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（6）
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） ，即 F G ≠ G F 。
1
若
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⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧
（7）
称算符 F 与 G 是对易的，即 F G = G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ F G G [ , ] [ , F] = − ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎪ [ F , G + M ] = [ F , G] + [ F , M ] ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪[ F , G M ] = G[ F , M ] + [ F , G ] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ F G M F G M F M G [ , ] [ , ] [ , ] = + ⎩ 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易
记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同 指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ h h = = = − [ L , p ] 0 , [ L , p ] i p , [ L , p ] i p x x x y z x z y ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎨[ L y , p x ] = −ih p z , [ L y , p y ] = 0, [ L y , p z ] = ih p x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎪[ L z , p x ] = ih p y , [ Lz , p y ] = −ih p x , [ L z , p z ] = 0 ⎩
力学量算符之间的对易关系
讨论微观态ψ 中某一力学量 F 时，总是以 F 的本征质谱作为力学量 F 的可能值。若我们同 时观测状态ψ 中的一组不同力学量 F , G , L ， 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问 题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
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⎧共同本征态定理（包括逆定理） ⎪ 不确定关系 三个定理 ⎨ ⎪ 力学量守恒定理 ⎩
[ L, U ( r )] = 0 , [ L , U (r )] = 0 ( 4) [ Li , r 2 ] = 0 , [ L, r 2 ] = 0
∧ ∧ ∧ ∧ 2
（21） （22）
2 共同本征函数完备系 2.1 共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 F 和 G 有一个共同的本征函数 ϕ n ， 则必有 F ϕ n = λ aϕ n 及 G ϕ n = λbϕ n ， 即在 ϕ n 态 中可以同时确定这两个力学量的数值，那么
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（16）
另外有
[ Lx , L y ] = ih Lz
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[ L y , Lz ] = ih Lx
L× L = ih L
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[ L z , L x ] = ih L y
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（17） （18）
1.4
几个重要的推论（请大家自行导出）
(1)
2 2 [ L2 , L z ] = [ L2 x , Lz ] + [ L y , Lz ] + [ Lz , Lz ] = 0
( F G − G F )ϕ n = (λ a λb − λ a λb )ϕ n = 0
3
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这似乎提醒我们有 ( F G − G F ) = 0 ，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函 数ϕn ） ，如果 F 和 G 有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
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p j ( j = 1,2,3) ≡ ( p x , p y , p z )
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※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此 导出。 1.3 角动量算符的对易关系
2
∧ ∧ ⎧ ∧ = = L x L y i z L [ , ] 0 , [ , ] h , [ x x x , z ] = −i h y ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎨[ L y , x] = −ihz , [ L y , y ] = 0, [ L y , z ] = ihx ∧ ∧ ⎪ ∧ ⎪[ L z , x] = ihy, [ L z , y ] = −ihx, [ L z , z ] = 0 ⎩ 只证明其中一个，请注意证明方法
∧ ∧
L2 Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ )
Y3,1 Y2, 2
∧
L z Ylm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ )
∧
c
2
2
L2 = 12h 2
L2 = 6h 2
Lz = h Lz = 2h L z = −h
c3,1 = 4 / 9 c 2, 2
2
= 4/9
Y1, −1
L2 = 2h 2
L2 = 12h 2 ×
c1, −1 = 1 / 9
2
4 4 1 74 2 + 6h 2 × + 2h 2 × = h 9 9 9 9 4 4 1 11 L z = h × + 2h × + ( − h ) × = h 9 9 9 9
解法二 由
（3）
n 个相同算符 F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
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∧
例如 F =
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∧ ∧ d2 dn d ，则 F 2 = 2 ， F n = n 。 dx dx dx
为了运算上的方便，引入量子括号
⎡∧ ∧⎤ ∧ ∧ ∧ ∧ F , G⎥ = F G− G F ⎢ ⎣ ⎦
（5）
若
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⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ ≠ 0 ⎢ ⎣ ⎦
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我们定义：
一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这 组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。完全集中力学量的数 目一般称为体系的自由度。请大家将一维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对 照一下。 （注意：完全集中力学量的数目一般 ≥ 体系的自由度） 2 2 1 例题一 任意态ψ = Y3,1 (θ , ϕ ) + Y2, 2 (θ , ϕ ) − Y1, −1 (θ , ϕ ) ，求ψ 态中 L2 , Lz 的可能值、概率 3 3 3 及 L2 , L z 。 解法一 可以看出ψ 是 L2 , L z 的共同本征函数所组成，列表对应求解：
（14a）
⎡ ∧ ⎤ x, p z ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
但是
⎡ ∧ ⎤ x, p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为
∧ ⎡ ⎤ x , p i j ⎥ = ihδ ij ⎢ ⎣ ⎦
(14c)
其中
xi = (i = 1,2,3) ≡ ( x, y, z )
(15)
[ Lx , y] = [ y p z − z p y , y ] = [ y p z , y ] − [ z p y , y ] = y[ p z , y ] + [ y, y ] p z − z[ p y , y ] − [ z, y ] p y = − z[ p y , y ] = ihz
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∧
（24）
例如， L2 Ym (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ ) ， L z Ym (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ ) ，即 L2 , L z 在 Ylm (θ , ϕ ) 态中 同时有确定值 l (l + 1)h 2 及 mh ，所以 Ylm (θ , ϕ ) 是 L2 , L z 的共同的本征函数，并且是完备的，所以
(8) (9) (10) (11)
[x, y ] = 0
动量算符是微分算符，因为
[ y, z ] = 0
[ z , x] = 0
（12）
∂2 ∂2 = ，则 ∂x∂y ∂y∂x
⎡∧ ∧ ⎤ py, pz ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦ ⎡∧ ∧ ⎤ pz, px ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
⎡∧ ∧ ⎤ px , p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（13）
坐标算符与动量算符：设ψ 为任意函数
∧ ∂ ⎧ ψ x p x ψ = −ihx ⎪ ∂x ⎨∧ ∂ ∂ ⎪ p x xψ = −ih ( xψ ) = −ihψ − ihx ψ ∂x ∂x ⎩
比较后可得
x p x ψ − p x xψ = ihψ ，即
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⎡ ∧ ⎤ x , p x ⎥ = ih ⎢ ⎣ ⎦
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[ L2 , L j ] = 0 , (2)
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j = (1,2,3) = ( x, y, z )
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（19） （20）
[ L j , p 2 ] = 0 , [ L, p 2 ] = 0 , [ L2 , p 2 ] = 0
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（3）球坐标下 L 是 θ , ϕ 的函数，若有径向函数算符 U ( r ) ，则
[ L2 , L z ] = 0 。
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