.[7] 邵斌, 丁娟. GARCH模型中美式亚式期权价值的蒙特卡罗模拟算法[J]. 经济数学,2004, 21(2): 142-148.[8] 叶春翠.CIR随机波动率模型的亚式期权蒙特卡洛模拟定价方法[D].广西师范大学,2012.。

随机波动率下障碍期权的MonteCarlo模拟定价随机波动率下障碍期权的 Monte Carlo 模拟定价障碍期权是金融衍生品中的一种重要品种，其根据标的资产价格是否突破一定水平产生不同的收益方式。

本文将以Monte Carlo 模拟方法对随机波动率下的障碍期权进行定价和分析。

首先，我们需要了解什么是随机波动率。

在传统的期权定价模型中，波动率是一个常量，而实际市场中，波动率是具有随机性的。

因此，在模拟随机波动率时，我们可以引入波动率的随机漫步模型，如几何布朗运动模型。

该模型中，波动率的变化服从几何布朗运动，并且在一段时间内的波动率会受到前一段时间内的波动率水平的影响。

在进行 Monte Carlo 模拟定价之前，我们需要确定一些模型参数。

这些参数包括标的资产的价格、波动率的初始值和随机漫步的步长等。

另外，我们还需要确定期权的具体特征，包括障碍水平、到期时间、执行价格和障碍期权类型等。

在模拟定价过程中，我们将生成多个随机路径，每个路径表示资产价格在不同时间周期内的变化。

对于每个路径，我们首先计算出在到期日前是否触及障碍水平。

如果资产价格在到期日前触及了障碍水平，障碍期权将会失效，将无法享受到期权所带来的收益。

因此，在模拟中，我们需要记录障碍期权不失效的路径，计算其到期时的收益。

最后，对于所有有效的路径，我们将其收益进行折现平均，得到障碍期权的理论价格。

通过 Monte Carlo 模拟定价，我们可以得到随机波动率下障碍期权的理论价格。

与传统的期权定价模型相比，这种方法更加符合实际市场情况，能够更好地反映波动率的变化性质。

此外，Monte Carlo 方法还可以用于分析不同环境下期权价格的敏感性。

我们可以通过调整模型参数或者期权特征，观察其对障碍期权价格的影响，进一步帮助投资者进行风险管理和决策。

然而，需要注意的是，Monte Carlo 方法在计算量上会比较大，特别是当路径数目较多时，计算时间会较长。

基于Bates模型的欧式离散障碍期权定价薛广明;邓国和【摘要】在标的资产价格满足Bates模型下讨论离散时间情形的欧式障碍期权定价.应用半鞅It(o)公式、随机过程在不同时间点上的多维联合特征函数、Girsanov 测度变换以及Fourier反变换等随机分析方法,给出离散时间情形的欧式障碍期权价格的封闭式解,并利用数值计算实例分析了波动率参数对障碍期权价格的影响.研究结论对连续时间情形的障碍期权定价或其他路径依赖型期权定价十分有借鉴作用.%Pricing European discrete barrier option is considered under the Bates model in this paper.Some stochastic analysis approaches such as the semi martingale It(o) formula,multivariate characteristic functions depending on at least two spot values for different points in time,Girsanov theorem,and Fourier inverse transform technique are used to derive the explicit formulas for the European discrete barrier call option.The impacts of some parameters in stochastic volatility process on the values of the barrier option values are examined by some numerical experiments,It is very useful for pricing the continuously monitored barrier options or other path dependent options.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(052)002【总页数】8页(P164-171)【关键词】Bates模型;障碍期权;Fourier反变换;数值实例【作者】薛广明;邓国和【作者单位】广西财经学院信息与统计学院,南宁530003;广西师范大学数学与统计学院,广西桂林541004【正文语种】中文【中图分类】O211.9障碍期权(Barrier Options)的终期收益不仅依赖于标的资产到期日的价格,而且还依赖于标的资产在整个合约有效期内是否达到规定的障碍水平,它是一类路径依赖型期权.障碍期权合约这种条款设计的目的在于减少投资者的风险, 也正因为它具有这种灵活的条款,其价格比标准欧式期权便宜,并广泛应用于市场,也深受投资者的喜爱. 障碍期权有两类：一类是基于标的资产价格连续观测的,另一类是基于标的资产价格仅在一些预先设定的时间点可观测的. 由于连续时间观测的障碍期权总是将标的资产价格与障碍值做比较,这就有可能在闭市瞬间出现障碍期权合约被激活或作废,从而提高了出现套利或投机的机会.然而,实际应用中期权产品的交易总是在预先固定时间点上报出标的资产价格,这样离散时间观测的障碍期权可以避免上述可能性的发生,降低投资风险.因此,对离散时间观测的障碍期权定价就显得更为重要,但对其定价问题研究的文献并不多.1997年, Broadie,Glasserman和Kou[1]在标的资产价格满足著名Black-Scholes[2]模型下通过连续性修正给出了欧式风格的离散时间情形障碍期权的价格近似显示式,这是最早研究的文献.随后, Broadie,Glasserman和Kou[3],Kou[4],以及Fusai和Recchioni[5]在[1]基础上进一步研究离散时间的障碍期权定价方法. 2011年 Wystup和Griebsch[6]在标的资产服从Heston[7]随机波动率模型下给出离散时间欧式障碍期权价格的定价公式,但他们未进行数值分析.由于著名的Black-Scholes模型[2]是在标的风险资产收益率的对数正态分布和常数波动率等若干理想假设基础上建立起来的，这些假设主要有两点表现出明显不足: 一是常数波动率的假设无法解释实际期权市场观察数据发现的隐含波动率"微笑"现象和波动聚类特征. 二是收益率的对数正态分布假设与实际市场股价观测数据的实证结果不一致(实际中的股价收益率更显尖峰厚尾且偏斜).另外,有大量实证研究表明一旦市场存在突发事件或重大信息到达时导致股价非常规性大幅跳动时,常波动率与对数正态分布难描述这类市场的表现,并且波动率因素实际上是很难从市场中直接观测获得.因此, 改进经典Black-Scholes模型,建立符合实际市场且数学上容易处理的标的风险资产行为模型就显得十分重要,并且基于改进的行为模型开展金融衍生品定价已成为金融数学研究领域内的重要课题和核心内容之一. 目前, 由Merton[8]引入了跳扩散(Jump-Diffusion, JD)模型和Heston[7]建立的随机波动率(Stochastic Volatility, SV)模型是两类重要的标的风险资产价格行为的动力学模型，已被广泛应用,且有丰富的研究成果. 例如, 在Heston随机波动率模型下,Kruse和Nogel[9], Wong和Chan[10]分别研究了远期生效期权和涡轮权证(turbo warrants)的定价;在Merton[8]跳扩散模型下,Mulinacci[11]研究了美式期权定价, Ahn[12]研究了外汇期权, Bae[13]研究了一蓝子和离散的亚式期权定价,等等. 后来,Bates[14]通过股票数据的实证研究发现,跳扩散模型与随机波动率模型两者组合起来能更好描述实际中标的风险资产价格的运动行为. 这方面的期权定价研究也随之发展. 例如,Scott[15],Jiang[16],Deng[17]等学者给出了标准欧式期权价格计算的封闭式解. 邓国和与杨向群[18-19]进一步考察了欧式期权和美式期权的定价.孙有发和丁露涛[20]在Bates模型下考察了美式期权定价的一种高阶紧致有限差分方法.然而,这些研究成果仅局限于标准期权,对市场应用广泛的新型期权(或路径依赖型期权,Path-dependent options,比如, 障碍期权, 亚式期权, 回望期权等)研究的成果并不多见. 另外,在金融实际中金融衍生品的交易往往是离散时间情形.故本文在Bates模型下研究离散时间情形的欧式障碍期权定价,给出该期权价格计算公式，并分析期权价格随波动率参数变动的影响.研究结果可以应用于美式期权定价的近似解析法,重置期权或多时期复合期权定价等.1 Bates模型及预备知识设金融市场无摩擦、无套利,且存在两种可自由连续进行买卖交易的资产，其中一种是无风险资产(如存款或债券),其收益按无风险利率r≥0(常数)连续复利计算.另一种是风险资产(如股票),记股票t时刻的价格为St.进一步假定股票无红利支付且在风险中性概率测度Q下满足如下Bates模型:(1)(2)其中α,β,σv均为正常数,且满足2αβ≥设市场中一切不确定源:均是定义在具有完备信息流ζt的完备化概率空间(Ω,ζ,(ζt)t≥0,Q)中,其中是两个标准布朗运动，并且具有相关系数ρ为常数，Nt是参数为正常数λ的一维Poisson过程为独立同分布的非负随机变量序列,表示St受市场突发事件或重大信息到达时，产生影响发生跳跃的相对幅度.记Y=ln(Js),并假定满足正态分布并进一步假设都与Nt和Js独立,且Nt与Js也相互独立.信息流{ζt;t≥0}由和Nt联合生成的完备参考族,EQ[.]表示在概率测度Q下的数学期望.障碍期权按标的资产价格达到规定障碍值后的状态可分为敲出期权(knock-out option) 和敲入期权(knock-in option)两类合约,其详细定义见[21]. 本文以下降敲出欧式障碍看涨期权的定价为主进行讨论,其他类型可仿照进行.下面给出本文用到的几个重要引理.引理1[17] 设0<t<t2且vt满足模型(2)，则exp[A(t2-t，c1，c2)-B(t2-t，c1，c2)vt]，(3)其中c1,c2为不依赖于t1,t2的常数，且A(t,c1,c2)=(4)B(t,c1,c2)=(5)这里引理2 设0<t<T且股票价格St满足市场模型(1)和(2),则(6)其中z为任意实数.证明由复合Poisson过程定义及全概率公式有(7)引理3 设股票价格满足模型(1)和(2)，则(Xt1,Xt2,…,Xtn)的联合特征函数为φ(u1，…，un)=EQ[exp(iu1Xt1+iu2Xt2+…+iunXtn)]，(8)具有表达式为(9)其中记号Ak,Bk分别为：Ak=(10)Bk=B0=0.(11)这里记号 h(t),p(w),q(w)的定义分别如下：其中Xt=lnSt,0=t0<t1<…<tn=T为区间[0,T]的离散时间点,i为虚数单位.证明当n=1时结论显然成立.下证n=2情形.由于令由标准布朗运动的Cholesky分解式有：其中Wt与以及影响跳跃大小随机变量列相互独立的标准布朗运动.对(1)式应用半鞅It公式可得：(12)以及(13)又因为(14)将(12)～(14)代入特征函数表达式(8),并应用Poisson过程Nt与独立性有(15)下面应用条件期望的性质计算(15)式，令σ-代数流除和以外其余各项均是ζv可测的，于是(16)由引理2，并将h(t),p(w),q(w)的表达式代入(16)，整理得φ(u1,u2)=exp(iu1h(t1)+iu2h(t2))·EQq(u1)vt1+p(u1+u2)·(17)应用两次引理1可知,(17)式可化简为φ(u1,u2)=exp(iu1h(t1)+iu2h(t2)+A(t2-t1，p(u2)，q(u2)))·exp(A[t1,p(u1+u2),q(u1)-B(t2-t1，p(u2)，q(u2))]-B[t1,p(u1+u2),q(u1)-B(t2-t1,p(u2)，q(u2))]v0)·(18)将(10)、(11)代入(18)式得φ(u1，u2)=exp{iu1h(t1)+iu2h(t2)+进一步由数学归纳法可得(9)式.证毕.推论1 设股票价格满足模型(1)且波动率为常数,即vt=v0(亦即股价满足Merton 模型[8]),则(Xt1,Xt2,…,Xtn)的联合特征函数为(19)其中，引理4[14] Bates模型(1)～(2)下,到期日为T,执行价为L的欧式看涨期权0时刻价格为(20)其中,2 主要结果下面应用多维特征函数,Girsanov测度变换和Fourier变换方法, 推导具有2个或3个离散时间情形的障碍期权定价公式.定理1 Bates模型(1)～(2)下具有2个离散时间点0<t1<t2=T的欧式下降敲出看涨障碍期权0时刻价格为(21)其中,证明设障碍值SB=L为常数, 并且假设S0>L>K考虑离散时间欧式下降敲出看涨障碍期权的价格，根据风险中性定价原理知：EQ{e-rTST1(St1>L,ST>L)}-EQ{e-rTK1(St1>L,ST>L)}=I1-I2.(22)下面分别计算I1,I2.由引理3及Shepard定理(见[6]定理2.2)得I2=e-rTKQ(lnSt1>lnL,lnST>lnL)=对于I1的计算, 应用二维测度变换将测度Q变化到QS,它的Randon-Nikodym 导数为于是I1=S0QS(lnSt1>lnL,lnST>lnL)=其中ψ(μ1,μ2)表示在测度Qs下(Xt1,Xt2)的特征函数,且有ψ(u1,u2)=EQS[exp(iu1Xt1+iu2Xt2)]=将I1,I2的表达式代入(22) 即可得离散时间欧式下降敲出障碍期权的定价显示解. 注1 定理1的结果还可以假定S0>K>L,证明类似.定理2 Bates模型(1)～(2)下,具有三个离散时间点0<t1<t2<t3=T的欧式下降敲出看涨障碍期权0时刻价格为其中,证明仿照定理1的证明过程可得结论.定理3 Bates模型(1)～(2)下,具有n个离散时间点0<t1<t2<…<tn=T的欧式下降敲出看涨障碍期权0时刻价格为：e-rTKQ(lnSt1>lnL，…，lnStn>lnL),其中QS(lnSt1>lnL，…，lnStn>lnL)=(-1)ntQS(lnL，…，lnL)),Q(lnSt1>lnL，…，lnStn>lnL)=(-1)ntQ(lnL，…，lnL)),这里其中,u=(u1,…,un)，证明：仿照定理1,并应用数学归纳法可证.推论2 Merton模型下，具有n个离散时间点0<t1<t2<…<tn=T的欧式下降敲出看涨障碍期权0时刻价格为e-rTKQ(lnSt1>lnL,…,lnStn>lnL)，其中QS(lnSt1>lnL,…,lnStn>lnL)=Q(lnSt1>lnL,…,lnStn>lnL)=这里其中3 数值结果与分析本节主要以下降敲出欧式离散障碍看涨期权为例，应用数值实例和数值方法分析Bates模型与Merton跳扩散模型下离散时间欧式障碍期权的价格变化情况. 本节计算软件选用Matlab7.0和Mathematice5.0，为了便于解释和分析，对于模型(1),(2)中的参数取值如下表1所列.表 1 模型参数值Tab.1 Model parameter valuesKTLrλμy351400．0510σyαβσvρv00．540．060．5-0．50．09表2给出了Bates模型下与Merton跳扩散模型下离散时间欧式障碍期权的权利金之间的差异.由于Bates模型相对Merton跳扩散模型，多考虑股价随机波动率因素及股价与其自身波动率相关参数，所以定价结果更符合真实的经济环境.表2给出了股价S0取不同值时下降敲出离散障碍期权格，其中参数取值如表1，从表的结果可以发现随n值与股价的增大，随机波动率确定的离散时间欧式障碍期权权利金与常数波动率的定价结果有较大偏差,例如：n =3, 股价S0=90.表2 Merton与Bates模型下期权价格比较Tab.2 Comparison of options price under Merton and Bates model股价S0Merton模型n=1n=2n=35519．1700010．122304．011466021．2778011．452505．83 8596523．4627012．896807．330867025．7283014．446208．509497528．0781016．089009．511438030．5145017．8158010．472408533．0388 019．6206011．479909035．6502021．5008012．57520股价S0Bates模型n=1n=2n=35518．972609．905603．994826021．0553011．199106．048 076523．2080012．631907．979607025．4348014．177509．814047527．7434015．8102011．638108030．1443017．5225013．503008532．647 0019．3192015．424409035．2570021．2076017．40020图1 各参数对其期权价格的影响Fig.1 The impact of each parameter on its option price图1以股价S0=80以及各参数σv,ρ,α,β取值不同为例研究期权价格的变化，由图1(a)可知期权价格是时间点n的减函数，但对波动率参数较敏感，其中n=1时期权价格的收益率随着σv增大而减小，其中n=2时期权价格的收益率随着σv增大先减小后增大，其中n=3时期权价格的收益率随σv增大而增大且为上凸函数.由图1(b)可知期权价格是ρ的增函数.且对相关系数ρ较敏感.从图1(c)和1(d)可知期权价格是n的减函数，但期权价格是参数α的减函数，当n=1，2时是参数β的增函数，n=3时是参数β的减函数.4 结论在Bates模型下应用Fourier变换方法和特征函数技术获得了离散时间情形的欧式障碍期权价格显示解, 并应用数值实例分析了模型中各主要参数值对期权价格的影响.数值计算结果表明, Bates模型中跳跃风险因素及随机波动率因子对期权价格的影响具有不同的显著作用.本文研究结果可以应用于美式期权或其他路径依赖型期权的定价.参考文献：[1]BROADIE M,GLASSERMAN P, KOU S G. 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基于随机波动率模型的路径依赖期权定价李蓬实;杨建辉【摘要】In this paper,two typical path-dependent options are examined in the stochastic volatility framework.The underlying asset price volatility of these options is assumed to follow a fast mean-reverting stochastic process which is supported by empirical studies.The pricing of geometric average Asian call options and floating strike lookback put options is studied.By singular perturbation analysis,the corresponding partial differential equations of these two options under stochastic volatility model are obtained.The approximate prices of these two options under stochastic volatility can be expressed as two approximation terms.Analytic approximation formulas for these two path-dependent options are derived.%在随机波动率框架下,对两种典型路径依赖期权进行定价.在期权标的资产价格的波动率是一个快速均值回归随机过程的假设下,研究了几何亚式看涨期权和浮动行权价回望看跌期权这两类路径依赖期权的定价问题.通过奇异摄动分析方法,对均值回归随机波动模型的偏微分方程进行分析得到关于期权近似价格的两个近似表示项,并推导出上述两种路径依赖期权的近似解析解.【期刊名称】《系统工程学报》【年(卷),期】2017(032)002【总页数】11页(P241-251)【关键词】随机波动率模型;路径依赖期权;奇异摄动【作者】李蓬实;杨建辉【作者单位】华南理工大学工商管理学院,广东广州510640;华南理工大学工商管理学院,广东广州510640【正文语种】中文【中图分类】F830期权赋予持有者在合同规定的时间,按照约定的行权价格买卖标的资产的权利,但持有人不必承担买卖标的资产的义务.按照期权合同中的行权时间划分,可将期权分为欧式期权和美式期权两大类.按照合同中买卖标的资产来划分,可将期权分为看涨期权和看跌期权两类.传统期权(vanilla options)的到期收益取决于标的资产在行权日的价格.随着金融衍生品市场的发展,许多新型期权(exotic option)不断涌现出来,其中很多新型期权的到期收益取决于标的资产的演化路径,这类期权也被称为路径依赖期权.由于此类期权在场外衍生品的交易中占有很大比重[1],因此研究路径依赖期权的定价问题具有重要的现实意义.典型的路径依赖期权有亚式期权(Asian options)和回望期权(lookback options)两种.亚式期权是一类到期收益取决于合同期内标的资产经历的价格平均值的合约.根据标的资产价格平均值的不同计算方法,亚式期权可分为算术平均亚式期权(arithmetic average Asian options)和几何平均亚式期权(geometric average Asian options)两种类型.回望期权(lookback options)是一类到期收益取决于合同期内标的资产价格最大或最小值的合约.回望期权的持有人能够在合同有效期内,选择标的资产的最高或最低价格作为期权的行权价.回望期权可分成浮动行权价回望期权(f l oating strike lookback options)和固定行权价回望期权(f i xed strike lookback options)两大类.由于回望期权能够为持有人带来最大的潜在收益,所以相比于传统期权和亚式期权,回望期权的价格比较昂贵.在常数波动率假设下,Dai[2]在二叉树模型下研究了欧式和美式几何平均亚式期权的定价问题; Angus[3]给出了连续条件下几何平均亚式期权的解析式.由于对数正态分布随机变量的几何平均数服从对数正态分布.因此利用这个性质,通过风险中性定价公式可以较为方便地计算出几何平均亚式期权的价格.在关于回望期权的定价研究方面,在标的资产价格能够被连续观测记录同时价格过程服从几何布朗运动,波动率为常数的假设下,Heynen等[4],Viswanathan[5]给出了回望期权的解析解.在实际交易中,标的资产的价格是离散的交易日价格,Broadie等[6]通过对连续条件下的定价公式引入修正项给出了离散条件下回望期权价格的近似解.Babbs[7]用二叉树模型对连续条件下的浮动行权价回望期权进行定价.实证研究表明,常数波动率的假设并不符合现实.首先,标的资产波动率为常数的假设无法解释金融市场中观测到的隐含波动率“微笑”曲线现象;其次,在标的资产价格服从常数波动率几何布朗运动的假设下,标的资产的收益率分布与金融市场中观察到的“尖峰厚尾”分布不吻合;最后,金融市场的历史数据还证明了,波动率在通常其均值水平波动,呈现出波动率的“聚集”现象.为了弥补常数波动率模型的不足,学者们开始研究随机波动率模型.Stein等[8],Heston[9]首先研究了扩散过程驱动下的随机波动率模型,在这些模型中标的资产的波动率被假设为服从某种随机扩散过程.在随机波动率模型框架下研究期权定价,可以改进常数波动率模型的不足,更好地解释和预测金融市场期权价格的变化,具有较为重要的理论和现实意义.在经典的随机波动率模型研究基础上,学者们利用不同的方法和工具来解决随机波动率框架下的亚式期权和回望期权定价问题.在假设标的资产服从一般性状态转换(regime switching)跳跃扩散过程条件下, Dang等[10]通过偏微分方程的方法研究了亚式期权的定价问题.Shi等[11]在BSN框架下研究了带有随机波动率的算术平均亚式期权的问题.Hubaleck等[12]在标的资产价格服从随机波动率和跳跃过程的假设下,研究了几何平均亚式的定价问题并推导出相应的定价公式.Leung[13]利用同伦分析的方法研究Heston随机波动率模型下的浮动行权价回望期权定价.Park等[14]研究在一般性的随机波动率模型下的回望期权定价问题从而得到关于回望期权的半解析定价公式.本文在Fouque等[15]的随机波动率模型研究基础上,假设标的资产的波动率是均值回复过程的函数,并考虑了标的资产价格过程和驱动波动率扩散过程之间的相关性,来研究几何平均亚式期权和浮动行权价回望期权的定价问题.这种方法的现实意义在于：首先S&P500高频数据的实证研究证明收益率的波动存在均值回复的现象,因此用快速均值回复过程刻画标的资产的波动率具有一定的合理性;其次,实证分析金融市场中存在“杠杆效应”[16],因而模型中标的资产价格过程和驱动波动率的扩散过程具有相关性的假设能够更好地解释资产价格和波动率之间的“杠杆效应”.多数实证研究都表明,当资产价格下跌时其波动率往往会增加.该研究理论上的创新意义在于：首先,由于通常在引入随机波动率之后期权价格的解析式难以直接获得,因此通过采用利用奇异摄动分析方法能够推导出关于几何平均亚式期权和浮动行权价回望期权价格的近似展开式的前两项的偏微分方程,进而通过求解偏微分方程得到关于几何平均亚式期权和浮动行权价回望期权的近似解析式.假设标的资产的波动率是均值回归随机过程(O-U)的函数,那么标的资产价格及其波动率满足以下随机微分方程其中µ是标的资产的期望回报率;α是均值回归速率;m是Yt的长期均值;β是Yt的波动率;Wt和Zt是相互独立的标准布朗运动;ρ是St和Yt的相关系数.其中r是无风险利率;f(·)为非零的有界函数;γt为有界的适应过程,γt也称为“波动率风险的市场价格”,并且假设满足Novikov条件为风险中性测度.根据Girsanove定理,在测度(风险中性测度)下,是相互独立的布朗运动.在测度下,可以得到以下随机微分方程3.1 几何平均亚式看涨期权定价公式在连续条件下,引入时,定义exp(It/t)为标的资产的连续几何均值.因此几何平均亚式看涨期权到期收益可记为(exp(IT/T)-K)+.其中(x)+=max(x,0).根据随机波动率模型中的式(4)和式(5),在风险中性测度下,可得如下随机微分方程根据风险中性定价公式,几何平均亚式看涨期权的在t时刻(t＜T)的价格可以表示为根据式(11)∼式(13),偏微分方程(9)可以重新表示为在Yt是快速均值回归过程的假设下(0＜ε≪1),可以将几何平均亚式看涨期权的价格V按照以下形式展开,即其中V0和Vi,i=1,2,...是关于(t,s,y,I)的函数.将通过奇异摄动方法,获得关于式(15)前两项的表达式,进而用来近似表示V.关于V0和V1两项的终止条件分别为其中证明在风险中性测度下,波动率为常数σ时,标的资产价格的随机微分方程为根据伊藤引理得知,方程(18)的解为其中Z是标准正态随机变量.当波动率为常数σ时,根据风险中性定价公式,几何平均亚式看涨期权在t时刻的价格为利用式(21)和引理1可得引理3 在标的资产波动率为常数σ的条件下,几何平均亚式看涨期权定价公式(19)满足以下偏微分方程证明在波动率为常数σ的条件下,标的资产的价格St以及满足以下随机微分方程根据风险中性定价公式,几何平均亚式看涨期权价格为因此,根据Feynman-Kac公式可知V(t,S,I)满足以下偏微分方程定理1 式(15)的第一项V0与y无关,且V0(t,s,I)可以表示为令式(23)ε-1项系数为零可得L0V0=0.由算子L0的定义可知V0与y无关,因此V0可以表示为V0=V0(t,s,I).令式(23)ε-1/2项系数为零可得L0V1+L1V0=0.同理,由算子L1的定义可知V1也与y无关,因此V1可以表示为V1=V1(t,s,I).再令式(23)ε0项系数为零可得L0V2+L1V1+L2V0=0.由于V1与y无关以及算子L1的定义可知L1V1=0,因此有式(24)是V2关于算子L0的Poisson方程.若V0的函数已知,式(24)有唯一解当且仅当其中⟨·⟨表示关于Yt的长期不变分布的期望值.由于V0与y无关,因此式(25)也可以表示为⟨L2⟨V0=0.因此可知,式(15)的第一项V0(t,s,I)满足以下偏微分方程同时,根据引理2可得证明令式(23)中ε1/2项系数为零可得L0V3+L1V2+L2V1=0.该式可视为V3关于L0的Poission等式.为了使该Poission等式有解,则以下条件应成立,即由于V1与y无关,式(28)也可以表示为根据L1的定义,可以得到以下算子的表达式由式(30)和式(31)可知V1满足以下等式因此在标的资产价格波动率为快速均值回归随机过程的假设下,利用奇异摄动方法得到了几何平均亚式看涨期权的近似解析式.3.2 浮动行权价回望看跌期权定价公式在连续条件下,引入浮动行权价回望看跌期权的到期收益为MT-ST.根据随机波率动模型中的式(4)和式(5)以及风险中性定价公式可知,浮动行权价回望看跌期权在t时刻(t＜T)的价格可以表示为根据Feynman-Kac公式得知,V(t,s,y,m)应满足如下偏微分方程可以利用回望期权的线性放缩性质(linear scaling)来降低式(37)的维度[18],化简偏微分方程.浮动行权价回望看跌期权的到期收益为MT-ST=MT(1-ST/MT).通过如下替换x=s/m,可得到V(t,s,y,m)=mU(t,x,y),且U(t,x,y)满足以下偏微分方程结合式(37),式(13)和式(14),可以将偏微分方程(36)表示为与前面的分析类似,在Yt是快速均值回归的假设下,能够将浮动行权价回望看跌期权的价格U按以下形式展开,即其中U0和Ui是关于(t,x,y)的函数,i=1,2,....可以通过奇异摄动方法,得到关于式(39)前两项的表达式,进而用来近似地表示U.关于U0和U1这两项的终止条件和边界条件分别为定理3 式(39)的第一项U0与y无关,且U0(t,x)可以表示为证明与定理1的证明类似,可知U0与变量y无关,且的定义,可以求得由此,可以得到在标的资产波动率为快速均值回归随机过程假设下,浮动行权价回望看跌期权的近似解析解.通过将标的资产的波动率假设为随机过程,随机波动率模型弥补了BS模型的不足.由于快速均值回归随机波动率模型在期权定价中的广泛应用,本文将标的资产的随机波动率假设为快速均值回归的随机过程.与波动率为常系数的模型相比,随机波动率模型关于期权价格的偏微分方程更加复杂,比较难以得到解析解.通过奇异摄动分析方法,并利用均值回归随机过程的一些已知性质,推导出平均几何亚式看涨期权和浮动行权价回望看跌期权两种典型的路径依赖期权的近似解析解.使用奇异摄动分析方法研究均值回归随机波动模型更加重要的意义在于,关于几何平均亚式期权和浮动行权价欧式期权价格的修正项的偏微分方程式(27)与式(42)中的参数可以通过Fouque等提出的线性回归方法估计.与其它方法相比,使用这样方法的两个好处是,首先减少了随机波动率模型中需要估计的参数的个数,提高了效率;其次,可以先从流动性较大的期权中估计出求解偏微分方程的参数,再应用到其它流动性较小的期权定价中,解决了某些奇异期权由于交易数据稀缺无法进行有效参数估计的问题.该方法还可以进一步应用到随机利率衍生品以及带有随机利率的随机波动率模型定价问题中.李蓬实(1984—),男,广东人,博士生,研究方向：金融工程与风险管理;【相关文献】[1]BIS.International Banking and Financial Market 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CEV模型下有离散红利支付的几何平均亚式期权的定价张增林;刘兆鹏;武以敏【摘要】首先阐述了标准几何亚式期权的涵义及其定价模型,介绍了CEV的涵义,然后借助PhelimP.Boyle和Yisong Tian为CEV模型下回望期权和障碍期权的定价技巧,利用二叉树逼近方法得到服从CEV过程且有离散红利支付的几何平均亚式期权的定价.【期刊名称】《宿州学院学报》【年(卷),期】2011(026)005【总页数】3页(P16-18)【关键词】几何平均亚式期权;波动率弹性为常数;二叉树模型【作者】张增林;刘兆鹏;武以敏【作者单位】宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000;宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000;宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】F830.91 标准亚式期权的涵义及其定价模型标准亚式期权又称为平均价格期权，是股票期权的衍生，是在总结真实期权、虚拟期权和优先认股权等期权实施的经验教训基础上最早由美国银行家信托公司(BankersTrust)在日本东京推出的。

它是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一，与通常意义上股票期权的差别在于，在到期日确定期权收益时，不是采用标的资产当时的市场价格，而是采用合同期内二级市场标的资产价格的平均值。

在对价格进行平均时，可采取几何平均，也可采取算术平均。

相应的亚式期权可分为两种，一种是几何平均亚式期权，一种是算术平均亚式期权。

由于亚式期权是路径依赖的期权，因此一方面避免了投机者在接近到期日时通过操纵标的资产价格来牟取暴利的可能，另一方面在一定程度上避免了期权价格的人为波动。

吴云、何建敏研究了服从CEV过程的几何亚式期权的定价[1]。

他们借助PhelimP.Boyle和Yisong Tian为CEV模型下回望期权和障碍期权的定价技巧，利用二叉树方法得到了CEV模型下无红利支付的几何平均亚式期权的定价[2]。

随机波动率和随机利率下离散障碍期权定价作者：郭培青来源：《科技风》2021年第14期摘要：本文主要对离散时间情形下的标的资产满足随机波动率和随机利率模型的欧式障碍期权定价进行研究，应用Ito^公式、Fourier反变换，FeynmanKac定理，PDF方程和Girsanov 测度变换和数学归纳法，推导出了随机波动率和随机利率模型下欧式离散障碍期权的定价公式。

关键词：障碍期权;Fourier反变换;随机波动率;随机利率中图分类号：O212.9文献标识码：A1绪论障碍期权（BarrierOptions）是一种具有代表性的奇异期权且是随着国际金融市场结构不断地扩大，为了更加符合当今金融体系的时代特色。

金融从业者设计出了奇异期权，它是一类比标准欧式或美式期权盈亏状态更加复杂，但是却更加符合投资者收益的金融衍生产品，大多数奇异期权在场外交易。

障碍期权（barrieroptions）是路径依赖型奇异期权中一种非常热受投资者欢迎的一种期权，期权的终期收益率不仅仅和标的资产到期收益日的价格有关，而且还与标的资产在整个投资时间内能否达到某一特定的关卡或障碍值息息相关。

按照合约有效期内标的资产的价格与某一设定好的障碍值大小关系。

障碍期权分为两大类：敲出期权和敲入期权。

敲入期权是指当标的资产价格触及规定的障碍值时，合约生效;而敲出期权则是当标的资产价格达到指定的障碍值时，合约失效。

目前，国内外学者，在研究随机波动率和随机利率模型下障碍期权的定价问题方面，做出了很多的成果，也取得了很大的成绩。

根据在期权有效期内标的资产价格是否大于障碍值。

Broadie和Kou[1997]推导出了在标的资产价格满足BS模型下的欧式离散障碍期权价格的近似显示解析公式;Fusai和Recchioni[2007]在Kou研究的基础上进一步研究了离散时间的障碍期权的定价方法;温鲜[2010]，在随机波动率满足hullwhite模型的情况下，运用鞅方法，对欧式下降敲出欧式看涨障碍期权进行了定价;薛广明与邓国和[2018]，在Bates模型下，得到了离散时障碍期权价格的封闭解，并与Merton模型下离散障碍期权的价格进行了对比;杨莹[2019]在CIR随机波动率模型下，推导出CIR模型下障碍期权的定价公式。

离散障碍期权定价的蒙特卡罗模拟
徐腾飞;曹小龙;胡云姣
【期刊名称】《北京化工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(040)003
【摘要】利用蒙特卡罗模拟方法对离散障碍期权进行定价,并结合对偶抽样、条件期望、重要性抽样3种方差缩减技术降低模拟方差.设计数值实验针对离散障碍期权进行定价分析,比较了各种模拟方法的方差缩减效率.结果表明利用对偶抽样、条件期望、重要性抽样3种方差缩减技术的蒙特卡罗模拟方法能够对离散障碍期权进行稳定的定价.
【总页数】5页(P123-127)
【作者】徐腾飞;曹小龙;胡云姣
【作者单位】北京化工大学理学院,北京 100029;北京化工大学理学院,北京100029;北京化工大学理学院,北京 100029
【正文语种】中文
【中图分类】F830
【相关文献】
1.重要性抽样在离散障碍期权定价中的应用 [J], 朱长鹏;陈萍
2.基于Bates模型的欧式离散障碍期权定价 [J], 薛广明;邓国和
3.离散分红下障碍期权的间接级数展开定价方法 [J], 杨舒荃;贾兆丽;崔龙庆;杨锦涛
4.随机波动率模型下离散几何平均亚式障碍期权定价 [J], 陈有杰
5.随机波动率和随机利率下离散障碍期权定价 [J], 郭培青
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第29卷第11期计算机应用与软件Vol.29No．112012年11月Computer Applications and Software Nov．2012随机波动率下的亚式期权定价问题在GPU 集群上的实现徐磊1徐莹1姜广鑫2梁义娟2寇大治1徐承龙21（上海超级计算中心上海201203）2（同济大学数学系上海200092）收稿日期：2011－11－28。

国家高技术研究发展计划（2009AA012201）；上海市科委科研计划项目（08dz1501600）；上海浦江人才计划（10PJ1430600）。

徐磊，工程师，主研领域：并行计算，高性能系统评测，GPU 应用移植及优化。

徐莹，高工。

姜广鑫，硕士生。

梁义娟，博士。

寇大治，工程师。

徐承龙，教授。

摘要期权定价作为计算金融领域的核心问题之一，越来越受到关注。

随着期权交易的规模和交易量的迅速增长，当前的期权定价平台越来越受到挑战，在尽可能短的时间内对期权进行定价变得越来越困难。

传统的计算平台通常使用基于CPU 的计算集群，而图形处理器（GPU ）具有更高的浮点性能和访存带宽，在价格与功耗方面也优于CPU 。

尝试使用GPU 集群来对具有随机波动率的亚式期权进行定价，同时使用带控制变量的Monte Carlo 方法，减小模拟的方差。

最终的测试结果表明GPU 集群较CPU 集群具有更多的优势，适合应用于期权定价领域。

关键词GPU 集群CUDA亚式期权随机波动蒙特卡洛MPI中图分类号TP301文献标识码ADOI ：10．3969/j．issn．1000-386x．2012．11．021IMPLEMENTATION OF PRICING ASIAN OPTIONS WITH STOCHASTICVOLATILITY ON GPU CLUSTERXu Lei 1Xu Ying 1Jiang Guangxin 2Liang Yijuan 2Kou Dazhi 1Xu Chenglong 21（Shanghai Supercomputer Center ，Shanghai 201203，China ）2（Department of Mathematics ，Tongji University ，Shanghai 200092，China ）Abstract Options pricing is one of the core issues in the field of computational finance ，which has attracted increasing focus．With therapid growth of options trading in both scale and volume ，there is growing challenge on existing options pricing platforms ，and to price an option in shortest possible period of time has become increasingly difficult．Traditional computing platforms often use CPU-based computationclusters ，but compared with the tradition CPU ，GPU （Graphic Processing Unit ）can possess higher floating-point performance andbandwidth ，and its cost and power consumption outperform CPU as well．In this paper ，we try to use GPU cluster to price Asian options with stochastic volatility ，and meanwhile use Monte Carlo method with control variables to reduce the variance simulated．Final testing results show that the GPU cluster has more advantages than the CPU cluster and is well suited for pricing options．KeywordsGPU clusterCUDAAsian optionsStochastic volatilityMonte CarloMPI0引言期权，在期货基础上发展而来，是金融领域中投资者用以进行套利和规避风险的一种衍生性金融工具。