小学数学难题解法大全 第三部分 常用解题方法(二~一)一般解题方法

小学数学难题解法大全第三部分常用解题方法（二之一）一般解题方法（一）一般解题方法【图示法】解答竞赛题时，尽管题目内容复杂多变，或者已知条件十分抽象，但可以用图形（线段图、直观图、示意图）把题中的条件和问题形象、具体地表示出来，以帮助我们揭示数量关系，正确地找到解答方法。

这种解题方法就是图示法。

的服装3套，则剩下16.1米。

这段布料全长多少米？分析：根据题意先画图观察（如图3.1）。

可知：做1套服装所用布料占这段布料的：做3套服装所用布料占这段布料的：剩下的布料16.1米的对应分率是：由此可求出这段布料全长多少米。

答：这段布料全长24.5米。

例2 把一个长方体的高减少4厘米，就得到一个底面不变的正方体，它的表面积比原来减少了112平方厘米。

这个正方体的体积是多少？分析：这是一道比较抽象的图形的求积题，需要有一定的空间想象能力。

通过画图（如图3．2），可以帮助理解两个关键问题。

一是把长方体的高减少4厘米后，得到一个底面不变的正方体，这个正方体的六个面都是正方形。

二是长方体变成正方体后，它的表面积减少的部分是以4厘米为高的这个长方体的侧面积（而不含阴影部分的面积）。

根据已知条件，可知将这个侧面积展开是一个宽4厘米、面积为112平方厘米的长方形，由此可求出它的长，也就是得到的正方形的一个面的周长。

112÷4＝28（厘米）则正方体的棱长为：28÷4＝7（厘米）由此可求出正方体的体积。

解：（112÷4÷4）3＝7×7×7＝343（立方厘米）答：这个正方体的体积是343立方厘米。

例3 在边长是6米的正方形花圃四周由里向外铺上三圈水泥砖，形成一个大的正方形，这种水泥砖每块是边长30厘米的正方形，共需要这种水泥砖多少块？（中南地区小学数学竞赛试题）分析：此题是一道空心方阵问题。

根据方阵里外相邻两层每边数相差2的特点，可求出方阵最里层每边有方砖是600÷30＋2＝22（块），因为是3层，所以最外层每边有方砖是22＋2×（3－1）＝26块。

由题意画一个空心方阵图（如图3．3），阴影部分表示方砖数，把这个图的阴影部分划分成相等的四个小块，只需求出一小块里面有多少块砖，便可求出一共有多少块砖。

解：（26－3）×3×4＝276（块）答：共需方砖276块。

例4 一组割草人去两块草地割草，他们的工效都相等。

大的一块草地比小的一块大一倍。

上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大草地上，到傍晚时把草割完。

另一半人就到小草地上去割，到傍晚时还剩下一块，这一块若由一个人去割，正好一天可以割完。

问全组共有多少名割草人？分析：这是一道俄国名题，乍看起来数量关系比较复杂，若根据题意先画一个图，题意就一目了然了。

先画一个长方形表示大的一块草地，连着这个长方形再画一个面积是它的一半的小长方形，表示小的一片草地，如图3．4所示。

答：全组共有8名割草人。

例5 AB两站从6：00—19：00，每隔10分钟有一辆公共汽车同时相对开出。

从A站到B站与从B站到A站运行的时间均为50分钟。

现有一辆汽车上午9点出发从B站开往A站，问这辆汽车在运行途中遇到多少辆从A站开往B 站的汽车？（“运行途中”是指出站后至进站前所经过的路段。

）分析与解答：考虑问题时应想到这辆从B站开往A站的车，在出发前A站已每隔10分钟向B站发车，那么这辆车在运行途中会遇到多少辆从A站开往B站的车呢？可用图示法解答。

分别从AB两站画两条平行的时间轴，每两点之间的线段表示一个时间段（10分钟）。

汽车9点从B站开出，9点50分到达A站，在B轴上用“0”表示发车时间，A轴上用5表示到达时间，AB两站相对开出的车辆用斜线表示。

这样一来，就把所求的问题转化成“0—5”连线与多少条斜线相交的问题。

如图3.5所示。

由图可知，这辆汽车在运行途中，遇到了9辆从A站开往B站的汽车。

注：这类问题经常被称为“柳卡问题”，这是因为法国数学家柳卡（也译作“刘卡”）在一次国际会议期间最先提出这类问题。

在匈牙利，它则被称为“邮车相遇问题”，因为匈牙利著名作家卡尔曼·米克沙特所著的名著《奇婚配》中，有一个类似的邮车相遇算题。

解这类问题的图，称之为“时间一路程图”，或称之为“运行图”。

【列表法】解题时把题中的条件进行分类整理，用表格的形式进行有序排列，使条件与条件之间，条件与问题之间的关系条理化、明朗化，有利于探求解题的思路，从而达到解决问题的目的。

这种方法就是列表法。

例1一个圆的周长是1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。

它们每爬行1秒、3秒、5秒……（连续奇数），就调头爬行。

那么，它们相遇时，已爬行的时间是______秒。

（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）分析：两只蚂蚁是在边进边退中相向爬行，要求出它们相遇的时间，就有一定困难。

圆的周长是1.26米（126厘米），半圆的弧长则是63厘米，两只蚂蚁共同爬行63厘米所用的时间就是它们相遇的时间。

两只蚂蚁每秒钟一共爬行了5.5＋3.5＝9（厘米）假定两只蚂蚁第1秒钟都往上半圆相向爬行，则它们共同爬行了9厘米。

这时，它们调头向下爬行3秒钟，共爬行了9×3＝27（厘米）相对它们出发时的地点下降了27－9＝18（厘米）这时，它们又调头问上爬行5秒钟，共行9×5＝45（厘米），相对出发时的地点向上爬行了45－18＝27（厘米）依此类推，列出下表：从上表可以看出，在蚂蚁连续向上爬行了13秒钟的时候，正好相遇。

这时蚂蚁一共爬行了1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49（秒）答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒。

分析：根据工作效率＝工作量÷时间，列下表：解：从上表可知师傅与徒弟两人工作效率的比为：答：师傅与徒弟两人工作效率的比是5∶3。

例3长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为长的正方形（如图3.6）。

已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积。

（第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）分析：要求长方形ABCD的面积，必须知道长方形的长与宽各是多少，若用算术方法或列方程解答都比较难，改用列表法解答则比较容易。

由“长方形ABCD的周长是16米”，“四个正方形的面积的和为68平方米”这两个条件，以及长方形对边相等的性质，可以推出长＋宽＝8（米）长2＋宽2＝68÷2＝34（平方米）根据推论列表如下：解：分析上表，符合条件的长应该是5米，宽应该是3米，则长方形ABCD的面积为5×3＝15（平方米）答：长方形ABCD的面积是15平方米。

例4有若干只重量相同的箱子共重10吨，且每只箱子的重量不少于1吨。

用载重3吨的汽车一次将箱子运走，至少需要__辆车子。

（1993年全国小学生数学竞赛决赛试题）分析：由“每只箱子的重量不少于1吨”，每辆汽车“载重3吨”的条件，可知每一箱子的重量的取值范围是1≤3。

由于箱子的只数只能是自然数，根据“若干只重量相同的箱子共重10吨”的条件，可知箱子的只数是10、9、8、7、6、5、和4这七种情况。

要注意的是，若每只箱子的重量是1吨，则共有10只箱子，用3辆汽车每车装3只箱子，就还剩下1只箱子没有运走，故至少要4辆汽车才能一次运完。

根据条件和问题，列表解答如下：从上表可知至少要6辆车才能一次将箱子运走。

答：至少需要6辆汽车。

【假设法】一些题目含有两个或者两个以上的未知数量，其数量关系比较隐蔽，很难找到解题途径。

为了使复杂的数量关系变得单一，使隐蔽的关系变得明朗，我们可以用“假设”，改变某些条件，或者将某个条件设为已知。

对因假设而产生的差异进行分析推断，并加以调整，从而使问题获得解决。

这种解题方法，就是假设法。

“假设”是一种重要的数学思想。

列方程解应用题，把未知数设为X；有关倍数应用题，常常假定一个数量为“1倍”或“1”份；解答分数、百分数应用题，把一个数量假定为单位“1”。

这些都是假设法的广泛应用。

我国古代的“鸡兔同笼”、“百僧分馍”等问题，都是用假设法解答的典型应用题。

例1在一个停车场上，现有的车辆数是24辆。

其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子。

那么，三轮摩托车有__辆。

（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）分析：假设这24辆全是汽车，则有轮子：4×24＝96（个）比实际的86个多了：96－86＝10（个）可以推断汽车不可能为24辆，对假设要作调整。

由于每辆汽车比摩托车多1个轮子，多出的10个轮子就是多将10辆摩托车假定为汽车造成的。

因此，摩托车为10÷1＝10（辆）解：（4×24－86）÷（4－3）＝10÷1＝10（辆）………………………………摩托车辆数24－10＝14（辆）…………………汽车辆数答：有三轮摩托车10辆。

本题也可以假设这24辆全是摩托车，则汽车为（86－24×3）÷（4－1）＝14（辆），摩托车则为24－14＝10（辆）。

例2某车站售出汽车月票若干张。

每张学生票6元，每张成人票14元；售出的学生票比成人票多700张，售出的成人票比学生票多收6200元。

问售出的成人票与学生票各多少张？分析：假设再售出成人票700张，则学生票的张数就与成人票的张数同样多，那么成人票又要多收：700×14＝9800（元）成人票比学生票一共多收：6200＋9800＝16000（元）而每张成人票比学生票要多收14－6＝8（元），16000元里面包含了多少个8元，就是学生票的张数：16000÷8＝2000（张）解：（6200＋700×14）÷（14－6）＝16000÷8＝2000（张）……学生票数2000－700＝1300（张）……成人票数答：售出学生票2000张，成人票1300张。

分析：题中两个分率的单位“1”（或标准量）不统一，解此题的关键是假设哪一个量为单位“1”。

可以假设文艺书的本数为单位“1”，也可以假设科技书的本数为单位“1”，还可以假设两种图书的总数为单位“1”，甚至可以假设两种图书相等的部分为单位“1”。

现在假设科技书的本数为单位“1”。

用分数除法求得文艺书的本数是科技书的几分之几；还可以根据比例的基本性质求得文艺书的本数是科技书的几分之几：这样就找到了文艺书比科技书多120本的对应分率是：＝240（本）……………………………科技书本数120＋240＝360（本）…………………文艺书本数240＋360＝600（本）…………………图书总数答：共购进图书600本。

例4某工厂的27位师傅共带徒弟40名。