区域分解耦合有限元和边界元算法及其应用

论文分类号 P641 单位代码 10183密级内部研究生学号 4990089吉林大学硕士学位论文区域分解耦合有限元和边界元法及其在地下水中的应用Domain Decomposition Approach for Coupling the Finite and Boundary Element Methodsand Application in Groundwater作者姓名：宋丽红专业：应用数学导师姓名杨天行教及职称：论文起止年月：2001年3月至2002年5 月目 录　内　容　提　要　第一章　绪　论＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊１ §１．１研究意义及现状＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊１ §１．２　研究内容　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊４　第二章　区域分解算法原理＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊５　§２．１区域分解算法概要＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊５　§２．２重叠型区域分解算法＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊７　§２．３非重叠型区域分解算法＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊１３　第三章　承压二维稳定流的边界元方法＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊１６　§３．１　边界积分方程的建立＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊１７　§３．２　离散化及边界元方程的建立＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊２０　§３．３　区域内任意点水头值的计算＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊２３　第四章　承压二维稳定流的有限元方法＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊２５　第五章　区域分解耦合有限元和边界元法＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊２９　§５．１　方法概要＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊２９　§５．２　区域分解耦合有限元和边界元法＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊３０　§５．３　耦合算法的收敛估计＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊３２　§５．４　数值例子＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　３４　§５．５　应用举例＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　３６　第六章　结束语＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊３９　致 谢＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊４０　参考文献＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊４１　摘 要（中、英文）　内容提要本文主要探讨区域分解耦合有限元和边界元算法及其应用。

耦合边界元和有限元方法是一种有效的分析工具，能充分利用它们各自的优点。

传统的耦合方法是在整个区域使用一个统一的控制方程，一类方法是把有限元区域转换成边界元区域，当采用混合有限元法时，这个办法是特别引人注目的，因为在这种情况下，两部分的自由度易于配合；另外一类方法是将边界元区域转换成有限元区域，这个过程一般给出不对称的单元矩阵。

而本文提到的耦合有限元和边界元是通过区域分解算法和边界松弛法来实现。

它的优点就是不必象传统的耦合方法那样组合子区域内的有限元和边界元的系数矩阵。

而是对于每个子区域单独计算，并且在每个子区域交界处的变量更新都可以达到收敛的效果。

在论文最后给出了地下水承压稳定流的解，并同边界元解进行了比较，证明该算法是可行的。

第一章 绪 论　§１．１ 研究意义及现状　１．　研究意义　随着工农业生产的发展和人民生活水平的提高，地下水资源的供需矛盾日渐突出，因此对地下水资源的评价与管理提出了更高的需求，即要从定量角度对地下水资源进行预测和评价，建立合理的开发利用方案。

７０年代初以来，随着电子计算机的发展，数值模拟技术逐渐渗透到水文地质学科，开拓了水文地质领域的定量计算，人们通过数值模拟技术，来获得满足一定工程要求的数值解，尤其在水量计算、资源评价、地下水污染预测、地下水的合理开发和地下水资源管理等方面应用更加广泛。

经过多年的探索和实践表明，数值模拟对水文地质学科中某些理论和实际问题的解决起了很大的作用，构成现代水文地质学科形成和发展的重要推动力之一，已成为人们揭示水文地质规律和资源评价与管理中必不可少的工具。

近年来，随着并行计算机和并行算法的发展，一类被称为区域分解算法（Ｄｏｍａｉｎ　Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ）的偏微分方程数值解的新技术骤然崛起，并愈来愈受到人们的重视。

它也为解决地下水方面的问题提供了新方法、新思路。

区域分解算法是当前并行数值计算中最活跃的研究与应用领域之一。

它是把计算区域?分解成若干个子区域?mi i1????，子区域i?的形状尽可能的规则，于是原问题的求解转化为在子域上求解。

区域分解算法特别受关注是因为它具有其他方法无法比拟的优越性：　１）　它把大问题化为若干小问题，缩小计算规模。

　２）　子区域形状如果规则（如长方形），其上或者允许使用熟知的快速算法，如快速Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＦＦＴ），谱方法等，或者已经有解这类规则问题的高效率软件备用。

　 ３）　允许使用局部拟一致网格，无需用整体拟一致网格，甚至各子域可以用不同离散方法进行计算。

　４）　允许在不同子域选用不同的数学模型，以便整体模型更适合于工程物理实际情况。

　５）　算法是高度并行的，即计算的主要步骤是在各子域内独立进行的。

　 有限元耦合边界元算法，可以汲取有限元和边界元两者的优点，尤其对于解很大域中有局部非均质区域的情况特别有利。

　耦合有限元和边界元方法是一种有效的分析工具，能充分利用它们各自的优点，一般的耦合方法是满足整个区域使用一个统一的方程，只是通过改变方法中的一个方程使之与其他方程相容。

而耦合有限元和边界元是通过区域分解算法和迭代松弛法来实现。

它的优点就是不必象传统的耦合方法那样组合子区域内的有限元和边界元的系数矩阵。

对于每个子区域的单独计算和在每个子区域交界处的变量更新都可以达到收敛的效果。

２．　研究现状　自７０年代以来，由于数值法，如有限差分法、有限元法和边界元法等方法的介入，极大的促进了地下水动力学的发展，基本上解决了以往用解析法很难处理的不规则边界、非均质和各向异性等问题。

但这些数值方法各有利弊，有限差分法的基本思想是用差商近似控制方程中的微商，然后耦合初始条件及边界条件求解封闭的线性代数方程组，该方法具有物理概念清楚、直观、易懂、计算简单、编制计算程序容易等特点，６０年代，Ｐｉｎｄｅｒ　和Ｂｒｅｄｅｈｏｅｆｔ（１９６８）将Ｐｅａｃｅｍａｎ和Ｒａｃｈｆｏｒｄ（１９５５）提出的交替方向隐式方法用于地下水的计算，稍后又引入强隐式（ｓｔｏｎｅ，１９６８；Ｔｒｅｓｃｏｔｔ等，１９７７；李竞生，１９７８），这些方法具有占有内存少，计算速度快等优点，对地下水流走向定量化模拟起到了促进作用。

但是在处理较不规则的几何区域方面却欠缺。

６０年代后期，有限元方法开始应用于地下水流计算中，几十年来，我国水文地质工作者应用有限元数值模拟技术解决了一大批供水水源地的资源评价、区域地下水资源评价、海水入侵、污染物在地下水中运移过程等问题。

与有限差分比，由于节点配制方式比较任意，单元大小比较随意，形状可以变化，因此，对于复杂形状的渗流区，可以使边界节点完全落在区域边界上面以及适应不同水头的分布情况，但由于有限元法是采用线性形函数描绘单元内的水位，往往对水力梯度较大的部位算得的水位有可能失真，某些节点产生振荡（由于在一个单元内部有限元方程不能正确地反映质量守恒定律，出现反热传导方程），而且有限元法占有计算机的内存要大一些，前期准备工作及运算工作量（前处理）大。

　７０年代后期及８０年代出现的边界元法现已发展成为一种新的数值计算方法，边界元法是通过Ｇｒｅｅｎ公式和定解问题的Ｇｒｅｅｎ函数化微分方程为边界积分方程，使用离散化技术离散边界，当求出边界上的水位之后，对计算区内的水位可依靠边界上的水位用简单公式求出。

与有限元相比，由于离散化引起的误差仅来源于边界，不仅提高了精度，而且使输入数据简化，避免了有限元数据的准备和核对等繁琐工作，减少了工作量，在有限元出现的很短时间内，很多学者对用边界元方法求解井流、自由面地下水流、非稳定流、溶质运移等问题从理论和实际都进行了积极探索，并取得了成功，其中朱学愚、谢春江（１９８９，１９９０）、罗焕炎、陈雨孙（１９８８）等关于边界元方法都有著作。

　而近年兴起的区域分解算法，主要被应用在油、气藏的勘探与开发、天气预报、航天器的设计以及弹性力学等方面，在地下水管理方面的应用，国内还未有文献。

尤其是区域分解耦合有限元和边界元法在地下水方面的研究还未见文献，关于此方法的应用主要集中在弹性力学方面。

　§１．２ 研究内容　８０年代兴起的能将大问题化为小问题的区域分解算法是２１世纪水文地质科学前沿研究领域之一。

由于方法本身具有很强的健全性和并行处理功能，因而特别适用于解大范围的、不规则形态的区域。

　论文根据区域分解算法具有分区的特点，将计算区域分成２个大区，在一个区内采用有限元方法，在另一个区内采用边界元方法。

区域分解耦合有限元和边界元法构造出了一种新算法及计算机自动实现技术，将地下水计算工作提高到新水平。

　论文研究采用理论分析，公式推导，程序编制，理论和实际模型计算相结合的研究方法。

然后将新的方法和程序用于实际地下水流模型的求解计算，检验其实用性。

　论文首次将区域分解算法（ＤＤＭ）同有限元和边界元法结合用于求解地下水问题，并使用一个简单的地下水稳定流的实际问题对该理论进行了验证。

论文对解决水文计算问题提供了新思路，同时也丰富和发展了区域分解算法的研究和应用领域。