高三数学一轮复习教案：指数与指数函数 必修一

2019-2020年高三数学一轮复习讲义指数与指数函数教案新人教A版高考要求：（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

重点难点：对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．知识梳理1．根式的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a ( n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做__a的n次方根___，其中n>1且n∈N*.式子na叫做__根式__，这里n叫做_根指数__，a叫做__被开方数______．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．负数没有偶次方根______(_____(0)||(_____(0)naa na⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数）为偶数）;__________（须使有意义）.④零的任何次方根都是零．2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：N*).n个②零指数幂：③负整数指数幂： Q a≠0，).④正分数指数幂：a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.⑤负分数指数幂：=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂___无意义_____.(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．（注）上述性质对r、R均适用。

第二章函数概念与基本初等函数I-§2.5指数与指数函数内容-索引-基础知识-自主学习-题型分类-深度剖析-思想与方法系列-思想方法-感悟提高-练出高分基础知识自主学习指数与指数函数第一轮复习ppt课件知识梳理-1.分数指数幂-n-m-1规定：正数的正分数指数幂的意义是an-a>0,m,n∈N*,-且n>1;正数的负分数指数幂的意义是an-n d -a>0,m,n∈N,-且>1；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义，-2有理数指数幂的运算性质：a'as=a+s,as=as,ab”=ab,其中a>0,b>0,r,s∈Q:-答案2.指数函数的图象与性质-y=ax-a>1-0<a<1-ly=a*-0y=1-0.y=1-01-定义域-1R-答案值域-20,+∞-3过定点0.1-4当x>0时，y>1;5当x>0时，0<y<1;-当x<0时，0≤y≤1-当x<0时，y>1-性质-6在-∞，+上-7在-∞，+∞上是-是增函数-减函数-答案思考辨析-判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）-1a=a=a.×）-2分数指数幂a可以理解为个a相乘×-3-4=-102=1.×-4数y=a-'是R上的增函数.×-5函数y=a+1a心1的值域是0，+∞.×-6函数y=2-1是指数函数.×-答案2-考点自测-1.若a=2+V31,b=2-V31,则a+12+b+12的值是D-A.1-B.4-c-解析.a=2+V31=2-V3,b=2-V3 =2+V3,-.a+12+b+12=3-V32+3+V32-=12-63+12+63=3-解析答案2.函数y=-的图象可能是D-1-解析！-因为当x=1时，y=0,所以图象过点P1,0.故选D.-解析答案3.已知0.2m<0.2n,则m>n填“>”或“<”-解析设f代x=0.2x,fx为减函数，-由已知fm<fn,-..m>n.-12344①-解析案4.若函数y=a2-1在-∞，+∞上为减函数，则实数a的取值范围-是-V2,-1U1,2-解析由y=a2-1在-∞，+∞上为减函数，-得0<a2-<1,∴.1<a2<2,-即1<a<V2或-V2<a<-1.-解析答案。

第4讲 指数与指数函数2023.9.14课标解读1. 通过认识有理数指数幂、实数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质；2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3. 能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．必备知识 自主学习知|识|梳|理1．根式(1)如果x n ＝a ，那么 叫做a 的n 次方根．(2)式子n a 叫做 ，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(n a )n ＝ .当n 为奇数时，n a n ＝ ， 当n 为偶数时，n a n ＝ ＝ . 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，n m a＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 正数的负分数指数幂，n ma＝ ＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 0的正分数指数幂为 ,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝ ；(a r )s ＝ ；(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10＜a＜1图象定义域值域性质图象过定点，即x＝0时，y＝1当x>0时，；当x＜0时，当x＜0时，；当x>0时，在(－∞，＋∞)上是16在(－∞，＋∞)上是17基|础|自|测1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.( )(2)分数指数幂可以理解为mn个a相乘．( )(3)函数y＝2x－1是指数函数．( )(4)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )2．化简：÷（13a）(a>0)＝()A．6a B．－a C．－9a D．9a2 3．函数f(x)＝2x－1的值域为．命题点1 指数幂的运算 例1 (1)某灭活疫苗的有效保存时间T (单位：小时h)与储藏的温度t (单位：℃)满足的函数关系为T ＝e kt ＋b (k ，b 为常数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h ，在10 ℃时的有效保存时间是120 h ，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为( )A ．15 hB ．30 hC ．40 hD ．60 h(2) 化简求值：＝ .(3) 已知a 2x ＝5，则a 3x －a －3x a x －a －x ＝ .针对训练1．(多选)下列运算正确的是( )A.(m n )7＝m 7·(m >0，n >0) B.12(－3)4＝1234＝33 C.4x 3＋y 3＝(x >0，y >0) D.39＝332．(2023·山西太原质检)计算：－(−17)−2＋－3－1＋(2－1)0＝ .命题点2 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．[母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．针对训练1．(2023·山东济南摸底)已知函数y＝f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝1，当x>1时，f(x)＝2x－1，则f(x－1)<2的解集是．2．若直线y＝a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，则a的取值范围是．当堂小结课后作业：1、预习指数及指数函数的性质2、完成对应作业。

第五节　指数与指数函数考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．一、教材概念·结论·性质重现1．n 次方根(1)根式的概念一般地，如果x n ＝ a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当有意义时，叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的性质①()n ＝a ．②当n 为奇数时，＝a ．当n 为偶数时，＝|a |＝2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a ＝()m ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)正数的负分数指数幂：a ＝＝(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质,a r a s ＝a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )；(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )3．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ．形如y ＝ka x (k ≠1)，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质定义域R 值域(0 ，＋∞ )性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1 ；当x >0时，0< y <1 当x >0时，y >1 ；当x <0时，0< y <1减函数增函数二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)＝()n ＝a ．(　×　)(2)(－1)＝(－1)＝．(　×　)(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．(　×　)(4)函数y ＝2x 是指数函数．(　√　)(5)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n ．(　×　)2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B 解析：原式＝2－1＝23－1＝7．故选B ．3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1B 解析：由指数函数的定义知a 2－4a ＋4＝1且a ≠1，解得a ＝3．4．若函数f (x)＝ax (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ，则f (－1)＝________．　解析：由题意知＝a 2，所以a ＝，所以f (x )＝，所以f (－1)＝＝．5．若函数y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是________．a >或a <－　解析：由y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，得a 2－1>1，解得a >或a <－．考点1　指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a)4＝D　解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a＋a＝±D．a＋＝2ABD　解析：在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a ＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a ＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．3．已知a＞0，b＞0，化简：·＝________．　解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝．4．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝__________．－　解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－．1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计考点2　指数函数的图象及应用——综合性(1) (2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2a x－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( )A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)A　解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过点P(1,6)．故选A．(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________ __．(0,1)　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？b≥1或b＝0　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0．1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是( ) A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．都在x轴的上方D．都过点(0,1)ACD　解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝的图象(略)，知两函数的图象关于y 轴对称，A项正确．由指数函数的性质，知选项CD正确．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1]　解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1．3．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中可能成立的有________．(填序号)①②⑤　解析：函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立．考点3　指数函数的性质及应用——应用性考向1　比较大小(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA　解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c．(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A　解析：因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y．因为y＝2x－3－x＝2x－在R上单调递增，所以x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞ln 1＝0．考向2　解指数不等式若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为．{x|x＞4或x＜0}　解析：当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4．所以f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0．所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．考向3　指数型函数的单调性函数f(x)＝的单调递减区间为________．(－∞，1]　解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．在例4中，若函数f(x)＝改为f(x)＝2－x2＋2x＋1，结果如何？[1，＋∞)　解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝2u在R上为增函数，所以函数f(x)＝2－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为[1，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．考向4　指数型函数的最值(1)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________．－　解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则即无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则即解得所以a＋b＝－．(2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________．1　解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此有解得a＝1．1．研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．2．研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a＝()，b＝2，c＝9，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA　解析：a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3．由2<3，得a<c．由>，得a>b，所以c>a>b．故选A．2．(2021·柳州高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1)<f(3a－5)的解集为( )A．(－∞，1)B．(－∞，log32)C．(log32,1)D．(1，＋∞)B　解析：因为函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于x＝1对称．因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]为减函数．不等式f(9a＋1)<f(3a－5)等价于|9a＋1－1|<|3a－5－1|，即|3a－6|>9a⇒3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t －6<0．当t2－t＋6<0时，无解．当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a<log32．3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞)C　解析：由f(x)的图象过定点(2,1)可知b＝2．因为f(x)＝3x－2在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9．故选C．4．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________；又f(x)在R 上是减函数，则实数a的取值范围是________．(3，－1) 解析：对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(x)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．又∵函数f(x) ＝(2a－1)x－3－2 在R上是减函数，故有0<2a－1<1，求得 <a<1．故答案为(3，－1)；．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1．利用函数单调性．2．通过中间量比较大小．3．作差或商比较1．构造函数．2．统一幂指数．3．化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．A　解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝．因为0<<1，所以函数y＝为减函数．又因为>，所以b＝<＝c．再比较a与c，因为＝>＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b．故选A．思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．A　解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝＝，b5＝＝，c5＝＝，所以a5>c5>b5，即a>c>b．故选A．思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．A　解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b．故选A．1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．2．基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识．解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝a x与幂函数g(x)＝x b“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较a b与b a的大小；(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．解：(1)依题意得解得所以F(x)＝(2)因为a b＝＝，b a＝，指数函数y＝在R上单调递减，所以＜，即a b＜b a．(3)由(m＋4)＜(3－2m)，得解得－＜m＜，所以m的取值范围是．。

2.4指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ； 当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 『试一试』1．化简『(－2)6』12－(－1)0的结果为________．『答案』72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 『解析』由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 『答案』(－2，－1)∪(1，2)1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论． 『练一练』 1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．『答案』『0，＋∞)2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a ＝________. 『解析』当a >1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a ＝ 3.『答案』3求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12；(3)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5『解析』(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a16－b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a16－b－3÷(a13b32－)＝－54a－12－·b23－.＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a－111326---·b115236-＋.『备课札记』『类题通法』指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.『典例』 (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________． (2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________个『解析』 (1)设A (x 0,3x 0)，由AC 平行于y 轴，则C (x 0,9x 0)．又因为BC 平行于x 轴，则B (2x 0,9x 0)．因为O ，A ，B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，得3x 0＝2，所以x 0＝log 32. (2)函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 『答案』 (1)log 32 (2)2『备课札记』 『类题通法』指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．『针对训练』1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．『解析』由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知x B＝0.由2x＝3知x A＝log23，故AB＝x A－x B＝log23.『答案』log232．方程2x＝2－x的解的个数是________．『解析』方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．『答案』1『典例』已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．『解析』(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．『解析』由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间『－1,1』上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a－1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 所以要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1』．『备课札记』 『类题通法』利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 『针对训练』已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 『解析』(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)． 应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.『课堂练通考点』1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________． 『解析』由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.『答案』72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________． 『解析』由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在『2,4』上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9. 『答案』『1,9』3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 『解析』∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为『0，＋∞)． 『答案』『0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．『解析』∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 『答案』m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间『1,2』上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．『解析』当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈『1,2』上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈『1,2』上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.『答案』12或32。