【全国市级联考】河南省新乡市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题

河南省新乡市2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．2．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，所以336a =，即32a =，又76a =， 所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.3．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243 B ．70243 C ．80243 D ．38243【答案】C【解析】【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．4．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ）A ．35B ．45-C ．45D ．35- 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】 解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5f θ=-， 所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D【点睛】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．5．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】【分析】作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y =+的最小值即为34x y +的最小值，作34y x =-，平移直线即可求解.【详解】 作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+， 作出34y x =-，平移直线，当直线经过点()1,0A 时，截距最小， 故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3.故选：B【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 6． “1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】， 由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =， 但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈ ∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件 故选B【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.7．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f =( ) A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．【详解】 ∵f （x ）()()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩＜， ∴f （5）＝f[f （1）]＝f （9）＝f[f （15）]＝f （13）＝1．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．8．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ）A ．10B ．32C ．40D ．80【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理通项公式1r r n r r n T C a b -+=可得常数项，然后二项式系数和，可得a ，最后依据1r r n r r n T C a b -+=，可得结果. 【详解】由题可知：515r r r r T C x a -+=当0r =时，常数项为51T a =又()5x a +展开式的二项式系数和为52由5522a a =⇒=所以5152r r r r T C x -+=当2r =时，223235280T C x x ==所以2x 项系数为80故选：D【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.9．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】【分析】根据含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，计算可得；【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有42115-=（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，属于基础题．10．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ．本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．223【答案】D 【解析】【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S 与n 的值，得到8n ＝时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图，可得0S =，2n =，满足条件，12S =，4n ＝，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n ＝，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=. 故选D ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S 与n 的值是解题的关键,难度较易.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π3B ．4π1633C 16343π+D ．43π163 【答案】D【解析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积1114π233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积21442V =⨯⨯=故该几何体的体积123V V V =+=+故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。

2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。

3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤， 定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。

2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题1-12BDACB CBCDB DA 二、填空题13.10;x y -+=14.4;15.;53016.{}.66,2,0--三、解答题17.解析：(I)222(sinsin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sinsin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.a c b ac +-=……3分∴2221cos .22a c b B ac+-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b c B C=,3sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，6cos 3C =……9分3613323sin sin()sin().323236A B C C π+=+=+=⋅+⋅=……12分18.解析：（I ）如图所示：连接OM ，在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒，OB AC ⊥.……2分在MAC ∆中：2M A M C A C ===O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且 6.O M ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB =222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM⊥,AC OM 相交于O ，故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系 㜠Ꮉ婈Ӭ如图所示．因为2M A M B M C A C ====,2AB BC ==则(0,2,0),(2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC = 所以，222(,33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z = ，则252252(,,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩ 令3y =(53,3,1)m =-- ……10分因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB = 为平面AMC 的法向量，所以(53,3,1)m =-- 与(2,0,0)OB = 所成角的余弦为5653cos ,79279m OB < 所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1(797979m OB -<>=-= .……12分19．（I ）由题意知1b =，22c a =.……1分又因为222a b c =+解得，2a =.……3分所以椭圆方程为2212y x +=.……4分（Ⅱ）设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆.则12212212,918616,918y y y t y t t ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =- ，()221,CB x y =- ，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以C A C B ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分20.解析：(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分(II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，2ξ246p 64811681181可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.其分布列如下，4ξ15p 64811781可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=.比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分(ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3η25p3p 31p -3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54η15p4p 41p -4444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<.故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分21解析：(I)()ln x e f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=，由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1x f x x bx x++-≥e e ln e 1x x x x x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x x b x --+⇔≥min e ln 1(,x x x x b x--+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e x x xϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分22.解析：(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=,极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分(Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()(00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23.解：(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2).……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

2020年河南省新乡市镇第一中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某公园有一个人工湖，湖中有4个人造岛屿甲、乙、丙、丁，要求驾船游遍4个岛屿，且每个岛屿只游览一次，则首先游岛屿甲，最后游岛屿丁的概率是（）A. B. C. D.参考答案：D2. 执行如右图所示的程序框图，若输出m的值是25，则输入k的值可以是A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：C3. 已知y＝f(2x)的定义域为－1，1，则y＝f(log2x)的定义域为( )A．－1，1 B．，2 C．1，2 D．，4参考答案：D4. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数参考答案：C5. 已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于( )A．3 B．﹣3 C．D．参考答案：B考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cosα，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果．解答：解：∵，∴cosα+2sinα=0，∴tanα=，∴tan（）==﹣3，故选B点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以2015届高考中应引起足够的重视．本题是把向量同三角函数结合的问题．6. 已知向量，，，若∥，则=（）A． B． C．D． 5参考答案：D7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C．8. 设随机变量X～N（2，82），且P{2＜x＜4＝0.3，则P{x＜0＝A．0.8 B．0.2 C．0.5 D．0.4参考答案：B略9. 将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为参考答案：A略10. 如果执行如图的框图，运行的结果为A．B．3 C．D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设向量，，若，则．参考答案：12. 已知函数对任意的恒成立，则.参考答案：13. 20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪测量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为 (精确到0．1，已知）．参考答案：14. 已知(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝▲．参考答案：15. 在中，，，为垂足，则，该结论称为射影定理。

河南省新乡市新乡一中2020届高三上学期第一次质量预测试题数学理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x∈N｜｜x≤2}，B＝{y｜y＝1－x2}，则A∩B的子集个数为A．2 B．4 C．8 D．162．复数z＝1ii＋在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．定义在R上的函数f（x）＝1()3x m－2为偶函数，a＝f（21log2），b＝f（131()2），c＝f（m），则A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2 000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A．165B．185C ．10D ．3256．已知向量a 与b 夹角为3，且｜a ｜＝1，｜2a －b ｜＝3，则｜b ｜＝ A ．3 B ．2C ．1D ．327．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入 的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于A ．5B ．4C ．3D ．28．函数f （x ）＝2121x x ＋－·cosx 的图象大致是9．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A ．60B ．90C ．120D ．15010．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若PF uu u r ＝3MF uuu r，则｜MN ｜＝A ．163 B ．83C ．2D ．8311．已知三棱锥P —ABC 内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，且边长为3，球O 的表面积为16π，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为 A ．157 B ．155 C ．152 D ．151012．f （x ）＝221(1)1x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋，＜1，log －，＞，g （x ）＝54x 3－154x 2＋m ＋2，若y ＝f （g （x ））－m 有9个零点，则m 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，53） D ．（53，3） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线y ＝x x e －2x 2＋1在点（0，1）处的切线方程为________．14．若n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则105S S ＝_______． 15．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆，圆A 与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若OM uuu r ＝32ON uuu r（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．16．已知数列{n a }满足：对任意n ∈N *均有1n a ＋＝p n a ＋2p －2（p 为常数，p ≠0且p ≠1），若a 2，a 3，a 4，a 5∈{－18，－6，－2，6，11，30}，则a 1的所有可能取值的集合是_________． 三、解答题：共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）已知△ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设2R （sin 2A －sin 2B ）＝（a －c ）sinC ． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b ＝12，c ＝8，求sinA 的值． 18．（12分）已知三棱锥M —ABC 中，MA ＝MB ＝MC ＝AC ＝，AB ＝BC ＝2，O 为AC 的中点，点N 在棱BC 上，且BN uuu r ＝23BC uu u r．（Ⅰ）证明：BO ⊥平面AMC ；（Ⅱ）求二面角N —AM —C 的正弦值． 19．（12分）已知椭圆E ：22221y x a b＋＝（a ＞b ＞0）的离心率为2，且过点C （1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）若过点（－13，0）的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证：恒有｜AB ｜＝2｜CM ｜．20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0＜p ＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放． 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验．化验次数的期望值越小，则方案越“优”． （Ⅰ）若p＝3，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率； （Ⅱ）（ⅰ）若p＝3，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”?（ⅱ）若“方案三”比“方案四”更“优”，求p 的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝x －lnx －xe x．（Ⅰ）求f （x ）的最大值； （Ⅱ）若f （x ）＋（x ＋1x）x e －bx ≥1恒成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做．则按所做的第一题记分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P （1，32），其参数方程为cos x a y αα⎧⎪⎨⎪⎩＝，，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线E 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：21OA＋21OB为定值，并求出这个定值．23．[选修4—5不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝｜x－1｜－｜2x＋1｜＋m．（Ⅰ）求不等式f（x）≥m的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）≥0，求m的取值范围．NOACM数学（理科） 参考答案一、选择题1-12 BDACB CBCDB DA 二、填空题13. 10;x y -+= 14.4; 15.;53016.{}.66,2,0-- 三、解答题17.解析：（I ）222(sin sin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sin sin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.ac b ac +-=……3分∴2221cos .22a cb B ac +-== 因为0,B π<<所以3B π∠=……6分（II ）若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b cB C =,3sin C =, 由b c >，故C ∠为锐角，6cos .C =……9分 3613323sin sin()sin().32A B C C π+=+=+=⋅+⋅=……12分18. 解析：（I ）如图所示：连接OM ， 在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒=，OB AC ⊥.……2分在MAC ∆中：22MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且 6.OM = ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB ===，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥,AC OM 相交于O ， 故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为MA MB MC AC ====2AB BC ==则(0,A B C M ……8分由23BN BC =u u u r u u u r所以，N设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =u r，则(,,)0,3333(,,)0AN n x y z x y AM n x y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩u u u r r uu u u r r令y =(1)m =--u r……10分因为BO ⊥平面AMC，所以OB =uuu r为平面AMC 的法向量，所以(1)m =--u r与OB =uuu r所成角的余弦为cos ,m OB <>==u r u u u u r ．所以二面角的正弦值为2|sin ,|m OB <>===u r u u u u r .……12分 19．（I ）由题意知1b =，2c a =.……1分 又因为222a b c =+解得，a =分所以椭圆方程为2212y x +=. ……4分 （Ⅱ） 设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆. 则12212212,918616,918y y y t y t t ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =-u u u r ，()221,CB x y =-u u u r，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以CA CB ⊥u u u ru u u r.因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分 20. 解析：（I）该混合样本达标的概率是28(39=，……2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分 （II ）（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由（1）知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下，可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯== 方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=. 比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分 （ii ）方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<. 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分 21解析：（I ）()ln xe f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x ---'=--=， 由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分 （II ）1()()e 1xf x x bx x++-≥ e e ln e 1x x xx x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x xb x --+⇔≥min e ln 1(),x x x x b x --+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e xx xϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0xh x x e x =+=001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001lnln ,x x x ==-即001x e x =- 11 -()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min 00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+=== 所以2b ≤.……12分22.解析：（I ）将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分（Ⅱ）不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，， 则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23. 解：（I ）由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分 即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分（Ⅱ）设g （x ）＝|x －1|－|2x ＋1|，12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩- 12 -……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=- 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2). ……10分。

河南省新乡市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【答案】B【解析】 试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.2．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( )A ．1或1-B ．25或25-C ．1或25-D ．1-或25 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论．【详解】由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．①当0m >时，5r m =， ∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -====-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -==-==--，∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上可得2sin cos a a +的值是25或25-． 故选B ．【点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可．3．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A ．4x π= B ．3x π= C ．56x π= D ．1912x π= 【答案】D【解析】【分析】 由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】 解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.4．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-【答案】B【解析】【分析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．【详解】由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的，故错误的可能是B 或者是D ，若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件．故错误的是B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．5．已知向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r ，若||||a b a b +=-r r r r ，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-8D ．8【答案】B【解析】【分析】先求出向量a b +r r ,a b -r r 的坐标，然后由||||a b a b +=-r r r r 可求出参数m 的值.【详解】由向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r，则()1,4a b m +=-+r r ，()3,4a b m -=-r r||a b +r r ||a b -=r r又||||a b a b +=-r r r r 12m =. 故选：B【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.6．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ⋂ð=（ ）A ．()(),35,-∞+∞UB ．(](),35,-∞+∞UC ．(][),35,-∞+∞UD ．()[),35,-∞+∞U【答案】D【解析】【分析】 先计算集合B ，再计算A B I ，最后计算()U A B ⋂ð．【详解】 解：{}27100B x x x =-+<Q{|25}B x x ∴=<<， {}37A x x =≤<Q{|35}A B x x ∴=<I „，()[)U ,35(,)A B -∞+∞∴=U I ð．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．7．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-【答案】A【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】 画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -，所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足2MA MO =，则·OM ON u u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．0,22⎡⎣C ．[]22-,D ．22,22-⎡⎣ 【答案】D【解析】【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=u u u u r u u u r ，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON u u u u r u u u r 结果. 【详解】设(,)M x y ，则 ∵2MA MO =，()0,2A - 2222(2)2x y x y ++=+∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·os OM ON θ=u u u u r u u u r又∵cos [1,1]θ∈-∴·[OM ON θ=∈-u u u u r u u u r故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法9．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x|x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A∩B ＝（ ）A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合{2,1,0,1,2},{|(5)(1)0}{|15}A B x x x x x =--=-+<=-<< {}{}{}2,1,0,1,2|150,1,2A B x x ∴⋂=--⋂-<<=，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.10．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）A ．84B ．54C ．42D ．18【答案】C【解析】【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A A A =种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C A A =种. 综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．11．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.12．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a =+$$$近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】【分析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河南省新乡市高三上学期第一次模拟数学（理）试题一、单选题 1．若1312i i -+与1()2i a ai -的虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．1-D ．1【答案】D【解析】分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得a 的值. 【详解】 因为13(13)(12)5511255i i i ii i -----===--+，所以虚部为1-， 因为1122i a ai a ai ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以虚部为a ， 所以10a -=，即1a =. 故答案为：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.2．设集合{}(2)0A x =<，{}12B x x =-<<，则（ ） A ．{}12A B x x ⋂=-<< B ．{}04A B x x ⋃=≤< C ．{}02A B x x ⋂=≤< D ．{}12A B x x ⋃=-<<【答案】C【解析】对集合A ，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，从而化简集合A ，再与B 进行交、并运算，从而得到答案. 【详解】因为{|04}A x x =≤<，{|12}B x x =-<<， 所以{|02}AB x x =≤<，{|14}A B x x ⋃=-<<.故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交、并运算，考查基本运算求解能力. 3．某地有两个国家AAAA 级景区—甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的客流量，下列结论正确的是（ ）A ．甲景区客流量的中位数为13000B ．乙景区客流量的中位数为13000C ．甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值小D ．甲景区客流量的极差比乙景区客流量的极差大 【答案】D【解析】对A ，中位数为12950；对B ，中位数为12450；对C ，通过茎叶图直观感知甲数据的平均数大；对D ，分别计算极差进行比较. 【详解】对A ，甲景区客流量的中位数为12950，故A 错误； 对B ，乙景区客流量的中位数为12450，故B 错误；对C ，根据茎叶图的数据，可知甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值大，故C 错误；对D ，甲景区客流量的极差为3200，乙景区客流量的极差为3000，故D 正确. 故选D. 【点睛】本题利用茎叶图呈现数据，考查数据处理能力，考查样本的数据特征，属于容易题. 4．函数()672x f x =-的零点0x 所在区间为（ ） A ．(2,3) B ．(1,2) C ．(4,5) D ．(3,4)【答案】A【解析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理得到零点所在的区间. 【详解】因为()672xf x =-在R 上单调递增，(2)0f <，(3)0f >，所以0(2,3)x ∈. 故选：A. 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函数值的正负.5．若1tan 2tan 2αα=-，且(0,)(,)442πππα∈⋃=（ ） A ．0 B ．23C ．32D ．54【答案】B【解析】利用倍角公式求出tan α的值，再将目标式子化成关于tan α的表达式，从而求得式子的值. 【详解】因为22tan 1tan 2tan tan 1tan 2ααααα==-⇒=-因为(0,)(,)442πππα∈⋃，所以tan α=23==.故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想的运用，求解时注意利用角的范围判断正切值的符号. 6．求11111135792019++++++的程序框图，如图所示，则图中判断框中可填入（ ）A ．1010?n ≤B ．1011?n ≤C ．1012?n ≤D ．2019?n ≤【答案】A【解析】阅读程序框图，写出前面几步，再总结规律，得到11111135792019S =++++++时，1011n =，从而推断判断框应填的条件. 【详解】1S =，2n =；113S =+，3n =；依此类推11111135792019S =++++++，1011n =， 故判断框中可填入“1010?n ≤”. 故选：A. 【点睛】本题考查程序框图的阅读，求解的关键是抓住求和的规律，考查特殊到一般的思想的运用.7．若双曲线2221(0)y a x a -=>实轴的顶点到它的渐近线的距离为14，则该双曲线的离心率为（ ） A．3B ．15C ．1615D ．5【答案】B【解析】由点到直线的距离公式求得a 的值，再由离心率公式求得离心率. 【详解】双曲线2221(0)1x y a a -=>的一个顶点为(0,1)，一条渐近线为0y ax -=，点(0,1)到直线0y ax -=14=， 所以a =，所以双曲线的方程为221115x y -=，则c =15e ==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率计算，考查方程思想的应用，求解时注意不能把,a b 的值弄错. 8．411()x y x y+--的展开式的常数项为（ ） A ．36B ．36-C ．48D ．48-【答案】A【解析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y项.【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.9．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为（ ）A ．(0B ．)+∞C ．D ． 【答案】D【解析】设圆柱的高度与半球的半径分别为,h R ，计算容积得到334323S V R R R ππ=-+…，根据高的关系得到22523S R R ππ<…，计算得到答案. 【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为,h R ，则222S R Rh ππ=+，则22SRh R ππ=-， 所以酒杯的容积323233224332323S S V R R h R R R R R R ππππππ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭…，又0h >，所以202S R π->，所以22523S R R ππ<…R <. 故选：D 【点睛】本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10．P 为椭圆22110091x y +=上的一个动点，,M N 分别为圆22:(3)1C x y -+=与圆222:(3)(05)D x y r r ++=<<上的动点，若||||PM PN +的最小值为17，则r =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据||||PM PN +的最小值，得到关于r 的方程，进而求得答案. 【详解】因为(3,0)C ，(3,0)D -恰好为椭圆的两个焦点， 因为||||1,||||PM PC PN PD r ≥-≥-，所以||||||||121PM PN PC PD r a r +≥+--=--. 因为2100a =，得10a =， 所以20117r --=，则2r =. 故选：B. 【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则C 的取值范围为（ ）A ．(0,)4πB ．(,)62ππC ．(,)63ππD ．(,)64ππ【答案】D【解析】利用面积公式、诱导公式、正弦定理将等式等价于sin()sin B C C -=，从而得到,B C 的关系，再根据三角形为锐角三角形，三个内角都是大于0小于2π，即可得到答案. 【详解】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-， 所以22sin sin ac BB b c =-，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+.由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=， 再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=.因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=，得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC △是锐角三角形，所以0,202,203,2C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩得64C ππ<<.故选：D. 【点睛】本题考查三角形的面积公式、诱导公式、正弦定理、解不等式等知识的交会，考查转化与化归思想、函数与方程思想的灵活运用，考查运算求解能力，求解时对三角恒等变形的能力要求较高. 12．设()f x 是定义在(,0)(0,)22ππ-⋃上的奇函数，其导函数为()f x '，当(0,)2x π∈时，cos ()()0sin x f x f x x '-<，则不等式()()sin 33f x f x π<的解集为（ ） A ．(,0)(0,)33ππ-⋃B ．(,0)(,)332πππ-⋃C ．(,)(,)2332ππππ--⋃ D ．(,)(0,)233πππ--⋃ 【答案】B【解析】根据不等式的特点cos ()()0sin x f x f x x '-<构造函数()()sin f x h x x=，再利用导数研究函数的单调性，进而解不等式. 【详解】令()()sin f x h x x =，∵()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，∴()()sin f x h x x =是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，由cos ()()0sin x f x f x x '-<，得()sin ()cos 0f x x f x x '⋅-⋅<，∴2()sin ()cos ()0sin f x x f x xh x x''⋅-⋅=<，则()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减将()sin 33f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin 3f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3h x h π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则32x ππ<<. 又()()sin f x h x x =是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，∴()h x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且33h h ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 0x <，将()sin 33f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin 3f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，即()33h x h h ππ⎛⎫⎛⎫>=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则03x π-<<. 综上，所求不等式的解集为,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、奇偶性进行不等式求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键在于根据的给不等式的特点，构造新函数，且所构造的函数能利用导数研究单调性，难度较大.二、填空题13．设向量(1,22)a =，||2b =，1cos ,3a b =-，则()a a b ⋅+=________. 【答案】7【解析】利用向量数量积定义、模的坐标运算，直接计算目标式子，即可得到答案. 【详解】因为2||3a x y =+=，13223a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以21()93273a a b a a b ⎛⎫⋅+=+⋅=+⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：7. 【点睛】本题考查向量数量积的定义、模的坐标运算、数量积运算的分配律，考查基本运算求解能力，属于容易题.14．已知函数22log ,02,()69,2,x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩若1234()()()()f x f x f x f x ===，且12x x <<34x x <，则1234()x x x x ⋅⋅+=________.【答案】6【解析】作出函数()f x 的图象，通过图象可以得到2122log log x x -=，346x x +=，通过对数运算易得12x x ⋅的值，从而求得答案. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：易知3432x x +=，则346x x +=. 又2122log log x x -=，所以()212log 0x x ⋅=，即121x x ⋅=， 所以()12346x x x x ⋅⋅+=. 故答案为：6.【点睛】本题考查利用函数图象的对称性及图象的翻折变换，得到1234,,,x x x x 之间的关系，考查数形结合思想的灵活运用，求解时注意利用图形的直观性，使问题求解过程更清晰、简洁.15．若函数()sin()(0)6f x x πωω=->在(0,2)π内存在唯一的0x ，使得0()1f x =-，则()f x 的最小正周期的取值范围为________. 【答案】1212,115ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据0(0,2)x π∈得到0,2666x πππωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，由s i n y x =的图象特征可得372,622ππππω⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，从而得到ω的范围，再由周期公式得到周期T 的范围. 【详解】因为0(0,2)x π∈，0>ω，所以0,2666x πππωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭. 依题意可得372,622ππππω⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，解得511,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则21212,115T πππω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1212,115ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用整体思想、三角函数的五点法作图，研究三角函数的周期，考查数形结合思想的灵活运用，同时求解时注意整体思想的运用.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AD CD PD ===，1AB =，,E F 分别为棱,PC PB 上一点，若BE 与平面PCD 所成角的正切值为2，则2()AF EF +的最小值为________.【答案】143+ 【解析】先找出BE 与平面PCD 所成角，再利用正切值为2，证得E 为PC 的中点.根据所给各边的长度，求出,APB BPC ∠∠的斜弦值，再将PBC ∆翻折至与平面PAB 共面，利用余弦定理求出AE ，即为2()AF EF +的最小值.【详解】取CD 的中点H ，连接BH ，EH.依题意可得，BH CD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD BH ⊥， 从而BH ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面PCD 所成角为BEH ∠， 且2tan 2BH BEH EH EH∠===，则1EH =，则E 为PC 的中点.在Rt PAB ∆中，cos 3AP APB PB ∠==.因为3PB =，=PC BC =所以cos 2BPC ∠=，所以4BPC π∠=.将PBC ∆翻折至与平面PAB 共面，如图所示，则图中14cos cos 42336APC APB π⎫⎛⎫∠=∠+=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当F 为AE 与PB 的交点时，AF EF +取得最小值，此时，2222()2AF EF AE +==+-⨯=.故答案为：143+. 【点睛】本题考查空间中线面垂直、线面角、余弦定理等知识的交会，考查空间相象能力和运算求解能力，将空间中线段和的最值问题，转化成平面问题，对转化与化归思想的考查要求较高，属于难题.三、解答题17．甲、乙两人同时参加一个外贸公司的招聘,招聘分笔试与面试两部分,先笔试后面试.甲笔试与面试通过的概率分别为0.8,0.5,乙笔试与面试通过的概率分别为0.8,0.4,且笔试通过了才能进入面试,面试通过则直接招聘录用,两人笔试与面试相互独立互不影响. (1)求这两人至少有一人通过笔试的概率; (2)求这两人笔试都通过却都未被录用的概率;(3)记这两人中最终被录用的人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.96；(2)0.192；(3)分布列见解析，数学期望0.72【解析】(1)利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可；(2)直接利用独立事件的概率公式求解即可；（3）X 可取0,1,2, 利用独立事件与对立事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】(1)设“这两人至少有一人通过笔试”为事件A ,则P (A )=1-P (A )=1- (1-0.8)2=0.96.(2)设“这两人笔试都通过却都未被录用”为事件B ,则P (B )=0.82×(1-0.5)×(1-0.4)=0.192.(3)甲、乙两人被录用的概率分别为0.8×0.5=0.4,0.8×0.4=0.32. 由题意可得X 可取0,1,2,则 P (X=0)=(1-0.4)×(1-0.32)=0.408, P (X=1)=(1-0.4)×0.32+0.4×(1-0.32)=0.464, P (X=2)=0.4×0.32=0.128, 所以X 的分布列为故E （X ）=0×0.408+1×0.464+2×0.128=0.72. 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.18．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60︒，E 为BC 的中点. （1）证明：BC VE =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60︒，求.VFVA【答案】（1）详见解析；（2）11.【解析】（1）设V 在底面的射影为O ，连接OE ，找出二面角的平面角，再证明2VE OE =，从而得到BC VE =；（2）取AB 的中点G ，以O 为坐标原点，分别以OG ，OE ，OV 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，(1)VF VA λλ=≠，根据异面直线BF 与VE 所成角为60︒，求出λ的值，从而得到VFVA的值. 【详解】（1）设V 在底面的射影为O.则O 为正方形ABCD 的中心如图， 连接OE ，因为E 为BC 的中点，所以OE BC ⊥. 在正四棱锥V ABCD -中，VB VC =，则VE BC ⊥， 所以VEO ∠为二面角V BC D --的平面角，则60VEO ︒∠=. 在Rt VOE ∆中，2VE OE =，又2AB BC OE ==，所以BC VE =.（2）取AB 的中点G ，以O 为坐标原点，分别以OG ，OE ，OV 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则(0,0,3V ，(0,1,0)E ，(1,1,0)B ，(1,1,0)A -，(1,1,VA =-，(1,1,VB =，(0,1,VE =.设(1)VF VA λλ=≠，则(1,1,BF VF VB λλ=-=---， 从而|||cos ,|cos60||||2BF VE BF VE BF VE ︒⋅〈〉===，整理得210110λλ+-=，解得11λ=-（1λ=舍去）， 故11VFVA=.【点睛】本题考查空间中的线线垂直、线面角、面面角定义，考查空间想象能力和运算求解能力，在第（2）问求解时，根据共线向量基本定理确定，引入一个变量λ确定点F 的位置，是求解问题的关键.19．在直角坐标系xOy 中，点(2,0)M -，N 是曲线2124x y =+上的任意一点，动点C 满足0.MC NC +=（1）求点C 的轨迹方程；（2）经过点(1,0)P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于,A B 两点，在x 轴上是否存在定点D （异于点P ），使得ADP BDP ∠=∠？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22y x =；（2）存在点(1,0)D -符合题意.【解析】（1）设(,)C x y ，()00,N x y ，利用相关点代入法得到点C 的轨迹方程； （2）设存在点(,0)D t ，使得ADP BDP ∠=∠，则0DA DB k k +=，因为直线l 的倾斜角不可能为0︒，故设直线l 的方程为1x my =+，利用斜率和为0，求得1t =-，从而得到定点坐标. 【详解】（1）设(,)C x y ，()00,N x y ，则(2,)MC x y =+，()00,NC x x y y =--，()0022,2MC NC x x y y +=-+-. 又0MC NC +=，则00220,20,x x y y -+=⎧⎨-=⎩即0022,2.x x y y =+⎧⎨=⎩ 因为点N 为曲线2124x y =+上的任意一点， 所以200124x y =+， 所以2122(2)24x y +=+，整理得22y x =，故点C 的轨迹方程为22y x =.（2）设存在点(,0)D t ，使得ADP BDP ∠=∠，所以0DA DB k k +=.由题易知，直线l 的倾斜角不可能为0︒，故设直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22y x =，得2220y my --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y m +=，122y y =-.因为12121212011DA DB y y y y k k x t x t my t my t+=+=+=--+-+-，所以()12122(1)0my y t y y +-+=，即42(1)0m m t -+⋅-=，所以1t =-.故存在点(1,0)D -，使得ADP BDP ∠=∠.【点睛】本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁. 20．已知数列{}n a 满足444421231(41).3n a a a a n n ++++=-（1）证明：数列{}2n a 为等差数列；（2）设2(13)nn n b a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和.n T 【答案】（1）详见解析；（2）12(1)33n n T n n +=-⋅++.【解析】（1）根据递推关系得到221n a n =-，再利用定义证明数列{}2n a 为等差数列； （2）由（1）得(21)321nn b n n =-⋅+-，再利用错位相减求和等差数列前n 项和公式，求得数列{}n b 的前n 项和.n T 【详解】（1）当2n ≥时，44421211(1)4(1)13n a a a n n -⎡⎤+++=---⎣⎦， 则()42233211141(1)4(1)144(1)1(21)333n a n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-----=---=-⎣⎦⎣⎦.∵20n a ≥，∴221n a n =-.又∵411a =，210a ≥，∴211a =，也满足221n a n =-， ∴221n a n =-，∵2212n n a a +-=，∴数列{}2n a 为公差是2的等差数列.（2）(21)321nn b n n =-⋅+-，设数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和为nS，则21333(21)3n n S n =⨯+⨯++-⋅，∴23131333(21)3n n S n +=⨯+⨯+⋯+-⋅，∴()231332333(21)3n n n n S S n +-=+⨯+++--⋅，即21111333232(21)336(12)3(22)3613n n n n n n S n n n ++++-⨯-=+⨯--⋅=-+-⋅=-⋅--，故1(1)33n n S n +=-⋅+，∴212(1)33n n n T S n n n +=+=-⋅++.【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的定义、等差数列前n 项和、错位相减法求和，考查转化与化归思想、方程思想的运用，考查运算求解能力. 21．已知函数3()1(0).ax f x x e a =-≠ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若2a =，不等式()3ln f x mx x ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）(,2]-∞.【解析】（1）先对函数进行求导得2()(3)ax f x x e ax '=+，再对a 进行分类讨论，解导数不等式，从而得到函数的单调区间；（2）由2a =，将()3l n f x m x x ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立等价于323ln 1x x e x m x--≤对(0,)x ∈+∞恒成立.构造函数()1ln (0)g t t t t =-->，取32x t x e =，则()32321ln 0xxx e x e --≥，进而得到函数323ln 1x x e x y x--=的最小值为2，即可得到到m 的取值范围. 【详解】（1）232()3(3)ax ax axf x x e ax e x e ax '=+=+.当0a <时，令()0f x '<，得3x a >-；令()0f x '≥，得3x a≤-. 所以()f x 的单调递减区间为3,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.当0a >时令()0f x '≥，得3x a ≥-；令()0f x '<，得3x a <-. 所以()f x 的单调递减区间为3,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，单调递增区间为3,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为2a =，所以()3ln f x mx x ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立等价于323ln 1x x e x m x--≤对(0,)x ∈+∞恒成立.设()1ln (0)g t t t t =-->，1()t g t t '-=， 令()0g t '<，得01t <<；令()0g t '>，得1t >. 所以min ()(1)0g t g ==，所以1ln 0t t --≥.取32x t x e =， 则()32321ln 0xx x ex e --≥，即323ln 12x x e x x --≥，所以323ln 122x x e x xx x--≥=.设32()x h x x e =，因为(0)01h =<，2(1)1h e =>，所以方程321x x e =必有解， 所以当且仅当321xx e=时，函数323ln 1(0)x x e x y x x--=>得最小值，且最小值为2，所以2m ≤，即m 的取值范围为(,2]-∞， 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中注意分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的综合运用，特别是构造新函数后，再利用导数的工具性作用研究函数是求解的关键.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为(2,)π，l 与曲线C 交于,A B两点，求2.【答案】（1）6sin ρθ=；（2）6+.【解析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标，得点P 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解. 【详解】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，即226x y y +=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=，即6sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.（2）将12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.23．已知函数()7 1.f x x x =-++ （1）求不等式2()10x f x <<的解集；（2）设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(2,4)-；（2）(2,1)--.【解析】（1）将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集；（2）利用取整函数的定义，将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <，再利用（1）的结论进行求解. 【详解】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得：1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得：4x <；由()10f x <，1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得：28x -<<.故不等式2()10 x f x <<的解集为：(2,4)-. （2）依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <， 由（1）知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-. 因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，所以[,9](2,8)a a +⊆-，所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-，所以a 的取值范围为(2,1)--. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。

2020年河南省新乡市市第四中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在区间(1,+∞)上存在零点，则实数a的取值范围为( )A. B. C. (0,+∞) D.参考答案：D【分析】利用导数研究函数在上的单调性，当时，在上为增函数，且，即可判断其没有零点，不符合条件；当时，在上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当趋于时，趋于，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定的范围.【详解】因为函数，所以令，因为，当时，，所以所以在上为增函数，则，当时，，所以，所以在上为增函数，则，所以在上没有零点.当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，，当时，；所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，当时，，因为，当趋于时，趋于，所以在内，一定存在一个零点.所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.2. 经统计，数学的学习时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似线性相关关系，对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表由表中样本数据求的回归方程为=bx+，且直线l：x+18y=100，则点（，）在直线l 的．A．右下方B．右上方C．左下方D．左上方参考答案：B考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出样本中心坐标，代入回归直线方程，得到，的关系，即可判断点（，）与l的位置关系．解答：解：由题意可知=18，==110．样本中心（18，110）在回归直线上，∴110=18+＞100．∴点（，）在l右上侧．故选：B．点评：本题考查回归直线方程的应用，点与直线的位置关系的应用，基本知识的考查．3. 已知数列{a n}，则是数列{a n}是递增数列的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要参考答案：C4. 已知、、为互不重合的三个平面，命题若，，则；命题若上不共线的三点到的距离相等，则。