指数与指数函数
学生姓名 年级 学科 高中数学
授课教师
日期
时段
核心内容 分数指数幂/指数函数
课型
一对一/一对N 教学目标 掌握分数指数幂运算和性质/掌握指数函数的概念，图像和性质 重、难点
指数函数的图像和应用
精准诊查
课首沟通
回顾初中所学的幂运算
知识导图
课首小测
1．求值
①33)8(-= ②2)10(-= ③44)3(π-= ④)()(2b a b a >-= 【解析】①33)8(-= -8 ②2)10(-= |-10| = 10 ③44)3(π-= |π-3| =
3-π
④)()(2b a b a >-= |a - b| = a - b
2．求值：
6
3
12
5.132)2(;246347625)1(??---++
【参考答案】（1）22（2）6
负去掉绝对值符号。
上绝对值，然后根据正注意：此题开方后先带2
2)22(3223|22||32||23|)22()32())23(()2(2222)3(3222)2(232)3(2
46347625)1(222222222=---++=----++=---++=+?--+?-++?+=---++
6
323
22
3
323223
32322
332125.132)2(62223
626226
3
623
63=???????????????＝＝＝＝
3．根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
（1）n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3= ，(532-)5= （2）n 为奇数时，n n
a =a ；当n 为偶数时，n n
a =|a|=?
?
?<-≥)0()
0(a a a a .
例如，33)2(-= ，552= ；44
3= ，2)3(-=|-3|= .
⑶根式的基本性质：
n m np
mp a a =，
（a ≥0）. 注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-.
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 【参考答案】27；-32；-2；2；3；3
互动导学
知识梳理
引例：当a ＞0时 ①5
102
5
525
10
)(a
a a a
===②3
124334312)(a a a a ===③23
3323
2
)(a a a ==④2
12
2
1)(a a a ==
上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
1.正数的正分数指数幂的意义
n m n
m a a
= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定：
(1)n
m n
m a
a
1=
-
(a ＞0，m ,n ∈N *
,且n ＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
)
()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+
说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
导学一：分数指数幂
知识点讲解1：分数指数幂及运算 例题
1. 求值：43
32
13
2)81
16(,)41(,100
,8-
--. 【解析】8
27)32()32()8116(6422)2()
4
1(10
11010
)
10(100
3)43
(4436)3()2(323
1)
2
1(22
122
1========
===--?--?------?--
【学有所获】用分数指数幂的形式表示下列各式：
a a a a a a ,,3232?? (式中a ＞0)
[学有所获答案] 2
52
122
1
2
2
a a
a a a a ==?=?+
4
32
1232
12
13
113
233
23
323)()(a
a a a a a a
a
a a a a ==?===?=?+
2. 计算下列各式（式中字母都是正数）
.
))(2();3()6)(2)(1(8
834
16
56131212132n m b a b a b a -÷-
【参考答案】a 4；32
n
m
【解析】
a
ab b
a b a b a b a 44)]3()6(2[)
3()6)(2)(1(0
6
531216
121326
56131212132==-÷-?=-÷-++++
3
23
3
3
838
4188341)()()
)(2(n
m n m n m n m =?==--
【思维对话】分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注
意符号（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤
【学有所获】计算下列各式：
433
2
25
)12525)(2();
0()
1(÷->a a
a a
[学有所获答案] 65
6
5322122
321
2
322
)
1(a a a a a a a a a =
==?=?-- .
5555
55
55
5555
)55(5)12525)(2(412
54
512
54
1
234
13241
2341324
1
23324
3-=
-=-=÷-÷=÷-=÷---
我爱展示
1. 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1)43a a ? （２）a a a （３）32)(b a -
（４）43)(b a + （５）322b a ab + （6）4233)(b a + 【参考答案】2
133
3
12
2
)(,)(,)(,)(,,4
33
28
712
7b a b a ab b a b a a a +++-
【解析】解：（１）12
74
1314
13
143a a
a a a a ==?=?+
(2) 8
78
141218
14
12
121212
1
])([a a a a a a a a a a a ==??=??=++
(3) 3
23
2
)()(b a b a -=-
（４）4
343)()(b a b a +=+ （５）3
12
2322)(b a ab b a ab +=+
（６）2
133
4
233
4233)()()(b a b a b a +=+=+ 2．化简：)()(4
1412121y x y x -÷- 【参考答案】4
14
1y x
+
【解析】解：4
1414
14
14
14
14
14
14
14
12
12
1)())(()
()(y
x y x y x y x y x y x +=-÷-+=-÷-
【思维对话】此题注重了分子、分母指数间的联系，即2
12
4
1)(x x =，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决
3． 已知x+x -1
=3,求下列各式的值：
.)2(,)1(2
32
3212
1-
-
++x x x x
【参考答案】52，
5 【解析】解：5
035
5
32
)(2)()1(2
12
112
12
11122
12
12
122
1212
1=+>=+±=+∴=+=++=+?+=+-------
x
x x x x x
x x x x x x x x
x 所以得又由 5
2)13(5]1))[((])2
1())[(()())2(12
12
122
12
122
12
12
13
21
321
2
32
3=-=-++=-+?-+=++------
x x x x x x x x x x x x x
x ＝（
【思维对话】评述：（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应
强调以引起学生注意（2）题解法一注意了（1）题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，耐用具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能关途而废另外，（2）题也体现了一题多解
导学二：指数函数
知识点讲解1：指数函数的定义 例题
1. 引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是 .
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x 年后的价格为y ，则y 与x 的函数关系式为
在上述两个函数 ， 中指数x 是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数. 【参考答案】x y 2=；x y 85.0=；x
y 2=,x y 85.0= 2．指数函数的定义：
函数)10(≠>=a a a y x
且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a>0,且a ≠1呢？ 探究2：函数x y 32?=是指数函数吗？
【参考答案】（1）①若a=0，则当x>0时，x a =0；当x ≤0时，x a 无意义.
②若a<0，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义. 如x
)2(-，这时对于x=41，x=2
1
，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x ∈R ，x a =1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a ≠1在规定以后，对于任何x ∈R ，x a 都有意义，且x a >0. 因此指
数函数的定义域是R ，值域是(0,+∞).
（2）指数函数的解析式y=x
a 中，x
a 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=x
a +k (a>0且a ≠1，k ∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，
实际上却是，如y=x
a - (a>0,且a ≠1)，因为它可以化为y=x
a ??
? ??1，其中a 1>0，且a 1≠1
我爱展示
1．下列哪些是指数函数？
（1）x
y ?
?
?
??=51 （2）x y 52?= （3）2
x y = （4）23-=x
y
（5）x
y 4-= （6）x y )14.3(-=π （7）1
2-=x y
【参考答案】（1）（6）
2.已知函数x
a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则=a
【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【参考答案】2
3.《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的函数关系式是
【参考答案】
1()2
x
y = 4．已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求
(0),(1),(3)f f f -的值.
【参考答案】3
33
1
1
)3(,)1(,1)0(π
πππ
=
=-===-f f f
【解析】解：∵x
a x f =)(的图像过点（3，π）
∴π==3
)3(a f ，于是，3
1π=a 即，3
x y π=，所以，3
33
10
1
)3(,)1(,1)0(π
πππ
=
=-===-f f f
知识点讲解2：指数函数的图像和性质 例题
1.用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x
y 2=、x
y ??
? ??=21的图像。
【参考答案】
2. 在上面的坐标系中继续作出x x y y )3
1(3==与的图像讨论
【参考答案】
3．通过比较，会发现指数函数x
a y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下：
【参考答案】
4.函数)1,0(21
2≠>+=-a a a
y x 的图象必过定点 。
【参考答案】）3，（2
1
【解析】 当32，02
1=+==
a y x ，故图像必过定点）3，（2
1 5．若指数函数x
a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 【参考答案】0>a
【解析】要使函数为增函数则要求0则,112>>+a a
6.如图，指数函数（1）x
a y =；（2）x
b y =；（3）x
c y =；（4）x
d y =的图象，则a 、b 、c 、d 的大小关系是
c d a <<<<1 c d b <<<<1
【解析】
7.试比较8.08.0=a ，8.09
.02.1,8
.0==c b 三者之间的大小关系。
【参考答案】 8.08.09.02.18.08.0<<
【解析】解：由于指数函数x
y 8.0=在R 上是减函数，则由9.08.0<，故9.08.08.08.0>
在x
y 8.0=中，当8.0=x 时，由08.0>，故18.08.0<
在x
y 2.1=中，当8.0=x 时，由08.0>，故12.18
.0>。
因此8.08
.02.118.0<<，综上所述，有8.08.09.02.18.08.0<<
8．求函数12)(+=x
x f （其中]4,0[∈x ）的值域。 【参考答案】 ]17,2[
【解析】解：因为x
y 2=是增函数，当x=0时，有最小值212)0(0
=+=f ，
当x=4时，有最大值1712)4(4
=+=f 。 所以，该函数值域为]17,2[ 9．写出下列函数的定义域 （1）2
3
-=x y （2）3
121+?
?
? ??=x y
【参考答案】（1）R x ∈（2）}3|{-≠x x
【解析】解：由指数函数的意义知（1）R x ∈ （2）}3|{-≠x x
10.函数的图象可能是
A.
B. C. D.
【参考答案】C
【解析】当x=1，时y=0,C 符合要求
11.若函数()22x f x b =--与 x 轴有两交点，则实数b 的取值范围是 . 【参考答案】02b <<
【解析】若函数()22x f x b =--有两个零点，可得方程22=x b -有两个根，从而函数22x y =-与函数y b
=的图像有两个交点，结合图像可得02b <<.
12.求满足下列条件的实数x 的范围：
（1）82>x
（2）2.05 【参考答案】x>3;x<-1 13．设函数f (x )＝a －|x | (a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2) D ．f (－2)>f (2) 【参考答案】A (0,1)x y a a a a =->≠ 【解析】 14．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a ＝________. 【参考答案】3 【解析】 15．函数f (x )＝2x －2－x 2是( ) A ．偶函数，在(0，＋∞)是增函数 B ．奇函数，在(0，＋∞)是增函数 C ．偶函数，在(0，＋∞)是减函数 D ．奇函数，在(0，＋∞)是减函数 【参考答案】B 【解析】函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝2－x －2x 2＝－f (x )，所以函数为奇函数；函数f (x ) ＝2x 是增函数，f (x )＝2－x 是减函数，所以f (x )＝2x －2－x 是增函数，则f (x )＝2x －2 －x 2也 是增函数． 16.设a 是实数，)(1 22 )(R x a x f x ∈+- =试证明对于任意a,)(x f 为增函数 【参考答案】证明：设21,x x ∈R,且21x x < 则 ) 12)(12() 22(222122) 122 ()122()()(2121122121++-= -+= +--+- =-x x x x x x x x a a x f x f 由于指数函数 y=x 2在R 上是增函数,且21x x <, 所以 2122x x <即2122x x -<0，又由x 2>0得12x +1>0, 22x +1>0 所以)()(21x f x f -<0即)()(21x f x f < 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，)(x f 为增函数【思维对话】此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型 的解答方法我爱展示 1.设,6.0,6.05 .16 .0==b a 6.05.1=c ,则c b a ,,的大小关系是（ ） A.c b a << B.b c a << C.c a b << D.a c b << 【参考答案】C 【解析】根据函数x y 6.0=是定义域上的单调递减函数，可得5.16.06.06.0>；另外借助中间值1，得 6.06.05.116.0<<，则c a b << 2．设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 【参考答案】C 【解析】根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C. 3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14 【参考答案】B 【解析】 4.已知下列不等式，试比较n m , 的大小： （1）n m 22< （2）n m 2.02.0< （3）)10(<< n m 【参考答案】52 5.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________． 【参考答案】 【解析】 6. 函数2211x x a y a +=-（0a >且1)a ≠ A .是奇函数 B .是偶函数 C . 既是奇函数又是偶函数 D .是非奇非偶函数 【参考答案】A 能力展示 我当小老师 限时考场模拟：______分钟完成 1. 已知3a ＝2,3b ＝5，则32a -b ＝________ 【参考答案】52 2.化简： 3 xy 2 6 x 5·4 y 3 ＝________. 【参考答案】 6 1 y x 3．（1）函数1 3+=x y 的定义域是___________________， （2）函数13 -=-x y 的定义域是___________________，值域是_________________。 【参考答案】（1）}1|{-≥x x （2）R ， ),1(∞- 4．比较大小 （1）14 .39.0_______9.0π（2）2.03 3_______2 .0-- 【参考答案】<，> 5．已知1,10-<< +=不经过（ ） A ，第一象限 B ，第二象限 C ，第三象限 D ，第四象限 【参考答案】A 6．函数)1(| |>=a a y x 的图像是（ ） 【参考答案】B 7．计算：48 37 3)27102(1.0)972(032 25.0+-++--π． 【参考答案】100 【解析】解：原式4837 3)2764(1.01)925(32 2 21+-++=- 10048 37316910035=+-++=． 8．已知：32 12 1=+-a a ，求 2 12 1 2 32 3-- --a a a a ． 【参考答案】8 【解析】解：∵32 13 2 12 32 3)()(- --=-a a a a ， ∴原式81) )((12 12 12 12 11212 1=++=-?++-= -- ---a a a a a a a a a a 9．根据函数|12|-=x y 的图象判断：当实数m 为何值时，方程m x =-|12|无解？有一解？有两解？ 【参考答案】0 x y x y x y x y A B C D 【解析】函数|12|-=x y 的图象可由指数函数x y 2=的图象先向下平移一个单位，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴对称图形，如下图所示， 函数m y =的图象是与x 轴平行的直线， 观察两图象的关系可知： 当0 =-|12|无解； 当0=m 或1≥m 时，两函数图象只有一个公共点，所以方程m x =-|12|有一解； 当10< =-|12|有两解． 【思维对话】可以充分结合指数函数的图象加以判断．可以把这个问题加以转换，将求方程m x =-|12|的解的个数转化为两个函数|12|-=x y 与m y =的图象交点个数去理解。 课后作业 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32 ＝a 3； ②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N ＋，n 为偶数)； ③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠7 3}； ④若2x ＝16,3y ＝1 27，则x ＋y ＝7. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【参考答案】B 【解析】 2.当a≠0时,函数y=ax+b 和y=b ax 的图象只可能是下图中的( ) A. B. C. D. 【参考答案】A 【解析】 3.1+=x a y 过定点 _. 【参考答案】（0，2） 4.若指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的图象经过点)2,1(-，求该函数的表达式并指出它的定义域、值域和单调区间。 【参考答案】减函数),,0(,,21+∞=R y x 5.函数x y ??? ??=31的图象与x y -?? ? ??=31的图象关于 对称。 【参考答案】y 轴 6.函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 【参考答案】100；1/10；10；0.01 7.已知函数)(x f =1 22+-x x a 是奇函数，求a 的值 。 【参考答案】1 8．直线a x =（0>a ）与函数x y ?? ? ??=31、x y ??? ??=21、x y 2=、x y 10=的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点， 则这四点从上到下的排列次序是________。 【参考答案】D 、C 、B 、A 【解析】结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D 、C 、B 、A 。 9.比较下列各题中两个值的大小 （1）35 .27.1,7 .1 （2）2.01 .08.0,8.0-- （3）76 .06.0,7 【参考答案】<;<;> 【解析】（1）x y 7.1=是增函数，因此35.27.17.1<。 （2）x y 8.0=是减函数，因此2.01.08.08.0--<。 （3）在同一坐标上画出x x y y 6.0,7==的大致图像，从图像可看出176.0>，而16.07<，因此76.06.07>。 10.已知)1,0(1 ) 1()(≠>+-=a a a a x x f x x ，试判定)(x f 的奇偶性。 【参考答案】偶函数 【解析】解：显然)(x f 定义域为R 。 当0=x 时，0)0()()(===-f x f x f 当0≠x 时，0)(≠x f ，此时 ) 1(11)1(1 )1(1) 1)(()()(-+? +--=+-+--=-----x x x x x x x x a x a a a x a a x a a x x f x f 1) 1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(=-++--=-++--=----x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a 即)()(x f x f =- 所以，对任意)(),()(,x f x f x f R x =-∈为偶函数。 跟踪指导 课后整理知识点，整理错题本 指数函数 典例分析 题型一 指数函数的定义与表示 【例1】 求下列函数的定义域 (1)32 x y -= (2)21 3 x y += (3)512x y ??= ??? (4)()10.7x y = 【例2】 求下列函数的定义域、值域 ⑴11 2 x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2 120.5x x y +-= 【例3】 求下列函数的定义域和值域： 1．x a y -=1 2．31 )2 1(+=x y 【例4】 求下列函数的定义域、值域 (1)11 0.4 x y -=； (2)y = (3)21x y =+ 【例5】 求下列函数的定义域 (1)13x y =; (2)y = 【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ， (3)f -的值． 【例7】 若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为（ ） A B ．2或2- C ．2- D ．2 题型二 指数函数的图象与性质 【例8】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小： ①___b c a a ；②1b a ?? ??? 1c a ?? ??? ；②11 ___b c a a ；②__a a b c ． 【例9】 比较下列各题中两个值的大小： ⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9． 【例10】 比较下列各题中两个值的大小 (1)0.80.733， (2)0.10.10.750.75-， (3) 2.7 3.51.01 1.01， (4) 3.3 4.50.990.99， 【例11】 已知下列不等式，比较m 、n 的大小 (1) 22m n < (2)0.20.2m n > (3)()01m n a a a <<< (4)()1m n a a a >> 指数函数说课稿 尊敬的各位评委、各位老师：大家好！ ◆ 我是来自说课的题目是《指数函数》 著名教育学家布鲁纳说过：“知识的获得是一个主动过程. 学习者不是信息的被动接受者，而是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展，从而激发学生数学学习兴趣，培养学生运用数学的意识与能力◆ 下面我将从几个部分具体阐述对本节课的分析和设计。 第一部分、教学内容分析◆ 二、教材分析 1.本节教材的地位、作用 本节课是《普通高中课程标准实验教科书（苏教版）数学必修1》第二章第二节第1课时《指数函数》。因为我所教的学生是省一级示范学校的平行班，根据学生的实际情况，同时也为了理顺知识间的逻辑关系，让学生能在观察、探究、比较、识别中把握概念和性质的内涵，教学中我对这部分内容进行了整合处理，我将《指数函数》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（细胞分裂和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但从学生学习的角度看,学生感受指数函数的实际背景的知识储备仍不够丰富,理解和掌握这些 内容仍有一定难度,因此, 教师在进行这一内容的教学时,不可拔高要求,追求一步到位,而要在今后的教学中滚动式逐步深化,使之与学生的知识结构同步发展、完善。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 2．教学目标 ⑴知识与技能： 初步理解指数函数的概念和意义；能够借助计算器画出具体的指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调的特点。 从实例探究中感知指数函数的概念，并体会指数函数是一类重要的函数模型。 利用计算工具比较指数函数增长差异，体会指数等不同函数的类型增长的含义。 ⑵过程与方法： 2.1.1（1）指数函数及性质（教案） 邢蕾 一、教学目标 1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用. 2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣. 二、教学重点和难点 重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质. 难点是认识底数对函数值影响的认识. 三、教学过程 一、新课引入 有一天，小明去公司应聘，试用期十天，老板说：一天给10元。小明说：要不这样吧，你第一天给我两角，第二天给我两角的二次方，第三天给我两角的三次方，以此类推，到第十天。老板犹豫了一下同意了。请同学们一次写出这十天内小明每天获得的报酬。 在以上实例中我们可以看到这个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数. 二、师生互动，新课讲解： 1.定义:形如的函数称为指数函数. 2.几点说明 (1) 关于对的规定: 教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问 题分解为若会有什么问题?如,此时,等在实数范围内相应的函数值不存在. 若x a对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定且. (2)关于指数函数的定义域 教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因 是因为使它更具代表更有应用价值. (3)关于是否是指数函数的判断 指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一模一样才行，三点：系数为一，底数为常数，指数是自变量 学生课堂练习1：根据指数函数的定义判断下面函数是否是指数函数. (1), (2), (3) 32x y=(4)3 2x y? =, (5). 解：指出只有(1)和(3)是指数函数, 然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质. 3.归纳性质 （1）在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 的图象. 指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81 指数函数及其性质教案 一、教学目的 1、使学生掌握指数函数的概念、图象和性质；能初步简单应用。 2、使学生理解数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类 比、猜测、归纳的能力。 3、使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相 互转化，培养学生用联系的观点看问题。 4、通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、 概括、分析、综合的能力。 二、教学重点、难点 教学重点：指数函数的定义、图象、性质. 教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。 三、教具、学具准备： 多媒体课件：使用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率与质量。 四、教学方法 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 五、学法指导 1.再现原有认知结构。在引入两个实例后，请学生回忆有关指数的概 念，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念做好准备。 2.领会常见数学思想方法。在借助图象研究指数函数的性质时会遇到 分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。 3.在互相交流和自主探究中获得发展。在实例的课堂导入、指数函数 的性质研究、例题与训练、课内小结等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。 4.注意学习过程的循序渐进。在概念、图象、性质、应用的过程中按 照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。 六、教学过程 1、复习回顾，以旧悟新 函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？ 答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 31)1-x （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 1对1个性化教案 学生 学 校 年 级 教师 张玉妮 授课日期 授课时段 课题 指数函数 重点 难点 教学步骤及教学内容 【错题再练】 【知识梳理】 一、指数函数的概念 一般地，函数 )1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 指数函数的特征：（1）系数：1（2）底数：常数，且是不等于1的正实数（3）指数：仅是自变量x （4）定义域：R 注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义 ○2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1． 例题 31 171)6(;3 )5(;)4(;)2()3(;2)2(;2211x y y x y y y y x x x x =====?? ? ???=- -π）（数的是（） 、下列函数中是指数函 2、已知指数函数y=(m2+m+1)·x )51(,则m=（ ） 课堂练习 1、指出下列函数中，哪些是指数函数： )1,2 1 ()12()7(;)6(;24)5(;)4(;)4()3(;)2(;414≠>-====-===a a x a y x y y y y x y y x x x x x 且）（π 1 0.3.1.31.)2(22≠>====-=a a D a C a B a a A a a y x 且或是指数函数，则（）、函数 二、指数函数的图象和性质 注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 指数函数的图象如右图： 4．指数函数的性质 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） 1a 0= 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x << 1a ,0x x >< 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； 利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上， )1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数 )1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数与指数函数 级级： 姓名： 学号： 得分： 一、选择题（每题5分，共40分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x -21 （B ）y=(3 1)1-x （C ）y=1)2 1 (-x （D ）y=x 21- 3．已知0 y A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 二、填空题（每题5分，共30分） 10.已知函数()14x f x a -=+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是___________ 11.方程96370x x -?-=的解是_________ 12.指数函数x a x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 13.函数221x x y a a =+-（0>a 且1≠a ）在区间]1,1[-上的最大值为14，a 的值是 14.计算：412121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---_______________ 15.若()10x f x =，则()3f =———————— 三、解答题（16/17/19题各5分，18题15分，共30分） 16.设关于x 的方程02 41=--+b x x 有实数解，求实数b 的取值范围。),1[+∞- 17.设0 [A 基础达标] 1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( ) A.??? ?－53，1 B ．[－1，1] C.????1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53 ，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是??? ?－53，1. 2．设f (x )＝????12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝????12x 为减函数，排除B.故选D. 3．函数y ＝6x 与y ＝－6－x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选C.y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称． 4．函数y ＝????12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析：选B.设u ＝x 2－2，u 在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝????12u 是 减函数， 所以y ＝????12x 2 －2在[0，＋∞)上是减少的． 5．下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝ ????b a x 的图像只可能是( ) 解析：选A.由指数函数图像可以看出0 2.1 指数函数 [教学目标] 1．通过具体实例了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，理解扩张指数范围的必要性． 3．通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 4．理解指数函数的概念和意义． 5．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 6．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． [教学要求] 指数函数是本章的重点内容之一，也是高中新引进的第一个基本初等函数．学习指数函数时，建议首先通过实际问题引入分数指数幂，为此先将平方根与立方根的概念扩充到n 次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍分数指数幂及其运算性质，最后结合具体实例，通过有理数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数．在实数指数幂的基础上，学习指数函数及其图象和性质． 教学中应通过具体的实例从正整数指数幂开始到现实中出现的分数指数幂，引出指数的取值范围需要进行必要的扩充． 根式是教学的一个难点，教材第一部分安排根式这部分内容，为讲分数指数幂做准备，所以只需要讲根式的概念、方根的性质．为了分散难点，在教学中可以适当放慢进度，多举几个具体的例子，之后再给出n 次方根的一般定义．为突破方根的性质的难点，要抓住立方根与平方根的性质，通过探究得到当n 分奇偶数时方根的性质． 分数指数幂是教学上的又一个难点，也是指数概念的又一次推广．教学时应注意循序渐进．教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，明确它是根式的一种新的写法． 教科书通过比较本节开始时的问题引入指数函数，教学中要让学生体会指数函数的概念来自实践，并体会其中蕴含的函数关系，可引导学生在探究中获得函数的共同特征，这样就可以很自然地给指数函数下定义了． 教学中注意对底数规定的合理性解释：0>a 且1≠a ． 在理解指数函数定义的基础上，建议通过列表描点绘图或者利用信息技术绘图，教学中 指数与指数函数 一、选择题： 1已知集合11 -11=x|24,}2 x M N x Z +=<<∈｛，｝，｛ 则M N ?等于 A -11｛，｝ B -1｛｝ C 0｛｝ D -10｛，｝ 1、化简11111 32168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ）A 、1 132 1122--??- ? ?? B 、1 13212--??- ??? C 、1 3212-- D 、1321122-??- ??? 2、44366399 a a 等于（ ）A 、16 a B 、8 a C 、4 a D 、2 a 4、函数 ()2 ()1x f x a =-在R 上是减函数， 则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2 《指数函数》教学设计 一、教材分析 1、教学背景： 函数是整个高中数学的教学重难点，是必修一的主要内容。而这一节的内容以上一小节指数和指数运算为基础，进一步研究指数基本运算式b =所构成的 N a 第一个函数形式x y a =，这就是学生在高中所学的第一个基本初等函数——指数函数。 对于学生而言，这是第一次尝试利用所学的函数基本概念和性质来分析具体函数的一节课，也是高中阶段第一次借助图像来分析函数性质的一节课。这节课要教会学生的不仅仅是指数函数的图像和性质本身，更是可用于今后研究一个具体函数（如：对数函数、幂函数、三角函数等）的一般方法，使图像和函数的关系在学生心中更加清晰，为整个高中数学中对函数的学习研究打下基础。因此，这节课的内容是十分重要的。 2、教学目标： （1）知识目标： ①理解指数函数的概念； ②掌握指数函数的图像特征，如定点、变化情况； ③掌握指数函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、函数值的分布等；（2）能力目标： ①培养学生观察、分析、归纳问题的能力； ②培养学生的数形结合和分类讨论的思想； ③增强学生的读图识图能力。 （3）情感目标： ①使学生进一步了解从抽象到具体（抽象函数与具体函数）、从现象到本质（由图像总结规律）、从特殊到一般（把研究指数函数的方法应用到对其他函数的研究中）的辩证思想，潜移默化地对学生进行辩证唯物主义教育； ②全课围绕指数函数图像进行分析，并不断地进行比较和归纳，培养学生用 比较思想分析问题的方法和钻研探究问题的兴趣，并延续到后面的学习当中。 3、教学重点与难点 指数函数对学生来说是一个全新的函数，学生对于一个抽象的函数形式往往缺乏最基本的感性认识，因此如何建立一个具体形象的“指数函数”概念是这节课的一个突破口。 （1）教学重点：指数函数图像及其性质的发现和总结。 （2）教学难点：指数函数图像性质与底数的关系。 二、教法学法分析 1、教法： （1）从具体直观的图形出发，引导学生抽象出其中的客观规律； （2）通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过动手操作、自主探究自行发现和总结问题； （3）充分利用多媒体教学手段。 2、学法： 高一这个年龄段的学生思维活跃、求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导。因此本节课从学生原有知识和能力出发，以动手操作、观察分析、自主探究等多种形式相结合，由表及里、由感性到理性地认识事物及其规律，突破教学重难点。 三、教学基本流程和情境设计 1、引入：由两个应用问题引出指数函数定义。 （1）两个问题： ①细胞分裂问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是什么？ ②碳14半衰期问题：函数关系式573012t P ??= ??? 思考：这是一个什么样的函数？ 高一数学必修一指数 与指数函数测试题Revised on November 25, 2020 高一数学必修一指数与指数函数测试题 一、选择题： 1、化简111 1132 16 8 4 2 12 12121212-----? ?????????+++++ ????????? ? ???? ?? ???，结果是（）A 、1 132 1122--??- ???B 、1 132 12--??- ???C 、1 3212--D 、1321122-??- ??? 2 、44等于（）A 、16a B 、8a C 、4a D 、 2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于（）A 、6 B 、2± C 、2- D 、24、 函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A 、1>a B 、2≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3)b a 1 1<； (4)113 3 a b >；(5)1133a b ????< ? ????? 中恒成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121 x y =-的值域是（）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞C 、()1,-+∞D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知 01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ? ?=+?≠ ?-?? 是偶函数，且()f x 不恒等于零，则 ()f x ()A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不 是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -=。 指数函数教案1(高一数学) 教学目标 1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用. 2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣. 教学重点和难点 重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质. 难点是认识底数对函数值影响的认识. 教学过程 一、复习回顾，新课引入 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出 细胞分裂 之间的函数关系式吗? 与 与之间的关系式,可以表示为. 由学生回答: 问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子 次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系. 的一半,……剪了 由学生回答:. 在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数. 二、师生互动，新课讲解： 1.定义:形如的函数称为指数函数. 2.几点说明 (1) 关于对的规定: 教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有 会有什么问题?如,此时,等在实 困难,可将问题分解为若 数范围内相应的函数值不存在. 若 x a对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有 且. 研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定 (2)关于指数函数的定义域 教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实 当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值. (3)关于是否是指数函数的判断 §2.1.2指数函数及其性质 第一课时（说课） 各位评委、老师，大家好！ 今天我说课的课题是：人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》， 必修一第二章第二节“指数函数及其性质”的第一课时——指数函数的定义、 图象及性质.下面我将从教材分析，教法学法分析、教学过程分析、板书设 计、教学反思几个方面加以说明. 一、教材分析 1、教材的地位和作用 (1)函数是高中数学学习的重点和难点，函数思想贯穿于整个高中数学之中； (2)学生已掌握函数的一般性质和简单的指数运算； (3)研究指数函数，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识； (4)为研究对数函数打下基础. 2、教学目标 （新课标指出教学目标应包括知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体， 学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确的价值观的过程.以此为指导我制定了以下的教学目标） 1）知识与技能： 了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用; 2）过程与方法： 借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，根据图象归纳出指数函数的性质，体会数形结合和分类讨论思想，体验从特殊到一般的学习方法； 3）、情感、态度与价值观： （通过本节课的学习使学生在数学活动中感受数学思想方法之美，体会数学思想方法之重要，并培养学生主动学习的意识）. 3、教学的重点和难点 教学重点： 指数函数的定义、性质及简单的应用. 教学难点： 指数函数图象和性质，以及指数函数图象与底数的关系. 二、教法学法分析 1、学情分析 1）知识层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数概念的学习后初步具备了数形结合的思想. 2）能力层面：学生已经初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能. 3）情感层面：学生对数学新内容的学习有一定的兴趣和积极性. 4）不足之处：学生的分析能力和概括能力不是很强. 2、教法分析： 1）教学方法：探究式的教学（本节课我采用“探究式”的教学方法，通过教师在教学过程中的点拨，引导学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和同化，培养学生的观察、分析、归纳等思维能力） 2）教学工具：利用多媒体辅助教学（并充分利用多媒体辅助教学） (从指数函数的研究过程中得到相应结论固然重要，但是更重要的是应该使学生了解系统研究一类函数的方法，使得他们以后可以迁移到其他函数的研究中去.) 3、学法分析 1）观察、思考问题 2）描点画图 3）观察图像、合作交流总结出指数函数的性质 （先让学生仔细观察书中给出的实际例子，使他们发现指数函数与现实生活息息相关.再根据高一学生爱动脑懒动手的特点，让学生自己描点画图，画出指数函数的图像，最后观察图像、合作交流总结出指数函数的性质，学生经历了探究的过程，培养探究能力和抽象概括的能力.） 三、教学过程分析 总体设计：引入—讲授新课—课堂练习—课时小结—课后作业—教学反思 具体安排： （一）引入(5分钟) 课 题 3.1.2指数函数 上课人 课型 新授课 时间 教学重点 指数函数的图象和性质 教学难点 用数形结合的方法从特殊到一般地探索，概括指数函数的性质 学习目标 1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象与性质； 2.归纳总结出比较大小的规律方法； 3.体会由特殊到一般的数学思维方式。 备课设计 双边活动 一、创设情境，引入概念 问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是什么？ 问题2：放射性物质衰变 二者有何共同特点？定义域是什么？ 二、解读学习目标 1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象与性质； 2.归纳总结出比较大小的规律方法； 3.体会由特殊到一般的数学思维方式。 三、预习案核心引领 (0,1)x y a a a x R =>≠定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是。 1.从形式上看指数函数的解析式有何特征？ 指数函数是形式化的概念，要判断一个函数是否是指数函数，需抓住三点： ①底数a 大于零且不等于1的常数； ②化简后幂指数有单一的自变量x ； ③化简后幂的系数为1，且没有其他的项 2.01a a >≠在定义中为什么规定且？ =100=x 0 ,a 2,f(x)111 x ,,246 x x x x x >?? ≤?=-==---（1）当a=1时,f(x)=1为常值函数，无研究必要，（2）当a=0时，f(x)=0无意义,（3）当a<0时，f(x)=a 如（-2)， 无意义 3. 底数a 对指数函数图象的影响 了解指数函数的实际背景，抽象出问题的共同特征，并把定义域由正整数集推广到实数集。 让学生明确本节课的目标，每个人目标及其明确地投入课堂中去。 让学生根据预习自测1明确如何判断给定函数是否为指数函数。 让生分类讨论反面情况为什么不考虑，明确这样规定的合理性。 2.1.2指数函数及其性质（2个课时） 一. 教学目标： 1．知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景； ②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法 展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点 重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、学法与教具： ①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 第一课时 一．教学设想： 1. 情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征. ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量 为指数，即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）. 二．讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2 y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R . 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤??x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如1 (2),,8 x y x x =-= 1 先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的 形式才能称为指数函数，5 ,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符 合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数. 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过 先来研究a ＞1的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 第二章 第一节 指数计算与指数函数 一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0 练习 计算下列各式的值： （1）)4()3)((6 36131212132 b a b a b a ÷- （2）() 3 22 1 75.00 3 129721687064 .0+?? ? ??++??? ??--- （3）4 21 03 3 )2 1(25.0)21()4(--?+-- （4）33)3(625π-+- 2．已知31 =+-x x ， 则=+-22x x 已知23=a ,5 13=b ，则=-b a 23＝____________. 3. 若210 25x =，则10x -等于_________________ 1、2)(f 1 -=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________ 2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________ 3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f 题型2、 图像问题 1.下列说法中： ①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a － x ；③函数y =(3)－ x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－ x 的图象对称于y 轴。正确的是___________________ 2.在同一坐标系下，函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图象如下图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是__________. 3、函数y =2x +k －1(a >0,a ≠1)的图象不经过第四象限，则k 的取值范围是__________.必修一指数与指数函数
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