几何1

中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD，求证：CE平分∠BCD．证明：在BC上截取BF=BA，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE．在△BAE和△BFE中，，∴△BAE≌△BFE．∴EF=AE．∵E是AD的中点，∴DE=AE=EF．又∵BC=AB+CD，BF=AB，∴CD=CF，∴．∴△CED≌△CEF（SSS），∴∠FCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．分析：在BC上截取BF=BA．根据SAS证明△BAE≌△BFE．再证明△CEF≌△CED即可．点评：此题考查全等三角形的判定和性质，运用了截取法构造全等三角形进行证明，这是解决有关线段和差问题时常作的辅助线．变形1 如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．证明：延长CE，BA，相交于点F．∵AB∥CD，∴∠DCE=∠F，∠D=∠FAE．又∵DE=AE，∴△CDE≌△FAE（AAS），∴FA=CD=1，CE=FE．∵AB=2，BC=3，∴BC=3=BA+AF=BF ．∴CE ⊥BE ．分析：由已知AB ∥CD 和E 是AD 中点，不难想到作延长CE ，BA ，相交于点F 的辅助线．则得△CDE ≌△FAE ，得CE=CF ，结合结论CE ⊥BE 易联想到只需证BC=BF ，这容易从题中的数值中推得．变形2、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ．求证：AB+BD=AC ．证明：在AC 取一点E 使AB=AE ，在△ABD 和△AED 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAD ，AD ＝AD∴△ABD ≌△AED ，∴∠B=∠AED ，BD=DE又∵∠B=2∠C ，∴∠AED=2∠C∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDC=∠C ，∴ED=EC ，∴BD=EC∴AB+BD=AE+EC=AC例2、已知△ABC 中，∠A=60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并说明理由．分析 在CB 上取点G 使得CG=CD ，可证△BOE ≌△BOG ，得BE ═BG ，可证△CDO ≌△CGO ，得CD=CG ，可以求得BE+CD=BC ．解：在BC 上取点G 使得CG=CD ，∵∠BOC=180°-21（∠ABC+∠ACB ）=180°-21（180°-60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD 和△COG 中，∴△CODF ≌△COG （SAS ），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°-60°=60°=∠BOE ，∵在△BOE 和△BOG 中，∴△BOE ≌△BOG （ASA ），∴BE+CD=BG+CG=BC ．点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG 和BE=BG 是解题的关键．分析：延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，可得△ABE 是等边三角形，即可求得AC=AE ，可得∠ACE=∠AEC ，即可求得∠DCE=∠DEC ，可得DE=CD ，即可解题．变形1、 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ADB ＝90°﹣ ∠BDC ．试判 断线段 CD 、BD 与 AB 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论AB=BD+CD ，证明1：延长CD 到E ，使DE=BD ，连接AE ，∵∠ADB=90°-21∠BDC ， ∴∠ADE=180°-（90°-21∠BDC ）-∠BDC=90°-21∠BDC ，∴∠ADB=∠ADE ，在△ABD 和△AED 中AD ＝AD∠ADB ＝∠ADE BD ＝DE∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE ，∵AB=AC ，∴AE=AC ，∴△ACE 是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD ．证明2：以AD 为轴作△ABD 的对称△AB ′D （如图），则有B ′D=BD ，AB ′=AB=AC ，∠B ′=∠ABD=60°，∠ADB ′=∠ADB=90°- 21∠BDC ，所以∠ADB ′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°，所以C 、D 、B ′在一条直线上，所以△ACB ′是等边三角形，所以CA=CB ′=CD+DB ′=CD+BD ．证明3：（1）AB=BD+CD ；（2）延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，∵∠ABD=60°，∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB ，∠AEB=60°，∵AB=AC ，∴∠ACE=∠AEC，∵∠ACD=60°，∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，即∠DCE=∠DEC，∴DE=CD，∴BE=BD+DE=BD+CD，∴AB=BD+CD例题 3. 如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．分析：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD ≌△AFD，可得∠ADC=∠ADF即可解题．证明1：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，AC=AFCD=FDAD=AD∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．变形1 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE、BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．求证：AD平分∠CDE．证明2：如图．连结AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置．因为AB＝AE，所以AB与AE重合．因为∠ABC＋∠AED＝180°，∠AEF＝∠ABC，所以∠AEF＋∠AED＝180°．所以D、E、F三点在同一直线上，AC＝AF，BC＝EF．在△ADC与△ADF中，DF＝DE＋EF＝DE＋BC＝CD，AF＝AC，AD＝AD．所以△ADC≌△ADF(SSS)．因此∠ADC＝∠ADF，即AD平分∠CDE．思路解析：要证AD平分∠CDE，则需证∠ADC＝∠ADE；而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE是在△ADE中，且已知BC＋DE＝CD，AB＝AE，∠ABC＋∠AED＝180°，这时想到，连结AC，将四边形ABCD分成两个三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，这时可知D、E、F在同一直线上，且△ADC与△ADF是全等的，因此命题即可证得．变形2 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M 是 AB 延长线上一点， N 是 CA 延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并给出证明．解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．变形3、如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．（3）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．分析：（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而等量代换得到MN=BM+NC；（2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答；（3）按要求作出图形，BM、MN、NC之间的关系是MN=NC-BM，理由为：先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证．解：（1）MN=BM+NC，理由如下：延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示：∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，BD=CD∠MBD=∠ECDCE=BM∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，∴∠EDN=∠MDN，在△DMN和△DEN中，ND=ND∠EDN=∠MDNMD=ED，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；（2）利用（1）中的结论得出：△AMN的周长=AM+MN+ANAB--BM+MN+AC--NC=AB--CE+NE+AC--NCAB+AC=2+2=4；（3）按要求作出图形，如图2所示，（1）中结论不成立，应为MN=NC-BM，理由如下：在CA上截取CE=BM，∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠ECD=90°，又∵CE=BM，BD=CD，在△BMD和△CED中，∵CE=BM ∠MBD=ECD=90° BD=CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE=DM，在△MDN和△EDN中，∵ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED ，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．变形4、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．解：（1）BM+CN=MN证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．又∵∠MDN=60°，∴∠M1DN=∠MDN=60°．∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．（2）附加题：CN-BM=MN证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBM=∠DCM1=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∵∠BDM+∠BDN=60°，∴∠CDM1+∠BDN=60°．∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．∴∠M1DN=∠MDN．∵ND=ND，∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．分析：根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM1从而得到BM=CM1，然后再证明△MDN≌△M1DN，从而推出MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明．点评：此题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．该题是一个纯图形探索证明题，注意培养自己的探索精神和钻研精神．例题 4. 在四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点．（1）如图（1），若 AC 平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段 AE、AB、DE 的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若 ACE＝135°，求线段 AE 长度的最大值．分析（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=12BD，进而得出结论；（3）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理求出FG的值就可以得出结论．解：（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．如图1∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，∵AB=AF∠BAC=∠FACAC=AC，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD边的中点．∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，∵CF=CD∠ECF=∠ECDCE=CE，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE，故答案为：AE=AB+DE；（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长 度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（2）猜想：AE=AB+DE+21BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG=FC=21BD ．∵AE=AF+EG+FG ．∴AE=AB+DE+21BD ．（3）如图（3），BD ＝8，AB ＝2，DE ＝8，若 ACE ＝135°，求线段 AE 长度的最大值．（3）如图（3），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC 是等腰直角三角形．∴FC=21BD ．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=42．∵AE=AF+FG+GE ，∴AE=AB+42+DE ．∵AB=2，DE=8，∴AE=AF+FG+EG=10+42．点评 本题考查了和四边形有关的综合性题目，用到的知识点有：角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．例题 5.在△ABC 中，∠BAC ＝90°．（1）如图 1，直线 l 是 BC 的垂直平分线，请在图 1 中画出点 A 关于直线 l 的对称点 A ′，连接 A ′C ， A ′B ，A ′C 与 AB 交于点 E ；（2）将图 1 中的直线 A ′B 沿着 EC 方向平移，与直线 EC 交于点 D ，与直线 BC 交于点 F ，过点 F 作 直线 AB 的垂线，垂足为点 H ．①如图 2，若点 D 在线段 EC 上，请猜想线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点 D 在线段 EC 的延长线上，直接写出线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系．分析 （1）根据轴对称的性质画出即可；（2）过点F 作FG ⊥CA 于点G ，求出四边形HFGA 为矩形．推出FH=AG ，FG ∥AB 求出∠GFC=∠EBC ，根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC ，求出∠ECB=∠EBC=∠GFC ，∠FDC=∠A=90°，∠FDC=∠FGC=90°，根据AAS 推出△FGC ≌△CDF ，推出CG=FD 即可；（3）过F 作FH ⊥BA 于H ，过点C 作CG ⊥FH 于G ，求出四边形ACGH 为矩形．推出AC=GH ，CG ∥AB ，证△FGC ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得出FG=FD ，即可得出答案． 解：（1）如图：；（2）①DF+FH=CA ，①证明：过点F 作FG ⊥CA 于点G ，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH-DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH-FG=GH，∴FH-DF=AC．点评本题考查了平移的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题是一道综合性比较强的题目，难度偏大．变形1 （1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断)(2BCAC与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．分析：（1）连接BD，利用三角形三边关系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代换即可证明．（2）如图，作EB⊥AB，EB=2CD，利用（1）的结论即可证明．证明：（1）连接BD，∵∠ACD=∠ADC，∴AC=AD，∵AB+AD＞BD，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴BD=，∴AB+AC＞；（2）大小关系是（AC+BC）2＜AB2+4CD2，理由为：如图，作EB⊥AB，EB=2CD，∵AB+AC＞（1）的结论；两边平方得（AC+AB）2＞BC2+CD2，∴（AC+BC）2＜AB2+4CD2．点评：此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点，难易程度适中，是一道典型的题目．例题 6. 如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为AO 上一动点，过点 H 作直线 l⊥AO 于 H，分别交直线 AB、AC、BC、于点 N、E、M．（1）当直线 l 经过点 C 时（如图 2），求证：BN＝CD；（2）当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出 BN、CE、CD 之间的等量关系．解：（1 ）证明：连接ND ，∵AO 平分∠BAC ，∴∠1= ∠2 ，∵直线l ⊥AO 于H ，∴∠4= ∠5=90 °，∴∠6= ∠7 ，∴AN=AC ，∴NH=CH ，∴AH 是线段NC 的中垂线，∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ．∴∠AND= ∠ACB ，∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ，∠B+ ∠3= ∠7+∠9=2 ∠B ∴∠B= ∠3 ，∴BN=DN ，∴BN=DC ；（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。

解析⼏何专题1椭圆⽅程知识点及椭圆标准⽅程⾼考数学-椭圆知识点⼀、椭圆的定义：（1）第⼀定义:平⾯内与两定点F2距离和等于常数2a （⼤于）的点的轨迹叫做椭圆（2）第⼆定义：平⾯上到定点的距离与到定直线的距离之⽐为常数e,当0 e 1时，点的轨迹是椭圆?椭圆上⼀点到焦点的距离可以转化为到准线的距离?椭圆定义的表达式：PF, PF22a 2a F,F20 ;M P| PF, PF22a, 2a F,F20 .⼆、椭圆⽅程1?椭圆的标准⽅程：2 2 2 2焦点在x轴:冷占1a b 0 ；焦点在y轴:吿x21 a b 0 .a b a ba是长半轴长，b是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满⾜a2 b2 c2.2. Ax2 By2 CA、B、C均不为零，且AB表⽰椭圆的条件为：Ax2 By2. x2y21C C，C C .A ~B所以只有A、B、C同号，且A B时，⽅程表⽰椭圆；当 C C时，椭圆的焦点在x轴上；A B当 C C时，椭圆的焦点在y轴上.A B2 2三、椭圆的⼏何性质（以笃笃1a b 0为例）a b1. 有限性：x a, y b说明椭圆位于直线x a和y b所围成的矩形⾥（封闭曲线）.该性质主要⽤于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x轴、y轴对称。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A a,0、A2 a,0、B“ 0, b、B2 0,b .4. 长轴、短轴、焦距：A .A 2叫椭圆的长轴，A A 2a, a 是长半轴长;B 1B 2叫椭圆的短轴，BB 2 2b,b 是短半轴长. F 1F 2叫椭圆的焦距；为2c.5. 离⼼率（1）椭圆焦距与长轴的⽐e -a2 2 2（2） Rt OB 2F 2, B 2F 2 OB 2OF 2 ，即a 2 b 2 c 2.这是椭圆的特征三⾓形，并且cos OF 2B 2的值是椭圆的离⼼率.（3）椭圆的圆扁程度由离⼼率的⼤⼩确定，与焦点所在的坐标轴⽆关 .当e 接近于1时，c 越接近于a ，从⽽b .a 2c 2越⼩，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从⽽b 、、a 2 c 2 越⼤，椭圆越接近圆。

（一）导入新课
新课导入是激发学生学习兴趣、吸引注意力的关键环节。我将采用以下方式导入新课：
1.生活实例引入：通过展示生活中常见的几何图形，如窗户的形状、地砖的排列等，让学生直观感受到几何图形在生活中的广泛应用，引发他们对几何图形的探究欲望。
2.提出问题：向学生提出引导性问题，如“你们在生活中还见到过哪些几何图形？”“这些图形有什么特点？”等，激发学生的思考，为进入新课学习做好铺垫。
人教版七年级数学4.1几何图形1说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课是人教版七年级数学下册第四章第一节“几何图形1”，在整个课程体系中，本章是学生在学习了一元一次方程、不等式及它们的应用等知识之后，对几何知识的初步接触。这部分内容为后续的几何学习奠定基础，起着承上启下的作用。本节课的主要知识点包括：认识基本的几何图形（如点、线、射线、线段、角等），了解它们的基本性质和分类，以及平面图形的识别。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将引导学生进行自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.学生自评：让学生回顾本节课所学内容，总结自己在几何图形认识、分类和应用方面的收获和不足。
2.同伴互评：组织学生相互评价，从不同角度给予意见和建议，促进学生之间的相互学习和提高。
3.教师评价：针对学生的表现，给予肯定和鼓励，同时指出存在的问题，为学生提供改进的方向。
2.课堂互动可能不够充分，影响学生的学习积极性。
3.时间分配可能不合理，导致教学计划无法顺利完成。
为应对这些问题，我将：
1.通过丰富的教学资源和手段，如教具、多媒体等，帮助学生提高空间想象力。
2.鼓励学生积极参与，设置多样的互动环节，增强课堂活力。
3.灵活调整教学节奏，确保教学内容能够得到充分讲解和巩固。

（高中）竞赛平面几何必备定理1． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=．2． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abcc p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 3． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 44． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．5． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．6． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 7． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．8． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）9． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．10． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．11． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．12． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 13． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点． 14．15． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．16． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．17． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ． 18． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．19． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABGS S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+；②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．20． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CcB b A a yC cy B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H CB AC B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆； （4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．21． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则acb KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．22． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O CB AC B A ++++++++外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．23． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．24． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABCsin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 25． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2s i n2c o s 2c o s 4,2c o s 2s i n 2c o s 4,2c o s 2c o s 2s i n 4;2s i n 2s i n 2s i n 4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a=++===26． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 27． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．28． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1． 29． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点30． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．31． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．32． 史坦纳定理：设△ABC 的垂心为H ，其外接圆的任意点P ，这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心．． 33． 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．34． 牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．35． 笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．36． 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．。