高中数学球与几何体的切接问题

球与多面体切接问题教学设计《课程标准》指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求．教学目标核心素养1.掌握长方体、正方体与球的切接问题2.掌握正四面体与球切接问题三种方法，能运用三种方法解决类似问题1直观想象能直观感受空间正多面体与球内切与外接的位置2数学抽象能由实物抽象出数学平面的直观图，并能具体画出某一截面的情况；能抽象出正方体切截出正四面体的方法。

3逻辑推理能由平面二维的等面积推理到三维等体积4数学计算能通过在截面找到球心位置计算推演出球心精确的位置重点：长方体、正方体、正四面体与球的切接问题难点：正四面体内切球、外接球半径与棱长的关系一复习引入：球的基本性质：性质1：用一个平面去截球，截面是圆______________--截面过球心，半径等于球半径；_______--截面不过球心. 性质2:球心和截面圆心的连线_________于截面性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r , 有下面的关系_________二新课探究1长方体与球探究：长方体的（体）对角线等于球________一般的长方体有内切球吗？设长方体长宽高分别为a,b,c则球的直径为_________练习12正方体与球通过视频学习，以动画的形式，让学生更直观的想象正方体的外接球，棱切球，内切球的情况，加深印象，更容易理解。

探究：棱长为a的正方体的内切球直径为_______棱切球直径为_________外接球直径为_________内切球，棱切球，外接球半径之比_________练习23正四面体与球探究：求棱长为 a 的正四面体 P– ABC 的外接球的半径_____内切球的半径______活动一：法一（截面法）通过建立勾股关系，在RT△OAD中求解外接球半径通过三角形相似，建立数学等量关系，求解内切球半径小组活动：通过小组讨论，运用学过的球的性质，建立几何关系，通过推理运算，得出外接球及内切球半径。

帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题立体几何中的外接球与内切球问题，有一定难度，需要掌握常见的几种类型，现结合实例介绍如下：一、 长方体的外接球直径为长方体体对角线长例1.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )A.72π B.56π C.14π D.64π 分析：长方体的外接球直径为常长方体体对角线长。

解析： C. 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c ，则ab 2bc 3ac 6=⎧⎪=⎨⎪=⎩，得a 2b 1,c 3=⎧⎪=⎨⎪=⎩令球的半径为R ，则()20223217=45221314,=2B AB R R ∴∠=++=∴。

22=4=414S R R πππ∴=球。

变式. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( )A. 3 B ．4 3 C ．8 D ．24解析： C 设球的半径为R ，则4πR 2＝12π，从而R ＝3，所以正方体的体对角线为23，故正方体的棱长为2，体积为23＝8，故选C.二、有些三棱锥可以补体为长方体1.三条侧棱（面）两两垂直的三棱锥的外接球例2．已知三棱锥P -ABC 中，PB ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，P A ＝5，AB ＝BC ＝1，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为( ) A ．12π B ．6π C ．24πD.46π3解析：答案为 B如图，∵PB ⊥平面ABC ，∴PB ⊥AB ，∵AB ＝1，P A ＝5，∴PB ＝2， 22＋12＋12＝6，又AB ⊥BC ，把三棱锥P -ABC 补形为长方体，则长方体对角线长为则三棱锥P -ABC 外接球的半径为62， ∴三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫622＝6π.故选B. 变式．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（ ） A ．803πB ．32πC ．42πD ．48π解析：D 由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球， 设球的半径为R ，由题意可得：()22222444R =++,据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.2.三对对棱对应相等的三棱锥的外接球例3．在三棱锥S ABC -中，SA BC =，5SB AC ==，SC AB =S ABC -外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．100C ．50πD．解析：答案为C 。

例1。

若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，求该球的表面积和体积。

分析：①334R V π=球（R 为球半径） ②24R S π=球 （R 为球半径) 需要求出半径。

正方体的棱长为a ，则:正方体的内切球、棱切球、外接球半径分别为:a 21，a 22，a 23。

变式：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为。

【解析】关键是求出球的半径,因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。

长方体体对角线长为14,故球的表面积为14π。

变式：（已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为( ）.A 。

16π B 。

20π C 。

24π D 。

32π解题关键：通过多面体的一条侧棱和球心，或接点作出截面图。

棱锥与球例题：求棱长为1的正四面体ABCD 的外接球体积. 分析:作出合适的球的轴截面图，找准球心位置，构造三角形求解半径。

常用结论：正四面体外接球的球心在高线上，半径是正四面体高的43解法一、 解法二、如何求正四面体的外接球半径法1.补成正方体法2.勾股定理法例题：求棱长为a 的正四面体的内切球半径。

分析：并非所有多面体都有内切球，正多面体存在内切球，且正多面体的中心为内切球球心。

常用结论：正多面体内切球半径是高的41；31⋅⋅=内切表多R S V 1、正三棱锥的高为1，底面边长为62，内有一个球与它的四个面都相切．求：（1）外接球的表面积和体积;(2）内切球的表面积与体积．设正四面体的棱长为a ，则：正四面体的内切球、棱切球、外接球半径分别为: a 126、a 42、a 46. 构造长方体变式 P 、A 、B 、C 是球O 面上的四个点,PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=PB=PC=a,求这个球的体积。

例 已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上,B BCD A ⊥平面,BC DC ⊥,若6,AC=213,AD=8AB =，则B 、C 两点间的球面距离是____。

高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。

例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。

解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。

2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。

解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。

3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。

解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。

连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。

由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。

因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。

类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。

通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。

几何体中与球有关的切、接问题球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲题型一、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π例2、【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π例3、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π例4、已知四棱锥P ABCD -的体积是ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为（）A ．BCD ．例5、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．例7、如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．二、达标训练1、已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（） A ．16πB ．20πC ．32πD ．64π2、【2020年高考全国II 卷理数】已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D 3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D4、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．5、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．6、已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.7、如图，在三棱锥P-ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P-ABC 外接球的表面积是________.8、已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________．9、在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =为________，该四面体外接球的表面积为________.10、下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．几何体中与球有关的切、接问题球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲题型一、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A.本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.例2、【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C ．本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 例3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C【解析】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,12R ==245S ππ==，故选C.例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥P ABCD -的体积是ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为（）A ．BCD ．【答案】A【解析】设AB 的中点为Q ，因为PAB ∆是等边三角形，所以PQ AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PQ ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积是13AB AB PQ =⨯⨯⨯13AB AB AB =⨯⨯，所以边长6AB =，PQ =OH x =，OM x =，()(222222R OA OM AM x==+=+，2222223R OP OH PH x ==+=+，x =2212321R =+=343V R π==球.故选：A.例5、（2020届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =P ADE -的外接球的体积为，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.【答案】20π 【解析】四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且AD =ED =，所以，ADE ∆的外接圆半径为122AE r ===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，则3143R π=，解得12R =.PA ⊥平面ADE ，1R ∴=2PA ==PA ∴=正方形ABCD 的外接圆直径为22r AC ==22r ∴=，PA ⊥平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径2R ==因此，阳马P ABCD -的外接球的表面积为22420R ππ=.故答案为：20π. 题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r，其体积：3433V r =π=π.. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.例7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．【解析】（1）因为16(1)222S =⨯⨯⨯=，所以该六面体的表面积为2. （2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，2. 由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R ，16()3R R =⨯⇒=所以球的体积3344(393297V R ππ===.故答案为：2；729. 二、达标训练1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（） A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D【解析】如图所示，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则2632AE =⋅=6SE ===, 又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(6)R R =+-，解得4R =， 所以球的表面积为2464S R ππ==， 故选D.2、【2020年高考全国II 卷理数】已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D ．2【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R π=π，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C ．本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，2R ==即344π2338R V R =∴=π=⨯=，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴=== 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D.本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图所示，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，24ABC S AB ==△，6AB ∴=,点M 为三角形ABC 的重心，23BM BE ∴==，Rt OBM ∴△中，有2OM ==，426DM OD OM ∴=+=+=，()max 163D ABC V -∴=⨯=，故选B.5、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，1D E =，所以||EP ===所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E，因为||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得22FG π==.故答案为：2. 6、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 【答案】13π 【解析】如图：SA ⊥平面ABC ，则SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：tan3SA AB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，则必有OG ⊥面ABC 在ABC ∆，2222cos 31216AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=， 则1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠， 又1322OG SA ==， 所以三棱锥S ABC -外接球半径为2R ===该球的表面积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图，在三棱锥P-ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P-ABC 外接球的表面积是________.【答案】45︒6π【解析】如图，作平行四边形ABCD ，连接PD ，由AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形． 由BC CD ⊥，BC PC ⊥，PCCD C =，∴BC ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥，同理可得AB PD ⊥，又AB BC B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,CD AB PC ===1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．由,PA AB ⊥PC BC ⊥知PB 的中点到,,,A B C P 的距离相等，PB 是三棱锥P-ABC 外接球的直径．由BC ⊥平面PCD 得BC PC ⊥，PB ===24()62PB S ππ==． 故答案为：45︒；6π．8、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________． 【答案】52π4π【解析】（1）由题,根据勾股定理可得AC AB ⊥,则可将三棱锥P ABC -可放入以,,AP AC AB 为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即2r ==则r =,所以球的表面积为224452r πππ=⨯=；（2）由题,因为Rt ABC ,所以D 为底面ABC 的外接圆圆心,当DO ⊥截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC ,则外接圆半径为2,故截面面积为224ππ⨯=故答案为：（1）52π；（2）4π9、（2020届山东省滨州市高三上期末）在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =________，该四面体外接球的表面积为________.8π【解析】因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =AB ==，因此222BC AC AB +=，则AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，则OA OB OC OS ====，所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为OC =所以该四面体外接球的表面积为248S ππ=⋅=； 又因为SA SB =，所以SO AB ⊥；因为底面三角形ABC 的面积为定值122AC BC ⋅=，SO ，因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为13ABC V S SO =⋅=故答案为：(1).6(2). 8π10、（2020届山东省济宁市高三上期末）下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．【答案】 【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为2l R ==即球的半径R =该球的体积343V R π==，应填答案．。

§7.2 球的切、接问题球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心．题型一 定义法例1 (1)(2023·宣城模拟)在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，AB ＝22，AC ＝4，∠BAC ＝45°，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积是( )A ．14πB ．16πC ．18πD ．20π(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 跟踪训练1 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310 题型二 补形法例2 (1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O －DEF ，则该三棱锥的外接球半径R 与内切球半径r 的比值为( )A.2 3 B ．4 3 C ．2 6 D.6(2)如图，在多面体中，四边形ABCD 为矩形，CE ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝CE ＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)补形法的解题策略①侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解．(2)正方体与球的切、接问题的常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.跟踪训练2(1)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为22，32，62，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为()A.6π B．26π C．36π D．46π(2)(2023·焦作模拟)已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且P A＝32，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．题型三截面法例3(1)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△P AD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面P AD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为()A．12π B．16π C．20π D．32π(2)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()A.32π3，4 B.9π2，3 C ．6π，4 D.32π3，3 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)与球截面有关的解题策略①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．(2)正四面体的外接球的半径R ＝64a ，内切球的半径r ＝612a ，其半径之比R ∶r ＝3∶1(a 为该正四面体的棱长)．跟踪训练3 (1)(2022·淮北模拟)半球内放三个半径为3的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是( )A ．1＋ 3 B.3＋ 5 C.5＋7 D.3＋7(2)(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为( )A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π。

高中数学I夕卜接球与内切球解题方法，8大模型空间几何体的外接球与内切球-、有关定义1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。

2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。

外接球问题江西省永丰中学陈保进若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。

以下为常见模型。

1、长方体模型结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。

公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）补充：以下情况可转化成长方体模型。

①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。

2222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2=PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。

设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,222222)(2t n m c b a ++=++2)2(2222222t n m c b a R ++=++=abc2、直三棱柱模型结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222()2hR r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。

补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。

提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。

3、共斜边模型四面体D-ABC 中，DC AD ⊥，BC AB ⊥，AC 为公共的斜边，O 为AC 的中点，则O 为四面体D-ABC 外接球的球心。

4、正棱锥模型外接球的球心在正棱锥的高所在直线上，如图正三棱锥A-BCD 中，作AO 1⊥平面BCD ，则易得BO 1=CO 1=DO 1，所以O 1为△BCD 的外心，设O 为其外接球球心，半径为R ，则BO =AO =R ,设AO 1=h ,BO 1=r ,则由BO 2=BO 12+OO 12,得R 2=r 2+(h-R )2。