比例边界有限元优缺点及其应用

有限元边界条件处理方法和各自的优缺点
有限元边界条件处理方法主要有以下几种：
直接法。

直接在有限元方程中引入边界条件，需要增加未知量，增加方程求解规模。

消去法。

通过引入新的变量和方程，将边界条件消去，需要增加计算量。

罚函数法。

通过在总能量中引入罚函数项，将边界条件转化为求解过程中的约束条件，需要调整罚函数参数。

这几种方法的优缺点如下：
直接法：优点是简单直观，易于实现；缺点是需要增加未知量，增加方程求解规模。

消去法：优点是无需增加未知量；缺点是需要增加计算量，且对于复杂问题可能难以实现。

罚函数法：优点是无需增加未知量；缺点是需要调整罚函数参数，且对于某些问题可能不适用。

２０２４年１月水 利 学 报ＳＨＵＩＬＩ ＸＵＥＢＡＯ第５５卷　第１期文章编号：０５５９－９３５０（２０２４）０１－０１１５－１１收稿日期：２０２３－０９－２０；网络出版日期：２０２４－０１－２４网络首发地址：ｈｔｔｐｓ：??ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ?ｋｃｍｓ?ｄｅｔａｉｌ?１１．１８８２．ＴＶ．２０２４０１２３．１０３４．００３．ｈｔｍｌ基金项目：国家自然科学基金项目（５１９７９２９２，５２３７８３４４，５１９６９０１８，５１７６９０１７）；江西省自然科学基金项目（２０２２４ＢＡＢ２０４０７６）；赣鄱俊才支持计划·青年科技人才托举项目（２０２３ＱＴ０８）作者简介：蒋新新（１９９０－），博士，讲师，主要从事水工结构静动力分析研究。

Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｉａｎｇｘｉｎｘｉｎ＠ｎｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ通信作者：钟红（１９８１－），博士，正高级工程师，主要从事水工结构静动力分析与抗震安全评价研究。

Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈｏｎｇｈｏｎｇ＠ｉｗｈｒ．ｃｏｍ重力坝地震断裂的多边形比例边界有限元模型研究蒋新新１，钟　红２，李云途２，牛景太１，邓志平１，黄红元１（１．南昌工程学院，江西南昌　３３００９９；２．流域水循环模拟与调控国家重点实验室，中国水利水电科学研究院，北京　１０００３８）摘要：为研究重力坝的地震断裂破坏机理，基于线弹性断裂力学和多边形比例边界有限元法（ＰｏｌｙｇｏｎＳＢＦＥＭ）提出一种全自动的重力坝动态断裂分析模型。

该模型继承了ＳＢＦＥＭ在断裂分析中高精度和高效率的优势，通过建立多边形比例边界有限单元广义动态应力强度因子的时域分析方法实现任意时刻断裂参数的求解，并结合裂缝扩展准则可实时判定裂缝稳定性；对达到临界状态的裂缝采用多边形网格局部重剖分技术，开发了考虑裂缝张开－闭合行为的动态接触模拟算法，进而实现了裂缝动态扩展高效自动化模拟。

以Ｋｏｙｎａ重力坝为研究对象，考虑大坝库水动力相互作用，模拟了地震作用下坝体裂缝扩展过程，获得了断裂路径，验证了模型的正确性。

基于图像八叉树的三维比例边界有限元多面体网格生成算法章鹏;杜成斌;赵文虎
【期刊名称】《河海大学学报(自然科学版)》
【年(卷),期】2024(52)1
【摘要】基于图像八叉树方法,提出了平衡八叉树和多面体网格修剪相结合的三维比例边界有限元多面体网格算法,该算法根据结构尺寸建立恰好完全包含整个结构的立方体网格,再建立结构图像像素信息,根据像素信息,按照2∶1的平衡分割原则递归地进行等分,完成平衡八叉树网格生成。

结构内单元网格完全保留,结构外单元网格删除,对于结构边界单元网格,提出采用面-立方体相交判断方法进行边界单元与结构边界相交面的筛选,搜寻结构单元与结构边界表面相交点,通过有序连接相交点形成边界单元切割面,再结合边界单元其他几个面,构成裁剪后的多面体单元。

数值算例结果表明,基于本文算法生成的比例边界有限元网格计算结果具有较好的精度和边界适应性。

【总页数】9页(P46-54)
【作者】章鹏;杜成斌;赵文虎
【作者单位】南京工程学院土木工程与智慧管理研究所;河海大学力学与材料学院;南昌大学工程建设学院
【正文语种】中文
【中图分类】O346.1
【相关文献】
1.基于正四面体的八叉树法三维有限元网格生成
2.基于比例边界有限元法的结构-地基动力相互作用时域算法的改进
3.三维比例边界有限元法与八叉树网格剖分相结合求结构响应
4.基于比例边界有限元法和灰狼优化算法的裂纹尖端位置识别
5.基于四叉树算法的网格划分及其在比例边界有限元法中的应用
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比例边界有限元法求解裂纹面接触问题章鹏;杜成斌;江守燕【摘要】比例边界有限元侧面上有任意荷载时,将侧面载荷分解成关于径向方向局部坐标的多项式函数的和,推导给出了考虑侧面载荷存在的新型形函数,并基于该形函数推导了刚度矩阵和等效节点载荷列阵.首次对比例边界有限元法求解裂纹面接触问题进行了研究,运用Lagrange乘子引入接触界面约束条件,推导给出了比例边界有限元求解裂纹面接触问题的控制方程.将裂纹面单元分为非裂尖单元和含有侧面的裂尖单元.在非裂尖单元中的裂纹面,裂纹面作为多边形单元的边界,边界上的接触力可等效到节点上,通过在节点上构造Lagrange乘子,采用点对点接触约束进行处理.对于含有侧面的裂尖单元,在整个侧面上构造Lagrange乘子的插值场,采用边对边接触约束进行处理.对三个不同的接触约束状态下的算例进行了数值计算,通过与解析解及有限元软件ABAQUS计算结果的对比,验证了本文提出的比例边界有限元点对点和边对边接触求解裂纹面接触问题的精确性与有效性.%In the case of arbitrary tractions on the side faces of the crack, a polynomial function of the radial coordinate can be employed to describe the side face loads in the scaled boundary finite element method (SBFEM). The SBFEM new shape function considering the side face loads is presented. The corresponding stiffness matrix and equivalent node load is derived together based on the SBFEM new shape function. The model of crack face contact using the SBFEM is proposed in this paper for the first time. Lagrange's multiplier method is used to establish the contact constraints of contact model between crack faces. The governing equations for the nonlinear surface contact problems in SBFEM is derived, includingadhesion contact problems and sliding friction problems. The elements where the crack faces lie are divided into non crack tip elements and the crack tip element. For the former, the crack faces act as the boundary of the SBFEM element, the contact tractions on the boundary can be assigned to the nodes equivalently and the Lagrange's multiplier is applied for the point constraints. For the latter, the interpolation field of Lagrange's multiplier is constructed on the whole side faces. The Lagrange's multiplier is assumed to be linear along the side faces,the segment constraint approach is proposed to optimize the fulfilment of the contact constraints along the crack faces .By comparing the results of the calculation of analytical solution and software ABAQUS on three different numerical contact problems of crack faces, the accuracy and effectiveness of the proposed point-to-point and segment-to-segment contact model for fracture surfaces contact problems is verified in this paper.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2017(049)006【总页数】13页(P1335-1347)【关键词】比例边界有限元;形函数;裂纹;点对点接触;边对边接触【作者】章鹏;杜成斌;江守燕【作者单位】河海大学工程力学系,南京 211100;河海大学工程力学系,南京211100;河海大学工程力学系,南京 211100【正文语种】中文【中图分类】O346.1在工程实际中，由于各种原因，工程结构或多或少都存在着裂缝(纹)[1].在外力作用下，既存在受拉状态的张开型裂纹，也有压剪状态的闭合型裂纹.用数值方法分析闭合型裂纹时，需要在裂纹面上施加合适的接触条件，以反映裂纹面间的接触状态，否则裂纹面会发生与实际不符的相互嵌入现象[2-3].目前施加接触条件的方法主要有Lagrange乘子法[4-5]，增广的Lagrange乘子法[6]，罚函数法[7-8]，线性互补法[9]等.比例边界有限元法(scaled boundary fi nite element method，SBFEM)是由Wolf和Song在20世纪90年代末率先提出和发展起来的一种半解析的数值计算方法[10-11].该方法在计算过程中仅需离散结构的边界，降低了数值模拟维度，而且可以半解析地表征裂纹尖端的奇异性[12-14].基于上述优点，SBFEM在工程问题方面的应用正逐渐成为学术研究的前沿和热点[15-18].比例边界有限单元可以为含有任意边数的多边形，该特点也使在求解裂纹扩展时重划分网格具有简单性和高效性.Ooi等[19]推导给出了不考虑侧面载荷存在的多边形SBFEM位移形函数，并利用该形函数，推导了采用SBFEM求解弹塑性问题的有关公式，拓宽了SBFEM的应用范围，使得SBFEM可以求解一些非线性问题.接触问题属于典型的非线性问题，在有限元法[20-21]、扩展有限元法[22-23]、边界元法[24]中已经得到了较长时间的发展.但是在各种方法中或多或少存在一些问题，有限元求解裂纹问题时，因为裂纹的不连续性，需要将裂纹定义在单元边界上，且在裂尖区域需要划分非常细的网格来反映应力奇异性，这将很大程度上降低求解裂纹接触问题的效率.扩展有限元中裂纹位于单元内部，采用点对点接触方案不能正确的表示裂纹面接触，只能采用砂浆法(mortar method)或边对边(segment-to-segment)接触方法来求解裂纹面接触应力，对每一个裂纹面单元都需数值积分求解，且对于裂尖单元的接触应力只可假设为恒定值[22]，这将很大程度上降低接触应力的求解精度.边界元法求解接触较有优势，但是其本身方法需要求得严格满足控制方程的基本解，不适于对非均质、非各向同性介质的求解，还需进一步发展研究.比例边界有限元作为一种新型的高精度的数值方法，尚未发现有文献采用该方法求解裂纹面接触问题.采用SBFEM求解裂纹面接触问题时会遇到缝面存在载荷的情况，如缝面接触应力等.所以首先必须给出侧面存在载荷的比例边界有限元的有关列式.本文将任意侧边载荷表示为关于径向坐标ξ的多项式函数[25-26]，推导了含有侧面载荷影响的SBFEM的形函数，并给出了相应的刚度矩阵以及等效载荷列式.将裂纹面单元分为非裂尖单元和含有侧面的裂尖单元.对于不含有裂尖的单元，裂纹面位于单元边界上，在节点上构造Lagrange乘子，采用点对点约束模拟裂纹面的接触.对于含有裂尖的单元，其裂纹面位于裂尖单元的侧面(side faces)上，由于侧面为非边界面，按常规思路施加点对约束不能正确的表示裂纹面接触，因此本文提出了在裂尖单元的裂纹面上采用边对边约束方法处理接触问题，即在整个侧面上构造Lagrange乘子的插值场，Lagrange乘子呈线性变化，通过Lagrange乘子推导出了SBFEM接触控制方程.通过若干不同的算例，验证了采用多边形SBFEM点对点--边对边接触可精确的模拟含有裂尖单元的接触问题.图1为一个含有裂纹的任意多边形，采用4个任意多边形SBFEM单元[27]进行离散，其中子域1包含裂纹信息(裂纹单元).根据比例边界有限元的单元形态要求，在每一个单元子域内，均需要选取一个比例中心，通过此中心该子域的全部边界都可见[28].处理复杂结构问题时，可通过合理布置比例中心位置将模型离散成多个多边形子域来满足这一基本要求.图2为具有裂纹面任意载荷的比例边界有限元单元模型，O(裂尖)为比例中心，断裂问题比例中心通常选在裂尖处，定义ξ(0 6 ξ 6 1)为径向坐标，s(0 6 s 6 1)为环向坐标，模型边界(ξ=1)离散成一维线单元，而裂纹侧面(side faces)不需要离散.ξ−s形成比例边界有限元局部坐标系.其中环向坐标s正向沿着单元边界逆时针变化[11]，径向坐标ξ正向沿着比例中心向外变化，其中ξ=0代表比例中心O，ξ=1代表边界上的点.对于裂纹单元内任意一点，相对于比例中心的局部坐标(x,y)T可用ξ和s表示为其中，(x0y0)为边界上的节点坐标.N(s)表示为沿s方向的形函数其中n为边界节点个数.考虑侧面载荷的比例边界有限元的控制方程可通过加权平均法[7]或者虚功原理[8]得到该方程为径向上的平衡方程.其中E0,E1,E2为单元的系数矩阵，Ft(ξ)为侧面载荷，u(ξ)为节点位移函数.式(3)为含有2n个未知数u(ξ)的二阶微分方程，可化为一阶微分方程其中q(ξ)为内部节点力，Z为2n×2n阶Hamiltonian矩阵，满足采用Schur分解[29]得到单元的模态位移ψd，模态载荷ψq及对应的特征值矩阵Λλ.裂纹侧面上的任意载荷可以分解为关于ξ的M阶多项式函数[25]式中Wi为单元侧边力分布矩阵，ai为第i阶多项式系数.侧面载荷的第i阶位移模态[11]为则径向位移解为式(10)中第1项为式(3)的齐次通解.式(10)的矩阵形式为其中Λλ为特征值矩阵，Λt=dig(1,2,3···,M),a为ai组成的系数向量，c为积分常数，由边界条件确定.边界上的节点位移为其中积分常数c用边界位移表达为将式(13)代入式(11)可得式(14)的矩阵形式可写为将式(15b)和式(15c)代入式(15a)可得比例边界有限元在环向s上采用与有限单元法中形函数类似方法，通过N(s)进行插值，即将式(16)代入式(17)可得令可得由式(20)可知，Nt(ξ,s)为采用比例边界有限元法考虑侧面任意载荷时的形函数.将式(19)各变量代入式(15b)和式(15c)得到对于不考虑侧面载荷的比例边界元形函数为[16]由式 (21)和式 (22)对比可看出Nt(ξ,s)左半部分N(s)ψdξ−Λλψ−1d 为不考虑侧面载荷的形函数，右半部分为多项式函数该多项式函数可看作是由侧面载荷对位移模式的影响，式(16)u0中的a作为特解位移的值，可看作为额外自由度.式(22)和式(23)两部分组成了考虑侧边力任意载荷时的形函数.从中可看出，无侧面载荷的形函数为考虑侧面载荷的形函数的一个特例，即a=0.SBFEM的应变矩阵[11]为其中B1(s)和B2(s)是应变位移矩阵.将式(16)代入式(24)得引入应变位移矩阵应变矩阵可写为应力矩阵为其中D是材料的弹性矩阵.考虑面载荷和侧边载荷时，采用虚功原理的表达式为式中t(s)为边界上的面力[11]，其他符号同前.将式(20)、式(28)、式(29)代入式(30)得式(31)等价为式(31)中左边括号部分可视为刚度矩阵，即将式(27)代入式(33)可得将dV进行积分得到定义矩阵Y式(36)可以采用高斯积分或者Guass-Lobatto-Legendre积分[30]方法进行积分求解.考虑式(36)，式(35)可改写为定义矩阵X采用分部积分，式(38)可化简为Lyapunov方程[31]式(39)可通过Matlab自带函数求解Lyapunov方程，得出矩阵X.将式(38)代入式(37)得出刚度矩阵K式(32)中等式右侧为等效节点载荷Fp将式(33)、式(41)代入式(31)中可得到考虑侧面载荷的比例边界有限元支配方程两物体接触受压时，在物体表面需引入物体表面的接触条件，以避免物体发生相互侵入[32].如图3所示，考虑二维问题，可能发生接触的两个表面记为SA和SB，为了系统地分析两物体表面的接触条件的施加方法，建立局部坐标系，设xA为SA上任一指定点P的坐标，则该点至SB面上最接近点Q的法向相对距离gN为式中，是指Q点的法线正方向.同理定义切向相对距离gT式中，是指Q点的切线正方向.对于弹性接触问题，满足Coulomb定律的接触力和物体相对距离的关系可用下列等式和不等式[33]表示接触问题可描述为求区域内位移场，使得系统的势能达到最小.Lagrange乘子法[4]是求解接触约束最小化问题的常用方法之一，通过引入Lagrange乘子将接触问题转化为无约束问题求解.接触状态有3种：张开、粘结、滑移.法向Lagrange乘子场λN表示当接触发生时迫使gN等于0(裂纹面接触但无嵌入)的压力.在裂纹面为粘结接触时，切向Lagrange乘子场λT表示在粘结区迫使满足粘结条件的切向力，在裂纹面发生滑移接触时，切向Lagrange乘子场λT表示为滑移的摩擦力.应用Lagrange乘子法在物体表面考虑摩擦接触条件时可导出3个方程：(1)接触不嵌入条件(2)在切向满足粘结条件时，即在切向满足有摩擦的滑动接触状态时：切向运动不再受约束，但是切向力满足(3)虚功原理(外力虚功包括接触应力)，即如图4所示为比例边界有限元网格，假设满足粘结接触，则法向在粘结约束条件下，裂纹面上的P点和Q点法向接触间距为0.根据式(48)可得其中外法向向量nQ={−sinα cosα}T.切向方向上，在粘结接触条件下，根据式(49)可得正切向向量sQ={cosα sinα}T.在不含裂尖的裂纹面单元中，如图4的第1,2个单元，裂纹面接触分别在两个单元的边界上(ξ=1)，在该边界上其形函数N(s,ξ=1)=N(s)只是关于s的函数，可以采用虚功原理将边界上的接触应力等效到该裂纹面边界节点上，边界节点上的接触载荷为等效节点载荷.所以只需点约束即可精确模拟接触，在节点上构造Lagrange乘子(λN,λT)，则在第k个点对P点和Q点间，式(52)可写为其中，CNk为矩阵CN第k行，Cindex为点对P和Q两节点在整体节点中的坐标变换.由式(54)可得裂纹面点对点接触法向方向约束方程同样在切向方向，令可得裂纹面点对接触切向方向约束方程将含有裂尖单元的比例中心放在裂尖处，如图4的单元3所示.在该单元的裂纹面侧面(side faces)上，ξ从0变化到1，该单元所受的裂纹面接触应力为侧面应力.该侧面的形函数Nt(ξ,s)为关于(ξ,s)的函数，因为此时裂纹面为非边界面(ξ(0 6 ξ 6 1))，按常规思路施加点对约束不能正确地表示裂纹面接触.为此本文提出了在裂尖单元中采用边对边接触方法，即在整个侧面上构造Lagrange乘子的插值场，Lagrange乘子呈线性变化，其插值可表示为其中,λj1为侧边中心(裂尖中心)的接触应力，λj2为侧边端点的接触应力.Mi为Lagrange乘子插值函数则式(52)可写为由式(19)形函数可知同理可求出uPy，uQx，uQy代入式(61)并进行运算积分可得其中CNc为考虑式(61)和式(62)运算积分所得.最终得到裂尖单元边对边接触法向约束方程同理可得到裂纹侧面边对边接触切向方向约束方程考虑插值得到的Lagrange乘子，式(51)的虚功方程用矩阵形式可表示为其中，K和F为SBFEM的刚度矩阵和载荷列阵，u0为SBFEM位移列阵；λN和λT为法向和切向Lagrange乘子.根据虚功方程(66)和前文所得的约束方程，假设裂纹面满足粘结接触条件，则系统的控制方程为式(67)第1行为虚功方程推导出的平衡方程，第2行为法向接触条件，第3行为切向粘结接触条件.在满足有摩擦的滑移条件的状态下，其切向运动不受约束，即式(67)第3行将不再成立.而切向摩擦力满足式(50).故满足滑动接触状态的控制方程为图5为含贯穿裂纹的矩形板，板左端固定，右端受到q=100Pa的均匀压应力.板长3m，宽为2m，裂纹面与 x轴夹角α=50◦，裂纹与上边界的交点坐标为(1.9m,2m).杨氏模量E=76kPa，泊松比ν=0.3，采用平面应变假设.假设斜裂纹摩擦系数 f足够大，裂纹面处于完全粘结接触状态.采用多边形单元[34-35]进行离散.由于结构比较简单，因此将模型划分成2个子域，并采用2节点单元离散子域的边界(节点用•表示)，如图6所示.由于是完全贯穿的裂纹，只需在裂纹面上采用点对点约束即可模拟接触问题.图7为板受压变形后的位移云图.由于裂纹面接触条件的施加，从位移云图中可看出，位移具有连续性，在受压裂纹面上没有发生相互嵌入，从而表明接触条件施加是正确的.为了验证该方法精确性与收敛性，采用结构应变能相对误差作为指标.应变能误差的表达式[36]可以写为应变能的相对误差为其中，σh是本文方法求得的应力，σexact为应力值解析解，Uexact为应变能解析解.为了比较SBFEM求解裂纹面接触问题的精度和效率，采用目前应用较为广泛的商业有限元软件ABAQUS进行模拟对比.ABAQUS在接触程序处理中，采用Lagrange乘子接触[37].图8分别给出了两种方法计算得到的应变能相对误差随不同网格(粗网格、中等网格和细网格)的自由度变化，从图中可看出，SBFEM方法求解裂纹面接触问题收敛极快，仅需16个自由度就无限趋近于解析解(应变能相对误差为(3×10−20)%)，随着网格的变化，求解精度基本不变.而ABAQUS收敛性较慢(粗网格下应变能相对误差(3.6×10−3)%)，而且在网格较细，自由度较高的情况下，其计算精度仍远低于SBFEM较低的自由度计算精度，这说明了SBFEM 求解裂纹面接触问题的高精度与高效性.为了进一步验证该方法在一般情况下的求解能力，本文对含有孔洞及裂纹的无限大板在压力状态下进行了数值模拟.式(71)∼式(73)给出了含有半圆孔的半无限大板承受压力载荷时的解析解[38].该板在极坐标下的解为当板的尺寸长度L与圆孔半径R的比例足够大时，可以近似用来模拟含有半孔洞的无限大板.图9为该模型的几何尺寸.坐标系原点设在圆孔的圆心处，板的长度为30m，板的高度为15m，圆孔的半径R为1m，在圆孔的正下方有一条长度为a=1.68m的裂纹，板的两端受到σ∞=100Pa的均匀压力，板的上端数值方向位移为0.假设摩擦因子f足够大，裂纹处于完全粘结接触状态.板在孔洞周围存在应力集中现象，因此该模型采用较密的多边形网格进行离散，如图10所示(图中*为裂纹尖端).采用点对点与边对边接触方法求解该裂纹接触问题. 图11和图 12给出了结构的变形图和位移云图，由于原结构变形极小，图11对原结构变形进行了一定比例的放大(放大了70倍).从结构的变形图和位移云图可看出，采用该方法考虑接触时，变形与没有裂纹情况几乎一样，受压裂纹面上位移具有连续性，没有发生相互嵌入.从而表明接触算法是正确的.图13为采用SBFEM和ABAQUS两种方法计算的应变能相对误差随不同网格自由度的变化.由图中可看出，基于SBFEM求解的结果在自由度数较小情况下，误差较小(相对误差为0.0032%)，而基于ABAQUS的求解误差在自由度数较小情况下所得误差较大(相对误差为1.7%)，随着网格的加密，自由度数的增大，误差逐渐减小，但ABAQUS求解精度远小于SBFEM求解精度.这说明SBFEM点对点和边对边约束方法在非均布应力下的裂纹接触仍具有较高的精度和效率.在满足粘结接触下，裂纹接触面在法向和切向方向都无相对位移.在有摩擦的滑移接触下，接触在法向方向仍然满足不嵌入条件，在切向方向，发生相互移动，系统方程满足式(68).为了验证SBFEM滑移接触的有效性，本文对一个含有裂纹尖端的矩形板进行了模拟，图14为该矩形板的多边形网格，其中裂尖坐标为(0.809m,0.7m)，摩擦系数 f=0.2，裂纹在切向上发生了滑移.其他力学参数与算例4.1中参数相同.在裂纹接触面上产生滑移，两个接触面产生不连续位移，故图14采用了相对较多的多边形SBFEM网格对矩形板进行离散.图15和图16分别为矩形板变形图和位移云图，由图15中可看到，切向上产生了滑移，在法向上裂纹面间没有相互侵入.从而表明该滑移接触算法是正确的.本算例没有解析解，仍采用商业有限元软件ABAQUS模拟结果来对比本文提出的SBFEM求解裂纹面接触方法的精度和效率.在使用ABAQUS模拟过程中，分别采用粗网格、中等网格和细网格求解该滑移接触问题，图17分别给出了ABAQUS 不同网格的模型.图18为采用不同模型模拟得到的裂纹面下表面σxx分布，可看出在ABAQUS粗网格下，其应力分布与细网格相差较大,特别是靠近裂纹接触的两端，其应力误差较为明显，同时可看出SBFEM模拟结果与细网格的模拟结果较为一致.从网格对比来看，采用SBFEM求解的网格自由度数(数量为1560)远小于ABAQUS细网格的自由度数(数量为16325)，SBFEM仅需较低的自由度即可达到较高精度的解.说明了本文SBFEM模型计算考虑摩擦的滑移接触的精确性与高效性.本文基于比例边界有限元法，推导给出了侧面在任意载荷下的比例边界有限元的新型形函数，以及相应的SBFEM有关公式.运用Lagrange乘子法，推导给出了点对点与边对边接触的SBFEM求解裂纹面接触问题的支配方程，较为精确地模拟了裂纹面的接触，解决了裂纹面在受压时的粘接接触和滑移接触问题.通过3个算例的数值分析，验证了本文方法的精确性与高效性.算例表明，本文推导的考虑侧边载荷存在的SBFEM形函数是合适的；在不含有裂尖单元的裂纹面接触时，采用点对点接触模型即可精确地模拟裂纹面的接触条件；在含有裂尖单元的裂纹面接触时，需要对裂尖单元的侧面采用边对边约束接触模型.【相关文献】1 嵇醒.断裂力学判据的评述.力学学报,2016,48(4):741-753(Ji Xing.A critical review on criteria of fracture mechanics.Chinese Journal of Theoretical and AppliedMechanics,2016,48(4):741-753(in Chinese))2 李卧东,陈胜宏.接触摩擦问题的数值模拟.岩土力学,2003,24(3):385-388(Li Wodong，Chen Shenghong.Numerical model-ing for frictional contact problems.Rock and Soil Mechanics,2003,24(3):385-388(in Chinese))3 高志强,傅卫平,王雯等.弹塑性微凸体侧向接触相互作用能耗.力学学报,2017,49(4):858-869(Gao Zhiqiang,Fu Weiping,Wang Wen,et al.Study on the contact energy dissipation of the lateraland interactional between the elastic-plastic asperities.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(4):858-869(in Chinese))4 Tur M,Fuenmayor FJ,Wriggers P.A mortar-based frictional contact formulation for large deformations using Lagrange puter Methods in Applied Mechanics and Engineering,2009,198(37):2860-28735 MateiA.WeaksolvabilityviaLagrangemultipliersforcontactproblems involving multi-contact zones.Mathematics and Mechanics of Solids,2016,21(7):826-8416 Hansbo P,Rashid A,Salomonsson K.Least-squares stabilized augmented Lagrangian multiplier method for elastic contact.Finite Elements in Analysis andDesign,2016,116(1):32-377 Benkhira EH,Essou fiEH,Fakhar R.On convergence of the penalty method for a static unilateral contact problem with nonlocal friction in electro-elasticity.European Journal of Applied Mathematics,2016,27(1):1-228 Bourichi S,Essou fi E.Penalty method for unilateral contact problem with Coulomb’s friction for locking 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比例边界有限元法哎呀，今天咱们来聊聊一个听起来有点复杂但其实挺有意思的话题——比例边界有限元法。

你可能在想，这玩意儿听起来像是在说天文数字，其实不然。

这是一种数学和工程结合的神奇方法。

先别急着翻白眼，慢慢听我给你唠叨唠叨。

想象一下，咱们要解决一个复杂的工程问题，比如说建一座桥。

这桥啊，不能随随便便就搭上去，要考虑到它的承重、形状、材料，还有很多其他因素。

比例边界有限元法就像是个聪明的助手，帮助我们把这些复杂的问题拆分成一个个小块，让我们逐个击破。

想象一下，你有一块大蛋糕，真是让人眼花缭乱。

要是你想把它分成小块，怎么也得先想清楚每块应该多大吧。

比例边界有限元法就是这么个道理。

它把整个问题划分成小区域，每个小区域都是一块可口的小蛋糕。

每块蛋糕虽然小，但每块的口味、糖分、奶油都有讲究。

你得确保每一块都能代表整个蛋糕的美味。

就像咱们在做实验时，不可能把整个实验室搬回家，只能带一些样本回去分析。

通过这种方法，我们能在每个小区域里进行详细的计算，最后再把结果汇总起来，得出一个整体的答案。

你可能在想，为什么要用“比例”和“边界”这两个词呢？嘿，这可是关键所在！比例就是让我们保持每一块之间的关系，确保它们不会失去原有的味道。

而边界呢，就像是蛋糕的外框，告诉我们每块的边界在哪儿。

这两个要素就像调味品，缺一不可。

你想想，如果没有比例，蛋糕的每一块都可能会变得不一样，失去了整体的和谐。

而如果边界不清晰，那可就有点儿乱套了，整个蛋糕可能就变成了一锅粥。

再说了，有限元法这个名字听起来好像是个大牛逼的东西，其实它就是把复杂的问题分成小部分，然后再通过数学方法解决。

咱们的工程师们真是聪明得不得了，他们用这种方法处理各种各样的问题。

你比如说，建筑师在设计一栋大楼的时候，首先得考虑到地基的承重能力，然后再考虑到大楼的高度、风力、地震等等。

这些都是看似无穷无尽的问题，但用比例边界有限元法就能把它们简化，逐步解决。

嘿，真是大大降低了工程师的脑袋负担。

交流电机定子线棒环流损耗分析计算的比例边界有限元法交流电机定子线棒通常是由多根股线并绕而成,在槽内由于存在漏磁场,线棒中股线会感应出电动势,相应的在股线间会产生环流,从而出现股线温升不均匀等一系列问题,对线棒绝缘和电机使用寿命构成严重的威胁。

因此,能否准确计算定子线棒股线间环流及环流损耗对大型交流电机的设计至关重要。

比例边界有限元法(Scaled Boundary Finite Element Method,SBFEM)是一种新颖的偏微分方程求解方法,结合了有限元法和边界元法的优点,又有自身独有的特点。

根据给定的边界条件和控制方程,基于加权余量法,分别叙述了二维旋度磁场和三维旋度磁场比例边界有限元法离散格式的建立和求解过程。

采用SBFEM计算时,根据计算域内是否存在载流导体以及计算域的复杂程度,划分有源区域、无源区域以及各种复杂区域划分的子域,给出各种子域和有源无源区域子域的结合方法。

应用SBFEM求解电机磁场典型算例,将计算结果同有限元法(Finite Element Method,FEM)计算结果进行对比,证明了建立的比例边界有限元方程的正确性,为电机磁场的分析计算提供一种新的计算方法。

将二维和三维旋度磁场的SBFEM应用于股线环流及环流损耗的计算,给出了股线环流及环流损耗的计算方法。

分别求解二维不换位股线、三维不换位股线和三维换位股线的环流及环流损耗。

根据求解的类型,分别建立对应的数学模型,选择适当的单元网格离散,求解相应的股线环流及环流损耗。

将计算结果与FEM计算结果进行比较,证明了SBFEM 具有高效性和高精度的特点。

将SBFEM与FEM进行耦合,计算定子线棒股线的环流及环流损耗。

对有源区域与无源区域进行划分,分成有限元区域与比例边界有限元区域,得到各区域的子域方程,并在其交界上通过交界面条件进行求解。

将得到的结果与FEM和SBFEM数值模拟结果进行比较,证明了该方法的正确性,同时得出了该方法具有高效性和高精度的优点,为电机磁场的计算提供另一种新的方法。

基于比例边界有限元法计算应力强度因子的不确定量化分析胡昊文;陈灯红;王乾峰;胡记磊;骆欢
【期刊名称】《振动与冲击》
【年(卷),期】2024(43)5
【摘要】应力强度因子是预测荷载作用下结构中裂纹产生和扩展的重要参数。

半解析的比例边界有限元法结合了有限元和边界元法的优势,在裂纹尖端或存在奇异应力的区域不需要局部网格细化,可以直接提取应力强度因子。

在比例边界有限元法计算应力强度因子的框架下,引入随机参数进行蒙特卡罗模拟(Monte Carlo simulation, MCS),并提出一种新颖的基于MCS的不确定量化分析。

与直接的MCS不同,采用奇异值分解构造低阶的子空间,降低系统的自由度,并使用径向基函数对子空间进行近似,通过子空间的线性组合获得新的结构响应,实现基于MCS的快速不确定量化分析。

考虑不同荷载状况下,结构形状参数和材料属性参数对应力强度因子的影响,使用改进的MCS计算应力强度因子的统计特征,量化不确定参数对结构的影响。

最后通过若干算例验证了该算法的准确性和有效性。

【总页数】10页(P250-259)
【作者】胡昊文;陈灯红;王乾峰;胡记磊;骆欢
【作者单位】防灾减灾湖北省重点实验室(三峡大学);三峡大学土木与建筑学院【正文语种】中文
【中图分类】TH212;TH213.3
【相关文献】
1.基于有限元法对裂纹尖端应力强度因子的计算分析
2.基于Erdogan基本解边界元法计算应力强度因子
3.基于p型有限元法计算边缘斜裂纹应力强度因子
4.基于扩展有限元法的三维裂纹前缘应力强度因子计算方法
5.基于p型有限元法和围线积分法计算复合型应力强度因子
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边界元与有限元边界元法boundary element method定义：将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。

所属学科：水利科技(一级学科) ；工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ；工程力学（水利）(三级学科)边界元法（boundary element method）是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。

所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。

简介边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。

又称边界积分方程-边界元法。

它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。

它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。

又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。

特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。

由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。

边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。

对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。

比例边界有限元法的最新研究进展张俊奇;余波;宋崇民【期刊名称】《应用力学学报》【年(卷),期】2022(39)6【摘要】随着计算机技术的进步,数值计算方法在工程领域得到了广泛的应用。

有限单元法(FEM)作为其中的典型代表,已发展为成熟的商业软件。

然而,现有的有限元方法在无限域动力响应问题、应力集中问题和网格自动化剖分等方面仍存在一定的局限性。

此外,日新月异的建模技术引入了大量新型几何模型格式,例如电子扫描图像、3D打印模型、点云模型等,都对数值模拟带来了新的挑战。

比例边界有限元法(SBFEM)作为一种新型的半解析数值方法,融合了有限元方法(FEM)和边界元方法(BEM)的优势,只在单元表面进行离散化,而在单元内部进行解析求解,可将问题的维度降低一维,在处理无限域动力问题和带有奇异性的应力集中问题时具有独特的优势。

SBFEM单元仅需满足可见性要求,提高了单元形状的灵活性,可以构造包含任意数量节点的多边形和多面体单元,结合八叉树等高效自动化网格剖分算法,可以实现与多种几何模型的无缝对接,适合大规模并行计算。

近年来,SBFEM已经发展成为一种可满足现代工程计算需求的通用高效计算工具,在无限域动力问题、断裂力学、非线性问题、接触、自适应分析、反演问题、多场耦合、高性能计算等方面显示出了巨大的应用前景。

本研究重点对SBFEM的发展历程和近期研究热点进行系统地综述,并展望未来发展趋势,为相关领域的研究人员和工程技术人员提供参考。

【总页数】17页(P1038-1054)【作者】张俊奇;余波;宋崇民【作者单位】北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室;合肥工业大学土木与水利工程学院工程力学系;新南威尔士大学土木与环境工程学院【正文语种】中文【中图分类】O347【相关文献】1.基于有限断裂法和比例边界有限元法的裂纹扩展模拟2.基于比例边界有限元法的高阶透射边界应用3.比例边界有限元理论基础及其研究进展分析4.插值型无单元Galerkin比例边界法与有限元法的耦合在压电材料断裂分析中的应用5.基于比例边界有限元法和灰狼优化算法的裂纹尖端位置识别因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

静电场分析的比例边界有限元法刘俊;林皋;王复明;李建波【摘要】比例边界有限元法（SBFEM）是一种半解析数值分析的新方法，集合了有限元法和边界元法的优点，又具有独特的优点．在其辐射坐标上保持了解析性，因此其模拟精度较高，另外可以自动满足无限远的边界条件．从拉普拉斯方程出发，利用加权余量法并通过比例坐标和笛卡儿坐标变换，推导出静电场分析的比例边界有限元方程、电位求解公式以及电场求解公式．算例计算结果与解析解和其他数值方法比较结果表明，此方法具有精度高、计算工作量小的优点．%The scaled boundary finite element method （SBFEM） is a novel semi-analytical technique, which combines the advantages of the finite dement method and the boundary element method with unique properties of its own. The solution in the radial direction is analytical, so the simulation precision of this method is high. This method can meet the boundary condition of the infinity automatically. Based on Laplace equation, a weighted residual approach and coordinate transformation between scaled and Cartesian coordinate are used to derive the scaled boundary finite element equations. The formulation for the calculation of electric potential and field is also addressed. Numerical examples are provided and compared withthe results of analytical solution and other numerical methods. It has been shown that the proposed method yields quick convergence and less amount of computation time.【期刊名称】《大连理工大学学报》【年(卷),期】2011(051)005【总页数】6页(P731-736)【关键词】静电场;比例边界有限元法;拉普拉斯方程;复杂边界【作者】刘俊;林皋;王复明;李建波【作者单位】大连理工大学建设工程学部水利工程学院,辽宁大连116024;大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室,辽宁大连116024;大连理工大学建设工程学部水利工程学院,辽宁大连116024;大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室,辽宁大连116024;郑州大学水利与环境学院,河南郑州450002;大连理工大学建设工程学部水利工程学院,辽宁大连116024;大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室,辽宁大连116024【正文语种】中文【中图分类】TM8550 引言静电场求解主要有解析法、半解析法和数值解法三大类.解析法的优点是能够得到精确的解析式，直观地看出各物理量间的变化关系，但只适用于简单的几何边界、简单的物理参数.20世纪80年代初期，人们对半解析解进行了研究，其主要方法有级数法、多极点法、广义多极技术、多极理论方法和新型等效源法[1～4]等.这些方法在电磁计算方面取得了较好的效果和较广泛的应用，但该类方法有时也只适用一些几何形状比较规则的静电场问题.数值计算方法是随着计算机的问世应运而生的.该类方法中有有限差分法、有限元法、边界元法、矩量法、无网格法[5～9]等.其中有限差分法网格剖分容易，编制程序方便，但对不规则的复杂边界，网格剖分缺少灵活性.有限元法是分析静电场问题适应性最强、最通用的方法之一，因为该方法适合于含有复杂媒质（包括非线性媒质以及各向异性媒质等）问题的数值分析.但该方法在处理含有场值奇异点以及不同材料交接点等问题中遇到很大的挑战，通常的处理方法是在这些点周围增加节点，但这势必需要更多的前处理和计算工作时间，当然也有很多改进的有限元法，例如提高形函数阶段或者使用超级单元等.与此同时，边界元法也可以很好地解决该类问题.它降低了待求问题的维数，简化了数据的处理，直接求解无界边值问题精度较高.但该方法的缺点是有时找不到对应的基本解.无网格法只需节点，不需单元，适合处理复杂边界问题，计算精度高、收敛速度快.但针对某些问题，其基函数的选取及节点布置对计算精度的影响等问题还有待于进一步研究.从以上分析可以看出，各种解法有各自的优缺点，采用一种方法，有时得不到满意的结果，为此，近年来出现了将不同方法相结合的方法.例如，有限元－边界元法、有限元与无单元耦合法、多极理论－边界元耦合法、边界元法与无网格局部Petrov－Galerkin法的耦合法[4、10～12]等.比例边界有限元法（scaled boundary finite element method，SBFEM）是20世纪90年代由Wolf和Song等[13]率先提出和发展起来的一种半解析的数值方法.该方法综合了有限元法和边界元法的优点，只需用有限元离散部分边界，从而实现了将问题降低一维的目的，而在没有离散的坐标方向利用解析方法求解.与传统有限元法比较，它显著降低了计算工作量.相对于边界元法，它不需要基本解，也不存在积分的奇异性问题，具有较高的计算精度，对于各向异性，以及物理性质沿某一方向发生特定变化的问题处理也比较方便.目前这种方法已被用于求解有限域、无限域的弹性静力问题、动力学问题、水库坝体与水体的相互作用问题、断裂力学、绕流场和势流场问题、液体晃荡问题、波浪与结构相互作用问题、声学问题、渗流问题[14]等.本文首次将该方法应用于静电场问题的求解.从静电场控制方程——拉普拉斯方程出发，结合加权余量法推导静电场分析的比例边界有限元方程，引入特征值问题对该方程进行求解并得出电位和电场的计算公式；以二维静电场为例通过数值算例验证比例边界有限元法求解静电场问题的高效性和精确性.1 静电场的比例边界有限元方程推导描述静电场（域内无电荷）特性的控制方程为拉普拉斯方程（为电位）：存在两类边界条件：一类是在边界上给定电位值，一类是给定电场值，即对于以上静电场控制方程和边界条件问题的比例边界有限元方程推导，首先需建立笛卡儿坐标系统和比例边界有限元坐标系统转换关系.考察图1所示的有限区域和无限区域，在域内选择一点O作为比例边界有限元的相似中心（要求整个计算域必须在相似中心可视化的范围之内，也就是边界各点与相似中心均可用直线进行连接），建立以点O为中心的ξ和s坐标体系.其中有限区域0＝ξ0≤ξ≤ξ1＝1、无限区域1＝ξ0≤ξ≤ξ1＝∞.计算区域内的点在比例坐标系统下可以表示为式中为计算域内一点坐标，（x 0，y 0）为相似中心，（x，y）为边界上节点的坐标，N（s）为形函数.图1 比例边界有限元法计算示意图Fig.1 Sketch for scaled boundary finite elementmethod两坐标系统可通过雅克比矩阵联系起来：其中在比例坐标下梯度的算子可以表示为其中对方程（1）、（2）、（3）利用加权余量法和格林第一公式可得（w为权函数）根据等参变换概念，电位函数可采用相同的插值函数N（s）进行离散：方程（11）中权函数w也用同样的形函数表达：将式（12）、（13）代入式（11）可得其中比例坐标下的空间微元面积比例坐标下的边界微元线长度其中τξ为关于ξ的函数.对式（14）中含w（ξ，s），ξ 项做分部积分，并将式（17）、（18）代入可得方程（19）的系数为考虑方程（19）中w（ξ）任意性可得方程（23）为比例边界有限元的基本方程.方程（24）、（25）为需要满足的计算域内、外边界条件.对于有限区域（0＝ξ0≤ξ≤ξ1＝1），内边界条件式（24）为相似中心一点，外边界条件式（25）为离散边界；对于无限区域（1＝ξ0≤ξ≤ξ1＝∞），内边界条件式（24）为离散边界，外边界条件式（25）为无穷远处外边界条件.2 比例边界有限元方程求解式（23）为二阶Euler－Cauchy齐次方程，为了便于降阶求解，从式（24）、（25）特性看出，引入Q（ξ）作为（ξ）的对偶变量：由此可得具有两倍未知数的变量：可将式（23）化为状态方程：其中由于Z阵为Hamilton阵，可以通过求解Z的特征值问题来得到式（30）的解（式（31）特征值中成对出现，互为负号）：由此方程（30）的解为将方程（27）代入方程（31）可得式中：c1、c 2为积分常数.对于有限域问题，ξ＝0处的取有限值，故c2＝0；对于无限域问题，ξ＝∞处的取有限值，故c1＝0.有限域的积分常数c1和无限域的积分常数c2均可由边界条件确定.积分常数确定后，可由式（32）、（12）确定域内任意点的电位和由E＝－确定域内任意点电场强度.3 算例计算分析为了验证该方法数值模拟精度和高效性，本文首先选择了一个具有解析解和其他数值解的经典算例以便于对比.算例1 一长直金属槽，侧壁与底面的电位为0，而顶面盖电位（x，b）＝U 0 sin （πx/a），需求出域内的电位和电场.比例边界有限元计算示意图如图2所示，在仿真中，取a＝3.0 m，b＝1.0 m，U 0＝1.0 V，相似中心放在域中心.图2 比例边界有限元法算例1计算示意图Fig.2 Sketch for the first example using scaled boundary finite element method表1为本文方法与文献[9]列出的有限差分法（FDM）、径向基无网格法（RBF）计算电位最大误差、相对均方根误差对比（电位单位为V）.相对均方根误差计算公式（ i＿exact 为解析解， i＿calc 为数值解）为表1数据表明，比例边界有限元法精度非常高.在电场强度（单位为V/m）分析中，由于文献[9]没有给出相似节点分布下的计算结果，本文单独给出了本方法计算电场强度的相对均方根误差.边界为32节点的Ex相对均方根误差为1.8720%；边界为64节点的Ex相对均方根误差为0.5217%.边界为32节点的Ey相对均方根误差为2.0310%；边界为64节点的Ey相对均方根误差为0.7617%.同样可以看出本方法精度也比较高.电位解析解、SBFEM数值解（边界64节点）电位等值线分布如图3所示.从图中可以看出：比例边界有限元法和解析解非常吻合.与此同时，由于文献[9]没给出其他两种计算方法的计算耗时，为此，本文采用Intel CoreQ8200（2.33 GHz）计算机对本算例的SBFEM 64节点模型进行计算时间测试，其消耗的时间不到1 s，由此看出计算效率比较高，而且比例边界有限元法前期准备（即单元划分）也少，主要的计算时间在特征值问题求解上.表1 不同方法的电位计算最大误差和相对均方根误差对比Tab.1 Maximum and mean square error′s comparison between different methods for potential calculation0.0082 0.4541 RBF（65）3.7319×10－4 0.0401 SBFEM（32）3.9560×10－4 0.1192 SBFEM（64）2.9379×10－5 FDM（65）0.0100图3 算例1解析解和SBFEM数值解电位等值线Fig.3 Potential isolines of analytical and SBFEM solutions（Example 1）比例边界有限元法对处理复杂边界条件问题计算精度也很高，为此本文选择如下算例.算例2 有一二维静电场边值问题，边界由一段x＝a＝1.0 m的直线和x＝y 2的抛物线围成，其定解问题及比例边界有限元示意图如图4所示.网格划分时，为了尽可能准确地描述抛物线边界形状，需要采用较多边界节点进行离散，为此选取在抛物线段上以x＝0.05 m为间距，在直线段上以y＝0.05 m为间距，得到80个边界节点.表2为本文方法与文献[15]列出的半解析方法——多极理论、边界元法计算所得电位、电场强度对比结果.可以看出比例边界有限元法计算复杂边界也具有很高的精度.算例3 本算例为求一无限域问题.一无限长、半径R＝1.0 m圆筒被沿轴线切成两半，上一半电位为U 0＝1 V，下一半接地（电位为0），如图5（a）所示.由于该问题是关于y轴对称问题，选取右半部分进行模拟.模拟中采用一有限子域和一无限子域，它们的相似中心放在同一点，离散边界选取33个节点，如图5（b）所示.筒内和筒外电位解析解和SBFEM数值解等值线分布如图6所示.从图中可以看出：比例边界有限元法数值解和解析解也非常吻合.图4 比例边界有限元法算例2计算示意图Fig.4 Sketch for the second example using scaled boundary finite element method表2 不同方法的电位计算结果比较Tab.2 Potential calculation result comparison between different methods0.201.192 －6.81 －3.8×10－6 1.134 －6.74 3.2×10－7 1.121 －6.85 4.0×10－50.402.755 －8.95 －6.8×10－62.714 －9.08 1.3×10－6 2.707 －9.14 6.0×10－5 0.604.786 －11.30 0 4.768－11.43 1.2×10－6 4.765 －11.47 1.0×10－5 0.807.252 －13.17 0 7.252 －13.27 1.1×10－6 7.250 －13.29 1.2×10－5 1.009.985 －14.03 0 10.000 －14.03 0 10.000 －14.03 00.8 －0.82.708 －21.32 －22.81 2.656 －23.58 －22.25 2.667 －23.61 －22.130.8 －0.46.636 －15.95 －3.65 6.618 －15.83 －3.686.636 －15.88 －3.67图5 模型和比例边界有限元法计算示意图Fig.5 Model and sketch for scaled boundary finite element method图6 算例3解析解和SBFEM数值解电位等值线Fig.6 Potential isolines of analytical and SBFEM solutions（Example 3）4 结论本文提出了静电场分析的比例边界有限元法，推导了相应的控制方程，并利用特征值问题进行了求解.由该方法数值算例的结果与解析解、半解析解以及其他数值方法结果的对比发现该方法具有很高的精度和计算效率.【相关文献】[1]李敬.级数法求解轴对称的静电场[J].云南师范大学学报，1997，17（3）：43－45[2]马西奎.最小二乘边界配点法在电磁场边值问题数值分析中的应用[J].微波学报，1994，37（2）：17－22[3]BALLIST C H.The multiple multipole method in electro－and magnetostatic problems [J]. IEEE Transactions on Magnetics，1983，19（6）：2367－2370[4]盛剑霓.电磁场与波分析中半解析法的理论方法与应用[M].北京：科学出版社，2006：1－35[5]SONG B，FU J.Modified indirect boundary element technique and its application to electromagnetic potential problems [J]. IEE Proceeding H：Microwaves， Antennas and Propagation， 1992，139（3）：292－296[6]金建铭.电磁场有限元方法[M].西安：西安电子科技大学出版社，1998：51－70[7]BAMJI S S， BULINSKI A T. Electric fieldcalculations with the boundary element method [J].IEEE Transactions on Electrical Insulation，1993，28（3）：420－424[8]樊德森.静电场边值问题的矩量法解[J].计算物理，1989，6（1）：1－8[9]张淮清.电磁场计算中的径向基函数无网格法研究[D].重庆：重庆大学，2008：25－36[10]王江忠，赵良，刘之方.二维开域静电场有限元与边界元迭代解法的研究[J].华北电力大学学报，2002，29（增刊）：36－40[11]王志华.有限元与无单元耦合法在电磁场数值计算中的应用研究[D].石家庄：河北工业大学，2006：1－25[12]李茂军.基于边界元法与无网格局部Petrov－Galerkin法的耦合法和区域分解法[D].重庆：重庆大学，2009：1－36[13]WOLF J P，SONG C M.Consistent infinitesimal finite element cell method：three－dimensional vector wave equation [J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1996，39（13）：2189－2208[14]LIU J，LIN G，WANG F M，et al.The scaled boundary finite element method appliedto electromagnetic field problems [C] // IOP Conference Series：Materials Science and Engineering，Syndey，WCCM/APCOM 2010.London：IOP，2010[15]郑勤红.计算复杂场域静电场问题的多极理论[J].电子科技大学学报，1997，26（6）：599－604。

有限元法及其应用概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中各种结构、流体和热传导问题的分析与求解。

该方法将实际问题转化为数学模型，并通过离散化方法将复杂的连续域分割成许多简单的子域，然后建立局部方程并组合求解得出整个系统的行为。

1.2 文章结构本文主要分为五个部分来阐述有限元法及其应用。

首先是引言部分，在这部分中我们对有限元法进行综述和概括性介绍。

接下来是有限元法基础，包括定义与原理、离散化方法以及数学模型和方程组等内容。

第三部分是有限元法的应用领域，具体涵盖了结构力学分析、流体力学模拟以及热传导分析等方面。

紧接着是有限元法的优势与局限性的讨论，其中包含了优势点和局限性两个方面。

最后在结论与展望部分对目前取得的成果进行总结，并展望未来该领域发展的方向。

1.3 目的本文旨在全面介绍有限元法及其应用，使读者对该方法有一个全面的了解。

通过分析有限元法的原理和数学基础，以及讨论其在结构力学、流体力学和热传导等不同领域中的应用，读者可以更好地理解该方法在实际工程问题中的作用和意义。

同时，通过对有限元法的优势和局限性进行深入讨论，读者也可以对该方法的适用范围和限制条件有一个清晰的认识。

最后，在总结现有成果并展望未来发展方向的部分，本文希望促进该领域进一步的研究和应用，并为相关领域从业人员提供参考与借鉴。

2. 有限元法基础：2.1 定义与原理：有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种工程数值分析方法，通过将复杂的连续体问题转化为离散的有限元模型，并通过求解一系列代数方程组来获得数值近似解。

它基于强大的计算能力和离散化技术，广泛应用于各个领域的工程问题求解。

有限元法原理包括两个基本步骤：离散化和解。

在离散化过程中，需要将复杂的连续体划分为多个单元，每个单元具有简单的几何形状（如线段、三角形或四边形）。

这些单元可以通过节点进行连接，并构成整个结构或区域。

有限元法、边界元法、有限差分法的区别和各自的优点请问：有限元法、边界元法、有限差分法等方法有哪些区别和各自的优点？尤其是在声学方面。

谢谢！网格的跑分上不同,差分要求模型规则,有限元可以是任意不规则模型,FEM: irregular grid-> easy to describe complex shape, hard in mesh generationFDM: regular mesh -> easy in grid generation, hard to describe complex shape=> less accurate than FEMBEM: irregular mesh in boundary -> mesh generation much easier than that of FEM. need much less computation resource than the above two. BUT need basic solution (Green function) at the boundary.对于这个基础问题一定要搞清楚，不然有限元就无从谈起。

有限元法的优点是适应性强,自由边界条件自动满足,但是不适合计算大尺度,对于透射边界需单独处理,单元太多的模型,计算速度慢边界元法的优点是域内二维问题化成了边界一维问题来处理,自动满足透射边界,但是构造G函数非常麻烦有限差分法适合大尺度(如地震波),方法简单,计算速度快,但是边界处理太麻烦.:) :( :D :'([quote]原帖由[i]jonewore[/i] 于2007-10-1 20:31 发表[url=/forum/redirect.php?goto=findpost&pid=1152036&ptid=7785 04][img]/forum/images/common/back.gif[/img][/url]有限元法的优点是适应性强,自由边界条件自动满足,但是不适合计算大尺度,对于透射边界需单独处理,单元太多的模型,计算速度慢边界元法的优点是域内二维问题化成了边界一维问题来处理,自动满足透射边界,但是构造 ... [/quote]你说自动满足透射边界是什么意思？是说边界的反射波可以完全吸收吗(不用再使用人工边界？)？能不能详细说一下呢。