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致密砂岩气藏主要产气阶段渗流特征李陈;夏朝辉;汪萍【摘要】针对致密砂岩气藏渗透率极低,导致其渗流规律复杂的问题,以压裂直井非稳态渗流阶段的渗流特征为基础,运用渗流力学分析方法、叠加原理和渐进分析手段,得到分段压裂水平井非稳态时期水平井日产气量倒数与生产时间呈线性关系的产能方程及单井产能预测中“拐点”的判别方法.结合现场生产数据,验证了公式的正确性.研究成果表明,分段压裂水平井主要产气阶段渗流为非稳态渗流,为致密砂岩气藏现场开采的产能预测、“死气区”优化及单井控制储量优化提供理论基础.以西加盆地B气藏为例,研究成果使单井产能预测误差降低至1.74％.研究成果对致密砂岩气藏的开发策略及开发方案编制具有指导意义.【期刊名称】《特种油气藏》【年(卷),期】2016(023)003【总页数】3页(P94-96)【关键词】致密气藏;渗流特征;叠加原理;产能预测;西加盆地【作者】李陈;夏朝辉;汪萍【作者单位】中国石油勘探开发研究院,北京100083;中国石油勘探开发研究院,北京100083;中国石油勘探开发研究院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】TE349致密砂岩气藏渗透率极低，其渗流规律研究主要围绕直井开展。
随着开发技术的发展，分段压裂水平井已经成为开发致密砂岩气藏的主要井型，目前国内外针对致密砂岩气藏分段压裂水平井的渗流方程都是在常规气藏的方程上进行改进，主要考虑启动压力梯度和克林伯格效应，并没有针对致密砂岩气藏的渗流特点准确给出分段压裂水平井渗流规律的方程，而且提出的渗流方程缺乏实际生产数据的验证[1-6]。
因此，为配合致密砂岩气藏开发生产，有必要针对致密砂岩气井生产过程中主要产气阶段的渗流特点进行分析[7-10]。
结合达西流动公式、质量守恒方程、状态方程，井筒条件(无限导流裂缝直井以定井底流压或定产量生产)，边界条件(封闭边界)及初始条件，得到无因次拟压力和产量[2-4]：主要产气阶段，由于时间比较小，可以近似为：在致密气藏多段压裂水平井模型中，假设裂缝间距相同，每条裂缝的导流能力相同，2条裂缝之间的截面可以等效为封闭边界，水平井中每条裂缝流动相互独立互不影响，都是从基质到裂缝的渗流(图1)。
水平井完井技术现状及发展趋势摘要：社会经济快速发展，水平井技术也取得长足的进步，有了跨越式的发展。
水平井完井技术被广泛应用于多种岩性的油藏、气藏之中。
现阶段的水平井完井技术，发展和改进了过去功能单一的固井射孔完井技术，逐渐发展成了一种综合性完井技术，具备了保护油气层，适合多种类型的油藏、气藏，提高采收率和产能等功能。
但不可忽视的是，现阶段的水平井完井技术存在着一定的不足，需要研究更好的水平井完井技术，进一步提升水平井采收率。
关键词：水平井完井技术；现状；发展趋势引言经过多年的发展，我国水平井钻完井技术不断取得进步，但在如何控制水平井均衡排液及致密油气藏水平井多段压裂改造方面还存在不足。
文中对水平井割缝衬管完井方式、射孔完井方式、管外封隔器完井方式、可膨胀完井方式等技术优缺点进行了介绍，对水平井完井技术发展趋势进行了探讨，为合理选择完井技术、提高开发效益提供参考。
1水平井完井主要技术概述1.1具有管外封隔功能的衬管完井技术这项技术是割缝衬管完井技术与管外封隔器有机的融合，更加适用于小井眼侧钻水平井。
借助于管外分离器对不同层段开展分隔作业，然后再在相应的层段上开展与之对应的操作和生产管控工作。
在分支水平井中，衬管完井套管主要应用的是膨胀式封隔器，可以对水、气层进行有效的隔绝，并为油层的分段开采和处理提供助力。
除此之外，该技术在井眼直径小的项目中更为适用，在注水泥固井射孔完井中的应用相对较少。
1.2水平井筛管完井技术与套管射孔技术相比，水平井筛管完井技术具有更高的完善性和系统性，并且水平井能够有效的提升产量，借助于管外封隔器，可以有效实施对水平段的封隔，为后续相关工作的开展提供便利条件。
完井、砂井一体化完成，工艺更具可操作性，经济效益明显。
常规水平井筛管完井技术可以分为三种不同类型：第一，经由顶部进行水泥注入的一体化技术；第二、悬挂筛管处理，水平井完井技术；第三、悬挂滤筛管顶部处理的完井一体化技术。
2水平井完井技术发展现状水平井完井技术的形式多种多样，根据常用度可划分为：砾石充填完井手段、尾管射孔完井手段、裸眼完井和管外封隔器完井手段等多种多样的形式。
石油地质与工程2021年3月PETROLEUM GEOLOGY AND ENGINEERING 第35卷第2期文章编号：1673–8217（2021）02–0098–05致密火山岩储层水平井压裂参数优化与现场试验尚立涛1，刘宇2，张杨1，齐士龙2，乔岩1，李存荣2（1．中国石油集团工程技术研究院有限公司，北京102206；2．中国石油大庆油田有限责任公司，黑龙江大庆163453）摘要：致密火山岩储层天然裂缝发育差，低孔、低渗、致密、非均质性强，需要应用水平井大规模分段压裂工艺实现有效开发。
随着储层物性变差，可缩小压裂裂缝间距保持单井产量；为明确最优改造裂缝间距与施工规模，基于储层孔渗特征、相渗特征、流动特征的认识以及不同裂缝间距压裂产生的干扰，确定致密火山岩储层最优改造裂缝间距。
应用压裂后分段产气监测，认识分段产量与改造规模关系，明确致密火山岩储层最优改造规模，有效指导压裂方案优化，提高设计针对性与开发效益。
关键词：大庆油田；致密火山岩；水平井压裂；裂缝间距；产量监测；压裂规模优化中图分类号：TE357 文献标识码：AFracturing parameter optimization and field test of horizontal wells in tight volcanic reservoirs SHANG Litao1, LIU Yu2, ZHANG Yang1, QI Shilong2, QIAO Yan1, LI Cunrong2(1. Engineering Technology Research Institute Co., Ltd., China National Petroleum Corporation, Beijing 102206, China; 2. DaqingOilfield Co., Ltd., PetroChina, Daqing, Heilongjiang 163453, China)Abstract: The tight volcanic reservoir is characterized by poor development of natural fractures, low porosity, low permeability, compactness and strong heterogeneity, which requires the application of large-scale staged horizontal well fracturing technology to achieve effective development. With the deterioration of reservoir physical properties, the fracturing fracture spacing can be reduced to maintain single well production; in order to determine the optimal fracture spacing and construction scale, based on the understanding of reservoir porosity and permeability characteristics, relative permeability characteristics and flow characteristics, and the interference caused by fracturing with different fracture spacing, the optimal fracture spacing of tight volcanic reservoir is determined. Through the application of staged gas production monitoring after fracturing, the relationship between staged production and reconstruction scale is understood, and the optimal reconstruction scale of tight volcanic reservoir is determined, which can effectively guide the optimization of fracturing scheme and improve the efficiency and benefit of the design and development.Key words:Daqing Oilfield；tight volcanic rock; horizontal well fracturing; fracture spacing; production monitoring; fracturing scale optimization致密油气储层可应用缝控压裂技术提高单井产量[1]，通过人工裂缝参数的优化来实现井控单元内储量的最大动用。
页岩气分段压裂水平井非稳态渗流模型韩国庆;任宗孝;牛瑞;李斌;师俊峰;吴小军【期刊名称】《大庆石油地质与开发》【年(卷),期】2017(036)004【摘要】有关应力敏感页岩气藏分段压裂水平井渗流的解析模型很少,在考虑页岩气吸附解吸附、基质内非稳态扩散及应力敏感的前提下,应用拉式变换、摄动变换、镜像原理以及叠加原理等方法,建立了页岩气分段压裂水平井半解析模型.模型计算结果表明,页岩气分段压裂水平井可分为6个渗流阶段,即线性流、第一径向流、双径向流、天然裂缝系统径向流、窜流阶段和整个系统径向流动.应力敏感主要影响后5个流动阶段,考虑应力敏感的无因次井底压降是不考虑应力敏感的几倍之多,且开发后期无因次压降导数曲线往往上翘,表现出封闭边界影响的特征.如果计算分析时不考虑应力敏感的影响,计算结果会产生较大的误差,且会得出错误的试井解释.所建的半解析模型为快速预测页岩气分段压裂水平井的产能、认识压裂水平井渗流规律和评价分析压裂效果,提供了一种非常有用的方法.【总页数】8页(P160-167)【作者】韩国庆;任宗孝;牛瑞;李斌;师俊峰;吴小军【作者单位】中国石油大学石油工程学院教育部重点实验室,北京102249;中国石油大学石油工程学院教育部重点实验室,北京102249;中国石油青海油田分公司采油二厂,甘肃敦煌736202;中国石油青海油田分公司采油二厂,甘肃敦煌736202;中国石油勘探开发研究院,北京 100083;中国石油大学石油工程学院教育部重点实验室,北京102249【正文语种】中文【中图分类】TE355.6【相关文献】1.页岩气藏分段压裂水平井不稳定渗流模型 [J], 樊冬艳;姚军;孙海;谢银伍;曾慧;张凯2.页岩气藏压裂水平井不稳定渗流模型及试井分析 [J], 雷宇;曾彦;宁正福3.涪陵页岩气田分段压裂水平井非稳态产能评价方法 [J], 郑爱维;李继庆;卢文涛;梁榜;张谦;杨文新4.页岩气储层压裂水平井非线性渗流模型 [J], 王强;穆朗枫5.页岩气藏压裂水平井线性耦合渗流模型研究 [J], 张烈辉; 崔乾晨; 谢军; 郑健; 李成勇因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
长水平段水平井钻井技术难点及对策摘要：目前，国内外长水平段水平井的数量不断增加，在油气开采过程中，长水平段水平井的运用，可以有效提高油井采收率，未来，长水平段水平井技术仍然具有很大的发展空间。
但是在钻井过程中，极易出现各种难点问题，这些难点问题的存在，不仅会使钻井效率严重下降，还会间接影响油井的产量。
关键词：长水平段；水平井钻井技术；难点；解决对策1水平段长度与位置确定1.1技术难点对于长水平段及水平井的相关技术，其最主要的技术优势是水平段相对较长，但其长度及在储层中位置的确定会受到很多因素的影响，如产量要求、作业成本、完井技术等。
实际情况中大多从产量角度进行分析：伴随水平段实际长度不断增加，井筒和油气藏之间的接触面积随之增大，但流体的流动阻力也在增大，虽然前者能起到增大产量的作用，但后者却起到相反的作用，最终对正常生产造成不利影响。
1.2处理对策通常情况下，长水平段水平井长度最佳值和井筒中由于摩擦作用损失的单井产能明显降低情况下的长度相等。
而水平段位置，越接近气藏顶部，水平井的渗流阻力越大，产能因此降低。
基于此，水平段最佳位置可用以下方程表示：ZW=0.9h （1）式（1）中，ZW表示水平段至油气界面直线距离，单位：m；h 表示油气层实际厚度，单位：m。
2井眼的轨迹控制2.1技术难点（1）造斜段与稳斜段对于设计工作有较高要求。
（2）水平段的最佳位置选择要求决定了轨迹控制同样有极高的精度要求。
（3）在水平段不断延伸的条件下，井眼摩阻增大，导向工具难以传递，加大控制难度。
（4）钻遇岩性所具有的多样性特点进一步增大了轨迹控制难度。
2.2处理对策（1）优化选取造斜点。
对于造斜点而言，其应选择在岩性相对较好、岩层较为稳定的位置，以便提高造斜效率，同时保证井眼的稳定性。
（2）优化选取造斜段的种类。
大多情况下优先选取圆弧形造斜段，这样可以有效降低摩擦阻力，并减轻套管磨损。
（3）优化选取钻具组合。
钻具组合包括钻头、螺杆、钻具、扶正器和 LWD 等，通过对钻具组合的优化选取与灵活调配，能为加压和轨迹控制提供极大的便利。
水平井产能分析一、油气井渗流方式流线为彼此平行的直线，并且垂直于流动方向的每—个截面上的各点渗流速度相等，这种渗流方式称为直线流(1inear flow or rectilinear flow)，又称为单向流(one way flow)。
研究的对象是井排。
流体从平面的四周向井中心汇集，或从井中心向四周发散的渗流方式称为径向流(radial flow)。
流体从平面的四周向井中心汇集的渗流方式称为点汇(point sink)。
例如生产井可作为点汇处理。
流体从井中心向四周发散的渗流方式称为点源(point source)。
例如注入井可作为点源处理。
研究的对象是垂直的单井。
流线呈直线向井点汇集，其渗流面积成半球形，且渗流等压曲面呈半球的渗流方式称为半球流，又称为球向流(spherical flow)。
研究的对象是垂直的单井。
流线呈椭球状汇聚于椭球轴的渗流方式称为椭球渗流(ellipsoidal seepage flow)。
研究的对象是水平的单井。
渗流的几何形态如图3．1．2所示。
生产井与注水井的升降漏斗：二、渗流规律地下油气藏向钻井中的渗流规律取决于：油气藏流体介质性质（轻质油、重油和稠油）、储渗体孔隙与裂隙特征（低孔隙低渗透、中等孔隙和大孔隙高渗透）、介质流速（低速、中速与高速）、稳定流和非稳定流、油气井的完善性等。
此外，油气藏的渗流规律还可分为：不可压缩液体的渗流、可压缩流体渗流、单相流体渗流、油气二相流体和油气水三相流体的渗流，按储渗体岩层物性还可分为单项储渗体介质和多项储渗体介质体中的渗流，按供油边界还可分为圈闭和非圈闭油气藏、定压边界和非定压边界等等。
一般，按渗流阻力和雷诺数，常分以下三种类型。
三、水平井产能评价常用的计算公式在中孔隙储层中，以单项液流为对象，将三维问题简化为二维问题，国内外常用公式有：Borisov 公式：Gier 公式：Renard 和Depuy 公式：Joshi 公式：式中：x ——泄油椭圆长轴与水平井长度的比值，L a x /2=；a ——泄油主轴的一半，m ；()()5.04eh 25.0/25.02/⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=L r L ar eh ——水平井泄油半径，m ；L ——水平井长度，m ； h ——油藏的高度，m ；对于非均质油藏，K h≠K v，引入非均质油藏各项渗透差异修正系数β=（K h/K v）0.5，同时，渗透率采用有效渗透系数K=（K h/K v）0.5，Joshi公式、Renard和Depuy公式分别为：当考虑实际水平井井眼的偏心距以及储层的各向异性系数时，可采用下式进行计算：式中：δ——水平井的偏心距。
水平井井筒流态分析方法【摘要】水平井井筒流态分析方法在油田开发中起着重要作用。
本文首先介绍了水平井井筒流态分析方法的重要性和研究背景，接着阐述了其理论原理，实验方法，数值模拟，应用案例和发展趋势。
通过这些内容，我们可以深入了解水平井井筒流态分析方法的原理和应用情况。
在文章总结了水平井井筒流态分析方法的意义和前景，同时也指出了其局限性和未来展望。
水平井井筒流态分析方法的不断完善和发展将为油田开发提供技术支持和指导，同时也面临着挑战和问题需要继续探讨和解决。
这篇文章对于了解水平井井筒流态分析方法的重要性和应用前景具有一定的参考意义。
【关键词】水平井、井筒流态、分析方法、理论原理、实验方法、数值模拟、应用案例、发展趋势、意义和前景、局限性、未来展望。
1. 引言1.1 水平井井筒流态分析方法的重要性水平井井筒流态分析方法可以帮助油气勘探开发人员更好地理解水平井的流体行为特点，包括流体渗流规律、井筒内流动特性等。
通过对水平井流体行为的分析，可以为油气勘探开发提供科学依据，指导井筒设计和生产调控。
水平井井筒流态分析方法可以为水平井的优化设计和生产管理提供支持。
通过对水平井井筒流态进行研究分析，可以预测井筒内流体的运动规律，为优化井筒设计参数提供参考依据，提高产量和采收率。
水平井井筒流态分析方法对于解决水平井井筒内的流体不均匀性、高渗透率地层的开发难题具有重要意义。
通过对井筒内流态的定量分析，可以优化生产压力、井筒结构等参数，解决流体分布不均匀带来的生产难题，提高油气生产效率。
1.2 水平井井筒流态分析方法的研究背景水平井是一种特殊形式的油井，其井筒呈水平或近水平状态延伸，常用于水平井井筒流态分析。
水平井在石油工业中的应用越来越广泛，因为它们可以提高产量、降低成本和减少环境影响。
由于水平井的井筒形状和特殊性质，传统的油藏流体动力学分析方法往往无法准确描述水平井中的流态特性。
研究水平井井筒流态分析方法成为当前油田开发中的一个热门课题。
水平井渗流的基础一、水平井与垂直井的区别1.水平井的设计水平井的设计结构有别于垂直井，首先因为水平井是用井底水平位移L确定井产能，其次是用油层厚度h确定其产能。
另外，水平井的井底长度的变化范围很大，并取决于钻井技术。
水平井的完井方式是影响水平井开采指标的重要因素。
根据油层的地质条件，水平井可分为衬管-尾管的裸眼完井、封隔器衬管的裸眼完井和套管完井方式。
水平井的完井类型要符合规定的钻井技术和工艺。
水平井段的长度、井段在油层中的位置、所允许的倾斜角度和完井类型要完全取决于所应用的钻井方法。
2.应用范围一般情况下水平井可有效的应用于如下条件：①可以连通和排泄到同一排油系统的天然裂缝的储油层中；在可能发生水锥和气锥的油层中；在低、高渗透天然气储层的开采时。
②在低渗透储层的油藏中水平井可以增加进入同一井中的泄油面积，同时减少了油藏开发所必需的总井数。
在井筒中具有高速渗流的高速渗流的高渗透储层的油藏中，应用水平井可以降低渗流速度，而较高的渗流速度是导致提高井产量时天然气紊流的主要原因。
③在应用提高采收率方法时，特别是在应用加热方法时，用增加与油层的接触面积和提高吸水能力的方法确定水平井的应用效果。
④水平井的合适定位，特别是在裂缝地层中的定位可以提高其所应用的采收率方法的驱油系数。
⑤水平井的应用问题甚至与钻井成本紧密相关。
钻水平井是唯一的降低海洋钻井成本的方法，因为海上钻井成本的降低只能依靠减少必需的开发井数来是实现。
3.水平井应用推广①水平井多适用于单一薄油层开采。
实际上，多数油田都是多层同时开采。
采用“阶梯形水平井”可实现用水平井开发多层油田。
②水平井的另一个缺点是成本问题。
钻一口普通水平井的成本大约为垂直井的1.4~3倍(这取决于钻井方法和完井工艺)。
虽然水平井的成本高，在可采储量大的油田使用水平井技术，开发速度快，开采时间短，经济效益很显著，这对于海上油田是非常重要的。
如果假设用水平井和垂直井所获得的原油采收率相等，那么，为获得最高的原油采收率，水平井网应比垂直井网更稀。
计算表明，在水平井水平位移L=300m 时，其泄油面积大约是垂直井的2倍。
同样可以得出，在L=700m 时，水平井的泄油面积为垂直井的3倍。
这就证明了在应用水平井时其井网要比垂直井稀。
4.泄油面积对于垂直井而言，其泄油面积呈圆柱形，而对于水平井来说，其泄油面积呈椭圆形。
可见，水平井的泄油面积要比垂直井大很多。
由于水平井在开发目的层井段长，在一定的期间内和同样的工艺开采条件下水平井的泄油面积要比垂直井大的多。
如果已知垂直井在一定时间内的泄油面积，那么可以根据这一已知条件计算出水平井的泄油面积。
将水平井分解为垂直平面径向流和水平平面椭球渗流。
获得水平井产量公式的基本思路是：第一，按图将水平井分解为垂直于水平井的垂直平面BB 径向渗流与沿AA 水平么椭圆渗流；第二，根据等值渗流阻力法计算水平井的产量。
设水平面椭圆渗流的阻力为Rh ，垂直平面径向渗流的阻力为Rv ，水平井的产量为：vh wf i h R R p p q +-=二、顶底封闭边界水平井的产能公式 1.顶底封闭边界水平井的产量公式①水平平面水平井流量在水平面上水平井泄油面积为一椭圆。
假设泄油椭圆长半轴为a ，短半轴为b ，水平井长度为L ，地层各向同性。
引入茹科夫斯基变换，令iy x z += θξξi e r iv u =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ξξ1212L z θξξcos 1212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=r r L x θξξsin 1212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=r r L y22v u r +=ξ 22cos vu u +=θ 22sin vu v +=θ从而将长半轴a ，段半轴b 的椭圆形区域变换成半径为Lba 5.0+的圆形区域，将线段⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2L 到⎪⎭⎫⎝⎛0,2L 映射成单位圆周。
在ξ平面上的流动，可以认为是半径Lba 5.0+圆形供给区域内有一口半径为1的直井的情形，考虑到油层厚度h 和椭圆半径22)5.0(L ab -=，得到水平井在水平平面的流量为：()LL a a B p p Kh q o wf i hh 5.0)5.0(ln222-+-=μπ②垂直平面水平井流量水平井在垂直平面的流动相当于底、顶封闭边界，引入保角变换()()hzhz e eππξ+-=-11，将z 平面上带形区域ξ平面上的一个单位圆域。
z 平面上汇点(0，0)在ξ平面上变成圆心(0，0)，z 平面上的油井半径r w 在ξ平面上相应为ξw 。
hr r dzd ww w πξξ2)0,0(==在ξ平面上的流动，可以认为是单位圆形封闭区域内一口半径为ξw 的直径的情形。
考虑到水平井长度L ，得到水平井在垂直平面的流量为：()wo wf i hv r hB p p KL q πμπ2ln2-=③顶底封闭水平井的产量公式L L a a Kh B R o h 5.0)5.0(ln222-+=πμ w o v r h KL B R ππμ2ln 2=()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-=+-=w o wf i vh wf i h r h L h L L a a B p p Kh R R p p q πμπ2ln 5.0)5.0(ln 222水平井的采油指数为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=w o h r h L h L L a a B KhJ πμπ2ln 5.0)5.0(ln 2222.顶底封闭偏心水平井的产量偏心距影响的只是垂直平面水平井产能，引入变换δξi z +=，就可以将垂直平面存在偏心距问题的求解转换成无偏心距问题的求解。
引入保角变换⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-hi z hi z e e)()(11δπδπξ，将z 平面上带形区域变换成ξ平面上的一个单位圆域。
z 平面上汇点(0，0)在ξ平面上变成圆心(0，0)，z 平面上的油井半径r w 在ξ平面上相应为ξw 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛==h h r r dzd ww i w πδπξξδcos ),0( 垂直平面的产量为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h h r B p p KL q w o wf i hv πδπμπcos ln 2顶底封闭偏心水平井的产量公式为：()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=+-=h h r L h L L a a B p p Kh R R p p q w o wf i vh wf i h πδπμπcos ln 5.0)5.0(ln 222三、顶底定压边界水平井的产能公式 1.顶底定压边界水平井的产量公式①水平平面水平井流量在水平面上水平井泄油面积为一椭圆。
假设泄油椭圆长半轴为a ，段半轴为b ，水平井长度为L ，地层各向同性。
引入茹科夫斯基变换，令iy x z += θξξi e r iv u =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ξξ1212L z θξξcos 1212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=r r L x θξξsin 1212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=r r L y22v u r +=ξ 22cos vu u +=θ 22sin vu v +=θ从而将长半轴a ，段半轴b 的椭圆形区域变换成半径为Lba 5.0+的圆形区域，将线段⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2L 到⎪⎭⎫⎝⎛0,2L 映射成单位圆周。
在ξ平面上的流动，可以认为是半径Lba 5.0+圆形供给区域内有一口半径为1的直井的情形，考虑到油层厚度h 和椭圆半径22)5.0(L ab -=，得到水平井在水平平面的流量为：()LL a a B p p Kh q o wf i hh 5.0)5.0(ln222-+-=μπ②垂直平面水平井流量水平井在垂直平面的流动相当于顶、底封闭边界，引入保角变换hz hzeeππξ+-=-11，将z 平面上带形区域ξ平面上的一个单位圆域。
z 平面上汇点(0，0)在ξ平面上变成圆心(0，0)，z 平面上的油井半径r w 在ξ平面上相应为ξw 。
hr r dzd ww w πξξ2)0,0(==在ξ平面上的流动，可以认为是单位圆形封闭区域内一口半径为ξw 的直径的情形。
考虑到水平井长度L ，得到水平井在垂直平面的流量为：()wo wf i hv r hB p p KL q πμπ2ln2-=③顶底封闭水平井的产量公式L L a a Kh B R o h 5.0)5.0(ln222-+=πμ w o v r h KL B R ππμ2ln 2= ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-=+-=w o wf i vh wf i h r h L h L L a a B p p Kh R R p p q πμπ2ln 5.0)5.0(ln 222水平井的采油指数为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=w o h r h L h L L a a B KhJ πμπ2ln 5.0)5.0(ln 2222.顶底定压边界偏心水平井的产量①偏心水平井垂直平面的流量偏心距影响的只是垂直平面水平井产能，引入变换δξi z +=，就可以将垂直平面存在偏心距问题的求解转换成无偏心距问题的求解。
引入保角变换hi z hi z ee)()(11δπδπξ+++-=-，将z 平面上带形区域变换成ξ平面上的一个单位圆域。
z 平面上汇点(0，0)在ξ平面上变成圆心(0，0)，z 平面上的油井半径r w 在ξ平面上相应为ξw 。
hh r ww 2cos22πδπξ=垂直平面的产量为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h hr B p p KL q w o wf i hv 2cos 2ln 22πδπμπ ②顶底定压边界偏心水平井的产量公式为：()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=+-=h h r L h L L a a B p p Kh R R p p q wo wf i vh wf i h 2cos 2ln 5.0)5.0(ln 2222πδπμπ四、几种产能公式分析关于水平井的产能公式很多，如Joshi 公式：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+∆=w o h r h L h L L a a B pKh q 2ln 5.0)5.0(ln 222μπ对垂直平面流动引入保角变换为h ze πξ=，从而将z 平面y 轴变换到ξ平面的单位圆周，将垂直面内水平井及其镜像井反映得到一个无穷井排的ξ平面。
在z平面上，如果假定水平流动来自x 轴的正负两个方向，考察()0，∞+和()0，∞-两点。
()0，∞+经变换映射为A(1，0)，而()0，∞-经变换映射为B(-1，0)。
hze πξ=，在ξ平面上，任意点势可以表示为1ln 2)1ln(2C LqL q +--=Φξπξπ C h z h z L q +⎪⎭⎫⎝⎛+=Φπππln 2 Joshi 垂直平面流动计算提出的复势与以上推导得到的复势一致，而复势是建立在水平井流动来自z 平面上x 轴的正负两个方向基础之上，这与Joshi 水平井垂直平面流动相矛盾。
