力学量算符之间的对易关系(共享)

ˆG ˆ -G ˆ G ˆF ˆG ˆ 0 ˆF an F ˆ） （F n


ˆ 对易，则这两个算符 ˆ G 和 2.逆定理：如果两个算符 F
有组成完全系的共同本征函数。
ˆ和G ˆ 对易，只是两力学量同时 注意：两个算符 F
有确定值的必要条件。
3.力学量的完全集合：要完全确定体系的状态，需要 有一组相互对易的力学量，这组确定体系状态 的力 学量，称为力学量的完全集合。 三．不确定关系 1927年3月，海森伯发表了《论量子论的运动学和动 力学的直觉内容》的论文，公布了他 所建立的不 确定
2 2 ˆ ˆ I F k G


2

2
0
得 （3.7.12）
ˆ ˆ G F
2
ˆ 表示任意两个力学量 关系，称为不确定度关系。
ˆx p ˆ x x i ，所以 例如：（1）xp
x p x
2
2
（ 2）
E t 2
2 4
（3.7.13）
设 为任意波函数，则 E, t i , t i t i i t t t
E t 2
（3）角动量的分量的不确定关系






（3.7.8）

二．两力学量同时有确定值的条件 ˆ 有一组共同的本征函数 1.定理：如果两个算符 F ˆ 和G ˆ ˆ 对易。 G 组成完全系，则算符 和 F ，而且 n
n
证明：因为
，
ˆ ˆ n = nn G = ； F n n n
考虑一下积分：
ˆ ˆ iG I F

∧ ∧ ∧ ∧
（6）
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） ，即 F G ≠ G F 。
1
若
∧
∧ ∧ ∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧
（7）
称算符 F 与 G 是对易的，即 F G = G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ F G G [ , ] [ , F] = − ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎪ [ F , G + M ] = [ F , G] + [ F , M ] ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪[ F , G M ] = G[ F , M ] + [ F , G ] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ F G M F G M F M G [ , ] [ , ] [ , ] = + ⎩ 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易
记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同 指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ h h = = = − [ L , p ] 0 , [ L , p ] i p , [ L , p ] i p x x x y z x z y ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎨[ L y , p x ] = −ih p z , [ L y , p y ] = 0, [ L y , p z ] = ih p x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎪[ L z , p x ] = ih p y , [ Lz , p y ] = −ih p x , [ L z , p z ] = 0 ⎩

[H ˆ,L ˆ2] [ 22 r2 r(r2 r) V (r)2 L ˆ2 r2,L ˆ2] 0
[H ˆ,L ˆz][2L ˆ2 r2,L ˆz]21 r2[L ˆ2,L ˆz]0
[Lˆ2, Lˆz ] 0
共同本征函数 n lm (r,,) R n l(r)Y lm (,)
[例题]证明(原课件):
[pˆx,F(x)]i
F x
解:取任意函数,由于
[p ˆx,F (x)] i[ xF F x]
i[ F F F ] i F
x x x x
因是任意的函数,所以
[pˆx,F(x)]i
n id x ,j 1 ,2 ,
sn
i x gsna i
* n j
n id x ,j 1 ,2 ,
sn
i 1
i 1
sn
sn
aiGji g ai ji G jin * jG ˆn id x ,jin * j n id x
[ x ˆ ,p ˆ y ] [ x ˆ ,p ˆ z ] [ y ˆ ,p ˆ x ] [ y ˆ ,p ˆ z ] [ z ˆ ,p ˆ x ] [ z ˆ ,p ˆ y ] 0
2,角动量算符的对易式: Lˆ rˆ pˆ
[L ˆx,L ˆy]L ˆxL ˆyL ˆyL ˆx(yp ˆzzp ˆy)(zp ˆxxp ˆz)
H ˆ nlmEn nlm,En2e 2n s42
L ˆ 2n lm ( l 1 ) l2n lm ,L 2 l( l 1 )2
L ˆz n lmmn lm ,L zm
在nlm态下,能量,角动量平方,角动量z分量

ˆ ˆ ˆ ˆ = y[ p z , z p x ] + [ z , x p z ] p y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = yz[ pz , px ]+ y[ pz , z]px + x[z, pz ]py +[z, x]pz py
ˆ ˆ ˆ ˆ = y(−iℏ) px + x(iℏ) py = iℏ[ xpy − ypx ]
证明 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
利用 则
[Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ O,UE = OUE −UEO ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = OUE −UOE +UOE −UEO
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = OU −UO E +U OE − EO ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = O,U E +U O, E
对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称 与 Û 不对易。 ，则称Ô
如 ： 算 符 例 x ˆ px = −iℏ 不 对 易 。
∂ x ∂
由于
ˆ xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ =−iℏx ∂∂xψ
ˆ px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ =−iℏψ −iℏx ∂∂xψ
所以
ˆ ˆ xpxψ − px xψ = iℏψ
(
)
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ I (ξ ) = ξ A + iB ,ξ A + iB
(
)
) (
) )
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ = ξ A ,ξ A + ξ A , iB + iB ,ξ A + iB , iB

用 A 对B 运算。一般说来算符之积不满足交换率：
AB BA
(18)
典型例子：
x,
px
x
px
px
x
i
(d)对易式的代数恒等式：
A,
B
B,
A
A,
B
C
A,
B
A,
C
A,
BC
B
A,
C
A,
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
(19)
AC, B
A
B,
C
A,
C
B
A,
B, C
B,
A, C
C,
2.例：自由粒子，3个自由度：
氢原子中电子，3个自由度：px , py , pz 三个量子
数
Hˆ , lˆ, lz
四n、,l测, m不准关系
1.设 和 的对易关系为
Fˆ Gˆ
FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
(37)
令 Fˆ Fˆ F, Gˆ Gˆ G
(38)
则
Fˆ
2
Gˆ
2
k2
(39)
4
如果 k 不为 0 ，则 Fˆ 和 Gˆ 的均方偏差不会同时为 0，
乘积大于某一正数。例如
x,
px
i
则
2
2
2
X
px
4
(40)
证明：令函数
I
Fˆ
iGˆ
2
d
0
其中 为实参数，即分区域为变量变化的整个空间
I Fˆ iGˆ
Fˆ
i
Gˆ
d
Fˆ
pr
(25)
所以，l
, l

等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0

, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ

1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件

基本对易关系，由它们可以推出其他的一些算符 （有经典对应的）对易关系。
2. 角动量算符的对易关系：
ˆ ,L ˆ ]L ˆ L ˆ ˆ ˆ [L x y x y Ly Lx
ˆz z ˆ y ) (z ˆz z ˆy) ˆp ˆp ˆp ˆp ˆx x ˆ z ) (z ˆx x ˆ z ) (y ˆp ˆp ˆp ˆp = (y
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系
一、算符的对易关系：
对于任意的波函数，

ˆ 对易 ˆ,G 0 F ˆ ,F ˆF ˆ ˆ G ˆ F ˆG G ˆ 不对易 ˆ,G 0 F
ˆ x 的对易关系 x, p ˆx ? ˆ 和动量算符 p 1. 坐标算符 x
e2s 1 2 1 1 2 [ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 2 r r r r sin r sin r
2
ˆ 2是关于 ， ˆ 是关于 的微分算符， 的微分算符， L 且L z
ˆ ,L ˆ ]0 。 ˆ ,L ˆ 2 ] 0 , [H 所以： [H z
ˆ ,H ˆ,G ˆ ,ˆ 即：如果一组算符（F I……）有共同本征函数，
而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。
2. 不同力学量取确定值的条件：
ˆ ,ˆ ˆ,H ˆ,G 若F I ……等可对易，由以上定理知，这些函数有
完全的共同的本征函数系{ n}，按本征函数与本征值 的意义可知，当体系处于它们的本征态 n 时，力学量 F
ˆ yz ˆx + ˆ yx ˆz ˆp ˆp ˆp ˆp ˆ zz ˆx y ˆ zx ˆz z ˆp ˆp z ˆp ˆp =y

对易 关系
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
2．力学量同时有确定值的条件
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全 系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
prove: 设 n 是 Fˆ 和 Gˆ 的共同本征函数完全系，则
Fˆn nn , Gˆn nn
ห้องสมุดไป่ตู้
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
x
ihU
f x
ihf
U x
ihU
f x
ihf
U x
ih
U x
f
U
x
,
Pˆx
ih
U x
特别地，当U x x 代入上对易式，即证得 x, Pˆx ih
同理可证： y, Pˆy ih z, Pˆz ih
3
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续３）

因此，
xpx
(n1) 22
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
2021/8/17
23
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是 x 0 ，（见4.22式）
p 0 ， （见4.32式）
2021/8/17 又（： 见4.23x式2 n）(n1 2)M
22
px2
n
(n1)M
2
，
（见4.33式）
x x2 x2 x2 (n1)
n
n
2M
p xp x 2np x2 p xp x 2n(n 1 2 )M
16
2. 不确定关系的严格证明 在量子力学中力学量的不确定关系 FG ？
证明： 第1步：设两任意厄米算符 Fˆ , Gˆ的对易关系为
F ˆ,G ˆ iK ˆ——
或厄米算符
F ˆG ˆG ˆF ˆiK ˆ ——Kˆ
为实数
构造态函数
对任意态函数 ，再构造出一个新的任意态 (Fˆ iGˆ) 函数（其中 是实参数），
G (G ˆG)2
所以
：
FG 1 2
K
这就是常见的不确定关系的一般表达式。
例1：坐标和动量的不确定关系
取 Fˆx,G ˆpˆx
xˆ,p ˆxi对比对易关系 F ˆ,G ˆ iK ˆ
2021/8/17
21
得 Kˆ 由公式 FG1 K
2
xpx 2 ，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 体的 xpx ? 需要具体来求。
2021/8/17
17
第2步 ——计算态函数内积
I()(F ˆiG ˆ,F ˆiG ˆ)0（被积函数不小于零）
展开为 :

A B A B

(15)
2
2 2 p l 如哈密顿算符 H T U ，而 T 2 r , 2 2 2 r 1 pr i ， A B B A ， r r
A B C A B C



(16)
同理
y, p y i
z , pz i
(6)
(7)
注意(5),(6),(7)左边[ ]表算符乘积交易次序之差（测量 次序不同结果不同）
另外:
x, py 0
(8)
y, pz 0
px , p y 0
称上面三组算符之间对易
则 3）算符一般性质补充
(a) 逆运算
设 A (31) 能够唯一解出 ，则定义算符 A 1 1 (32) 的逆 A 为： A 不是所有算符存在逆算符，如矢量分解，投影算符。
1 AA A A I , A, A 0 1 1 1 AB B A 1 1
2
2.测不准关系的应用例子
例1）隧道效应中的粒子能量 2 ˆ p p ˆ ˆ V ˆ ˆ T E U x H U x (44) 2 2 ˆ与 p ˆ 不对易，所以动能算符与势能算符不对易， 由于 x 所以（44）式应理解为一个态中平均总能量为平均势 能和平均动能之和，注意，求平均值对变量变化的整 a 个区域积分。当粒子在势垒范围内 x 被发现时， 由测不准关系粒子动能就在一定范围内不确定：
(19)
2）角动量算符之间的对易关系
力学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系 量之间的对易关系。
x , p i 和恒等式(19)之一，可以导出其它力学

量子力学中的量子力学力学量的算符关系量子力学是研究微观粒子行为和性质的理论框架，它描述了自然界中微观领域中的物质和能量的行为方式。

在量子力学中，量子力学力学量的算符关系是描述物理量之间的对易关系或反对易关系的数学表达式。

这些算符关系是量子力学理论的基石，对于量子力学系统的描述和计算具有重要意义。

一、量子力学力学量的基本概念在量子力学中，力学量指的是描述物理系统状态的特性，比如位置、动量、角动量、能量等。

这些力学量由相应的物理量算符来表示，量子态的演化和测量是通过这些算符的操作来实现的。

在量子力学中，力学量算符是一种特殊的线性算符，它们作用于量子态（波函数或矢量表示）来得到相应的测量结果。

力学量算符的本征态对应于测量得到的确定值，而本征值则是该测量值对应的物理量数值。

二、量子力学力学量的算符关系量子力学力学量的算符关系可以通过对易关系或反对易关系来描述。

对于可同时测量的力学量，它们的算符满足对易关系；而对于不可同时测量的力学量，它们的算符满足反对易关系。

1. 对易关系对易关系表示两个力学量算符的乘积与其反序乘积之间的关系。

对于两个可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足对易关系：[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示算符的对易子。

对于满足对易关系的力学量算符，它们的本征态可以共享相同的基础。

2. 反对易关系反对易关系描述的是两个不可同时测量的力学量算符之间的关系。

对于不可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足反对易关系：{A, B} = AB + BA = 0其中{A, B}表示算符的反对易子。

反对易关系的存在意味着这两个力学量之间存在一定的互换关系，即测量一个力学量会影响到另一个力学量的测量结果。

三、具体力学量的算符关系1. 位置和动量在量子力学中，位置算符和动量算符是最基本的力学量。

它们的算符关系由玻尔-海森堡不确定关系给出：Δx · Δp ≥ h/4π其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。

测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F


ˆ ˆ , G F n n n n n n
11
Ex.5
可能同时有确定值。
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续11）
3. 力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 Ex.1 三维空间中自由粒子，完全确 ˆ ˆ ˆ p , p , p x y z. 定其状态需要三个两两对易的 力学量： ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . Ex.2 氢原子，完全确定其状态也需 H z 要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力学 ˆ Ex.3 H 量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态 均可用它展开。
ˆ ˆ G ˆF ˆG ˆ ik F 2 ˆ ) d ˆ iG 考虑积分： I ( ) (F ˆ )* ][F ˆ ]d ˆ )* i (G ˆ iG [(F

* ˆ ) (G )* F ˆ ˆ )d i [(F ˆ )* (G ˆ ]d (F ) (F 2
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n

中的粒子能量 2 ˆ p p ˆ ˆ V ˆ ˆ T E U x H U x (44) 2 2 ˆ与 p ˆ 不对易，所以动能算符与势能算符不对易， 由于 x 所以（44）式应理解为一个态中平均总能量为平均势 能和平均动能之和，注意，求平均值对变量变化的整 a 个区域积分。当粒子在势垒范围内 x 被发现时， 由测不准关系粒子动能就在一定范围内不确定：

(36)
1.两个算符对易的条件即两个算符所表示的力学量同 时有确定值的条件。 ˆ 有一组共同本征函数 n ，而 ˆ和G 如果两个算符 F ˆ 对易。 ˆ 和 G 且 n 组成完全系，则算符 F
证明：
Fn nn , Gn nn , 而 ann
n n
n 由于 为任一波函数，所以
(25)


(26)
(26)式即为角动量各分量间对易关系合写式，分开写 为：
l , l 0, l , l 0, l , l 0 x x y y z z lx , lz i lz , l y , lz i lx , lz , lx i l y
k2 4
(39)


X p
2 x
2

2
4
(40)
2
证明：令函数 I
其中 为实参数，即分区域为变量变化的整个空间
ˆ ˆ iG F
d 0
I

ˆ ˆ ˆ F iG F



(9)
(10)
一般结论：动量分量算符和它对应的坐标算符不对易。 x, px , y, p y , z, pz ；而和它不对应的坐标之 0 如 间对易（如 和 px ，y 和 p y ），动量各分量算符之 x 间是对易的。

ˆ z , z] p ˆ x yz[ p ˆz , p ˆ x ] [ z, x] p ˆz p ˆ y x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ x i xp ˆy i yp
ˆ y yp ˆx ) i ( xp ˆ iL z
等于零
6
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
ˆ 的本征方程的解。因此， n 也是 G 可见， n 是 ˆ 的本征函数完全系 G


ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1, 2, 3 ˆ ˆ p , p 0
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x , p i ( , 1, 2, 3)
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F


ˆ ˆ , G F n n n n n n
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续9）

ˆ iB ˆ iB ˆ , A ˆ I ( ) A




ˆ , A ˆ A ˆ , iB ˆ iB ˆ iB ˆ , A ˆ , iB ˆ A



ˆ , A ˆ i A ˆ , B ˆ B ˆ i B ˆ , A ˆ , B ˆ 2 A




ˆ 2 i , A ˆ, B ˆ , B ˆ 2 2 , A
2
ˆ ˆ i , ik ˆ , B , A
2 2

ˆ ˆ 2 , k ˆ 2 2 , A ,B
所以
2 ( k ) ˆ ) 2 (B ˆ )2 (A 4
2
ˆ ˆ，B ˆ] [A ˆ，B ˆ ] ik [A
（二）坐标和动量的测不准关系
（1）测不准关系
ˆ ˆ，B ˆ] [A ˆ，B ˆ ] ik [A
2 ( k ) ˆ ) 2 (B ˆ )2 (A 4
n
ˆ G ˆF ˆG ˆ ) cn ( F n
ˆ ) ˆ G cn ( F n n n
n
n
cn ( n n n n )n 0
n
因为 (x) 是 所以 任意函数
ˆ G ˆF ˆG ˆ 0 F
两力学量同时有确定值的条件
• 体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般 没有确定值。

j (1,2,3) ( x, y, z)
2 2 2
[ L j , p ] 0 , [ L, p ] 0 , [ L , p ] 0
[ L,U (r )] 0 , [ L ,U (r )] 0

们最多相差一个常数因子n ，即
可见，
n
Gˆn nn
也是 Gˆ 的本征方程的解。因此，n
是
Gˆ 的本征函数完全系
8
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续8）
注
★ 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简 并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立 （这里就不再证明了）
★ 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个 算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数 所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时 有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量 同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。
2
* (Fˆ
2
)
d
i
*[FˆGˆ GˆFˆ ]d
*(Gˆ )2 d
2 (Fˆ )2 k (Gˆ )2 0
由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件 是系数必须满足下列关系：
(Fˆ )2 (Gˆ )2 k 2 （称为测不准关系）
4
如果 k 不等于零，则 Fˆ 和 Gˆ 的均方偏差不会同时为 零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 F 和 G 不能 同时测定。
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续9）
Ex.1 动量算符 pˆx, pˆ y , pˆz彼此对易，它们有共同的
本征函数完备系
p(r)
(2)
3
2
e
i
pr
在 pv (rv) 描述的状态中，px , py , pz 同时有确定值。
4．测不准关系

[Hˆ , Lˆ2 ] 0 [Hˆ , Lˆz ] 0 [Lˆ2 , Lˆz ] 0
它们有共同的本征函数完备系 { nlm (r, ,) }
在nlm r,, 状态中， 故 H , L2 , Lz 可同时有确定值:
En


es4
2n2 2
,

L2 l(l 1) 2,
征函数完全系
prove: 设 n 是 Fˆ 的本征函数完全系，则
Fˆn nn
（1）
若算符 Fˆ 与 Gˆ 对易，则 FˆGˆ GˆFˆ
FˆGˆn GˆFˆn nGˆn
（2）
为简单起见，先考虑非简并情况。由（1）、（2）
式知，n 和 Gˆn 都是 Fˆ 属于本征值n 的本征函数，它

[x , x ] 0 , 1, 2, 3
x1 x, x2 y, x3 z
pˆ , pˆ 0 , 1, 2, 3 ( pˆ1 pˆ x, pˆ 2 pˆ y, pˆ3 pˆ z )
x, pˆx i
y, pˆ y i
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0

zˆ, xˆ 0

[ pˆ x , pˆ y ] 0
[ pˆ y ,
pˆ z ] 0

[ pˆ z ,
pˆ x ] 0
y[ pˆ z , z] pˆ x yz[ pˆ z , pˆ x ] [z, x]pˆ z pˆ y x[z, pˆ z ] pˆ y
i ypˆ x i xpˆ y