高中数学必修四《两角和与差的正切》教学设计一、概述本节课为1课时，40分钟。
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书 数学（必修四）》（人教B版）第三章《三角恒等变换》中的第三节《两角和与差的正切》，是《两角和与差的正余弦》的延伸,也是三角恒等变换公式的重要组成部分.教材主要通过两角和的正弦公式及两角和的余弦公式推导出两角和的正切，由换元思想变换出两角差的正切公式。
讲解了公式的变形，公式的变形应用是本节课的难点所在.二、教学目标分析（一）、三维目标１、知识与技能目标（1）能准确说出两角和与差的正切公式；（2）能够用公式的变形解决问题2、过程与方法(1) 通过推导两角和的正切公式，以及公式的灵活应用，增强计算能力和分析能力(2) 渗透数学研究方法的教育：认识公式的推导，及公式的应用，掌握从一般到特殊的思维方法。
(3) 经历两角和与差公式探究过程，尝试运用函数间的相互关系问题;(4) 发挥教学工具的作用，提高运用数学解决问题的能力(5) 在小组合作探究中能够清楚地表述自己的观点，初步具有评估和听取反馈意见的意识，有初步的信息交流能力；３、情感、态度、价值观（1）通过两角和与差公式的研究，能认真思考,积极参与,勇于探索，逐步树立严谨科学态度和正确的认识观；（2）在探究合作过程中，增强探究意识与合作意识，增强与人交流的意识；（二）、教学重点和难点重点：两角和与差的正切公式的推导和应用；公式条件的获得。
难点：两角和与差的正切公式的变形应用。
三、学习者特征分析·学生是广饶县第一中学的高一学生·学生为高一的孩子，好奇心强，具有较强的探究欲望·学生有研究函数的境遇·学生已经学过同角三角函数的基本关系式和两角和与差的正余弦公式一定的知识基础四、教学策略选择与设计整节课始终以学生为主体、教师为主导、计算机多媒体的应用，与传统的教学方式形成了鲜明的对比五、教学过程：（一）复习导入（1）同角三角函数的基本关系式（2）两角和与差的余弦公式和两角和与差的正弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+，βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-（二）探求公式学生思考、独立完成.（引导学生在)tan(βα+未知情况下，如何切割化弦进行探求） βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 分子、分母分别除以βαcos cos （0cos cos ≠⋅βα），并化简得βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ③ 思考1、两角差的正切公式具有怎样的形式？应该考虑哪些因素？导出公式成立的条件。
3.1.3两角和与差的正切一、教学目标：1、知识与技能：⑴掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。
⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。
2、过程与方法：由学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与差的正切公式，通过教师的提问，学生观察，分析，讨论及练习。
及时搜集反馈信息，动态调整教学过程，引导学生攻克难点，掌握重点。
3、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。
二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。
教学难点：公式的逆向和变形应用。
三、教学过程：1、复习引入复习：两角和与差的正、余弦公式S α+β ,S α-β , C α+β ,C α-β()sin +sin cos +cos sin αβαβαβ=()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+提出问题：复角αβ±与单角α，β的正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用tan tan αβ和来表示()tan αβ±呢？2、两角和与差正切公式的推导及理解 T α+β ,T α-β⑴tan(α+β)公式的推导（让学生回答）∵cos (α+β)≠0tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时 分子分母同时除以cos αcos β得：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 以-β代β得： ()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+⑵思考讨论：①公式是如何推导出来的？有什么限制条件？②公式有何特点？如何记忆？③公式有何用处？有何变形？⑶注意：1、必须在定义域范围内使用上述公式。
3.1.3 两角和与差的正切点、易错点两角和与差的正切公式两角和的正切公式：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，(T α＋β)两角差的正切公式：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.(T α－β)在两角和与差的正切公式中，α和β的取值应使分母不为零．【自主测试1】与1－tan 21°1＋tan 21°相等的是( )A ．tan 66° B．tan 24° C ．tan 42° D．tan 21° 解析：由两角差的正切公式，原式＝tan 45°－tan 21°1＋tan 45°tan 21°＝tan(45°－21°)＝tan24°.答案：B【自主测试2】(2011·浙江温州模拟)非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 解析：由a ∥b 得，sin θ－2cos θ＝0，即tan θ＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13. 答案：13两角和与差的正切公式成立的条件及作用剖析：(1)公式成立的条件：α≠k π＋π2，β≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2或α－β≠k π＋π2，以上式子均有k ∈Z .当tan α，tan β，tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决．如化简tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，因为tan π2的值不存在，不能利用公式T α＋β，所以改用诱导公式来解：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝1tan α＝cot α.(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，要熟练掌握：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，1∓tan αtan β＝tan α±tan βtan α±β.如tan 25°＋tan 20°＋tan 25°tan 20°＝tan(25°＋20°)·(1－tan 25°tan 20°)＋tan 25°tan 20°＝tan 45°(1－tan 25°·tan 20°)＋tan 25°tan 20°＝1－tan 25°tan 20°＋tan 25° tan 20°＝1.所以在处理问题时，要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．(3)与两角和与差的正弦函数公式和余弦函数公式一样，两角和与差的正切公式对分配律也不成立，即tan(α＋β)≠tan α＋tan β.题型一 给值求值问题【例题1】已知sin α＝－35，α是第四象限的角，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4和tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值． 分析：已知sin α的值，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4用两角差的正切公式，而求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2则只能用诱导公式来做．解：因为sin α＝－35，α是第四象限的角，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， 所以tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.于是有tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝－34－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ －cos αsin α＝－45－35＝43.反思在运用两角和与差的正切公式来解题时，一定要注意公式成立的条件．当tan α，tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能利用公式T α＋β，可改用诱导公式或其他方法．【例题2】已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 分析：如果通过已知解出tan α再求值，计算量大．由于α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以可以直接利用公式来求解．解：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 反思在解题时切记不要盲目地看到是和差角的形式就套用公式，那样会增加计算量，而且容易出错，要先整体观察题目的特点，再寻找最简的解题方法，这是我们要培养的良好习惯．题型二 两角和与差的正切公式的变形使用【例题3】计算：(1)tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)＝__________. (2)tan 20°＋tan 40°＋tan 120°tan 20°tan 40°tan 120°＝__________.解析：(1)原式＝tan 10°tan 20°＋3(1－tan 10°tan 20°)·tan(10°＋20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.(2)∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°. ∴tan 20°＋tan 40°＋tan 120°tan 20°tan 40°tan 120°＝3－3tan 20°tan 40°－3－3tan 20°tan 40°＝1.答案：(1)1 (2)1反思本题的两个小题都是考查两角和的正切公式的变形运用，含α，β两角的正切和与正切积的式子，用两角和与差的正切公式的变形比较容易处理．在历届高考试题中，曾多次考查过两角和与差的正切公式及其变形的应用，在学习过程中，对此应予以重视．题型三 给值求角问题【例题4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 分析：(1)先根据cos α＝210，cos β＝255，求出tan α，tan β，再用和角公式求tan(α＋β)．(2)先求α＋2β的正切值再求角．解：由条件，得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝－3＋121－－3×12＝－1，且α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.反思此题要注意单位圆中有关角的三角函数值的特点与对应关系，还要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等．题型四 公式的综合应用【例题5】已知tan A ，tan B 是关于x 的方程mx 2－2x ·7m －3＋2m ＝0的两个根，求tan(A ＋B )的取值范围．分析：根据韦达定理和两角和的正切公式，用参变数m 表示tan(A ＋B )，然后求含参变数m 的式子的取值范围．解：由题意得m ≠0，且Δ＝4(7m －3)－8m 2≥0，即2m 2－7m ＋3≤0，且m ≠0. ∴12≤m ≤3.又7m －3≥0，∴m ≥37. ∴12≤m ≤3，则13≤1m≤2. ∵tan A ，tan B 为此方程的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝27m －3m ，tan A tan B ＝2.∴tan(A ＋B )＝27m －3m1－2＝－27m －3m＝－2－3m 2＋7m＝－2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －762＋4912. ∴当1m ＝76时，tan(A ＋B )取最小值为－733.当1m ＝13或1m＝2时， tan(A ＋B )取最大值为－2 2.∴tan(A ＋B )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－733，－22.反思本题易犯如下错误，只考虑用韦达定理寻求tan A ＋tan B ，tan A tan B 的值，而忽视方程有根的前提条件．凡涉及到一元二次方程根的问题，就要优先考虑“Δ”，它是研究一元二次方程根的相关问题的前提条件．题型五 易错辨析【例题6】已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β的值等于( )A ．π3B ．－2π3或π3C ．－π3或2π3D ．－2π3错解：∵tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根， ∴tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋β∈(－π，π)． ∴α＋β＝－2π3或α＋β＝π3.故选B ．错因分析：忽视了tan α，tan β是两个负根这一隐含条件，从而导致增解现象．正解：∵tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根， ∴tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0.∴tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个负根，即tan α＜0，tan β＜0.∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α＋β∈(－π，0)．又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.故选D ．1．1＋tan 75°1－tan 75°的值是( )A ． 3B ．－ 3C ．33 D ．－33解析：1＋tan 75°1－tan 75°＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－tan60°＝－ 3.答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，那么sin α－cos α的值为( ) A ．－15 B ．75 C ．－75 D ．34答案：B3．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1－tan 3π4(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.答案：C4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝tan 2x －11＋tan 2x ＋tan 2x ＋11－tan 2x＝tan 2x ＋12－tan 2x －121－tan 22x＝4tan 2x 1－tan 22x＝2tan 4x . 所以最小正周期为π4.答案：π45．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． 解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2.∴tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12×13＋1＝23. 答案：236．(2012·山东曲阜期末)设cos α＝－55，tan β＝13，π＜α＜3π2，0＜β＜π2，求α－β的值．解：由cos α＝－55，π＜α＜3π2得sin α＝－255，tan α＝2， 又tan β＝13，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝1.又π＜α＜3π2，0＜β＜π2，得－π2＜－β＜0，π2＜α－β＜3π2，所以α－β＝5π4.。
3.1.3 两角和与差的正切明目标、知重点 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.1.两角和与差的正切公式(1)T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(2)T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2.两角和与差的正切公式的变形(1)T α＋β的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β).tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β).tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).(2)T α－β的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β).tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β).tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，小山的高BC 约为30米，在地平面上有一点A ，测得A 、C 两点间距离约为67米，从点A 处观测电视发射塔的视角(∠CAD )约为45°.求这座电视发射塔的高度.解 设电视发射塔的高CD ＝x ，∠CAB ＝α，则sin α＝3067.在Rt △ABD 中，tan(45°＋α)＝x ＋3030tan α， 于是x ＝30tan (45°＋α)tan α－30. 如何能由sin α＝3067求得tan(45°＋α)的值呢？或者说能不能用sin α把tan(45°＋α)表示出来？ 虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题.我们有必要得到两角和与差的正切公式.探究点一 两角和与差的正切公式的推导思考1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试.答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. 根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 思考2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？答 在公式T α＋β，T α－β中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z ). 例1 求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°) ＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3. (2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1， ∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.反思与感悟 公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式思考 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习1：直接写出下列式子的结果：(1)tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝ ； (2)tan 75°＝ ；(3)1－tan 15°1＋tan 15°＝ . 答案 (1)1 (2)2＋3 (3)33练习2：求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.解 方法一 ∵tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)，∴原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.方法二 ∵tan 20°tan 40°＝1－tan 20°＋tan 40°tan (20°＋40°)＝1－13(tan 20°＋tan 40°)， ∴原式＝tan 20°＋tan 40°＋3－(tan 20°＋tan 40°)＝ 3.例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1. ∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π).∴α＋β＝7π4. 反思与感悟 此类是给值求角题目，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题目常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会产生增解或者漏解.跟踪训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4， ∴tan α、tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. ∵－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3. 例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状. 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33， ∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6， ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3， ∴△ABC 为等腰钝角三角形.反思与感悟 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.跟踪训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角.求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tanC .证明 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C .即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1.若tan(π4－α)＝3，则tan α的值为( ) A.－2B.－12C.12D.2 答案 B解析 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－31＋3＝－12. 2.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A.1B.2C.－2D.不确定答案 B解析 (1＋tan A )·(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.3.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ . 答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55， ∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. 4.已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ .答案 17解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＋tan ⎝⎛⎭⎫β－α21－tan ⎝⎛⎭⎫α－β2tan ⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17.1.公式T α±β的适用范围、结构特点和符号规律(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不能是k π＋π2(k ∈Z ). (2)公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等. 要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.3.公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路.一、基础过关1.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B.7 C.－17D.－7 答案 A2.已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1323 C.723 D.16答案 C解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723. 3.已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4答案 C4.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13， ∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52， ∴C 为钝角.5.1＋tan 75°1－tan 75°＝ . 答案 －36.已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为 .答案 23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.7.求下列各式的值：(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°).解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.二、能力提升8.化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于() A.1 B.2C.tan 10°D.3tan 20°答案 A解析 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1. 9.设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝ . 答案 －105解析 因为tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝12，所以tan θ＝－13， 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－ 11＋tan 2θ＝－31010， sin θ＝1－cos 2θ＝1010， 则sin θ＋cos θ＝1010－31010＝－105. 10.已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ . 答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11.在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 证明 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C 2＝90°. ∴A ＋B 2＝90°－C 2.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－C 2＝1tan C 2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B 2·tan C 2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫tan A 2＋tan B 2tan C 21－tan A 2tan B 2＝1， ∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B 2. 即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小.解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4. 三、探究与拓展13.已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值.解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－(－3)＝34. ∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β) ＝sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β) ＝tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1＝(34)2－3×34－3(34)2＋1＝－3.。
